Non linear dynamics and chaos

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Nonlinear dynamics and Chaos 
· Capítulo 1 - Visão Geral
Dinâmica é o assunto que aborda a mudança e os sistemas que envolvem o tempo. Se o sistemas tende ao equilíbrio, fica repetindo em ciclos ou faz algo mais complicado, é através da dinâmica que analisamos seu comportamento. 
Existem dois tipos de sistemas dinâmicos: Equações diferenciais e Equações de diferença (iterated maps).
· Equações diferenciais: Descrevem a evolução de sistemas em um tempo contínuo. São mais usuais na ciência e na engenharia, portanto são o foco principal do livro. 
· Equações de diferença: Descrevem problemas onde o tempo é discreto. Essas não serão o foco do livro, porém são úteis para prover exemplos simples de caos.
As equações diferenciais são principalmente divididas em ordinárias e parciais. Uma equação diferencial ordinária é quando há apenas uma variável independente. Em contraste uma equação parcial possui duas variáveis independentes. No livro, o foco é com o comportamento temporal, portanto as Equações ordinárias serão as principais. 
 
Eq. oscilador harmônico massa mola. 
Eq. ordinária (apenas o tempo (t) como variável independente)
 
Eq. do calor
Eq. parcial (possui o tempo (t) e o espaço (x) como variável independentes)
	Uma forma muito geral de Equações Diferenciais Ordinárias é dada pelo sistema: 
	Comment by João Antonio: X1,...,Xn é como se fosse o conjunto de variáveis. Por exemplo: Considerando o sistema solar, poderíamos achar a uma função da posição dos planetas em relação ao tempo.
	Onde as variáveis (x1,...xn) podem representar concentrações de químicos, populações de animais em um ecossistema, posição e velocidade de planetas no sistema solar. As funções (f1, …, fn) são determinadas pelo problema em mãos. Podemos reescrever a Equação do massa-mola nessa forma de sistema fazendo: , então e , escrevendo na forma de sistema temos: 	Comment by João Antonio: x(Dois pontos) = -b/mx(ponto) - k/mx == é a forma normal da equação diferencial da massa-mola
	Esse sistema é dito linear, pois todos os termos do lado direito são primeira potência. Um sistema não-linear possui termos que são produtos, potências ou funções de x, como: x1x2, (x1)^3 ou cos(x1)
Eq. do pêndulo vertical e sua forma de sistema - Exemplo de Equação diferencial ordinária não linear
	
	A não linearidade torna o problema mais difícil de resolver analiticamente, porém deve haver alguma forma de extrair informação de um sistema. No livro, ele irá abordar com extrair informações do comportamento do sistema, através de métodos geométricos. Por exemplo, supondo que seja conhecida uma solução para o sistema do pêndulo, em uma determinada condição inicial. Essa solução será um par de funções x1(t) e x2(t) representando posição e velocidade do pêndulo. Construindo um espaço abstrato de coordenadas x1,x2, uma solução (x1(t), x2(t)) será apenas um ponto se movendo ao longo de uma curva nesse espaço 
 
	A curva é chamada de trajetória e o espaço é chamado de espaço de fase do sistema, que é o espaço com (x1,...,xn), esse espaço é n-dimensional. O espaço de fase é completamente preenchido de trajetórias, sendo que cada ponto poderá servir como condição inicial. O objetivo será fazer o oposto: dado um sistema, queremos desenhar as trajetórias e então extrair informação sobre as soluções.
Parte 1 - Fluxos Unidimensionais 
· Capítulo 2 - Fluxos na linha
	A palavra sistema utilizada daqui pra frente não se refere ao sentido clássico da matemática de um conjunto de equações, mas sim a um sistema dinâmico. Dessa forma, uma simples equação pode representar um sistema.
· 2.1 - Uma forma geométrica de pensar
	Imagens geralmente são melhores para analisar sistemas não lineares do que fórmulas. Considere a seguinte equação diferencial não linear: . Separando as variáveis e depois integrando: . Para descobrir o valor da constante C podemos fazer x=x0 quando t=0, então C = ln | csc x0 + cot x0 | e a solução é: . Essa solução é exata, porém difícil de ser analisada, por exemplo: O que acontece quando t tende ao infinito ?. 
	Fazendo uma análise gráfica dessa mesma equação percebemos o quão mais claro é. Podemos pensar que o t é o tempo e x é a posição de uma partícula imaginária se movendo ao longo de uma linha real e que é a velocidade dessa partícula, então a equação diferencial representa um campo vetorial na linha. Para esquematizar o campo vetorial, podemos plotar um gráfico de por x e desenhar setas no eixo x para indicar a velocidade correspondente naquele x. As setas apontam para direita quando e para a esquerda quando . Imagine uma partícula sobre as linhas do gráfico, supondo que essa partícula comece no ponto π /2, então essa teria seu movimento, ou fluxo, para a direita, porém se essa partícula começar no ponto 3π /2, então seu fluxo seria para a esquerda. 
	Comment by João Antonio: Uma partícula iniciando em pi/4 possui movimento acelerado para a direita, até passar por pi/2, então começa a desacelerar até chegar no ponto estável de pi.
	Os pontos sobre o eixo x, não possuem fluxo, pois nesses pontos a velocidade é zero ( ), esses pontos são chamados de pontos fixos. Há dois tipos de pontos fixos, os representados por pontos fechados são os pontos fixos estáveis (também chamados de atratores, porque o fluxo são em direção a eles), já os pontos abertos são os pontos fixos instáveis (também chamados de repelidores).
	Com esse gráfico podemos analisar qualquer situação inicial (x0) de uma partícula. Se sua velocidade inicial é então ela se moverá para a direita até chegar ao ponto estável mais próxima. Se a velocidade inicial é ela irá para a esquerda da mesma forma, porém se , ela se manterá constante. Essa visão qualitativa da solução pode ser visualizada no gráfico a seguir de x por t.
	Comment by João Antonio: Por que uma condição inicial x0 se move em direção ao ponto estável mais próximo, mas nunca chega nele de fato, ela tende ao infinito ?	Comment by João Antonio: Pq ele vai acelerando ou desacelerando infinitamente, mas nunca para. Ele chega ao ponto estável apenas no infinito
· 2.2 - Pontos fixos e estabilidade
	As ideias da sessão anterior podem ser aplicadas a qualquer sistema de uma dimensão . Precisamos apenas desenhar o gráfico de f(x) e então usar ele para esboçar os vetores na linha.	Comment by João Antonio: É não linear, pois a derivada de x em relação a t é igual a uma função de x que está em função de t. Logo se x(t) é a função desconhecida em relação a t. A não linearidade vem justamente de uma função em função de x(t) = f(x(t))	Comment by João Antonio: O formato linear seria:x(ponto) = f(t)x(t), onde f(t) seria uma função conhecida de t, e x(t) a função incógnita de t.
	Comment by João Antonio: A reta x é um espaço vetorial, onde os vetores são a velocidade. Que tem direção, sentido e módulo.
	Com o passar do tempo, o ponto imaginário se move ao longo do eixo x de acordo com alguma função x(t). Essa função é chamada de trajetória baseada em x0, e representa a solução da equação diferencial começando da condição inicial x0. Uma figura como a 2.2.1 é um retrato de fase que representa todas as trajetórias qualitativas do sistema. A aparência do retrato de fase é controlado pelos pontos fixos (x*), definidos por f(x*) = 0. Em termos de equações diferenciais, os pontos fixos representam as soluções de equilíbrio. O equilíbrio é definido como estável quando todas as perturbações suficientemente pequenas longe deles se esgota com o tempo (são representados pelos pontos fixos estáveis). Já o equilíbrio instável é quando as perturbações crescem com o tempo. Note que a definição de equilíbrio estável está centrada na parte de pequenos distúrbios, analisando o gráfico 2.2.1, vemos que pequenos distúrbios que tiram do ponto estável poderão retornar a estabilidade, porém um grande distúrbio que move o objeto para além do ponto instável x=1, não será possível retornar ao equilíbrio, dessa forma ele tenderá para o infinito positivo. Sendo assim, dizemos que o ponto x*=-1 ele é um estávellocal, e não um estável global.	Comment by João Antonio: Lembrando que uma equação diferencial podem ter várias soluções. Essa é apenas a solução começando de x0.	Comment by João Antonio: Equilíbrio estável é quando alguma perturbação retira o corpo do equilíbrio, porém esse tende a retornar ao equilíbrio.	Comment by João Antonio: Já o equilíbrio instável é quando a perturbação retira o corpo do equilíbrio, e esse tende a se afastar cada vez mais do equilíbrio.
	Exemplo 1:
	Encontre todos os pontos de e classifique sua estabilidade:
Para isso, . Para achar os pontos fazemos f(x*)=0, logo os pontos seriam x = + 1 ou -1. Para determinar a estabilidade plotamos o gráfico de x² - 1 e fazemos uma análise de sua estabilidade. Analisando o gráfico abaixo podemos perceber que o ponto -1 é estável e o +1 é um ponto instável. 
	Exemplo 2:
	Faça o esquema do retrato de fase de e determine a estabilidade de todos os pontos fixos.
	Para esse caso plotar o esquema da função x-cosx é complicada, uma solução portanto é plotar os gráficos separadamente de f(x) = x e f(x)=cos(x). A interseção entre ambos os gráficos será um ponto fixo. Para saber quanto a estabilidade devemos analisar a esquerda cos(x) é maior que x, portanto a função ficaria com velocidade negativa e iria para esquerda, a direita x é maior que cos(x) portanto teria velocidade final positiva e o fluxo para direita. Logo o ponto fixo é instável. 
· 2.3 - Crescimento Populacional
O modelo mais simples para o crescimento populacional é , onde N(t) é a população no tempo t e r > 0 é a taxa de crescimento populacional. Esse modelo prediz um crescimento exponencial, , onde N0 é a população no t=0. Obviamente o crescimento exponencial de uma população não se dá para sempre, dessa forma, para modelar o limite de recursos geralmente é assumido que a taxa de crescimento per capita () diminui à medida que a população (N) se torna muito grande. De acordo com a figura 2.3.1, podemos ver que para N pequenos o r é similar ao do primeiro caso, porém para populações maiores que uma certa capacidade do meio (K), a taxa de crescimento torna-se negativa, significando que a taxa de morte é maior que a taxa de nascimento. Uma maneira matemática de analisar esse problema é assumir que a taxa de crescimento per capita diminui linearmente com N, como mostrado na figura 2.3.2. Dessa forma temos uma equação logística .	Comment by João Antonio: Eq. diferencial linear.	Comment by João Antonio: Eq. diferencial não-linear
	Analisando qualitativamente pelo plot de por N, podemos perceber que há dois pontos fixos, N* = 0 e N* = K, onde N = 0. N*=0 é um ponto fixo instável e N*=K é um ponto fixo estável. De forma biológica, uma população pequena irá crescer exponencialmente fugindo de N=0 e tendendo a K. Pequenas perturbações levarão a população de retornar a K, de tal forma que se t tender ao infinito, N = K. Se N0 = 0, então a população nunca irá crescer, tendo em visto que não há indivíduos para se reproduzir. 
	Comment by João Antonio: A velocidade próxima a 0 é pequena e vai crescendo a medida que se afasta de 0. Quando passa de K/2, a velocidade volta a diminuir até chegar a K.
	A figura 2.3.3 também permite nos deduzir a forma qualitativa das soluções desse sistema. Uma população com N0=3/2K irá crescer aceleradamente até atingir K/2, onde passará a crescer de forma mais devagar até atingir K. Esse comportamento nos leva a um gráfico sigmóide de N(t).
	Apesar de muito interessante, o modelo logístico não deve ser levado ao pé da letra. Quando considerado populações de bactérias, leveduras e outros microorganismos em laboratórios sob condições controladas, a curva de crescimento se assemelha muito ao do modelo logístico, porém quando consideramos organismos complexos com diferentes estágios e ciclos de vida, esse modelo não se adequa perfeitamente de tal forma que algumas variações no crescimento exponencial podem ser encontradas antes desses atingirem o limite do meio (K). 
	
· 2.4 - Análises de estabilidade linear 
	Até agora usamos análises gráficas para avaliar a estabilidade de um ponto fixo, porém podemos também querer uma análise de estabilidade de forma quantitativa. Esse tipo de informação pode ser obtida através de um método de linearização em um ponto fixo. 
	Se x* for um ponto fixo, então é uma pequena perturbação longe de x*. Para verificar se a perturbação cresce ou diminui, derivamos uma equação diferencial, que como x* é constante fica igual a x(ponto). Logo, temos , usando uma expansão de Taylor obtém-se como f(x*) = 0, pois esse é um ponto fixo. Então . Se f’(x*) é diferente de 0, então o termo O(n²) é desprezível e escrevemos a aproximação Essa equação diferencial em n é chamada de linearização sobre x*. Isso mostra que a perturbação cresce exponencialmente se f’(x*) > 0 e descresce se f’(x*) < 0. Caso f’(x*) = 0, então o termo O(n²) não é desprezível, e uma análise não-linear é necessária. 	Comment by João Antonio: Isolando x(t) temos: x(t) = n(t) + x *	Comment by João Antonio: Ou Série de Taylor - Ver conteúdo de C2
	O resultado é que a inclinação f’(x*) no ponto fixo determina sua estabilidade. Em exemplos anteriores os pontos fixos estáveis sempre tiveram inclinação negativa (significa que a perturbação diminui até retornar a estabilidade). Podemos agora além de analisar graficamente, mensurar o quão estável um ponto fixo é através de f’(x*).	Comment by João Antonio: É diferente do x ponto, pois esse é a derivada de x em relação ao tempo. E para análise de estabilidade derivamos o x ponto em relação ao x.
· Exemplo:
	Nada pode ser dito sobre a estabilidade de um ponto quando f’(x*) = 0. Nesse caso a estabilidade é melhor determinada caso a caso. 
	Nesses casos, todos os sistemas possuem ponto fixo x* = 0 com f’(x*) = 0. Porém, o sistema a) possui o ponto estável, enquanto o sistema b) possui o ponto instável. Já no caso do sistema c) o ponto é um híbrido chamado de semi-estável, já que é atraído pela direita e repelido pela esquerda. No caso d) toda a linha é preenchida com pontos fixos estáveis, nesse caso a perturbação nem cresce nem diminui. 
· 2.5 - Existência e Exclusividade
	Até o momento as análises feitas foram muito gerais, e servem para o propósito do livro, porém devemos tomar cuidado com alguns problema patológicos de certas análises. 
	Por exemplo, para a equação , soluções com x0 = 0 não são únicas. Uma clara solução para essa equação é quanto x(t) = 0, para todo t. Porém, existe outra solução e para encontrá-la podemos usar a separação de variáveis, , e então . Impondo a condição inicial x(0)=0 leva a C=0, então é também uma solução. Quando essa singularidade falha, a análise geométrica colapsa, pois o ponto de fase não sabe como se mover, por exemplo nesse caso se ponto começa na origem ele ficaria lá (x(t)=0) ou iria se mover de acordo com ?
	A fonte de não exclusividade pode vir de uma dica da própria observação do campo vetorial. No gráfico abaixo vemos que o ponto x*=0 é muito instável e a inclinação de sua derivada é infinita.
	Através desse exemplo, podemos ver um teorema que provém condições suficientes para analisarmos a existência ou singularidade de soluções para . 
	Teorema da exclusividade e singularidade: Suponha que f(x) e f’(x) são contínuos em um intervalo aberto R sobre o eixo x. E suponho que x(0)=x0 é um ponto em R. Então o problema do valor inicial possui uma solução x(t) em um intervalo sobre t=0 e a solução é única.
Outro problema pode observado através do exemplo. Neste caso, a função é contínua e possui derivada contínua para todo x, logo o teorema diz que a solução existe e é única para qualquer condição inicial x0, porém o teorema não diz nada sobre a solução existe por todo o tempo, ele apenas garante que a solução exista por um intervalo de tempo pequeno em torno de t=0.
Considerando o caso onde x(0)=0, podemos resolver analiticamente por separação de variáveis então: que leva a , a condição incial x(0)=0 implica que C=0, então x(t) = tan(x).t. 
Percebe que a solução só existe para , poisx(t) é ±∞ quando t = ± π/2. Fora deste intervalo de tempo o sistema não possui solução para o problema do valor inicial x0 = 0. A parte legal disso é que esses sistemas conseguem ter soluções que chegam ao infinito, em tempos finitos, esse fenômeno é chamado explodir (blow up). Não nos preocuparemos com existência e singularidade pelo resto desse livro. 
· 2.6 - Impossibilidade de oscilação
	A dinâmica de sistemas de primeira ordem são dominados por pontos fixos. Em todos os exemplos até agora as trajetórias fluíram para um ponto fixo ou iam para ±∞ . A razão é que as trajetórias são forçadas a aumentar, diminuir ou permanecerem constantes. Em papo geométrico, o ponto de fase nunca reverte sua direção. Por esses motivos, eventos como oscilações amortecidas e superação (overshoot) não podem ocorrer em sistemas de primeira ordem, dessa forma podemos afirmar que não existem soluções periódicas para . 
· Análogo mecânico: Sistemas super amortecido
	Vamos tomar como exemplo mecânico um caso onde é um dos limites das leis de Newton, onde o termo de inércia (massa x aceleração) é desprezível. Por exemplo: suponha uma massa (m), que está presa a uma mola não linear cuja força de restauração é F(x), onde x é a distância para a origem. Essa mola é mergulhada em um pote com líquido bem viscoso como mel, que gera uma força de atrito e assim, a lei de Newton é . 
No frasco viscoso onde , o sistema se comporta ou fazendo equivalência a , como: . O comportamento do sistema é simples, a mola prefere ficar no estado de equilíbrio onde f(x) = 0 e f’(x) < 0, se essa for retirada um pouco do estado de equilíbrio ela tenderá a retornar a esse estado por meio da Força de restauração. Nenhuma superação é possível, pois o atrito é enorme e oscilações estão fora de questão.
· 2.7 - Potenciais
	Existe outra forma de visualizar a ideia de dinâmica de sistemas de primeira ordem, baseado na ideia de energia potencial da física. Imagine uma partícula caindo pelas paredes de um poço potencial, onde o potencial V(x) é dado por . Como antes, suponha que a partícula está sob efeito de um forte atrito e sua inércia é completamente desprezada. O sinal negativo de V(x) é uma convenção da física de que a partícula está sempre indo ladeira abaixo no processo de movimento, para visualizar isso pense em V(x(t)). Pela regra da cadeia teremos , agora para sistemas de primeira ordem , então pela definição de potencial. Consequentemente, . Assim V(x) sempre diminui ao longo da trajetória, a não ser que a partícula esteja na posição de equilíbrio onde dV/dx = 0, então V se mantém constante. Note que os locais de máximo potencial são os pontos instáveis e os locais de mínimo potencial seriam os pontos estáveis
 
