resumo Matemática

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Contradição: quando as repostas forem todas falsas. 
Tautologia = todas verdadeiras 
Contingencia = verdadeiras e falsas. Pelo menos uma de cada. 
Disjunção exclusiva(ou exclusivo): Só será falsa quando ambas forem 
verdadeiras ou ambas forem falsas. 
Condicional (->) Chama-se proposição condicional → uma proposição 
representada por “ se p então q “, cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em 
que p é verdadeira e q é falsa e a verdade (V) nos demais casos. Se P = 
Verdadeiro e Q = Falso vai dar Falso/ Se P = f e Q = v vai dar Verdadeiro/ Se os 
dois forem iguais ex: FF ou VV vai dar Verdadeiro. 
EX: Se fizer sol |vamos à praia. Se p for V, fez sol então vc deve ir a praia, no 
caso se p=v e q=f vai dar um resultado falso pois vc não cumpriu a promessa mas 
se p = f e q = v vai dar verdadeiro pois mesmo não dando sol vc foi a praia. E se 
os dois forem falsos vai dar verdadeiro pois vc só era obrigado a ir a praia se 
desse sol. 
Bicondicional (<->):Chama-se proposição bicondicional ↔ ou apenas 
bicondicional uma proposição representada por “ p se e somente se q”, cujo 
valor lógico é a verdade (V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsa , 
e a falsidade (F) nos demais casos. Só será verdadeira quando ambas forem 
falsas ou ambas forem verdadeiras. Ex: no bicondicional as duas proposições 
precisam que a outra seja igual no caso só vou a praia se der sol e se estou na 
praia é porque deu sol, não é admitida outra opção. 
(^)Conjunção equivale ao AND: só é verdade quando ambas são verdades. 
Negação Conjunta = só é verdade quando ambas forem falsas. 
(v) Disjunção equivale ao OR = um dos dois tem que ser verdadeiro para dar 
Verdadeiro, só é falsa quando ambas forem falsas. Negação Disjunta = só é falsa 
quando ambas forem verdadeiras. 
Ordem de precedência:(mais fraco para o mais forte ): ~, and(^) e ou(v) , 
condicional ->, bicondicional <-> 
(~) negação 
______________________________________________________ 
Aula 4-IMPLICAÇÃO LÓGICA 
(=>) implica : q => p^q <-> p, q implica p^q <-> p Diz-se que uma proposição 
P(p,q,r,...) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q(p,q,r,...) , se 
Q(p,q,r,......) é verdadeira (V) todas as vezes que P(p,q,r,.....) é verdadeira (V). 
 
Adição 
 
Se tenho p posso concluir que tenho “p” ou “q” 
 Todas as vezes que “p” foi verdadeiro o resultado também foi 
verdadeiro. Então posso afirmar que p implica em p v q. 
Em frase: Vou ao cinema. Implica em Vou ao cinema ou vou a praia. 
Simplificação 
 Todas as vezes que o p^q é verdadeiro o “p” também é 
verdadeiro. O mesmo não posso dizer de p=> p^q. Na primeira linha onde p=V o 
p^q=V mas na segunda linha o p=V e p^q =F então posso concluir que p não implica 
em p^q. 
Em frase: Vou ao cinema e vou a praia.Implica em vou ao cinema. Também poderia 
dizer que vou a praia. 
Modus Ponens 
 
(p->q) (p= se fizer sol q= te levo na praia) 
p^ (fez sol) =>q (posso concluir que te levei a praia) 
qqpp ⇒→∧ )(
p p q⇒ ∨
 Em frase: Faz sol. Se fizer sol, então vou a praia. 
Implica que vou a praia. 
 
Modus Tollens 
 
(p->q) (p= se fizer sol q= te levo na praia) 
~p^ (se NÃO fez sol) =>~q (posso concluir que NÃO te levei a praia) 
Em frase: Se fizer sol, então vou a praia. Não fui a 
praia. Implica que não fez sol. 
 
Silogismo Dijuntivo 
 
 
Se eu tenho um OU entre “p” e “q” Se ~p implica em q, posso concluir que p não é 
válido pois como é um “ou” entre p e q e sei que “p” não é válido já que ele precisa 
ser negado preciso fazer valer o q. 
Em frase: Vou a praia ou vou ao shopping. Não fui a 
praia. Implica que vou ao shopping. 
 
