Integral Indefinida

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Tópico 1. Integral indefinida 
 
1.1 PRIMITIVA OU ANTIDERIVADA 
 
 Uma função F é chamada de primitiva ou antiderivada de uma função f em um intervalo I 
se F ’(x) = f (x), 
x
I. 
 
Exemplo:Seja a função f (x) = 2x. Quais são suas primitivas? 














...............)(
...............)(
...............)(
...............)(
4
3
2
1
xF
xF
xF
xF
 
 Observe que todas as funções acima têm derivada igual a 2x. Assim, todas elas são 
primitivas da função f(x) = 2x. 
 Note que as primitivas diferem apenas por uma constante. 
 Podemos representá-las,de um modo mais geral, por F(x) = x2 + C, onde c
IR
. 
 
1.2 INTEGRAL INDEFINIDA DE UMA FUNÇÃO 
 
Chamamos de integral indefinida de uma função fo conjunto de todas as suas primitivas. 
 
Exemplo: 
 dxx2
 
Observe nesse exemplo que: 
 o “s alongado” que aparece no lado esquerdo é o sinal de integração; 
 a função 2x é o integrando; 
 o símbolo dx serve para identificar a variável independente (como na diferenciação); 
 C é a constante de integração. 
Podemos dizer que a palavra indefinida enfatiza que o processo de integração não produz 
uma única função, mas sim um conjunto de funções. 
 
 
 
 
 
PUCRS- Faculdade de Matemática 
Cálculo Diferencial e Integral II 
 
 
 
2 
1.3 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL INDEFINIDA 
 
Seja f(x) uma função contínua e F(x) + C sua primitiva geral (ou integral). F(x) + C representa 
uma família de funções, pois para cada valor real de C teremos uma função diferente. 
 
A integral indefinida corresponde geometricamente a um conjunto de curvas com a propriedade 
de, em pontos de mesma abscissa, possuírem tangentes geométricas paralelas entre si 
(possuírem a mesma declividade). 
 
Exemplo.Na figura podemos ver algumas primitivas de f(x) = 2x. 
 
 
1.4 FÓRMULAS DE INTEGRAÇÃO E PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS 
 
Como a integração é o processo inverso da diferenciação, muitas das fórmulas de 
integração podem ser obtidas diretamente das fórmulas de diferenciação. 
Podemos demonstrar que: 
 
(a) uma constante pode se mover através do sinal de integração; 
  dxxfcdxxfc )()(
, 
IRc
 
 
(b) a integral da soma é a soma das integrais; 
   dxxgdxxfdxxgxf )()())()((
 
 
(c) a integral da diferença é a diferença das integrais; 
   dxxgdxxfdxxgxf )()())()((
 
 
 
 
 
3 
EXEMPLOS: 
1) Calcule as seguintes integrais 
a)
 dxx
56
= 
 
b) 
 dxx
23
= 
 
c) 
 dxx
2
= 
 
d)
 dxx
3
= 
 
 
Podemos generalizar... 
 
 dxx
p
 se 
1p
 
 
 
Note que, se p = -1 temos 
 
 
 dx
x
dxx
11
 
 
 
2) Calcule as seguintes integrais: 
a)
 dxx 4
1
= b)
 dtt
4
= 
 
 
 
 
 
 
c)
   dppp 172
3
= d) 
 

dx
x
xx
4
42 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
ATIVIDADES: 
1) Calcule as seguintes integrais. 
a) 
 dxx5
1
 b) 
 dxx
3
 
 
 
 
 
 
c) 
  dxx )52(
 d) 
  dx)1x6x3x4(
23
 
 
 
 
 
 
e) 
 





 dx
xxx
132
23
 f) 
  dx)x23(x
2
 
 
 
 
 
 
g) 


dy
y
1y2y
2
24 h)


dx
x
1x
2
3 
 
 
 
 
 
