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ESTUDO DOS LIMITES ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO 30/04/2010 CÁLCULO I PROFESSOR: GIL MARCOS JESS 2 LIMITES O objetivo agora passa a ser o estudo dos Limites e a sua aplicação na análise da continuidade de uma função. É possível compreender melhor o significado do que é uma tendência fazendo a análise das seguintes sucessões: Primeira sucessão: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... Segunda sucessão: Observações: Na primeira sucessão é possível observar que os termos tornam-se cada vez maiores sem que haja qualquer limitação. Resumindo é possível dizer que os termos da sucessão tendem ou se encaminham para o infinito, o que também significa dizer que o limite da sucessão é infinito. Esta tendência costuma ser denotada da seguinte forma: , o que se lê como sendo: “x tende para o mais infinito”. Já na segunda sucessão é possível observar que os termos também crescem, mas com certa limitação. Nesse caso os números estão se aproximando cada vez mais do valor 1 e portanto é possível dizer que: , ou seja “x tende para um”. Usando agora uma função ( ) e observando as tabelas abaixo: Na primeira tabela é possível identificar que na medida em que o x aumenta seu valor tendendo para o nossa função tendeu para 1. Já na segunda tabela na medida em que x diminui seu valor tendendo para o a função também tendeu para 1. Ou seja, simbolicamente : ( ) E isto costuma ser denotado por: x y 1 0 2 ⁄ 3 ⁄ 4 ⁄ ... .... 500 ⁄ ... ... 1000 ⁄ x y -1 2 -2 ⁄ -3 ⁄ -4 ⁄ ... .... -500 ⁄ ... ... -1000 ⁄ 3 ( ) O que costuma ser lido: “ limite quando x tende para mais ou menos infinito da função é igual a 1”. Definição: Sendo f(x) uma função definida em um intervalo aberto que contém a, exceto possivelmente no próprio a. Diz-se que o limite de f(x) quando x se aproximar de a é L e se representa como: ( ) se para todo | ( ) | | | A unicidade do limite: Se ( ) e ( ) , então . Propriedades dos Limites: 4 Antes de exemplificar a solução dos limites é importante identificar o que se costuma chamar de indeterminação. E é de fundamental importância que algo indeterminado não significa algo sem solução, mas sim que para que a solução seja viável, ou seja, para que a chamada indeterminação seja levantada é necessário que se estabeleça algum tipo de mudança na expressão com a qual se está trabalhando. Para exemplificar: Sendo ( ) ( ) , determinar: ( ) ( ) Ao usar o artifício direto para a solução do limite tem-se que: que é uma indeterminação. Entretanto se uma modificação como simplificação do for implementada antes da resolução tem-se que: neste caso costuma-se dizer que antes de resolver levantou-se a indeterminação. Serão considerados casos de indeterminação: Exemplos: 1) ( ) 2) 3) √( ) √ 5 4) 5) √ √ Exercícios: 1) Calcular os seguintes limites: 6 Limites Laterais: Limite Lateral à Direita: Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( ). Diz-se que um número L é o limite à direita da função f quando x tende para a, e escreve-se: ( ) , se para todo , existe um , tal que | ( ) | sempre que . Portanto, se ( ) diz-se que f(x) tende a L quando x tende para a pela direita. E o símbolo indica que os valores de x são sempre maiores do que a. Limite Lateral à Esquerda: Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( ). Diz-se que um número L é o limite à esquerda da função f, quando x tende para , e escreve- se: ( ) , se para todo , existe um , tal que | ( ) | sempre que . Portanto, se ( ) diz-se que f(x) tende a L quando x tende para