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Lista 3: Definição de limite, limites notáveis e continuidade - Cálculo Diferencial e
Integral I - Engenharia de Produção
Material elaborado: Elisandra Bär de Figueiredo
Professora da disciplina: Ivanete Zuchi Siple
1. Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
1. lim
x→∞
[x ( x
√
e− 1)] 2. lim
x→2
sinx− sin 2
x− 2
3. lim
x→0
x√
1− cosx 4. limx→pi3
1− 2 cos x
sen
(
x− pi
3
)
5. lim
x→0
sin2 x.cotg (x)
x
6. lim
x→1
[
(1− x) tg (pix
2
)]
7. lim
x→0
sen (a+ x)− sen (a− x)
x
8. lim
x→0
tg (x)− sen x
x3
9. lim
x→0
ln (1 + ax)
x
10. lim
x→0
eax − ebx
x
11. lim
x→3
ln x− ln 3
x− 3 12. limx→0 (1 + 3tg
2 (x))
cotg
2(x)
13. lim
x→3
ex − e3
x− 3 14. limx→1
ln (2− x)
x− 1
15. lim
x→−∞
(
x
1 + x
)x
16. lim
x→1
sen (x2 − 1)
x3 − 3x2 − x+ 3
17. lim
x→−2
3
x+2
7 − 1
x+ 2
18. lim
x→∞
[
xtg
(
1
x
)]
19. lim
x→0
x
√
1− 2x 20. lim
x→−4
x+4
√
(x+ 5)2
21. lim
x→+∞
[
5 +
(
1 +
1
x
)x]2
22. lim
x→1
(
ex−1 − ax−1
x2 − 1
)
23. lim
x→1
e(2x−2) − 1
e(5x−5) − 1 24. limx→pi
sen x
x− pi
25. lim
x→0
(
2
sen
2x
− 1
1− cosx
)
26. lim
x→0
2x − 5x
sen2x− senx
27. lim
x→+∞
(√
x+
√
x−√x
)
28. lim
x→+∞
[x (ln (x− 1)− lnx)]
29. lim
x→∞
[
10 +
(
1 +
1
x
)x+5]
30. lim
x→0
x2 − 3sen x
x
31. lim
x→0
1− 2 cos x+ cos (2x)
x2
32. lim
x→1+
ln x√
x− 1
33. lim
x→0
esen x − 1
sin (2x)
34. lim
x→0
e2x − ex
sen (2x)− senx
35. lim
x→1
3
x−1
4 − 1
sin [5 (x− 1)] 36. limx→pi4
1− tg (x)
cosx− sinx
37. lim
x→∞
(
x2 + 1
x2 − 3
)x2
38. lim
x→pi
2
(sen2x+ 2 cos2 x)
sec2 x
2. Sejam f e g duas funções definidas por g (x) = x− 2 e f (x) = (x− 4)
2
ex − e4 cosec (x− 4) . Determine
lim
x→6
h (x) ., sendo h (x) = (f ◦ g) (x) .
1
3. Sejam f (x) = ln
√
2− 2x, para todo x < 1, e k = lim
x→+∞
(
x+ c
x− c
)x
. Encontre, se possível, o
valor da constante c para que f−1 (0) = k.
4. Considere a função f (x) definida por f (x) =
{ a
x
sin (2x) + (x+ 1) b, se x < 0
a (x2 + 1) + 3b, se x ≥ 0
. Encontre, se
possível, uma relação entre as constantes a e b de tal forma que a função f (x) seja contínua em
0.
5. Obtenha lim
x→−1
F (x), sabendo que F (x) = h (f (g−1 (x))) com f (x) = ex, g (x) = ex − 2 e
h (x) =
1− cos (x− 1)
x− 1
6. Sejam f (x) = 3
√
ln (2x− 1 + |1− x|) e g (x) = ex3 .
(a) Determine o domínio da função f.
(b) Estude a continuidade da função h (x), sabendo que
h (x) =

g (f (x)) , se x ∈ Df
0, se x = 0
sin (2x)
x
− 2, se x ∈ R∗ − {Df}
.
Caso a função h não seja contínua em todos os pontos, classifique a(s) descontinuidade(s).
7. Use a definição de continuidade para decidir se a função
f (x) =

1− e3 sinx
sin (2x)
, se x ≤ 0
x− lim
x→+∞
(√
x+
√
x−√x+ 1
)
, se x > 0
é contínua em x = 0. Caso conclua que a função não é contínua em 0 classifique essa descon-
tinuidade.
8. Sejam f (x) = sin(5x), g (x) = x2 − 1 e h (x) = ln (x− 1) . Determine lim
x→1
F (x), sabendo que
F (x) =
f (g (x))
g (x) .h (h−1 (x− 3)) .
9. Considere a função f , definida por f (x) =

2
(
ebx
2 − 1
)
5− 5 cos2 x , se x < 0
a, se x = 0
(x+ 1)(ln 5)/x , se x > 0
.
Encontre, se possível, o valor das constante a e b para que a função f (x) seja contínua em 0.
10. Use a definição de limite para provar que:
(a) lim
x→3
(
x2 − 5x+ 6
2x− 6
)
=
1
2
2
(b) lim
x→2
(
4x2 − 16x+ 16) = 0
11. Seja f uma função definida para x ∈ R, com f(1) = 2 e tal que, para todo x,
|f(x)− 2| < |x− 1|
2
4
.
Use a definição de limite para provar que f é contínua em x = 1.
12. Determine o valor dos seguintes limites, justificando sua resposta.
(a) lim
x→+∞
1 + cos(x)
x
(b) lim
x→0
xq(x), sendo q(x) =
{
1, se x ∈ Q
−1, se x ∈ R−Q
(c) lim
x→−∞
ex sin(x)
13. Temos que
ˆ sin(x) ≤ x ≤ tan(x) para todo x ∈
[
0,
pi
2
)
ˆ tan(x) ≤ x ≤ sin(x) para todo x ∈
(
−pi
2
, 0
]
Use o Teorema do confronto para provar que lim
x→0
x
sin(x)
= 1.
14. Seja f definida em R tal que para todo x 6= 1 tem-se que
−x2 + 3x ≤ f(x) ≤ x
2 − 1
x− 1 .
Calcule lim
x→1
f(x) justificando sua resposta.
3
Respostas:
1. .
1. 1 2. cos 2
3.
√
2, se x→ 0+; −√2, se x→ 0− 4. √3
5. 1 6. 2
pi
7. 2 cos a 8. 1
2
;
9. a 10. a− b
11.
1
3
12. e3
13. e3 14. −1
15. e−1 16. −1
2
17.
1
7
ln 3 18. 1
19. e−2 20. e2
21. (e+ 5)2 22. 1
2
− 1
2
ln a
23.
2
5
24. −1
25.
1
2
26. ln
(
2
5
)
27.
1
2
28. −1
29. e+ 10 30. −3
31. −1 32. 0
33.
1
2
34. 1
35.
1
20
ln 3 36.
√
2
37. e4 38. e
2. e−4
3. c = − ln(√2)
4. a = 2b
5. 0
6. (a) (0,+∞) (b) h(x) é contínua para todo x ∈ R∗
7. lim
x→0+
f (x) = −3
2
; lim
x→0+
f (x) = −1
2
; descontinuidade essencial em x = 0.
8. −5
2
9. a = 5 e b = 25
2
10. Dado ² > 0 encontre uma relação para δ > 0.
11. Use a definição de continuidade num ponto e a definição de limite.
12. Todos os limites dão zero.
13.
14. lim
x→1
f(x) = 2
4