Aula_3_Lei_de_Gauss

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Aula 3 
 
 
 
Profª Drª Simone F. Souza 
 
 
Cálculo do campo elétrico 
através da Lei de Gauss 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM 
Ao participar dessa aula, você aprenderá: 
 
• O que significa fluxo elétrico e como calculá-lo; 
• Como a lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico através de uma 
superfície fechada à carga englobada pela superfície. 
• Como usar a lei de Gauss para calcular o campo elétrico produzido por 
uma distribuição simétrica de carga. 
 
Um dos objetivos da física é descobrir formas simples de resolver problemas complexos. 
Um dos instrumentos usados para conseguir esse objetivo é a simetria. 
Introdução 
Para resolver esse problema consideramos os campos dE criados 
por elementos de cargas do anel. Em seguida simplificamos os 
cálculos usando a simetria para descartar as componentes 
perpendiculares. 
Para certas distribuições simétricas de cargas, podemos poupar 
muito mais trabalho usando uma lei conhecida como lei de Gauss. 
O físico e matemático alemão Carl 
Friedrich Gauss (1777-1855) 
formulou essa lei em 1835. 
Em vez de considerar os campos dE criados pelos 
elementos de carga de uma dada distribuição de 
caras, a lei Gauss considera uma superfície fechada 
imaginária que envolve a distribuição de cargas. 
Essa superfície gaussiana pode ter qualquer forma, 
mas ela é escolhida de acordo com a simetria do 
problema. 
Precisamos calcular a quantidade de campo elétrico 
que é interceptada pela superfície gaussiana. A medida 
da quantidade de campo elétrico interceptada é 
conhecida como fluxo. 
Fluxo 
Suponha que uma espira quadrada de área A seja exposta a um vento uniforme cuja 
velocidade é 𝑣 : 
A vazão volumétrica do ar 
através da espira é dada por: 
A vazão depende do ângulo 
entre 𝑣 e o plano da espira. 
Se 𝑣 é perpendicular ao plano da espira: 
Se 𝑣 é paralelo ao plano da espira, o ara não passa pela espira : 
Para um ângulo intermediário θ: 
A vazão através de uma área é um exemplo de fluxo. 
Vamos escrever a equação anterior em forma vetorial. 
• Definimos o vetor área 𝐴 como um vetor cujo módulo é igual a área (no caso, a 
área da espira) e cuja direção é perpendicular ao plano da área. 
• Podemos então escrever a equação anterior como o produto escalar do vento pelo 
vetor área da espira: 
Ângulo entre os vetores 𝐴 e 𝑣 . 
• A palavra “fluxo” vem do latim e pode ser definida como o “ato ou modo de fluir”. 
• Podemos interpretar a equação anterior como o fluxo do campo de velocidades 
através da espira. • Nessa interpretação o fluxo não significa a passagem de 
algo por uma área mas o produto de uma área pelo campo 
que existe no interior dessa área. 
Fluxo de um campo elétrico 
A figura mostra uma superfície gaussiana arbitrária (assimétrica) imersa em um 
campo elétrico não-uniforme. 
Vamos dividir a superfície em pequenos quadrados 
de área ∆A. 
Podemos representar os elementos de área por um 
vetor 𝜟𝑨 cujo módulo é a área ∆A e a direção é 
normal e apontando para fora da superfície. 
Como os quadrados são arbitrariamente pequenos, 
o campo elétrico 𝐸 pode ser considerado constante 
no interior de cada quadrado. 
Fluxo de um campo elétrico 
Uma definição provisória do fluxo do campo elétrico 
para a superfície da figura é a seguinte: 
Devemos examinar cada quadrado, calcular o 
produto escalar e somar algebricamente. 
 Podemos ter fluxos positivos, negativos ou nulos. 
A definição exata do fluxo de campo elétrico através 
de uma superfície fechada é obtida fazendo a área 
dos quadrados tender a zero, tornando-se uma área 
infinitesimal dA. O somatório se torna uma integral. 
Fluxo de um campo elétrico 
O círculo no sinal de integração significa que a 
integração deve ser realizada para uma superfície 
fechada. 
 Lembre-se que o módulo de E é proporcional ao 