· Capítulo 3 - Bifurcações 
	Dado a trivialidade dos sistemas unidimensionais, o que os tornam interessante ? A dependência de parâmetros. A estrutura qualitativa do fluxo pode variar conforme os parâmetros são variados. Pontos fixos podem ser criados ou destruídos e suas estabilidades podem mudar. Essas mudança qualitativas na dinâmica são chamadas de bifurcações e os valores de parâmetros nas quais elas ocorrem são chamadas pontos de bifurcações. 	Comment by João Antonio: Pois eles apenas se movimentam em direção ao equilíbrio ou para + ou - infinito.	Comment by João Antonio: É uma mudança qualitativa, pois você antes tem um ponto de equilíbrio (viga reta), e após a mudança no parâmetro você pode ter ela envergada pra direita ou pra esquerda (dois pontos de equilíbrio).
	Bifurcações são importantes, pois eles provém modelos de transição e instabilidades quando alguns parâmetros controles são variados. Por exemplo, considera uma viga, com peso pequeno colocado sobre ela, essa viga pode suportar o peso e permanecer vertical, porém se o peso for muito grande, a posição vertical pode se tornar instável e então a viga enverga. Nesse caso o peso desempenha o papel do parâmetro de controle, e a posição da viga desempenha o papel da variável dinâmica X. 
	Esse capítulo introduz o contexto mais simples: bifurcações em pontos fixos para fluxos na linha. 
· 3.1 - Bifurcação de nó de sela (Saddle-Node Bifurcation)
	Esse tipo de bifurcação é um exemplo básico de como dois pontos fixos são criados e destruídos. Quando um parâmetro é variado, dois pontos fixos movem-se em direção ao outro, colidem e mutuamente se aniquilam. 
	Um bom exemplo desse tipo de bifurcação é dado por: , onde r é o parâmetro que pode ser variado. Quando r é negativo, existem dois pontos fixos, um estável e um instável. A medida que r se aproxima de 0, os pontos fixos movem-se em direção ao outro até se colidirem no 0, onde tornam-se um ponto fixo semi-estável. Quando r é positivo, o ponto fixo deixa de existir. Nesse exemplo dizemos que a bifurcação ocorre no r = 0, pois os campos vetoriais de r<0 e r>0 são qualitativamente diferentes.	Comment by João Antonio: Forma normal desse tipo de bifurcação. Fazendo x* = 0, temos que as raízes são + ou - sqrt(-r). Ou seja, para r negativo, existirá 2 raízes, porém para r positivo, devido ao sinal já negativo, não irá existir raiz nenhuma.	Comment by João Antonio: Essa é uma equação normal ou protótipo. Todas as bifurcações desse tipo se assemelham a isso aqui.
	Comment by João Antonio: Parábola que sobe e desce
· Convenções gráficas:
	Existem muitas formas de representar a bifurcação de nó de sela. Podemos representar os campos vetoriais para valores discretos de r, como em 3.1.2. E podemos representar com valores contínuos de r, então temos algo como 3.1.3. Nesse último caso, representamos os pontos estáveis por linha contínua e os pontos instáveis por linha tracejada. Quando r é positivo, não haverá pontos, quando r é negativo haverá pontos estáveis desde que x seja negativo, e pontos instáveis desde que x seja positivo. A curva mostra que r = -x².
 
	A forma mais comum de representar é invertendo os eixos da figura 3.1.3. Essa figura é chamada de diagrama de bifurcação para a bifurcação de nó de sela. 
· Terminologia:
	A teoria da bifurcação possui por vezes muitas informações e terminologias conflitantes. Por exemplo: a bifurcação de nó de sela é por vezes também conhecida como bifurcação de dobra, ou bifurcação de ponto de inflexão, há também o nome bifurcação do céu azul (para bifurcação de nó de sela com sinal invertido, tipo r - x²). 
· Exemplo: Mostre que o sistema de primeira ordem sofre uma bifurcação de nó de sela a medida que r varia e encontre o valor de r no ponto de bifurcação.
	Uma forma de abordar esse problema de forma geométrica é esquematizar o gráfico de r-x e o gráfico de . Onde a linha dos dois gráficos se encontram, temos que e f(x) = 0, logo corresponde a um ponto fixo do sistema. Agora imagine que começamos a diminuir o valor de r, então a linha r-x começa a abaixar, e os pontos de interseção entre os dois gráficos começam a se aproximar. Em um ponto crítico r = rc, a linha se torna tangente da curva, e então temos o ponto de bifurcação, para r além do rc, a linha não interage com o outro gráfico e não temos pontos fixos.
	Para encontrar o ponto crítico rc, temos que impor a condição de que os gráficos se interseccionam tangencialmente, isso sugere que igualamos as funções e suas derivadas. 	Comment by João Antonio: Somente nesse ponto as equações dos dois gráficos são iguais, e as suas derivadas também são iguais.
e . A segunda equação implica que , então x = 0. Voltando a primeira equação, com x = 0, temos que r =1. Então o rc = 1 que ocorre quando x = 0.
· Forma normal:
	Falamos que a forma é uma forma geral para bifurcações desse tipo, mas no último exemplo usamos . Porém, fazendo uma expansão de Taylor nessa fórmula do exemplo teremos algo parecido com a forma prototípica. 
	Nesse gráfico, temos o gráfico verdadeiro da função do exemplo. Quando fazemos uma expansão de Taylor é como se estivéssemos analisando somente a parte enquadrada, que possui formato parabólico.
· 3.2 - Bifurcação transcrítica
	Em algumas situações, um ponto fixo deve existirpara todos os valores de um parâmetro e nunca consegue ser destruído. Por exemplo, na equação logística há um ponto fixo no 0 da população, independente de como seja a taxa de crescimento, apesar disso esse ponto deve variar sua estabilidade, a medida que o parâmetro varia. A bifurcação transcrítica é o mecanismo padrão para esses tipos de mudança na estabilidade.
	A forma normal para a bifurcação transcrítica é: . A figura abaixo mostra como o campo vetorial varia a medida que r muda. Note que a um x*=0 para todos os valores de r.	Comment by João Antonio: Fazendo x* = 0, teríamos que uma das raízes é x=0 e a outra é x = r. Portanto, independente do valor de r, sempre haverá um ponto fixo em 0.
	Comment by João Antonio: Por causa do rx, ela não só sobe e desce igual a sela nó, mas também translata em x.
	Note a diferença entre a bifurcação transcrítica e a bifurcação de nó de sela. Aqui na transcrítica, os dois pontos fixos não desaparecem após a bifurcação, eles apenas trocam sua estabilidade. Abaixo temos o diagrama de bifurcação.
	Comment by João Antonio: Aqui vemos que para todo x = 0 haverá ponto fixo, porém quando r < 0, ele é estável, e quando r > 0 ele é instável. E para a outra raiz (x=r), temos uma reta, que mostra que quando r < 0, é instável e para r>0 é estável.
· 3.3 - Limiar do laser
	Vamos aplicar esse conhecimento matemático a um exemplo físico. Vamos considerar um tipo particular de laser chamado de laser de estado-sólido, que consiste em uma coleção de átomos “ativos por laser” embebidos em uma matriz sólida delimitada por espelhos que refletem parcialmente cada extremidade. Uma fonte de energia externa é utilizada para “excitar” os átomos de seus estados baixos. Quando a energia externa fornecida é relativamente fraca, o laser age como uma lâmpada, os átomos oscilam de formas independentes e emitem ondas de luz em fases aleatórias. Porém, quando a energia externa fornecida é forte suficiente que atravessa um limiar, os átomos começam a oscilar em fase e o laser é emitido.
· Modelo:
	Um modelo detalhado do laser iria exigir mecânica quântica, no entanto, vamos focar em um modelo simplificado com a física clássica. A variável dinâmica é dada pelo número de fótons no campo do laser (n(t)) e sua variação é dada por: 
O termo de ganho é vem do processo de emissão estimulada no qual fótons estimulam átomos que se excitam e liberam mais fótons. Como esse processo se dá por encontro aleatórios entre fótons e átomos excitados, isso é proporcional a n e ao número de átomos excitados (N(t)), e o parâmetro G > 0, é o coeficiente de ganho. O termo de perda modela o escape de fótons pela parte final do laser, o parâmetro k > 0 é uma taxa constante e seu recíproco 1/k representa o tempo de vida de um fóton no laser.
A ideia principal é: Quando um átomo excitado emite um fóton ele volta a um estado de baixa energia e fica um tempo sem se excitar, então N(t) diminui com emissão de fótons. Suponhamos que na ausência da atividade de laser, o número de átomos excitados é N0, então com a ação do laser, esse número reduz. Assumimos então que: , onde α > 0 é a taxa com que átomos voltam ao seu estado de baixa energia. Com isso teremos que: . Isso é um sistema de primeira ordem de n(t). Encontrando os pontos fixos teríamos que um deles será sempre n*=0, o outro será n*=GN0-k/α G. Nesse caso podemos fazer uma análise, pois caso N0 < k/G, n* seria um ponto fixo negativo e não faz sentido nesse contexto físico. Se N0 = k/G, então n* = 0 e o ponto fixo em 0 seria semi-estável, e caso N0 > k/G, então haverá um ponto fixo positivo. Os gráficos dessas situações está abaixo. 
Aqui o limiar do laser é o N0=k/G que corresponde ao ponto de bifurcação, pois para qualquer valor de N0>k/G, já haveria comportamento de laser. 
	Comment by João Antonio: Esse modelo é simples e demonstra bem um comportamento de laser. Para um modelo mais complexo e mais real deveríamos considerar a mecânica quântica e comportamento dos átomos.
· 3.4 - Bifurcação Forquilha (Pitchfork bifurcartion)
	Esse tipo de bifurcação é comum em problemas físicos onde há simetria. Por exemplo, no caso da viga comentada antes, quando o peso excede seu limite, ela pode envergar para direita ou para a esquerda, então nesse momento o ponto fixo vertical é destruído e surge dois novos pontos fixos correspondentes a envergadura para esquerda ou para direita. 
	Existem dois tipos diferentes de bifurcação de forquilha, o tipo mais simples é o supercrítico e iremos analisar primeiro.
	
· Bifurcação de forquilha supercrítica
	A forma normal da bifurcação supercrítica é: . Note que essa fórmula é invariante para a mudança de variável de . Pois, quando fizermos tudo multiplicado por (-1), voltamos para a mesma fórmula normal. Essa invariância é a simetria esquerda-direita que foi mencionada anteriormente, mais tecnicamente dizemos que o campo vetorial é equivariante. A figura abaixo mostra o campo vetorial para os diferentes valores de r.	Comment by João Antonio: Uma função é considerada par quando f(x) = f(-x)	Comment by João Antonio: Uma função é considerada ímpar quando f(-x) = -f(x)	Comment by João Antonio: Essa fórmula aqui seria considerada ímpar	Comment by João Antonio: Para achar as raízes igual a 0. Ficaria x(r-x²) = 0. Logo a primeira raiz seria x=0, independente do valor de r. Para as outras raízes teríamos r-x²=0, então x²=r, e x = + ou - raiz de r. Logo, se r é negativo, não existe raiz, se r positivo haverá 3 raízes ao todo, se r é 0, apenas o 0 é raiz da função.
	Comment by João Antonio: Quando r<0 a reta correspondente a (-rx) possui a mesma inclinação que o -x³, portanto ocorre essa linearização. Quando r = 0, é o próprio gráfico de -x³, porém quando r>0 a inclinação da reta (rx) é positiva, e contrária a -x³, dessa forma a resultante dos dois gráficos cria essas "barrigas".
	Quando r<0 apenas a origem é um ponto fixo estável, quando r=0, a origem continua como ponto fixo estável, porém agora mais fraca, pois a linearização desaparece, as soluções agora decaem muito mais devagar, esse decaimento é chamado de desaceleramento crítico na física. Quando r>0 a origem se tornam instável e surge dois novos pontos fixos estáveis e simétricos sendo x* = ±√r. 	Comment by João Antonio: É mais fraca pois a inclinação da derivada diminui, porém o que quer dizer linearização desaparece em termos na equação ?
	O termo forquilha fica claro quando analisamos o diagrama de bifurcação. 
· Exemplo:
	O modelo é muito utilizado para mecânica estatística de imãs e redes neurais. Essa equação sofre uma bifurcação supercrítica a medida que o β é variado. 	Comment by João Antonio: β é um parâmetro relacionado com a temperatura. Ele é β= 1/T.
A estratégia aqui utilizada é a de traçar ambos os gráficos separadamentes e depois analisar os pontos de intersecção correspondentes aos pontos fixos. Podemos analisar na figura abaixo que a medida que β aumenta, a inclinação do de tanh(x) aumenta. Dessa forma quando β < 1 há somente um ponto fixo na origem, quando β = 1 e x*=0 ocorre a bifurcação, e quando β > 1 surge dois pontos fixos estáveis e a origem se torna instável. 
	Comment by João Antonio: Em um modelo físico o β está relacionado com a temperatura. Imaginemos que temos vários vetores magnéticos desordenados (origem estável) quando β é pequeno (temperatura alta). A medida que esfriamos o sistema (β aumenta), há um certa tendência dos vetores magnéticos se orientarem para cima ou para baixo (pontos fixos estáveis), dessa forma a orientação aleatória dos vetores passa a ser instável.
· Bifurcação de forquilha subcrítica
	No caso discutido anteriormente o termo cúbico da bifurcação supercrítica é estabilizador: ele age como uma força restauradora que puxa x(t) de volta para x = 0. Se pelo contrário esse termo for desestabilizador, então temos uma bifurcação subcrítica: . O diagrama de bifurcação abaixo. Nesse caso a forquilha do diagrama está invertida, os pontos fixos x*=±√-r são instáveis e existem antes da bifurcação (r<0), por isso o nome subcrítico. Como no casosupercrítico, a origem continua estável para r<0 e instável para r>0. Porém agora, para r>0, ela não faz oposição ao termo cúbico, pelo contrário, o termo cúbico auxilia a guiar as trajetórias para ±∞. Esse termo leva a uma explosão, levando x(t) = ±∞, iniciando em qualquer condição x0 ≠ 0.	Comment by João Antonio: As raízes aqui seriam: x = 0 para todo r e x = + ou - raiz de -r. Dessa forma, se r<0 existirá 3 raízes, porém se r>0, então apenas 0 é raiz. Se r=0, apenas 0 é raiz e o ponto é semi-estável.
	Para sistemas físicos reais é comum utilizar termos de mais alta ordem para “capturar” e evitar explosões de instabilidade. Abaixo temos o diagrama de bifurcação para essas situações.
Para valores de x pequenos, o diagrama se comporta necessariamente como a figura 3.4.6 acima, a diferença está no termo , onde os braços instáveis fazem a curva e se tornam estáveis quando , onde . Esses braços estáveis para altos valores de x existem para todo . 
	Vamos notar alguns pontos interessantes na figura 3.4.8: 
1) Entre os valores de , existem 2 pontos estáveis coexistentes, um localizado na origem e outro no braço de alta amplitude, a condição inicial x0 que determinará para qual ponto fixo estável o fluxo irá. Uma consequência é que a origem será permissível a pequenas perturbações, mas não a grandes perturbações, logo ela é localmente estável. 
2) A existência de estados estáveis diferentes permite pulos ou histerese quando r varia. Imagine um sistema começando em x*=0 e onde r aumenta lentamente, ele permanecerá na origem até r=0, quando essa irá perder estabilidade, a partir de agora qualquer perturbação irá fazer o fluxo pular para um dos dois braços de alta amplitude. Agora caso o parâmetro r comece a diminuir, o fluxo irá voltar no braço de alta amplitude até que r < rs, para então ele ter a possibilidade de saltar de volta para a origem. Essa falta de reversibilidade a medida que o parâmetro varia que é chamado de histerese. 
3) A bifurcação em rs é uma sela-nó. 
	
