AULA 01 - Cálculo Aplicado

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TÉCNICO EM EDIFICAÇÕES
INSTRUTORA: Roberta da Silva Botelho 
Técnico em Edificações
Email: roberta_botelho@hotmail.com.br
Supervisor Técnico : Fúlvio Carísio de Paula
Auxiliar Técnica: Priscila Helena Morais
Instrutora: Roberta da Silva Botelho
Formação: Engenheira Civil - Pitagoras 
Pós graduada gerenciamento de projetos - Faculdade Única
Mestranda em Geomática - UFU
Atuação: Construção Civil, desenvolvimento de projetos, acompanhamento e 
execução de obras, orçamentos, projetos viários.
Operações Aritméticas Básicas
Adição e subtração
Aplicações de números inteiros positivos e negativos:
Temperatura Saldo Bancário
Aplicações de números inteiros
positivos e negativos:
Exercício
Umas das temperaturas mais baixas já registradas foi de -89º C na Antártida e a 
mais
alta foi de 57ºC em Death Valley na Califórnia.
Qual é a diferença entre as duas temperaturas?
Solução:
Portanto pode-se observar que a diferença 
entre
as duas temperaturas é de 146 graus.
Multiplicação e Divisão
Multiplicação e Divisão
Exercícios –
Determine:
Respostas:
a) 8 b) -48 c) -63 d) 40 e) -15 f) 42
g) -22 h) 15 i) 12 j) -54 k) -4 l) 5
m) -7 n) 1 o) -1 p) 6 q) 0 r) 0
Potenciação
Potenciação é a forma de abreviar na multiplicação uma sequência de
fatores iguais. Desta forma quando multiplicamos um número sucessivas
vezes, podemos abreviar elevando-o a quantidade de vezes que o número é
multiplicado.
Partes de uma Potência
Base: É o termo que se repete na multiplicação.
Expoente: É o termo que indica o número de fatores
da multiplicação.
Potência: É o valor final da multiplicação.
Base elevada a expoente de número
ímpar
Regra:
Se a base for positiva, o
resultado é positivo. Se a base
for negativa, o resultado é
negativo.
Base elevada a expoente de número
par
Regra:
Se a base for positiva, o resultado é 
positivo.
Se a base for negativa, o resultado
também é positivo.
Expoente negativo
Regra:
Inverte-se o número o expoente se torna um
número positivo.
Propriedades de
Potenciação
Propriedades
de Potenciação
Regra:
Toda a base elevada ao expoente “0” o resultado
é
igual a 1.
Exercícios –
Determine:
a) (-6)²
c) (-6)³
e) (+10)²
g) (-1)⁶
i) (+2)⁶
k) (-9)²
m) (-1)¹³
n ) (-8)²
b) (+3)⁴
d) (-10)²
f) (-3)⁵
h) (-1)³
j) (-4)²
Solução:
a) 36 b) 81 c) 216 d)100 e)
100
f) 243 g) 1 h) -1
i) 64 j) 16 k) 81 l) 1 m) -
1
n) 64
Se eu misturar os sinais 
de: parênteses, adições, 
subtrações, 
multiplicações e divisões, 
o que vou resolver 
primeiro?
PRATICANDO
Coloque os parênteses de forma que a
expressão seja verdadeira.
a) 2 . 5 + 6 - 1 = 20
PRATICANDO - RESOLVENDO
Vamos discutir a resolução uma a uma.
a) 2 . 5 + 6 - 1 = 20
Sem colocar os parênteses ficaria correta?
2 . 5 + 6 - 1 =
10 + 6 - 1 =
16 – 1 =
15 ≠ 20
PRATICANDO - RESOLVENDO
Vamos discutir a resolução uma a uma.
a) 2 . 5 + 6 - 1 = 20
Testando os parênteses
2 . 5 + (6 - 1) =
2 . 5 + 5 =
10 + 5 =
15 20≠
PRATICANDO - RESOLVENDO
Vamos discutir a resolução uma a uma.
a) 2 . 5 + 6 - 1 = 20
Testando os parênteses
2 . 5 + (6 - 1) =
2 . 5 + 5 =
10 + 5 =
15 20≠
2 . (5 + 6) - 1 =
2 . 11 -1 =
22 - 1 =
21 ≠ 20
PRATICANDO - RESOLVENDO
Vamos discutir a resolução uma a uma.
