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I X EN C O N T R O N A C I O N A L D E P E S Q U I S A E M EN S I N O D E F Í S I C A 1 
 
ATIVIDADES CURTAS MULTI-ABORDAGEM PARA O ENSINO MÉDIO: TRABALHANDO O 
CONCEITO DE DEPENDÊNCIA SENSÍVEL ÀS CONDICÕES INICIAIS. 
Uema, Soraya N a [soraya@if.usp.br] 
Fiedler-Ferrara, Nelson a [ferrara@if.usp.br] 
 
a Universidade de São Paulo, Instituto de Física 
Rua do Matão, Travessa R, 187 – Cidade Universitária 
São Paulo – CEP 05508-900 
RESUMO 
Neste trabalho apresenta-se a análise baseada em questionários prévio e de avaliação de 
resultados obtidos, em uma atividade com duração de três horas, para alunos da Rede 
Pública do Ensino Médio, onde se explorou um dos conceitos essenciais da teoria do 
caos determinístico: a dependência sensível às condições iniciais. 
1_INTRODUÇÃO 
Há vários motivos para se introduzir conceitos de Física Moderna e Contemporânea (FMC) 
no Ensino Médio (Torre, 1998; Ostermann, 1998; Gil et al, 1987, etc). Em particular, observa-se 
que fenômenos, conceitos e dispositivos baseados em desenvolvimentos de FMC fazem parte do 
cotidiano da sociedade atual (e.g., laser, cristal líquido, holografia, etc), despertando a curiosidade 
dos estudantes. Além disso, os conceitos de FMC contribuíram e ainda fornecem elementos para o 
desenvolvimento industrializado, informatizado e complexo que vivemos hoje (Terrazan, 1998). 
Por outro lado, a Física, uma vez apresentada como uma construção humana, não deve ser ensinada 
somente à luz dos estudos anteriores ao século XX, mas sim historicizada, o que significa, na 
medida do possível, aproximá-la do contemporâneo. Além disso, a Educação, de um modo geral, 
deve promover a "inteligência geral" capaz de referir-se ao complexo (etimologicamente, aquilo que 
é tecido junto), à contextualização de forma multidimensional e numa perspectiva globalizada1 
(Morin, 2001). De fato, a Física Contemporânea pode possibilitar ao aluno entrar em contato com a 
dimensão social e histórica da Física, evidenciando-a como uma construção humana "viva" e atual. 
Essa “percepção do saber físico como construção humana constitui-se condição necessária, mesmo 
que não suficiente, para que se promova a consciência de uma responsabilidade social e ética" 
(Brasil,1999). 
Nessa direção, este trabalho apresenta resultados relativos a uma atividade onde se explorou 
a teoria do caos determinístico através do conceito de dependência sensível às condições iniciais 
(d.c.i). Na atividade, com duração de três horas, empregaram-se quatro instrumentos pedagógicos 
para abordar esse conceito de Física Contemporânea: o filme “Corra Lola Corra”2, utilizado com a 
 
1 Concepção globalizada, segundo Morin, é aquela que conjuga análise e síntese de um conhecimento, não se tratando 
de abandonar o conhecimento das partes pelo conhecimento das totalidades, mas sim, de entender o pensamento 
dialógico, que distingue e une. 
2 Filme do diretor Tom Tykwer (Alemanha 1999), narra a corrida de Lola para conseguir o dinheiro que salvará a vida do 
seu namorado. Ela não pode cometer erros, cada detalhe é de extrema importância, cada segundo e cada decisão 
pesam em sua corrida contra o tempo. No filme, a mesma história é contada três vezes; entretanto, como há pequenas 
diferenças no início de cada versão, disso resultam desfechos diversos. 
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finalidade de despertar o interesse dos alunos, textos especialmente redigidos para a atividade, 
demonstrações de experimentos e manipulação com equação matemática. A utilização desses 
instrumentos, que caracterizaram momentos da atividade, foi feita de forma a relacioná-los. Além 
disso, solicitamos aos alunos que respondessem dois questionários. O primeiro foi proposto antes de 
iniciarmos a atividade e teve dois objetivos: evidenciar as concepções prévias dos alunos a respeito 
do significado da palavra “caos” no âmbito da Ciência; e verificar a que eles atribuíam a 
imprevisibilidade no dia-a-dia e na meteorologia. O segundo questionário teve como finalidade 
buscar elementos que evidenciassem as possíveis mudanças na visão dos alunos a respeito do 
significado da palavra “caos” na Ciência e da compreensão que eles teriam adquirido sobre o 
conceito de d.c.i. 
O conceito de dependência sensível às condições iniciais - que explicitaremos mais adiante - 
é condição para ocorrência do comportamento caótico determinístico. Por outro lado, a d.c.i. se faz 
presente em situações cotidianas, sendo também utilizada em Arte, como, por exemplo, no filme 
“Corra Lola Corra”. Além disso, as idéias da teoria do caos determinístico estão cientificamente 
relacionadas com a meteorologia, em particular, no problema da previsão do tempo, tópico ligado a 
meio ambiente - tema recorrente nas tentativas de contextualização da Física. Trabalhar com d.c.i. 
possibilitaria, assim, evidenciar aos alunos a importância do saber científico, suas aplicações e 
implicações na sociedade. Corroborar-se–ia, dessa maneira, uma abordagem em duas dimensões: 
conceitual/universal e local/aplicada, como os PCN's sugerem: O conhecimento da Física em si 
mesmo não basta como objetivo, mas deve ser entendido, sobretudo como um meio, um instrumento 
para a compreensão do mundo, podendo ser prático, mas permitindo ultrapassar o interesse 
imediato. (Brasil,1999). 