· 3.5 - Pérola em um aro rotativo super amortecido
	Aqui vamos ter um exemplo de um sistema físico. Uma pérola de massa m desliza em um aro de raio r. O aro é forçado a girar em uma velocidade angular constante de ω sobre seu eixo vertical. O problema aqui é analisar o movimento da pérola no aro, que sofrerá ação tanto da força gravitacional quanto da força centrífuga. Porém adicionaremos ao problema o fator de amortecimento, imaginando que esse sistema esteja embebido em um líquido viscoso que ofereça força de fricção para a pérola.
	Φ Será o ângulo entre a pérola e a parte inferior da direção vertical, e por convenção ele será , pois assim só haverá um ângulo para cada ponto no aro. Então, denota a distância da pérola até o eixo vertical do aro.
	Escrevendo a lei de Newton para a pérola temos que, existe a força gravitacional que puxa para baixo e uma força centrifuga para o lado, além de uma força tangencial de amortecimento . Depois de substituir na força centrífuga e considerar que a aceleração tangencial é dada por, obtemos a equação: 
	Essa é uma equação diferencial de segunda-ordem, porém iremos encontrar algumas condições especiais onde podemos ignorar o termo , e assim transformá-la em um sistema de primeira ordem, para que nossa análise seja mais fácil. 
· Análise do sistema de primeira ordem
	Os pontos fixos dessa equação correspondem às posições de equilíbrio para a pérola, nós esperamos que em posição de descanso a pérola possa ficar em baixo ou em cima do aro. Isso é comprovado quando observamos que para mgsinΦ = 0, sempre existirá ponto fixo quando o sinΦ = 0, logo haverá Φ *= 0 e Φ *= π. 
Porém, pode ainda haver mais pontos fixos, se , o que quer dizer que o aro está girando rápido o suficiente. Esses pontos fixos irão satisfazer . Para visualizá-los vamos introduzir um parâmetro e resolver graficamente. 
Plotamos cosΦ vs Φ (Figura 3.5.4) e buscamos por intersecções entre a função constante 1/γ. Para γ<1 não nenhuma intersecção, porém para γ>1, há dois pares de intersecções simétricos. Se analisarmos quando γ -> ∞ essas intersecções se aproximam de ±π/2.
A figura 3.5.5 mostra os pontos fixos para os casos onde γ<1 e γ>1.
 	Comment by João Antonio: A esquerda o aro parado ou girando a baixas velocidades. Em baixas velocidades a força centrífuga não é forte o suficiente para equivaler a força gravitacional e portanto o ponto inferior é estável.	Comment by João Antonio: A direita quando o aro gira a partir de certa velocidade crítica. Quando girando rápido a força centrífuga se torna mais forte, portanto a pérola sobe até onde a força centrífuga e gravitacional se equilibram. Criando dois novos pontos estáveis simétricos, e tornando a parte de baixo instável.
Para finalizar nossas análises, podemos plotar todos os Φ por γ e observar o diagrama de bifurcação. A figura está abaixo. 
	Comment by João Antonio: A bifurcação de forquilha supercrítica ocorre quando γ =1
· 3.6 - Bifurcações imperfeitas e catástrofes 
	As bifurcações de forquilha são comuns em problemas que apresentam simetrias, como por exemplo no caso da pérola no aro rotativo, que possui uma simetria perfeita entre esquerda e direita do aro. Porém no mundo real, em muitas circunstâncias simetrias são aproximadas, e uma imperfeição leva a ligeira diferenças entre esquerda e direita. Vamos ver os sistemas onde essas imperfeições estão presentes. Considere: 
	Quando h = 0 nós temos a forma normal da bifurcação de forquilha supercrítica e há uma perfeita simetria entre x e -x, porém quando h ≠ 0, essa simetria é quebrada. Por isso chamamos h de parâmetro de imperfeição. 
	Esses sistemas são um pouco mais complexos de analisar do que as bifurcações anteriores, pois aqui lidamos com dois parâmetros (h e r), para facilitar podemos manter r fixo e variar apenas o h. Podemos esboçar os gráficos y= rx - x³ e y = -h, separadamente e observar suas intersecções. Quando r ≤ 0, há somente um ponto de intersecção entre os dois gráficos. Já quando r >0 pode haver um, dois ou três ponto de intersecção, dependendo do valor de h. 
	O caso crítico ocorre quando a reta de y=-h é apenas tangente da região de máximo local (ou mínimo local), então temos uma bifurcação sela-nó. Para encontrarmos o valor de h nesse ponto, temos que notar que a função tem valor em máximo local quando , logo e então o valor da função cúbica nesse local é . Então a bifurcação sela-nó ocorre quando h=±hc(r), onde . 	Comment by João Antonio: Pois a derivada da função naquele ponto de máximo e de mínimo local é igual a 0
	Para resumir os resultados podemos plotar as curvas de bifurcação de h=±hc(r), em um plano (r,h). Podemos notar que no ponto (r,h) = (0,0) as duas curvas se encontram tangencialmente, esse ponto é chamado de ponto de cúspide e é onde ocorre uma bifurcação de 2 codimensões (significa que temos que ajustar os dois parâmetros para alcançar essa bifurcação, até agora todas as bifurcações podiam ser alcançadas com apenas 1 parâmetro, e são chamadas de bifurcações 1 codimensão). 
	Comment by João Antonio: Para valores de h maiores que hc temos apenas 1 ponto, para valores de h menores que hc temos 3 pontos fixos. Para valores de r <0 temos apenas 1 ponto. Para valores de h = hc temos 2 pontos (em cima da linha)
	Um gráfico como esse é chamado de diagrama de estabilidade e mostra os diferentes tipos de comportamento que ocorre quando nos movemos por um espaço de parâmetro (o plano (r,h)). 
	Vamos analisar também o diagrama de bifurcação para um h fixo. 
	Comment by João Antonio: No gráfico da direita há uma quebra de simetria com relação ao ponto instável que fica levemente deslocado para baixo. E não perfeitamente centralizado como antes.
	Nesse caso podemos observar que quando h=0, a bifurcação se comporta normalmente como uma forquilha supercrítica. Porém, quando h ≠ 0, a forquilha se quebra em duas partes. O ramo superior consiste inteiramente de pontos fixos estáveis, e não há mais uma transição no 0, agora os valores apenas continuam subindo à medida quer aumenta. Já o ramo inferior consiste de uma parte estável e uma instável, e somente é acessível em caso de haver uma grande perturbação.
	Podemos também plotar o diagrama em função de h com r constante. Quando r ≤ 0, há somente um ponto fixo para cada valor de h, porém para r > 0 existem 3 pontos fixos quando h < hc(r) e somente um, para h > hc(r).
	Comment by João Antonio: Analisando o gráfico da direita podemos ver que se h=0, temos 3 pontos perfeitamente simétricos. Porém quando h não é 0, o ponto instável é deslocado para um lado ou para outro.
	A última forma de visualizarmos nosso resultado é em um gráfico tridimensional. Nesse gráfico temos o eixo x projetado sobre o espaço de parâmetro (r,h). Assim podemos visualizar a superfície de catástrofe da cúspide. A superfície se dobra em si mesma em certos lugares e sua projeção no plano (r,h) leva as curvas de bifurcação mostradas em 3.6.2. Uma seção desse gráfico fixada em h produz a imagem 3.6.3 e uma fixada em r produz a imagem 3.6.4.
	O termo catástrofe é motivado pelo fato de que a medida que os parâmetros mudam o estado do sistema pode deslizar sobre a superfície superior e cair descontinuamente para a superfície inferior (3.6.6). 
Um fato interessante de notar é que com r grande e diminuindo h o sistema sofre a catástrofe, porém se voltarmos a aumentar h, ele não tende a voltar, pois irá parar embaixo da dobra. Ou seja, uma vez feito o caminho de catástrofe, o sistema não consegue voltar pelo mesmo caminho. 
· 3.7 - Surto de Insetos 
	Vamos analisar agora um exemplo biológico de bifurcação e catástrofe, para isso iremos olhar para o modelo do surto de insetos chamados de Choristoneura. Esses insetos constituem uma das maiores pragas no Canadá, de tal forma que quando ocorrem surtos conseguem desfolhar e matar a maioria dos abetos na florestas. 
	Existe um modelo muito interessante para a dinâmica entre os insetos e a floresta, simplificando podemos considerar como escalas de tempo diferente. Os insetos possuem uma escala de tempo rápida, podendo aumentar sua densidade em até 5 vezes em um ano, dessa forma sua escala de tempo é em meses. Já a floresta possui uma escala de tempo lenta, sendo que as árvores levam de 7-10 anos para substituir suas folhagens e possuem um tempo de vida de 100-150 anos, sem os insetos. Dessa forma, considerando a dinâmica dos insetos, podemos considerar as variáveis da floresta como constantes. No final da análise, permitiremos que as variáveis da floresta variem lentamente. 
· Modelo
	O modelo proposto para a dinâmica dos insetos é: . Na ausência de predadores a população de insetos N(t) é assumida a crescer logisticamente com taxa de crescimento R. A capacidade do meio (K) depende da quantidade de folhagens existentes nas árvores, e como esse é o parâmetro que varia lentamente, trataremos como fixo. O termo p(N) representa a taxa de morte devido a predação (principalmente por aves). Quase não há predação quando os insetos são escassos, porém quando sua população cresce, além de um nível crítico A a predação cresce rapidamente e então atinge um platô (as aves estão comendo o mais rápido que elas conseguem). p(N) tem essa forma: , onde A e B > 0. 
Logo o modelo completo é : 
· Formulação adimensional
	O modelo possui 4 parâmetros: R, K, A e B. Uma das possíveis formas de não dimensionalizar um sistemas é pegando A e K, que possuem a mesma dimensão que N e fazer N/A e N/K como níveis adimensionais da população. As vezes não dimensionalizar um sistema é feito por tentativa e erro, porém aqui queremos fazer de tal forma que todos os termos adimensionais sejam puxados para a parte logística da equação e nenhum fique na parte da predação. Assim iremos fazer e dividir tudo por B. Logo teremos: . Agora vamos colocar um tempo adimensional τ e os grupos r e k que representam a taxa de crescimento adimensional e capacidade do meio adimensional, de tal forma que: , e então teremos que é nossa forma adimensional final. 	Comment by João Antonio: N é o número de indivíduos, K é o número de indivíduos que o meio suporta e A é o número de individuos onde a predação aumenta o nível. Logo todos representam a mesma dimensão: número de indivíduos	Comment by João Antonio: Aonde havia N, virou Ax. Por isso Adx. Pois antes era dN
· Análise dos pontos fixos
	Analisando a forma adimensional final podemos notar que há um ponto fixo trivial x* = 0, que será sempre instável, tendo em vista que para qualquer valor de x próximo de 0 a população tende a crescer exponencialmente, e que para valores de x pequenos a predação é quase insignificante. 
	Os outros pontos fixos são dados pela solução: . Podemos analisar facilmente de forma gráfica, basta plotar o lado esquerdo e o lado direito da equação. O lado esquerdo representa uma reta onde k intercepta o eixo x e r intercepta o eixo y. Já o lado direito da equação é uma curva que é independente dos parâmetros então quando variamos r e k a linha se move, mas a curva não.
Analisando a figura ao lado podemos notar que para qualquer k pequeno e r>0, teremos apenas um intersecção, porém para valores grande k, podemos ter uma, duas ou três intersecções, dependendo do valor de r.
Vamos imaginar que há três interseções a, b e c, a medida que abaixamos o valor de r com k fixo, os pontos b e c se aproximam um do outro até que tornam-se apenas um ocorrendo uma bifurcação sela-nó (no ponto onde a reta tangencia a curva). Após a bifurcação, o único ponto fixo restante seria a e x*=0. Similarmente a e b pode colidir caso o valor para r seja aumentado. 
	Para definir a estabilidade devemos nos lembrar que x*=0 é instável, e que essa estabilidade sempre se alterna ao longo do eixo x, portanto a seria estável, b seria instável e c seria estável. 
Para os valores de r e k onde haveria 3 interseções, o campo vetorial seria similar a figura ao lado. O menor ponto estável a é chamado de refúgio e o maior ponto estável c é chamado de surto. 
	Do ponto de vista de controle de peste, queremos manter a população no ponto de refúgio e longe do ponto de surto. O destino do sistema é controlado pela condição inicial x0. Um surto irá ocorrer se, e somente se, x0 > b, nesse sentido o ponto instável b atua como um limiar. Um surto também pode ser gerado em caso de os valores r e k produzirem uma bifurcação sela-nó e o ponto estável a desaparecer, nesse caso a população irá saltar de repente para o ponto estável c, a situação fica pior pelo efeito de histerese, onde mesmo que os parâmetros sejam redefinidos para os valores antes do surto, a população não irá cair de volta para o refúgio. 
· Calculando a curva de bifurcação
	Para calcular as curvas no espaço de fase (k,r) iremos considerar a forma paramétrica (k(x), r(x)) onde x passa por todos os valores positivos. Como discutido anteriormente a condição para a bifurcação sela-nó é que a reta intersecciona a curva tangencialmente, então:
 e , após a derivada temos: , pegando essa equação e substituindo na primeira teremos: por fim, pegando essa e substituindo em temos: . A condição k>0 implica que x está restrito a a x > 1. 
	Agora podemos plotar as curvas de bifurcação no plano e seus pontos (k(x), r(x)) no espaço (k,r) (Figura 3.7.5). As diferentes áreas do gráfico estão marcadas de acordo com os pontos fixos. Para r pequenos há apenas o ponto de refúgio a, e para r grandes apenas o ponto c é estável. Na região biestável, ambos os estados (a e c) coexistem. A figura 3.7.6 é a visualização tridimensional. 
 	Comment by João Antonio: A catástrofe do surto, acontece exatamente quando meu sistema está no refúgio, com k alto e r baixo. Então meu r subitamente cresce, ocorre uma bifurcação sela-nó e o ponto a deixa de existir. Logo a população dará uma salto pela região biestável irá direto para a região de surto.
Parte 2 - Fluxos Bidimensionais 
· Capítulo 5 - Sistemas Lineares
· 5.0 - Introdução 
	Como vimos no espaço de fase de uma dimensão o fluxo é extremamente confinado. Todas as trajetórias são forçadas a se moverem monotonicamenteou se manter constante. Em espaços de fases com altas dimensões as trajetórias possuem um vasto leque de comportamentos dinâmicos possíveis. Ao invés de estudarmos toda essa complexidade de uma vez, iremos analisar com uma classe mais simples de sistemas de alta dimensão, chamados de sistemas lineares de duas dimensões. 
· 5.1 - Definições e Exemplos
	Um sistema linear de duas dimensões é um sistema com forma: ,
Onde a, b, c e d são parâmetros. Podemos denotar vetores e escrever esse sistema de forma mais compacta , onde . Como o sistema é linear no sentido que x1 e x2 são soluções, então qualquer combinação linear c1x1 + c2x2 também é solução. Perceba que , quando x = 0, então x* = 0 é sempre um ponto fixo para qualquer matriz A. 
	As soluções de podem ser visualizadas como trajetórias se movendo sobre um plano (x,y), nesse contexto chamado de plano de fase.	Comment by João Antonio: Antes chamávamos de espaço de fase pois era unidimensional. Agora que é bidimensional, chamaremos de plano de fase
		