a) 2 . 5 + 6 - 1 = 20
Testando os parênteses
2 . 5 + (6 - 1) =
2 . 5 + 5 =
10 + 5 =
15 20≠
2 . (5 + 6) - 1 =
2 . 11 -1 =
22 - 1 =
21 ≠ 20
2 . (5 + 6 - 1) =
2 . (11 - 1) =
2 . 10 =
20 = 20
PRATICANDO
Coloque os parênteses de forma que a
expressão seja verdadeira.
b) 36 ÷ 12 + 3 x 2 = 2
PRATICANDO - RESOLVENDO
b) 36 ÷ 12 + 3 x 2 = 2
Sem colocar os parênteses ficaria correta?
36 ÷ 12 + 3 x 2 =
3 + 3 x 2 =
3 + 6 =
9 2≠
PRATICANDO - RESOLVENDO
b) 36 ÷ 12 + 3 x 2 = 2
Testando os parênteses
36 ÷ (12 + 3) x 2 =
36 ÷ 15 x 2 =
36 ÷ 15 = não 
pertence ao conjunto 
dos números naturais
PRATICANDO - RESOLVENDO
b) 36 ÷ 12 + 3 x 2 = 2
Testando os parênteses
36 ÷ (12 + 3) x 2 =
36 ÷ 15 x 2 =
36 ÷ 15 = não 
pertence ao conjunto 
dos números naturais
36 ÷ (12 + 3 x 2) =
36 ÷ (12 + 6) =
36 ÷ 18 =
2 = 2
PRATICANDO
Coloque os parênteses de forma que a
expressão seja verdadeira.
c) 23 - 2 x 2 + 4 = 126
PRATICANDO - RESOLVENDO
c) 23 - 2 x 2 + 4 = 126
Sem colocar os parênteses ficaria correta?
23 - 2 x 2 + 4 =
23 - 4 + 4 =
19 + 4 =
23 126≠
PRATICANDO - RESOLVENDO
c) 23 - 2 x 2 + 4 = 126
(23 - 2) x 2 + 4 =
21 x 2 + 4 =
42 + 4 =
46 2
Testando os parênteses
≠
PRATICANDO - RESOLVENDO
c) 23 - 2 x 2 + 4 = 126
(23 - 2) x 2 + 4 =
21 x 2 + 4 =
42 + 4 =
46 2
Testando os parênteses
≠
23 - (2 x 2 + 4) =
23 - (4 + 4) =
23 - 8 =
15 2≠
PRATICANDO - RESOLVENDO
c) 23 - 2 x 2 + 4 = 126
Testando os parênteses
(23 - 2) x (2 + 4) =
21 x 6 =
126 = 126
PRATICANDO - RESPOSTA
Resposta:
a) 2 . (5 + 6 - 1) = 20
b) 36 ÷ (12 + 3 x 2) = 2
c) (23 - 2) x (2 + 4) = 126
RESOLVENDO EXPRESSÕES
a) (7 . 7 + 5) : (18 - 15 : 3 + 5) . 2 =
b) (30 - 5 . 6) : (7 + 2 . 10) . (40 - 30 + 5) =
E agora?!
Temos parênteses!
O que resolvo primeiro?
a) (7 . 7 + 5) : (18 - 15 : 3 + 5) . 2 =
RESOLVENDO EXPRESSÕES
1º ( )
a) (7 . 7 + 5) : (18 - 15 : 3 + 5) . 2 =
RESOLVENDO EXPRESSÕES
Mas, e agora?
:, x, + ou -?