Em última análise, através da atividade, buscamos testar metodologias que viabilizem uma 
reconstrução do conhecimento na escola (Zabala, 2002; García, 1998). Essa reconstrução do 
conhecimento entendemos que deve ser baseada na integração didática entre o conhecimento 
científico com o cotidiano do aluno. Para García (1998) essa integração se faz na escola como 
“conhecimento cotidiano complexificado”; essa integração, segundo o mesmo autor, busca uma 
“aproximação de uma visão mais complexa e crítica do mundo, superadora de algumas das 
limitações próprias do conhecimento do cotidiano”. 
Neste trabalho exploramos as possibilidades de complexificação do conhecimento cotidiano 
em sala de aula, a partir dos aportes do conhecimento científico, abordando a teoria do caos 
determinístico. Fizemos isso através de atividades curtas. Com efeito, não é difícil contextualizar o 
conceito de d.c.i. a partir do cotidiano do aluno. Por exemplo, o filme “Corra Lola Corra” explora 
mínimos acontecimentos que produzem grandes transformações na vida de uma garota; a trama 
desse filme pode ser, por exemplo, relacionada com situações de d.c.i. na vida do aluno. Por outro 
lado, a teoria do caos determinístico pode ser contextualizada em problemas reais, como, por 
exemplo, entender o porquê das dificuldades dos meteorologistas em prever o tempo, possibilitando 
uma visão mais crítica e complexa do mundo. 
2_ METODOLOGIA 
Para viabilizar a construção pelo aluno do conhecimento cotidiano complexificado 
necessita-se de uma metodologia com enfoque globalizado – no sentido atribuído por Morin – que 
denominaremos metodologia globalizadora. Essa metodologia consiste em utilizar diferentes 
âmbitos disciplinares num movimento duplo: no contexto de cada disciplina (no caso deste trabalho 
a Física) e na relação entre disciplinas (Matemática, Português e Artes). Nessa perspectiva, a idéia é 
criar “fronteiras móveis” entre as disciplinas. Cada uma dessas fronteiras é resultado de “recortes” 
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no conhecimento como um todo (denominado por Fiedler-Ferrara e Mattos (2002) currículo 
pandisciplinar). Dessa forma, essas fronteiras móveis dependem também dos elementos 
estruturantes escolhidos. Com efeito, conforme Fiedler-Ferrara e Mattos (2002): 
É pertinente ressaltar-se a importância de conceitos estruturantes ou organizadores 
(idéias-força), linhatradicional em didática das ciências, na inovação e renovação 
do ensino tradicional. Ao invés de falarmos de conceitos estruturantes, preferimos 
falar em elementos estruturantes, podendo ser conceitos, blocos intradisciplinares, 
teorias, ou mesmo blocos interdisciplinares ou transdisciplinares. Esses elementos, 
quando adequadamente escolhidos, podem favorecer recortes de base sistêmica da 
pandisciplinaridade integrando fenomenologia (observação), experimentação, 
modelos, conceitos e cálculo analítico ou computacional, eventualmente aplicáveis 
em áreas disciplinares diferentes. 
O elemento estruturante em nossas atividades é o conceito da dependência sensível às 
condições iniciais. Cada um dos momentos das atividades que descrevemos neste trabalho propicia 
aos alunos possibilidade para a compreensão do conceito de d.c.i. sob diferentes ângulos, 
respeitando assim, suas habilidades individuais no processo de aprendizagem. 
3_ TEORIA DO CAOS DETERMINÍSTICO E DEPENDÊNCIA SENSÍVEL ÀS CONDIÇÕES INICIAIS 
O termo caos tem sido muito usado na mídia, sendo, em geral, associado a situações 
confusas ou incontroláveis. Em Ciência, no entanto, a palavra caos possui um outro significado. O 
estudo da teoria do caos determinístico iniciou-se em fins de década de 60, considerando-se 
sistemas não-lineares, principalmente através de simulações numéricas. 
A teoria do caos determinístico não é uma teoria da desordem ou do caos primordial. Nela, 
determinismo e imprevisibilidade coexistem. O determinismo está presente porque a dinâmica do 
sistema é fornecida por equações ou por regras bem definidas. A imprevisibilidade ocorre porque há 
dependência sensível às condições iniciais (d.c.i.), isto é, devido à presença de não-linearidades no 
sistema, pequenas diferenças nas condições iniciais são amplificadas exponencialmente e, para um 
tempo suficientemente longo, trajetórias do sistema, partindo de condições iniciais ligeiramente 
diversas, se distanciarão. Sistemas que apresentam essa sensibilidade às condições iniciais são 
chamados caóticos. Assim, leis de evolução deterministas podem levar a comportamentos caóticos, 
inclusive na ausência de ruído ou de flutuações externas (Fiedler-Ferrara, 1994). 
A dependência sensível às condições iniciais é algumas vezes divulgada na mídia através da 
metáfora do “Efeito Borboleta”. Essa expressão tem uma história meio obscura (Lorenz, 1996). 
Parece ter surgido logo após a publicação do artigo que Edward Lorenz apresentou em um encontro 
realizado em Washington, em 1972, intitulado “O bater de asas de uma borboleta no Brasil 
desencadeia um tornado no Texas ?” (Gleick, 1989). No entanto, a origem da frase deve-se às 
primeiras pesquisas, realizadas na década de 60 pelo próprio Lorenz, em previsões meteorológicas 
através de modelos computacionais. Lorenz descobriu, por acaso, que uma mesma equação para 
dinâmica meteorológica fornece, depois de um adequado tempo de evolução, resultados bastante 
diversos para condições iniciais ligeiramente diferentes (Gleick, 1989; Lorenz, 1996). Assim, 
Lorenz, descobriu que séries temporais para previsões climáticas dependiam sensivelmente das 
condições iniciais. Essa dependência, Lorenz traduziu na bela metáfora da borboleta. Contudo, 
trata-se apenas de uma metáfora. Tais modelos foram as primeiras evidências de sistemas não-
lineares que apresentam caos determinístico. Outros exemplos são o pêndulo magnético e a 
aplicação de Bernoulli. 