· Exemplo 5,1,1: 
	A vibração de uma massa pendurada em uma mola é dada pela equação diferencial: , onde m é a massa e k a constante da mola, e x o deslocamento da mola e relação ao ponto de equilíbrio. Esse sistema é chamado de oscilador harmônico. 	Comment by João Antonio: Para esse sistema podemos encontrar uma solução analítica facilmente, tendo em vista que é uma eq. dif. linear. Porém, iremos analisar qualitativamente, como fazemos com as não-lineares, para as quais é difícil encontrar resposta analítica.
	O movimento no plano de fase é determinado pelo campo vetorial que vem da equação diferencial. Para encontrar esse campo vetorial, devemos notar que o estado do sistema é caracterizado por sua posição atual x e sua velocidade v. Se nós sabemos ambos os valores x e v então a equação determina unicamente o estado futuro do sistema. Entretanto se reescrevermos essa equação em termos de x e v: , onde a primeira equação é somente a definição de velocidade e a segunda é a equação diferencial reescrita em termos de v. Para simplificar a notação podemos usar . Então teremos: . Esse sistema corresponde ao vetor em cada ponto (x,v) e portanto representa um campo vetorial no plano de fase.	Comment by João Antonio: Para esse sistema podemos encontrar uma solução analítica facilmente, tendo em vista que é uma eq. dif. linear. Porém, iremos analisar qualitativamente, como fazemos com as não-lineares, para as quais é difícil encontrar resposta analítica.	Comment by João Antonio: Para esse sistema podemos encontrar uma solução analítica facilmente, tendo em vista que é uma eq. dif. linear. Porém, iremos analisar qualitativamente, como fazemos com as não-lineares, para as quais é difícil encontrar resposta analítica.
	Por exemplo, vamos analisar como o campo vetorial se parece quando estamos no eixo x. Então v = 0 e . Logo, os vetores apontam verticalmente para baixo para x positivo e verticalmente para cima para x negativo. A medida que x se torna maior, o vetor se torna mais longo. Similarmente no eixo v, o campo vetorial é , e os vetores apontam para direita quando v > 0 e para a esquerda quando v < 0. A medida que nos movemos no plano de fase, os vetores mudam de direção como na figura 5.1.2. 
	
	Vamos imaginar um fluxo no plano de fase com velocidade local dada por . Então para encontrar a trajetória começando em (x0, v0), nós colocamos uma partícula imaginária ou ponto de fase em (x0, v0) e observamos como ela é carregada pelo fluxo. O fluxo na figura acima gira em torno da origem. A origem é especial, pois um ponto de fase colocado lá permanece sem movimento, pois , quando (x,v) = (0,0), então a origem é um ponto fixo. Mas um ponto de fase começando em qualquer outro lugar irá circular em torno da origem e eventualmente retornar ao ponto de começo. Essas trajetórias formam órbitas fechada como mostradas no retrato de fase do sistema (figura 5.1.3). 	Comment by João Antonio: Essa figura 5.1.3 no contexto físico seria de um sistema onde não há perda de energia. Logo, ela iria se conservar. Sabemos que em um sistema real, haveria perda de energia e de velocidade, portanto as trajetórias iriam se parecer com espirais que perdem velocidade e posição até atingir a origem.
	O ponto fixo (x,v) = (0,0) corresponde a equilíbrio estático do sistema: a massa repousa na posição de equilíbrio e vai permanecer lá para sempre, já que a mola está relaxada. As órbitas fechadas podem ser interpretadas como movimento periódicos (oscilações da massa), para ver isso vamos analisar alguns pontos da órbita. 
	Quando x é negativo, a velocidade v é 0, isso corresponde a um extremo da oscilação onde a mola é mais comprimida, mas no próximo instante x aumenta e v agora é positivo, a massa é puxada de volta para a posição de equilíbrio, mas dessa vez ela passa por x = 0 com uma alta velocidade e então ultrapassa essa posição. A massa eventualmente chega ao outro extremo onde x é positivo e v é 0, porém logo ela é puxada de volta e completa o ciclo. 
	
O formato das órbitas fechadas tem uma interpretação física interessante. Ela possuem formato de ellipses dadas pela equação , onde C >= 0 é uma constante. 
	
· Exemplo 5.1.2: 
	Para o sistema linear , onde , vamos esquematizar o retrato de fase a medida que a varia do - ∞ para o + ∞. 
	O sistema é que através de uma multiplicação de matrizes leva a , onde podemos ver que as duas equações são desacopladas, já que não há x na equação y e vice versa. Podemos resolver cada equação separadamente e obtemos: .
	Os retratos de fases para diferentes valores de a é visto abaixo:
	Comment by João Antonio: Aqui quando você começa no eixo x ou y vc só fica nesse eixo pq a solução é desacoplada.
	Quando a < 0, x(t) também decai exponencialmente e todas as trajetórias se aproximam da origem a medida que . Entretanto a direção da aproximação depende do tamanho de a comparado a -1. Se a < -1 então x(t) decai mais rapidamente que y(t) e as trajetórias se aproximam da origem tangencialmente ao eixo mais lento (y(t)), a explicação para isso é que como x decai rapidamente e y demora para decair, a trajetória chega ao eixo y e decai horizontalmente até a origem. Nessa figura 5.1.5a, o ponto fixo x* = 0 é chamado de nó estável. 
	Quando a = -1 temos y(t)/x(t) = y0/x0 = constante, e todas as trajetórias são linhas retas até a origem. Esse é um caso muito especial que ocorre porque a taxa de decaimento nas duas direções são exatamente iguais. Nesse caso x* é chamado nó simétrico ou estrela (5.1.5b). 
	Quando -1 < a < 0 nós temos novamente um nó estável, porém as trajetórias se aproximar de x* ao longo da direção x, que possui o decaimento mais lento nesse range de a (5.1.5c). 
	Algo diferente ocorre com a = 0, onde , então toda uma linha de pontos fixos sobre o eixo x. Todas as trajetórias se aproximam desses pontos fixos por linhas verticais (5.1.5d).
	Quando a > 0, x* se torna instável devido ao crescimento exponencial na direção x. A maioria das trajetórias fogem de x* rumo ao infinito. Uma exceção ocorre se a trajetória começa com o eixo y, então ele caminha até a origem. No tempo tendendo ao infinito positivo, as trajetórias são assintóticas ao eixo x, porém com o tempo tendendo ao infinito negativo (para trás), as trajetórias tendem ao eixo y. Aqui x* = 0 é chamado de ponto de sela. O eixo y é chamado de variedade estável do ponto de sela x*, definido como o conjunto de condições iniciais x0 tais que quando Da mesma forma, a variedade instável de x* é o conjunto de condições iniciais tais que quando Aqui a variedade instável é o eixo x (5.1.5e). 	Comment by João Antonio: Uma trajetória típica se aproxima da variedade instável quando tempo vai para infinito positivo, e para uma variedade estável quando tempo vai para negativo.
· Linguagem de estabilidade
	Vamos introduzir algumas linguagens para discutir a estabilidade de diferentes tipos de pontos fixos. Essa linguagem vão ser legais para analisar a estabilidade de pontos fixos de sistemas não-lineares. 
	Nós dizemos que x*=0 é um pontofixo atrator (Figuras 5.1.5a-c), quanto todas as trajetórias que começam próximas a x* tendem a ele a medida que . Isso é que quando . De fato x* atrai todas as trajetórias no plano de fase, por isso é chamado de atrator global. 
	Uma noção diferente de estabilidade é dada quando analisamos as trajetórias para todos os tempos, e não apenas . Nós dizemos que um ponto fixo x* é Liapunov estável se todas as trajetórias que começam suficiente perto de x* permanecem perto a ela por todo o tempo. Nas figuras 5.1.5a-d, a origem é Liapunov estável.
	Na figura 5.1.5d podemos ver que o ponto fixo pode ser Liapunov estável, mas não é um atrator. Quando isso ocorre denominamos neutramente estável. Trajetórias próximas não são atraídas nem repelidas por um ponto neutramente estável. Também é possível para um ponto fixo ser atrator, mas não ser Liapunov estável, esse exemplo é dado pelo campo vetorial, , no círculo. Aqui atrai todas as trajetórias quando , mas não é Liapunov estável, pois há trajetórias que começam muito próximas de e se afastam do ponto até retornarem a ele. 
	Quando um ponto fixo é ambos, Liapunov estável e atrator, chamamos ele de estável ou assintoticamente estável. 
	Quando x* é instável, ele não é nem atrator nem Liapunov estável. Aqui seria o exemplo da figura 5.1.5e. 
	
· 5.2 - Classificação dos Sistemas Lineares
	Nós queremos estudar agora todos os casos gerais para qualquer matriz arbitrária 2x2 e classificar todos os possíveis retratos de fase que podem ocorrer. 
	Precisamos nos lembrar que os eixos x e y nas abordagens anteriores desempenham um importante papel geométrico. Eles determinam a direção da trajetória quando . Eles também contém trajetórias de linha reta que são especiais: uma trajetória começando em uma coordenada desses eixos permanece nesse eixo para sempre e exibem crescimento exponencial simple ou decaimento ao longo dele. 
	Para casos gerais, queremos encontrar os análogos dessas trajetórias de linha reta, por isso buscamos por trajetórias na forma: , onde v ≠ 0 é algum vetor fixo a ser determinado e λ é a taxa de crescimento, também a ser determinada. Se essas soluções existem, elas correspondem a movimento exponencial ao longo da linha expandida pelo vetor v.
	Para encontrar as condições de v e λ , nós substituímos em e obtemos , cancelando o termo exponencial temos: . Dizemos que as soluções da linha reta existem se v é um autovetor de A com um autovalor λ correspondente. Nesse caso, a solução é chamada de autosolução. 
	Para encontrar um autovalor da matriz A, usamos a equação caraterística , onde I é a matriz identidade. Para uma matriz 2x2 , essa equação se torna , expandindo o determinante temos , onde , então os autovalores serão: as soluções da equação quadrada. A situação típica é os autovalores serem distinto: λ1 ≠ λ2. Nesse caso, um teorema da álgebra linear estabelece que os autovetores correspondentes v1 e v2 são linearmente independentes e portanto abrange todo o plano (Figura 5.2.1). Em particular, qualquer condição inicial x0 pode ser escrita como combinação linear de autovetores, dizemos que x0 = c1v1 + c2v2. Essa observação permite que possamos escrever a solução geral para x(t) de forma simples: . 	Comment by João Antonio: Para mais detalhes ver o caderno de Introdução a Álgebra Linear	Comment by João Antonio: Isso é uma combinação linear das soluções de xponto = Ax e portanto também é solução. Além de cumprir com o requisito de x(0) = x0.	Comment by João Antonio: Analisando a exponencial, podemos inverter o signal dos autovalores ou inverter o sinal do tempo. Ambos dão na mesma coisa.
· Exemplo 5.2.1: 
	Vamos resolver o problema para a condição inicial (x0, y0) = (2 , -3).
	A matriz correspondente é , primeiro iremos encontrar os autovalores de matriz, que possui e , que leva a equação característica e . 
	Agora para encontrar os autovetores usamos Av = λv, ou (A - λI)v = 0 . Dado um autovalor λ, o correspondente autovetor v = (v1, v2) satifaz e para λ =2, temos que , que possui uma solução não-trivial (v1,v2) = (1,1). Similarmente para λ = -3, temos (v1,v2) = (1, -4). Em suma, e agora iremos escrever a solução geral como combinação linear das autosoluçoes: . Por fim podemos encontrar c1 e c2 que satisfazem a condição inicial (x0, y0) = (2, -3). Em t = 0, temos que é equivalente ao sistema algébrico . A solução é c1 = 1 e c2 = 1, substituindo de volta temos: para a solução do problema do valor inicial. 	Comment by João Antonio: Ver o caderno de IAL	Comment by João Antonio: Outros vetores como (4,4) também podem ser solução. Porém vale notar que esses são construídos com escalares multiplicando a base (1,1).
· Exemplo 5.2.2: 
	Agora iremos esquematizar o retrato de fase do sistema anterior. Os autovalores são λ = 2 e λ = -3. Consequentemente a primeira autosolução cresce exponencialmente e a segunda decai. Isso quer dizer que a origem é um ponto de sela. A varíavel estável é a correspondente ao v2 = (1,-4) que é correspondente a autosolução que decai, por outro lado v1 = (1,1) corresponde a variável instável, que é a que cresce. Como em todo ponto sela, uma trajetória típica se aproxima da variável instável quando e pra variável estável quando .
· Exemplo 5.2.4: 
O que acontece se os autovalores são números complexos ? Nesse caso, o ponto fixo pode ser um centro ou uma espiral. Já vimos um centro no exemplo do oscilador harmônico, onde a origem está cercada por órbitas fechadas. Nesse caso, o centro é neutralmente estável. Uma espiral deve ocorrer se o oscilador harmônico for ligeiramente amortecido, e então a trajetória vai falhar em fechar um ciclo pois o sistema perde energia a cada volta.
Para justificar isso, vamos lembrar que os autovalores são dados por e então para ser complexo, deve ocorrer: . Para simplificar a notação vamos escrever , onde com para que os autovalores sejam distintos e a solução geral seja dada por , mas agora c e v são complexos, uma vez que os autovalores também são. Isso implica dizer que x(t) envolve combinação linear de . Pela fórmula de Euler portanto x(t) é uma combinação envolvendo e . Esses termos representam oscilações exponencialmente decadentes se e crescimento de oscilações se . Os pontos fixos correspondentes são espirais estáveis e espirais instáveis. Se os autovalores forem puramente imaginários , então todas as soluções são periódicas com período . As oscilações têm amplitude fixa e o ponto fixo é um centro. 	Comment by João Antonio: i = sqrt(-1)	Comment by João Antonio: Uma exponencial complexa é isso aqui.	Comment by João Antonio: Se o Tau do sistema for igual a 0. Então o alfa será igual a zero e os autovalores são puramente imaginários. Logo, o sistema é um centro.	Comment by João Antonio: Período = Tempo que demora para dar uma volta completa.
· Exemplo 5.2.5: 
	Na nossa análise do caso geral, assumimos que os autovalores são distintos. Porém agora vamos suporte que os autovalores são iguais. Para isso, vamos pensar em λ 1 = λ 2 = λ. Então há duas possibilidades: ou há dois vetores independentes correspondente à λ , ou há somente um. 
	Se existir dois autovetores independentes, então eles formam o plano e todo vetor é um autovetor com o mesmo autovalor λ. Para visualizarmos isso, vamos escrever um vetor arbitrário x0 como uma combinação linear de dois autovetores: x0 = c1v1 + c2v2. Então, Ax0 = A(c1v1 + c2v2) = c1λ v1 + c2λ v2 = λ x0, dessa forma x0 é também um autovetor com autovalor λ. Desde que a multiplicação por A estende cada vetor por um fator λ, então a matriz deve ser um múltiplo da identidade: . Então se λ ≠ 0, todas as trajetórias são linhas retas através da origem e o ponto fixo é um nó estrela. Por outro lado se λ = 0, então todo o plano é preenchido por pontos fixos (o sistema é ).	Comment by João Antonio: Aqui, todos os vetores são autovetores pois o decaimente de x e y são iguais. Então eles serão sempre trajetórias retas.
	Outra possibilidade é existir apenas um autovetor (o autoespaço correspondente a λ é unidimensional). Por exemplo, qualquer matrizna forma , com b ≠ 0, tem somente um autoespaço unidimensional. Quando há somente uma autodireção, o ponto fixo é um nó degenerado. Um retrato de fase típico é mostrado na figura 5.2.6. Quando e também quando toda as trajetórias se tornam paralelas a única autodireção disponível. 
 
