Vetores

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Capı´tulo 3
Vetores no Plano e no Espac¸o
Muitas grandezas fı´sicas, como velocidade, forc¸a, deslocamento e impulso, para serem comple-
tamente identificadas, precisam, ale´m da magnitude, da direc¸a˜o e do sentido. Estas grandezas sa˜o
chamadas grandezas vetoriais ou simplesmente vetores.
Geometricamente, vetores sa˜o representados por segmentos (de retas) orientados (segmentos
de retas com um sentido de percurso) no plano ou no espac¸o. A ponta da seta do segmento orientado
e´ chamada ponto final ou extremidade e o outro ponto extremo e´ chamado de ponto inicial ou
origem do segmento orientado.
Segmentos orientados com mesma direc¸a˜o, mesmo sentido e mesmo comprimento representam
o mesmo vetor. A direc¸a˜o, o sentido e o comprimento do vetor sa˜o definidos como sendo a direc¸a˜o, o
sentido e o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam.
Este fato e´ ana´logo ao que ocorre com os nu´meros racionais e as frac¸o˜es. Duas frac¸o˜es repre-
150
151
Figura 3.1: Segmentos orientados representando o mesmo vetor
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
152 Vetores no Plano e no Espac¸o
sentam o mesmo nu´mero racional se o numerador e o denominador de cada uma delas estiverem
na mesma proporc¸a˜o. Por exemplo, as frac¸o˜es 1/2, 2/4 e 3/6 representam o mesmo nu´mero racio-
nal. A definic¸a˜o de igualdade de vetores tambe´m e´ ana´loga a igualdade de nu´meros racionais. Dois
nu´meros racionais 푎/푏 e 푐/푑 sa˜o iguais, quando 푎푑 = 푏푐. Dizemos que dois vetores sa˜o iguais se
eles possuem o mesmo comprimento, a mesma direc¸a˜o e o mesmo sentido.
Na Figura 3.1 temos 4 segmentos orientados, com origens em pontos diferentes, que representam
o mesmo vetor, ou seja, sa˜o considerados como vetores iguais, pois possuem a mesma direc¸a˜o,
mesmo sentido e o mesmo comprimento.
Se o ponto inicial de um representante de um vetor 푉 e´ 퐴 e o ponto final e´ 퐵, enta˜o escrevemos
푉 =
−→
퐴퐵
�
�
�
�
�
�*
퐴
퐵
−→
퐴퐵
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar
A soma, 푉 +푊 , de dois vetores 푉 e푊 e´ determinada da seguinte forma:
∙ tome um segmento orientado que representa 푉 ;
∙ tome um segmento orientado que representa푊 , com origem na extremidade de 푉 ;
∙ o vetor 푉 +푊 e´ representado pelo segmento orientado que vai da origem de 푉 ate´ a extremi-
dade de푊 .
Da Figura 3.2, deduzimos que a soma de vetores e´ comutativa, ou seja,
푉 +푊 = 푊 + 푉, (3.1)
Matrizes Vetores e Geometria Analı´tica Marc¸o 2010
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 153
푊
푉
푉
푊
푉
+
푊
푊
+
푉
Figura 3.2: 푉 +푊 = 푊 + 푉
푊
푉
푈
푊 + 푈
푉
+
푊
푉 +
( 푊
+ 푈
)( 푉 +
푊 )
+ 푈
Figura 3.3: 푉 + (푊 + 푈) = (푉 +푊 ) + 푈
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
154 Vetores no Plano e no Espac¸o
para quaisquer vetores 푉 e 푊 . Observamos tambe´m que a soma 푉 + 푊 esta´ na diagonal do
paralelogramo determinado por 푉 e푊 , quando esta˜o representados com a mesma origem.
Da Figura 3.3, deduzimos que a soma de vetores e´ associativa, ou seja,
푉 + (푊 + 푈) = (푉 +푊 ) + 푈, (3.2)
para quaisquer vetores 푉 ,푊 e 푈 .
O vetor que tem a sua origem coincidindo com a sua extremidade e´ chamado vetor nulo e deno-
tado por 0¯. Segue enta˜o, que
푉 + 0¯ = 0¯ + 푉 = 푉, (3.3)
para todo vetor 푉 .
Para qualquer vetor 푉 , o sime´trico de 푉 , denotado por −푉 , e´ o vetor que tem mesmo compri-
mento, mesma direc¸a˜o e sentido contra´rio ao de 푉 . Segue enta˜o, que
푉 + (−푉 ) = 0¯. (3.4)
Definimos a diferenc¸a푊 menos 푉 , por
푊 − 푉 = 푊 + (−푉 ).
Segue desta definic¸a˜o, de (3.1), (3.2), (3.4) e de (3.3) que
푊 + (푉 −푊 ) = (푉 −푊 ) +푊 = 푉 + (−푊 +푊 ) = 푉 + 0¯ = 푉.
Assim, a diferenc¸a 푉 −푊 e´ um vetor que somado a푊 da´ 푉 , portanto ele vai da extremidade de푊
ate´ a extremidade de 푉 , desde que 푉 e푊 estejam representados por segmentos orientados com a
mesma origem.
A multiplicac¸a˜o de um vetor 푉 por um escalar 훼, 훼푉 , e´ determinada pelo vetor que possui as
seguintes caracterı´sticas:
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3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 155
(a) e´ o vetor nulo, se 훼 = 0 ou 푉 = 0¯,
(b) caso contra´rio,
i. tem comprimento ∣훼∣ vezes o comprimento de 푉 ,
ii. a direc¸a˜o e´ a mesma de 푉 (neste caso, dizemos que eles sa˜o paralelos),
iii. tem o mesmo sentido de 푉 , se 훼 > 0 e
tem o sentido contra´rio ao de 푉 , se 훼 < 0.
As propriedades da multiplicac¸a˜o por escalar sera˜o apresentadas mais a frente. Se 푊 = 훼푉 ,
dizemos que 푊 e´ um mu´ltiplo escalar de 푉 . ´E fa´cil ver que dois vetores na˜o nulos sa˜o paralelos
(ou colineares) se, e somente se, um e´ um mu´ltiplo escalar do outro.