número de linhas de campo por unidade de área. 
Assim o produto escalar é proporcional ao 
número de linhas do campo elétrico que passam 
pela área 𝑑𝐴 . 
Exemplo 1 – fluxo de um campo uniforme através de 
uma superfície cilíndrica 
Exemplo 2 – fluxo de um campo elétrico não uniforme 
através de um cubo 
O fluxo através da face direita do cubo é dada por: 
Como a face direita é perpendicular ao eixo x, todos os pontos da face têm o 
mesmo valor de x (x = 3,0 m) e, portanto, já que as coordenadas y e z não estão 
envolvidas na integração, temos: 
Lei de Gauss – Derivação quantitativa 
A lei de Gauss é uma alternativa à lei de Coulomb. Embora seja completamente 
equivalente à lei de Coulomb a lei de Gauss fornece uma forma diferente de 
expressar a relação entre carga elétrica e campo elétrico. 
A lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico total através de qualquer 
superfície fechada é proporcional à carga elétrica total (líquida) existente 
no interior da superfície. 
Vamos iniciar com o campo elétrico 
de uma única carga puntiforme 
positiva q, onde as linhas de campo 
se irradiam para fora da carga 
igualmente em todas as direções. 
Colocamos essa carga no centro de uma 
superfície esférica imaginária de raio r. 
O módulo do campo elétrico E em qualquer 
ponto sobre a superfície é dado por: 
O vetor campo elétrico é perpendicular a cada ponto da superfície. 
Dessa forma, o fluxo elétrico é dado por: 
O fluxo é independente 
do raio da esfera! 
Carga puntiforme no interior de uma superfície não esférica. 
Essa técnica de projeção mostra como generalizar a discussão para superfícies 
com formas não-esféricas. 
O fluxo sobre o elemento da superfície esférica é 
igual ao fluxo elétrico sobre o 
elemento correspondente da superfície irregular. 
Podemos dividir a superfície irregular inteira em elementos dA, calcular o fluxo 
elétrico para cada elemento e somar os resultados fazendo a 
integral: 
Cada um dos elementos da área se projeta sobre um elemento 
correspondente da superfície esférica. Logo, o fluxo elétrico total através da 
superfície irregular, deve ser igual ao fluxo elétrico total sobre a superfície 
esférica: 
Essa equação vale para qualquer forma e tamanho da superfície, 
desde que esta seja fechada e contenha a carga q em seu interior. 
Se no interior de uma superfície não existe nenhuma carga, 
A relação anterior é uma afirmação 
matemática de que, quando em uma 
região não existe nenhuma carga, 
qualquer linha de campo produzida por 
uma carga puntiforme no exterior dessa 
região, que entre na superfície em um 
dado ponto, deve sair da superfície em 
outro ponto. 
Forma geral a lei de Gauss 
Suponha que no interior de uma superfície exista não apenas uma, mas 
diversas cargas. O campo elétrico total em qualquer ponto será a soma 
vetorial do campo elétrico oriundo de cada carga. Dessa forma: 
Lei de Gauss: o fluxo elétrico total através de qualquer 
superfície fechada é proporcional à carga elétrica total (líquida) 
existente no interior da superfície. 
Carga total envolvida pela gaussiana 
Determine o fluxo elétrico através 
das superfícies fechadas! 
Devido a definição da lei de Gauss, 
Podemos pensar em calcular as integrais, 
mas não será preciso! 
Exemplo 3 – relação entre carga total e fluxo total 
Um condutor carregado 
A lei de Gauss permite demostrar um teorema importante a respeito dos condutores: 
Se uma carga em excesso é introduzida em um condutor sólido em 
equilíbrio eletrostático, a carga se concentra na superfície do 
condutor; o interior do condutor continua ser neutro. 
Sabemos que quando existe equilíbrio eletrostático(no qual todas as cargas estão em repouso) o 
campo elétrico é igual a zero em qualquer 
ponto no interior do condutor. Caso E fosse 
diferente de zero, as cargas estariam em 
movimento. 
Desenhando a gaussiana no interior do condutor... 
 