	Uma boa forma de pensar no nó degenerado é imaginar que ele foi criado pela deformação de um nó ordinário. O nó ordinário tem duas autodireções independentes; todas as trajetórias são paralelas a autodireção lenta quando e a direção rápida quando Agora suponha que começamos a mudar os parâmetros do sistema de uma forma que as duas autodireções são “coladas” juntas. Então algumas das trajetórias são esmagadas na regiões entre o colapso das duas autodireções, enquanto as trajetórias sobreviventes são puxadas para formar o nó degenerado. 
· Classificação dos pontos fixos
	Vamos ver um esquema de classificação simples, onde conseguimos mostrar os tipos de estabilidade de todos os diferentes pontos fixos em um simples diagrama. 
 
	Os eixos são o traço e o determinante da matriz A. Todas as informações no diagrama estão implicadas pelas seguintes fórmulas. . Para chegar ao diagrama nós fazemos as seguintes observações:
1) Se Δ < 0, o autovalores são reais e tem sinais opostos, então o ponto fixo é ponto de sela.
2) Se Δ > 0, os autovalores também são reais, com o mesmo sinal (nós), ou conjugados complexos (centros e espirais). Nós satisfazem e espirais satisfazem . A parábola é o limite entre nós e espirais. Nós estrela e nós degenerados então sobre essa parábola. A estabilidade dos nós e espirais é determinada por τ. Quando τ < 0, ambos autovalores são partes reais negativas, então o ponto fixo é estável. Espirais instáveis e nós tem τ > 0. Centros neutralmente estáveis vivem no limite τ = 0 onde os autovalores são puramente imaginários. 
3) Se Δ = 0, pelo menos um dos autovalores é 0. Então a origem não é um ponto fixo isolado. Existe uma linha inteira de pontos fixos (como na figura 5.1.5d) our um plano de pontos fixos, se A = 0.
	Pelo diagrama podemos notar que pontos de sela, nós e espirais são os tipos mais encontrados de pontos fixos, já que eles ocorrem em grande parte da região do plano (Δ , τ ). Centros, estrelas, nós degenerados e pontos fixos não isolados são casos de borda, que ocorrem somente na curva do plano (Δ , τ ). Nesses casos de borda, os centros são os mais importantes, e ocorrem comumente em sistemas mecânicos com ausência de atrito, onde a energia é conservada. 
· 5.3 - Casos de amor
	Para exemplificar tudo que estudamos vamos analisar um modelo que descreve casos de amor (é apenas um modelo de brincadeira). Aqui na nossa história iremos considerar Romeu que está apaixonado por Julieta, porém aqui Julieta é uma amante inconstante. Quanto mais Romeu ama Julieta, mais Julieta quer fugir de Romeu, porém quando ele se cansa e desiste dela, Julieta começa a achar ele estranhamente atraente e vai atrás dele. Romeu por sua vez ama muito quando ela o ama, porém odeia muito quando ela o despreza. 
	Vamos considerar que R(t) = Amor/Ódio de Romeu por Julieta no tempo t e J(t) é o Amor/Ódio de Julieta por Romeu no tempo t. Valores positivos significam Amor e valores negativos significam Ódio. Então um modelo para o romance deles é: , onde os parâmetros a e b são positivos. 	Comment by João Antonio: Romeu ama ou odeia Julieta proporcional ao amor ou ódio dela. Já Julieta ama quando Romeu odeia, e odeia quando Romeu ama.
	A historia triste desse caso de amor, é que eles nunca irão sair de um ciclo de amor e ódio. O sistema tem um centro em (R, J) = (0,0). Em ¼ do círculo eles possuem amor mútuo um pelo outro.
	Agora vamos considerar a previsão dos apaixonados governado pelo sistema linear geral: , onde os parâmetros a, b, c e d deve possuir o mesmo sinal. A escolha de sinais específica os estilos românticos. Quando temos a > 0 e b > 0 significa que Romeu é fica feliz em ser amado por Julieta e é estimulado a sentir os mesmos afetos por ela. Com a < 0, b >0 temos um estilo de “amante cuidadoso” que fiz feliz em ser amado, mas receoso em nutrir os mesmos sentimentos. 
O que acontece quando dois “amantes cuidadosos” ficam juntos ? O sistema seria: , com a < 0 e b > 0. Nós devemos suspeitar que isso irá depender do tamanho relativo de a e b, então vamos analisar. A matriz correspondente é , com . Então o ponto fixo (R,J) = (0,0) é um ponto de sela se a2 < b2 e é um nó estável se a2 > b2. Os autovalores e correspondentes autovetores são: . Desde que a + b > a - b, o autovetor (1,1) se torna a variedade instável quando a origem é um ponto de sela e se torna a autodireção lenta, quando a origem é um ponto estável. 	Comment by João Antonio: a é o parâmetro de cautela e b é o parâmetro de resposta ao estímulo amoroso do outro.
Se a2 > b2, o relacionamento sempre falha na indiferença mútua. Isso porque a cautela excessiva pode levar a apatia.	Comment by João Antonio: Aqui a indiferença entre ambos, é o 0,0. Já que não seria nem amor, nem ódio.
Se a2 < b2 , os amantes são mais sensíveis um com o outro. Agora o relacionamento é explosivo, dependendo dos sentimentos iniciais seu relacionamento pode se tornar um grande amor ou uma grande guerra. Em qualquer caso, todas as trajetórias se aproximam da linha R = J, então seus sentimentos são mútuos. 
· Capítulo 6 - Plano de fase
· 6.0 - Introdução 
Começaremos nosso estudo com sistemas não-lineares de duas dimensões. Vamos primeiramente considerar algumas propriedades gerais, depois podemos classificar os tipos de pontos fixos baseado no nosso conhecimento dos sistemas lineares. 
· 6.1 - Retrato de fase
	A forma geral para um campo vetorial no plano de fase é: , onde f1 e f2 são funções dadas. Esse sistema pode ser escrito de forma mais compacta em notação de vetor como: , onde x = (x1, x2) e f(x) = (f1(x), f2(x)). Aqui x representa um ponto no plano de fase e é o vetor velocidade naquele ponto. Ao fluir ao longo do campo vetorial, um ponto de fase traça uma solução x(t), correspondente a uma trajetória sinuosa através do plano de fase. Entretanto, o plano de fase inteiro é preenchido com trajetórias, desde que cada ponto possa comprir o papel de condição inicial. 
	Para sistemas não-lineares, não há nenhuma esperança de encontrar as trajetórias analiticamente. Mesmo quando fórmulas explícitas estão disponíveis, elas são muito complicadas prover qualquer discernimento. Ao invés disso, tentamos determinar qualitativamente o comportamento das soluções. Nosso objetivo é encontrar o retrato de fase do sistema diretamente das propriedades de f(x). Um enorme variedade de retratos de fase é possível, um exemplo é mostrado na figura 6.1.2. 
	Algumas das principais características de um retrato de fase:
1) Os ponto fixos, como A, B e C da figura 6.1.2. Pontos fixos satisfazem f(x*) = 0, e correspondem aos estados estacionários ou equilíbrios do sistema. 
2) As órbitas fechadas como D da figura 6.1.2. Esse correspondem as soluções periódicas. Ou seja, soluções para qual x(t + T) = x(t) para todo t, e para alguns T>0
3) O arranjo de trajetórias perto dos pontos fixos e órbitas fechadas. Por exemplo, o padrão do fluxo próximo dos pontos A e C são similares, e diferentes do fluxo próximo do ponto B.
4) A estabilidade ou instabilidade dos pontos fixos e órbitas fechadas. Aqui, os pontos fixos A, B e C são instáveis, pois trajetórias próximas tendem a se mover para longe deles, porém a órbita fechada D é estável. 
	Comment by João Antonio: Diferença pro sistema linear é que lá só tem um ponto fixo e é sempre na origem.	Comment by João Antonio: Trajetórias que tendem ao ciclo não tinham. Pois ou era várias órbitas fechadas, ou eram espirais instáveis e estáveis.
· Computação numérica dos retratos de fase
	Algumas vezes estamos interessados em aspectos quantitativos do retrato de fase. Com sorte, integração numérica de não é muito mais difícil do que o de . Nós sempre vamos usar o método de Runge-Kutta, que na forma vetorial é: , onde . Um já nos provém acurácia suficientepara nossos propósitos. 	Comment by João Antonio: Aqui são vetores	Comment by João Antonio: Aqui são números. Essa é a diferença	Comment by João Antonio: Método de integração numérica
		Quando plotamos o retrato de fase, alguns vetores representativos do campo vetorial nos ajudar na visualização. Infelizmente, as setas e diferentes tamanhos de vetores tendem a se confundir nesses gráficos. Um gráfico do campo de direção é mais claro: pequenas linhas são usadas para indicar a direção local do fluxo. 
· Exemplo 6.1.1:
Considere o sistema . Primeiro, vamos usar argumentos qualitativos para obter informações sobre o retrato de fase. Depois, usando um computador, vamos plotar o campo de direção. Por fim, usando o método de Runge-Kutta vamos computar muitas trajetórias e plotar-las no plano de fase.
Encontraremos os pontos fixos resolvendo simultaneamente. A única solução é (x*, y*) = (-1, 0). Para determinar a estabilidade, vamos notar que y(t) tende a 0 quando t tende ao infinito, isso pois a solução de é . Uma vez que y(t) tende a 0 quando t vai ao infinito, a e então para trajetórias muito longas, a equação x se torna , que tem soluções com crescimento exponencial, que sugere que o ponto fixo é instável. De fato, se prestarmos atenção apenas às condições iniciais no eixo x, com y0 = 0 e então y(t) = 0 para todo tempo. O fluxo no eixo x é governado estritamente por , então o ponto fixo é instável. 	Comment by João Antonio: isso pois é uma exponencial de - t. Então com t infinito, ela tende a 0.
Para esquematizar o retrato de fase, é interessante plotar as linhas nulas, definidas como as curvas onde ambos ou . As linhas nulas indicam onde o fluxo é puramente horizontal ou vertical (Fig. 6.1.3). Por exemplo, o fluxo é horizontal onde uma vez que , isso ocorre na linha y = 0. Ao longo dessa linha, o fluxo é para direita quando , isso significa quando x > -1. 	Comment by João Antonio: Não confundir isso com a trajetória
De forma similar o fluxo é vertical onde , que ocorre na curva mostrada na fig. 6.1.3. Na parte superior da curva, onde y > 0, o fluxo é para baixo, pois . .
As linhas nulas partem o plano em regiões onde e tem muitos sinais. Alguns dos vetores típicos estão traçados na figura 6.1.3. Apesar da quantidade de informações limitadas até agora, essa figura nos dá um bom senso da visão geral do fluxo. 
	Comment by João Antonio: Dá pra ter uma noção da direção dos vetores pelo sinal de xponto e yponto. Ambos positivo é 1º quadrante. Ambos negativos é 3º quadrante. x positivo e y negativo é 4º quadrante e com x negativo e positivo é 2º quadrante.
Usando um computador para terminar o problema. A direção do campo é indicada pelos segmentos de linha da figura 6.1.4, e muitas trajetórias são mostradas. Note como as trajetórias sempre seguem a inclinação local. 
O ponto fixo é agora uma versão não-linear de um ponto de sela. 
· 6.2 - Existência, Singularidade e Consequências Topológicas
	Até agora fomos um pouco otimistas, pois na verdade nós não temos nenhuma garantia de que os sistemas gerais não-lineares sempre terão soluções! Felizmente, o teorema de existência e singularidade dado na seção 2.5 pode ser generalizado para sistemas bidimensionais
		Teorema da existência e singularidade: Considere um problema do valor inicial . Suponha que f é contínuo e que todas as derivadas parciais são contínuas para x, em algum conjunto aberto conectado . Então para , o problema do valor inicial tem solução x(t) em algum intervalo de tempo sobre t = 0, e a solução é única. 
	Em outras palavras, existência e singularidade de soluções é garantido se f é continuamente diferenciável. A prova do teorema é similar para aqueles de case n=1, e pode ser encontrada na maioria dos textos de equações diferenciais. 
	A partir de agora, vamos assumir que todos nossos campo vetoriais são suaves o suficiente para garantir a existência e singularidade de soluções, começando de um ponto qualquer no espaço de fase.
	O teorema da existência e singularidade tem um corolário importante: trajetórias diferentes nunca se interseccionam. Se duas trajetórias se interseccionam, então deveria haver duas soluções começando do mesmo ponto (o ponto de cruzamento), e isso iria violar a parte da singularidade do teorema. Resumindo, uma trajetória não pode se mover em duas direções ao mesmo tempo. Por causa que as trajetórias não podem se cruzar, os retratos de fase sempre tem boas aparências, por outro lado veríamos um emaranhado de curvas como na figura 6.2.1. O teorema da existência e singularidade previne que isso aconteça. 
	Em espaços de fase bidimensional (em oposição para espaços de fase de alta dimensão), esses resultados têm uma consequência topológica forte. Por exemplo, suponha que há uma órbita fechada C no plano de fase. Então uma trajetória qualquer começando dentro de C está presa lá para sempre (Fig. 6.2.2).
	Qual é o destino de uma trajetória tão limitada ? Se existir pontos fixos dentro de C, então o curso da trajetória será eventualmente se aproximar de um deles. Mas o que acontece se não há ponto fixo ? Para campos vetoriais no plano, o teorema de Poincaré-Bendixson estabelece que se há uma trajetória confinada em uma região fechada que não há pontos fixos, então a trajetória deve eventualmente se aproximar da órbita fechada. 
· 6.3 - Pontos fixos e linearização
	Vamos agora estender a técnica de linearização desenvolvida anteriormente em sistemas unidimensionais. A idéia é que possamos aproximar o retrato de fase próximo de um ponto fixo para que ele então corresponda a um sistema linear.
· Sistemas Linearizado
	Considere o sistema e suponha que (x*, y*) é um ponto fixo. Ou seja, . Vamos fazer como componentes de um distúrbio bem pequeno do ponto fixo. Para ver se o distúrbio cresce ou decai, nós temos que derivar equações diferenciais para u e v. Vamos fazer para a equação-u primeiro: 
	Comment by João Antonio: Essa expansão quer dizer, a função no ponto + o quanto eu andei que é representado pelas derivadas parciais em x e y vezes o quanto eu andei em x e y que é u e v. + os termos quadráticos (e de outras ordem que aproximam essa função)	Comment by João Antonio: f(x) + dy. Só que dy = f'(x)dx que é a derivada da função vezes o quanto ela andou em x. Ou seja = f(x) + f'xdx + termos de ordem superior
	Para simplificar a notação, nós escrevemos e , mas devemos lembrar que essas derivadas parciais devem ser avaliadas no ponto fixo (x*, y*); logo elas são números e não funções. A notação , denota o termo quadrático em u e v. Desde que u e v são pequenos, esses termos quadráticos são extremamente pequenos. 
	De forma similar, nós achamos para v. 
	Então o distúrbio (u, v) evolui de acordo com 
, a matriz é chamada de matriz Jacobiana no ponto fixo (x*, y*). Isso é análogo multivariável da derivada f’(x*) visto na seção 2.4.	Comment by João Antonio: Lá naquela seção era a derivada de xponto em relação ao ponto x.
	Uma vez que os termos quadráticos são bem pequenos, podemos negligenciá-los totalmente. Se fizermos isso, obtemos o sistema linearizado cuja dinâmica pode ser analisada pelos métodos da seção 5.2.
· O efeito pequenos dos termos não-lineares
	É realmente seguro negligenciar os termos quadráticos? Em outras palavras, o sistemas linearizado fornece uma figura qualitativamente correta do retrato de fase próximo de (x*, y*) ? A resposta é sim, contanto que o ponto fixo do sistema linearizado não seja um dos casos de borda discutidos na seção 5.2. Em outras palavras, se o sistemas linearizado prediz uma sela, nó ou uma espiral, então o ponto fixo realmente é uma sela, nó ou espiral para o sistema não-linear original. Os casos de borda (centros, nós degenerados, estrelas ou pontos fixos não isolados) são bem mais delicados. Eles podem ser alterados por pequenos termos não-lineares.
· Exemplo 6.3.1:
	Encontre todos os pontos fixos do sistema e use linearização para classificá-los. Então cheque sua conclusão derivando o retrato de fase para o sistemas inteiro não-linear.
	Os pontos fixos irão ocorrerquando e simultaneamente. Então, temos que x = 0 ou x ± 1 e y = 0. Portanto, há 3 pontos fixos (0,0), (1,0) e (-1, 0). A matriz jacobiana para qualquer ponto geral (x,y) é:. Agora avaliamos a matriz A nos pontos fixos. Em (0,0), temos que , então (0,0) é um nó estável. Em (± 1, 0) , então ambos (1,0) e (-1,0) são pontos de sela. 	Comment by João Antonio: Pois é uma matriz diagonal. Logo a diagonal irá corresponder aos autovalores. Como ambos são negativos, ambos decaem em direção ao ponto fixo, que é um sela nó.
	Agora, como os nós estáveis e os pontos de selas não são casos de borda, temos certeza de que os pontos fixos para o sistemas não-linear completo foi predito de forma correta. Essa conclusão pode ser checada explicitamente para o sistema não linear, pois as equações x e y são desacopladas; o sistema é essencialmente dois sistemas de primeira ordem independentes a um certo ângulo um do outro. Na direção y, todas as trajetórias decaem exponencialmente para y = 0. Na direção x, as trajetórias são atraídas para x = 0 e repelidas por x = ±1. As linhas verticais x = 0 e x ±1 são invariantes, pois está neles; portanto qualquer trajetórias que começa nessas linhas permanece nela para sempre. Similarmente, y = 0 é uma linha horizontal invariante. Como observação final, devemos notar que o retrato de fase deve ser simétrico em ambos os eixos x e y, pois a equação é invariante a transformação e . Reunindo tudo isso, chegamos ao retrato de fase da figura 6.3.1.
· Exemplo 6.3.2:
	Considere o sistema onde a é um parâmetro. Mostre que o sistema linearizado prediz incorretamente que a origem é um centro para todos os valores de a, quando na verdade a origem é uma espiral estável se a < 0 e instável se a > 0.
	Para obter a linearização em torno de (x*, y*) = (0, 0), nós podemos achar a matriz Jacobiana diretamente pela definição, ou podemos fazer o seguinte “atalho”. Para qualquer sistema com ponto fixo na origem, x e y representam desvios do ponto fixo, pois u = x - x* = x e v = y - y* = y, então nós podemos linearizar simplesmente omitindo os termos não-linear em x e y. Então o sistema linearizado é . O Jacobiano é , que tem , então a origem é um centro sempre, de acordo com a linearização. 	Comment by João Antonio: O sistema linearizado fica assim, pois pela definição de u e v, ele acaba ficando u =x e v = y.
	Para analisar o sistema não-linear, nós mudamos a variável para coordenadas polares. Vamos fazer . Para derivar a equação diferencial para r, devemos notar que , então . Substituindo e temos , então . Derivando a equação diferencial para θ: . Depois de substituir para e nós encontramos . Então para coordenadas polares o sistema original se torna . O sistema é fácil de analisar nessa forma, pois o raio e o movimento angular são independentes. Todas as trajetórias rotacionam em torno da origem com velocidade angular constante . O movimento radial depende de a, como na Figura 6.3.2.
	