a) (7 . 7 + 5) : (18 - 15 : 3 + 5) . 2 =
RESOLVENDO EXPRESSÕES
Resolvendo expressões
1º x ou :
2º + ou -
a) (7 . 7 + 5) : (18 - 15 : 3 + 5) . 2 =
a) (7 . 7 + 5) : (18 - 15 : 3 + 5) . 2 =
RESOLVENDO EXPRESSÕES
a) (7 . 7 + 5) : (18 - 15 : 3 + 5) . 2 =
(49 + 5) : (18 - 5 + 5) . 2 =
RESOLVENDO EXPRESSÕES
a) (7 . 7 + 5) : (18 - 15 : 3 + 5) . 2 =
(49 + 5) : (18 - 5 + 5) . 2 =
(54) : (13 + 5) . 2 =
RESOLVENDO EXPRESSÕES
a) (7 . 7 + 5) : (18 - 15 : 3 + 5) . 2 =
(49 + 5) : (18 - 5 + 5) . 2 =
(54) : (13 + 5) . 2 =
(54) : (18) . 2 =
RESOLVENDO EXPRESSÕES
a) (7 . 7 + 5) : (18 - 15 : 3 + 5) . 2 =
(49 + 5) : (18 - 5 + 5) . 2 =
(54) : (13 + 5) . 2 =
(54) : (18) . 2 =
3 . 2 =
RESOLVENDO EXPRESSÕES
a) (7 . 7 + 5) : (18 - 15 : 3 + 5) . 2 =
(49 + 5) : (18 - 5 + 5) . 2 =
(54) : (13 + 5) . 2 =
(54) : (18) . 2 =
3 . 2 =
6
RESOLVENDO EXPRESSÕES
b) (30 - 5 . 6) : (7 + 2 . 10) . (40 - 30 + 5) =
RESOLVENDO EXPRESSÕES
b) (30 - 5 . 6) : (7 + 2 . 10) . (40 - 30 + 5) =
(30 - 30) : (7 + 20) . (10 + 5) =
RESOLVENDO EXPRESSÕES
b) (30 - 5 . 6) : (7 + 2 . 10) . (40 - 30 + 5) =
(30 - 30) : (7 + 20) . (10 + 5) =
0 : 27 . 15 =
RESOLVENDO EXPRESSÕES
b) (30 - 5 . 6) : (7 + 2 . 10) . (40 - 30 + 5) =
(30 - 30) : (7 + 20) . (10 + 5) =
0 : 27 . 15 =
0 . 15 =
RESOLVENDO EXPRESSÕES
b) (30 - 5 . 6) : (7 + 2 . 10) . (40 - 30 + 5) =
(30 - 30) : (7 + 20) . (10 + 5) =
0 : 27 . 15 =
0 . 15 =
0
RESOLVENDO EXPRESSÕES
Você sabia 
que existem 
outros sinais 
de associação?
ISSO MESMO...
Observe:
( ) Parênteses
[ ] Colchetes
{ } Chaves
Mas o que isso 
influencia na 
resolução de 
uma 
expressão?
Assim como 
quando temos os 
parênteses 
indicando como 
prioridade ...
Temos que seguir 
uma ordem 
convencionada ...
1º ( ) Parênteses
2º [ ] Colchetes
3º { } Chaves
Mas e se eu tiver 
sinais de 
associação 
misturado com as 
operações?
VEJAMOS...
Seguindo a sequência estabelecida, 
resolva a expressão numérica:
4 + [ (3 . 8 – 10) – 10 ] =
1º ( )
2º [ ]
VEJAMOS...
4 + [ (3 . 8 – 10) – 10 ] = 1º ( )
2º [ ]
4 + [ (3 . 8 – 10) – 10 ] =
4 + [ (24 – 10) – 10 ] =
1º ( )
2º [ ]
VEJAMOS...
4 + [ (3 . 8 – 10) – 10 ] =
4 + [ (24 – 10) – 10 ] =
4 + [ 14 – 10 ] =
1º ( )
2º [ ]
VEJAMOS...
4 + [ (3 . 8 – 10) – 10 ] =
4 + [ (24 – 10) – 10 ] =
4 + [ 14 – 10 ] =
4 + 4 =
1º ( )
2º [ ]
VEJAMOS...
4 + [ (3 . 8 – 10) – 10 ] =
4 + [ (24 – 10) – 10 ] =
4 + [ 14 – 10 ] =
4 + 4 =
8
1º ( )
2º [ ]
VEJAMOS...