As operac¸o˜es com vetores podem ser definidas utilizando um sistema de coordenadas retangu-
lares ou cartesianas. Em primeiro lugar, vamos considerar os vetores no plano.
Seja 푉 um vetor no plano. Definimos as componentes de 푉 como sendo as coordenadas (푣1, 푣2)
do ponto final do representante de 푉 que tem ponto inicial na origem. Vamos identificar o vetor com
as suas componentes e vamos escrever simplesmente
푉 = (푣1, 푣2).
Assim, as coordenadas de um ponto 푃 sa˜o iguais as componentes do vetor
−→
푂푃 , que vai da
origem do sistema de coordenadas ao ponto 푃 . Em particular, o vetor nulo, 0¯ = (0, 0). Em termos
das componentes, podemos realizar facilmente as operac¸o˜es: soma de vetores e multiplicac¸a˜o de
vetor por escalar.
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156 Vetores no Plano e no Espac¸o
푊−푊
푉
푉 −푊
푊
푉 푉 −푊
Figura 3.4: A diferenc¸a 푉 −푊
푉
−2푉
3푉
1
2
푉
Figura 3.5: Multiplicac¸a˜o de vetor por escalar
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3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 157
x
y
푉 = (푣1, 푣2)
푣2
푂 푣1
Figura 3.6: As componentes do vetor 푉 no
plano
x
y
푃 = (푥, 푦)
−→
푂푃
푦
푂 푥
Figura 3.7: As coordenadas de 푃 sa˜o
iguais as componentes de
−→
푂푃
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158 Vetores no Plano e no Espac¸o
∙ Como ilustrado na Figura 3.8, a soma de dois vetores 푉 = (푣1, 푣2) e푊 = (푤1, 푤2) e´ dada por
푉 +푊 = (푣1 + 푤1, 푣2 + 푤2);
∙ Como ilustrado na Figura 3.9, a multiplicac¸a˜o de um vetor 푉 = (푣1, 푣2) por um escalar 훼 e´
dada por
훼 푉 = (훼 푣1, 훼 푣2).
Definimos as componentes de um vetor no espac¸o de forma ana´loga a que fizemos com vetores
no plano. Vamos inicialmente introduzir um sistema de coordenadas retangulares no espac¸o. Para
isto, escolhemos um ponto como origem 푂 e como eixos coordenados, treˆs retas orientadas (com
sentido de percurso definido), passando pela origem, perpendiculares entre si, sendo uma delas
vertical orientada para cima. Estes sera˜o os eixos 푥, 푦 e 푧. O eixo 푧 e´ o eixo vertical. Os eixos 푥
e 푦 sa˜o horizontais e satisfazem a seguinte propriedade. Suponha que giramos o eixo 푥 pelo menor
aˆngulo ate´ que coincida com o eixo 푦. Se os dedos da ma˜o direita apontam na direc¸a˜o do semi-
eixo 푥 positivo de forma que o semi-eixo 푦 positivo esteja do lado da palma da ma˜o, enta˜o o polegar
aponta no sentido do semi-eixo 푧 positivo. Cada par de eixos determina um plano chamado de plano
coordenado. Portanto os treˆs planos coordenados sa˜o: 푥푦, 푦푧 e 푥푧.
A cada ponto 푃 no espac¸o associamos um terno de nu´meros (푥, 푦, 푧), chamado de coordenadas
do ponto 푃 como segue.
∙ Trace uma reta paralela ao eixo 푧, passando por 푃 ;
∙ A intersec¸a˜o da reta paralela ao eixo 푧, passando por 푃 , com o plano 푥푦 e´ o ponto 푃 ′. As
coordenadas de 푃 ′, (푥, 푦), no sistema de coordenadas 푥푦 sa˜o as duas primeiras coordenadas
de 푃 .
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3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 159
x
y
푣2
푤2
푣2+푤2
푣1 푤1 푣1+푤1
푉
푊
푉 +푊
Figura 3.8: A soma de dois vetores no
plano
x
y
푣2
훼푣2
푣1 훼푣1
푉
훼푉
Figura 3.9: A multiplicac¸a˜ode vetor por es-
calar no plano
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160 Vetores no Plano e no Espac¸o
∙ A terceira coordenada e´ igual ao comprimento do segmento 푃푃 ′, se 푃 estiver acima do plano
푥푦 e ao comprimento do segmento 푃푃 ′ com o sinal negativo, se 푃 estiver abaixo do plano 푥푦.
As coordenadas de um ponto 푃 sa˜o determinadas tambe´m da maneira dada a seguir.
∙ Passe treˆs planos por 푃 paralelos aos planos coordenados.
∙ A intersec¸a˜o do plano paralelo ao plano 푥푦, passando por 푃 , com o eixo 푧 determina a coorde-
nada 푧.
∙ A intersec¸a˜o do plano paralelo ao plano 푥푧, passando por 푃 , com o eixo 푦 determina a coorde-
nada 푦
∙ A intersec¸a˜o do plano paralelo ao plano 푦푧, passando por 푃 , com o eixo 푥 determina a coorde-
nada 푥.
Agora, estamos prontos para utilizarmos um sistema de coordenadas cartesianas tambe´m nas
operac¸o˜es de vetores no espac¸o. Seja 푉 um vetor no espac¸o. Como no caso de vetores do plano,
definimos as componentes de 푉 como sendo as coordenadas (푣1, 푣2, 푣3) do ponto final do repre-
sentante de 푉 que tem ponto inicial na origem. Tambe´m vamos identificar o vetor com as suas
componentes e vamos escrever simplesmente
푉 = (푣1, 푣2, 푣3).
Assim, as coordenadas de um ponto 푃 sa˜o iguais as componentes do vetor
−→
푂푃 que vai da
origem do sistema de coordenadas ao ponto 푃 . Em particular, o vetor nulo, 0¯ = (0, 0, 0). Assim como
fizemos para vetores no plano, para vetores no espac¸o a soma de vetores e a multiplicac¸a˜o de vetor
por escalar podem ser realizadas em termos das componentes.
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3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 161
∙ Se 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e푊 = (푤1, 푤2, 푤3), enta˜o a adic¸a˜o de 푉 com푊 e´ dada por
푉 +푊 = (푣1 + 푤1, 푣2 + 푤2, 푣3 + 푤3);
∙ Se 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e 훼 e´ um escalar, enta˜o a multiplicac¸a˜o de 푉 por 훼 e´ dada por
훼 푉 = (훼 푣1, 훼 푣2, 훼 푣3).