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O “pêndulo caótico magnético”, usualmente comercializado como adorno, é constituído por 
uma base plana onde podem ser colocados pequenos imãs, os quais constituem uma configuração 
magnética. Um pêndulo, ao qual é preso na extremidade um pequeno magneto, é preso num suporte 
a uma altura adequada do plano onde se encontram os imãs. Observa-se que pequenas diferenças na 
posição inicial de dois lançamentos do pêndulo produzem movimentos que, apesar de inicialmente 
semelhantes, tornam-se completamente distintos após um certo intervalo de tempo. O sistema 
constituído pelo pêndulo e a configuração magnética apresentam dependência sensível às condições 
iniciais. 
A aplicação de Bernoulli (Fiedler-Ferrara, 1994) é um exemplo de comportamento caótico 
numa equação matemática. É muito simples. Tome como valor inicial um número não inteiro e o 
multiplique por dois. O resultado multiplique novamente por dois e assim sucessivamente. 
Entretanto, toda vez que o resultado for maior do que a unidade, tome apenas a parte fracionária. 
Essa será multiplicada por dois conforme a prescrição acima. Matematicamente representamos essa 
operação por: nn XX 21 =+ (mod 1), onde (mod 1) significa tomar a parte fracionária se o número 
for maior do que a unidade. Essa é a aplicação de Bernoulli. Existe dependência sensível às 
condições iniciais nessa aplicação matemática. De fato, pequenas diferenças no valor inicial 
produzirão resultados muito diferentes depois de algumas iterações da aplicação. 
O pêndulo magnético, a aplicação de Bernoulli e o “Efeito Borboleta”, esse último 
devidamente esclarecido através de textos, foram utilizados na atividade a que se refere este artigo. 
4_ A ORGANIZAÇÃO DA ATIVIDADE 
A atividade teve a duração de três horas e foi estruturada conforme indicado no Quadro 1. 
Foram realizadas quatro intervenções em sala de aula, sendo três numa Escola Estadual de Ensino 
Médio da Grande São Paulo (Escola I) e uma no Centro Educacional Federal Técnico (Escola II). 
Na Escola I participaram, no total, 80 alunos do terceiro ano do período noturno. Na Escola II foram 
trinta estudantes do segundo ano do Ensino Médio do período vespertino. 
Quadro 1 – Programação da atividade 
Atividade: D.C. I. 
Momentos Etapas 
Duração 
(min.) 
1. Filme editado 
Filme “Corra Lola, Corra”. 
Discussões com os alunos e síntese do professor. 
50 
10 
Intervalo 20 
2. Experimento Demonstração com o pêndulo magnético. 15 
3. Textos 
produzidos para a 
atividade 
Leitura pelos alunos, de três textos: “É o Caos”; “Sistemas 
Dinâmicos” e “A Origem do Caos”. 
Discussão, entre professor e alunos sobre os textos; 
45 
4. Manipulação 
Matemática 
Manipulação com a aplicação de Bernoulli. 
Síntese Final do professor. 
30 
10 
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A estrutura dessa atividade decorreu de um primeiro ensaio ocorrido em novembro de 2002. 
Os resultados desse trabalho (Uema; Fiedler-Ferrara, 2003) nos levaram a fazer algumas alterações 
na atividade. Passemos a detalhar cada uma delas. Primeiramente, reduzimos o tempo de exibição 
do filme de oitenta minutos para cinqüenta minutos. Excluímos, sem prejuízo do enredo, alguns 
momentos menos intrigantes da trama que ocasionaram a dispersão da atenção dos alunos em 2002. 
Uma outra mudança ocorreu nos textos. No primeiro ensaio de 2002, após o intervalo, a atividade 
era reiniciada com a leitura de textos. No entanto, nas intervenções a que se refere este trabalho, a 
atividade foi reiniciada com demonstração de experimentos (pêndulo magnético), pois notou-se que 
os alunos voltavam muitos agitados do intervalo e, conseqüentemente, demoravam muito para 
iniciar a leitura. Assim, conforme indicado no Quadro 1, os textos passaram a ser o terceiro 
momento. Na primeira atividade (2002), os textos de divulgação científica, retirados de jornais e 
internet, de modo geral, apresentaram-se inadequados, sobretudo devido serem demasiado densos 
em informação; alguns deles, em linguagem jornalística, faziam uso freqüente de metáforas sem a 
devida explicação, o que ocorreu, por exemplo, com aquele que tratava do "Efeito Borboleta". Esses 
fatos indicaram na direção da necessidade de produzir-se material escrito específico. Assim, 
elaboraram-setrês textos. O primeiro, intitulado “Sistemas Dinâmicos”, aborda os conceitos de 
sistemas dinâmicos lineares e não-lineares. O segundo, “A Origem do Caos”, relata brevemente 
parte dos trabalhos de Poincaré e Lorentz e apresenta a explicação do “Efeito Borboleta”. O 
terceiro, “É o Caos!” define o conceito de caos determinístico e fornece, também, alguns exemplos 
e aplicações. Para a leitura, os alunos foram divididos em grupos de quatro ou cinco indivíduos, que 
receberam textos diferentes (como na primeira atividade em 2002). Depois dessa leitura, os textos 
foram discutidos em cada grupo e, posteriormente, foram feitas algumas perguntas à classe de modo 
que cada grupo pudesse expor o que fora lido. As respostas foram sendo esquematizadas na lousa e, 
no final, todos os conceitos contidos nos três textos foram relacionados. No quarto momento, 
devido às dificuldades dos alunos com matemática – percebidas nas intervenções de 2002 - a 
explicação da equação de Bernoulli teve uma maior duração. 
Por último, os questionários prévio e de avaliação precisaram ser reformulados, já que 
algumas respostas na atividade de 2002 não ficaram claras e esse instrumento de avaliação 
apresentou limitações inerentes (Lüdke; Menga, 1986). Além disso, cerca de duas semanas após as 
intervenções realizamos algumas entrevistas com a finalidade de verificar se os novos conceitos 
haviam sido retidos. 
