Análise de Variância - Planejamento e Experimentos

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2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
3- Análise de Variância
É a técnica utilizada para determinar se as médias de três ou mais populações são iguais, baseado na análise de variâncias amostrais. 
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Análise de Variância
O teste ( Ho = 1 = 2 = 3 = 4 ) t ao nível de 5%. 
Isto acarretaria em seis testes de hipóteses com um grau de confiança de 0,956 = 0,735
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Análise de Variância
Considerações
1 – As amostras devem ser aleatórias e independentes;
2 – As amostras devem ser extraídas de populações normais;
3 – As populações devem ter variâncias iguais.
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Análise de Variância
Experimentos são uma parte natural na tomada de decisões. Considere, por exemplo, que um engenheiro esteja investigando os efeitos de diferentes percentuais de concentração de madeira sobre a resistência de sacolas de papel
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Análise de Variância
O experimento consistiria em produzir vários corpos de prova utilizando cada um dos métodos propostos de cura e então testar a resistência de cada espécime. 
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Análise de Variância
Neste caso, teríamos um único fator de interesse – métodos de cura – e há somente dois níveis do fator.
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Análise de Variância
Exemplo: Resistência de sacos de papel função da madeira
Concentração de madeira (%)	Observações	Totais	Médias	
	1	2	3	4	5	6			
5	7	8	15	11	9	10	60	10	
10	12	17	13	18	19	15	94	15,67	
15	14	18	19	17	16	18	102	17	
20	19	25	22	23	18	20	127	21,17	
Total							383	15,96	
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Análise de Variância
Esse é um exemplo de um experimento de um fator com quatro níveis. 
Os níveis do fator são as vezes chamados de tratamentos (devido as primeiras aplicações na área agrícola) e cada tratamento tem seis observações ou replicações. 
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Análise de Variância
Dados típicos para um Experimento de um Fator	
Tratamento	Observações	Totais	Médias	
1	y11	y12	...	y1n	y1.	y1.	
2	y21	y22	...	y2n	y2.	y2.	
.	.	.	...	.			
.	.	.	...	.			
.	.	.	...	.			
a	ya1	ya2	...	yan	ya.	ya.	
					y..	y..	
yij é a j.a observação feita sob o tratamento i. 
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Análise de Variância
Desta maneira, podemos escrever o modelo
Yij =  + i + ij
onde  é um parâmetro comum a todos os tratamentos, denominado média geral
i é um parâmetro associado ao i.o tratamento, chamado de efeito do tratamento.
ij é a componente o erro aleatório.
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Análise de Variância
Agora vamos testar a igualdade das a médias populacionais. 
Ho : 1 = i = ... = a = 0
H1 : i  0 para pelo menos um i.
Assim, se a hipótese nula é verdadeira, a mudança dos níveis do fator não tem qualquer efeito sobre resposta média.
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Análise de Variância
A análise de variância particiona a variabilidade total na amostra em duas partes. 
Vamos comparar a diferença entre amostras (tratamentos) e a diferença dentro da amostra(tratamento).
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Análise de Variância
A soma de quadrados total é diferença entre
 
cada observação e média geral.
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Análise de Variância
A soma de quadrados total é dividida na soma de quadrados das diferenças entre as médias dos tratamentos e a média geral, e na soma de quadrados das diferenças entre as observações dentro de cada tratamento e a média do respectivo tratamento. 
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Análise de Variância
Diferenças entre médias de tratamentos observadas e média geral quantificam diferenças entre tratamentos. Diferenças das observações dentro de um tratamento e média do tratamento podem ser devidas apenas a um erro aleatório. 
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Análise de Variância
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Análise de Variância
MQtratramentos= SQtratamentos/(a-1) 
é denominada média quadrática dos tratamentos.
MQerro = SQerro / a(n-1) 
é a média quadrática do erro e um estimador 
da variância.
Os denominadores indicam os graus de 
liberdade de cada soma de quadrado.
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Análise de Variância
Ela possui distribuição F com a-1 e a(n-1) graus de liberdade. 
