gabarito_circuitos_ii

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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DO 
LIVRO PEDAGÓGICO DA DISCIPLINA 
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2 
 
 
 
 
 
UNIDADE 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TÓPICO 1 
 
 
1 Dados os números complexos, faça as operações solicitadas: 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) 
n) 
o) 
p) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z1 10 i 30+:= Z2 2 i 5-:= Z3 15 e
i 40 °
:= Z4 50 e
i- 25 °
:=
 
 
Respostas: 
 
 
 
a ) Z1 Z2+ =
Resultado na forma retangular
Zr Z1 Z2+ 12 25i+=:=
Resultado na forma exponencial/polar: 
ρ Re Z1 Z2+( )
2
Im Z1 Z2+( )
2
+ 27.731=:= θ atan
Im Z1 Z2+( )
Re Z1 Z2+( )






64.359 °=:=
Zp ρ e
i θ
 12 25i+=:=
b ) Z1 Z2- =
Resultado na forma retangular
Zr Z1 Z2- 8 35i+=:=
Resultado na forma exponencial/polar: 
a Re Zr( ) 8=:= b Im Zr( ) 35=:=
ρ a
2
b
2
+ 35.903=:= θ atan
b
a






77.125 °=:=
Zp ρ e
i θ
 8 35i+=:=
Z1 Z2 =c )
Resultado na forma retangular
Zr Z1 Z2 170 10i+=:=
Resultado na forma exponencial/polar: 
a Re Zr( ) 170=:= b Im Zr( ) 10=:=
ρ a
2
b
2
+ 170.294=:= θ atan
b
a






3.366 °=:=
Zp ρ e
i θ
 170 10i+=:=
 
 
 
 
Z1
Z2
=
d )
Resultado na forma retangular
Zr
Z1
Z2
4.483- 3.793i+=:=
Resultado na forma exponencial/polar: 
a Re Zr( ) 4.483-=:= b Im Zr( ) 3.793=:=
ρ a
2
b
2
+ 5.872=:= θ atan
b
a






40.236- °=:=
Zp ρ e
i θ
 4.483 3.793i-=:=
e ) Z3 Z4 =
Resultado na forma retangular
Zr Z3 Z4 724.444 194.114i+=:=
Resultado na forma exponencial/polar: 
a Re Zr( ) 724.444=:= b Im Zr( ) 194.114=:=
ρ a
2
b
2
+ 750=:= θ atan
b
a






15 °=:=
Zp ρ e
i θ
 724.444 194.114i+=:=
 
 
 
 
 
f ) Z3
Z4
=
Resultado na forma retangular
Zr
Z3
Z4
0.127 0.272i+=:=
Resultado na forma exponencial/polar: 
a Re Zr( ) 0.127=:= b Im Zr( ) 0.272=:=
ρ a
2
b
2
+ 0.3=:= θ atan
b
a






65 °=:=
Zp ρ e
i θ
 0.127 0.272i+=:=
g ) Z3 Z4+ =
Resultado na forma retangular
Zr Z3 Z4+ 56.806 11.489i-=:=
Resultado na forma exponencial/polar: 
a Re Zr( ) 56.806=:= b Im Zr( ) 11.489-=:=
ρ a
2
b
2
+ 57.956=:= θ atan
b
a






11.434- °=:=
Zp ρ e
i θ
 56.806 11.489i-=:=
h ) Z3 Z4- =
Resultado na forma retangular
Zr Z3 Z4- 33.825- 30.773i+=:=
Resultado na forma exponencial/polar: 
a Re Zr( ) 33.825-=:= b Im Zr( ) 30.773=:=
ρ a
2
b
2
+ 45.728=:= θ atan
b
a






42.295- °=:=
Zp ρ e
i θ
 33.825 30.773i-=:=
 
 
 
 
i ) 2Z1 3Z2+ =
2 Z1 20 60i+=
3 Z2 6 15i-=
Resultado na forma retangular
Zr 2Z1 3Z2+ 26 45i+=:=
Resultado na forma exponencial/polar: 
a Re Zr( ) 26=:= b Im Zr( ) 45=:=
ρ a
2
b
2
+ 51.971=:= θ atan
b
a






59.982 °=:=
Zp ρ e
i θ
 26 45i+=:=
j ) Z1
2
5Z2- =
Z1
2
800- 600i+=
5 Z2 10 25i-=
Resultado na forma retangular
Zr Z1
2
5Z2- 810- 625i+=:=
Resultado na forma exponencial/polar: 
a Re Zr( ) 810-=:= b Im Zr( ) 625=:=
ρ a
2
b
2
+ 1.023 10
3
=:= θ atan
b
a






37.654- °=:=
Zp ρ e
i θ
 810 625i-=:=
 
 
 
 
k )
2
3
Z1 4 Z2 =
2
3
Z1 6.667 20i+=
4Z2 8 20i-=
Resultado na forma retangular
Zr
2
3
Z1 4 Z2 453.333 26.667i+=:=
Resultado na forma exponencial/polar: 
a Re Zr( ) 453.333=:= b Im Zr( ) 26.667=:=
ρ a
2
b
2
+ 454.117=:= θ atan
b
a






3.366 °=:=
Zp ρ e
i θ
 453.333 26.667i+=:=
l )
Z1 Z2
Z2 Z2+
5 15i+→
Z1 Z2 170 10i+=
Z2 Z2+ 4 10i-=
Resultado na forma retangular
Zr
Z1 Z2
Z2 Z2+
5 15i+=:=
Resultado na forma exponencial/polar: 
a Re Zr( ) 5=:= b Im Zr( ) 15=:=
ρ a
2
b
2
+ 15.811=:= θ atan
b
a






71.565 °=:=
Zp ρ e
i θ
 5 15i+=:=
 
 
 
 
m ) 3Z3
Z4
4
 =
3Z3 34.472 28.925i+=
Z4
4
11.329 5.283i-=
Resultado na forma retangular
Zr 3Z3
Z4
4
 543.333 145.586i+=:=
Resultado na forma exponencial/polar: 
a Re Zr( ) 543.333=:= b Im Zr( ) 145.586=:=
ρ a
2
b
2
+ 562.5=:= θ atan
b
a






15 °=:=
Zp ρ e
i θ
 543.333 145.586i+=:=
n ) 6Z3
1
4
Z4
=
6Z3 68.944 57.851i+=
1
4
Z4 11.329 5.283i-=
Resultado na forma retangular
Zr
6Z3
1
4
Z4
3.043 6.525i+=:=
Resultado na forma exponencial/polar: 
a Re Zr( ) 3.043=:= b Im Zr( ) 6.525=:=
ρ a
2
b
2
+ 7.2=:= θ atan
b
a






65 °=:=
Zp ρ e
i θ
 3.043 6.525i+=:=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o ) Z3
2
Z4
2
+ =
Z3
2
5.745 4.821i+=
Z4
2
1.607 10
3
 1.915i 10
3
-=
Resultado na forma retangular
Zr
Z3
2
Z4
2
+ 1.613 10
3
 1.91i 10
3
-=:=
Resultado na forma exponencial/polar: 
a Re Zr( ) 1.613 10
3
=:= b Im Zr( ) 1.91- 10
3
=:=
ρ a
2
b
2
+ 2.5 10
3
=:= θ atan
b
a






49.828- °=:=
Zp ρ e
i θ
 1.613 10
3
 1.91i 10
3
-=:=
p ) Z3 Z4- =
Resultado na forma retangular
Zr Z3 Z4- 33.825- 30.773i+=:=
Resultado na forma exponencial/polar: 
a Re Zr( ) 33.825-=:= b Im Zr( ) 30.773=:=
ρ a
2
b
2
+ 45.728=:= θ atan
b
a






42.295- °=:=
Zp ρ e
i θ
 33.825 30.773i-=:=
 
 
2 Trabalhando com expressões: 
 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
 
 
m) 
n) 
o) 
p) 
q) 
r) 
s) 
t) 
u) 
 
 
 