5_ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO PRÉVIO 
O questionário prévio, denominado Q1, teve como objetivo evidenciar as concepções 
prévias dos alunos a respeito do significado, no âmbito da Ciência, da palavra “caos”. Com esse 
questionário pretendeu-se, também, verificar a que os estudantes atribuíam a imprevisibilidade 
presente no dia-a-dia. Uma outra finalidade do questionário foi identificar como os estudantes 
explicam as imprecisões na previsão meteorológica. Esse questionário, respondido por 111 alunos, 
é constituído por quatro perguntas: 1) Na seção "Ciência Hoje" de um jornal, você lê a seguinte 
manchete: “Os fenômenos que a teoria do caos explica”. Na sua opinião, essa reportagem 
possivelmente trata de qual(is) assunto(s)?; 2) As previsões meteorológicas que vemos na televisão 
muitas vezes erram ou são bastante imprecisas. Você tem alguma idéia por que isso ocorre? 
Comente; 3) Dê um exemplo que explicite a seguinte frase: "Os mínimos acontecimentos podem 
gerar enormes conseqüências"; 4) Observe a figura e, baseando-se nela, monte uma pequena 
história. 
 
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Figura 1 – Ilustração utilizada nos questionários prévio e de avaliação. 
Na primeira questão, a maioria dos alunos (34) deixou a resposta em branco. Os demais 
relacionaram a palavra caos em Ciência como sendo uma notícia sobre as catástrofes existentes na 
natureza, ou ainda, relacionaram com o fim do mundo, stress, etc. Citemos algumas: 
Trata-se possivelmente das chuvas das enchentes que é um caos, que provoca danos 
a alguns e benefícios a outros. Pode tratar-se também de outros fenômenos como a 
derrubada de árvores, a devastação, etc... (Aluno 7). 
É uma teoria sobre o fim do mundo e sobre como a Terra vai acabar e que vários 
fenômenos vem acontecendo que essa teoria pode explicar. (Aluno 82). 
Acredito que se trata de absurdos que acontecem hoje em dia, como por exemplo, as 
brigas que ocorrem no trânsito por causa do stress. O stress é um fenômeno que 
poderia ser explicado pela teoria do caos. (Aluno 4). 
Apenas três alunos relacionaram a teoria do caos com meteorologia, ainda assim, talvez, 
devido à presença do assunto na segunda questão desse mesmo questionário: 
Pode ser relacionado aos fenômenos que ocorre na nossa atmosfera. (Aluno 60). 
Na segunda questão, a respeito de imprecisões na previsão meteorológica, a maioria dos 
alunos (61) atribuíram-na a três motivos: falhas dos satélites; incompreensão dos fenômenos 
atmosféricos por parte dos cientistas; e imprevisibilidade do tempo dada a existência de uma 
“vontade divina” que rege a natureza, cujo comportamento os homens não conseguem prever. 
Nesse último caso, a existência de furacões, terremotos e enchentes seriam “castigos divinos”, 
frutos da má intervenção do homem na natureza. Para esses alunos, cabe à Ciência o único papel de 
descrever e prevenir, na medida do possível, tais fenômenos. Verificou-se, também, que alguns 
alunos atribuem à palavra "previsão" um significado análogo àquele das práticas divinatórias. 
Citemos alguns exemplos de respostas que exemplificam essas categorias: 
Em muitos casos as previsões podem ser verdadeiras, pois o nome já nos diz 
previsões. (Aluno 3). 
Acho que na maioria das vezes eles não tem certeza, eles olham para o tempo e 
tentam chutar a previsão. (Aluno 6). 
Porque a ciência não está completamente certa e porque quem decidi as coisas é 
Deus, os seres humanos faz a parte que sabe. (Aluno 76). 
(...) se nós tivermos sorte as previsões vingam, mas elas são pouco estáveis e isso 
dificulta a precisão das previsões. (Aluno 29). 
Porque a gente não tem o poder de prever tudo (Aluno 83). 
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Na terceira questão, a metade dos alunos (55) deu como exemplo, para ilustrar a frase "os 
mínimos acontecimentos podem gerar enormes conseqüências", relatos de acontecimentos ruins que 
são obras do acaso, logo, sem qualquer possibilidade de interferência sobre os mesmos: 
No caso eu vou trabalhar e não sei se vou voltar e de repente um carro me atropela e 
não sei se chego em casa. (Aluno 34). 
O mau gerenciamento de coisas que acarretam vidas populares mostra o descaso e 
má compreensão de seus governantes. (Aluno 29). 
Um pequeno problema pode gerar um enorme problema, como se você deixar um 
gás vazando mais tarde pode gerar uma grande explosão. (Aluno 41). 
Quando não ouvimos os nossos pais, você usa droga hoje e amanhã tá preso ou 
transa sem camisinha. (Aluno 22). 
As citações acima são de estudantes da Escola I e elas evidenciam os problemas do 
cotidiano, demonstrando a visão pessimista desses alunos de escola pública estadual. Na Escola II, 
apesar das afirmações também serem relacionadas a problemas, esses são menos “pessoais”. 
Citemos alguns exemplos: 
Um simples papel que jogamos nas ruas ao se juntar com outros lixos e papéis que 
outros jogam, em uma forte chuva entopem bueiros causando enchentes desastrosas 
nas cidades. (Aluno 51 a). 
Um exemplo seria um mínimo erro no coeficiente de segurança no cálculo do cabo 
que sustenta um elevador, poderia levá-lo a sua queda. (Aluno 90). 
Por último, na quarta questão, 42 alunos criaram histórias relacionando a figura com um 
futuro incerto e confuso. Alguns exemplos para ilustrar essa idéia: 
Qual caminho seguir? Hoje, a vida do ser humano está confusa, por onde devemos 
começar? Não temos mais em quem confiar, a quem desabafar. (Aluno 62). 