PRATICANDO
Resolva as expressões numéricas:
a) 3 . [ (5 – 2) . 4² + (30 – 4) ] = 
b) 20 – [ 6 + ( 4 + 1 ) . 2 ] + 3 =
RESOLVENDO
a) 3 . [ (5 – 2) . 4² + (30 – 4) ] = 
a) 3 . [ (5 – 2) . 4² + (30 – 4) ] = 
3 . [ 3 . 4² + 26 ] = 
RESOLVENDO
a) 3 . [ (5 – 2) . 4² + (30 – 4) ] = 
3 . [
3 . 4² + 26 ] = 
3 . [ 3 . 16 + 26 ] = 
RESOLVENDO
a) 3 . [ (5 – 2) . 4² + (30 – 4) ] = 
3 . [ 3 . 4² + 26 ] = 
3 . [ 3 . 16 + 26 ] = 
3 . [ 48 + 26 ] = 
RESOLVENDO
a) 3 . [ (5 – 2) . 4² + (30 – 4) ] = 
3 . [ 3 . 4² + 26 ] = 
3 . [ 3 . 16 + 26 ] = 
3 . [ 48 + 26 ] = 
3 . 74 = 
RESOLVENDO
a) 3 . [ (5 – 2) . 4² + (30 – 4) ] = 
3 . [ 3 . 4² + 26 ] = 
3 . [ 3 . 16 + 26 ] = 
3 . [ 48 + 26 ] = 
3 . 74 = 
222
RESOLVENDO
b) 20 – [ 6 + ( 4 + 1 ) . 2 ] + 3 =
RESOLVENDO
b) 20 – [ 6 + ( 4 + 1 ) . 2 ] + 3 =
20 – [ 6 + 5 . 2 ] + 3 =
RESOLVENDO
b) 20 – [ 6 + ( 4 + 1 ) . 2 ] + 3 =
20 – [ 6 + 5 . 2 ] + 3 =
20 – [ 6 + 10 ] + 3 =
RESOLVENDO
b) 20 – [ 6 + ( 4 + 1 ) . 2 ] + 3 =
20 – [ 6 + 5 . 2 ] + 3 =
20 – [ 6 + 10 ] + 3 =
20 – 16 + 3 =
RESOLVENDO
b) 20 – [ 6 + ( 4 + 1 ) . 2 ] + 3 =
20 – [ 6 + 5 . 2 ] + 3 =
20 – [ 6 + 10 ] + 3 =
20 – 16 + 3 =
4 + 3 =
RESOLVENDO
b) 20 – [ 6 + ( 4 + 1 ) . 2 ] + 3 =
20 – [ 6 + 5 . 2 ] + 3 =
20 – [ 6 + 10 ] + 3 =
20 – 16 + 3 =
4 + 3 =
7
RESOLVENDO
20 – [ 6 + ( 4 + 1 ) . 2 ] + 3 =
Observe que o ( ) 
está “dentro” do 
[ ]
PRATICANDO UM 
POUCO MAIS
Considere a expressão numérica: 
2 x [30 : 5 + (9 x 6 - 4) : 5] - (40 : 10 + 3)
Um número N é igual ao triplo do valor 
dessa expressão. Qual é o número N?
Considere a expressão numérica: 
2 x [30 : 5 + (9 x 6 - 4) : 5] - (40 : 10 + 3). Um 
número N é igual ao triplo do valor dessa 
expressão. Qual é o número N? 
Nesta expressão tem 
colchetes! 
E agora?
RESOLVENDO
2 x [30 : 5 + (9 x 6 - 4) : 5] - (40 : 10 + 3).
2 x [30 : 5 + (54 – 4 ) : 5] – (40 : 10 + 3)
2 x [30 : 5 + 50 : 5] – (40 : 10 + 3)
2 x [6 + 10] – (40 : 10 + 3)
2 x 16 – (40 : 10 + 3)
2 x 16 – (4 + 3)
2 x 16 – 7
32 – 7 = 25
RESOLVENDO
Considere a expressão numérica: 
2 x [30 : 5 + (9 x 6 - 4) : 5] - (40 : 10 + 3).
Um número N é igual ao triplo do valor dessa 
expressão. Qual é o número N? 
O número N é o triplo do resultado da expressão 
numérica: 3 x 25 = 75
RESPONDENDO
Que desafio, hein!?
MATEMÁTICA, 6º Ano, Operações com Frações: 
Multiplicação e Divisão
HISTÓRIA DAS FRAÇÕES
,
Os números fracionários surgiram da
necessidade de representar uma medida que não
tem uma quantidade inteira de unidades, isto é, da
necessidade de se repartir a unidade de medida.
Os Egípcios conheciam as frações de numerador
1 e esta era a forma que eles usavam para
representá-las. 1 3 1 6 1 20
MATEMÁTICA, 6º Ano, Operações com Frações: 
Multiplicação e Divisão
Conceito de Frações
Fração é uma forma de se representar uma quantidade a
partir de um valor, que é dividido por um determinado número de
partes iguais.