Uma vez que sobre a superfície gaussiana 
A lei de Gauss exige que a carga total no 
interior da superfície seja igual a zero. 
Suponha que você faça o volume delimitado 
por essa superfície tender a zero, de modo que 
a superfície se reduza a um ponto P; então a 
carga nesse ponto deve ser igual a zero 
Podemos repetir esse raciocínio para todos os pontos do condutor. 
 
. 
Disso se conclui que não pode existir nenhum excesso de carga no 
interior de um condutor sólido em equilíbrio; qualquer excesso de 
carga deve ficar localizado sobre a superfície do condutor. 
Aplicando a lei de Gauss: simetria cilíndrica 
A figura mostra uma parte de uma barra de plástico cilíndrica de comprimento 
infinito com uma densidade linear uniforme de cargas positivas λ. 
Vamos obter uma expressão para o módulo do 
campo elétrico a uma distância r do eixo da barra. 
Para facilitar os cálculos, a superfície gaussiana 
escolhida deve ter a mesma simetria do 
problema, que no caso é cilíndrica. 
Escolhemos um cilindro circular de raio r e altura 
h, coaxial com a barra. Como a superfície 
gaussiana deve ser fechada, incluímos duas bases 
como parte da superfície. 
Imagine agora que, enquanto você não está 
olhando, alguém faça o seguinte: 
 gire a barra de plástico de um ângulo qualquer 
em torno do eixo 
 Mova por qualquer distância ao longo do eixo. 
 imprima à barra uma rotação de 180º em torno 
do centro. 
Nos três casos, você não notaria nenhuma mudança! 
O campo elétrico não pode ter nenhuma componente 
paralela ao fio ou nenhuma componente tangente a um 
círculo perpendicular ao fio com centro sobre o fio. 
Caso tivesse, precisaríamos explicar a possibilidade da existência simultânea de dois 
sentidos do campo elétrico (paralelo e em torno da circunferência). 
Resta somente a hipótese de uma componente que aponte 
radialmente para fora do dia em cada ponto. 
Assim, em todos os pontos da parte lateral da 
superfície gaussiana o campo elétrico deve ter o 
mesmo módulo. 
O campo E é o mesmo em todos os pontos da superfície lateral. 
A área da superfície lateral é dada por: 
Pela lei de Gauss: 
O sentido de E é para longe da barra (carga positiva) 
Dessa forma: 
Fornecendo: 
Através da densidade linear de carga teremos: 
Levando a: 
Aplicando a lei de Gauss: simetria planar 
A figura mostra uma parte de uma placa fina, infinita, não condutora, com uma 
densidade superficial de cargas positivas σ. 
Vamos calcular o campo elétrico a uma distância r 
da placa. 
Simetria planar significa que a distribuição de 
cargas não se distingue da original quando 
deslocamos o plano em qualquer direção paralela ao 
plano. 
Podemos concluir que 𝑬 dever ser 
perpendicular ao plano. 
Pela simetria, também concluímos que o módulo do 
campo deve sempre possuir o mesmo valor sobre pontos 
situados a uma mesma distância do plano. 
Utilizaremos uma superfície gaussiana 
cilíndrica, com um eixo perpendicular ao plano de 
cargas, cujas bases possuam área A. 
Vamos posicionar a superfície cilíndrica tal que suas 
extremidades estejam equidistantes do plano 
(plano no centro do cilindro). 
Como as linhas de campo são paralelas à 
superfície lateral do cilindro, teremos: 
Pela lei de Gauss: 
Dessa forma: 
A carga envolvida pela superfície gaussiana é dada 
em termos da distribuição superficial de carga: 
Logo: 
Nós obtivemos esse resultado quando calculamos o disco 
carregado e tomamos o limite de R∞. O processo foi 
muito mais trabalhoso do que usando a lei de Gauss. 
Esse resultado é válido 
para qualquer ponto que 
se encontre a uma 
distância finita da placa. 
Aplicando a lei de Gauss: simetria esférica 
Vamos agora utilizar a lei de Gauss para demostrar os dois teoremas importantes, 
conhecidos como teorema das cascas: 
Uma casca uniforme de cargas atrai ou repele uma partícula 
carregada situada do lado de fora da casca como se toda a carga da 
casca estivesse situada no centro. 
Se uma partícula carregada está situada no interior de uma casca 
uniforme de cargas a casca não exerce nenhuma força eletrostática 
sobre a partícula. 
A figura mostra uma casca esférica carregada de 
carga total q e raio R e duas superfícies 
gaussianas 𝑆1 e 𝑆2. 
Aplicando a lei de Gauss para a superfície 
gaussiana 𝑺𝟐. Teremos: 
Pela simetria do problema sabemos que o campo elétrico é perpendicular à superfície, 
orientado para fora (se a carga q for positiva) e que todos os pontos sobre a superfície 
possuem o mesmo módulo. . Neste caso: 
Dessa forma... 
 
Este campo é igual ao que seria criado por 
uma carga pontual q localizada no centro da 
casca. 
Assim, a força produzida por uma casca de carga q sobre uma partícula carregada 
localizada do lado de fora da casca é igual à força produzida por uma partícula pontual 
de carga q situada no centro da casca. 
Uma casca uniforme de cargas atrai ou repele uma partícula 
carregada situada do lado de fora da casca como se toda a carga da 
casca estivesse situada no centro. 
Fica assim demostrado o primeiro teorema. 
Aplicando a lei de Gauss para a superfície 1, 
para a qual r< R, teremos: 
Visto que a gaussiana não envolve nenhuma carga. 
Fica assim demostrado o segundo teorema. 
Dessa forma: 
Assim, se existe uma partícula carregada no interior da casca, a casca não exerce 
nenhuma força sobre a parícula. 
Se uma partícula carregada está situada no interior de uma casca 
uniforme de cargas a casca não exerce nenhuma força eletrostática 
sobre a partícula.