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Material de introdução Calculo I

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Material de 
introdução ao estudo 
do Cálculo I 
Partes 1, 2 e 3 
 
O objetivo deste material é o de propiciar uma revisão 
dos conteúdos considerados básicos para o 
desenvolvimento de um curso de Cálculo 
 
Gil Marcos Jess 
01/02/2011 
 
2 
 
CONJUNTOS 
 
1. Conceito – pertinência 
Como o próprio nome sugere, conjunto dá idéia de uma lista ou coleção a qual 
pode ser de pessoas, animais, objetos, números, etc. 
Exemplos: 
a) conjunto dos alunos da PUC; 
b) conjunto dos signos do zodíaco; 
c) conjunto dos animais mamíferos; 
d) conjunto dos números primos. 
 
Chama-se de elemento a cada um dos objetos que formam o conjunto. Esses 
são indicados por letras minúsculas. Os conjuntos, por sua vez são indicados por 
letras maiúsculas. 
Um elemento pode ou não pertencer a um determinado conjunto. Quando um 
elemento pertence utilizamos o símbolo  e quando ele não pertence utilizamos o 
símbolo . 
Exemplos: 
x  A (lê-se: x pertence a A) 
x  B (lê-se: x não pertence a B) 
 
 
2. Representação de um conjunto 
Um conjunto pode ser representado de três maneiras: por extensão, por 
compreensão e através dos diagramas de Ven. 
 
1ª. Por extensão 
 Nesse caso, os elementos são enumerados, sendo escritos entre chaves e 
separados por vírgula. Por exemplo: 
 Conjunto dos dias da semana: 
 A = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado} 
 
 Conjunto dos números ímpares positivos: 
B = {1; 3; 5; 7; ...} 
 
Conjunto dos números inteiros positivos menores que 130: 
C = {1; 2; 3; ...; 128; 129} 
 
2ª. Por compreensão 
 Nesse caso, o conjunto é representado por uma propriedade que caracteriza 
seus elementos de modo que se tenha certeza se um dado elemento pertence ou não 
ao conjunto. 
 Exemplos: 
a) A = {x | x  IN, x < 5} 
(lê-se: x tal que x pertence ao conjunto dos números naturais e x é menor que cinco) 
 
b) B = {b / b é vogal} (lê-se: b tal que b é uma vogal) 
 
 
3. Conjuntos Especiais 
 
 Conjunto vazio: 
Como o próprio nome sugere, conjunto vazio é aquele que não tem elementos. 
Exemplos: 
3 
a) A = {a / a é cinema da cidade de Curitiba} 
b) B = {x  IN | x < 0} 
 
Indicamos o conjunto vazio por { } ou . 
 
Conjunto Unitário: 
 É o conjunto que tem um único elemento. 
Conjunto finito: 
É o conjunto que tem um número limitado de elementos. 
 
Conjunto Infinito: 
 
É o conjunto com número ilimitado de elementos. 
 
Conjunto Universo: 
É um conjunto referencial que contém todos os elementos de uma situação 
particular, geralmente é representado pela letra U. 
 
 
Exercícios: 
1) Sendo IN = {0; 1; 2; 3; ...}, dar, por extensão, os seguintes conjuntos: 
a) A = {x | x = 2k, k  IN} 
 
b) B = {x  IN / x < 7} 
 
 
 
2) Represente os conjuntos abaixo por compreensão: 
a) A = {0; 4; 8; 12; ...} 
 
b) B = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} 
 
 
4. Subconjuntos 
Dados dois conjuntos, A e B, dizemos que A é um subconjunto de B se cada 
elemento de A for também elemento de B. 
Indicamos essa relação por: 
 
A  B A está contido em B ou B  A B contém A 
 
 Exemplo: 
 O conjunto A = {0; 2; 3} é um subconjunto de B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, 
pois cada elemento de A é também elemento de B. 
 Indicamos: 
 {0; 2; 3}  {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} ou A  B 
 
 Observações: 
 Adota-se que, para todo conjunto A,   A. 
 Se A  B e B  A, então A = B. 
 Escreve-se A  B (A não está contido em B) se A não for subconjunto 
de B. 
 Os símbolos  e  são utilizados para relacionar conjunto com conjunto 
enquanto que  e  relaciona elemento com conjunto. 
 