a pela esquerda. E o símbolo indica que os valores de x são sempre menores do que a. Importante: Todas as propriedades de limites são também válidas para os limites laterais. Exemplos: 1) Dada a função ( ) √ determinar se houver: ( ) e ( ) 2) Tomando como base o gráfico da função dado abaixo: Determinar: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( ) 7 3) Seja ( ) { | | fazer um esboço do gráfico da função e determinar : ( ) e ( ) Nos dois últimos exemplos pode-se perceber que o limite lateral à esquerda difere do limite lateral à direita. O que acaba proporcionando uma análise quanto ao cálculo de um limite. Teorema: Se uma função f é definida em um determinado intervalo aberto que contém a, exceto possivelmente no próprio a, então: ( ) se e somente se ( ) e ( ) . Ou seja, para que exista o limite da função tendendo para um valor qualquer a devem existir os limites laterais à esquerda e à direita e eles devem ser iguais. Exemplo: Seja ( ) { Determinar, ( ), ( ) e ( ) e fazer um esboço do gráfico da função. Exercícios: 1) Seja ( ) { fazer um esboço do gráfico e determinar: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( ) 2) Seja h( ) { fazer um esboço do gráfico e determinar: O ( ) 8 3) Seja g( ) { | | esboçar o gráfico de g(x) e determinar se existirem: a) ( ) b) ( ) c) ( ) Limites com a variável tendendo para o . (Limites no infinito) Definições: I) Seja f uma função definida no intervalo ( ) escreve-se ( ) quando o número L satisfaz à seguinte condição. Para qualquer | ( ) | . II) Seja f uma função definida no intervalo ( ) escreve-se ( ) quando o número L satisfaz à seguinte condição. Para qualquer | ( ) | . Nesse tipo de limite um teorema acaba sendo extremamente útil para proporcionar as resoluções: Teorema: Se n é um número inteiro positivo, então: e . Exemplos: 1) Determinar: . 2) Determinar: √ Limites infinitos: Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em x=a. Diz-se que: ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | . Teorema: 9 Se n é umnúmero inteiro positivo qualquer, então 1) 2) { Teorema: Sejam f(x) e g(x) funções tais que ( ) ( ) então: 1) ( ) ( ) ( ) ( ) para valores de x próximos de a. 2) ( ) ( ) ( ) ( ) para valores de x próximos de a. Exemplos: 1) Determinar ( √ ) 2) Determinar ( ) 3) Determinar 4) Determinar ( ) 5) Determinar ( ) Exercícios: Calcular os seguintes limites: 1) ( ) R.: 2) ( ) R.: 2 3) R.: 0 4) R.: 0 5) R.: ⁄ 6) R.: 7) R.: 8) R.: ⁄ 9) R.: 10) √ R.: 0 10 11) R.: 12) ( ) R.: ⁄ 13) √ R.: 14) √ R.: 1 15) √ R.: -1 16) (√ √ ) R.: 0 17) (√ ) R.: ⁄ 18) (√ √ ) R.: 19) R.: ⁄ 20) R.: 21) R.: 0 22) √ R.: √ 23) R.: 24) R.: 25) R.: 26) R.: 27) R.: 28) R.: 29) R.: 30) R.: Limites Fundamentais: Os chamados limites fundamentais são na prática limites previamente solucionados e que servem como argumento para que ao desenvolver a 11 solução de outros limites possam ser usados como elementos que possuem valores previamente estabelecidos. Teorema 1: O . A prova deste teorema pode ser desenvolvida de diversas maneiras. Abaixo está apresentada somente uma delas: Tomando como base a figura: E, portanto está provado que: Teorema 2: ( ) Corolário: ( ) Onde este e é o chamado número de Euler e equivale a 2,71828..... Teorema 3: ( ) Exemplos: Calcular: 12 1) 2) 3) 4) 5) Exercícios: Calcular os seguintes limites: 1) R.: 9 2) R.: ⁄ 3) R.: ⁄ 4) R.: ⁄ 5) R.: a 6) R.: ⁄ 7) ( ) ( ) R.: ⁄ 8) R.: 0 9) ( ⁄ ) R.: e 10) ( ⁄ ) R.: 11) ( ) R.: ⁄ 12) ( ) R.: e 13) ( ⁄ ) R.: e 14) R.: 15) R.: 16) R.: 17) R.: b-a
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