 
2) Usando as regras de derivação, complete a tabela de integrais 
 
Regra de derivação Regra de integração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
RESPOSTAS DAS ATIVIDADES: 
 
1) 
a)
C
x

44
1
 b) 
C
x


4
3 3 4 
 
c) 
Cxx  52
 d) x
4 
– x
3 
+ 3x
2 
– x + C 
 
e) 
Cx
xx
 ln
31
2
 f)
C
x
x 
2
4
3
 
 
g) 
C
y
y
y

1
2
3
3 h) 
C
x
x

1
2
2 
 
 
2) 
 
 
Regra de derivação Regra de integração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
1.5 APLICAÇÕES DA INTEGRAL INDEFINIDA 
 
Suponhamos que y=
)(xf
seja uma função conhecida e que queiramos encontrar umafunção 
F(x), tal que y=
)(xF
satisfaça a equação
)(xf
dx
dy

. 
A equação acima é uma equação diferencial, pois envolve a derivada de uma 
funçãodesconhecida. Sabemos que as soluções dessa equação são as antiderivadas de 
)(xf
: 
dxxfy  )(
 
É comum em equações diferenciais denotar uma solução de 
)(xf
dx
dy

como y(x) em vez de 
)(xF
, como acima. Neste caso, o problema de encontrar uma função cuja derivada é 
)(xf
e 
passa pelo ponto (x0, y0), é escrito na forma







0)(
)(
yxy
xf
dx
dy
o
e é denominado problema de valor 
inicial. 
 
EXEMPLOS: 
1) Resolva o problema de valor inicial: 








0)1(
1
y
x
x
dx
dy
 
 
 
 
2) Suponha que um ponto movimenta-se ao longo de uma curva desconhecida y = f(x) no plano 
xy, de tal forma que, em cada ponto (x,y) da curva, a reta tangente tem inclinação 2x. Ache a 
equação da curva sabendo-se que ela passa por (1, 6). 
 
 
 
 
3) Uma partícula move-se em linha reta, de tal modo que a velocidade (em função de t) é dada 
por
1015)( 2  ttv
(em cm/s). Encontre s(t), a equação horária de posição dessa partícula 
após t segundos, sabendo que s(0) = 25. 
 
 
 
 
7 
 
ATIVIDADES: 
1) Resolva os problemas de valor inicial: 
a) 







3
4
 = y(1)
22x
dx
dy
 
 
 
 
b) 






1= y(0)
cos x
dx
dy
 
 
 
 
2) Sabendo que o ponto (2, 5) pertence a uma curva de equação y = f(x) e que a declividade da 
reta tangente em cada ponto da mesma é dada por 2 x −3 , encontre a equação da curva. 
 
 
 
 
 
3) Uma partícula move-se de acordo com os dados que se seguem. Sendo s(t) a posição, v(t) a 
velocidade e a(t) a aceleração da partícula no instante t, encontre a posição da partícula. 
a) v(t) = sent – cost, s(0) = 0 
 
 
 
b) a(t) = t – 2, s(0) = 1, v(0) = 3 
 
 
 
 
RESPOSTAS DAS ATIVIDADES: 
1) a) y = 
32
3
3
 x
x
 b) y = sen x + 1 
 
2) y = x
2
 – 3x + 7 
 
 
8 
3)a) s(t) = 1 – cos t – sen t b) s(t) = t
3
/6 – t
2
 + 3t + 1 
1.6 DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
Diferenciais: 
Sejam y = f(x) uma função derivável e 
x
um acréscimo de x. 
Definimos: 
i) a diferencial da variável independente x, denotada por dx, como 
xdx 
; 
ii) a diferencial da variável dependente y, denotada por 
dxxfdy  )('
. 
De acordo com a definição anterior, podemos escrever 
dxxfdy  )('
 ou 
)(' xf
dx
dy

. 
Significado geométrico de diferencial na figura abaixo: 
 
 
)(' xf
 é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em x; 
 as diferenciais
dy
 e 
dx
representam, respectivamente, a elevação e o avanço dessa reta 
tangente. 
 
EXEMPLOS: 
1) Seja f(x) = x
2
. Ache 
dy
 em x = 1 com 
2 dxx
. 
 
2) Determine a diferencial 
du
 das seguintes funções: 
a) u = x
3
 
 
b) u = 8x – 4 
 
9 
 
c) u = sen x 
Integração por substituição (ou mudança de variável): 
Pergunta: como calcular a integral 
  dxxx 2)1(
502
? 
 
 
 
 
 
Etapas da mudança de variáveis: 
1º passo: faça uma escolha parau, digamos u = f(x) e calcule sua diferencial du. 
2º passo: faça a substituição u = f(x) e du = f’(x).dx 
Nesse ponto, toda integral deve estar em termos de u; nenhum x deve continuar. Se isso não 
acontecer, deve-se tentar uma nova escolha para u. 
3º passo: calcule a integral resultante, se possível. 
4º passo: substitua u por f(x); assim, a resposta final estará em termos de x. 
 
EXEMPLO: calcule as integrais indefinidas. 
a)
  dxxx
2103 3)3(
 = b) 
 
dx
x
x
1
2
2
= 
 
 
 
 
 
 
c)
  dxex
x2
 = d) 
 

dx
x
x
241
3
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 dxx)2(cos
= f)

 dxe x 13
 
 
 
 
10 
 
 
Tabela básica de Primitivas 
Considerando u = g(x)e du =g’(x) dx = u’dx, temos: 
 
Substituições menos evidentes: 
EXEMPLO: calcule as integrais indefinidas. 
(a)
  dxxx 1
2
 
 
 
 
 
 
 
(b)
 dxx
3cos
 
 
 
 
 
 
 
(c)
 
 22 xa
dx
 
 
 
 
 
 
 
11 
Observação: o método usado no exemplo (c) acima leva as generalizações das fórmulas 10, 11 
e 12 da nossa tabela básica de primitivas. 
ATIVIDADES: 
1)Usando o método da substituição, calcule as seguintes integrais: 
a) 
  dxxx 13
2
 b) 
  dxxsenx
434
 
 
 
 
 
 
 
d) 
   dxxx 5
1
32 41
 d)
  dxxxsen
3cos
 
 
 
 
 
 
 
e) 



dx
xx
x
2341
)23(
 f) 

 dxe x 25
 
 
 
 
 
 
 
g) 
 dxex
x326
 h) 
 dxx
xln
 
 
 
 
 
 
 
i)


dx
x
xtgx )(ln)sec(ln
 j) 
     dxxxsen 3cos)3(1
2
 
 
 
 
12 
 
 
2) Resolva as seguintes integrais (usando substituições menos evidentes): 
a)
dxxx  2
 b)
 
dx
x
x
10)3(
 
 
 
 
c)



4916 x
dxx
 d)
  2425 x
dx
 
 
 
 
e) 
   dsen 2
3
 
 
 
 
RESPOSTAS DAS ATIVIDADES: 
1)a) 
  Cx  2
3
2 13
9
1
 b) – cos (x
4
) + C 
c) 
  Cx  5
6
341
72
5
 d) 
C
x

4
cos 4
 
e)
Cxx  2341
 f) 
C
e x


5
25 
g) 
Ce x 
3
2
 h)  
C
x

2
ln
2 
i) sec (ln x) + C j) 
C
xsenxsen

9
)3(
3
)3( 3
 
 
2) a)
C
xx




3
)2(4
5
)2(2 35 b) 
C
xx



 98 )3(3
1
)3(8
1
 
c)
C
x
senarc 





4
3
6
1 2
 d) 
C
x
tgarc 





5
2
10
1
 
e)
C
6
)2(cos
2
)2(cos 3 