Aula 01

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CÁLCULO I
Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida
Aula n
o
01: Funções.
Objetivos da Aula
• Definir função e conhecer os seus elementos;
• Reconhecer o gráfico de uma função;
• Definir funções compostas e inversas.
1 Funções
Consideremos A e B dois conjuntos. Uma função f é uma lei que associa cada elemento x ∈ A a
um único elemento y ∈ B. O conjunto A é chamado domínio da função f e o conjunto B é chamado
contradomínio da função f . Costuma-se representar uma função pela seguinte notação:
f : A→ B
Para afirmarmos que um determinado x ∈ A está associado a certo y ∈ B através da função f , costumamos
utilizar a notação:
y = f(x)
Definimos também o seguinte subconjunto do contradomínio, chamado conjunto imagem da função f
Imf = {y ∈ B| y = f(x), x ∈ A}
Uma forma de representarmos uma função é por meio do diagrama de flechas, como ilustrado a seguir
Figura 1: Representação de uma função por um diagrama de flechas
Por exemplo, sendo A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e considere que
f(1) = 2
f(2) = 3
f(3) = 4
f(4) = 5
f(5) = 6
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Note que Imf = {2, 3, 4, 5, 6}. A representação dessa função pelo diagrama de flechas é feita da seguinte
forma:
Figura 2: Exemplo de uma função representada por um diagrama de flechas
Outra forma de representar uma função é através de seus valores numéricos. Por exemplo, considere a
seguinte tabela:
Dia Valor da Compra
02 2, 8942
03 2, 9260
04 2, 9787
05 3, 0100
06 3, 0550
09 3, 1285
10 3, 1015
11 3, 1266
12 3, 1590
13 3, 2460
Embora não tenhamos uma regra explícita, a tabela acima é função do conjunto
D = {02, 03, 04, 05, 06, 09, 10, 11, 12, 13}
em R, uma vez que para cada dia t ∈ D, existe um único valor correspondente de V (t) = valor do dólar no
dia t.
Em muitas situações não existe uma regra explícita que estabeleça a correspondência entre os elementos
do domínio e contradomínio, sendo isto feito por meio de tabela de valores. Usando técnicas apropriadas é
possível encontrar uma expressão para uma função que aproxime os valores dados na tabela.
Contudo, tanto o diagrama de flechas quanto a tabela de valores, não são eficientes para representar
uma função cujo domínio é um conjunto infinito. Por isso, a representação gráfica de uma função é a
melhor forma de visualizá-la e entender o seu comportamento. E para entendermos melhor esse tipo de
representação, segue a definição de gráfico de uma função.
Definição 1. Seja f : A→ B uma função. O gráfico de f , denotado por Gf , é o seguinte subconjunto do
produto cartesiano A×B:
Gf = {(x, f(x)) ∈ A×B|x ∈ A}
O gráfico de uma função f nos dá uma imagem útil sobre o comportamento da função, pois uma vez
que a coordenada y de qualquer ponto (x, y) sobre o gráfico, é da forma y = f(x), podemos ler o valor
f(x) como sendo a altura do ponto no gráfico acima de x.
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Figura 3: Entendendo f(x) como uma altura do ponto x no gráfico de f .
O gráfico também nos permite visualizar o domínio e a imagem da função f sobre o eixo y.
Figura 4: Determinando a imagem e o domínio de um função através do seu gráfico.
Assim como no diagrama de flechas, podemos determinar se uma curva desenhada no plano cartesiano
xy é o gráfico de uma função ou não. Para isso, utilizamos o teste da reta vertical, descrito abaixo:
Uma curva no plano xy é o gráfico de uma função de x se, e somente se nenhuma
reta vertical cortar a curva mais de uma vez.
Como exemplo, temos que o gráfico abaixo é de uma função. Note que toda reta vertical (paralela ao eixo
y) intersecta a curva em exatamente um ponto.
Figura 5: Ilustração 1 do Teste da Reta Vertical.
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A seguinte curva não é gráfico de uma função, pois pelo menos uma reta vertical intersecta mais de um
ponto da curva.
Figura 6: Ilustração 2 do Teste da Reta Vertical.
1.1 Restrições no domínio
Quando não especificado, o domínio de uma função é o maior subconjunto A ⊂ R tal que a função
esteja definida. Contudo, para determinar esse maior subconjunto é necessário fazer algumas considerações,
pois podem haver restrições sobre o domínio de uma função. Por exemplo,
Exemplo 1. Considere a função dada por f(x) =
1
x2 − 1 . Determine o seu domínio.
Devemos determinar o maior subconjunto dos números reais, onde a função f esteja definida. Mas para
isso, note que a função é dada por um quociente de funções. Com isso, note que a função no denominador
não pode ser 0, pois seria uma indeterminação. Logo, os pontos onde a função não está definida são os
valores que zeram a função x2 − 1. Dessa forma, fazemos
x2 − 1 6= 0⇒ x2 6= 1⇒ x 6= 1 e x 6= −1
Logo, o domínio de f é o conjunto A = {x ∈ R|x 6= −1 e x 6= 1} �
Exemplo 2. Seja g(x) =
4
√
x2 − 2x. Determine o conjunto domínio de g.