	Se a < 0, então r(t) tende a 0 monotonicamente quando t tende ao infinito. Nesse caso, a origem é uma espiral estável. Se a = 0, então r(t) = r0 para todo t e a origem é um centro. Finalmente, se a > 0, então r(t) tende ao infinito monotonicamente e a origem é uma espiral instável. 
	De forma similar, estrelas e nós degenerados podem ser alterados por pequenos termos não lineares, mas diferente de centros, suas estabilidade não muda. Por exemplo, uma estrela estável deve mudar em uma espiral estável, mas não em uma espiral instável. Isso é plausível, dado a classificação do sistema linear na figura 5.2.8. Estrelas e nós degenerados ficam na região estável ou instável, enquanto os centros vivem entre as regiões de estabilidade e instabilidade. 
	Se estivermos somente interessados na estabilidade, e não no detalhe geométrico das trajetórias, então podemos classificar os pontos fixos mais grosseiramente como:
1) Casos robustos: Repelidores - ambos os autovalores tem partes reais positivas. Atratores - ambos autovalores tem parte real negativa. Selas - Um dos autovalores é positivo e outro é negativo.
2) Casos Marginais: Centros - ambos os autovalores são puramente imaginários. Alta-ordem e pontos fixos não isolados: pelo menos um dos autovalores é 0. 
	Então, do ponto de vista da estabilidade, os casos marginais são aqueles onde pelo menos um dos autovalores satisfazem . 
· Pontos fixos Hiperbólicos, Equivalência topológica e Estabilidade Estrutural
Se para ambos os autovalores, então o ponto fixo é chamado hiperbólico. Pontos fixos hiperbólicos são robustos, seu tipo de estabilidade não é afetada por outros termos não lineares. Pontos fixos não-hiperbólicos são frágeis. 
Nós já vimos um exemplo simples de hiperbolicidade no contexto do campo vetorial na linha. Na seção 2.4 nós vimos que a estabilidade do ponto fixo foi acuradamente predita pela linearização, quando . Essa condição é o exato análogo de .
Essas ideias também são generalizadas para sistemas de ordem superior. Um ponto fixo em um sistema de ordem n, é hiperbólico se todos os autovalores da linearização ficam sobre um eixo imaginário. Isso é , para todo i = 1, … , n. O teorema importante de Hartman-Grobman estabelece que retrato de fase local próximo do ponto fixo hiperbólico é “topologicamente equivalente” ao retrato de fase da linearização; em particular o tipo de estabilidade do ponto fixo é fielmente capturado pela linearização. Aqui, topologicamente equivalente significa que é um homeomorfismo (uma deformação contínua com um inverso contínuo) que mapeia um retrato de fase local no outro, de modo que as trajetórias sejam mapeadas nas trajetórias, e o sentido do tempo preservado. 
Pontos fixos hiperbólicos ilustram a noção de estabilidade estrutural. O retrato de fase é estruturalmente estável se sua topologia não pode ser mudada por uma pequena perturbação no campo vetorial. Por exemplo, o retrato de fase de um ponto de sela é estruturalmente estável, mas o de um centro não, pois uma pequena perturbação (com adição de atrito em um sistema mecânico) transforma um centro em uma espiral. 
· 6.4 - Coelhos versus Ovelhas
	Vamos considerar um exemplo simples de análise de plano de fase. Para isso iremos considerar um clássico modelo de competição Lotka-Volterra entre duas espécies, aqui essas serão coelhos e ovelhas. Ambas as espécies competem pela mesmo recurso alimentar (Grama) e essa quantidade é limitada. Por enquanto, iremos ignorar todas as outras complicações, como predadores, efeitos temporais e estação, e outros recursos alimentares. Então temos dois principais efeitos que devemos considerar:
1) Cada espécie cresceria até a capacidade do meio na ausência da outra. Isso pode ser modelado assumindo o crescimento logístico para cada espécie. Coelhos tem uma rápida capacidade de reprodução, então devemos assumir que eles possuem uma taxa de crescimento intrínseca maior. 
2) Quando coelhos e ovelhas se encontram os problemas começam. Coelhos começam a comer, mas eventualmente as ovelhas os empurram para lá e começam a comer. Vamos assumir que esses conflitos ocorrem a uma taxa proporcional ao tamanho de cada população. Consideramos que os conflitos reduzem a taxa de crescimento de cada espécie, as o efeito é mais severo para os coelhos. 
Um modelo específico que incorpora essas premissas é: onde x(t) é a população de coelhos e y(t) é a população de ovelhas. E x, y ≥ 0. Os coeficientes foram escolhidos para refletir esses cenários, mas poderiam ser qualquer outro arbitrário. 
	Para encontrar os pontos fixos do sistemas, nós resolver para e simultaneamente. Quatro pontos fixos são obtidos: (0,0), (0,2), (3,0), (1,1). Para classificá-los, nós computamos o Jacobiano:. 
Agora vamos considerar os quatro pontos fixos um de cada vez: 
Para o (0,0) a matriz A é , os autovalores são 3 e 2, então (0,0) é um nó instável. As trajetórias saem da origem paralelas ao autovetor v = (0,1) [que corresponde ao eixo y], para λ = 2, que é a autodireção mais lenta. Então o retrato de fase próximo do ponto (0,0) se assemelha a Figura 6.4.1. 
Para o (0,2) a matrizA é , os autovalores são -1 e -2, portanto o ponto fixo é um nó estável. A trajetórias tendem a ele chegando paralelas ao autovetor (1, -2) associado ao λ = -1 (autodireção mais lenta). A figura 6.4.2 mostra o retrato de fase. 
Para o (3,0) a matriz A é e os autovalores são -3 e -1. Esse também será um nó estável. E as trajetórias se aproximam ao longo da autodireção mais lenta representado pelo vetor (3, -1) correspondente ao autovalor -1. Como mostrado na figura 6.4.3. 
Para o (1,1) a matriz A é , com e . Portanto esse é um ponto de sela. E o retrato de fase próximo a (1,1) fica representado pela figura 6.4.4. 
	Combinando todas as figuras anteriores, nós temos a figura 6.4.5 que dá um bom senso de como seria um retrato de fase inteiro para a função. Entretanto, note que os eixos X e Y contém trajetórias de linhas retas, pois quando x = 0 e quando y = 0. Agora usaremos o senso comum para preencher o restante do retrato de fase (Figura 6.4.6). Por exemplo, algumas trajetórias começando perto da origem deve ir para o nó estável no eixo x, enquanto outras devem ir para o nó estável no eixo y. Entre elas, deve haver uma trajetórias especial que não consegue onde virar, e então cai para o ponto de sela . Essa trajetória é parte da variedade estável do ponto sela. O outro braço da variável estável consiste de uma trajetória “vinda do infinito”. Um retrato de fase gerado por computador (6.4.7) confirma no esboço.
 Esse retrato de fase tem uma interpretação biológica interessante. Ele mostra que uma das espécies leva a outra a extinção. Trajetórias começando abaixo da variedade estável levam a uma eventual extinção das ovelhas, enquanto que trajetórias começando acima da variedade estável levam a uma eventual extinção dos coelhos. Essa dicotomia ocorre em outros modelos de competição e levaram aos ecólogos a formular o princípio da exclusão competitiva, onde duas espécies que competem pelo mesmo recurso limitado não podem coexistir. 
Nosso exemplo também ilustra alguns conceitos gerais matemáticos. Dado um ponto fixo x* atrator, nós definimos sua bacia de atração como o conjunto inicial de condição x0 onde x(t) tende para x* quando o tempo tende ao infinito. Por exemplo, a bacia de atração para o nó (3,0) consiste em todos os pontos abaixo da variedade estável, essa bacia está sombreada na figura 6.4.8.
	Como a variedade estável separam as bacias dos dois nós, ela é chamada de limite da bacia. Pela mesma razão, as duas trajetórias que compreendem a variedade estável são chamadas de separatrizes. Bacias e seus limites são importantes, pois elas partem o espaço de fase em regiões em diferentes comportamentos. 
· 6.5 - Sistemas conservativos
	A lei de Newton F = m.a é a fonte de muitos importantes sistemas de segunda ordem. Por exemplo, considere uma partícula de massa m se movendo ao longo do eixo x, sujeita a uma força não linear F(x). Então a equação do movimento é: . Perceba que se assumirmos que F(x) é independente de ambos e t, então não nenhum amortecimento ou fricção de qualquer tipo, e não há nenhuma força motriz dependente do tempo. Sob essas premissas, podemos mostrar que a energia é conservada. Vamos fazer V(x) denotar a energia potencial, definida por F(x) = -dV/dx. Então . Podemos multiplicar ambos os lados por , então perceba que o lado esquerda se torna uma derivada em função do tempo! , onde usamos a regra da cadeia de forma reversa. Então para uma dada solução x(t), a energia total é constante em função do tempo. A energia é muitas vezes chamada de quantidade conservada, constante de movimento, ou primeira integral. Sistemas onde a quantidade conservada existe são chamados de sistemas conservativos. 	Comment by João Antonio: m.(xponto).(x2ponto) é a derivada de (m.x(ponto)^2)/2, pois aplicando a derivada do quociente, e fazendo a regra da cadeia para a derivada de x(ponto)^2, teremos a primeira.	Comment by João Antonio: Energia interna = componente cinética e componente potencial
	Vamos ser um pouco mais gerais e precisos. Dado um sistema , uma quantidade conservada é uma função real e contínua E(x) que é constante nas trajetórias, ou seja dE/dt = 0. Também precisamos que E(x) não seja constante em todos conjunto aberto. Caso contrário, uma função constante como se qualificaria como uma quantidade conservada para todo sistema, e todo sistema seria conservativo. 
· Exemplo 6.5.1:
	Vamos mostrar que sistemas conservativos não podem ter nenhum ponto fixo atrator. 
Suponha que x* é um ponto fixo atrator. Então todos os pontos na sua bacia de atração deveriam possuir a mesma energia E(x*) (pois a energia é constante nas trajetórias e todas as trajetórias estão na bacia do fluxo de x*). Consequentemente E(x) deve ser uma função conservativa de x na bacia, mas isso contradiz nossa definição de sistemas conservativo, que requer que E(x) seja não constante para conjuntos abertos. 
	Se pontos atratores não podem ocorrer, iremos ver adiante que o que ocorre são selas e centros.
· Exemplo 6.5.2:
	Considere uma partícula de massa m=1 se movendo em um potencial de poço duplo . Encontre e classifique todos os pontos de equilíbrios para o sistemas. Então faça o gráfico do retrato de fase e interprete os resultados fisicamente. 
	A força é -dV/dx = x - x3 , então a equação de movimento é , isso pode ser escrito na forma de campo vetorial , onde y representa a velocidade da partícula. Os pontos de equilíbrio ocorrem onde , então as soluções de equilíbrio são (x*, y*) = (0,0) e (±1, 0). Para classificar esses pontos fixos, nós computamos o Jacobiano . 	Comment by João Antonio: m.a = F, porém m é 1, então não aparece.	Comment by João Antonio: Pois a derivada de xponto ficaria x(2ponto) = y(ponto)
	No ponto (0,0), nós temos , então a origem é um ponto de sela. Mas quando (x*, y*) = (±1, 0), nós encontramos , consequentemente esse equilíbrio é predito para ser um centro. Anteriormente vimos que os termos não-lineares podem facilmente destruir um centro pedito por aproximação linear. Porém nesse caso, isso não ocorre devido a conservação de energia. As trajetórias são curvas fechadas definidas pelos contornos da conservação de energia, ou seja .	Comment by João Antonio: A energia é nesse formato pois o primeiro termo seria mx(ponto)^2/2, porém x(ponto) é igual a y e m é 1. O resto dos termos corresponde a V(x).
	A figura 6.5.1 mostra as trajetórias correspondente aos diferentes valores de E. Para decidir para onde as flechas apontam ao longo da trajetórias, nós podemos computar o vetor em alguns locais convenientes. Por exemplo, e no eixo x positivo, então o movimento é para baixo. A orientação das trajetórias vizinhas seguem por continuidade. 
	Como esperado, o sistema possui um ponto de sela em (0,0) e centros em (1,0) e (-1,0). Cada um dos centros neutramente estável é cercado por uma família de pequenas órbitas fechadas. Há também uma grande órbita fechada que engloba todos os 3 pontos fixos. 
	Soluções desse sistema são tipicamente periódicos, exceto pelas soluções de equilíbrio de duas trajetórias especiais: Essas são trajetórias que começam e terminam na origem. Mais precisamente essas trajetórias se aproximam da origem quando . Trajetórias que começam e terminam no mesmo ponto fixo, são chamadas órbitas homoclínicas. Elas são comuns em sistemas conservativos, mas raras em outros casos. Perceba que essas órbitas homoclínicas não correspondem a soluções periódicas, pois a trajetória fica pra sempre tentando chegar ao ponto fixo. 
	Finalmente, vamos conectar o retrato de fase com o movimento de uma partícula não amortecida em um potencial de poço-duplo (Figura 6.5.2). 
	O equilíbrio neutramente estável corresponde a partícula em repouso no fundo de um dos poços de potencial, e as pequenas órbitas fechadas representam pequenas oscilações em torno desse equilíbrio. As grandes órbitas representam oscilações mais energéticas que levam a partícula para frente e para trás, passando pelo morro. O ponto de sela representa o repouso da partícula em cima do morro, e as órbitas homoclínicas é a partículaoscilando dentro de um poço tentando retornar ao ponto de sela, mas sem energia suficiente ela desce novamente. 	Comment by João Antonio: Se um pouco mais de energia ela ganhar, então ela ultrapassa o morro e entra nas órbitas fechadas grande, oscilando por todo os dois poços.
· Exemplo 6.5.3:
	Esquematize o gráfico da função de Energia E(x ,y) do exemplo anterior. O gráfico de E(x, y) está na figura 6.5.3. A Energia E é plotada acima de cada ponto (x,y) no plano de fase. A superfície resultante é chamada de superfície de energia do sistema. 
	A figura mostra que o mínimo local de E projeta abaixo os centros do plano de fase. Contornos de energia um pouco acima correspondem às pequenas órbitas fechadas. O ponto de sela e as órbitas homoclínicas ficam um pouco mais acima, e as órbitas fechadas que circundam todos os pontos fixos são as mais energéticas. 
· Centros não-lineares
	Centro são ordinariamente muito delicados, mas como o sistema anterior sugere, eles são muito mais robustos quando o sistema é conservativo. Vamos ver agora um teorema sobre centros não-lineares em sistemas conservativos de segunda ordem.
	O teorema diz que os centros devem ocorrer nos mínimos locais da função de energia. Isso é fisicamente plausível tendo em vista que como esperado, o equilíbrio neutramente estável e pequenas oscilações ocorrem no fundo de qualquer poço potencial, não importando sua forma. 
		Teorema: (Centros não lineares de sistemas conservativos) Considere o sistema , onde e f uma diferencial contínua. Suponha que exista uma quantidade conservada E(x) e suponha que x* é um ponto fixo isolado (não há nenhum outro ponto fixo na vizinhança próxima). Se x* é um mínimo local de E, então todas as trajetórias suficientemente perto de x* são fechadas. 
· 6.6 - Sistemas reversíveis
	Muitos sistemas mecânicos possuem uma simetria tempo-reverso. Isso significa que a dinâmica parece a mesma quando o tempo corre para frente ou para trás. De fato, qualquer sistemas mecânica na forma é simétrico com tempo reverso. Se mudarmos as variáveis de , a segunda derivada permanece a mesma e a equação é inalterada. É claso, a velocidade , vai ser revertida. Vamos ver o que acontece no plano de fase. O sistema equivalente é onde y é a velocidade. Se nós fizermos mudanças de variáveis e , ambas as equações permanecem as mesmas. Consequentemente, se (x(t), y(t)) é solução, então (x(-t), -y(-t)) também é. Portanto toda trajetória tem um gêmeo: elas diferem somente pelo tempo-reverso e pela reflexão no eixo x (figura 6.6.1).
	A trajetória acima do eixo x, parece com a mesma abaixo do eixo x, com exceção da direção da flecha.
	De forma mais geral, vamos definir um sistema reversível para ser qualquer sistema de segunda ordem que é invariante sobre e . Por exemplo, qualquer sistema na forma , onde f é ímpar em y e g é par em y, ou seja e é reversível. 
Sistemas reversíveis são diferentes dos sistemas conservativos, mas eles tem muitos das mesmas propriedades. Por exemplo, o próximo teorema mostra que centros são robustos in sistemas reversíveis. 
	Teorema: (Centro não-lineares em sistemas reversíveis) Suponha que a origem x* = 0 é um centro linear para o sistema diferencíavel contínuo: e suponha que o sistema é reversível. Então suficientemente perto da origem, toda trajetória são curvas fechadas.
Isso acontece pois uma trajetória começando no x positivo, perto da origem irá girar em torno do centro, até tocar o x negativo. Pela reversibilidade, podemos notar que a trajetória espelhada irá formar uma órbita fechada. 
· Exemplo 6.6.1:
	Mostra que o sistema tem um centro não-linear na origem e faça o retrato de fase.
	O Jacobiano do sistema na origem é , que possui , então a origem é um centro linear. Além disso, o sistema é reversível, pois as equações são invariantes sobre a transformação e . Pelo teorema visto anteriormente a origem é um centro não-linear. 
	Os outros pontos fixos do sistema são (-1,1) e (-1, -1). Eles são pontos de sela, e é fácil checar através da linearização. Um retrato de fase gerado pelo computador é dado em 6.6.4. Podemos notar que a reversibilidade é aparente. As trajetórias acima do eixo x, possuem gêmeas com a seta invertida abaixo de x. 
	Perceba que os dois pontos de sela gêmeos são unidos por um par de trajetórias. Elas são chamadas de trajetórias heteroclínicas ou conexões de sela. Como as órbitas homoclínicas, essas trajetórias são muito mais comuns em sistemas reversíveis ou conservativos do que em outros tipos. 
· Exemplo 6.6.2:
	Usandos os argumentos de reversibilidade, mostre que o sistema , possui uma órbita homoclínica na metade do plano x ≥ 0.
	Considere a variedade instável do ponto de sela na origem. Essa variedade sai da origem ao longo do vetor (1,1), uma vez que este é a autodireção instável para linearização. Consequentemente, perto da origem, parte da variedade instável encontra-se no primeiro quadrante x, y > 0, Agora imagine um ponto de fase com coordenadas (x(t), y(t)) se movendo ao longo da variedade instável, começando de x, y pequeno e positivo. Primeiramente, x(t) deve aumentar pois , y(t) também aumenta inicialmente, pois para x pequenos. Então o ponto de fase se move para cima e para direita. A velocidade horizontal continua aumentando até que ela deve cruzar a linha vertical x = 1, então e y(t) começa a cair eventualmente chegando a y = 0. Pela reversibilidade, deve haver uma trajetória gêmea com os mesmos pontos de fim e início, mas com direção oposta, juntas elas formarão uma órbita homoclínica. 
· Exemplo 6.6.3:
	Mostre que o sistema é reversível, mas não conservativo. Então esboce o retrato de fase. 
	O sistema é invariante sobre a mudança de variáveis e , consequentemente o sistema é reversível.
	Para mostrar que o sistema não é conservativo, é suficiente mostrar que ele tem um ponto fixo atrator (pois sistemas conservativos nunca tem atratores). O ponto fixo satisfaz e . Resolvendo essas equações simultaneamente temos que . Então, existe quatro pontos fixos dados por . Podemos notar então que o é um ponto fixo atrator, e sua Jacobiana será que possui , então o ponto fixo é um nó estável. Isso mostra que o sistema não é conservativo. 
	Os outros pontos fixos são um nó instável e dois pontos de sela. Um retrato de fase gerado por computador é dado na figura 6.6.7. Analisando o retrato de fase podemos notar a reversibilidade na trajetória e no nós gêmeos (estável e instável). 
· 6.8 - Teoria do Indíce
	Aprendemos anteriormente como linearizar um sistema em torno de um ponto fixo. A linearização é um ótimo exemplo de método local, que nos dá uma visão microscópica de trajetórias próximas de um ponto fixo, mas ela não pode nos falar o que acontece com a trajetória depois que ela sai daquela pequena vizinhança. Além disso, se o campo vetorial começa com termos quadráticos ou de alta ordem, a linearização não nos informa nada. 
	Vamos ver agora a teoria do indíce, um método que provém informação global sobre o retrato de fase. Ele nos permite responder questões como: Uma trajetória fechada sempre cerca um ponto fixo ? Se sim, quais tipos de pontos fixos são permitidos ? Esse método permite também termos informações sobre trajetórias próximas de pontos fixos de alta ordem. 
· O indíce de uma curva fechada
	O indíce de uma curva fechada C é um inteiro que mensura o “enrolamento” do campo vetorial C. O índice também provém informação sobre qualquer ponto fixo que pode ocorrer dentro da curva. 
Essa ideia vem da área de eletrostática, onde geralmente uma superfície fechada hipotética (“superfície Gaussiana”) é usada para analisar um configuração de cargas elétricas. Estudando o comportamento do campo elétrico na superfície, é possível determinar o total de carga dentro da superfície. No contexto atual, o campo elétrico é análogo ao campo vetorial e a superfície Gaussiana é análoga a curva C, e a carga total é análoga ao índice. 
Suponha que é um campo vetorial no plano de fase. Considere uma curva fechada C (figura 6.8.1). Essa curva não é necessariamenteuma trajetória, é simplesmente um loop que é posto no plano de fase para analisar o comportamento do campo vetorial. Vamos sempre assumir que C é uma “curva fechada simples” (ela não intersecta ela mesma) e que ela não passa através de nenhum ponto fixo no sistema. Então, em cada ponto x em C, o campo vetorial faz um ângulo bem definido com o eixo x positivo. 