Além disso, se a hipótese nula for falsa,
o valor esperado de MQtratamenos é maior que MQerro. 
Consequentemente, devemos rejeitar H0 para grandes 
valores de Fo.
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Análise de Variância
Fórmulas resumidas
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Análise de Variância
Exemplo: Use um nível de significância de 1%
Concentração de madeira (%)	Observações	Totais	Médias	
	1	2	3	4	5	6			
5	7	8	15	11	9	10	60	10	
10	12	17	13	18	19	15	94	15,67	
15	14	18	19	17	16	18	102	17	
20	19	25	22	23	18	20	127	21,17	
Total							383	15,96	
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Análise de Variância
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Análise de Variância
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Análise de Variância
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Análise de Variância
MQtratramentos= SQtratamentos/(a-1) = 382,79 / (4-1) = 127,60.
MQerro = SQerro / a(n-1) = 130,17 / 4(6-1) = 6,51.
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Análise de Variância
Como Fo é maior que o valor tabelado, devemos rejeitar Ho. 
Existe diferenças entre as médias.
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Análise de Variância
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Análise de Variância
Porém, fica uma dúvida: onde está diferença significativa? Será que todas as médias das dos tratamentos são diferentes? 
Para responder a estas perguntas devemos realizar comparações múltiplas..
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Análise de Variância
Método da diferença mínima signficativa
Para cada par de médias
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Análise de Variância
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Análise de Variância
Comparações múltiplas de Tukey. 
Este método constrói intervalos de confiança para cada par de médias mantendo um nível signficância total . 
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Análise de Variância
Grouping Information Using Tukey Method
Concentração
(%) N Mean Grouping
20 6 21,167 A
15 6 17,000 B
10 6 15,667 B
 5 6 10,000 C
Means that do not share a letter are significantly different.
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Análise de Variância
Tukey 95% Simultaneous Confidence Intervals
All Pairwise Comparisons among Levels of Concentração (%)
Individual confidence level = 98,89%
Concentração (%) = 5 subtracted from:
Concentração
(%) Lower Center Upper ----+---------+---------+---------+-----
10 1,542 5,667 9,791 (-----*-----)
15 2,876 7,000 11,124 (-----*-----)
20 7,042 11,167 15,291 (-----*-----)
 ----+---------+---------+---------+-----
 -7,0 0,0 7,0 14,0
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Análise de Variância
Concentração (%) = 10 subtracted from:
Concentração
(%) Lower Center Upper ----+---------+---------+---------+-----
15 -2,791 1,333 5,458 (-----*-----)
20 1,376 5,500 9,624 (-----*-----)
 ----+---------+---------+---------+-----
 -7,0 0,0 7,0 14,0
Concentração (%) = 15 subtracted from:
Concentração
(%) Lower Center Upper ----+---------+---------+---------+-----
20 0,042 4,167 8,291 (-----*-----)
 ----+---------+---------+---------+-----
 -7,0 0,0 7,0 14,0
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2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
Concluímos que não existe diferença significativa somente entre as concentrações de 15% e 10% pois o seu intervalo ( -2,791 , 5,458) contém o valor zero. 
Existe diferença entre os demais pares de médias (5 e 10, 5 e 15, 5 e 20 , e 10 e 20). 
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Análise de Variância
Como os valores das diferenças significativas são negativos, os níveis de concentrações menores (que estão nas colunas) apresentam resistências menores. 
Portanto, o nível de concentração 20% apresenta uma resistência maior que os demais e o tratamento 1 (5%) apresenta uma força de resistência menor que os demais.
O valor tabelado F(, (a-1), a(n-1).= F0,01, 3, 20 = 4,94
Análise de Variância (ANOVA)
Fonte de variação
Soma dos quadrados
Graus de liberdade
Média Quadrática
Fo
Tratamentos
SQtratamentos
a-1
MQtratmentos
MQT/ MQE
Erro
SQErro
a(n-1)
MQerro
Total
SQtotal
an-1