Todos nós temos livre-arbítrio para escolhermos nossos caminhos, a vida nos dá 
sempre diversas alternativas e seguimos as pegadas de acordo com nossas idéias e 
atitudes. Mas viver é sempre assim: uma emboscada onde não sabemos nunca qual 
será melhor atalho a seguir. (Aluno 51 a). 
Dentre os demais alunos, 18 escreveram histórias sobre o “céu estrelado”; 6 alunos 
relacionaram-nas com assuntos de Física, e outros 5 alunos relacionaram a figura com a importância 
das escolhas na vida. 39 alunos deixaram essa questão em branco. Citemos alguns exemplos dessas 
categorias: 
Um homem que andava sozinho pelo deserto em companhia do vento olhando as 
estrelas. (Aluno 17c). 
O observador: ele observa a lua e as estrelas para que mais tarde ele venha descobrir 
como foi criado o planeta em que vivemos, as estrelas o sol e as outras coisas que há 
no espaço são fenômenos químicos, queo homem jamais vai descobrir a sua origem. 
(Aluno 52). 
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(...) uma má escolha feita agora pode acarretar graves conseqüências logo mais ali a 
frente. (Aluno 4). 
6_ANÁLISE DA ATIVIDADE 
Conforme já exposto, a atividade foi estruturada em quatro momentos: filme, demonstração 
de experimento, textos e manipulação com a aplicação de Bernoulli. Detalhamos agora como a 
atividade se desenvolveu em cada uma das Escolas. 
6.1_Análise da atividade na Escola I 
Foram realizadas, nessa escola da periferia da Grande São Paulo (Escola I), três 
intervenções com alunos do terceiro ano do Ensino Médio do período noturno. Essas intervenções 
ocorreram de forma semelhante, conforme descrito no Quadro 1. 
Na Escola I, os alunos tiveram boa participação durante toda atividade. Um primeiro motivo 
para isso é o fato de que a atividade apresenta uma dinâmica diferente das aulas tradicionais. 
Entretanto, além disso, acreditamos que a utilização do filme “Corra Lola Corra” colaborou de 
maneira importante para a boa participação. Dois fatores podem ter participado nesse resultado. 
Primeiro, talvez, o interesse despertado nos alunos pelo filme se deva à identificação de elementos 
da trama com aqueles da realidade da região onde vivem, particularmente situações, no filme, de 
perseguições policiais, violência latente, tensão social etc. Um outro possível fator, menos evidente, 
é o fato de que, na trama do filme, apenas uma das três histórias tem final feliz, o que foi possível 
devido a uma pequena e sutil mudança na atitude da protagonista, Lola, no decorrer da história. Isso 
contribuiria para que os alunos atribuíssem à frase “os mínimos acontecimentos podem gerar 
enormes conseqüências” – antes explorada no questionário prévio – um significado positivo. Com 
efeito, recorde-se que nesse questionário, conforme afirmamos antes, a maioria dos alunos atribui 
valor negativo a essa mesma frase. Acreditamos, portanto, que a associação entre o final feliz do 
filme, que se deveu a um “pequeno acontecimento”, e a idéia explorada antes no questionário 
prévio contribuiu para que os estudantes se envolvessem de forma positiva com a atividade. O papel 
do filme na atividade, particularmente em seu início, será testado em novas intervenções futuras, 
quando a sua utilização será feita apenas no final da atividade. 
No segundo momento, o pêndulo magnético também despertou bastante interesse dos 
alunos. Mesmo antes da demonstração, durante o intervalo, alguns estudantes ficaram curiosos em 
saber como o pêndulo funcionava. Após a explicação, perguntamos aos participantes se existia 
alguma relação entre o filme e os experimentos e, em cada intervenção, aproximadamente três 
alunos relacionaram com a dependência sensível às condições iniciais. 
Após esse momento, distribuímos os três textos especialmente criados para esta atividade. 
Cada grupo recebeu um texto diferente. Depois da leitura, os textos foram discutidos em cada grupo 
e, posteriormente, os conteúdos foram expostos pelos estudantes e depois organizados na lousa pela 
professora/pesquisadora. Nesse momento enfatizamos que o “Efeito Borboleta” é apenas uma 
metáfora e, em seguida, perguntamos se eles haviam aprendido o significado dessa palavra nas 
aulas de Português. A maioria disse que já haviam ouvido falar, mas não lembrava seu significado. 
Como no texto “A origem do Caos” havia uma explicação sobre metáfora, o grupo que o havia lido, 
imediatamente explicou para a classe o que era metáfora. 
No quarto momento da atividade apresentamos a aplicação de Bernoulli e, apesar das 
adaptações feitas em relação às intervenções de 2002 (maior duração na apresentação e alterações 
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nas transparências), os alunos ainda tiveram dificuldades em compreender a d.c.i. presente. A 
atividade foi finalizada com o questionário de avaliação que será descrito adiante. 
6.2_Análise da atividade na Escola II 
A Escola II possui características bem diferentes da Escola I. Ela tem uma boa infra-
estrutura e os alunos possuem um bom nível escolar, já que passaram por um processo seletivo 
bastante concorrido para nela ingressarem. Como conseqüência, acreditávamos que a atividade seria 
desenvolvida de forma mais satisfatória do que na Escola I. Isso ocorreu apenas parcialmente. Na 
Escola II, a atividade foi dividida em dois dias, devido à não disponibilidade de quatro aulas 
sucessivas. Já no primeiro dia, a maioria dos alunos não mostrou muito entusiasmo com a atividade. 