Exemplo 3.1. Se 푉 = (1,−2, 3),푊 = (2, 4,−1), enta˜o
푉 +푊 = (1 + 2,−2 + 4, 3 + (−1)) = (3, 2, 2), 3푉 = (3 ⋅ 1, 3 (−2), 3 ⋅ 3) = (3,−6, 9).
Quando um vetor 푉 esta´ representado por um segmento orientado com ponto inicial fora da origem
(Figura 3.13), digamos em 푃 = (푥1, 푦1, 푧1), e ponto final em푄 = (푥2, 푦2, 푧2), enta˜o as componentes
do vetor 푉 sa˜o dadas por
푉 =
−→
푃푄=
−→
푂푄 −
−→
푂푃= (푥2 − 푥1, 푦2 − 푦1, 푧2 − 푧1).
Portanto, as componentes de 푉 sa˜o obtidas subtraindo-se as coordenadas do ponto 푄 (extremi-
dade) das do ponto 푃 (origem). O mesmo se aplica a vetores no plano.
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162 Vetores no Plano e no Espac¸o
Exemplo 3.2. As componentes do vetor 푉 que tem um representante com ponto inicial 푃 =
(5/2, 1, 2) e ponto final 푄 = (0, 5/2, 5/2) sa˜o dadas por
푉 =
−→
푃푄= (0− 5/2, 5/2− 1, 5/2− 2) = (−5/2, 3/2, 1/2).
Observac¸a˜o. O vetor e´ “livre”, ele na˜o tem posic¸a˜o fixa, ao contra´rio do ponto e do segmento orien-
tado. Por exemplo, o vetor 푉 = (−5/2, 3/2, 1/2), no exemplo acima, estava representado por um
segmento orientado com a origem no ponto 푃 = (5/2, 1, 2). Mas, poderia ser representado por um
segmento orientado cujo ponto inicial poderia estar em qualquer outro ponto.
Um vetor no espac¸o 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) pode tambe´m ser escrito na notac¸a˜o matricial como uma
matriz linha ou como uma matriz coluna:
푉 =
⎡
⎣ 푣1푣2
푣3
⎤
⎦ ou 푉 = [ 푣1 푣2 푣3 ] .
Estas notac¸o˜es podem ser justificadas pelo fato de que as operac¸o˜es matriciais
푉 +푊 =
⎡
⎣ 푣1푣2
푣3
⎤
⎦+
⎡
⎣ 푤1푤2
푤3
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 푣1 + 푤1푣2 + 푤2
푣3 + 푤3
⎤
⎦ , 훼푉 = 훼
⎡
⎣ 푣1푣2
푣3
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 훼푣1훼푣2
훼푣3
⎤
⎦
ou
푉 +푊 =
[
푣1 푣2 푣3
]
+
[
푤1 푤2 푤3
]
=
[
푣1 + 푤1 푣2 + 푤2 푣3 + 푤3
]
,
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3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 163
훼푉 = 훼
[
푣1 푣2 푣3
]
=
[
훼푣1 훼푣2 훼푣3
]
produzem os mesmos resultados que as operac¸o˜es vetoriais
푉 +푊 = (푣1, 푣2, 푣3) + (푤1, 푤2, 푤3) = (푣1 + 푤1, 푣2 + 푤2, 푣3 + 푤3),
훼푉 = 훼(푣1, 푣2, 푣3) = (훼푣1, 훼푣2, 훼푣3).
O mesmo vale, naturalmente, para vetores no plano.
No teorema seguinte enunciamos as propriedades mais importantes da soma de vetores e
multiplicac¸a˜o de vetores por escalar.
Teorema 3.1. Sejam 푈, 푉 e푊 vetores e 훼 e 훽 escalares. Sa˜o va´lidas as seguintes propriedades:
(a) 푈 + 푉 = 푉 + 푈 ;
(b) (푈 + 푉 ) +푊 = 푈 + (푉 +푊 );
(c) 푈 + 0¯ = 푈 ;
(d) 푈 + (−푈) = 0¯;
(e) 훼(훽푈) = (훼훽)푈 ;
(f) 훼(푈 + 푉 ) = 훼푈 + 훼푉 ;
(g) (훼 + 훽)푈 = 훼푈 + 훽푈 ;
(h) 1푈 = 푈 .
Demonstrac¸a˜o. Segue diretamente das propriedades da a´lgebra matricial (Teorema 1.1 na pa´gina
10). ■
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164 Vetores no Plano e no Espac¸o
Exemplo 3.3. Seja um triaˆngulo 퐴퐵퐶 e sejam푀 e 푁 os pontos me´dios de 퐴퐶 e 퐵퐶, respectiva-
mente. Vamos provar que푀푁 e´ paralelo a 퐴퐵 e tem comprimento igual a metade do comprimento
de 퐴퐵.
Devemos provar que
−→
푀푁=
1
2
−→
퐴퐵 .
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3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 165
A B
C
M N
Agora, a partir da figura acima temos que
−→
푀푁=
−→
푀퐶 +
−→
퐶푁 .
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166 Vetores no Plano e no Espac¸o
Como푀 e´ ponto me´dio de 퐴퐶 e 푁 e´ ponto me´dio de 퐵퐶, enta˜o
−→
푀퐶=
1
2
−→
퐴퐶 e
−→
퐶푁=
1
2
−→
퐶퐵 .
Logo,
−→
푀푁=
1
2
−→
퐴퐶 +
1
2
−→
퐶퐵=
1
2
(
−→
퐴퐶 +
−→
퐶퐵) =
1
2
−→
퐴퐵 .
Exemplo 3.4. Dados quatro pontos 퐴, 퐵, 퐶 e 푋 tais que
−→
퐴푋= 휆
−→
퐴퐵, vamos escrever
−→
퐶푋 como
combinac¸a˜o linear de
−→
퐶퐴 e
−→
퐶퐵, isto e´, como uma soma de mu´ltiplos escalares de
−→
퐶퐴 e
−→
퐶퐵.