A medida que x se move de forma anti-horária em torno de C, o ângulo Φ muda continuamente, uma vez que o campo vetorial seja suave. Quando x retorna ao ponto de início, Φ retorna a direção original. Consequentemente, em um circuito, Φ foi alterado por um múltiplo inteiro de 2π . Vamos fazer como a mudança líquida em Φ sobre um circuito. Então o índice da curva fechada C com respeito ao campo vetorial f é definido como: .
Então Ic é o número líquido das revoluções anti-horárias feitas pelo campo vetorial quando x se move uma vez de forma anti-horária em torno de C.
· Exemplo 6.8.1:
	Dado um campo vetorial variando ao longo de C como mostrado na figura 6.8.2. Encontre Ic. 
	A medida que atravessamos C uma vez no sentido anti-horário, os vetores rotacionam uma volta completa no mesmo sentido. Portanto Ic = +1.
	Para visualizar isso, vamos enumerar os vetores em ordem anti-horária começando de qualquer lugar em C. Então vamos transportar esses vetores (sem rotacionar!) até uni-los pelas caudas em uma origem comum. O índice é igual ao número líquido de revoluções anti-horárias feitas pelos vetores numerados. A figura 6.8.3b mostra que os vetores rotacionam uma vez anti-horário a medida que vamos aumentando a ordem do vetor #1 até o #8. Então Ic = +1.
· Exemplo 6.8.2:
	Dado o campo vetorial na curva fechada na figura 6.8.4a, calcule Ic.
	Nós usaremos a mesma construção do exemplo 6.8.1. A medida que fazemos um circuito em torno de C, os vetores rotacionam uma volta, mas agora no sentido oposto. Em outras palavras, os vetores em C rodam de forma horária a medida que vamos em torno de C de forma anti-horária. Então Ic = -1. 
· Exemplo 6.8.3:
	Dado o campo vetorial , encontre Ic onde C é o círculo unitário dado por .
	Para termos uma clara figura do campo vetorial, é suficiente considerar um convenientes pequenos pontos escolhidos em C. Para qualquer instância, em (x,y) = (1,0), o vetor é . Esse vetor é marcado com #1 na figura 6.8.5a. Agora nós nos movemos de forma anti-horário em torno de C, computando vetores. Em , temos marcado com #2. Os outros vetores são encontrados de forma similar. Perceba que pontos diferentes no círculo devem ser associados com outros vetores iguais, por exemplo, o #3 e o #7. 
	Agora nós translatamos os vetores para a figura 6.8.5b. A medida que nos movemos de #1 a #9 em ordem, os vetores rodam 180º de forma horária entre #1 e #3, e depois voltam 360º de forma anti-horária entre #3 e #7, e finalmente rodam 180º de novo entre #7 e #9 quando completamos o circuito C. Então e então Ic = 0.
· Propriedades do índice
	Vamos ver algumas das mais importante propriedade de índice:
1) Suponha que C pode ser continuamente deformado em C’ sem passar através de um ponto fixo. Então Ic = Ic’.
Essa propriedade tem uma prova elegante: Nossas suposições implicam que nós deformamos C em C’, então o índice Ic varia continuamente. Mas Ic é um inteiro, então ele não pode variar em pular! (Se uma função com valor inteiro for contínua, deve ser constante). 
2) Se C não engloba nenhum ponto fixo, então Ic = 0.
Prova: Pela propriedade (1), nós podemos deformar C para um círculo pequeno sem mudar seu índice. Mas Φ é essencialmente constante nesse círculo, pois todos os vetores apontam para a mesma direção. Então e Ic = 0.
3) Se nós revertermos todas as setas no campo vetorial pela transformação , o índice é inalterado.
Prova: Todos os ângulos mudam de Φ para Φ + π. Então permanece o mesmo.
4) Suponha que uma curva fechada C é atualmente uma trajetória do sistema, então C é uma órbita fechada e Ic = +1.
· Índice de um ponto
	As propriedades acima são úteis em muitas formas. Porém, mais importante, ela definem o índice de um ponto fixo.
	Suponha que x* é um ponto fixo isolado. Então o índice I de x* é definido por Ic, onde C é qualquer curva fechada que engloba x* e nenhum outro ponto fixo. Pela propriedade (1), Ic é independe de C e é portanto uma propriedade de x* sozinho. Portanto vamos deixar a notação C e usar a notação I para índice de ponto. 
· Exemplo 6.8.4:
	Encontre o índice de uma nó estável, um nó instável e um ponto de sela. 
	O campo vetorial próximo de um nó estável parece com o campo vetorial do exemplo 6.8.1. Portanto I = +1. O índice é também +1 para o nó instável, pois a única diferença é que todas as flechas estão reversas. Pela propriedade (3), isso não muda o índice. (Isso mostra que o índice não está relacionado a estabilidade). Finalmente, I = -1 para o ponto de sela, pois o campo vetorial para com o discutido no exemplo 6.8.2.
	O índice de uma curva está relacionado de forma simples com o índice de um ponto fixo dentro dela. Isso é abordado no teorema.
Teorema 6.8.1: Se uma curva fechada C engloba n pontos fixos isolados x1*,...,xn*, então onde Ik é o índice x*, para k = 1,...,n.
Ideias por trás da prova: Pensamos em C como um balão que envolve todos os pontos fixos. Deformando esse balão, temos que o resultado é T, consistindo de n círculos pequenos γ1, …, γn em torno do ponto fixo e duas pontes conectando os círculos (figura 6.8.8).
Perceba que It = Ic, pela propriedade (1), pois não cruzamos nenhum ponto fixo durante a deformação. Agora vamos computar It considerando . Para esse cálculo apenas iremos considerar a contribuição dos círculos pequenos, pois as pontes que conectam se cancelam já que nos movemos sobre uma em um sentido e na outra em sentido oposto. Em γk, o ângulo Φ muda como , por definição de Ik. Então, , e portanto It =Ic.
Teorema 6.8.2: Qualquer órbita fechada no plano de fase deve englobar pontos fixos cujos índices somam +1. 
Prova: Vamos denotar C a órbita fechada. Pela propriedade (4), então Ic = +1. O Teorema 6.8.1 implica que . 
O teorema 6.8.2 tem muitas consequências práticas, uma delas é que sempre haverá pelo menos 1 ponto fixo dentro de uma órbita fechada no plano de fase. E se há somente 1 ponto fixo, ele não pode ser um ponto de sela.
· Capítulo 7 - Ciclo Limite
· 7.0 - Introdução
	Um círculo limite é uma trajetória fechada isolada. Isolada significa que trajetórias vizinhas não são fechadas. Elas espiralam para perto ou para longe do círculo limite (Figura 7.0.1).
	Se todas as trajetórias vizinhas tendem ao círculo limite, dizemos que ele é estável ou atrator. Ao contrário o círculo limite é instável, ou em casos excepcionais, meio-estável.
	Círculos limites estáveis são muito importantes cientificamente, eles modelam sistemas que exibem oscilações auto-sustentáveis. Em outras palavras, esses sistemas oscilam mesmo na ausência de forças periódicas externas. Como exemplos: Os batimentos cardíacos, o disparo periódico de um neurônio marca-passo, ritmos diários da temperatura corporal humana e secreção de hormônios; reações químicas que oscilam espontaneamente, e vibrações auto-excitadas em pontes e asas de avião. Em cada caso, há um padrão de oscilação com algum período determinado, formato de onda e amplitude. Se o sistemas é perturbado um pouco, ele sempre retorna ao ciclo padrão. 
	Círculos limites são inerentes fenômenos não-lineares. Eles podem ocorrer em sistemas lineares, mas não serão isolados. Uma vez que um sistema linear se x(t) é uma solução periódica, então todo cx(t) também é solução para c diferente de 0. Então x(t) está cercado de uma família de órbitas fechadas (figura 7.0.2). Consequentemente, a amplitude da oscilação linear é completamente determinada pela condição inicial. Qualquer pequeno distúrbio na amplitude irá persistir para sempre. Em contraste, oscilações de círculo limite são determinadas pela estrutura do sistema. 
· 7.1 - Exemplos
· Exemplo 7.1.1: Um cíclo limite simples
	Considere o sistema onde r ≥ 0. As dinâmicas radial e angular são desacopladase podem ser analizadas separadamente. Considerando como um campo vetorial na linha, nós vemos que r* = 0 é um ponto fixo instável e r* = 1 é estável (Figura 7.1.1)
	Então, voltando ao plano de fase, todas as trajetórias (exceto r*=0) se aproximam do círcula unitário r*=1 monotonicamente. Pois o movimento na direção teta é simplesmente a rotação com velocidade angular constante. Todas as trajetórias então espiralam assintoticamente até o ciclo limite em r =1 (7.1.2).
	Podemos também plotar as soluções como funções de t. Na figura 7.1.3 nós plotamos para uma trajetória começando fora do ciclo limite. Como esperado, a solução cai até uma oscilação sinusoidal de amplitude constante, correspondente a solução do ciclo limite .
· Exemplo 7.1.2:Oscilador de van der Pol
	Um exemplo com papel central no desenvolvimento da dinâmica não-linear é dado pela equação de van der Pol. , onde μ ≥ 0 é um parâmetro. Historicamente, essa equação surgiu dos circuitos elétricos não-lineares usados nos primeiros rádios. Essa equação se parece com o oscilador harmônico simples, porém com um termo de amortecimento não-linear . Esse termo age como um amortecimento ordinário positivo para > 1, mas amortecimento negativo para < 1. Em outras palavras, ele causa oscilações de grandes amplitudes ao decair, mas os bombeia de volta se ele se torna pequeno. 
	Para visualizar uma ilustração concreta, suponha que nós integramos numericamente a equação de van der Pol para μ = 1,5, começando de em t = 0. A figura 7.1.4 plota a solução no plano de fase e a figura 7.1.5 mostra o gráfico de x(t). Em contraste com o exemplo anterior, o ciclo limite não é um círculo e o formato de onda estável não é uma onda senoidal. 
· 7.2 - Descartando órbitas fechadas
	Suponha que tenhamos uma forte suspeita, baseada em evidência numéricas ou outros conhecimentos, que um sistema particular não tem soluções periódicas. Como provaremos isso ? No capítulo passado, vimos um método baseado em teoria do índice. Veremos agora três outras formas de descartar órbitas fechadas. 
· Sistemas gradientes
	Suponha que um sistema possa ser escrito na forma para alguma função escalar V(x) continuamente diferenciável e de valor único. Então o sistema é chamado de sistema gradiente com função potencial V.	Comment by João Antonio: Se eu tiver uma função V(x,y), o gradiente de uma função (Delta invertido) de V é igual o vetor (derivada de V/dx, derivada de V/dy)	Comment by João Antonio: Isso tem a ver com a diferencial total, pois eu posso escrever a diferencial total como o gradiente de V * (dx, dy). Isso é o produto escalar (entre dois vetores) entre o vetor (dx, dy) e as derivadas parciais	Comment by João Antonio: O gradiente como um vetor, aponta para onde a função cresce.
	Comment by João Antonio: Explicação do Chicão para o que é gradiente de V (delta invertido).
	TEOREMA 7.2.1: Órbitas fechadas são impossíveis em sistemas gradientes.
	PROVA: Suponha que há uma órbita fechada. Nós obtemos uma contradição por considerar a mudança em V depois de um circuito. Em uma mão, desde que V seja de valor único. Por outro lado, (a menos que , nesse caso a trajetória é um ponto fixo, e não uma órbita fechada). Essa contradição mostra que órbitas fechadas não podem existir em sistemas gradientes. 	Comment by João Antonio: O primeiro é a integral da diferencial total, só que ele divide por dt e multiplica por dt que dá na mesma. Na segunda ele reescreve a dV como gradiente de V * xponto, e mantém o dt multiplicando. Na terceira ele substitui o gradiente de V pelo - x ponto. E isso vira o módulo de xponto ao quadrado, e o menos vai pra fora da integral. Então, esse delta sempre vai ser menor que 0, por causa do negativo fora da integral.	Comment by João Antonio: Isso pois para um círculo fechado o delta V = 0 sempre, pois sai e volta pro mesmo ponto. Porém pelo que vimos, delta V sempre será <0 para o sistema gradiente, pois ele sempre desce. Então não pode haver órbita fechada.
	O problema do teorema 7.2.1 é que a maioria dos sistemas de duas dimensões não são sistemas gradientes. (Apesar disso, todos os campos vetoriais na linha são sistemas gradientes, isso nos dá outra explicação para a ausência de oscilações notadas na seção 2.6 e 2.7.)	Comment by João Antonio: Sistemas de uma dimensão não possuem oscilações.
· Exemplo 7.2.1:
	Mostre que não há órbitas fechadas no sistema .	Comment by João Antonio: Para saber se é sistema gradiente, temos que aplicar o critério de Euler para xponto e yponto. Ficaria a derivada de xponto em relação a y e derivada de y ponto em relação a x. Isso pois xponto e yponto seriam correspondente ao dx e dy
	O sistema é gradiente com função potencial V(x) = -x*sen(y), pois e . Pelo teorema não há órbitas fechadas. 
· Exemplo 7.2.2:
	Mostre que o oscilador amortecido não-linear não tem soluções periódicas .
	Suponha que há soluções periódicas x(t) com período T. Considere a função de Energia como , então depois de um ciclo, os valores voltam pro ponto inicial e . Por outro lado, , se nós pudermos mostrar que essa integral não é zero, temos uma contradição. Perceba que . Portanto , então só há igualdade se , porém significa que a trajetória é um ponto fixo, contrariando a suposição inicial de que é uma órbita fechada. Dessa forma é estritamente negativo que contradiz . Logo não há soluções periódicas.
· Funções Liapunov
	Até para sistemas que não tem nada a ver com mecânica, é possível construir uma função de energia que decresce ao longo das trajetórias. Tal função é chamada função Liapunov. Se a função Liapunov existe, então órbitas fechadas são proibidas pela mesma razão do exemplo 7.2.2.
	Para ser mais preciso, considere um sistema com ponto fixo x*. Suponha que nós encontramos uma função Liapunov, ou seja, uma função V(x) continuamente diferenciável com valor-único e real e com as seguintes propriedades. 
	1)	V(x) > 0 para todo e V(x*) = 0 (Dizemos que V é definido positivamente).
	2) 	 para todo (Todas as trajetórias fluem “ladeira abaixo” até x*).
	Então x* é assintoticamente globalmente estável: para todas as condições iniciais como também para . Em particular o sistemas não tem órbitas fechadas. A intuição é que todas as trajetórias se movem monotonicamente para baixo no gráfico de V(x) até x* (7.2.1).
As soluções não podem parar em nenhum lugar, por que se fizerem, V pararia de mudar, mas por definição para todo x exceto x*.
	Infelizmente, não formas sistemáticas de construir funções Liapunov. Embora às vezes podemos trabalhar pela forma ao contrário, como no exemplo a seguir. 
· Exemplo 7.2.3: 
	Construíndo uma função Liapunov, mostre que o sistema , não possui órbitas fechadas.
Considere V(x,y) = x2 + ay2, onde a é um parâmetro a ser escolhido mais tarde. Então 
, se escolhemos a = 4, o termo xy desaparece e . Analisando temos que V(x) > 0 e para todo (x, y) ≠ (0, 0). Então V = x2 + 4y2 é uma função Liapunov e não há nenhuma órbita fechada. De fato, todas as trajetórias aproximam-se da origem quando t tende ao infinito. 	Comment by João Antonio: A primeira coisa feita para derivar o Vponto é aplicar a regra da cadeia. Depois ele substitui yponto e xponto.
· Critério Dulac
	O terceiro método para descartar órbitas fechadas é baseado no Teorema de Green e é conhecido como critério de Dulac.
	Critério de Dulac: Vamos fazer um campo vetorial continuamente diferenciável definido em um simples subconjunto conectado R no plano. Se existe uma função g(x) com valor real e continuamente diferenciável de tal forma que tem um sinal ao longo de R, então não há órbita fechada inteiramente dentro de R. 
	Prova: Suponha que há uma órbita fechada C inteiramente dentro da região R. Vamos denotar A como a região dentro de C (7.2.2). Então o teorema de Green diz onde n é o exterior normal e dl é o elemento de comprimento do arco ao longo de C. Olhe primeiro para a integral dupla na esquerda, ela tem que ser não-zero, pois tem um sinal em R. Por outro lado, a integral de linha na direita é igual a 0, pois em todo lugar, por suposiçãoC é a trajetória (o vetor tangente é ortogonal a n). Essa contradição implica que C não pode existir. 
	O critério de Dulac sofre do mesmo problema do método Liapunov: não há algoritmo para encontrar g(x). Candidatos que ocasionalmente funcionam são g = 1, , e .
	Comment by João Antonio: Explicação de divergente do chicão. Isso seria o rotacional de um campo vetorial em um ponto (Werner)
· Exemplo 7.2.4:
	Mostre que para o sistema não há órbitas fechadas no quadrante positivo x, y > 0. 
	Vamos considerar g(x) = 1/xy. Então:
	Comment by João Antonio: Parece que o delta invertido do g*xponto é a diferencial total da função.
	Desde que a região x,y > 0 é simplesmente conectada e g(x) e f satisfazem as condições requeridas. O critério de Dulac implica que não há órbitas fechadas no quadrante positivo. 
· Exemplo 7.2.5:
	Mostre que o sistema não possui órbitas fechadas. 
	Vamos considerar g(x) = e-2x. Então . Pelo critério de Dulac, não há órbitas fechadas.	Comment by João Antonio: Aqui novamente o delta invertido (g*xponto) corresponde a derivada parcial de gxponto em relação a x e a derivada parcial de gyponto em relação a y.
· 7.3 - Teorema de Poincaré-Bendixson
	Agora que nós sabemos como descartar órbitas fechadas, vamos focar na tarefa contrária: encontrar métodos para estabelecer que existem órbitas fechadas em sistemas particulares. O teorema seguinte é um dos poucos resultados nessa direção. Ele também é um ponto chave para resultados teóricos na dinâmica não-linear, pois ele implica que o caos não pode ocorrer no plano de fase. 
	Teorema de Poincaré-Bendixon: Suponha que:
1) R é um subconjunto fechado e limitado do plano;
2) é um campo vetorial continuamente diferenciável em um conjunto aberto contendo R;
3) R não contém nenhum ponto fixo; e
4) Existe uma trajetória C, que está “confinada” em R, no sentido que ela começa em R e fica em R para todo tempo futuro (7.3.1).
	Então C é uma órbita fechada, ou uma espiral em direção a uma órbita fechada quando . Em ambos os casos, R contém uma órbita fechada (Figura 7.3.1).
	Na figura 7.3.1, nós desenhamos R em formato de anel pois qualquer órbita fechada deve englobar um ponto fixo (P), porém, nenhum ponto fixo é permitido em R.
	Quando aplicado o teorema de Poincaré-Bendixson, é fácil satisfazer as condições (1)-(3), já a (4) é mais difícil. Como podemos ter certeza de que a trajetória confinada, C, existe ? O truque é construir uma região armadilha R, ou seja, um conjunto conectado onde o campo vetorial aponta “para dentro” em qualquer lugar nos limites de R. Então, todas as trajetórias em R são confinadas. Se também podermos providenciar que não há pontos fixos em R, então o teorema nos garante que R contém uma órbita fechada. 
	Esse teorema pode ser difícil de aplicar na prática. Um caso conveniente é quando o sistema possui uma representação em coordenadas polares, como o exemplo seguinte.
· Exemplo 7.3.1:
	Considere o sistema , quando µ = 0, existe um ciclo limite em r = 1 como discutido no exemplo 7.1.1. Mostre que a órbita fechada ainda ainda existe para µ > 0 , contanto que µ seja suficientemente pequeno. 
	Nós buscamos dois círculos concêntricos com raio rmin e rmax, para o qual no círculo externo e no círculo interno. Então, o anel 0 < rmin ≤ r ≤ rmax será nossa região armadilha desejada. Note que não há pontos fixos no anel, desde que ; então se o rmin e o rmax puderem ser encontrados, o teorema de Poincaré-Bendixson implica na existência de uma órbita fechada. 
	Para encontrar rmin, nós requerimos para todo θ. Desde que cosθ ≥ -1, uma condição suficiente para rmin é . Consequentemente qualquer vai funcionar, a medida que µ < 1, pois a raiz quadrada faz sentido. Nós devemos escolher rmin, o maior possível para fazer a bainha do ciclo limite o mais firme possível. Podemos pegar . Por um exemplo similar, o fluxo ocorre para dentro no círculo externo se . Portanto, existe uma órbita fechada para todo µ < 1, e isso fica em alguma lugar no anel 
	As estimativas do exemplo 7.3.1 são conservadoras. De fato, a órbita fechada pode existir até mesmo se µ ≥ 1 . Figura 7.3.3 mostra um retrato de fase gerado por computador para µ = 1. 
	Quando as coordenadas polares são inconvenientes. Nós devemos ser capazes de encontrar uma região armadilha examinando as nullclines do sistema. Como no próximo exemplo. 
· Exemplo 7.3.2:
	No processo bioquímico fundamental chamado de glicólise, células vivas obtém energia através da quebra do açúcar. Em células de leveduras intactas, bem como em extratos de leveduras ou de músculos, glicólise procede de forma oscilatória com a concentração de vários intermediários crescendo e diminuindo em um período de minutos. 
	Um modelo simples para essas oscilações foi proposto por Sel’kov (1968). Na forma adimensional, as equações são: . Onde x e y são concentrações de ADP (adenosina difosfato) e F6P (frutose-6-fosfato), e a,b > 0 são parâmetros cinéticos. Construa uma região armadilha para o sistema.
	Primeiro devemos encontrar as nullclines. A primeira equação mostra que na curva e a segunda equação mostra que na curva . Essas nullclines estão esquematizada na Figura 7.3.4, com alguns vetores representativos.
	Como nós sabemos como esquematizar esses vetores ? Por definição, as setas são verticais na nullcline e horizontais na nullcline . A direção o fluxo é determinado pelos sinais de e . Por exemplo, na região acima de ambas as nullclines, as equações apontam para e , então as setas apontam para baixo e para direita, como na Figura. 
	