Ilu
st
ra
çã
o
: M
ar
ia
 H
el
en
a
MATEMÁTICA, 6º Ano, Operações com Frações: 
Multiplicação e Divisão
Conceito de Frações
EXEMPLO :Veja a figura abaixo, que foi divida em 16 partes iguais, 
4 partes em laranja e 12 partes em amarelo. 
Ilu
st
ra
çã
o
:m
at
em
at
ic
ad
id
at
ic
a
MATEMÁTICA, 6º Ano, Operações com Frações: 
Multiplicação e Divisão
Conceito de Frações
Em termos de fração, podemos dizer que o 4 corresponde
ao numerador da fração e que o 16 corresponde ao seu
denominador.
Ilu
st
ra
çã
o
:m
at
em
at
ic
ad
id
at
ic
a
MATEMÁTICA, 6º Ano, Operações com Frações: 
Multiplicação e Divisão
OBSERVAÇÃO: 
Em toda fração, o termo superior é 
chamado de numerador e o termo 
inferior chamamos de denominador.
MATEMÁTICA, 6º Ano, Operações com Frações: 
Multiplicação e Divisão
Podemos então representar a seguinte 
fração: 4/16
Im
ag
em
:m
at
em
at
ic
ad
id
a
MATEMÁTICA, 6º Ano, Operações com Frações: 
Multiplicação e Divisão
A fração 4/16 pode significar que das 16 partes
que compõe a figura, estamos considerando
apenas 4 delas, ou seja, estamos considerando
apenas quatro dezesseis avos da figura.
Mas o que significa isto?
MATEMÁTICA, 6º Ano, Operações com Frações: 
Multiplicação e Divisão
Já relembramos o que é fração e 
agora vamos aprender a:
Multiplicação e Divisão de Frações
MATEMÁTICA, 6º Ano, Operações com Frações: 
Multiplicação e Divisão
Multiplicação e Divisão de Frações
iIu
st
ra
çã
o
: M
ar
ce
lo
 R
ig
o
n
at
to
MATEMÁTICA, 6º Ano, Operações com Frações: 
Multiplicação e Divisão
A multiplicação de frações é muito simples, basta
multiplicarmos numerador por numerador e
denominador por denominador, respeitando suas
posições.
Observe:
Multiplicação:
MATEMÁTICA, 6º Ano, Operações com Frações: 
Multiplicação e Divisão
Multiplicação:
EXEMPLO:
MATEMÁTICA, 6º Ano, Operações com Frações: 
Multiplicação e Divisão
SOLUÇÃO:
MATEMÁTICA, 6º Ano, Operações com Frações: 
Multiplicação e Divisão
Multiplicação:
Mais Exemplos:
MATEMÁTICA, 6º Ano, Operações com Frações: 
Multiplicação e Divisão
Assim como podemos dividir o inteiro
em partes, podemos também dividir essas
partes em outras partes, que podem ser
novamente divididas e assim
sucessivamente....
Divisão:
MATEMÁTICA, 6º Ano, Operações com Frações: 
Multiplicação e Divisão
A divisão deve ser efetuada aplicando uma
regra prática e de fácil assimilação, que diz:
“Repetir a primeira fração e multiplicar pelo
inverso da segunda”.
Observe: 
MATEMÁTICA, 6º Ano, Operações com Frações: 
Multiplicação e Divisão
EXEMPLO:
MATEMÁTICA, 6º Ano, Operações com Frações: 
Multiplicação e Divisão
SOLUÇÃO
MATEMÁTICA, 6º Ano, Operações com Frações: 
Multiplicação e Divisão
Divisão
Mais Exemplos:
MATEMÁTICA, 6º Ano, Operações com Frações: 
Multiplicação e Divisão
Exercício 1:
Agora, efetue as multiplicações e divisões.
Não esqueça das regras. 
Multiplicação
Multiplicamos 
numerador com 
numerador e 
denominador com 
denominador.
Divisão
Mantemos a primeira 
fração, invertemos o 
sinal ( : por X) e 
invertemos o 
segundo termo.
MATEMÁTICA, 6º Ano, Operações com Frações: 
Multiplicação e Divisão
Multiplicação
MATEMÁTICA, 6º Ano, Operações com Frações: 
Multiplicação e Divisão
Divisão
Obrigada.