4 
 
5. Conjuntos numéricos 
 
Conjunto dos números naturais (N) 
N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}; 
N* = {1; 2; 3; 4; ...} 
 
 
Conjunto dos números inteiros (Z) 
Z = {...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...} 
Z* = {..., -3; -2; -1; 1; 2; 3; ...} “conjunto dos inteiros excluído o zero” 
Z+ = {0; 1; 2; 3; ...} “conjunto dos inteiros não negativos” 
Z - = {...; -3; -2; -1; 0} “conjunto dos inteiros não positivos” 
 
Conjunto dos números racionais (Q) 
 Além dos números inteiros, incluem-se nesse conjunto as frações. De um modo 
geral podemos definir esse conjunto como: 
 Q = 






 0b,b,a,
b
a
x|x
 
 
Temos que lembrar como representar números decimais na forma de fração. 
 1,5 =
10
15
=
2
3
 -1,75 =
100
175
-
=
4
7
-
 2,25 = 
100
225
=
4
9
 
 Esses exemplos se referem aos números decimais exatos. 
 
 0,666...=
3
2
=
9
6
 1,8333...=
6
11
 0,857142857142...=
7
6
 
 Esses exemplos se referem às dizimas periódicas ou infinitas. 
 
 
Conjunto dos números irracionais (Ir) 
São números com infinitas casas decimais que não formam período, isto é, não 
podem ser escritos na forma 
b
a
. São exemplos de números irracionais as raízes não 
exatas. 
Exemplos: 
2
, 
3
, 
5
,  , ... 
 
 
Conjunto dos números reais (IR) 
 
 
 
Assim são números reais: 
 Os números naturais;  Os números racionais; 
 Os números inteiros;  Os números irracionais. 
 
Não fazem parte dos números reais: 
n a
, com a < 0 e n sendo par. 
 
 
Exemplos: 
4
, 
25
, 
4 16
, ... 
IR = Q Ir 
5 
 
 
6. Relação de ordem no conjunto IR 
 
Dados dois números quaisquer a e b, somente uma das três opções é possível: 
a = b ou a > b ou a < b 
 
 A desigualdade representada por a < b significa que o número real a é menor 
que o número real b. 
 
 Geometricamente, se a < b, então a está situado à esquerda de b na reta real. 
 
 
 
 
 A desigualdade representada por a > b significa que o número real a é maior 
que o número real b. 
 
 Geometricamente, se a > b, então a está situado à direita de b na reta real. 
 
 
 
 
 Podemos escrever também a 

 b (lê-se: a é menor ou igual a b) ou a 

 b (lê-
se: a é maior ou igual a b). 
 
 Um número real c está entre a e b se, e somente se, a < c e c < b. Podemos 
representar isso com uma dupla desigualdade: a < c < b. 
 
 
 
 
 
 
7. Intervalos 
Denominamos intervalo a qualquer subconjunto dos números reais. Assim, 
dados dois números reais a e b, com a < b, temos: 
 
a) intervalo aberto 
 
 
 
 
A bolinha  indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo. Esse 
intervalo contém todos os números reais compreendidos entre a e b, exclusive. 
 
b) intervalo fechado 
 
 
 
 
A bolinha  indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo. Esse 
intervalo contém todos os números reais compreendidos entre a e b, inclusive. 
 
 
a b 
a b 
Representação algébrica: 
 ou (a, b) ou ]a, b[ 
Representação algébrica: 
 ou [a, b] 
 
 
b a c 
6 
c) intervalo semi-aberto à direita 
 
 
 
 
 
 
d) intervalo semi-aberto à esquerda 
 
 
 
 
 
 Podemos ter ainda intervalos com as seguintes características: 
 
 
 ax|Rx 
 ou (a, + ) 
 
 
 
 ax|Rx 
 ou [a, + ) 
 
 
 
 ax|Rx 
 ou (-, a) 
 
 
 
 ax|Rx 
 ou (-, a] 
 
 
 
Exemplos: 
1) Represente na reta real cada