Como
−→
퐴푋= 휆
−→
퐴퐵, enta˜o os vetores
−→
퐴푋 e
−→
퐴퐵 sa˜o paralelos e portanto o ponto푋 so´ pode estar
na reta definida por 퐴 e 퐵. Vamos desenha´-lo entre 퐴 e 퐵, mas isto na˜o vai representar nenhuma
restric¸a˜o.
O vetor que vai de 퐶 para 푋 , pode ser escrito como uma soma de um vetor que vai de 퐶 para 퐴
com um vetor que vai de 퐴 para 푋 ,
−→
퐶푋=
−→
퐶퐴 +
−→
퐴푋 .
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3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 167
A
B
C
X
Agora, por hipo´tese
−→
퐴푋= 휆
−→
퐴퐵, o que implica que
−→
퐶푋=
−→
퐶퐴 +휆
−→
퐴퐵.
Mas,
−→
퐴퐵=
−→
퐶퐵 −
−→
퐶퐴, portanto
−→
퐶푋=
−→
퐶퐴 +휆(
−→
퐶퐵 −
−→
퐶퐴). Logo,
−→
퐶푋= (1− 휆)
−→
퐶퐴 +휆
−→
퐶퐵 .
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168 Vetores no Plano e no Espac¸o
Observe que:
∙ Se 휆 = 0, enta˜o
−→
퐶푋=
−→
퐶퐴.
∙ Se 휆 = 1, enta˜o
−→
퐶푋=
−→
퐶퐵.
∙ Se 휆 = 1/2, enta˜o
−→
퐶푋= 1
2
−→
퐶퐴 +1
2
−→
퐶퐵.
∙ Se 휆 = 1/3, enta˜o
−→
퐶푋= 2
3
−→
퐶퐴 +1
3
−→
퐶퐵.
Exemplo 3.5. Vamos mostrar, usando vetores, que o ponto me´dio de um segmento que une os pontos
퐴 = (푥1, 푦1, 푧1) e 퐵 = (푥2, 푦2, 푧2) e´
푀 =
(
푥1 + 푥2
2
,
푦1 + 푦2
2
,
푧1 + 푧2
2
)
.
O ponto푀 e´ o ponto me´dio de 퐴퐵 se, e somente se,
−→
퐴푀= 1
2
−→
퐴퐵. Enta˜o, aplicando o exemplo
anterior (com o ponto 퐶 sendo a origem 푂),
−→
푂푀= 1
2
−→
푂퐴 +1
2
−→
푂퐵. Como as coordenadas de
um ponto sa˜o iguais as componentes do vetor que vai da origem ate´ aquele ponto, segue-se que
−→
푂푀= 1
2
(푥1, 푦1, 푧1) +
1
2
(푥2, 푦2, 푧2) e
푀 =
(
푥1 + 푥2
2
,
푦1 + 푦2
2
,
푧1 + 푧2
2
)
.
Matrizes Vetores e Geometria Analı´tica Marc¸o 2010
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 169
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 585)
3.1.1. Determine o ponto 퐶 tal que
−→
퐴퐶= 2
−→
퐴퐵 sendo 퐴 = (0,−2) e 퐵 = (1, 0).
3.1.2. Uma reta no plano tem equac¸a˜o 푦 = 2푥+ 1. Determine um vetor paralelo a esta reta.
3.1.3. Determine uma equac¸a˜o para a reta no plano que e´ paralela ao vetor 푉 = (2, 3) e passa pelo
ponto푃0 = (1, 2).
3.1.4. Determine o vetor 푋 , tal que 3푋 − 2푉 = 15(푋 − 푈).
3.1.5. Determine os vetores 푋 e 푌 tais que
{
6푋 − 2푌 = 푈
3푋 + 푌 = 푈 + 푉
3.1.6. Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor 푉 =
(3, 0,−3), sabendo-se que sua origem esta´ no ponto 푃 = (2, 3,−5).
3.1.7. Quais sa˜o as coordenadas do ponto 푃 ′, sime´trico do ponto 푃 = (1, 0, 3) em relac¸a˜o ao ponto
푀 = (1, 2,−1)? (Sugesta˜o: o ponto 푃 ′ e´ tal que o vetor
−→
푀푃 ′= −
−→
푀푃 )
3.1.8. Verifique se os pontos dados a seguir sa˜o colineares, isto e´, pertencem a uma mesma reta:
(a) 퐴 = (5, 1,−3), 퐵 = (0, 3, 4) e 퐶 = (0, 3,−5);
(b) 퐴 = (−1, 1, 3), 퐵 = (4, 2,−3) e 퐶 = (14, 4,−15);
3.1.9. Dados os pontos 퐴 = (1,−2,−3), 퐵 = (−5, 2,−1) e 퐶 = (4, 0,−1). Determine o ponto 퐷
tal que 퐴, 퐵, 퐶 e 퐷 sejam ve´rtices consecutivos de um paralelogramo.
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170 Vetores no Plano e no Espac¸o
3.1.10. Verifique se o vetor 푈 e´ combinac¸a˜o linear (soma de mu´ltiplos escalares) de 푉 e푊 :
(a) 푉 = (9,−12,−6),푊 = (−1, 7, 1) e 푈 = (−4,−6, 2);
(b) 푉 = (5, 4,−3),푊 = (2, 1, 1) e 푈 = (−3,−4, 1);
3.1.11. Verifique se e´ um paralelogramo o quadrila´tero de ve´rtices (na˜o necessariamente consecutivos)
(a) 퐴 = (4,−1, 1), 퐵 = (9,−4, 2), 퐶 = (4, 3, 4) e 퐷 = (4,−21,−14)
(b) 퐴 = (4,−1, 1), 퐵 = (9,−4, 2), 퐶 = (4, 3, 4) e 퐷 = (9, 0, 5)
3.1.12. Quais dos seguintes vetores sa˜o paralelos 푈 = (6,−4,−2), 푉 = (−9, 6, 3), 푊 =
(15,−10, 5).
