Lista2_C3_13_2

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2a. Lista de exerc´ıcios da disciplina 08.9303 - AB/ Ca´lculo 3
Professor: Dr. Ma´rcio de Jesus Soares
Dia de entrega: 11 de outubro de 2013
1. Considere a integral tripla
∫∫∫
D
f(x, y, z)dV , em que o domı´nio D dado pela figura abaixo.
Esreva a integral, como uma integral iterada de duas formas equivalentes, ou seja, utilizando duas
sequeˆncias diferentes de integrac¸a˜o.
2. Utilizando mudanc¸a de varia´veis, calcule as integrais e mostre o domı´nio obtido pela transformac¸a˜o
utilizada.
(a)
∫∫
D
3
√
y − x
1 + x+ y
dA, sendo D o triaˆngulo de ve´rtices (0, 0), (1, 0) e (0, 1).
(b)
∫∫∫
D
x2y dV , sendo D o so´lido contido pelo elipso´ide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1.
3. Sejam A = {(x, y) ∈ R2; 1 + x2 ≤ y ≤ 2 + x2, x ≥ 0 e y ≥ x + x2} e B = {(u, v) ∈ R2; 1 ≤ v ≤ 2, v ≥
u e u ≥ 0}.
(a) Verifique que ϕ(A) = B, sendo ϕ(x, y) = (u, v) = (x, y − x2).
(b) Mostre que a a´rea de A e´ igual a a´rea de B.
4. Mostre que ∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
e−(x
2+y2+z2)
√
x2 + y2 + z2 dx dy dz =
pi
2
.
1