Para isso, devemos notar que nenhum radical de índice par admite radicando negativo. Logo, o domínio
de g devem ser os números reais tais que x2 − 2x ≥ 0. Logo,
x2 − 2x ≥ 0⇒ x(x− 2) ≥ 0
Estudando o sinal desse produto de polinômios, obtemos que
Figura 7: Estudo do Sinal de x(x− 2).
Logo, o domínio de g é o conjunto
A = {x ∈ R|x ≤ 0 ou x ≥ 2} = (−∞, 0] ∪ [2,+∞)
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Exemplo 3. Determine o domínio da função h(x) =
2x− 4√
x3 − 8 .
Note que no denominador, agora temos uma função raiz quadrada, logo, os valores reais que anulam ou
que tornam a função x3 − 8 negativa não podem estar no domínio de h. Desse modo, calculamos
x3 − 8 > 0⇒ x3 > 8⇒ x > 3
√
8⇒ x > 2
Assim, o domínio de h é o conjunto A = {x ∈ R|x > 2}. �
Em algumas situações, denotaremos A = Df e B = CDf .
Função Inversa
Uma função f : A→ B é chamada injetora se ela nunca assume o mesmo valor duas vezes, isto é, para
x1, x2 ∈ A,
Se x1 6= x2 então f(x1) 6= f(x2)
Analogamente, temos que
Se f(x1) = f(x2) então x1 = x2
Uma forma de verificarmos graficamente se uma função é injetora ou não é o chamado teste da reta
horizontal:
Uma função é injetora se nenhuma reta horizontal intercepta seu gráfico em mais de
um ponto
Aplicando esse teste às seguintes funções, notamos que
Figura 8: Exemplo de um gráfico de fun-
ção injetora.
Figura 9: Exemplo de um gráfico de fun-
ção que não é injetora.
Dizemos que uma função f : A→ B é sobrejetora se Imf = B. Equivalentemente, para todo elemento
y ∈ B, existe um x ∈ A tal que y = f(x). Um exemplo de função sobrejetora é a função exibida no
seguinte exemplo.
Exemplo 4. Considere f : R→ R, definida por f(x) = x3. f é sobrejetora?
Solução: Sim, pois para cada número real y ∈ R podemos tomar o número x = 3√y ∈ R e observar que
y = ( 3
√
y)3 = x3 = f(x)
Desse modo,Imf = R, e portanto, f é sobrejetora. �
Assim como foi estudado para funções injetoras, existem funções que não são injetoras. Basta observar
o seguinte exemplo.
Exemplo 5. Considere f : R→ R, definida por f(x) = x2. f é sobrejetora?
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Solução: Não, pois se tomarmos o número real y = −2, não existe nenhum número real x ∈ R tal que
f(x) = −2
Dessa forma, Imf 6= R, e portanto, f não é sobrejetora. �
Observação 1. Uma forma de ultrapassar esse obstáculo é restringirmos o contradomínio à imagem da
função. Por exemplo, note que se a função f fosse definida f : R→ R+, ela seria sobrejetora.
Definição 2. Seja f : A→ B uma função. Dizemos que f é bijetora, se f é injetora e sobrejetora.
Note que f(x) = x3 é bijetora e f(x) = x2 não é.
Seja f : A→ B uma função bijetora. Definimos a função inversa de f e denotaremos por f−1 como
sendo a função f−1 : B → A, tal que
y = f(x)⇔ x = f−1(y) (1)
Um exemplo simples da relação 1 pode ser dada pelo diagrama de flechas no exemplo a seguir:
Exemplo6. Considere os conjuntos A = 1, 2, 3 e B = 0, 4, 5 e uma função f : A→ B, dada por
f(1) = 4
f(2) = 5
f(3) = 0
Determine a função f−1.
Solução: Para determinarmos a função f−1, vamos representar f por um diagrama de flechas. Dessa
forma, obtemos
Figura 10: Diagrama de flechas de f .
Agora, basta inverter o sentido das flechas obtemos a função f−1, desse modo, f−1 : B → A, é tal que
f−1(4) = 1, f−1(5) = 2 e f−1(0) = 3. �
Exemplo 7. Das as funções abaixo, determine as suas inversas.
(i) f : R→ R, dada por f(x) = x3;
(ii) g : [0, 1]→ [0, 1], dada por g(x) = √1− x2;
(i) Solução: Note que f é bijetora. Logo, existe uma função f−1 : R→ R tal que
y = f(x)⇔ x = f−1(y)
Para determinar a função f−1, devemos isolar a variável x em função de y. Desse modo, obtemos
que
y = x3 ⇔ x = 3√y
Assim, obtemos que a função inversa de f é f−1 : R→ R, dada por f−1(y) = 3√y.
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(ii) Solução: Como fizemos anteriormente, isolaremos a variável x em função de y. Logo,
y =
√
1− x2 ⇔ y2 = 1− x2 ⇔ x2 = 1− y2 ⇔ x =
√
1− y2
Desse modo, obtemos que a inversa de g é g−1 : [0, 1]→ [0, 1], dada por g(y) =
√
1− y2 �
Observação 2. Diversas vezes, tentaremos encontrar a inversa de uma função. Muitas delas não
possuem função inversa em todo o seu domínio. Sendo assim, podemos determinar a inversa de
uma função em subconjuntos do domínio, como é o caso das funções trigonométricas inversas. Um
processo para fazer isso é:
• Encontrar um intervalo onde a função f é injetora;
• Restringir a função nesse intervalo.
Podemos utilizar uma ideia geométrica para identificar uma função f e sua inversa f−1, que é a
seguinte:
Sejam f e sua inversa f−1. Então os gráficos de f e f−1 são simétricos em relação à
reta y = x.
segue um exemplo dessa propriedade:
Figura 11: Grafico de f(x) = x3 e sua inversa.
Função Composta
Em nosso curso, utilizaremos algumas operações entre funções. Note que podemos escrever y em
função de x quando, y = f(u) (y é uma função de u) e u = g(x) (u é uma função de x), a partir
da substituição de uma função na outra. A este método, denominamos composição de funções.
Segue a definição:
Definição 3 (Composição de funções). Dada duas funções f e g, tal que a imagem de f é subconjunto
do domínio de g, a função composta de f com g, denotada por g ◦ f(x) é definida por;
g ◦ f : A→ R,
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cuja regra é dada por:
(g ◦ f)(x) = g(f(x)).
Simbolicamente:
D(g ◦ f) = {x ∈ D(f) | f(x) ∈ D(g)}.
A figura abaixo mostra como visualizar a composição de duas funções:
Figura 12: Composição de Funções
Observação 3. É comum usar a notação f2 para f ◦ f , f3 para f ◦ f ◦ f . No geral, para um inteiro
n ≥ 1, definimos fn = fn−1 ◦ f e f0 = I, onde I é a função identidade de A.
Exemplo 8. Sejam f(x) =
√
x e g(x) = x− 1. Encontre g ◦ f .
Solução: Temos que:
g ◦ f(x) = g(f(x)) = g(√x) = √x− 1.
Como D(f) = [0,+∞) e Im(f) = [0,+∞) ⊂ D(g) = R, então
D(g ◦ f) = D(f) = [0,+∞).
�
Exemplo 9. Sejam f(x) = x+
1
x
e g(x) =
x+ 1
x− 4 . Encontre (f ◦ g)(x) e seu respectivo domínio.
Solução: Temos que:
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = g(x) + 1
g(x)
=
x+ 1
x− 4 +
x− 4
x+ 1
=
(x+ 1)2 + (x− 4)2
(x− 4)(x+ 1) =
2x2 − 6x+ 17
(x− 4)(x+ 1) .
O domínio de (f ◦ g)(x) é R− {−1, 4}.
�
Exemplo 10. Sejam as funções:
f(x) =

0, se, x < 0
x2, se, 0 ≤ x ≤ 1
0, se, x > 1
e g(x) =

1, se, x < 0
2x, se, 0 ≤ x ≤ 1
1, se, x > 1
Determinar f ◦ g.
Solução: Note que
• Se x < 0, (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(1) = 12 = 1.
• Se 0 ≤ x ≤ 1, (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(2x).
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� Para 0 ≤ x ≤ 1
2
, temos 0 ≤ 2x ≤ 1. Logo, neste caso, (f ◦ g)(x) = f(2x) = 4x2.
� Para
1
2 < x ≤ 1 temos 2x > 1. Assim, para este caso, (f ◦ g)(x) = 0.
• Se x > 1, (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(1) = 1.
Logo:
(f ◦ g)(x) =

1, se, x < 0
4x2, se, 0 ≤ x ≤ 1
2
0, se,
1
2
< x ≤ 1
1, se, x > 1
O domínio de (f ◦ g)(x) é R.
�
Uma relação importante entre função inversa e função composta é a seguinte:
Proposição 1. Sejam f : A→ B e g = f−1. Então
g(f(a)) = a, ∀a ∈ A e f(g(b)) = b, ∀b ∈ B
Se A = B = R, então
g(f(x)) = x ∀x ∈ R
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 10− 18 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das páginas 19− 22 do livro texto.
Dica importante
Utilize algum software matemático, como por exemplo o Geogebra, para plotar gráficos de funções e
verificar os conceitos geométricos apresentados nessa aula, como os testes da reta vertical e horizontal e a
relação entre os gráficos de uma função e sua inversa.
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