Exercı´cios usando o MATLABⓇ
>> V=[v1,v2,v3] cria um vetor V, usando as componentes nume´ricas v1, v2, v3. Por
exemplo >> V=[1,2,3] cria o vetor 푉 = (1, 2, 3);
>> V+W e´ a soma de V e W; >> V-W e´ a diferenc¸a V menos W; >> num*V e´ o produto do vetor V
pelo escalar num;
>> subs(expr,x,num) substitui x por num na expressa˜o expr;
>> solve(expr) determina a soluc¸a˜o da equac¸a˜o expr=0;
Comandos gra´ficos do pacote GAAL:
>> desvet(P,V) desenha o vetor V com origem no ponto P e >> desvet(V) desenha o vetor
V com origem no ponto 푂 = (0, 0, 0).
Matrizes Vetores e Geometria Analı´tica Marc¸o 2010
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 171
>> po([P1;P2;...;Pn]) desenha os pontos P1, P2, ..., Pn.
>> lineseg(P1,P2,’cor’) desenha o segmento de reta P1P2. >> tex(P,’texto’) co-
loca o texto no ponto P.
>> axiss reescala os eixos com a mesma escala. >> eixos desenha os eixos coordenados.
>> box desenha uma caixa em volta da figura. >> rota faz uma rotac¸a˜o em torno do eixo 푧.
>> zoom3(fator) amplifica a regia˜o pelo fator.
3.1.13. Coloque em duas varia´veis 푉 e푊 dois vetores do plano ou do espac¸o a seu crite´rio
(a) Use a func¸a˜o ilsvw(V,W) para visualizar a soma dos dois vetores.
(b) Coloque em uma varia´vel a um nu´mero e use a func¸a˜o ilav(a,V) para visualizar a
multiplicac¸a˜o do vetor V pelo escalar a.
3.1.14. Use o MATLABⓇ para resolver os Exercı´cios Nume´ricos a partir do Exercı´cio 1.3.
Exercı´cios Teo´ricos
3.1.15. Demonstre que o segmento que une os pontos me´dios dos lados na˜o paralelos de um trape´zio
e´ paralelo a`s bases, e sua medida e´ a me´dia aritme´tica das medidas das bases. (Sugesta˜o:
mostre que
−→
푀푁= 1
2
(
−→
퐴퐵 +
−→
퐷퐶) e depois conclua que
−→
푀푁 e´ um mu´ltiplo escalar de
−→
퐴퐵.
Revise o Exemplo 3.3 na pa´gina 164)
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
172 Vetores no Plano e no Espac¸o
A B
C
M N
D
3.1.16. Demonstre que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio. (Sugesta˜o: Sejam푀 e
푁 os pontos me´dios das duas diagonais do paralelogramo. Mostre que o vetor
−→
푀푁= 0¯, enta˜o
conclua que푀 = 푁 .)
Matrizes Vetores e Geometria Analı´tica Marc¸o 2010
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 173
A B
C
M N
D
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
174 Vetores no Plano e no Espac¸o
3.1.17. Considere o triaˆngulo 퐴퐵퐶 e sejam푀 o ponto me´dio de 퐵퐶, 푁 o ponto me´dio de 퐴퐶 e 푃 o
ponto me´dio de 퐴퐵. Mostre que as medianas (os segmentos 퐴푀 , 퐵푁 e 퐶푃 ) se cortam num
mesmo ponto que divide as medianas na proporc¸a˜o 2/3 e 1/3. (Sugesta˜o: Sejam 퐺, 퐻 e 퐼 os
pontos definidos por
−→
퐴퐺= 2
3
−→
퐴푀 ,
−→
퐵퐻= 2
3
−→
퐵푁 e
−→
퐶퐼= 2
3
−→
퐶푃 . Mostre que
−→
퐺퐻= 0¯,
−→
퐺퐼= 0¯,
conclua que 퐺 = 퐻 = 퐼 .)
Matrizes Vetores e Geometria Analı´tica Marc¸o 2010
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 175
A
B
C
M
P
N
GH
I
3.1.18. Sejam 퐴, 퐵 e 퐶 pontos quaisquer com 퐴 ∕= 퐵. Prove que:
(a) Um ponto 푋 pertence a reta determinada por 퐴 e 퐵 (
−→
퐴푋= 휆
−→
퐴퐵) se, e somente se,
−→
퐶푋= 훼
−→
퐶퐴 +훽
−→
퐶퐵, com 훼 + 훽 = 1.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
176 Vetores no Plano e no Espac¸o
(b) Um ponto 푋 pertence ao interior do segmento 퐴퐵 (
−→
퐴푋= 휆
−→
퐴퐵, com 0 < 휆 < 1) se, e
somente se,
−→
퐶푋= 훼
−→
퐶퐴 +훽
−→
퐶퐵, com 훼 > 0, 훽 > 0 e 훼 + 훽 = 1.
(c) Um ponto 푋 e´ um ponto interior ao triaˆngulo 퐴퐵퐶 (
−→
퐴′푋= 휆
−→
퐴′퐵′, com 0 < 휆 < 1,
em que 퐴′ e´ um ponto interior ao segmento 퐴퐶 e 퐵′ e´ interior ao segmento 퐶퐵) se, e
somente se,
−→
퐶푋= 훼
−→
퐶퐴 +훽
−→
퐶퐵, com 훼 > 0, 훽 > 0 e 훼 + 훽 < 1.