 
 
p )
220 e
i 0 °

50 e
i- 20 °

40 90 i+( )
10 e
i 45 °

+ =
q )
1500 57 i+( )
1
2
3
4
i+







20 e
i- 15 °
 10 e
i 90 °
+ 100+
=
r )
150 e
i 10 °
 30 e
i- 80 °

350 e
i 120 °

12000 60 i+( )
20
+ =
Z1
Z3
Z2
Z3






Z1
Z3
Z4
Z1






Z1
Z4
Z3
Z2
Z1
Z4
Z3
Z2
Z1










 
 
Respostas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
f) 
 
g) 
 
 
2 Z1 3 Z3+
1
3
Z2- 53.805 90.592i+=
2 Z1 20 60i+= 3 Z3 34.472 28.925i+=
1
3
Z2 0.667 1.667i-=
6 Z2 2 Z3-
Z4
2
+ 11.676 59.849i-=
6 Z2 12 30i-= 2 Z3 22.981 19.284i+=
Z4
2
22.658 10.565i-=
8 Z4 5 Z1-
2 Z2
38.281 15.94i+=
8 Z4 362.523 169.047i-= 5 Z1 50 150i+=
8 Z4 5 Z1- 312.523 319.047i-=
2 Z2 4 10i-= 1
1
Z1
1
Z3
+
1
1
2
Z4
+
7.723 4.44i+=
1
Z1
0.01 0.03i-=
1
Z3
0.051 0.043i-=
1
1
2
Z4
0.036 0.017i+=
1
Z1
1
Z3
+
1
1
2
Z4
+ 0.097 0.056i-=
3 Z2
1
1
Z1
1
Z2 Z3
+
1
Z4
+
+ 28.051 6.133i-=
3 Z2 6 15i-=
1
Z1
0.01 0.03i-=
1
Z2 Z3
0.011 5.85i 10
3-
+=
1
Z4
0.018 8.452i 10
3-
+=
1
Z1
1
Z2 Z3
+
1
Z4
+ 0.039 0.016i-=
Z2 Z4 Z1 Z3-
Z4
8.889 11.522i-=
Z2 Z4 15.024- 268.839i-= Z1 Z3 174.348- 441.138i+=
1
1
Z1 Z2+
1
Z3
+
1
Z4
+
7.268 5.734i+=
1
Z1 Z2+
0.016 0.033i-=
1
Z3
0.051 0.043i-=
1
Z4
0.018 8.452i 10
3-
+=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) 
 
 
i) 
 
 
 
k) 
 
 
l) 
 
m) 
 
n) 
 
 
 
 
Z1 Z4
Z1 Z4+
Z1+ 2Z3+ Z4+ 100.701 45.317i+=
Z1 Z4 1.087 10
3
 1.148i 10
3
+= Z1 Z4+ 55.315 8.869i+=
2Z3 22.981 19.284i+=
Z3 Z4
Z3 Z4+
2Z1+
Z2
2
+
Z4
2
+ 55.246 52.695i+=
Z3 Z4 724.444 194.114i+= Z3 Z4+ 56.806 11.489i-=
Z3 Z4
Z3 Z4+
11.588 5.761i+=
2Z1 20 60i+=
Z2
2
1 2.5i-=
Z4
2
22.658 10.565i-=
Z1 Z3
Z1 Z3+
3Z1+
Z2
2
+
Z4
2
+ 60.415 84.996i+=
Z1 Z3 174.348- 441.138i+=
Z2
2
1 2.5i-= 3Z1 30 90i+=
Z1 Z3+ 21.491 39.642i+=
Z4
2
22.658 10.565i-=
Z1 Z3
Z1 Z3+
6.758 8.062i+=
Z1 Z3( ) Z1 Z2( )+ Z2 Z3( )+
Z3
21.11 18.226i+=
Z1 Z3 174.348- 441.138i+= Z1 Z2 170 10i+= Z2 Z3 71.19 38.17i-=
Z3 Z4
Z1 Z3+ Z4+
10.819 0.092i-=
Z3 Z4 724.444 194.114i+=
Z1 Z3+ Z4+ 66.806 18.511i+=
Z2 Z3
Z1 Z4+
Z1 Z4
Z2 Z3+
+ 99.381 50.433i+=
Z2 Z3 71.19 38.17i-=
Z2 Z3
Z1 Z4+
1.147 0.874i-=
Z1 Z4+ 55.315 8.869i+= Z1 Z4
Z2 Z3+
98.234 51.307i+=
Z1 Z4 1.087 10
3
 1.148i 10
3
+=Z2 Z3+ 13.491 4.642i+=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo de determinante de matriz 2x2 e 3x3: 
 
 
 
 
 
Calculando o determinante: 
o) 
 
p) 
 
q) 
 
 
r) 
 
 
 
 
110 e
i 20 °

Z1 Z3+
36 18 i-()+
Z2
2 e
i- 15 °

+ 39.439 21.774i-=
Z1 Z3+ 21.491 39.642i+=
110 e
i 20 °

Z1 Z3+
1.826 1.618i-=
Z2
2 e
i- 15 °

1.613 2.156i-=
220 e
i 0 °

50 e
i- 20 °

40 90 i+( )
10 e
i 45 °

+ 13.327 5.04i+=
220 e
i 0 °

50 e
i- 20 °

4.135 1.505i+=
40 90 i+( )
10 e
i 45 °

9.192 3.536i+=
1500 57 i+( )
1
2
3
4
i+







20 e
i- 15 °
 10 e
i 90 °
+ 100+
6.308 9.412i+=
1500 57 i+( )
1
2
3
4
i+






 707.25 1.153i 10
3
+=
20 e
i- 15 °
 10 e
i 90 °
+ 100+ 119.319 4.824i+=
150 e
i 10 °
 30 e
i- 80 °

350 e
i 120 °

12000 60 i+( )
20
+ 587.338 5.233i+=
150 e
i 10 °
 30 e
i- 80 °
 1.539 10
3
 4.229i 10
3
-=
12000 60 i+( )
20
600 3i+=
150 e
i 10 °
 30 e
i- 80 °

350 e
i 120 °

12.662- 2.233i+=
Z1
Z3
Z2
Z4






Z1 Z4 Z2 Z3-→
Z1
Z4
Z7
Z2
Z5
Z8
Z3
Z6
Z9








Z1 Z5 Z9 Z2 Z6 Z7+ Z3 Z4 Z8+ Z3 Z5 Z7 Z1 Z6 Z8+ Z2 Z4 Z9+( )-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Resolva os sistemas lineares utilizando a regra de Cramer e a equação A . X = B: 
 
Dados: 
 
 
a)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Za 1500 45 i+( ) Ω:= Zb 2800 28 i-( ) Ω:= Zc 2500 60 i+( ) Ω:= Zd 3800 50 i-( ) Ω:=
Ze 2800 10 i+( ) Ω:=
Vf1 20 V:= Vf2 5 V:=
Za Zb+( ) i1 Zb i2- Vf1
Zb- i1 Zb Zc+( ) i2+ 0
s) 
t) 
u) 
 
 
b) 
 
c) 
 
Z1
Z3
Z2
Z3






10 30i+
11.491 9.642i+
2 5i-
11.491 9.642i+






=
Z1
Z3
Z2
Z3






245.538- 479.308i+=
Z1
Z3
Z4
Z1






10 30i+
11.491 9.642i+
45.315 21.131i-
10 30i+






=
Z1
Z3
Z4
Z1






1.524- 10
3
 405.886i+=
Z1
Z4
Z3
Z2
Z1
Z4
Z3
Z2
Z1










10 30i+
45.315 21.131i-
11.491 9.642i+
2 5i-
10 30i+
45.315 21.131i-
11.491 9.642i+
2 5i-
10 30i+








=
Z1
Z4
Z3
Z2
Z1
Z4
Z3
Z2
Z1










1.309 10
3
 2.205i 10
4
-=
Zt
Za Zb+ Zd+
Zb-
Zd-
Zb-
Zb Zc+
0
Zd-
0
Zd Zc+








:= Vt
Vf1
Vf2-
0










:=
30 e
i 20 °
 x 10 e
i- 46 °
 y+ 75
8 e
i 120 °
 x 40 e
i- 16 °
 y+ 14
 
 
Respostas: 
 
Cálculo de determinante de matriz 2x2 e 3x3: 
 
 
 
 
 
Resolução 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Utilizando Cramer: 
Valores multiplicados 
 
 
 
 
 
Simplificando o cálculo do determinante: 
 
 
 
Z1
Z3
Z2
Z4






Z1 Z4 Z2 Z3-→
Z1
Z4
Z7
Z2
Z5
Z8
Z3
Z6
Z9








Z1 Z5 Z9 Z2 Z6 Z7+ Z3 Z4 Z8+ Z3 Z5 Z7 Z1 Z6 Z8+ Z2 Z4 Z9+( )-
Za Zb+( ) i1 Zb i2- Vf1
Zb- i1 Zb Zc+( ) i2+ 0
Matriz_Coef
Za Zb+
Zb-
Zb-
Zb Zc+






4.3 10
3
 17i+
2.8- 10
3
 28i+
2.8- 10
3
 28i+
5.3 10
3
 32i+








=:=
Matriz_TI
Vf1
0






20
0






=:=
Zab Za Zb+ 4.3 10
3
 17i+=:=
Zbc Zb Zc+ 5.3 10
3
 32i+=:=
Zbb Zb
2
- 7.839- 10
6
 1.568i 10
5
+=:=
Za Zb+
Zb-
Zb-
Zb Zc+






Za Zb+( ) Zb Zc+( ) Zb-( ) Zb-( )-[ ]
Zab Zbc Zbb-( )-[ ] 1.495 10
7
 3.845i 10
5
+=
Za Zb+
Zb-
Zb-
Zb Zc+






1.495 10
7
 3.845i 10
5
+=
Vf1
0
Zb-
Zb Zc+






1.06 10
5
 640i+=
Za Zb+
Zb-
Vf1
0






5.6 10
4
 560i-=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Usando AX=B 
 
 
 
 
Valores de cada termo da matriz: 
 
 
 
 
 
 
• Resolvendo por Cramer 
Cálculo do determinante Zt: 
 
i1
Vf1
0
Zb-
Zb Zc+






Za Zb+
Zb-
Zb-
Zb Zc+






7.087 10
3-
 1.394i 10
4-
-=:=
i2
Za Zb+
Zb-
Vf1
0






Za Zb+
Zb-
Zb-
Zb Zc+






3.742 10
3-
 1.337i 10
4-
-=:=
X Matriz_Coef
1-
Matriz_TI:=
Matriz_Coef
1- 3.543 10
4-
 6.972i 10
6-
-
1.871 10
4-
 6.685i 10
6-
-
1.871 10
4-
 6.685i 10
6-
-
2.875 10
4-
 6.256i 10
6-
-








=
X
7.087 10
3-
 1.394i 10
4-
-
3.742 10
3-
 1.337i 10
4-
-








=
Zt
Za Zb+ Zd+
Zb-
Zd-
Zb-
Zb Zc+
0
Zd-
0
Zd Zc+








:= Vt
Vf1
Vf2-
0










:=
Za Zb+ Zd+ 8.1 10
3
 33i-=
Zb- 2.8- 10
3
 28i+=
Zd- 3.8- 10
3
 50i+=
Zb Zc+ 5.3 10
3
 32i+=
Zd Zc+ 6.3 10
3
 10i+=
Zt
8.1 10
3
 33i-
2.8- 10
3
 28i+
3.8- 10
3
 50i+
2.8- 10
3
 28i+
5.3 10
3
 32i+
0
3.8- 10
3
 50i+
0
6.3 10
3
 10i+












= Vt
20
5-
0








=
det Zt( ) 1.445 10
11
 3.422i 10
9
+=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
det M_v1( ) 5.796 10
8
 5.834i 10
6
+=
det M_v2( ) 1.698 10
8
 4.234i 10
6
-=
Matrizes e determinantes: 
Para o cálculo de ia, realizar a montagem das matrizes e calcular os determinantes 
Matriz modificada para o cálculo da primeira variável (v1) 
 
 
Matriz modificada para o cálculo da segunda variável (v2): 
 
Matriz modificada para o cálculo da segunda variável (v3): 
 
 
Cálculo das variáveis v1, v2 e v3: 
 
 
 
• Resolvendo por I.Zt=Vt 
 
 
 
M_v1
Vf1
Vf2-
0
Zb-
Zb Zc+
0
Zd-
0
Zd Zc+










20
5-
0
2.8- 10
3
 28i+
5.3 10
3
 32i+
0
3.8- 10
3
 50i+
0
6.3 10
3
 10i+












=:=
M_v2
Za Zb+ Zd+
Zb-
Zd-
Vf1
Vf2-
0
Zd-
0
Zd Zc+










8.1 10
3
 33i-
2.8- 10
3
 28i+
3.8- 10
3
 50i+
20
5-
0
3.8- 10
3
 50i+
0
6.3 10
3
 10i+












=:=
M_v3
Za Zb+ Zd+
Zb-
Zd-
Zb-
Zb Zc+
0
Vf1
Vf2-
0










8.1 10
3
 33i-
2.8- 10
3
 28i+
3.8- 10
3
 50i+
2.8- 10
3
 28i+
5.3 10
3
 32i+
0
20
5-
0












=:=
det M_v3( ) 3.496 10
8
 1.636i 10
6
-=
v1
det M_v1( )
det Zt( )
4.008 10
3-
 5.453i 10
5-
-=:=
v2
det M_v2( )
det Zt( )
1.174 10
3-
 5.707i 10
5-
-=:=
v3
det M_v3( )
det Zt( )
2.417 10
3-
 6.854i 10
5-
-=:=
I Zt
1-
Vt:=
Zt
1-
2.309 10
4-
 3.705i 10
6-
-
1.219 10
4-
 3.914i 10
6-
-
1.392 10
4-
 4.288i 10
6-
-
1.219 10
4-
 3.914i 10
6-
-
2.531 10
4-
 4.24i 10
6-
-
7.352 10
5-
 3.445i 10
6-
-
1.392 10
4-
 4.288i 10
6-
-
7.352 10
5-
 3.445i 10
6-
-
2.427 10
4-
 4.077i 10
6-
-












=
I
4.008 10
3-
 5.453i 10
5-
-
1.174 10
3-
 5.707i 10
5-
-
2.417 10
3-
 6.854i 10
5-
-












=
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Resolvendo pela regra de Cramer: 
Matrizes modificadas para o cálculo de x e y pelo método de Cramer: 
 
 
Cálculo dos valores de x e y: 
 
 
• Resolendo por A.X=B 
 
 
 
30 e
i 20 °
 x 10 e
i- 46 °
 y+ 75
8 e
i 120 °
 x 40 e
i- 16 °
 y+ 14
Matriz_Coef
30 e
i 20 °

8 e
i 120 °

10 e
i- 46 °

40 e
i- 16 °









:= Matriz_TI
75
14






:=
Matriz_x
75
14
10 e
i- 46 °

40 e
i- 16 °









:=
Matriz_y
30 e
i 20 °

8 e
i 120 °

75
14








:=
x
det Matriz_x( )
det Matriz_Coef( )
2.368 0.632i-=:=
y
det Matriz_y( )
det Matriz_Coef( )
0.589 0.323i-=:=
Var_xy Matriz_Coef
1-
Matriz_TI:=
Matriz_Coef
1- 0.033 9.572i 10
3-
-
3.37 10
3-
 5.916i 10
3-
-
5.876- 10
3-
 6.156i 10
3-
+
0.024 8.593i 10
3-
+








=
Var_xy
2.368 0.632i-
0.589 0.323i-






=
 
 
TÓPICO 2 
 
1 Considere uma tensão senoidal caracterizada pelo sinal dado e apresente: 
 
𝑣(𝑡) = 80 . 𝑠𝑒𝑛(31,41. 𝑡 + 72°) 
 
a) A amplitude do sinal. 
b) A frequência e o período do sinal. 
c) O ângulo de defasagem. 
d) O fasor desse sinal. 
e) O valor da corrente quando essa tensão é aplicada a uma impedância de 𝟏𝟓 − 𝒋𝟐𝟓 𝜴. 
 
Respostas: 
a) 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 80𝑉 
b) 𝑓 =
𝜔
2𝜋
∴ 𝑓 =
31,41
2𝜋
= 5 𝐻𝑧 
c) Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑎𝑠𝑎𝑔𝑒𝑚 𝜃 = 72° 
d) Fasor: 80. 𝑒𝑗72°𝑉 
e) 𝐼 =
𝑉
𝑍
=
80.𝑒𝑗72°
29,155.𝑒−59°
= 2,74. 𝑒131°𝐴 
 
 
2 Considere o circuito, a seguir, e calcule a corrente que circula por cada componente 
considerando: 
 
𝑖(𝑡) = 5 . cos(𝜔𝑡 + 28°) 𝐴; 𝑅 = 250 𝛺; 𝑋𝐿 = 𝑗450 𝛺; 𝑋𝐶 = −𝑗135 𝛺 
 
 
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 496) 
 
 
Resposta.: 
𝑉 = 𝐼. 𝑍𝑒𝑞 
𝑍𝑒𝑞 =
1
1
𝑅
+
1
𝑗𝑋𝐿
+
1
−𝑗𝑋𝐶
=
1
1
250
+
1
𝑗450
+
1
−𝑗135
= 93,27 − 𝑗120,9 𝛺 
𝑉 = 𝐼. 𝑍𝑒𝑞 = 5. 𝑒
𝑗28°. (93,27 − 𝑗120,9) = 4,415 + 𝑗2,35 
𝑣(𝑡) = 152,7 . cos(𝜔𝑡 − 52,35°) 𝑉 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TÓPICO 3 
 
1 Para o circuito apresentado a seguir, suponha que os componentes passivos não possuam 
energia armazenada no instante em que a chave – que fecha os terminais da fonte de corrente – é 
aberta. Obtenha o valor da tensão 𝒗(𝒕) para o circuito, utilizando a transformada de Laplace, 
considerando 𝐼𝐶𝐶 = 30 𝑚𝐴; 𝐶 = 40 𝑛𝐹; 𝑅 = 880 𝛺 𝑒 𝐿 = 30 𝑚𝐻. 
 
 
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 496) 
 
R.: Quando a chave é aberta, a corrente 𝐼𝐶𝐶 é imposta ao circuito, então é como se estivéssemos 
inserindo um degrau de 𝐼𝐶𝐶 no circuito. A corrente no nó + pode ser calculada por: 
 
 
∑ 𝐼+ = 0; 𝑖𝑅(𝑡) + 𝑖𝐿(𝑡) + 𝑖𝐶(𝑡) = 𝐼𝑐𝑐. 𝑢(𝑡) 
𝑣(𝑡)
𝑅
+
1
𝐿
 . ∫ 𝑣(𝑥)𝑑𝑥
𝑡
𝑜
+ 𝑉0(0
−) + 𝐶 .
𝑑
𝑑𝑡
𝑣(𝑡) = 𝐼𝑐𝑐. 𝑢(𝑡) 
 
Aplicando-se a transformada de Laplace na equação dada, lembrando que no tempo 0− o circuito não 
possui energia armazenada, logo 𝑣(0−) = 0, tem-se: 
 
𝑉(𝑠)
𝑅
+
1
𝐿
𝑉(𝑠)
𝑠
+ 𝐶. [𝑠𝑉(𝑠) − 𝑣(0−)] = 𝐼𝐶𝐶(𝑠).
1
𝑠
 
 
Isolando a variável dependente tem-se: 
𝑉(𝑠). (
1
𝑅
+
1
𝑠𝐿
+ 𝑠𝐶) =
𝐼𝐶𝐶 (𝑠)
𝑠
∴ 𝑉(𝑠) =
𝐼𝐶𝐶(𝑠)
𝑠
(
𝑠𝑅𝐿 + 𝑅 + 𝑠2𝑅𝐿𝐶
𝑠𝑅𝐿
)
 | 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑢𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑅𝐿𝐶 
𝑉(𝑠) =
𝐼𝐶𝐶(𝑠)
𝐶
 .
1
𝑠2 +
1
𝑅𝐶
𝑠 +
1
𝐿𝐶
=
30.10−3
40.10−9
 .
1
(𝑠2 +
1
880.40.10−9
𝑠 +
1
30.10−3. 40.10−9
)
 
 
𝑉(𝑠) = 75.104 .
1
(𝑠2 + 28409,091𝑠 + 833,334.106)
 
𝑉(𝑠) =
75.104
(𝑠 − (−14204,5455 + 𝑗25130,955)). (𝑠 − (−14204,5455 − 𝑗25130,955))
 
𝑉(𝑠) =
75.104
(𝑠 + 14204,5455 − 𝑗25130,955). (𝑠 + 14204,5455 + 𝑗25130,955)
 
 
Fazendo: 
𝑀 = 75.104; 𝛼 = 14204,5455; 𝛽 = 25130,955 
𝑉(𝑠) =
𝑀
(𝑠 + 𝛼 − 𝑗𝛽). (𝑠 + 𝛼 + 𝑗𝛽)
=
𝐴1
(𝑠 + 𝛼 − 𝑗𝛽)
+
𝐴2
(𝑠 + 𝛼 + 𝑗𝛽)
 
 
As raízes do polinômio são: −𝛼 ± 𝑗𝛽 
 
Eliminando o denominador tem-se: 
 
𝑀 = 𝐴1(𝑠 + 𝛼 + 𝑗𝛽) + 𝐴2(𝑠 + 𝛼 − 𝑗𝛽) 
 
Para 
 
 −𝛼 + 𝑗𝛽 ∶ 𝑀 = 𝐴1(𝑠 + 𝛼 + 𝑗𝛽) ∴ 𝑀 = 𝐴1(−𝛼 + 𝑗𝛽 + 𝛼 + 𝑗𝛽) ∴ 𝑀 = 𝐴1. (𝑗2. 𝛽) 
 
 
𝐴1 =
𝑀
𝑗2𝛽
=
|𝑀|. 𝑒𝑗𝜃
|𝑗2𝛽|. 𝑒𝑗90°
; 
 −𝛼 − 𝑗𝛽 ∶ 𝑀 = 𝐴2(𝑠 + 𝛼 − 𝑗𝛽) ∴ 𝑀 = 𝐴2(−𝛼 − 𝑗𝛽 + 𝛼 − 𝑗𝛽) ∴ 𝑀 = 𝐴2. (−𝑗2. 𝛽) 
𝐴2 =
𝑀
−𝑗2𝛽
=
|𝑀|. 𝑒𝑗𝜃
|𝑗2𝛽|. 𝑒−𝑗90°
; 
 
Pode-se observar que 𝐴2 é o complexo conjugado de 𝐴1. 
 
Onde: 
|𝑀| = √𝑅𝑒(𝑀)2 + 𝐼𝑚(𝑀)2; 𝜃 = 𝑡𝑔−1 (
𝐼𝑚(𝑀)
𝑅𝑒(𝑀)
) 
|𝑗2𝛽| = √𝑅𝑒(𝑗2𝛽)2 + 𝐼𝑚(𝑗2𝛽)2; 𝜃 = 90° 
 
Em sendo assim, tem-se: 
 
𝐴1 =
𝑀
𝑗2𝛽
=
|𝑀|. 𝑒𝑗𝜃
|𝑗2𝛽|. 𝑒𝑗90°
=
75.104. 𝑒𝑗𝜃
2. 25130,955. 𝑒𝑗90°
= 14,923. 𝑒−𝑗90° 
𝐴2 =
𝑀
−𝑗2𝛽
=
|𝑀|. 𝑒𝑗𝜃
|−𝑗2𝛽|. 𝑒−𝑗90°
=
75.104. 𝑒𝑗𝜃
2. 25130,955. 𝑒−𝑗90°
= 14,923. 𝑒𝑗90° 
 
Em sendo assim: 
 
𝑉(𝑠) =
14,923. 𝑒−𝑗90°
(𝑠 + 14204,5455 − 𝑗25130,955)
+
14,923. 𝑒𝑗90°
(𝑠 + 14204,5455 + 𝑗25130,955)
 
 
Para uma função de transferência dada por 
 
𝐹(𝑠) =
|𝐴|. 𝑒𝑗𝜃
(𝑠 + 𝛼 − 𝑗𝛽)
+
|𝐴|. 𝑒−𝑗𝜃
(𝑠 + 𝛼 + 𝑗𝛽)
→ 𝑓(𝑡) = 2. |𝐴|. 𝑒−𝛼𝑡 . 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑡 + 𝜃) 
 
Logo: 
 
𝑣(𝑡) = 2. |14,923|. 𝑒−14204,5455𝑡. 𝑐𝑜𝑠(25130,955. 𝑡 + 90°) 𝑉 
𝑣(𝑡) = 29,884. 𝑒−14204,5455𝑡. 𝑐𝑜𝑠(25130,955. 𝑡 + 90°) 𝑉 
 
 
 
 
 
2 Qual é a expressão da corrente que circula pelo indutor, quando submetido a uma resposta 
degrau, para o circuito apresentado na questão anterior? 
R.: A tensão e a corrente no indutor são dadas por: 
 
𝑉𝐿(𝑠) =
𝐼𝐶𝐶(𝑠)
𝐶
 .
1
𝑠2 +
1
𝑅𝐶
𝑠 +
1
𝐿𝐶
; 
𝐼𝐿(𝑠) =
𝑉𝐿(𝑠)
𝑠𝐿
∴ 𝐼𝐿(𝑠) =
𝐼𝐶𝐶 (𝑠)
𝐶
1
(𝑠2 +
1
𝑅𝐶
𝑠 +
1
𝐿𝐶
)
.
1
𝑠𝐿
 
𝐼𝐿(𝑠) =
𝐼𝐶𝐶 (𝑠)
𝐿𝐶
1
𝑠 (𝑠2 +
1
𝑅𝐶
𝑠 +
1
𝐿𝐶
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Dado o filtro passa baixa passivo, encontre a função de transferência do circuito utilizando 
Laplace. 
 
𝐹. 𝑇. =
𝑉𝑜𝑢𝑡
𝑉𝑖𝑛
 
 
Resposta: 
𝑉𝑜𝑢𝑡 =
𝑍𝐶
𝑅 + 𝑍𝐶
. 𝑉 = 
(
1
𝑠𝐶
)
(𝑅 +
1
𝑠𝐶
)
. 𝑉 =
(
1
𝑠𝐶
)
(
𝑠𝑅𝐶 + 1
𝑠𝐶
)
. 𝑉 =
1
𝑠𝑅𝐶 + 1
𝑉 
𝑉𝑜𝑢𝑡 =
1
(𝑠𝑅𝐶 + 1)
. 𝑉 ; 𝑉𝑖𝑛 = 𝑉 
𝐹. 𝑇. =
𝑉𝑜𝑢𝑡
𝑉𝑖𝑛
=
(
1
𝑠𝑅𝐶 + 1
. 𝑉)
𝑉
=
1
𝑠𝑅𝐶 + 1
 
𝐹. 𝑇. =
1
𝑠𝑅𝐶 + 1
 
 
 
 
UNIDADE 2 
 
 
 
 
 
TÓPICO 1 
 
 
1 Dado um circuito em que, aplicada a tensão de 𝒗 = 𝟏𝟓𝟎. 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕 + 𝟏𝟎°), a corrente resultante é de 
𝒊 = 𝟓. 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕 − 𝟓𝟎º). Determine o triângulo de potências. 
R.: Na forma polar, temos a tensão elétrica dada por: 𝑉 = (
150
√2
) ∠10º [𝑉] 
 
𝑉 = 106∠10º [𝑉] 
 
Ainda, na forma polar, podemos representar a corrente elétrica por: 
 
𝐼 = (
5
√2
) ∠ − 50º [𝐴] 
𝐼 = 3,54 ∠ − 50º [𝐴] 
 
Com isso, a potência aparente é: 𝑆 = 𝑉. 𝐼∗ 
 
𝑆 = (106∠10º ). (3,54∠50º ) 
𝑆 = 375∠60º [𝑉𝐴] 
𝑆 = (187,5 + 𝑗325)[𝑉𝐴] 
Dessa forma, os módulos das potências ativa, reativa e aparente são: 
 
𝑃 = 𝑅𝑒(�̇�. 𝐼∗̇) ∴ 𝑃 = 1975 [𝑊] 
𝑄 = 𝐼𝑚(�̇�. 𝐼∗̇) ∴ 𝑄 = 325 [𝑉𝐴𝑟](𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜) 
𝑆 = |�̇�. 𝐼∗̇| ∴ 𝑆 = 375 [𝑉𝐴] 
 
O fator de potência é dado por: 𝑓. 𝑝. = cos(𝜃) ∴ 𝑓. 𝑝. = cos(60º) ∴ 𝑓. 𝑝. = 0,5 (𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜). 
 
O triângulo de potências é mostrado a seguir: 
 
 
 
2 A afirmação “a potência média absorvida por um indutor é zero” é verdadeira ou falsa? 
Justifique. 
R.: A afirmação é verdadeira, pois, apenas os elementos resistores absorvem potência média em um 
circuito elétrico. Indutores e capacitores não absorvem potência elétrica. 
 
3 Uma corrente elétrica de 𝑰 = 𝟏𝟎∠𝟑𝟎° [A] flui por uma impedância de 𝒁 = 𝟐𝟎∠ − 𝟐𝟐° []. Determine 
a potência média transmitida a essa impedância elétrica. 
R.: 927,2 [W]. 
 
4 Dados 𝒗(𝒕) = 𝟏𝟐𝟎. 𝐜𝐨𝐬 (𝟑𝟕𝟕𝒕 + 𝟒𝟓°) e 𝒊(𝒕) = 𝟏𝟎. 𝐜𝐨𝐬 (𝟑𝟕𝟕𝒕 − 𝟏𝟎°), determine a potência instantânea 
e média desse circuito elétrico. 
R.: A potência instantânea é 𝑝(𝑡) = 344,2 + 600. cos(754𝑡 + 35°) [𝑊]. A potência média é: 344,2 [W]. 
 
5 Calcule a potência instantânea e a potência média absorvida por um circuito linear passivo, 
sendo (𝒕) = 𝟖𝟎. 𝐜𝐨𝐬 (𝟏𝟎𝒕 + 𝟐𝟎°) e 𝒊(𝒕) = 𝟏𝟓. 𝐜𝐨𝐬 (𝟏. 𝒕 + 𝟔𝟎°). 
R.: A potência instantânea é 𝑝(𝑡) = 385,7 + 600. cos(20𝑡 − 10°) [𝑊]. A potência média é: 385,7 [W]. 
 
6 Para uma carga Vrms = 110  85° [V], Irms = 0,4  15° [A], determine: 
 
 
 
a) As potências complexa e aparente. 
Resposta: (a) 44  70° [VA], 44 [VA] 
 
b) As potências real e reativa. 
R.: P = 15,05 [W], Q = 41,35 [VAr] 
 
7 Em um circuito série de dois elementos, a potência é de 940 [W] e o fator de potência é de 0,707 
(adiantado). Sendo 𝒗 = 𝟗𝟗. 𝒔𝒆𝒏(𝟔𝟎𝟎𝟎. 𝒕 + 𝟑𝟎°) a tensão aplicada, determine as constantes R e C do 
circuito. 
R.: R= 2,6 [] e C = 64,1 [F]. 
 
8 Um motor de indução, cuja saída é de 2 h.p., tem rendimento de  = 85%. Com essa carga, o fator 
de potência é de 0,8 (atrasado). Determine as potências de entrada. Dica: utilize a expressão 
matemática para a potência quando em h.p. e quando é conhecido o valor do rendimento do motor: 
𝑺 =
𝑷(𝒉.𝒑.) 𝒙 𝟕𝟒𝟔
𝜼 𝒙 𝒇.𝒑.
. 
R.: S = 2194,12 [VA];  = 36,9º e Q = 1317,39 [VAr]. 
 
9 Dado o circuito série, a seguir, determine o triângulo de potências. 
 
 
FONTE: Os autores 
 
R.: O triângulo de potências é mostrado a seguir: 
 
 
FONTE: Os autores 
 
 
10 A corrente eficaz total no circuito, a seguir, é de 30 [A]. Determine a impedância equivalente do 
circuito, as potências ativa, reativa, aparente e o fator de potência desse circuito. 
 
 
FONTE: Os autoresR.: Z = 0,533 []; P = 2165 [W]; Q =483 [VAr]; S = P – jQ = 2210 [VA]; f.p. = 0,98 (adiantado). 
 
11 No circuito em paralelo, a seguir, a potência total é de 1.100 W. Determine a potência em cada 
resistor e a leitura do amperímetro. 
 
 
FONTE: Os autores 
 
R.: P = 600 [W]; I = 19,25 - 36º [A]. 
 
12 Calcule a potência média absorvida em cada um dos cinco elementos apresentados no circuito 
a seguir: 
 
 
FONTE: Os autores 
 
R.: Fonte de tensão de 40 V: –60 W; fonte de tensão de j20 V: –40 W; resistor: 100 W; outros: 0 W. 
 
 
 
 
TÓPICO 2 
 
1 Qual é o instrumento utilizado para a medição de potência média? Como ele funciona e quais são 
os seus principais tipos? 
R.: O wattímetro é o instrumento que realiza a medição de potência elétrica fornecida ou absorvida por um 
elemento em um circuito elétrico. Essa medição ocorre, simultaneamente, pelos valores de tensão e 
corrente, e os multiplica para obter a potência em watts. Há três tipos de wattímetros: eletrodinâmico, 
eletrônico e digital. 
 
2 Explique com suas palavras o que é e como funciona o teorema da máxima transferência de 
potência em circuitos de corrente alternada. 
R.: O teorema da máxima transferência de potência em circuitos de corrente contínua ocorre quando o 
circuito sem carga é representado por um circuito equivalente de Thévenin, então, a máxima transferência 
de potência é a igualdade entre o valor resistivo da carga e a resistência equivalente de Thévenin: 𝑅𝐿 =
𝑅𝑇𝐻 . Em corrente alternada, a máxima transferência de potência é dada por: 𝑍𝐿 = 𝑍𝑇𝐻
∗ . A expressão 
matemática para cálculo da potência em um circuito onde ocorre a máxima transferência de potência é: 
𝑃𝑚á𝑥 =
|𝑉𝑇𝐻̇ |
2
8.𝑅𝑇𝐻
. 
 
3 No circuito a seguir, o resistor de 60  absorve uma potência média de 240 W. Determine V e a 
potência complexa de cada ramo do circuito, bem como a potência complexa total do circuito, 
supondo que a corrente do resistor de 60  não apresenta deslocamento de fase. 
 
 
FONTE: Alexander; Sadiku (2003, p. 410) 
 
R.: 240,7∠21,45º [𝑉𝑟𝑚𝑠]; o resistor de 20 []; S = 656 [VA]; Z = (30 – j10) []; S = (480 – j160) [VA]; Z = 
(60 + j20) []; S = (240 + j80) [VA]; Stotal = (1376 – j 80) [VA]. 
 
4 No circuito a seguir, Z1 = 60 – 30° [] e Z2 = 40  45° []. Calcule os valores totais de: 
 
 
FONTE: Alexander; Sadiku (2003, p. 410) 
 
a) Potência aparente. 
b) Potência real. 
c) Potência reativa. 
d) FP fornecido pela fonte e visto pela fonte. 
R.: A corrente que flui através de Z1 é dada por: 𝐼1̇ =
�̇�
�̇�1
∴ 𝐼1̇ =
120∠10º
60∠−30º
∴ 𝐼1̇ = 2∠40º [𝐴𝑟𝑚𝑠]. 
A corrente que flui através de Z2 é dada por: 𝐼2̇ =
�̇�
�̇�2
∴ 𝐼2̇ =
120∠10º
40∠45º
∴ 𝐼2̇ = 3∠ − 35º [𝐴𝑟𝑚𝑠]. 
As potências complexas absorvidas pelas impedâncias elétricas são dadas por: 
 
 
𝑆1 =
𝑉𝑟𝑚𝑠
2
𝑍1
∗ 
𝑆1 =
(120)2
60∠30º
∴ 𝑆1 = 240 − ∠30º ∴ 𝑆1 = 207,85 − 𝑗120 [𝑉𝐴]. 
𝑆2 =
𝑉𝑟𝑚𝑠
2
𝑍2
∗ 
𝑆2 =
(120)2
40∠ − 45º
 
𝑆2 = 360∠45º 
𝑆2 = (254,6 + 𝑗254,6) [𝑉𝐴]. 
A potência complexa total é: 
𝑆𝑡 = 𝑆1 + 𝑆2 
𝑆𝑡 = (462,4 + 𝑗134,6) [𝑉𝐴]. 
(a) O módulo potência aparente total é: 
|𝑆𝑡| = √(462,4)
2 + (134,6)2 [𝑉𝐴]. 
(b) A potência real total é: 
𝑃𝑡 = 𝑅𝑒(𝑆𝑡) 
𝑃𝑡 = 462,4 [𝑊] 
Ou, ainda: 𝑃𝑡 = 𝑃1 + 𝑃2. 
 
(c) A potência reativa total é: 
𝑄𝑡 = 𝐼𝑚(𝑆𝑡) ∴ 𝑄𝑡 = 134,6 [𝑉𝐴𝑟] 
Ou, 
𝑄𝑡 = 𝑄1 + 𝑄2. 
a) O fator de potência é: 
𝑓. 𝑝. = 
𝑃𝑡
|𝑆𝑡|
 
𝑓. 𝑝. = 
462,4
481,6
 
𝑓. 𝑝. = 0,96 (𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜). 
 
Pode-se verificar o resultado determinando a potência complexa Ss fornecida pela fonte: 
 
𝐼𝑡 = 𝐼1 + 𝐼2 
𝐼𝑡 = (1,532 + 𝑗1,286) + (2,457 − 𝑗1,721) 
𝐼𝑡 = (4 − 𝑗0,435) [𝐴]. 
 
Ou, na forma polar: 
 
𝐼𝑡 = 4,024 ∠ − 6,21º[𝐴𝑟𝑚𝑠]. 
 
Com isso, a potência aparente será: 
 
𝑆𝑠 = 𝑉. 𝐼𝑡
∗ 
𝑆𝑠 = (120∠10º). (4,024∠6,21º)[𝑉𝐴]. 
 
Na forma polar: 
 
𝑆𝑠 = 482,88∠16,21º [𝑉𝐴]. 
 
Ou, na forma retangular: 
 
𝑆𝑠 = (463 + 𝑗35) [𝑉𝐴]. 
 
Concluímos que é o mesmo que aquele obtido anteriormente. 
 
5 Para o circuito mostrado a seguir, determine a impedância ZL da carga que absorve a potência 
média máxima e calcule essa potência. 
 
 
 
 
FONTE: Alexander; Sadiku (2003, p. 399) 
 
R.: Z = (3,415 - j0,7317) [], Pmáx = 51,47 [W]. 
 
6 No circuito a seguir, determine o valor de RL, que irá absorver a potência média máxima. Calcule 
essa potência. 
 
 
FONTE: Alexander; Sadiku (2003, p. 400) 
 
R.: Pmáx = 39,29 [W]. 
 
7 No circuito a seguir, o resistor RL é ajustado até absorver a potência média máxima. Calcule RL e 
a potência média máxima absorvida por ele. 
 
 
FONTE: Alexander; Sadiku (2003, p. 400) 
 
R.: RL = 30 [] e Pmáx = 6,863 [W]. 
 
8 A impedância de Thévenin de um circuito, vista dos terminais da carga, é ZTH = (80 + j 55) []. 
Para a máxima transferência de potência, a impedância da carga deve ser: 
 
a) ( ) (– 80 + j 55) []. 
b) ( ) (– 80 – j 55) []. 
c) ( ) (80 – j 55) []. 
d) ( ) (80 + j 55) []. 
 
9 A grandeza que contém todas as informações sobre a potência em uma determinada carga é: 
 
a) ( ) O fator de potência. 
b) ( ) A potência aparente. 
c) ( ) A potência média. 
d) ( ) A potência reativa. 
e) ( ) A potência complexa. 
 
 
 
10 Dado o circuito mostrado a seguir, encontre o valor de ZL para que haja uma máxima 
transferência de potência média. Determine, também, o valor da potência média máxima 
transferida para a carga. 
 
 
FONTE: Irwin (2000, p. 438) 
 
R.: 𝑍𝐿 = (1,4 − 𝑗0,43)[Ω], 𝑃𝐿 = 2,5 [𝑊]. 
 
11 Para o circuito mostrado a seguir, encontre o valor de ZL para que haja uma máxima 
transferência de potência média. Determine, também, o valor da potência média máxima fornecido 
à carga. 
 
 
FONTE: Irwin (2000, p. 439) 
 
R.: �̇�𝐿 = (1 + 𝑗1) [Ω], 𝑃𝐿 = 1,25 [𝑊]. 
 
12 Dada a rede a seguir, determine ZL para que haja uma máxima transferência de potência média 
total transferida para a carga. 
 
 
FONTE: Irwin (2000, p. 440) 
 
R.: �̇�𝐿 = (1 + 𝑗1) [Ω], 𝑃𝐿 = 44,94 [𝑊]. 
 
13 Determine ZL para uma transferência máxima de potência média e a potência média máxima 
transferida para a carga na rede a seguir: 
 
 
 
 
FONTE: Irwin (2000, p. 440) 
 
R.:�̇�𝐿 = (2 + 𝑗2)[Ω], 𝑃𝐿 = 180[𝑊]. 
 
 
 
 
TÓPICO 3 
 
 
1 O que é o fator de potência e como é calculado? 
R.: O fator de potência conhecido por f.p. é definido como sendo o cosseno da diferença de fase entre a 
tensão e a corrente. Ele é também considerado como sendo o ângulo da impedância de carga em um 
circuito elétrico ou em um sistema de potência. Sua expressão matemática é dada por: 𝑓. 𝑝. = cos (𝜃), 
onde:  é a diferença de fase entre v e i. E,  pode ser expresso em graus ou em radianos. 
 
2 Como se corrige o fator de potência em uma máquina elétrica? 
R.: Adiciona-se um elemento reativo, ou seja, um capacitor, em paralelo com a carga, a fim de fazer o f.p. 
se aproximar de 1. 
 
3 O que são bancos capacitivos? 
R.: Com o f.p. acima de 0,92 além de evitar multas da concessionária de energia da sua região, os bancos 
de capacitores reduzem a potência reativa fornecida pelo transformador e, são destinados a compensação 
da carga indutiva nas indústrias. 
 
4 Uma carga de 300 kW alimentada por 13 kVrms opera 520 horas por mês, com um fator de 
potência de 80%. Calcule o custo médio mensal tomando como base a seguinte tarifa simplificada: 
tarifa de consumo de energia: 6 centavos por kWh; multa por fator de potência: 0,1% da tarifa de 
consumo de energia para cada 0,01 que o FP cair abaixo de 0,85; e crédito por fator de potência: 
0,1% da tarifa de consumo de energia para cada 0,01 que o FP exceder a 0,85. 
R.: A energia consumida é dada por: 𝑊 = 300 𝑘𝑊 𝑥 520 ℎ ∴ 𝑊 = 156.000 [𝑘𝑊ℎ]. 
O fator de potência operacional, f.p. = 80% = 0,8 é 5 × 0,01 abaixo do fator de potência predeterminado, 
0,85. 
Uma vez que existe uma tarifa de consumo de energia de 0,1% para cada 0,01, há uma multa por fator de 
potência de 0,5%. 
Isso chega a uma tarifa de consumo de energiaigual a: Δ𝑊 = 156.000 𝑥 
5 𝑥 0,1
100
∴ Δ𝑊 = 780 [𝑘𝑊ℎ]. 
A energia total é: 𝑊𝑡 = 𝑊 + Δ𝑊 ∴ 𝑊𝑡 = 156.000 + 780 ∴ 𝑊𝑡 = 156.780 [𝑘𝑊ℎ]. 
O custo mensal é dado por: 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 = 6 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠 𝑥 𝑊𝑡 ∴ 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 = 𝑈𝑆$ 0,06 𝑥 176,78 ∴ 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 =
𝑈𝑆$ 9.406,80. 
 
5 Um forno de indução 800 kW com fator de potência 0,88 opera 20 horas por dia, durante 26 dias 
de um mês. Determine a conta mensal de eletricidade tomando como base a tarifa da questão 
anterior. 
R.: R$ 24.885,12. 
 
6 A leitura mensal do medidor de uma fábrica de papel é a seguinte: demanda máxima = 32.000 kW; 
energia consumida = 500 MWh. Usando a tarifa de duas partes do exemplo numérico apresentado 
na Leitura Complementar, calcule a conta mensal dessa fábrica de papel. 
R.: R$ 186.500. 
 
7 Obtenha o fator de potência e a potência aparente (S) de uma carga cuja impedância é de Z = 60 + 
j40 [], quando a tensão aplicada for v(t) = 320 cos (377t + 100°) [V]. 
R.: f.p. = 0,8321 (atrasado), S = 710  33,69° [VA]. 
 
8 Dada uma carga Vrms = 110  85° [V], Irms = 0,4  15° [A], determine o fator de potência e a 
impedância de carga. 
R.: f.p. = 0,342 (atrasado), Zc = (94,06 + j258,4) []. 
 
9 Determine o valor da capacitância em paralelo necessária para corrigir uma carga de 140 kVAr 
com FP de 0,85 (atrasado) para um FP unitário. Suponha que a carga seja alimentada por uma linha 
de 110 Vrms, em 60 Hz. 
R.: C = 30,69 [mF]. 
 
10 Uma carga industrial consome 100 kW com um FP = 0,707 (atrasado). A tensão de linha de 60 Hz 
na carga é de 480  0° Vrms. A resistência da linha de transmissão entre o transformador da 
concessionária de energia e a carga é de 0,1 . Determine a economia de potência que poderia ser 
obtida caso o FP fosse modificado para 0,94 (atrasado). 
R.: A economia de potência seria de P = 3,77 [kW]. 
 
 
 
11 Uma carga industrial consome 88 kW com um FP = 0,707 (atrasado). A tensão de linha de 60 Hz 
na carga é de 480  0° Vrms. A resistência da linha de transmissão entre o transformador da 
concessionária de energia e a carga é de 0,08 , conforme mostra o circuito a seguir. Determine a 
potência que deve ser fornecida pela companhia de energia elétrica. Além disso, calcule o FP caso 
fosse modificado para 0,90 (atrasado). 
 
 
FONTE: Irwin (2000, p. 445) 
 
R.: A corrente rms é 259,3 [Arms], a potência é de 93,38 [kW]; a corrente rms é de 203,7 [Arms]; e a potência 
é de 91,32 [kW]. 
 
12 Calcule o valor do capacitor necessário para modificar o fator de potência do último exemplo 
prático para FP = 0,95 em atraso. 
R.: C = 773 [F]. 
 
 
 
 
 
UNIDADE 3 
 
 
 
 
 
 
TÓPICO 1 
 
 
1 Qual é a sequência de fase de cada um dos seguintes conjuntos de tensões? 
 
a) va(t) = 127cos(ωt + 54°) V 
vb(t) = 127cos(ωt – 66°) V 
vc(t) = 127cos(ωt + 174°) V 
 
b) va(t) = 6100cos(ωt – 26°) V 
vb(t) = 6100cos(ωt + 94°) V 
vc(t) = 6100cos(ωt – 146°) V 
 
R.: 
a) abc ou positiva 
b) acb ou negativa 
 
2 Uma carga trifásica ligada em Δ apresenta uma corrente IAC = 10∠–30° A. Considerando que o 
circuito tem sequência de fases positivas, calcule: 
 
a) As correntes de linha. 
b) A impedância da carga, sabendo que VAB = 110∠0° V. 
 
R.: 
a) IA = 17,32∠0° A; IB = 17,32∠-120° A; IC = 17,32∠120° A. 
b) Zcarga = 11∠-30°  
 
3 Considere o sistema trifásico equilibrado Y-Y mostrado na figura a seguir. A tensão de fase nos 
terminais da carga é de 2.400 volts. A impedância de carga Zcarga vale 16 + j12 Ω. As impedâncias 
da linha valem Zlinha = 0,10 + j0,80 Ω. A fonte possui sequência de fases negativas (acb) e 
impedância interna Zfonte = 0,02 + j0,16 Ω. Utilize a tensão da fase a na carga como referência e 
calcule: 
 
a) As correntes de linha IAa, IBb, ICc e INn. 
 
b) As tensões de linha na fonte VAB, VBC e VCA. 
 
 
FONTE: Os autores 
 
R.: 
a) IAa = 120∠-36,87° A, IBb = 120∠83,13° A, ICc = 120∠-156,87° A. 
b) VAB = 4.275,02∠-28,38°V, VBC = 4.275,02∠91,62°V, VCA = 4.275,02∠--148,38°V. 
 
4 A tensão de linha VAB nos terminais de uma carga trifásica equilibrada ligada em Δ é 4160∠0° V. A 
corrente de linha IAa é 69,35∠–10° A. 
 
a) Calcule a impedância de carga ZAB, considerando a sequência de fases positiva. 
b) Repita o cálculo para uma sequência de fases negativas. 
R.: 
a) ZAB = 104∠-20° Ω; 
 
 
b) ZAB = 104∠40° Ω. 
 
5 Um sistema trifásico equilibrado possui sua fonte de tensão em Δ conectada a uma carga 
trifásica também em Δ, por condutores ideais (sem impedâncias). Sabendo que a tensão VAB = 
210∠0° volts, a sequência de fases é positiva e que cada impedância da carga vale ZC = 12 + j9 , 
determine as correntes de linha e de fase na carga. 
R.: 
IAB = 14∠-36,87°A; IBC = 14∠-156,87°A; ICA = 14∠83,13°A; 
IAa = 24,25∠-66,87° A; IBb = 24,25∠-186,87° A; ICc = 24,25∠53,13° A. 
 
 
 
 
TÓPICO 2 
 
 
1 Um sistema elétrico equilibrado Y-Y é composto por um gerador com tensão de linha de 208 V, 
que se conecta a uma carga com uma impedância Zc = 10 – j10 Ω por fase. Calcule o módulo: 
 
a) Da tensão de fase do gerador. 
b) Da tensão de fase na carga. 
c) Da corrente de fase na carga. 
d) Da corrente de linha. 
 
R.: 
a) 120,1 V; b) 120,1 V; c) 16,98 A; d) 16,98 A. 
 
2 Um sistema trifásico equilibrado Y-Y possui a fonte conectada em sequência positiva. A tensão 
fase-neutro da fase A é VAN = 120∠0° V. A carga é formada por uma impedância ZY = 9 + j12 Ω. 
Determine: 
 
a) As tensões de fase. 
b) As correntes de fase. 
c) O módulo das correntes de linha. 
d) O módulo das tensões de linha. 
 
R.: 
a) VAN = 120∠0° V; VBN = 120∠-120° V; VCN = 120∠120° V; 
b) IAa = 8∠-53,13°A; IBb = 8∠-173,13°A; ICc = 8∠66,87°A; 
c) |IL| = 8 A; 
d) |VL| = 207,85 V. 
 
3 Uma carga trifásica equilibrada em Δ possui uma impedância ZΔ = 6,8 + j14 Ω por fase. Essa 
carga está conectada a uma fonte trifásica em Y com tensão de linha de 208 V. Calcule o módulo: 
 
a) Da tensão de fase no gerador. 
b) Da tensão de fase na carga. 
c) Da corrente de fase da carga. 
d) Da corrente de linha. 
 
R.: 
a) 120,1 V; b) 208 V; c) 13,36 A; d) 23,15 A. 
 
4 Um sistema Δ-Δ, com sequência de fases positiva, possui uma tensão de linha VAB = 100∠0°V. A 
carga é formada por impedâncias ZΔ = 20 – j20 Ω. Considere as fontes de tensão e as linhas que 
conectam a fonte à carga como ideais. Determine: 
 
a) As tensões de fase na carga. 
b) Determine as correntes de fase na carga. 
c) Determine o módulo das correntes de linha. 
 
R.: 
a) VAB = 100∠0°V; VBC = 100∠-120° V; VCA = 100∠120° V; 
b) IAB = 7,05∠45°V; IBC = 7,05∠-75° V; ICA = 7,05∠165° V; 
c) IL = 12,25 A. 
 
5 Dois wattímetros estão conectados de forma a medir a potência de uma carga trifásica 
equilibrada. As leituras dos instrumentos são W1 = 8 kW e W2 = 4 kW. Determine: 
 
a) A potência média total consumida. 
b) O fator de potência da carga. 
 
R.: 
a) PT = 12 kW; 
b) Φ = 30° e FP = 0,866 capacitivo. 
 
 
 
TÓPICO 3 
 
1 Considere o sistema trifásico desequilibrado da figura a seguir: 
 
 
Dados: 
VAB = 2080° V 
VBC = 208–120° V 
VCA = 208–240° V 
ZA = 10 + j10 Ω 
ZB = 12 + j12 Ω 
ZC = 2 + j2 Ω 
FONTE: Boylestad (2012, p. 861) 
 
a) Calcule o módulo das tensões em cada fase na carga. 
b) Calcule o módulo das correntes em cada fase na carga. 
c) Determine a potência média, reativa, aparente e o fator de potência do sistema. 
d) Determine as correntes de fase. 
e) Utilizando os resultados do item c, calcule a corrente no neutro. 
 
R.: 
a) 120,09 V 
b) IAN = 8,49 A; IBN = 7,08 A; ICN = 42,47 A 
c) PT = 4930 W; QT = 4930 VAR; ST = 6970 VA; FP = 0,707 atrasado 
d) IAN = 8,49-75°A; IBN = 7,08-195°A; ICN = 42,4745°A 
e) IN = 35,09-43°A 
 
 
2 Para o sistema trifásico de três fios mostrado na figura a seguir, determine as correntes de linha 
IA, IB e IC. 
 
 
Dados: 
VAB = 2000° V 
VBC = 141,4–135° V 
VCA = 141,4135° V 
ZA = 6 Ω 
ZB = 5,2 – j3 Ω 
ZC = j12 Ω 
FONTE: Adaptada de Boylestad (2012, p. 861) 
 
R.: 
IA = 11,87-22,07°A; IB = 22,77-161,31°A; IC = 10,9415,02°A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Considere o circuitotrifásico com uma carga desequilibrada conectada em delta da figura a 
seguir: 
 
 
 
 
Dados: 
VBA = 2300° V 
VCB = 230120° V 
VAC = 230–120° V 
ZAB = 100 + j173,2 Ω 
ZBC = 100 – j100 Ω 
ZCA = 150 Ω 
FONTE: Os autores 
 
Determine: 
a) As correntes de fase IBA, IAC e ICB. 
b) As correntes de linha IA, IB e IC. 
c) O diagrama fasorial das correntes e tensões. 
 
R.: 
a) IBA = 1,15-60°A; ICB = 1,623165°A; IAC = 1,533-120°A; 
b) IA = 1,382-166,10°A; IB = 2,571-33,43°A; IC = 1,925-114,70°A; 
c) Diagrama fasorial 
 
 
FONTE: Os autores