Colaborou para isso – e não tínhamos essa informação previamente – o fato de que o filme “Corra 
Lola Corra” já havia sido exibido, em um outro momento, na aula de Português. Apesar de termos 
enfatizado aos alunos que o filme seria abordado sob um outro aspecto, os alunos se mostraram 
desinteressados em revê-lo. Durante a apresentação, alguns alunos chegaram a dormir e em nenhum 
momento houve manifestações por parte deles como exclamações ou risos, fato que ocorreu na 
Escola I. Após o término do filme, perguntamos se todos haviam entendido a “moral da história” e a 
maioria dos alunos respondeu imediatamente que “os mínimos acontecimentos poderem causar 
grandes mudanças”. Essa pronta identificação deveu-se ao fato de que, antes, o filme havia sido 
trabalhado na aula de Português, conforme dissemos antes. No caso do filme, o fato de Lola ter 
pulado por cima da perna de um menino quando descia a escada, evitando uma queda, ocasionou 
um final feliz. Então, posteriormente, questionamos os alunos a respeito de qual era a relação entre 
o filme e a Física. A maioria citou os conceitos da cinemática, um fato compreensível, pois fizeram 
associações com a corrida de Lola. Dissemos que não iríamos trabalhar os conceitos de cinemática, 
mas sim, outros que estavam relacionados com a “moral da história” do filme que eles haviam 
citados. Detalhes seriam apresentados no segundo momento da atividade, que ocorreria em outro 
dia. No final desse primeiro dia, os alunos receberam os textos produzidos para a atividade, os quais 
deveriam ser lidos em casa. 
O segundo dia foi iniciado com a demonstração do pêndulo magnético, momento no qual os 
alunos participaram com interesse. Apenas cerca de cinco estudantes disseram que a relação do 
filme com os textos era a d.c.i., resultado similar ao ocorrido na Escola I. Em seguida, propusemos 
a leitura dos textos, pois a maioria dos alunos não os havia lido em casa. A discussão sobre os 
textos foi bastante semelhante àquela da Escola I. Já a atividade com a equação de Bernoulli 
desenvolveu-se de forma diferente, pois os alunos da Escola II têm maior habilidade com a 
matemática e, conseqüentemente, nesse momento, os estudantes demonstraram maior interesse do 
que na Escola I. Do nosso ponto de vista, as manipulações com a aplicação de Bernoulli foram o 
melhor momento da atividade. A finalização dessa intervenção se deu com o questionário 
avaliativo. 
7_ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO DE AVALIAÇÃO 
O questionário de avaliação foi respondido por 84 alunos. Desses, 59 puderam ser 
comparados com o questionário prévio. Essa diferença ocorreu porque o primeiro questionário foi 
respondido pelos alunos dias antes da realização da atividade e alguns deles faltaram no dia da 
intervenção ou vice-versa. O questionário foi proposto com 14 questões. Seis delas tiveram como 
objetivo evidenciar as possíveis mudanças nas concepções prévias dos alunos sobre o significado da 
palavra caos na ciência e verificar se eles compreenderam o conceito de d.c.i. As demais questões 
foram elaboradas com intuito de avaliar a atividade e buscar novos subsídios para eventuais 
alterações e adaptações futuras. 
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Como a ênfase neste trabalho é a visão dos alunos sobre a teoria do caos determinístico, 
analisaremos, principalmente, as respostas que evidenciaram possíveis mudanças nas concepções 
prévias dos alunos. As questões que tiveram esse objetivo foram: 1) Será que um dia haverá 
tecnologia suficiente que torne possível prever as mudanças climáticas com extrema precisão? 
Justifique.; 2) Sua vida é um caos?; 3) Existe uma relação entre d.c.i., caos e Física? Cite um 
exemplo ou explique a relação; 4) Qual(is) a(s) relação(ões) entre filme, os textos, o experimento e 
a equação de Bernoulli? 5) Você já viveu uma “dependência sensível às condições iniciais” na sua 
vida? Descreva; 6) No primeiro questionário você criou uma história (a partir da ilustração). Assim, 
como no filme, faça uma segunda versão a partir da mesma ilustração. 
Na primeira questão buscávamos verificar se os alunos compreenderam que as imprecisões 
nas previsões meteorológicas são devidas à d.c.i. Obtivemos trinta respostas onde os alunos 
responderam que não haverá tecnologia suficiente, pois as variações climáticas são imprevisíveis 
devido à d.c.i. Destacamos algumas frases de alunos que responderam os questionários prévio e de 
avaliação, indicados respectivamente por Q1 e Q2; elas evidenciam mudanças em suas concepções 
prévias: 
Aluno 40: Resposta no Q1: Eu imagino, que isso acontece porque o homem ainda não é 
capaz de inventar algo que seja capaz de prever ou desvendar os mistérios da 
natureza. Só Deus sabe o que acontecerá no dia de amanhã. 
Resposta no Q2: Não, pois sempre haverá dependência sensível às condições 
iniciais. 
Aluno 96: Resposta no Q1: Isso ocorre porque muitas vezes o vento muda a direção das 
frentes frias ou quentes e como não se sabe quando e onde surgem os ventos, 
muitos erros são possíveis. 
 Resposta no Q2: Não, porque sempre haverá o caos determinístico e dependência 
sensível às condições iniciais. 
Aluno 106: Resposta no Q1: Fatores podem ocorrer que alteram o funcionamento do 
satélite, ou ventos que podem alterar os movimentos das massas de ar quente e 
fria, mudando completamente o tempo. 
Resposta no Q2: Não, porque uma pequena mudança faz uma diferença no final. 
Por um outro lado, não ocorreu mudança nas concepções prévias para dez alunos, como 
exemplificado a seguir: 
Na minha opinião eu acho que não porque quem faz as mudanças climáticas é Deus e 
na maioria das vezes os homens só copia. (Aluno 36d). 
Não, há fatores nem imagináveis considerados. (Aluno 85). 
Na segunda questão o objetivo era verificar se o significado da palavra caos, após a 
atividade, seria outro além de confusão, desordem, descontrole. Quarenta alunos responderam que a 
vida é um caos por ser imprevisível, porém não disseram a causa dessa imprevisibilidade. Desses 
quarenta, nove atribuíram a imprevisibilidade à d.c.i. Algumas respostas merecem destaque: 
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Sim, porque pequenas coisas que estão acontecendo agora podem causar grande 
diferença no meu futuro. (Aluno 84). 