Matrizes Vetores e Geometria Analı´tica Marc¸o 2010
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 177
A
B
C
3.1.19. Mostre que se 훼푉 = 0¯, enta˜o 훼 = 0 ou 푉 = 0¯.
3.1.20. Se 훼푈 = 훼푉 , enta˜o 푈 = 푉 ? E se 훼 ∕= 0 ?
3.1.21. Se 훼푉 = 훽푉 , enta˜o 훼 = 훽 ? E se 푉 ∕= 0¯ ?
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
178 Vetores no Plano e no Espac¸o
x y
z
푃 = (푥, 푦, 푧)
푧
푃 ′
푦푥
x y
z
푃 = (푥, 푦, 푧)
푦푥
푧
Figura 3.10: As coordenadas de um ponto no espac¸o
Matrizes Vetores e Geometria Analı´tica Marc¸o 2010
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar 179
x y
z
푉 = (푣1, 푣2, 푣3)
푣2
푣1
푣3
Figura 3.11: As componentes de um vetor
no espac¸o
x y
z
푃 = (푥, 푦, 푧)
−→
푂푃
푂
푦푥
푧
Figura 3.12: As coordenadas de 푃 sa˜o
iguais as componentes de
−→
푂푃
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
180 Vetores no Plano e no Espac¸o
x y
z
푄
푃
푂
푉
Figura 3.13: 푉 =
−→
푃푄=
−→
푂푄 −
−→
푂푃
Matrizes Vetores e Geometria Analı´tica Marc¸o 2010
3.2 Produtos de Vetores 181
3.2 Produtos de Vetores
3.2.1 Norma e Produto Escalar
Ja´ vimos que o comprimento de um vetor 푉 e´ definido como sendo o comprimento de qualquer
um dos segmentos orientados que o representam. O comprimento do vetor 푉 tambe´m e´ chamado
de norma de 푉 e e´ denotado(a) por ∣∣푉 ∣∣. Segue do Teorema de Pita´goras que a norma de um vetor
pode ser calculada usando as suas componentes, por
∣∣푉 ∣∣ =
√
푣21 + 푣
2
2 ,
no caso em que 푉 = (푣1, 푣2) e´ um vetor no plano, e por
∣∣푉 ∣∣ =
√
푣21 + 푣
2
2 + 푣
2
3 ,
no caso em que 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e´ um vetor no espac¸o (verifique usando as Figuras 3.14 e 3.15).
Um vetor de norma igual a 1 e´ chamado vetor unita´rio.
A distaˆncia entre dois pontos 푃 = (푥1, 푦1, 푧1) e 푄 = (푥2, 푦2, 푧2) e´ igual a` norma do vetor
−→
푃푄
(Figura 3.13 na pa´gina 180). Como
−→
푃푄=
−→
푂푄 −
−→
푂푃= (푥2 − 푥1, 푦2 − 푦1, 푧2 − 푧1), enta˜o a distaˆncia
de 푃 a 푄 e´ dada por
dist(푃,푄) = ∣∣
−→
푃푄 ∣∣ =
√
(푥2 − 푥1)2 + (푦2 − 푦1)2 + (푧2 − 푧1)2.
Analogamente, a distaˆncia entre dois pontos 푃 = (푥1, 푦1) e 푄 = (푥2, 푦2) no plano e´ igual a`
norma do vetor
−→
푃푄, que e´ dada por
dist(푃,푄) = ∣∣
−→
푃푄 ∣∣ =
√
(푥2 − 푥1)2 + (푦2 − 푦1)2.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
182 Vetores no Plano e no Espac¸o
x
y
∣ ∣ 푉
∣ ∣
푉 = (푣1, 푣2)
∣푣2∣
∣푣1∣
Figura 3.14: A norma de um vetor 푉 no
plano
x y
z
푉 = (푣1, 푣2, 푣3)
∣푣
2 ∣
∣ 푣 1 ∣
∣푣3∣
Figura 3.15: A norma de um vetor 푉 no
espac¸o
Matrizes Vetores e Geometria Analı´tica Marc¸o 2010
3.2 Produtos de Vetores 183
Exemplo 3.6. A norma do vetor 푉 = (1,−2,3) e´
∣∣푉 ∣∣ =
√
12 + (−2)2 + 32 =
√
14.
A distaˆncia entre os pontos 푃 = (2,−3, 1) e 푄 = (−1, 4, 5) e´
dist(푃,푄) = ∣∣
−→
푃푄 ∣∣ = ∣∣(−1− 2, 4− (−3), 5− 1)∣∣ = ∣∣(−3, 7, 4)∣∣ =
√
(−3)2 + 72 + 42 =
√
74.
Se 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e 훼 e´ um escalar, enta˜o da definic¸a˜o da multiplicac¸a˜o de vetor por escalar e
da norma de um vetor segue-se que
∣∣훼푉 ∣∣ = ∣∣(훼푣1, 훼푣2, 훼푣3)∣∣ =
√
(훼푣1)2 + (훼푣2)2 + (훼푣3)2 =
√
훼2(푣21 + 푣
2
2 + 푣
2
3),
ou seja,
∣∣훼푉 ∣∣ = ∣훼∣ ∣∣푉 ∣∣. (3.5)
Dado um vetor 푉 na˜o nulo, o vetor
푈 =
(
1
∣∣푉 ∣∣
)
푉.
e´ um vetor unita´rio na direc¸a˜o de 푉 , pois por (3.5), temos que
∣∣푈 ∣∣ =
∣∣∣∣ 1∣∣푉 ∣∣
∣∣∣∣ ∣∣푉 ∣∣ = 1.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
184 Vetores no Plano e no Espac¸o
Exemplo 3.7. Um vetor unita´rio na direc¸a˜o do vetor 푉 = (1,−2, 3) e´ o vetor
푈 =
(
1
∣∣푉 ∣∣
)
푉 =
(
1√
14
)
(1,−2, 3) = ( 1√
14
,
−2√
14
,
3√
14
).
O aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos, 푉 e푊 , e´ definido pelo aˆngulo 휃 determinado por 푉 e푊
que satisfaz 0 ≤ 휃 ≤ 휋, quando eles esta˜o representados com a mesma origem (Figura 3.16).
Quando o aˆngulo 휃 entre dois vetores 푉 e푊 e´ reto (휃 = 90o), ou um deles e´ o vetor nulo, dizemos
que os vetores 푉 e푊 sa˜o ortogonais ou perpendiculares entre si.
Vamos definir, agora, um produto entre dois vetores, cujo resultado e´ um escalar. Por isso ele e´
chamado produto escalar. Este produto tem aplicac¸a˜o, por exemplo, em Fı´sica: o trabalho realizado
por uma forc¸a e´ o produto escalar do vetor forc¸a pelo vetor deslocamento, quando a forc¸a aplicada e´
constante.
Definic¸a˜o 3.1. O produto escalar ou interno de dois vetores 푉 e푊 e´ definido por
푉 ⋅푊 =
{
0, se 푉 ou푊 e´ o vetor nulo,
∣∣푉 ∣∣ ∣∣푊 ∣∣ cos 휃, caso contra´rio,
em que 휃 e´ o aˆngulo entre eles.