Silogismo Hipotético 
 
Se eu tenho o “p” então eu tenho o “q” e se eu tenho o “q”e então eu tenho o “r”. 
Então se tenho o “p” eu tenho o “r”. 
Se fizer sol nós vamos a praia, se formos a praia então tomaremos sorvete. 
qpqp ⇒∧∨ ~)(
rprqqp →⇒→∧→ )()(
pqpq ~)(~ ⇒→∧
Posso concluir então que se fiz sol vou tomar sorvete. 
Em frase: Se fizer sol, então vou a praia.Se for a 
praia, então vou ficar bronzeada. Implica que se fizer sol, então ficarei 
bronzeada. 
Eliminação 
 
Se tenho um “p” e então eu tenho um “ou” e eu não tenho o “q” isso significa que o 
“p” vai ter que implicar em “r”. Nesse “ou” entre “q” e “r” o q não é válido( pois ele 
tem que ser negado) então eu tenho que garantir que “r” aconteça. 
Em frase: Se fizer sol, então vou a praia ou vou a piscina. 
Não vou a praia. Implica que se fizer sol, então irei a piscina. 
Prova por Casos 
 
Se tenho “p” então “r” e tenho “q” então “r”, concluo que obtendo “p” ou “q” tenho 
“r” 
 Em frase: Se fizer sol, então vou a piscina. 
Se fizer calor, então vou a piscina. Implica que se fizer sol ou calor, então vou a 
piscina. 
rpqrqp →⇒∧∨→ ~))((
rqprqrp →∨⇒→∧→ )()()(
Aula 5 – Equivalência Lógica 
 
 (����) Uma proposição P(p,q,r,....) é logicamente equivalente ou simplesmente 
equivalente a uma proposição Q(p,q,r,.....) se as Tabelas Verdade de ambas as 
proposições são rigorosamente iguais. Nesse caso é utilizado a notação P(p,q,r,....) 
� Q(p,q,r,.....). 
 Lei de Morgan 
 
Nego as proposições individuais e MUDO o símbolo no caso v para ^. 
Considerando as equivalências lógicas conhecidas como Leis de Morgan determine 
equivalência lógica da fase: "Não ocorre que: a menina foi à casa da avó ou fez o 
dever de casa.“ 
A menina não foi à casa da avó e não fez o dever de casa. 
 
Considerando as equivalências lógicas conhecidas como Leis de Morgan determine 
a equivalência lógica da fase: " Não ocorre que: o menino tomou banho e foi à 
festa.“ 
O menino não tomou banho ou não foi a festa. 
 
Definição de Implicação 
Não acontece a primeira ou acontece a segunda. 
Escreva uma frase equivalente a frase condicional utilizando o conectivo “ou”. Se 
você for ao shopping, então gastará dinheiro. 
Você não vai ao shopping ou gastará dinheiro. 
 
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Aula 6 - 
qpqp ~~)(~ ∧⇔∨
qpqp ~~)(~ ∧⇔∨
qpqp ~~)(~ ∨⇔∧
qpqp ∨⇔→ ~
Condicional (p -> q) e a sua contrapositiva (~q -> ~p) são equivalentes, são 
logicamente equivalentes p -> q � ~q -> ~p. E (q -> p � ~p -> ~q). 
Proposição recíproca de : p -> q : q -> p 
 Porque as colunas : p -> q e q -> p não 
são iguais. 
Proposição contrária de: p -> q : ~p -> ~q 
 
Proposição contrapositiva de: p -> q : ~q -> ~p 
 Só a contrapositiva é equivalente. 
 
Nas negações o “and” vira “or” e “or vira “and”, na condicional e bicondicional a 
seta vira “and”. 
Para negar o si então(condicional) : se “p” acontece “q”, sua negação vai ser “p” 
acontece E “q” NÂO acontece. 
No si somente si(bicondicional): temos de negar o si então duas vezes. Se “p” 
acontece “q” acontece. Um ~(p<->q) = “p” acontece E a segunda “q” não acontece 
OU o segundo acontece “q” e o primeiro não acontece “p” 
Negação conjunta de duas : a proposição representada simbolicamente pela 
notação “p � q” , que se lê: "nem p e nem q", e cujo valor lógico é definido pela 
seguinte Tabela Verdade: (quando F+ F =V o resto fica F). Faz um OU entre as 
preposições e o “p � q” nega. 
 
 
 
(Quando F + F = V o resto fica F) Faz um And entre as preposições e o “p � q” 
nega. 
Aula 7 – Algebra booleana 
Operador AND(produto lógico): 
 
Operador OR(soma lógica): 
 
 
Operador NOT 
 
Noções iniciais de Portas Lógicas 
Para se trabalhar com os valores 0 e 1, V e F e torná-los algo que possa ser 
aplicado, precisamos utilizar as chamadas Portas Lógicas. 
 
NOT: 
 
AND: 
 
OR: 
 
Aula 8 – Argumentos 
 
Se um argumento é verdadeiro, ele é denominado válido. 
Se um argumento é falso, ele é denominado um sofisma. 
 
Posso verificarse é válido ou sofisma através da tautologia ou implicação lógica. 
(=>) implica : q => p^q <-> p, q implica p^q <-> p Diz-se que uma proposição P(p,q,r,...) 
implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q(p,q,r,...) , se Q(p,q,r,......) é 
verdadeira (V) todas as vezes que P(p,q,r,.....) é verdadeira (V). 
Argumento Válido: 
 
Nesse exemplo foi utilizado a implicação lógica. 
Silogismo: 
Um argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão chama-se 
SILOGISMO. 
 
 
 
Se tenho “p” então “q” e tenho “q” então “r”, posso concluir que se tenho “p” então 
eu tenho “r”. 
Junto os duas primeiras premissas com um AND e o ultimo é a conclusão. 
 
Argumento Sofista: 
 
)(),(),( rprqqp →→→
)()()( rprqqp →→∧→ a
 
P � q, q |� p são ambas verdadeiras no caso da linha 3, na Tabela Verdade 
apresentada abaixo, mas, neste caso, p é falsa. 
 
Nesse exemplo você pode perceber que o argumento é válido tanto pela tautologia 
última coluna como pela implicação lógica comparando as colunas 4,5, e 6 
verificando que onde 4 e 5 são verdadeiras a 6 também é. 
Aula 9 e 10 – Sentenças e Quantificadores 
(∀	x�	–	Para	todo	x.	Qualquer	que	seja	x.	
(	∃	x	�	–	Existe	x	tal	que.	Para	algum	elemento	x.	 
-Sentença aberta quando não sei o valor. Fechada quando sei o valor. 
Ex:Dadas as sentanças: "r: x é número par" e "s: 2 é irracional" , temos que: 
 "r" é aberta e “s” é fechada. 
-O conjunto A recebe o nome de conjunto-universo (universo ou dominio). 
-Se a∈A é de tal forma que p(a) é uma proposição verdadeira, dizemos que a 
satisfaz ou verifica p(x). 
Exemplo: Verifique se x=3 satisfaz a p(x): x + 1 > 5 Ao substituirmos o x por 3 
verificamos que 3+1 não é maior que 5. Então x=3 NÃO satisfaz a essa proposição. 
-Números naturais: 
-Números inteiros: 
-Números racionais(Q): Fração. Dízima é racional pois é possível transformá-la em 
fração. 
-Números irracionais(I): raiz de número primo é irracional pois não dá para 
transformá-lo em fração. Raiz de 2 , 3, 5 ... 
-Números Reais(R): junção dos números racionais e irracionais. 
Qualificador Universal 
- Ao operador logico ∀∀∀∀ damos o nome de quantificador universal. 
Quando todos os elementos de A satisfazem a p(x), podemos dizer que para todo 
elemento x de A, p(x) é verdadeira, ou ainda, qualquer que seja o elemento x de A, 
p(x) é verdadeira. 
Simbolicamente: 
 
A sentença aberta p(x) não tem valor lógico, a menos que se atribua valor a x. 
No entanto, a sentença aberta p(x) com o símbolo , antes dela, torna-se uma 
proposição, tendo portanto um valor lógico (V ou F). 
O símbolo ∀∀∀∀(para todo) , referido a variável x, representa uma operação lógica 
que transforma a sentença aberta p(x) numa proposição (V ou F). 
 