Sim, porque existem mudanças não só ruins como boas, isto é, inicia-se num ponto e 
nunca termina no mesmo eixo. (Aluno 17h). 
Nota-se que há uma mudança não só no significado da palavra caos, como também há uma 
certa mudança na perspectiva da visão de mundo a respeito do futuro (aluno 17h). No entanto, vinte 
e seis alunos ainda atribuíram ao caos o significado de confusão e desordem. 
Quando perguntamos, na terceira questão, se havia uma relação entre d.c.i., caos e Física, 
quarenta alunos disseram que sim. São exemplos: 
Sim, um exemplo é o pêndulo que se for solto por um lugar um pouco diferente, por 
menos que seja a distância, ele fará o caminho diferente. (Aluno 17g). 
Sim, o imprevisto, caos, esse dava pela d.c.i. A Física segue linear, nas suas 
fórmulas, mas ela pode aceitar que algo não seja previsível. Ex. a meteorologia. 
(Aluno 87). 
Para a quarta pergunta - “Qual(is) a(s) relação(ões) entre filme, os textos, os experimentos e 
a equação de Bernoulli?” – foram obtidas 42 respostas satisfatórias, como por exemplo: 
Que uma simples “variação” no início pode transformar em caos no final.(Aluno 38). 
Todos dependem da d.c.i., o texto explica isso.(Aluno 82). 
Apenas quatro alunos disseram que não havia nenhuma relação entre os quatro momentos. 
Isso corrobora, do nosso ponto de vista, a pertinência da escolha da d.c.i. como elemento 
estruturante da atividade. 
Na quinta pergunta desejávamos saber se os alunos entendiam que a d.c.i. fazia parte da suas 
vidas. Vinte e três estudantes responderam em branco, quinze alunos disseram “não” sem justificar 
e trinta e cinco alunos disseram que sim. Algumas dessas respostas: 
Sim, se a Simone não quisesse ter saído um dia desses eu não estaria namorando 
hoje. (Aluno 84). 
Sim, se por causa de um minuto perdi o ônibus e não consegui me despedir da minha 
tia que ia para o Japão. (Aluna 26). 
Sim, pelo fato de ter ficado três minutos a mais em casa, ao entrar no elevador 
encontrei uma amiga, ela me deu um carona e ainda vi um menino lindo no metrô 
que talvez eu nunca o encontrasse antes. (Aluno 102). 
Na sexta pergunta - “No primeiro questionário você criou uma história. Assim, como no 
filme, faça uma segunda versão.” - comparamos as respostas nos dois questionários, prévio e de 
avaliação e, verificamos que dos cinqüenta e nove alunos que responderam, dezesseis reescreveram-
na incluindo d.c.i. e imprevisibilidade. É interessante observar que alguns alunos, nessa segunda 
versão da história, construíram-na evidenciando uma perspectiva mais positiva de vida se 
comparada com a primeira versão. Quatro alunos não alteraram o significado da história. Trinta e 
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oito alunos deixaram em branco essa questão, fato que atribuímos ao adiantado da hora e à 
necessidade que eles tinham de se retirarem. Dos dezesseis alunos que incluíram os conteúdos 
discutidos na atividade na nova versão da história, destacamos algumas: 
Aluno 97 – 1ª versão: Uma pessoa que está perdida e encontra em sua frente três 
caminhos e se orienta através dos astros. 
2ª versão: Um viajante que se perde no deserto e se guia pelos astros. 
Há uma d.c.i., pois se ele seguir em frente acontecerá uma coisa, mas se 
ele seguir para algum dos lados pode ocorrer outra coisa. 
Aluno 77 – 1ª versão: Era uma vez um homem que estava perdido e não sabia qual 
dos três caminhos escolher (...) e ele fica parado até a sua morte. 
2ª versão: Se o homem escolher um caminho essa decisão irá alterar 
completamente a sua vida. 
As questões 7 a 14 foram elaboradas no intuito de avaliar a atividade e buscar subsídios para 
alterações e adaptações futuras. As perguntas foram: 7) Desenvolvemos quatro atividades para 
exemplificar a dependência sensíveis às condições iniciais (d.c.i.): filme, demonstração com 
pêndulo, textos e aplicação de Bernoulli. Coloque em ordem, as atividades que você achou mais 
interessantes para as menos interessantes; 8) Com relação ao filme você achou o enredo: chato, 
razoável, interessante ou não entendeu; a duração foi: curta, longa ou ideal; 9) O que você achou 
dos textos quanto à compreensão: fácil, difícil ou razoável; os textos foram: legais, cansativos ou 
tediosos; 10)Você gostou das atividades que fizemos hoje? Dê uma nota de 0 a 10 e justifique; 11) 
Se você tivesse que tirar uma das atividades, qual você escolheria? Por quê?; 12) Você 
recomendaria essa atividade a um(a) amigo(a)? Em caso afirmativo, o que você diria a respeito da 
atividade para ele(a) no intuito de convencê-lo(a)?; 13) Dos exemplos de sistemas caóticos 
determinísticos citados abaixo, assinale três que você gostaria de discutirnuma próxima atividade 
como esta que fizemos hoje; 14) Críticas e Sugestões. Resumidamente faremos alguns comentários 
dessas respostas obtidas. 
Os alunos acharam mais interessante, em ordem decrescente, o filme (49 votos), a 
demonstração do pêndulo (43 votos); os textos (34 votos) e por último, a aplicação de Bernoulli (45 
votos). A duração do filme foi considerada ideal pela maioria dos alunos (50), 21 acharam curta a 
duração e nove alunos acharam longa. Quanto ao enredo, 62 alunos acharam interessante, 17 
acharam razoável e apenas quatro não gostaram do filme. 
Os textos foram considerados pela maioria dos alunos "legais" (53 alunos) e de razoável 
compreensão (47 alunos). A atividade obteve, em média, nota oito. Os textos foram escolhidos para 
serem excluídos da atividade (22 votos). No entanto, outros 20 alunos acharam que nada deveria ser 
retirado da atividade, pois todos os momentos estavam relacionados: 
Nenhuma atividade, porque todas estão relacionando a mesma coisa. (Aluno 33). 