Matrizes Vetores e Geometria Analı´tica Marc¸o 2010
3.2 Produtos de Vetores 185
Quando os vetores sa˜o dados em termos das suas componentes na˜o sabemos diretamente o
aˆngulo entre eles. Por isso, precisamos de uma forma de calcular o produto escalar que na˜o necessite
do aˆngulo entre os vetores.
Se 푉 e푊 sa˜o dois vetores na˜o nulos e 휃 e´ o aˆngulo entre eles, enta˜o pela lei dos cossenos,
∣∣푉 −푊 ∣∣2 = ∣∣푉 ∣∣2 + ∣∣푊 ∣∣2 − 2∣∣푉 ∣∣ ∣∣푊 ∣∣ cos 휃.
Assim,
푉 ⋅푊 = ∣∣푉 ∣∣ ∣∣푊 ∣∣ cos 휃 = 1
2
(∣∣푉 ∣∣2 + ∣∣푊 ∣∣2 − ∣∣푉 −푊 ∣∣2) . (3.6)
Ja´ temos enta˜o uma fo´rmula para calcular o produto escalar que na˜o depende diretamente do aˆngulo
entre eles. Substituindo-se as coordenadas dos vetores em (3.6) obtemos uma expressa˜o mais sim-
ples para o ca´lculo do produto interno.
Por exemplo, se 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e푊 = (푤1, 푤2, 푤3) sa˜o vetores no espac¸o, enta˜o substituindo-
se ∣∣푉 ∣∣2 = 푣21+푣22+푣23 , ∣∣푊 ∣∣2 = 푤21+푤22+푤23 e ∣∣푉 −푊 ∣∣2 = (푣1−푤1)2+(푣2−푤2)2+(푣3−푤3)2
em (3.6) os termos 푣2푖 e 푤2푖 sa˜o cancelados e obtemos
푉 ⋅푊 = 푣1푤1 + 푣2푤2 + 푣3푤3.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
186 Vetores no Plano e no Espac¸o
푊
푉
휃 푊
푉
휃
Figura 3.16: ˆAngulo entre dois vetores, agudo (a` esquerda) e obtuso (a` direita)
푊
푉
푉 −푊
휃 푊
푉
휃
푉 −푊
Figura 3.17: Triaˆngulo formado por representantes de 푉 ,푊 e 푉 −푊 . `A esquerda o aˆngulo entre 푉
e푊 e´ agudo e a` direita e´ obtuso.
Matrizes Vetores e Geometria Analı´tica Marc¸o 2010
3.2 Produtos de Vetores 187
Teorema 3.2. O produto escalar ou interno, 푉 ⋅푊 , entre dois vetores e´ dado por
푉 ⋅푊 = 푣1푤1 + 푣2푤2,
se 푉 = (푣1, 푣2) e푊 = (푤1, 푤2) sa˜o vetores no plano e por
푉 ⋅푊 = 푣1푤1 + 푣2푤2 + 푣3푤3,
se 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e푊 = (푤1, 푤2, 푤3) sa˜o vetores no espac¸o.
Exemplo 3.8. Sejam 푉 = (0, 1, 0) e푊 = (2, 2, 3). O produto escalar de 푉 por푊 e´ dado por
푉 ⋅푊 = 푣1푤1 + 푣2푤2 + 푣3푤3 = 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 3 = 2 .
Podemos usar o Teorema 3.2 para determinar o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos, 푉 e 푊 . O
cosseno do aˆngulo entre 푉 e푊 e´, enta˜o, dado por
cos 휃 =
푉 ⋅푊
∣∣푉 ∣∣ ∣∣푊 ∣∣ .
Se 푉 e푊 sa˜o vetores na˜o nulos e 휃 e´ o aˆngulo entre eles, enta˜o
(a) 휃 e´ agudo (0 ≤ 휃 < 90o) se, e somente se, 푉 ⋅푊 > 0,
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
188 Vetores no Plano e no Espac¸o
(b) 휃 e´ reto (휃 = 90o) se, e somente se, 푉 ⋅푊 = 0 e
(c) 휃 e´ obtuso (90o < 휃 ≤ 180o) se, e somente se, 푉 ⋅푊 < 0.
Exemplo 3.9. Vamos determinar o aˆngulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas arestas.
Sejam 푉1 = (1, 0, 0), 푉2 = (0, 1, 0) e 푉3 = (0, 0, 1) (Figura 3.18). Uma diagonal do cubo e´ represen-
tada pelo vetor 퐷 dado por
퐷 = 푉1 + 푉2 + 푉3 = (1, 1, 1) .
Enta˜o o aˆngulo entre 퐷 e 푉1 satisfaz
cos 휃 =
퐷 ⋅ 푉1
∣∣퐷∣∣∣∣푉1∣∣ =
1.1 + 0.1 + 0.1
(
√
12 + 12 + 12)(
√
12 + 02 + 02)
=
1√
3
ou seja,
휃 = arccos(
1√
3
) ≈ 54o .
Matrizes Vetores e Geometria Analı´tica Marc¸o 2010
3.2 Produtos de Vetores 189
x
y
z
(0, 0, 1)
(0, 1, 0)
(1, 0, 0)
(1, 1, 1)
휃
Figura 3.18: ˆAngulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas arestas
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
190 Vetores no Plano e no Espac¸o
Teorema 3.3. Sejam 푈, 푉 e푊 vetores e 훼 um escalar. Sa˜o va´lidas as seguintes propriedades:
(a) (comutatividade) 푈 ⋅ 푉 = 푉 ⋅ 푈 ;
(b) (distributividade) 푈 ⋅ (푉 +푊 ) = 푈 ⋅ 푉 + 푈 ⋅푊 ;
(c) (associatividade) 훼(푈 ⋅ 푉 ) = (훼푈) ⋅ 푉 = 푈 ⋅ (훼푉 );
(d) 푉 ⋅ 푉 = ∣∣푉 ∣∣2 ≥ 0, para todo 푉 e 푉 ⋅ 푉 = 0 se, e somente se, 푉 = 0¯.
Demonstrac¸a˜o. Sejam 푈 = (푢1, 푢2, 푢3), 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e푊 = (푤1, 푤2, 푤3).
