Calculo diferencial e integral II

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CÁLCULO DIFERENCIAL 
E INTEGRAL II
LUIZ GONZAGA ALVES DA CUNHA 
EDUCAÇÃO A 
DISTÂNCIAFACULDADE ÚNICA
1
CÁLCULO DIFERENCIAL
 E INTEGRAL II
LUIZ GONZAGA ALVES DA CUNHA 
1
© 2021, Faculdade Única.
 
Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autoriza-
ção escrita do Editor.
FACULDADE ÚNICA EDITORIAL
 Diretor Geral:Valdir Henrique Valério
 Diretor Executivo:William José Ferreira
 Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Cristiane Lelis dos Santos
Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Gilvânia Barcelos Dias Teixeira
 Revisão Gramatical e Ortográfica: Izabel Cristina da Costa
 
 Revisão/Diagramação/Estruturação: Bruna Luíza mendes Leite 
 Carla Jordânia G. de Souza
 Guilherme Prado 
 
 Design: Aline De Paiva Alves
 Bárbara Carla Amorim O. Silva 
 Élen Cristina Teixeira Oliveira 
 Taisser Gustavo Soares Duarte
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NEaD – Núcleo de Educação a Distância FACULDADE ÚNICA 
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Tel (31) 2109 -2300 – 0800 724 2300
www.faculdadeunica.com.br
2
CÁLCULO DIFERENCIAL
 E INTEGRAL II
1° edição
Ipatinga, MG
Faculdade Única
2021
3
4
LEGENDA DE
Ícones
São os conceitos, definições ou afirmações importantes 
aos quais você precisa ficar atento.
Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão do 
conteúdo aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar ícones 
ao lado dos textos. Eles são para chamar a sua atenção para determinado 
trecho do conteúdo, cada um com uma função específica, mostradas a 
seguir:
São opções de links de vídeos, artigos, sites ou livros da biblioteca 
virtual, relacionados ao conteúdo apresentado no livro.
Espaço para reflexão sobre questões citadas em cada unidade, 
associando-os a suas ações.
Atividades de multipla escolha para ajudar na fixação dos 
conteúdos abordados no livro.
Apresentação dos significados de um determinado termo ou 
palavras mostradas no decorrer do livro.
 
 
 
FIQUE ATENTO
BUSQUE POR MAIS
VAMOS PENSAR?
FIXANDO O CONTEÚDO
GLOSSÁRIO
5
SUMÁRIO UNIDADE 1
UNIDADE 2
UNIDADE 3
1.1 Motivação ...........................................................................................................................................................................................9
1.2 A ideia das soma finitas .........................................................................................................................................................9
1.3 Integral definida .........................................................................................................................................................................13
1.4 Propriedades operatórias da integral definida .....................................................................................................15
1.5 Resumo das propriedades operatórias de integral definida ....................................................................16
FIXANDO O CONTEÚDO ..............................................................................................................................................................17
2.1 Teorema fundamental do cálculo .................................................................................................................................21
 2.1.1 Teorema do Valor Médio (TVM) ..........................................................................................................................................21
 2.1.2 Teorema Fundamental .........................................................................................................................................................22
2.2 Antiderivada ................................................................................................................................................................................23
2.3 A integral indefinida ..............................................................................................................................................................24
2.4 Propriedades da Integral Indefinida ..........................................................................................................................26
2.5 Integrais Trigonométricas ..................................................................................................................................................27
FIXANDO O CONTEÚDO .............................................................................................................................................................32
3.1 Cálculo da primitiva pela regra da subtituição de variáveis .......................................................................35
3.2 Regra da substituição para calcular Integrais Definidas ............................................................................36
3.3 Regra da substituição para calcular áreas entre curvas ..............................................................................37
FIXANDO O CONTEÚDO .............................................................................................................................................................39
INTEGRAÇÃO E INTEGRAL DEFINIDA 
CÁLCULO DAS INTEGRAIS DEFINIDAS E INDEFINIDAS 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS 
UNIDADE 4
4.1 Cálculo da primmitiva pela regra da integração por partes ......................................................................42
4.2 Cálculo da integral definida pela regra da integração por partes ........................................................44
FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................................................................................45
INTEGRAÇÃO POR PARTES 
UNIDADE 5 
5.1 Decomposição em frações parciais ...................................................... .....................................................................48
5.2 Resolução de integrais por decomposições em frações parciais ...........................................................51
FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................................................................................54
INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS 
UNIDADE 6
6.1 integrais encolvendo as expressões ..........................................................................57
FIXANDO O CONTEÚDO ..............................................................................................................................................................61
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................................................64
REFERÊNCIAS ...................................................................................................................................................................................65
ANEXOS .................................................................................................................................................................................................66
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
𝒂𝟐 − 𝒙𝟐� , 𝒂𝟐 + 𝒙𝟐� , 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐�
6
UNIDADE 1
Na unidade 1 veremos uma introdução de integrais onde será realizado estimativas 
por meio de somas finitas e utilização de notações que irão designar somas de 
grandes quantidades de termos. 
UNIDADE 2
Na unidade 2 será apresentada um poderoso método para o cálculo de integrais 
definidas de uma função encontramos a primitivadessa função. Será introduzido 
uma notação com a finalidade de tornar mais acessível sua aplicação nas mais 
diversas áreas profissionais. 
UNIDADE 3
Na unidade 3 veremos o método de integração que permite a reversão da derivada 
por meio da regra da cadeia. Será aplicado uma técnica de trocas de variáveis que 
permitirá a substituição da função original por outra facilitando sua resolução.
UNIDADE 4
Na unidade 4 veremos o método de integração que permite a reversão da derivada por 
meio da regra do produto. Será aplicado uma técnica em que a integral original será 
fracionada com o objetivo de encontrar seu resultado de forma parcial encontrando 
uma integral mais simples resolvê-la.
UNIDADE 5
Na unidade 5 veremos a técnica que permitirá calcular os resultados de integrais 
cujos integrandos são funções racionais. Tal técnica utilizará métodos da matemática 
fundamental tais como fatoração e soma de frações algébricas.
UNIDADE 6
Na unidade 6 veremos a técnica que permitirá calcular os resultados de integrais 
cujos integrandos são funções trigonométricas. Tal técnica utilizará métodos da 
matemática fundamental por meio identidades trigonométricas e conhecimento de 
trigonometria no triângulo retângulo.
C
O
N
FI
R
A
 N
O
 L
IV
R
O
7
“A questão primordial não é o que sabemos, mas como sabemos.”
Aristóteles
APRESENTAÇÃO
 A criação deste livro levou em consideração a ideia de Aristóteles apresentada acima. 
O maior objetivo é levar ao estudante os conhecimentos de Cálculo Diferencial e Integral 
de forma que tenham aplicabilidades no cotidiano e torne a aprendizagem significativa e 
efetiva. 
 Buscou-se explorar fundamentos matemáticos de forma intuitiva deixando de lado 
o formalismo sem esquecer, no entanto, o rigor inerente a esta disciplina. Espera-se com 
esta obra, contribuir para a formação acadêmica do estudante tornando-o autônomo no 
seu processo de aprendizagem e consolidando, dessa forma, sua formação. 
 Para que você possa ter um melhor aproveitamento deste material, segue abaixo 
uma tabela com os ícones que aparecerão ao longo do texto. Tais ícones (com suas respec-
tivas funções) chamarão sua atenção para determinado tópico do conteúdo e indicarão 
uma ação que deverá ser executada.
8
INTEGRAÇÃO E INTEGRAL DEFINIDA UNIDADE
01
9
1.1 MOTIVAÇÃO 
 A determinação de fórmulas para o cálculo de áreas e volumes de figuras planas e 
espaciais foi, sem dúvida, um grande marco da geometria. Aqui nesta unidade de apren-
dizagem abordaremos uma metodologia para o cálculo dessas áreas e volumes em situa-
ções geométricas bem mais gerais. Tal metodologia se trata da integração numérica que, 
além das obtenções de áreas e volumes, diversas aplicações nas mais variadas áreas do 
conhecimento tais como: estatística, economia, ciências e engenharia. 
 A dinâmica aqui utilizada consiste em efetuar cálculos para a obtenção de quanti-
dades fracionando-as em quantidades menores efetuando, em seguida, a adição de cada 
valor obtido nos cálculos de cada fragmento. Dessa forma, podemos utilizar o conceito de 
integral para solucionar problemas que envolvem comprimento de curvas, predições po-
pulacionais, excedentes de consumo e muitos outros.
1.2 A IDEIA DAS SOMA FINITAS
 Nesta seção, apresentaremos o cálculo de áreas, valores médios, distância percorrida 
por meio da soma finita que é o fundamento para a definição de integral. 
 Vamos iniciar nosso estudo, abordando a problematização da área. Suponhamos 
que desejamos encontrar a área da região R sob a curva de uma determinada função y = 
f(x) no intervalo iniciando em a e terminando em b, conforme a figura abaixo:
 Em outras palavras, queremos obter o valor da área compreendida entre o gráfico 
gerado pela função e o eixo das abscissas (eixo x) e pelas retas verticais x = a e x = b.
 Se pensarmos que a curva gerada pela função é formada por linhas retas, nossa ta-
refa será, sem dúvida nenhuma, simplificada uma vez que, se a região R for um retângulo, 
basta calculas o produto entre sua base e sua altura e, fosse um triângulo, poderíamos re-
correr à metade do produto entre a sua base e sua altura. Veja na figura abaixo:
10
 Por outro lado, caso tenhamos uma figura poligonal, um hexágono por exemplo, 
teremos que fragmentá-los em quatro triângulos, calcular as áreas de cada um dos triân-
gulos encontrados para, em seguida, somar os resultados obtidos. Veja na figura abaixo:
 O maior problema que podemos encontrar são as áreas de figuras que possuem la-
dos não lineares, ou seja, curvos. Com certeza podemos calcular tal área de forma intuitiva 
ou aproximada, porém, as vezes temos a necessidade de obter a sua área de forma mais 
precisa. Então, para obtermos a área exata de uma região curva, devemos fragmentá-la 
em vários retângulos, calcular as áreas de cada retângulo e, em seguida, somar os resulta-
dos obtidos. 
 Veja este procedimento de forma mais detalhada nas figuras a seguir:
 Para podermos calcular a área R entre a curva da função e o eixo das abscissas (eixo 
x), primeiramente devemos observar os limites em que a região está compreendida que, 
no caso considerado, está entre 0 e 1. Após levantar os limites em que a região está defi-
nida, devemos fragmentá-la em quatro retângulos A1, A2, A3 e A4 por meio de cinco retas 
verticais a saber: x = 0,x = ¼,x = ½,x = ¾ e x = 1.
 Dessa forma, podemos aproximar cada repartição criada por meio de um retângulo 
com bases iguais à distância compreendida entre as retas verticais, ou seja, ¼ e altura igual 
ao lado esquerdo de cada retângulo formado, ou seja, as alturas desses retângulos serão os 
valores de f(x) nas extremidades esquerdas dos intervalos [0,1/4],[1/4,1/2],[1/2,3/4] e [3/4,1].
 Efetuando os cálculos considerando teremos:𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥
11
 Este método de fragmentação da região R pode ser repetido para qualquer quanti-
dade de retângulos que desejarmos.
É razoável pensar que, quanto mais subdivisões utilizarmos, melhor será a aproximação do 
resultado em relação à área real. 
FIQUE ATENTO
 Uma vez constatado que podemos utilizar retângulos para calcular áreas aproxima-
das, vamos utilizar esta mesma ideia para calcular as áreas das mais diversas regiões obti-
das pelas mais variadas funções. Veja na figura abaixo.
12
 Temos que a largura do intervalo [a,b] é b – a e, dessa forma, a altura de cada um dos 
trapézios será dada por:
 Logo a área da região sob a curva se dará por:
O que irá acontecer com nossos cálculos se resolvermos fazer o número de subdivisões tender 
a infinito?
VAMOS PENSAR?
Exemplo:
 Suponha que queiramos estimar a distância percorrida por um carro durante um in-
tervalo de tempo de 30 segundos. A cada 5 segundos registramos a leitura do velocímetro 
na seguinte tabela:
 Convertendo a velocidade em m/s temos:
 Temos a seguinte situação gráfica para este problema:
 Podemos efetuar os cálculos por aproximação da área sob a curva utilizando 6 (seis) 
retângulos aproximantes e, utilizando como altura, o extremo esquerdo de cada um deles.
 Assim temos:
13
1.3 INTEGRAL DEFINIDA
 Na seção anterior mostramos que a área sob a curva de uma função é dada por:
 Dessa forma, podemos definir a integral definida da seguinte forma:
 Se f(x) é uma função contínua definida em [a,b], dividimos este 
intervalo em “n” subintervalos de comprimentos iguais a ∆x=(b-a)/n.
Sejam x0 (=a),x1,x2,… , (=b) as extremidades desses subintervalos.
Então a integral definida de f(x) de a até b é:
Desde que este limite exista e dê o mesmo valor para todas as possí-
veis escolhas de pontos. Se ele existir, dizemos que f é integrável em 
[a,b].
 𝑥𝑛
OBSERVAÇÕES:
1. O Símbolo de ∫ é denominado sinal de integração onde na notação é cha-
mado de integrando, “a” e “b” são os limites de integração e o dx indica que a variável 
dependente é x. O procedimento de calcular a integral é chamado integração.
2. A integral definida é um número e x é apenas uma letra que representa a vari-
ável. Podemosalterá-la para qualquer outra letra que o valor da integral não altera.
3. A soma (denominada soma de Riemann) se aproxima do valor da integral por 
aproximações sucessivas dependendo apenas de quanto queremos que seja essa apro-
ximação.
4. Quando f(x) assume valores positivos e negativos, podemos dizer que a soma de Rie-
mann é o resultado da adição das áreas dos retângulos situados acima do eixo x e do 
oposto das áreas dos retângulos situados abaixo do eixo x.
∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎 , 𝑓(𝑥)
� 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
�𝑓(𝑥)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
14
EXEMPLO:
a. Calcule a soma de Riemann para f(x)=x3-6x tomando como pontos amostrais as extre-
midades direitas e a = 0, b = 3 e n = 6.
b. Calcule 
a) Com n=6,o comprimentos dos intervalos é 
 e as extremidades direitas serão:
x1=0,5, x2=1,0,x3=1,5,x4=2,0,x5=2,5,x6=3,0
 
 Assim,a soma de Riemann será:
� 𝑥3 − 6𝑥 𝑑𝑥
3
0
∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛 =
3 − 0
6 =
1
2
𝑅6 = �𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥
6
𝑖=1
= 𝑓 0.5 ∆𝑥 + 𝑓 1,0 ∆𝑥 + 𝑓 1.5 ∆𝑥 + 𝑓 2,0 ∆𝑥 + 𝑓 2.5 ∆𝑥 + 𝑓 3,0 ∆𝑥
=
1
2 −2,875 − 5 − 5,625 − 4 + 0,625 + 9 = −3,9375 
A função f(x), por não ser uma função positiva, indica que o 
resultado encontrado (-3,9375) não representa uma soma 
de áreas de retângulos e sim, a soma algébrica das áreas 
dos retângulos acima do eixo e dos retângulos abaixo do 
eixo x.
FIQUE ATENTO
 b) Com n subintervalos,temos
∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛 =
3
𝑛
 Dessa forma teremos, 
𝑥0 = 0, 𝑥1=
3
𝑛 , 𝑥2=
6
𝑛 , 𝑥3=
9
𝑛 𝑒, 𝑒𝑚 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 , 𝑥𝑖 =
3𝑖
𝑛
 Logo,utilizando as extremidades direitas temos: 
� 𝑥3 − 6𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
�𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
�𝑓
3𝑖
𝑛
3
𝑛
𝑛
𝑖=1
3
0
= lim
𝑛→∞
3
𝑛
�
3𝑖
𝑛
3
− 6
3𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
3
𝑛
�
27𝑖3
𝑛3
−
18𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
81
𝑛4
�𝑖3 −
54
𝑛2
�𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
81
𝑛4
𝑛 𝑛 + 1
2
2
−
54
𝑛2
𝑛(𝑛 + 1)
2
= lim
𝑛→∞
81
4
1 +
1
𝑛
2
− 27 1 +
1
𝑛
=
81
4
− 27 = −
27
4
= −6,75
15
� 𝑥3 − 6𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
�𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
�𝑓
3𝑖
𝑛
3
𝑛
𝑛
𝑖=1
3
0
= lim
𝑛→∞
3
𝑛
�
3𝑖
𝑛
3
− 6
3𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
3
𝑛
�
27𝑖3
𝑛3
−
18𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
81
𝑛4
�𝑖3 −
54
𝑛2
�𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
81
𝑛4
𝑛 𝑛 + 1
2
2
−
54
𝑛2
𝑛(𝑛 + 1)
2
= lim
𝑛→∞
81
4
1 +
1
𝑛
2
− 27 1 +
1
𝑛
=
81
4
− 27 = −
27
4
= −6,75
A integral acima não pode ser considerada como uma área 
devido ao fato de f(x) assumir valores positivos e negativos e, 
assim, essa integral é a soma algébrica das áreas A1 e A2 con-
forme indicado na figura:
FIQUE ATENTO
Se em vez de utilizarmos pontos médios em vez de extremos (esquerdos ou direitos) para o 
cálculo das somas das áreas dos retângulos, como podemos julgar o resultado encontrado?
VAMOS PENSAR?
1.4 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DA INTEGRAL DEFINIDA
 Uma vez utilizado a soma de Riemann para o cálculo de uma integral definida, po-
demos agora, apresentar algumas propriedades operatórias que tonarão os cálculos das 
integrais definidas mais ágeis.
• Inversão dos limites de integração: 
• Limites inferior e superior iguais:
• Propriedades da integral:
16
• Integrais definidas em intervalos adjacentes:
1.5 RESUMO DAS PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DA INTEGRAL 
DEFINIDA
Para se inteirar mais sobre os assuntos abordados nesta unidade sugerimos o livro 
“Cálculo, VOL. I, 2018” de Jon Rogawski e Colin Adams. 
Disponível no link: https://bit.ly/3gnjUjB
BUSQUE POR MAIS
17
1. Lendo os valores do gráfico dado da função f(x), utilize o extremo esquerdo de quatro 
retângulos para encontrar as estimativas para a área sob o gráfico dado da função de x = 
0 até x = 8.
 
Fazendo o que se pede, podemos afirmar que a área encontrada será:
a) ( ) 30
b) ( ) 31
c) ( ) 32
d) ( ) 33
e) ( ) 34
2. Lendo os valores do gráfico dado da função f(x), utilize o extremo direito de quatro 
retângulos para encontrar as estimativas para a área sob o gráfico dado da função de x = 
0 até x = 8.
 
Fazendo o que se pede, podemos afirmar que a área encontrada será:
a) ( ) 38
b) ( ) 39
c) ( ) 40
d) ( ) 41
e) ( ) 42
3. A velocidade de um corredor aumenta regularmente durante os três primeiros segundos 
de uma corrida. Sua velocidade em intervalos de meio segundo é dada em uma tabela:
 
Utilizando os extremos esquerdos de cada intervalo podemos dizer que a distância 
percorrida pelo atleta é:
a) ( ) 10,55
b) ( ) 11,55
c) ( ) 12,55
FIXANDO O CONTEÚDO
18
d) ( ) 13,55
e) ( ) 14,55
4. A velocidade de um corredor aumenta regularmente durante os três primeiros segundos 
de uma corrida. Sua velocidade em intervalos de meio segundo é dada em uma tabela:
 
Utilizando os extremos direitos de cada intervalo podemos dizer que a distância percorrida 
pelo atleta é:
a) ( ) 10,65
b) ( ) 11,65
c) ( ) 12,65
d) ( ) 13,65
e) ( ) 14,65
5. Utilizando a forma da definição para calcular a integral encontramos como 
resultado:
a) ( )39
b) ( ) 40
c) ( )41
d) ( ) 42
e) ( ) 43
6. Utilizando a forma da definição para calcular a integral encontramos como 
resultado:
a) ( ) 1/3
b) ( )2/3
c) ( ) 1
d) ( ) 4/3
e) ( ) 5/3
7. Utilizando a forma da definição para calcular a integral encontramos como 
resultado:
a) ( ) – 3/4
b) ( ) – 2/3
c) ( ) 3/4
d) ( ) 2/3
e) ( ) 5/4
8. Calculando a integral em termos de áreas obtemos como resultado: 
� 1 + 3𝑥 𝑑𝑥
5
−1
� 𝑥2 + 𝑥 𝑑𝑥
0
−2
� 𝑥3 + 3𝑥2 𝑑𝑥
1
0
� 1− 𝑥 𝑑𝑥
2
−1
19
a)( )2/3
b) ( ) 2/5
c) ( ) 5/2
d) ( ) 3/2
e) ( ) 1
20
CÁLCULO DAS INTEGRAIS 
DEFINIDAS E INDEFINIDAS
UNIDADE
02
21
2.1 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
 A partir de agora, vamos apresentar o teorema mais relevante do cálculo que irá re-
lacionar a derivação já aprendida com a integração que o nosso assunto atual. Por meio 
desse teorema, poderemos calcular as integrais sem a necessidade de utilizar a soma de 
Riemann estudada na unidade anterior.
 Antes de iniciarmos nosso estudo do teorema fundamenta do cálculo, iremos tratar 
do teorema do valor médio que irá dar suporte ao nosso estudo.
2.1.1 Teorema do Valor Médio (TVM)
 Podemos definir o valor médio de uma função contínua em um intervalo [a,b] como 
sendo a integral definida dividida pelo comprimento do referido intervalo, ou seja, 
b – a. Assim, o teorema do valor médio nos garante que esse valor médio irá ocorrer pelo 
menos uma vez em [a,b].
 Observemos no gráfico abaixo, uma função f(x) contínua e positiva, definida em [a,b] 
na qual, um ponto nos remete a um retângulo de altura f(c) e base igual a b – a que 
possui área exatamente igual à região formada abaixo da curva de f(x) e entre os valores de 
a e b.
� 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
𝑐 ∈ [𝑎,𝑏]
 Assim, podemos descrever o teorema do valor médio da seguinte forma:
Teorema do Valor Médio para Integrais Definidas
Se f(x) é contínua em [a,b], então em um ponto teremos:𝑐 ∈ [𝑎,𝑏]
𝑓 𝑐 = 
1
𝑏 − 𝑎� 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Exemplo:
 Determine o valor médio de f(x) 4-x em [0,3] e em que ponto do domínio dado f(x) 
realmente assume esse valor.
𝑀 𝑓 =
1
𝑏 − 𝑎� 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
=
1
3− 0� 4 − 𝑥 𝑑𝑥 =
1
3
3
0
� 4 𝑑𝑥
3
0
−� 𝑥 𝑑𝑥
3
0
=
1
3 4 3 − 0 −
32
2 −
02
2
= 4 −
3
2 =
5
2
22
2.1.2 Teorema Fundamental
 Portanto, o valor médio de f(x) = 4 – x no intervalo [a,b] é 5/2.
 A função assumirá esse valor quando 4 – x = 5/2, ou seja, para x = 3,2 (que é o ponto c 
anunciado no teorema do valor médio).
 Podemos definir o teorema fundamental do cálculo em duas partes. Na primeira 
parte, definiremos da seguinte forma:
Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1)
Se f(x) é contínua em [a,b], então é contínua em [a,b] 
e derivável em (a,b) sendo sua derivada igual a f(x).
 𝐹 𝑥 = � 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
𝑎
𝐹 𝑥 = 
𝑑
𝑑𝑥� 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥
)
𝑥
𝑎
 Vejamos um exemplo:
 Use o teorema fundamental para determinar:a. 
b. 
c. 
d. 
 A segunda parte, será definida da seguinte forma:
𝒅
𝒅𝒙� 𝐜𝐨𝐬 𝒕 𝒅𝒕
𝒙
𝒂
 
𝑑
𝑑𝑥� cos 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
𝑎
= cos 𝑥
𝒅
𝒅𝒙�
1
1 + 𝒕2 𝒅𝒕
𝒙
𝒂
 
𝑑
𝑑𝑥 �
1
1 + 𝑡2 𝑑𝑡 =
1
1 + 𝑥2
𝑥
𝑎
𝒅
𝒅𝒙 𝒔𝒆 𝒚 = � 3𝒕 𝒔𝒆𝒏 𝒕 𝒅𝒕
5
𝒙
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥 � 3𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 =
𝑑
𝑑𝑥 −� 3𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
5
= −
𝑑
𝑑𝑥 � 3𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
5
= −3𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
5
𝑥
𝒅
𝒅𝒙 𝒔𝒆 𝒚 = � 𝒄𝒐𝒔 𝒕 𝒅𝒕
𝒙2
1
fazendo 𝑢 = 𝑥2 teremos: 𝑦 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡𝑢1
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑢 .
𝑑𝑢
𝑑𝑥 =
𝑑
𝑑𝑢 � 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡
𝑢
1
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥 = cos 𝑢 .
𝑑𝑢
𝑑𝑥 = cos 𝑥
2 . 2𝑥 = 2𝑥 co s(𝑥2) 
Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2)
Se f(x) é contínua em qualquer ponto de [a,b] e se F é qualquer primi-
tiva de f em [a,b], então:
� 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
23
Este teorema diz que devemos seguir os seguintes passos para resolver a integral definida de 
f em [a,b]:
• Encontrar a primitiva F de f.
 
• Calcular o valor de 
FIQUE ATENTO
 Vejamos um exemplo:
 
 Calcule as integrais abaixo:
a. 
b. 
� 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥|𝜋0 = 𝑠𝑒𝑛 𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 0 = 0 − 0 = 0 
𝝅
0
Os resultados encontrados nos exemplos representam área sob a curva da função?
VAMOS PENSAR?
2.2 ANTIDERIVADA
 Até aqui, nosso estudo sinalizou que o cálculo da integral definida pode representar 
áreas sob gráficos de funções com precisão. A partir de agora iremos apresentar alguns 
resultados fundamentais acerca do cálculo de integrais que também podem ser denomi-
nadas de antiderivação. Vamos então dar uma definição formal do que seria antiderivada.
ANTIDERIVADA
Dizemos que uma função F(x) é uma antiderivada de uma função f(x) 
em um dado intervalo se F´(x) = f(x) para cada x do intervalo.
 Exemplificando essa definição, consideremos como uma antiderivada de 
uma função f(x) no intervalo (-∞,+∞). Para cada valor desse intervalo teremos:
𝐹 𝑥 =
1
3𝑥
3
24
 Mas deve ser ressaltado que não é a única antiderivada de f(x). Se adicio-
narmos uma constante C qualquer à então a função , também é uma an-
tiderivada de f(x) no mesmo intervalo considerado. Assim:
𝐹 𝑥 =
1
3𝑥
3
1
3𝑥
3 𝐺 𝑥 =
1
3 𝑥
3 + 𝐶
Quais as vantagens da escrita?
• Armazenar, registrar o conhecimento e história da humanidade;
• Originar novas formas de expressão: a literária, publicitária, computacional 
etc.
• Comunicar com pessoas ou instituições distantes entre si.
https://pedagogiaaopedaletra.com/historia-da-escrita/
FIQUE ATENTO
De um modo geral, quando encontramos uma antiderivada de uma função, devemos ter em 
mente que existirá outras antiderivada dessa mesma função alteradas de uma constante 
qualquer.
FIQUE ATENTO
1
3 𝑥
3 , 
1
3 𝑥
3 + 2 , 
1
3 𝑥
3 − 5 , 
1
3 𝑥
3 + 2�
Existem antiderivadas de uma função f(x) que não podem ser obtidas adicionando-se cons-
tantes a uma antiderivada de F(x) conhecida?
VAMOS PENSAR?
 Uma vez conhecida a definição de antiderivada, podemos anunciar um teorema que 
generaliza o que foi estudado até agora.
TEOREMA:
Se F(x) for qualquer antiderivada de uma função f(x) em um dado in-
tervalo, então para qualquer constante C a função F(x) + C é também 
uma antiderivada de f(x) naquele intervalo. Além disso, cada antideri-
vada de f(x) no intervalo pode ser expressa na forma F(x) + C, escolhen-
do-se apropriadamente a constante C. 
2.3 A INTEGRAL INDEFINIDA
 Dentro da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, a metodologia utilizada para 
encontrar as antiderivadas de uma função é denominada integração numérica ou, sim-
plesmente, integração.
25
 Dessa forma, se então, integrando a função f(x), encontraremos uma an-
tiderivada na forma F(x) + C. Para formalizar essa ideia utilizaremos a notação de integral 
abaixo.
𝑑
𝑑𝑥 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑥 
�𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶
�
�
 A constante C é uma constante qualquer que irá diferenciar todas as antiderivadas 
encontradas da função f(x). Em resumo, podemos dizer que a integral de f(x) é igual a F(x) 
mais uma constante qualquer.
Os símbolos de diferencial dx (derivada) e da antiderivação (integral) são respectivamente 
FIQUE ATENTO
𝑑
𝑑𝑥 [ ] 𝑒 � 𝑑𝑥
�
�
 Quando precisamos encontrar a antiderivada de uma função f(x), o processo pode 
ser encarado como um trabalho de tentativa e erro, porém, existem algumas fórmulas ou 
procedimentos que nos auxiliam neste processo. 
 Primeiramente vamos tratar das fórmulas que nos auxiliam na obtenção de antide-
rivadas de algumas funções ou família de funções. Nas próximas unidades trataremos das 
técnicas que também ajudam a encontrar antiderivadas.
26
 Vamos exemplificar utilizando a fórmula de integração nº 2 da tabela, ou seja:
2.4 PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA
 É muito importante para nossos estudos, o conhecimento de algumas propriedades 
operatórias das integrais indefinidas. Tais propriedades seguem as regras do fator constan-
te da soma e da diferença de derivadas. Iremos apresentar essas propriedades por meio de 
um teorema.
TEOREMA:
Sejam F(x) e G(x) antiderivadas de f(x) e g(x), respectivamente, e C uma 
constante qualquer. 
Dessa forma:
• Uma constante pode ser movida através do sinal de integração
• Uma antiderivada de uma soma é a soma das antiderivadas
• Uma antiderivada de uma diferença é a diferença das antideriva-
das
 Em resumo, o que o teorema acima nos diz está representada pelas fórmulas abaixo:
Exemplos:
27
2.5 INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS
 Algumas vezes a resolução de integrais se tornam um pouco mais trabalhosas e, 
dessa forma, é necessário utilizar artifícios para simplificar nosso trabalho. Pensando nisso, 
iremos apresentar algumas fórmulas de redução que permitirá a resolução de integrais de 
funções trigonométricas.
• Integração de potências de seno e cosseno
Exemplos:
a) Tomando n = 2 teremos
 De forma alternativa, podemos utilizar identidades trigonométricas para a resolução 
das integrais acima. 
 Para isso devemos lembrar que: 
 e também que:
28
 que nos leva a
 
b) Tomando n = 3 teremos
c) Tomando n = 4 teremos
• Integração de produto de senos e cossenos
 Para as integrais do tipo devemos considerar os casos de “m” e “n” se-
rem pares ou ímpares e tomar como regra de resolução, as opções apresentadas na tabela 
abaixo.
�𝑠𝑒𝑛𝑚𝑥 cos𝑛 𝑥 𝑑𝑥
�
�
 
Exemplos:
 Encontre as primitivas das integrais abaixo:
a. b.�𝑠𝑒𝑛4𝑥 cos5 𝑥 𝑑𝑥
�
�
�𝑠𝑒𝑛4𝑥 cos4 𝑥 𝑑𝑥
�
�
Solução (a)
 Caso em que n = 5 é ímpar
29
Solução (b)
 Caso em que m = n = 4 são pares
Integrais do tipo:
podem ser resolvidas por meio das identidades abaixo:
FIQUE ATENTO
�𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑥 cos 𝑚𝑥 𝑑𝑥 , �𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑥 sen 𝑚𝑥 𝑑𝑥
�
�
 ,
�
�
 �𝑐𝑜𝑠 𝑚𝑥 cos 𝑚𝑥 𝑑𝑥
�
�
Exemplo:
 
• Integração de potência de tangente e de secante
 caso de n =1 teremos
30
 Ou seja, 
• Algumas integrais clássicas
 a) Para n = 2 teremos
 
 e
 
 b) Para n = 3 teremos
 
 
• Integração de produto de tangente e de secante
 Para as integrais do tipo devemos considerar os casos de “m” e “n” se-
rem pares ou ímpares e tomar como regra de resolução, as opções apresentadas na tabela 
abaixo:
�𝑡𝑔𝑥 sec𝑛 𝑥 𝑑𝑥
�
�
 
31
Exemplos:
 a) Caso em que n = 4 (par)
 
 b) Caso em que m = 3 (ímpar)
 
 Caso em que
Para aprofundar seus conhecimentos sobre integrais indefinidas assista a aula 
disponível no canal da UNIVESP (Universidade Virtual de São Paulo) no Youtube: 
Disponível no link: https://bit.ly/3hn6uWn 
BUSQUE POR MAIS
32
1. Por meio o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) pode-se calcular o valor de 
 . Dessa forma, o valor encontrado é:
a) ( ) 3
b) ( ) 4
c) ( ) 5
d) ( ) 6
e) ( ) 7
2. Por meio o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) pode-se calcular o valor de
 . Dessa forma, o valor encontradoé:
a) ( ) 7
b) ( ) 8
c) ( ) 9
d) ( ) 10
e) ( ) 11
3. Por meio o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) pode-se calcular o valor de 
 . Dessa forma, o valor encontrado é:
a) ( ) 1
b) ( ) 2
c) ( ) 3
d) ( ) 4
e) ( ) 5
4. Por meio o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) pode-se calcular o valor de
 . Dessa forma, o valor encontrado é:
 
a) ( ) 1/2
b) ( ) 1
c) ( ) 3/2
d) ( ) 2
e) ( ) 5/2
5. Calculando a antiderivada de encontraremos:
a) ( )
b) ( ) 
c) ( ) 
FIXANDO O CONTEÚDO
� 2𝑥 + 5 𝑑𝑥
0
−2
� 3𝑥 −
𝑥3
4 𝑑𝑥
4
0
� 𝑥2 + 𝑥� 𝑑𝑥
1
0
� 𝑥− 
6
5 𝑑𝑥
32
1
�𝑥8𝑑𝑥
�
�
 
𝑥9 + 𝑐
𝑥9
9 + 𝑐
𝑥8
8 + 𝑐
33
d) ( ) 
e) ( ) 
6. Calculando a antiderivada de encontraremos: 
 
a) ( ) 
b) ( )
 
c) ( ) 
d) ( ) 
e) ( ) 
7. Calculando a antiderivada de encontraremos: 
 
a) ( ) - cos x+sen x+c
b) ( ) cos x-sen x+c
c) ( ) - cos x-sen x+c
d) ( ) cos x+sen x+c
e) ( ) tgx+c
8. Calculando a antiderivada de encontraremos:
 
a) ( ) 
b) ( )
c) ( ) 
d) ( ) 
e) ( )
𝑥8 + 𝑐
𝑥7
7 + 𝑐
�5𝑥 𝑑𝑥
�
�
 
5𝑥2 + 𝑐
5𝑥2
3 + 𝑐
5𝑥2
2 + 𝑐
5𝑥3 + 𝑐
5𝑥3
3 + 𝑐
�𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos𝑥 𝑑𝑥
�
�
 
�
2
3𝑥5
 𝑑𝑥
�
�
 
1
𝑥4
−
1
𝑥4
1
6𝑥4
−
1
6𝑥4
2
3𝑥4
34
INTEGRAÇÃO POR SUBSTUIÇÃO 
DE VARIÁVEIS
UNIDADE
03
35
3.1 CÁLCULO DA PRIMITIVA PELA REGRA DA SUBSTITUIÇÃO
 DE VARIÁVEIS
 Agora iremos iniciar nossos estudos acerca de algumas técnicas de integração que 
nos ajudará a encontrar as antiderivadas (primitivas) de funções. Nesta unidade iremos 
detalhar a técnica de integração por substituição de variáveis. Podemos enunciar está 
técnica da seguinte forma:
A REGRA DA SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS
Se u=g(x) é uma função derivável cuja imagem é um intervalo I e f(x) 
é uma função contínua em I, então:
�𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = �𝑓 𝑢 𝑑𝑢
�
�
�
�
 Está regra deve ser utilizada da seguinte forma:
• Substitua para obter a integral
• Integre em relação à variável u.
• Troque u por g(x) no resultado
Exemplos:
a. 
 
b. 
c. 
 
 
 
 
 
 
𝑢 = 𝑔(𝑥) e 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 �𝑓 𝑢 𝑑𝑢
�
�
36
d. 
Em determinadas situações, podemos utilizar identidades trigonométricas para transforma 
integrais que não sabemos como calcular pelo método tradicional, tais como:
FIQUE ATENTO
Para efeito de cálculo de área entre curvas por meio de integrais, pontos de interseção abai-
xo do eixo x, devem ser descartados.
FIQUE ATENTO
3.2 REGRA DA SUBSTITUIÇÃO PARA CALCULAR INTEGRAIS
 DEFINIDAS
 Podemos utilizar a regra da substituição para o cálculo de integrais definidas. 
INTEGRAIS DEFINIDAS PELA REGRA DA SUBSTITUIÇÃO 
DE VARIÁVEIS
Se g’(x) é contínua em um intervalo [a,b] e
f(x) é uma função contínua na imagem de g, então
� 𝑓 𝑔 𝑥 .𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = � 𝑓 𝑢 𝑑𝑢
𝑔(𝑏)
𝑔(𝑎)
 
𝑏
𝑎
37
Exemplos:
a. 
 
b. 
c. 
 
 
 
 
3.3 REGRA DA SUBSTITUIÇÃO PARA CALCULAR ÁREAS ENTRE CURVAS
 Uma vez que podemos calcular integrais definidas pelo método da substituição de 
variáveis, por consequência podemos calcular também, áreas sob curvas ou entre duas 
curvas.
CÁLCULO DE ÁREAS ENTRE CURVAS
 PELA REGRA DA SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS
Se f(x) e g(x) são contínuas com f(x) ≥ g(x) ao longo do intervalo [a,b], 
então
a área da região entre as curvas y=f(x) e y=g(x) de a até b
é a integral de [f(x)-g(x)] desde a até b.
𝐴 = � 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 
𝑏
𝑎
38
Exemplos:
 Determine por meio de integral, a área compreendida entre a parábola y=2-x2 e a 
reta y=-x.
 Primeiramente,devemos encontrar os limites de integração e,para isso,calculamos: 
 
 Uma vez que y=-1 nos fornece um ponto de interseção entre as curvas, abaixo do eixo 
x,deveremos adotar os limites inferior e superior,respectivamente iguais a 0 e 2.
 Assim,
Para aprofundar seus conhecimentos sobre o que foi abordado nesta unidade as-
sista a aula do Prof. Paulo Pereira. 
Disponível no link: https://bit.ly/3hnC6uF
BUSQUE POR MAIS
39
1. Ao calcular a integral ∫sen 3x dx encontraremos a primitiva:
a) ( ) 
b) ( ) 
 
c) ( ) 
d) ( )
e) ( ) 
2. Ao calcular a integral encontraremos a primitiva:
a) ( ) 
b) ( ) 
c) ( ) 
d) ( ) 
e) ( ) 
3. Ao calcular a integral ∫28 (7x-2)³ dx dx encontraremos a primitiva:
a) ( ) (7x-2)-4+c
b) ( ) -(7x-2)4+c
c) ( ) -(7x-2)-4+c 
d) ( ) (7x-2)4+c
e) ( ) -(2x-7)-4+c
4. Ao calcular a integral ∫ sec(2t)tg(2t) dt encontraremos a primitiva:
a) ( )
b) ( ) 
c) ( ) 
d) ( )
e) ( )
FIXANDO O CONTEÚDO
−
1
3 cos 3𝑥 + 𝑐
− cos 3𝑥 + 𝑐
1
3 cos 3𝑥 + 𝑐
cos 3𝑥 + 𝑐
cos (−3𝑥) + 𝑐
� 3 − 2𝑠 � 𝑑𝑠
�
�
−
1
3 3 − 2𝑠 + 𝑐
−
1
3 3 − 2𝑠
3
2 + 𝑐
−
1
3 3 − 2𝑠
2
3 + 𝑐
1
3 3 − 2𝑠
3
2 + 𝑐
 
1
3 3 − 2𝑠 + 𝑐
−
1
2 sec 2𝑡 + 𝑐
−𝑡 sec 2𝑡 + 𝑐
1
2 sec 2𝑡 + 𝑐
𝑡 sec 2𝑡 + 𝑐
−
1
2 cosec 2𝑡 + 𝑐
40
5. Utilizando a fórmula de substituição, calcule encontraremos
a) ( ) 14/3
b) ( ) 17/3
c) ( ) 19/3
d) ( ) 23/3
e) ( ) 25/3
6. Utilizando a fórmula de substituição, calcule encontraremos
a) ( ) 13/16
b) ( ) 14/16
c) ( ) 15/16
d) ( ) 17/16
e) ( ) 19/16
7. A área compreendida entre a reta y=2 e a curva y=x2-2 é
a) ( ) 23/3
b) ( ) 25/3
c) ( ) 29/3
d) ( ) 31/3
e) ( ) 32/3
8. A área compreendida entre as curvas y=x 2 e y= -x2+4x é
a) ( ) 5/3
b) ( ) 6/3
c) ( ) 7/3
d) ( ) 8/3
e) ( ) 10/3
� 𝑦 + 1� 𝑑𝑦
3
0
� 𝑡3 1 + 𝑡4 3 𝑑𝑡
1
0
41
INTEGRAÇÃO POR PARTES UNIDADE
04
42
4.1 CÁLCULO DA PRIMITIVA PELA REGRA DA INTEGRAÇÃO POR PARTES
 Aqui nesta unidade trataremos no método de integração que visa a reversão da de-
rivada pela regra do produto, ou seja, queremos abordar situações que abrangem integrais 
do tipo ∫ f(x)g(x) dx .
 Vamos considerar em primeiro momento, a antiderivada de uma função g(x) que 
denominaremos G(x). 
 Dessa forma, temos que G’ (x)=g(x) e assim, podemos representar a regra do produto 
para derivar f(x).G(x) como:
 Podemos observar que f(x)G(x) é a antiderivada de f(x)g(x)+f’ (x)G(x), então podemos 
escrever: 
 De forma mais prática, utiliza-se esta fórmula da seguinte forma:
 logo,
Exemplos :
a) Use a integração por partes para integrar ∫x cos x dx .
Primeiramente vamos escolher u e dv para podermos,na fórmula,substituir ∫u dv
Então teremos: u=x e dv=cos x dx
Agora,para encontramos os outros elementos da fórmula v e du,deveremos
derivar u e integrar dv respectivamente. 
Logo teremos: du=dx e ∫ dv=∫ cos x dx =sen x 
E,finalmente,substituiremos os dados obtidos na fórmula da integral por partes.
 
 
b) 
 
 
43
c) 
 Existem algumas integrais que exigem a aplicação da integração por partes mais de 
uma vez. Abaixo vamos apresentar alguns exemplos neste sentido.
Exemplos:
a) 
 
 
b) 
44
4.2 CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA PELA REGRA DA INTEGRAÇÃO 
POR PARTES
 As integrais definidas também podem ser resolvidas pelo método da integração por 
partes e a fórmula que será utilizada pode ser escrita por
É importante não esquecer que as variáveis u e v nessa fórmula são funções de x e que os 
limites de integração são limites sobre as variáveis x. É bom ressaltar escrevendo a expressão 
acima como:
FIQUE ATENTO
Exemplos:
Para aprofundar seus conhecimentos sobre o que foi abordado nesta unidade as-
sista a aula do Prof. Paulo Pereira. 
Disponível no link: https://bit.ly/3gmTS01
BUSQUE POR MAIS
45
1. Calculando a integral pelo método da integração por partes, teremos:
a) ( ) 
b) ( ) 
c) ( ) 
d) ( )
e) ( ) 
2. Calculando a integral ∫ xsen(3x) dx pelo método da integração por partes, teremos:
a) ( ) 
b) ( ) 
c) ( ) 
d) ( )
e) ( ) 
3. Calculando a integral ∫ xln(x) dx pelo método da integração por partes, teremos:
a) ( ) 
b) ( ) 
c) ( ) 
d) ( )
e) ( ) 
4. Calculando a integral pelo métododa integração por partes, teremos:
a) ( ) 
b) ( ) 
c) ( ) 
FIXANDO O CONTEÚDO
�𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥 
�
�
 
−𝑥2𝑒𝑥 − 2𝑥𝑒𝑥 − 2𝑒𝑥 + 𝑐
 𝑥2𝑒𝑥 + 2𝑥𝑒𝑥 − 2𝑒𝑥 + 𝑐
 𝑥2𝑒𝑥 − 2𝑥𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥 + 𝑐
−𝑥2𝑒𝑥 + 2𝑥𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥 + 𝑐
 𝑥2𝑒𝑥 − 2𝑥𝑒𝑥 − 2𝑒𝑥 + 𝑐
 −
1
3 𝑥𝑐𝑜𝑠 3𝑥 +
1
9 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 𝑐
 
1
3𝑥𝑐𝑜𝑠 3𝑥 +
1
9 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 𝑐
 −
1
3 𝑥𝑐𝑜𝑠 3𝑥 −
1
9 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 𝑐
 
1
3𝑥𝑐𝑜𝑠 3𝑥 −
1
9 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 𝑐
 −
1
3 𝑥𝑠𝑒𝑛 3𝑥 +
1
9 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 + 𝑐
 − 
𝑥2
2 ln 𝑥 −
𝑥2
4 + 𝑐
 
𝑥2
2 ln 𝑥 −
𝑥2
4 + 𝑐
 
𝑥2
2 ln 𝑥 +
𝑥2
4 + 𝑐
 −
𝑥2
2 ln 𝑥 +
𝑥2
4 + 𝑐
 
𝑥2
4 ln 𝑥 −
𝑥2
2 + 𝑐
�𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
�
�
 
− 
1
2 𝑒
𝑥(𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos𝑥) + 𝑐
 
1
2𝑒
𝑥(𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos𝑥) + 𝑐
 
1
2𝑒
𝑥(𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos𝑥) + 𝑐
46
d) ( )
e) ( )
5. Calculando a integral pelo método da integração por partes, teremos:
a) ( ) 
b) ( ) 
c) ( ) 
d) ( )
e) ( ) 
6. Calculando a integral pelo método da integração por partes, teremos:
a) ( ) 
b) ( ) 
c) ( ) 
d) ( )
e) ( ) 
7. Calculando a integral pelo método da integração por partes, teremos:
a) ( ) -π/2
b) ( )π/2
c) ( ) π/4
d) ( )-π/4
e) ( ) π/3
8. Calculando a integral pelo método da integração por partes, teremos:
a) ( )-3 ln 3-2
b) ( ) 3 ln 3+2
c) ( ) 3 ln 3-2
d)( )-3 ln 3+2
e) ( ) 2 ln 3-3
− 
1
2 𝑒
𝑥(𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos𝑥) + 𝑐
 𝑒𝑥(𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos𝑥) + 𝑐
� 𝑥
2
0
𝑒2𝑥 𝑑𝑥 
1
4 3𝑒
4 + 1
 3𝑒4 + 1
−
1
4 3𝑒
4 + 1
 
1
4 3𝑒
4 − 1
− 3𝑒4 + 1
� 𝑥
𝑒
1
2
𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 
2𝑒3 − 1
9
−
2𝑒3 + 1
9
−2𝑒3 + 1
9
 
2𝑒3 + 1
9
 (−2𝑒3 + 1)
� 𝑥
𝜋
0
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 
� l n( 𝑥 + 2)
1
−1
 𝑑𝑥 
47
INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS UNIDADE
05
48
5.1 DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
 Para podermos utilizar o método da integração por frações parciais, devemos 
primeiramente entender como decompor uma fração racional em uma soma de frações 
mais simples que denominaremos de frações parciais.
 Tomando como exemplo a fração racional:
5𝑥 − 3
𝑥2 − 2𝑥 − 3
 Esta fração, após passas pelo processo de decomposição, poderá ser expressa da 
seguinte forma:
 De fato, se resolvermos o lado direito da igualdade obteremos a fração racional 
original.
 Uma vez decomposta a fração racional, podemos calcular a integral conforme o 
seguinte procedimento:
5𝑥 − 3
𝑥2 − 2𝑥 − 3 =
2
𝑥 + 1 +
3
𝑥 − 3
�
5𝑥 − 3
𝑥2 − 2𝑥 − 3𝑑𝑥 = �
2
𝑥 + 1 𝑑𝑥+ �
3
𝑥 − 3
�
�
�
�
�
�
 resultando em:
= 2𝑙𝑛 𝑥+ 1 + 3𝑙𝑛 𝑥 − 3 + 𝑐
 O procedimento de reescrever uma função racional em soma de frações simplificadas 
denomina-se método das frações parciais.
 Tal método visa encontrar duas constantes A e B de forma que:
 Para encontrar A e B devemos, primeiramente, eliminar todas as frações da equação:
 transformando-a em
49
 e por comparação de polinômios teremos
𝐴 + 𝐵 = 5 
𝑒 
−3𝐴 + 𝐵 = 3
 resolvendo o sistema proposto pelas duas equações, encontraremos
A=2 e B=3
 Logo,
O sucesso ao escrever uma função racional f(x)/g(x) como a soma de frações parciais depen-
de de duas coisas:
• O grau de f(x) deve ser menor que o grau de g(x). Ou seja, a fração deve ser própria. Se não 
for, deve-se dividir f(x) por g(x) e trabalho com o resto da divisão.
• Devemos conhecer os fatores de g(x). 
Na teoria, qualquer polinômio com coeficientes reais pode ser escrito como um produto de 
fatores reais lineares e fatores reais quadráticos.
FIQUE ATENTO
Exemplos:
a) Fatores lineares distintos
 
 Resolvendo o sistema teremos: 
 
50
 Logo,
 
b) Um fator linear repetido
 
c) Fração racional imprópria
 
d) Fator quadrático irredutível
51
5.2 RESOLUÇÃO DE INTEGRAIS POR DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES 
PARCIAIS
 Aqui apresentaremos como integrar qualquer função racional após serem 
decomposta em soma de frações parciais.
• Caso em que a fração racional é imprópria, ou seja, o grau do numerador é maior do 
que o grau do denominador.
(𝑥3+𝑥) ÷ (𝑥 − 1)
𝑞𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑥2 + 𝑥 + 2
𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜: 2
• Caso em o denominador é um produto de fatores lineares distintos
a) b) 
 
 
• Caso em que o denominador é um produto de fatores lineares repetidos
52
• Caso em que o denominador contém fatores quadráticos irredutíveis
 Se o denominador da função racional contém um fator na forma ax2+bx+c que 
apresenta b2-4ac<0 então dizemos que temos um fator irredutível.
a) b)
 
 
 
53
b) c) 
Como procedimento geral para se integrar uma fração parcial da forma:
Devemos completar o quadrado no denominador e então fazemos uma substituição que 
traz a integral para a forma:
A primeira integral resulta em um logaritmo e a segunda expressa em termos da inversa da 
função tangente.
FIQUE ATENTO
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏
2 − 4𝑎𝑐 < 0
�
𝐶𝑢 + 𝐷
𝑢2 + 𝑎2 𝑑𝑢
�
�
= 𝐶�
𝑢
𝑢2 + 𝑎2
�
�
𝑑𝑢 + 𝐷�
1
𝑢2 + 𝑎2 𝑑𝑢
�
�
Para ampliar seus conhecimentos sobre o método de integração por frações par-
ciais assista a aula do Prof Paulo Ramos para a disciplina Matemática III do curso 
de Engenharia de Pesca/ Deptº XXIV – UNEB. 
Disponível em: https://bit.ly/2YqrzYv
BUSQUE POR MAIS
54
1. Ao decompor o quociente encontraremos:
a) ( ) 
b) ( ) 
c) ( )
d) ( ) 
e)( ) 
2. Ao decompor o quociente encontraremos:
a) ( ) 
b) ( ) 
c) ( )
d) ( ) 
e)( ) 
3. Ao decompor o quociente encontraremos:
a) ( ) 
b) ( ) 
c) ( )
d) ( ) 
e)( ) 
4. Ao decompor o quociente encontraremos
a) ( ) 
b) ( ) 
c) ( )
FIXANDO O CONTEÚDO
5𝑥 − 13
𝑥 − 3)(𝑥 − 2
2
𝑥 − 3 +
3
𝑥 − 2
2
𝑥 − 2 +
3
𝑥 − 3
3
𝑥 − 3 +
2
𝑥 − 2
3
𝑥 − 2 +
2
𝑥 − 3
2
𝑥 − 3 −
3
𝑥 − 2
𝑥 + 4
𝑥 + 1 2
3
𝑥 + 1 +
1
𝑥 + 1 2
2
𝑥 + 1 +
3
𝑥 + 1 2
1
𝑥 + 1 +
3
𝑥 + 1 2
3
𝑥 + 1 +
2
𝑥 + 1 2
1
𝑥 + 1 +
2
𝑥 + 1 2
𝑧 + 1
𝑧2(𝑧− 1)
2
𝑧 +
−1
𝑧2 +
−2
𝑧 − 1
−2
𝑧 +
−1
𝑧2 +
2
𝑧 − 1
−2
𝑧 +
1
𝑧2 +
2
𝑧 − 1
−2
𝑧 +
−1
𝑧2 +
−2
𝑧 − 1
2
𝑧 +
−1
𝑧2 +
2
𝑧 − 1
𝑧 + 1
𝑧2(𝑧− 1)
1 +
−17
𝑡 − 3 +
−12
𝑡 − 2
1 +
17
𝑡 − 3 +
12
𝑡 − 2
1 +
−17
𝑡 − 3 +
12
𝑡 − 2
55
d) ( ) 
e)( ) 
5. Ao calcular a integral 
a) ( ) x+6 ln|x-6|+c
b) ( ) x-6 ln|x+6|+c
c) ( ) x-6 ln|x-6|+c
d) ( ) x+6 ln|x+6|+c
e)( )x+ln|x-6|+c
6. Ao calcular a integral 
a) ( ) - 2 ln|x+5|-ln|x-2|+c
b) ( ) 2 ln|x+5|+ln|x-2|+c
c) ( ) 2 ln|x+5|-ln|x-2|+c
d) ( ) -2 ln|x+5|+ln|x-2|+c
e) ( ) ln|x+5|-ln|x-2|+c
7. Ao calcular a integral 
a) ( ) a ln|x-b|+c
b) ( ) a ln|x-b|+c
c) ( ) a ln|x-b|+c
d) ( ) a ln|x-b|+c
e) ( ) a ln|x-b|+c
8. Ao calcular a integral
a) ( ) 
b) ( ) 
c) ( )
d) ( ) 
e)( )
1 +
−12
𝑡 − 3 +
17
𝑡 − 2
1 +
17
𝑡 − 3 +
−12
𝑡 − 2
�
𝑥
𝑥 − 6 𝑑𝑥
�
�
�
𝑥 − 9
𝑥 + 5)(𝑥 − 2 𝑑𝑥
�
�
�
𝑎𝑥
𝑥2 − 𝑏𝑥 𝑑𝑥
�
�
�
𝑥3 − 2𝑥2 − 4
𝑥3 − 2𝑥2 𝑑𝑥
4
3
𝑙𝑛
2
3
7
6− 𝑙𝑛
2
3
−
7
6 + 𝑙𝑛
2
3
7
6 + 𝑙𝑛
2
3
−
7
6 − 𝑙𝑛
2
3
56
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS 
UNIDADE
06
57
6.1 INTEGRAIS ENVOLVENDO AS EXPRESSÕES 𝒂𝟐 − 𝒙𝟐� , 𝒂𝟐 + 𝒙𝟐� , 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐�
 Nesta unidade, iremos tratar da resolução de integrais específicas que apresentam 
dentro do integrando, expressões bem características que necessitam do auxílio de funções 
trigonométricas para simplificá-las e resolvê-las.
• Integrais envolvendo a expressão √(a2-x2 ) com a>0
 Primeiramente devemos observar que a expressão √(a2-x2 ) só faz sentido se tivermos 
o valor de a2-x2 > 0 , ou seja, -a ≤ x ≤ a . Para resolver a integral com essa expressão, temos 
que eliminar a raiz do integrando utilizando
𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑚 − 𝜋 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 2�
 Assim, 
𝑎2 − 𝑥2� = 𝑎2 − 𝑎2𝑠𝑒𝑛2𝜃� = 𝑎2(1− 𝑠𝑒𝑛2𝜃)�
= 𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜃� = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃
 Após as substituições realizadas, a integração em termos de é efetuada para 
encontramos a sua primitiva também em termos de . Em seguida voltamos o resultado 
encontrado para a variável x fazendo Para facilitar as substituições evitando 
memorizações, iremos apresentar um esquema por meio de triângulo retângulo que irá 
auxiliar a encontrar os termos necessários para a transformação da integral.
TERMOS NECESSÁRIOS PARA CÁLCULO A INTEGRAL COM √(a2-x2 ) 
Exemplos:
a) b)
𝜃 = arccos
𝑥
𝑎 .
𝜃
𝜃
58
c) 
• Integrais envolvendo a expressão √(a2+x2 ) com a>0
 Primeiramente devemos observar que a expressão √(a2+x2 ) só faz sentido se tivermos 
o valor de a2+x2>0 , ou seja, -a ≤ x ≤ a .
 Para resolver a integral com essa expressão, temos que eliminar a raiz do integrando 
utilizando:
 Assim, 
 Para estabelecer uma restrição sobre a variação de , convém observar que 
de modo que se x ≤ -a temos e se x ≥ a temos . Logo,
𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑐 𝜃 
𝜃 sec𝜃 = 𝑥𝑎
sec𝜃 ≤ −1 sec𝜃 ≥ 1
 Para facilitar as substituições evitando memorizações, iremos apresentar um 
esquema por meio de triângulo retângulo que irá auxiliar a encontrar os termos necessários 
para a transformação da integral.
 TERMOS NECESSÁRIOS PARA CÁLCULO A INTEGRAL COM 𝒙2 − 𝒂2�
59
Exemplos:
a) b)
FIQUE ATENTO
60
Para se inteirar mais sobre o cálculo de integrais pelo método de substituição tri-
gonométrica assista a aula do Prof. Onezimo Cardos. 
Disponível no link: https://bit.ly/3l6XeaW
BUSQUE POR MAIS
61
1. Ao calcular a integral encontramos:
a)( )
b)( )
c)( ) 
d)( )
e)( )
2. Ao calcular a integral encontramos:
a)( )
b)( )
c)( )
d)( )
e)( )
3. Ao calcular a integral encontramos:
a)( )
b)( )
c)( )
d)( )
e)( )
4. Ao calcular a integral encontramos:
a)( )
b)( )
c)( )
FIXANDO O CONTEÚDO
�
𝑥3
1 − 𝑥2�
 𝑑𝑥
�
�
1
3 1 − 𝑥
2
3
2 + 1− 𝑥2� + 𝑐
1
3 1− 𝑥
2
3
2 − 1− 𝑥2�
1
3 1 + 𝑥
2
3
2 − 1− 𝑥2� + 𝑐
1
3 1 − 𝑥
2
3
2 − 1 + 𝑥2� + 𝑐
1 − 𝑥2
3
2 − 1− 𝑥2� + 𝑐
�
1
𝑥2 4− 𝑥2�
 𝑑𝑥
�
�
−
1
4
4− 𝑥2�
𝑥 + 𝑐
1
4
4 − 𝑥2�
𝑥 + 𝑐
−
4 − 𝑥2�
𝑥 + 𝑐
4− 𝑥2�
𝑥 + 𝑐
−
1
4
4 + 𝑥2�
𝑥 + 𝑐
�
𝑥2
1 − 𝑥2�
 𝑑𝑥
�
�
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑥 1− 𝑥2�
−
1
2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑥 1 − 𝑥
2�
−
1
2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑥 1 − 𝑥
2�
1
2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑥 1− 𝑥
2�
1
2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑥 1 − 𝑥
2� + 𝑐
�
1
𝑥2 𝑎2 + 𝑥2�
 𝑑𝑥
�
�
−
1
𝑎
𝑎2 + 𝑥2�
𝑥 + 𝑐
1
𝑎
𝑎2 + 𝑥2�
𝑥 + 𝑐
𝑎2 + 𝑥2�
𝑥 + 𝑐
62
d) ( )
e) ( )
5. Ao calcular a integral encontramos:
a)( )
b)( )
c)( )
d)( )
e)( )
 
6. Ao calcular a integral encontramos:
a)( )
b)( )
c)( )
d)( )
e)( )
7. Ao calcular a integral encontramos:
a)( )
b)( )
c)( )
d)( )
e)( )
8. Ao calcular a integra encontramos:
a)( )
b)( )
c)( )
−
1
𝑥
𝑎2 + 𝑥2�
𝑎 + 𝑐
−
1
𝑎
𝑎2 − 𝑥2�
𝑥 + 𝑐
�
𝑥3
𝑎2 + 𝑥2�
 𝑑𝑥
�
�
𝑎2 + 𝑥2� 𝑥2 − 2𝑎2 + 𝑐
−
1
3 𝑎
2 + 𝑥2� 𝑥2 − 2𝑎2 + 𝑐
1
3 𝑎
2 + 𝑥2� 𝑥2 + 2𝑎2 + 𝑐
1
3 𝑎
2 + 𝑥2� 𝑥2 − 2𝑎2 + 𝑐
1
3 𝑥
2 − 2𝑎2 + 𝑐
�
1
𝑎2 + 𝑥2�
 𝑑𝑥
�
�
 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑎2 + 𝑥2� + 𝑐
−𝑙𝑛 𝑥 + 𝑎2 + 𝑥2� + 𝑐
𝑙𝑛 𝑎2 + 𝑥2� + 𝑐
𝑙𝑛 𝑥 + 𝑎2 + 𝑥2� + 𝑐
𝑙𝑛 𝑥 + 𝑎2 − 𝑥2� + 𝑐
� 𝑥2 − 𝑎2� 𝑑𝑥
�
�
−
𝑥
2 𝑥
2 − 𝑎2� −
𝑎2
2 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥
2 − 𝑎2� + 𝑐
−
𝑥
2 𝑥
2 − 𝑎2� +
𝑎2
2 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥
2 − 𝑎2� + 𝑐
𝑥
2 𝑥
2 − 𝑎2� −
𝑎2
2 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥
2 − 𝑎2� + 𝑐
𝑥
2 𝑥
2 − 𝑎2� +
𝑎2
2 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥
2 − 𝑎2� + 𝑐
𝑥2 − 𝑎2� − 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥2 − 𝑎2� + 𝑐
�
1
𝑥2 − 𝑎2�
 𝑑𝑥
�
�
𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥2 − 𝑎2� + 𝑐
−𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥2 − 𝑎2� + 𝑐
𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥2 + 𝑎2� + 𝑐
63
d)( )
e)( )
𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥2 − 𝑎2� + 𝑐
𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥2 + 𝑎2� + 𝑐
64
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO
UNIDADE 1
UNIDADE 3
UNIDADE 5
UNIDADE 2
UNIDADE 4
UNIDADE 6
QUESTÃO 1 D
QUESTÃO 2 D
QUESTÃO 3 A
QUESTÃO 4 D
QUESTÃO 5 B
QUESTÃO 6 B
QUESTÃO 7 E
QUESTÃO 8 D
QUESTÃO 1 D
QUESTÃO 2 B
QUESTÃO 3 A
QUESTÃO 4 E
QUESTÃO 5 B
QUESTÃO 6 C
QUESTÃO 7 A
QUESTÃO 8 D
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 B
QUESTÃO 3 D
QUESTÃO 4 C
QUESTÃO 5 A
QUESTÃO 6 C
QUESTÃO 7 E
QUESTÃO 8 D
QUESTÃO 1 E
QUESTÃO 2 A
QUESTÃO 3 B
QUESTÃO 4 C
QUESTÃO 5 A
QUESTÃO 6 D
QUESTÃO 7 B
QUESTÃO 8 C
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 C
QUESTÃO 3 B
QUESTÃO 4 E
QUESTÃO 5 A
QUESTÃO 6 C
QUESTÃO 7 A
QUESTÃO 8 D
QUESTÃO 1 B
QUESTÃO 2 A
QUESTÃO 3 E
QUESTÃO 4 A
QUESTÃO 5 D
QUESTÃO 6 D
QUESTÃO 7 C
QUESTÃO 8 A
65
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Tradução de Claus Ivo Doering. 8. ed. Porto Alegre: 
Bookman, v. I, 2007. 
BONAFINI, F. C. Matemática. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012. 
BOULOS, P. Cálculo Diferencial e Integral. São Paulo: Pearson Makron Books, v. 1, 1999. 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, v. I, 1994. 
PENNEY, D. E.; EDWARDS JR., C. H. Cálculo com Geometria Analítica. Tradução de Alfredo 
Alves de Farias. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 1997. 
ROGAWSKI, J. Cálculo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. 
SALAS, S. L.; ETGEN, G. J.; HILLE, E. Cálculo. Tradução de Alessandra Bosquilha. 9. ed. Rio 
de Janeiro: LTC, v. I, 2005. 
SILVA, S. M. Matemática básica para cursos superiores. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2018. 
STEWART, J. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, v. I, 2013. 
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo. Tradução de Carlos Scalic. 2. ed. São Paulo: 
Addison Wesley, v. I, 2009.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
66
ANEXOS
ANEXO A – TABELA DE INTEGRAÇÃO
67
68
69
graduacaoead.faculdadeunica.com.br