Qualificador Existencial 
 
-Ao operador logico ∃∃∃∃ damos o nome de quantificador existencial. 
A sentença aberta p(x) não tem valor lógico, a menos que se atribua valor a x. No 
entanto, a sentença aberta p(x) com o símbolo ∃ , antes dela, torna-se uma 
proposição, tendo portanto um valor lógico (V ou F). 
O símbolo, referido a variável x, representa uma operação lógica que transforma a 
sentença aberta p(x) numa proposição (V ou F). 
Simbolicamente: 
{ },...4,3,2,1,0=N
{ }LL ,2,1,0,1,2, −=Z
))()(( xpAx ∈∀ )(, xpAx ∈∀ )(, xpx∀
))()(( xpAx ∈∃ )(, xpAx ∈∃ )(, xpx∃
 
“Existe pelo menos um x∈A tal que p(x) é verdadeira“ 
“Para algum x∈A, p(x) é verdadeira” 
“Existe x∈A tal que p(x)” 
“Para algum x∈A, p(x)” 
 
 
Qualificador de Exixtência e Unicidade 
 
 
Exercícos 
 n>-5+3 | n> -2 Verdadeiro 
 Todo número elevado ao quadrado fica positivo então todo número 
elevado a dois é maior ou igual a 0. Verdadeiro 
 Equação de 2º grau incompleta. x²= 9 | x= raiz de 9 | x= +- 3 
Como tem que ser um número natural só pode usar o 3 positivo. Sendo assim 
verdadeiro pois só admite uma resposta. 
� =
−� ± √�! − 4#$
2#
 
x²+2x-15=0 
delta= 4 – (4.1.(-15))=64 
x= (-2+- raiz(64)) 
 2 
x=-2+- 8 = -1+-4 
( )( )35 >+∈∀ nNn
( )( )02 ≥∈∀ xRx
( )( )09! 2 =−∈∃ xNx
( )( )1522 =+∈∃ xxRx
 2 
Tenho pelo menos dois valores.
 
Negação de qualificador 
Negação de proposição com quantificador universal : 
Negação de proposição com quantificador existencial: 
Exemplo: 
Negando ∀∀∀∀( para todo) 
-Toda pessoa fala francês: ∀x (p(x)) 
~(∀x (p(x))) Ficamos com ∃x(~p(x))
Negando o ∃∃∃∃ ( existe) 
-Existe um planeta que é habitável: 
~(∃ x (p(x))) Ficamos com ∀x(~p(x))
 Negando 
Negando o AND 
Todas as pessoas da turma ao lado são bonitas e inteligentes
Existe pelo menos uma pessoa da turma ao 
inteligente. 
Negando o OR 
Existe um elemento na composição da fórmula que contribui de forma positiva ou 
faz com que vivamos mais. 
Todo elemento na composição da fórmula não contribui de forma positiva e não faz 
com que vivemos mais. 
Negando o si então 
( )( )( )yyxRxRy =+∈∃∈∀
Tenho pelo menos dois valores. 
Negação de proposição com quantificador universal : 
Negação de proposição com quantificador existencial: 
x (p(x)) 
x(~p(x)) Existe uma pessoa que não fala francês. 
Existe um planeta que é habitável: ∃x (p(x)) 
x(~p(x)) Todo planeta não é habitável. 
Negando 
Todas as pessoas da turma ao lado são bonitas e inteligentes. 
 
Existe pelo menos uma pessoa da turma ao lado que não é bonita ou não é 
Existe um elemento na composição da fórmula que contribui de forma positiva ou 
 
Todo elemento na composição da fórmula não contribui de forma positiva e não faz 
( )))((~ xpx ⇔∀
( )))((~ xxpx ∀⇔∃
( )( )( )yyxRxRy ≠+∈∀∈∃
Existe uma pessoa que não fala francês. 
lado que não é bonita ou não é 
Existe um elemento na composição da fórmula que contribui de forma positiva ou 
Todo elemento na composição da fórmula não contribui de forma positiva e não faz 
( ))(~ xpx∃⇔
( ))(~ xpx
Todas as pessoas, se são pobres, então são infelizes.
Existe pelo menos uma pessoa que é pobre e é feliz. 
 
 
 
 
 
Todas as pessoas, se são pobres, então são infelizes. 
 
Existe pelo menos uma pessoa que é pobre e é feliz.