(a) 푈 ⋅ 푉 = 푢1푣1 + 푢2푣2 + 푢3푣3 = 푣1푢1 + 푣2푢2 + 푣3푢3 = 푉 ⋅ 푈 ;
(b) 푈 ⋅(푉 +푊 ) = (푢1, 푢2, 푢3)⋅(푣1+푤1, 푣2+푤2, 푣3+푤3) = 푢1(푣1+푤1)+푢2(푣2+푤2)+푢3(푣3+푤3) =
(푢1푣1+푢1푤1)+(푢2푣2+푢2푤2)+(푢3푣3+푢3푤3) = (푢1푣1+푢2푣2+푢3푣3)+(푢1푤1+푢2푤2+푢3푤3) =
푈 ⋅ 푉 + 푈 ⋅푊 ;
(c) 훼(푈 ⋅ 푉 ) = 훼(푢1푣1 + 푢2푣2 + 푢3푣3) = (훼푢1)푣1 + (훼푢2)푣2 + (훼푢3)푣3 = (훼푈) ⋅ 푉 ;
(d) 푉 ⋅ 푉 = ∣∣푉 ∣∣2 e´ uma soma de quadrados, por isso e´ sempre maior ou igual a zero e e´ zero se,
e somente se, todas as parcelas sa˜o iguais a zero. ■
Matrizes Vetores e Geometria Analı´tica Marc¸o 2010
3.2 Produtos de Vetores 191
3.2.2 Projec¸a˜o Ortogonal
Dados dois vetores 푉 e푊 a projec¸a˜o ortogonal de 푉 sobre푊 denotada por
proj푊 푉
e´ o vetor que e´ paralelo a푊 tal que 푉 − proj푊 푉 seja ortogonal a푊 (Figura 3.19).
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
192 Vetores no Plano e no Espac¸o
Proposic¸a˜o 3.4. Seja 푊 um vetor na˜o nulo. Enta˜o, a projec¸a˜o ortogonal de um vetor 푉 em 푊 e´
dada por
proj푊 푉 =
(
푉 ⋅푊
∣∣푊 ∣∣2
)
푊 .
Demonstrac¸a˜o. Sejam 푉1 = proj푊 푉 e 푉2 = 푉 − proj푊 푉 . Como 푉1 e´ paralelo a푊 , enta˜o
푉1 = 훼푊. (3.7)
Assim,
푉2 = 푉 − 훼푊 .
Multiplicando-se escalarmente 푉2 por푊 e usando o Teorema 3.3 (d) obtemos
푉2 ⋅푊 = (푉 − 훼푊 ) ⋅푊 = 푉 ⋅푊 − 훼∣∣푊 ∣∣2. (3.8)
Mas, 푉2 e´ ortogonal a푊 , enta˜o 푉2 ⋅푊 = 0. Portanto, de (3.8) obtemos
훼 =
푉 ⋅푊
∣∣푊 ∣∣2 .
Substituindo este valor de 훼 na equac¸a˜o (3.7) segue-se o resultado. ■
Matrizes Vetores e Geometria Analı´tica Marc¸o 2010
3.2 Produtos de Vetores 193
Exemplo 3.10. Sejam 푉 = (2,−1, 3) e 푊 = (4,−1, 2). Vamos encontrar dois vetores 푉1 e 푉2 tais
que 푉 = 푉1 + 푉2, 푉1 e´ paralelo a푊 e 푉2 e´ perpendicular a푊 (Figura 3.19). Temos que
푉 ⋅푊 = 2 ⋅ 4 + (−1)(−1) + 3 ⋅ 2 = 15
∣∣푊 ∣∣2 = 42 + (−1)2 + 22 = 21 .
푉1 = proj푊 푉 =
(
푉 ⋅푊 )
∣∣푊 ∣∣2
)
푊 =
(
15
21
)
(4,−1, 2) = (20
7
,−5
7
,
10
7
)
푉2 = 푉 − 푉1 = (2,−1, 3)− (20
7
,−5
7
,
10
7
) = (−6
7
,−2
7
,
11
7
) .
3.2.3 Produto Vetorial
Vamos, agora, definir um produto entre dois vetores, cujo resultado e´ um vetor. Por isso, ele e´
chamado produto vetorial. Este produto tem aplicac¸a˜o, por exemplo, em Fı´sica: a forc¸a exercida
sobre uma partı´cula com carga unita´ria mergulhada num campo magne´tico uniforme e´ o produto
vetorial do vetor velocidade da partı´cula pelo vetor campo magne´tico.
Definic¸a˜o 3.2. Sejam 푉 e푊 dois vetores no espac¸o. Definimos o produto vetorial, 푉 ×푊 , como
sendo o vetor com asseguintes caracterı´sticas:
(a) Tem comprimento dado numericamente por
∣∣푉 ×푊 ∣∣ = ∣∣푉 ∣∣ ∣∣푊 ∣∣ sen 휃,
ou seja, a norma de 푉 ×푊 e´ numericamente igual a` a´rea do paralelogramo determinado por
푉 e푊 .
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
194 Vetores no Plano e no Espac¸o
푊
푉
푉
−
p
r
o
j
푊
푉
proj푊 푉 푊
푉
푉
−
p
r
o
j
푊
푉
proj푊 푉
Figura 3.19: Projec¸a˜o ortogonal do vetor 푉 sobre o vetor푊
∣∣푉 ∣∣
∣ ∣ 푊
∣ ∣
푊
푉
ℎ
=
∣
∣
푊
∣
∣
s
e
n
휃
휃
Figura 3.20: ´Area de um paralelogramo determinado por dois vetores
Matrizes Vetores e Geometria Analı´tica Marc¸o 2010
3.2 Produtos de Vetores 195
(b) Tem direc¸a˜o perpendicular a 푉 e a푊 .
(c) Tem o sentido dado pela regra da ma˜o direita (Figura 3.21): Se o aˆngulo entre 푉 e 푊 e´ 휃,
giramos o vetor 푉 de um aˆngulo 휃 ate´ que coincida com푊 e acompanhamos este movimento
com os dedos da ma˜o direita, enta˜o o polegar vai apontar no sentido de 푉 ×푊 .
Da forma como definimos o produto vetorial e´ difı´cil o seu ca´lculo, mas as propriedades que
apresentaremos a seguir possibilitara˜o obter uma fo´rmula para o produto vetorial em termos das
componentes dos vetores.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos