Lista

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Universidade Federal de Itajubá
Instituto de Ciências Puras e Aplicadas
campus Itabira
Lista I- limite e continuidade
Prof. Marco Florentino
1. Verifique se as sentençaas abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique com propriedades ou
contraexemplos .
(a) Se x < y, então −5x < −5y.
(b) Se x2 ≤ 16, então x ≤ 4.
(c) Se x2 ≤ 16, então x ≤ −4.
(d) Se x2 ≥ 16, então x ≤ −4.
(e) Se x ̸= 0, y ̸= 0 e x < y, então 1
x
> 1
y
.
(f) Se x < y, então x2 < y2.
(g) Se 0 < x < y, então x2 < y2.
(h) Se x < 1, então x3 < x.
2. Faça a divisão do polinômio p(x) pelo polinômio q(x), nos seguintes casos:
(a) p(x) = x2 − 4x+ 4 e q(x) = x− 2
(b) p(x) = 10x2 − 43x+ 40 e q(x) = 2x− 5
(c) p(x) = 12x3 − 19x2 + 15x− 3 e q(x) = 3x2 − x+ 2
(d) p(x) = 6x4 − 10x3 + 9x2 + 9x− 5 e q(x) = 2x2 − 4x+ 5
3. Determine, se posśıvel, os valores das constantes A,B e C para que, para todo x real, sejam válidas as
seguintes igualdades:
(a) 5x−2
x2−4
= A
x−2
+ B
x+2
(b) 2x+1
x3+x
= A
x
+ Bx+C
x2+1
4. Dadas as funções reais f e g, determine seus respectivos domı́nios, além das compostas f ◦ g e g ◦ f e
seus respectivos domı́nios:
(a) f(x) = 3x e g(x) = 3x+ 2
(b) f(x) = x+ 2 e g(x) = 4x2 − 1
(c) f(x) =
√
x e g(x) = 3x2 + 2
(d) f(x) = senx e g(x) = ex
5. Calcule os seguintes limites, caso existam:
1
(a) lim
x→7
(2x+ 5)
(b) lim
x→0
√
5x+4−2
x
(c) lim
x→5
x−5
x2−25
(d) lim
x→1
1
x
−1
x−1
(e) lim
x→0
1
x−1
+ 1
x+1
x
(f) lim
x→1
x4−1
x3−1
(g) lim
x→1
x−1√
x+3−2
(h) lim
x→1
5√x−1
x−1
6. Seja f a função definida por:
f(x) =
{
3− x se x < 2
x
2
+ 1 se x > 2
(a) Faça um esboço do gráfico de f .
(b) Determine lim
x→2+
f(x), lim
x→2−
f(x).
(c) Existe lim
x→2
f(x) ? Em caso afirmativo, qual é? Em caso negativo, por que não?
7. Utilizando o primeiro limite fundamental, determine:
(a) lim
x→0
sen(2x)
x
(b) lim
x→0
sen(ax)
x
, a constante
(c) lim
x→0
1−cos(x)
sen(2x)
(d) lim
x→0
x cossec(2x)
cos(5x)
(e) lim
x→0
x+x cos(x)
sen(x) cos(x)
(f) lim
x→0
sen(x)
sen(2x)
(g) lim
x→0
tg(x)
sen(8x)
(h) lim
x→0
ex senx tg x
x2
8. Sejam a, b ∈ R. Mostre que lim
x→0
cos(ax)− cos(bx)
x2
=
b2 − a2
2
9. Determine:
(a) lim
x→0+
1
3x
(b) lim
x→+∞
2x+3
5x+7
(c) lim
x→+∞
x−3√
4x2+25
(d) lim
x→−∞
4−3x2
√
x6+9
(e) lim
x→2−
3
x−2
(f) lim
x→7
4
(x−2)2
(g) lim
x→+∞
10x5+x4+31
x6
(h) lim
x→−8+
2x
x+8
10. Seja f(x) = ae2x + bex + c. Suponha f(ln 2) = 0 e que lim
x→−∞
f(x)+6
ex
= 1. Encontre os valores de a, b e
c.
11. Sejam c, L ∈ R tais que lim
x→1
2x3 + cx+ c
x2 + 1
= L. Determine c e L.
12. Se lim
x→4
f(x)− 5
x− 2
= 1, determine lim
x→4
f(x).
13. Seja f uma função tal que
√
5− 2x2 ≤ f(x) ≤
√
5− x2 para −1 ≤ x ≤ 1. Determine lim
x→0
f(x).
14. Calcule os limites utilizando o “Limite Fundamental Exponencial”.
2
(a) lim
x→0
(1 + 2x)
1
x (b) lim
x→0
3x−1
x
(c) lim
x→0
ex
4x
15. Seja f a função definida por:
f(x) =

x2 − 1 se x < 0
2x se 0 < x < 1
1 se x = 1
2x− 4 se 1 < x < 2
0 se x ≥ 2
(a) f é cont́ınua em x = 0? Justifique!
(b) f é cont́ınua em x = 1? Justifique!
(c) f é cont́ınua em x = 2? Justifique!
16. Determine o conjunto dos pontos de seu domı́ınio em que a função f é cont́ınua, justificando sua
resposta.
(a) f(x) =
 x2 − x− 6
x− 3
se x ̸= 3
5 se x = 2
(b) f(x) =

x2 + x− 2
(x− 1)2
se x ̸= 1
0 se x = 1
(c) f(x) =
 | x2 − 4x−+3 |
x− 3
se x ̸= 3
5 se x = 2
17. Determine o valor de a para que a função f seja cont́ınua em R, justificando sua resposta.
(a) f(x) =
{
x2 − 1 se x < 3
2ax se x ≥ 2
(b) f(x) =

−2 se x ≤ 1
ax− 1
2
se − 1 ≤ x ≤ 1
3 se x ≥ 1
(c) f(x) =
 x3 − 1
x2 − 1
se x ̸= 1
a se x = 1
18. Mostre que a equação x3 − x− 1 = 0 admite uma raiz em [1, 2].
19. Ache a(s) asśıntota(s) vertical(is) e horizontal(is) das funções abaixo.
(a) 2x+1
x−3
(b) 1− 1
x
(c) 2√
x2−4
20. Mostre que toda função polinomial de grau ı́mpar tem pelo menos uma raiz real.
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