Nenhuma, porque tudo faz ponte para uma compreensão completa. (Aluno 36). 
Trinta alunos recomendariam a atividade para um amigo usando, por exemplo, justificativas 
como: 
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É uma atividade muito importante para convencermos de que pequenas coisas podem 
gerar grandes conseqüências. (Aluno 99). 
Eu não calculei nada, não usei calculadora e estava aprendendo Física...incrível! 
(Aluno 102). 
Falaria das possibilidades de escolha que podemos fazer em nossas vidas. E através 
dessa decisão podemos aprender várias coisas de física, química, etc., que achamos 
que não existem em nossas vidas. (Aluno 70). 
Essas justificativas parecem indicar que os alunos não somente acharam a atividade 
interessante como também identificaram os conteúdos abordados, atribuindo-lhes importância no 
cotidiano. 
8_CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Exploramos neste trabalho a utilização de atividades curtas multi–abordagem, para 
introduzir um tópico de Ciência Contemporânea para alunos do Ensino Médio de Escolas Públicas. 
O tema tratado foi a teoria do Caos Determinístico, em particular um de seus conceitos, a 
dependência sensível às condições iniciais. A análise comparativa dos questionários (prévio e de 
avaliação) evidenciou resultados positivos dessas ações pedagógicas. 
Há de se salientar os seguintes aspectos positivos: mudança de concepções prévias de parte 
significativa dos alunos, com a conseqüente “complexificação” do conhecimento cotidiano através 
dos aportes do conhecimento científico (por exemplo, a compreensão do conceito de d.c.i. 
contribuiu para que a maioria dos alunos alterasse suas concepções prévias sobre imprevisibilidade 
no contexto da meteorologia); a multi-abordagem do tópico através dos quatro diferentes momentos 
mostrou-se adequada e foi bem recebida pela maioria dos alunos, despertando o interesse numa 
atividade que lhes pareceu dinâmica e instigante. Uma constatação que nos parece também 
importante é a inadequação da utilização de textos de divulgação científica ou de internet para esse 
tipo de atividade curta; com efeito, a produção de textos didáticos específicos mostrou-se essencial 
e, dentro dos limites impostos pela pouca prática de leitura em grupos dos alunos, podemos afirmar 
que sua utilização foi relevante. 
O interesse dos alunos pelo momento da atividade quando foi apresentado o pêndulo 
magnético leva-nos a pensar na pertinência de se aumentar o tempo destinado às atividades de 
demonstração, o que pode ser feito utilizando-se outros aparatos caóticos (pêndulo duplo, circuitos 
elétricos caóticos etc...). A utilização, como elemento lúdico, de um filme de cinema foi positiva na 
medida em que serviu de motivador e de contextualização dos tópicos tratados. Entretanto, as 
intervenções não nos convenceram de que situar esse momento no início da atividade seja o melhor. 
Novos ensaios pedagógicos serão realizados com inversão na seqüência dos momentos para análise 
de resultados. 
No entanto, há aspectos negativos a serem comentados. Apesar dos textos terem sido um 
instrumento importante no processo ensino/aprendizagem, os alunos não apreciam essa atividade e 
o desconforto é evidente. Esse é um problema que não é específico das atividades curtas, mas que 
enfrenta o professor em muitas situações em sala de aula. Um outro aspecto negativo da atividade é 
o momento quando se apresenta a aplicação de Bernoulli e se procede a manipulações matemáticas. 
Apesar do fato de que os alunos compreendem, em maior ou menor grau, a partir das explicações 
do professor/pesquisador, a d.c.i. presente nessa aplicação, é evidente o desconforto dos estudantes 
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com o trabalho com a matemática, fato também muito presente no cotidiano escolar. Tanto no caso 
dos textos como da manipulação matemática parece-nos conveniente buscar maneiras para que 
essas atividades sejam mais dinâmicas com maior participação dos alunos. 
Na avaliação de atividades como as consideradas neste trabalho é licito perguntar-se a 
respeito da retenção dos conhecimentos pelos alunos após um certo-tempo. Para esse fim, 
realizamos entrevistas duas semanas após a realização das atividades, com doze alunos da Escola I 
(critério de escolha: alunos que responderam o questionário final de forma excelente (3), satisfatória 
(3) e insuficiente (3) ). A análise dessas entrevistas não corrobora o nível de entendimento expresso 
nos questionários, particularmente no caso daqueles que o responderam de forma satisfatória. 
Entretanto, essas entrevistas, deverão ser futuramente melhor estruturadas e aplicadas a um maior 
número de alunos escolhidos, segundo critérios mais adequados, para que possam confirmar ou não 
esse fato. 
Concluindo, os resultados positivos alcançados sinalizam na direção da continuidade de 
esforços para a construção de uma metodologia multi-abordagem diferenciada para o ensino de 
Ciência Contemporânea em atividades curtas. 
9_AGRADECIMENTOS 
Nossa gratidão aos alunos e professores das Escolas I e II, onde as intervenções foram 
realizadas. Um dos autores (S.N.U.) teve apoio financeiro do CNPq. 
10_ REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
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Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília: Ministério da Educação, 1999a. 360p. 
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Lüdke, M – Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. São Paulo: EPU, 1986. 
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contemporânea no ensino médio” – Investigações em Ensino de Ciência, Porto Alegre, Vol. 
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Terrazan, E.A. –A inserção da física moderna e contemporânea no ensino de física na escola de 2º 
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Uema, S.N; Fiedler-Ferrara, N. – Introduzindo Caos Determinístico no Ensino Médio Atas do XV 
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Zabala, A. - Enfoque globalizador e pensamento complexo: uma proposta para o currículo escolar. 
Porto Alegre: Artmed Editora, 2002. 248p.