ASE_Cap01

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AnAnáálise de lise de 
Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
Prof. Washington Neves
Estagiário (estágio docente): Wilker Azevêdo
Março de 2009
2
Análise de Sistemas Elétricos
• Conceitos básicos;
• Modelagem dos elementos 
(geradores, linhas de transmissão, 
transformadores, cargas, etc.);
• Uso de técnicas apropriadas de 
resolução de circuitos;
• Estudo de fluxo de carga, cálculo de 
curto-circuito e estabilidade;
• Análise e simulação de cenários de 
operação;
• Avaliação crítica dos resultados.
3
Tópicos Abordados
• Análise em regime permanente
– Modelagem de componentes
– Representação de redes elétricas
– Estudos de fluxo de carga
• Estudo de curto-circuitos
– Componentes simétricos
– Cálculo de curto-circuitos
• Avaliação de Estabilidade
– Tipos de estabilidade
– Análise gráfica
– Métodos de controle de tensão
4
Sistema Interligado Nacional (SIN)
• Sistema Elétrico:
9 Centrais de Geração;
9 Transformadores;
9 Linhas de Transmissão;
9 Centros de Consumo (cargas);
9 Sistemas de Proteção;
9 Sistemas de Medição;
9 Subestações;
ƒ Elevadoras;
ƒ Abaixadoras;
ƒ Conversoras (CA/CC ou CC/CA);
ƒ Reguladoras;
9 Centros de Operação 
(supervisão e controle).
5
Área Nordeste (SIN)
6
Plataformas de Simulação
• ATP
• Anarede (CEPEL)
• Anafas (CEPEL)
• PowerWorld Simulator
• Simulink
• Matlab
• Fortran
• PSS/E (Shaw Power Tech.)
7
unidadeunidade 11
Conceitos Conceitos 
BBáásicos sicos 
e Valores e Valores 
por unidade por unidade 
8
• Introdução
• Fasores
• Potência Ativa, Reativa e Aparente
• Potência Complexa
• Sistema Trifásico Equilibrado
• Valores por unidade
Conceitos Básicos e valores por unidade
9
Introdução
10
Introdução
• Um sistema de 
potência ...
• ... e seus circuitos equivalentes
– Geradores
– Transformadores
– Linhas de Transmissão
– Carga
11
Introdução 
•Geradores
– Circuito Equivalente - Thévenin
Eg
jXG
12
Introdução 
•Transformador
– Circuito Equivalente
G -jB
Z
+
-
+
-
II
E1 E2
-
V
++
-
Vp
p
p Zs
sc m
I2 Is=
1n t :
1
Iex
+
-
Vm
13
Introdução 
•Linhas de 
Transmissão 
– Circuito Equivalente
RL jXL
CL/2CL/2
l m
14
Introdução
•Carga
• Modelo da Carga
– Impedância constante
– Corrente constante
– Potência Constante
15
Fasores
2
)(1 max
0
2 Vdttv
T
V
T
rms == ∫
• Vetor no domínio da freqüência
• Valor rms de uma onda senoidal
)cos()(
)cos()(
max
max
i
v
tIti
tVtv
θ+ω=
θ+ω=
16
Fasores
θ+θ=θ jsene j cos:EulerdeIdentidade
vrms
tjj
rms
tjjtj
v
VV
eeVeeVeVtv
tVtv
vvv
θ∠=
===
θ+ω=
ωθωθθ+ω }2Re{}Re{}Re{)(
)cos()(
max
)(
max
max
Notação Fasorial { }θ=θ jeRecos
ω é a freqüência de rotação do fasor
17
Fasores
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=+=
=
=
∠=+==
==
==
==
R
XXRZ
reatânciaX
aresistênciR
ZjXRimpedânciaZ
CVjI
dt
dvCticapacitor
LIjV
dt
diLtvindutor
RIVtRitvresistor
FasorEquaçãooDispositiv
arctan
)(
)(
)()(
22 φ
φ
ω
ω
Z é apenas um número 
complexo. Não é fasor!
18
Fasores
Diagrama fasorial quando mais de uma grandeza é envolvida
)90(cos)(
cos)(
0
maxmax
max
−ω=ω=
ω=
tItsenIti
tVtv V
I
Exemplo 1: 
Numa determinada carga a tensão de alimentação é
v(t)=311.13sen(ωt+300) e a corrente é i(t)= 28.28 cos (ωt-300). Obtenha 
os valores rms para a tensão e corrente; a expressão fasorial nas formas 
polar e retangular; o diagrama fasorial da tensão e corrente tomando 
cosωt como referência; A impedância equivalente vista dos terminais da 
carga. O circuito é indutivo ou capacitivo? 
19
Potência Ativa, Reativa e Aparente
tsensenIVtIVtp
tIti
tVtv
km
km
k
ωφ+ω+φ=
φ−ω=
ω=
2
2
)2cos1(cos
2
)(
)cos()(
)cos()(
maxmaxmaxmax
max
max
k m
Circuito
linear Avk(t)
ikm(t)
pkm(t)
senbsenababa +=− coscos)cos(
)()()( titvtp kmkkm ⋅= Potência instantânea
20
Potência Ativa, Reativa e Aparente
φ== ∫ cos2)(1 maxmax0 1 IVdttpTP
T
)()()()(
2
2
)2cos1(cos
2
)(
21
maxmaxmaxmax
tptptptp
tsensenIVtIVtp
km
km
+==
ωφ+ω+φ=
φ= senIVQ
2
maxmax
2
maxmax
max
IV
PPS
=
−=
21
Potência Ativa, Reativa e Aparente
φ== ∫ cos2)(1 maxmax0 1 IVdttpTP
T φ= senIVQ
2
maxmax
2
maxmax
max
IVPPS =−=
Significado Físico
Potência ativa P – Valor médio da potência instantânea
Potência reativa Q – valor máximo do termo de potência oscilante p2(t)
Potencia aparente |S| - valor máximo da oscilação da potência instantânea em 
torno da potência média.
φ= cosVIP φ=VIsenQ 22 QPS +=
22
Potência Complexa
P – Potência ativa (W, kW, MW)
Q – Potência reativa (var, kvar, Mvar)
S – Potência complexa (VA, kVA, MVA)
cosφ – fator de potência ativa (f.p.) 
se a corrente estiver adiantada da tensão – f.p. em avanço;
se a corrente estiver atrasada da tensão – f.p. em atraso.
C
XIXQcapacitor
LXIXQindutor
IRPresistor
EquaçãooDispositiv
Cccc
LLLL
res
ω=−=
ω==
=
12
2
2
jQPS +=
23
*VIS =
Potência Complexa
)cos()(
)cos()(
max
max
φ−ω=
ω=
tIti
tVtv
km
km
R jX
I
IR Ix
V
I
φ
IR
Ix
jQPS +=
Exemplo 2: 
Determinar o ângulo do fator de potência φ, a potência complexa S e reativa Q
para uma carga de 100 kW com f.p.= 0.85 em atraso. 
24
Potência Complexa
Q
φ
P
S
var0.62
kVA117.6
85,0
100
cos
8,31)85,0(cos 0
ksenSQ
PS
a
==
===
==
φ
φ
φ
Exemplo 3: 
Quanto de reativo capacitivo deve ser adicionado à carga para que o fator de 
potência passe a ser 0.95 em atraso?
Qcap
φ
P
S
SN
QNφN
var1.290.629.32
var9.32
kVA105.3
95,0
100
cos
2,18)95,0(cos 0
kQQQ
ksenSQ
PS
a
Ncap
NN
N
N
N
=−=−=
==
===
==
φ
φ
φ
25
Convenção de Sinal: 
Convenção da carga. Corrente entra no 
terminal positivo do elemento de circuito. 
Se P é positivo indica absorção de energia 
ativa, se Q é positivo indica absorção de 
energia reativa.
Convenção do gerador. Corrente sai do 
terminal positivo do elemento de circuito. 
Se P é positivo indica geração de energia 
ativa, se Q é positivo indica geração de 
energia reativa. 
Ig
Eg
± Sg
Ecarga±Scarga
Icarga
Potência Complexa
jQPS +=
26
Potência Complexa
Exemplo 4: 
Determinar as potências ativa e reativa geradas por cada máquina da figura 
abaixo. Utilizar convenção da carga. Qual das máquinas é o gerador? Determinar 
também P e Q “absorvidos pela impedância”. 
Ω+=
∠=
∠=
50
30100
0100
0
2
0
1
jZ
VE
VE
var53635.105
2681000)68.210)(506.86(
2681000)68.210(100)(
19535,1068.210
22
22
*
22
11
*
11
021
=×=
−−=+−+=+==
−=−=+=−=
∠=−−=−=
IX
VAjjjjQPIES
VAjjjQPIES
Aj
Z
EEI
I
E1 E2± ±
Z
S1 S2
Máquina E2 é gerador
27
Potência Complexa
indindind jQPS += φind
Pind
Qind
Sind
*VISind =
Carga Indutiva
capcapcap jQPS −=
φcap
Pcap
Qcap
Scap
*VIS =
Carga Capacitiva
jQPS +=
22
cos
QP
P
S
P
+==φ
28
Potência Complexa
Grupo de Cargas na mesma barra – Soma vetorial de cargas individuais
)()( 321321
321
QQQjPPPS
SSSS
+++++=
++=
S=P+jQ
P3
P1
Q1
S1
S2
S3P2
Q2 Q3
S
P
Q
29
Sistema Trifásico Equilibrado
Ean
±
±
±
Ebn
Ecn
a
b
c
n
0
02
0
0
120
120
0
)(
1201
∠==
−∠==
∠=
+
∠=
EaEE
EEaE
EE
abcSeq
a
ancn
anbn
an
)240cos()120cos(
cos
0
max
0
max
max
−ω=
−ω=
ω=
tEE
tEE
tEE
cn
bn
an
Ean
Ebn
Ecn
Seq+
Seq-
30
Sistema Trifásico Equilibrado
Ean
±
± ±
Ebn
Ecn n
A
b
B
B
a
c
N
Z
Z
Z
Icn
Ian
Ibn
In
ZY ZY
ZY
Sistema Equilibrado
In=0, basta resolver o sistema como se fosse monofásico com neutro ideal.
31
Sistema Trifásico Equilibrado
Sistema Equilibrado
Existe um sistema Y equivalente. Novamente, basta resolver o 
sistema como se fosse monofásico com neutro ideal.
Ean
±
± ±
Ebn
Ecn n
C
b
B
A
a
c
Z
Z
Z
Ic
Ia
Ib
ZΔ
ZΔZΔ
ICA
IABIBC
32
Sistema Trifásico Equilibrado
Ean
±
± ±
Ebn
Ecn n
A
b
B
Ba
c
N
Z
Z
Z
Icn
Ian
Ibn
ZΔ / 3
ZΔ / 3
ZΔ / 3
33
Sistema Trifásico
***
3 cCnbBnaAn IVIVIVS ++=φ
Na carga
aAB IVS 33 =φ
Sistema Equilibrado
Z
Ean
±
± ±
Ebn
Ecn n
A
b
a
c
Z
Z
Ic
Ia
Ib
Carga
TrifásicaB
C
34
Sistema por unidade
Sistema de normalização em que tensão, corrente, 
potência, impedância, admitância, e outras grandezas
elétricas são expressas como uma fração de uma 
quantidade base:
As quantidades base definir o sistema pu são obtidas a 
partir de duas quantidades base, geralmente tensão e 
potência:
basebase SV ,
Quantidade pu =
Quantidade Física
Quantidade base
35
Sistema Monofásico
Para calcular valores base para correntes e impedâncias:
base
base
base V
SI =
base
base
base
base
base S
V
I
VZ
2
==
As grandezas p.u. são:
base
físico
up V
V
V =..
base
físico
up I
I
I =..
base
físico
up S
S
S =..
base
físico
up Z
Z
Z =..
%100% .. ×= upZZ Valor percentual
36
Sistema 3φ
1. Definir Sbase 3φ para todo o sistema 
2. Utilizar uma tensão Vbase para cada nível de tensão do 
sistema. Vbase é tensão de linha. 
3. Calcular as impedâncias na forma usual
Costuma-se utilizar o seguinte procedimento:
base
base
base
base
base S
V
I
VZ
2
==
37
Mudança de Base
Dados p.u. de fabricantes de equipamentos podem ter bases 
diferentes e precisam ser convertidos para uma mesma base
1
1..
base
físico
baseup Z
Z
Z =
2
2..
base
físico
baseup Z
Z
Z =
1
2
2
2
1
1..2.,.
base
base
base
base
baseupbaseup S
S
V
VZZ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
2
1
1..2..
base
base
baseupbaseup Z
ZZZ =
38
Mudança de Base
Exemplo 5
Um gerador trifásico de 18 kV, 500 MVA, tem reatância XG”
de 25% a partir dos dados de placa. Encontrar XG” na base 
20kV, 100 MVA.
1
2
2
2
1
1.,.2.,.
base
base
base
base
baseupbaseup S
S
V
VZZ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
..0405.0
500
100
20
1825.0
2
2.,.
" upX baseupG =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
39
Exercício
Numa carga Y equilibrada a tensão fase-neutro na fase a é
va(t)=311.13cos ωt V e a corrente é ia(t)= 141.42 cos (ωt-300) A. 
Obtenha
a) os diagramas fasoriais para a tensão e corrente tomando cosωt como 
referência; 
b) a impedância equivalente da carga por fase;
c) a corrente e a impedância por unidade numa base de 220 V e 20kVA 
por fase;
d) a impedância por unidade numa nova base de 250 V, 50 kVA por fase.
40
Livro: Grainger, J.J., Stevenson Jr., W. D., Power System Analysis, 
New York: McGraw-Hill, 1994. ISBN 0-07-061293-5.
Exercícios 1.1, 1.4, 1.8, 1.11, 1.16, 1.19, 1.22, 
1.23.