Agora considere a região limitada por linhas tracejadas na Figura 7.3.5. Nós chamamos ela de região armadilha. Para verificar isso, nós temos que mostrar que todos os vetores na região limite apontam para dentro. Nos lados verticais e horizontais, não há nenhum problema, a reivindicação segue a figura 7.3.4. A parte complicada da construção é a diagonal com inclinação -1, indo do ponto (b, b/a) até a nullcline y = x/(a + x2). Da onde isso vem ?
Para ter a intuição correto, considere e no limite de x muito grande. Então e , portanto ao longo de trajetórias. Dessa forma, o campo vetorial em x muito grande é aproximadamente paralelo a linha diagonal. Isso sugere que em um cálculo mais preciso, nós devemos comparar os tamanhos de e para um x suficientemente grande. 
Em particular, considere , então temos: , logo, . Isso implica que os campos vetoriais apontam para dentro na linha diagonal na figura 7.3.5 pois dy/dx é mais negativo que -1, então os vetores possuem inclinação mais íngreme que a diagonal. Então a região é armadilha. 
Podemos concluir que há uma órbita fechada dentro da região armadilha ? Não! Há um ponto fixo na região (nas interseções das nullclines), e então as condições para o teorema de Poincaré-Bendixson não estão satisfeitas. Mas, se o ponto fixo é um repelidor, nós podemos provar a existência de uma órbita fechada considerando a região modificada e pontilhada na figura 7.3.6. 
O repelidor direciona todas as trajetórias vizinhas para a região sombreada, e dessa forma essa região é livre de pontos fixos, portanto o teorema se aplica. Agora, precisamos encontrar as condições em que o ponto fixos é um repelidor. 
· Exemplo 7.3.3:
	Mas uma vez iremos considerar o oscilador glicolítico do exemplo passado. Prove que uma órbita fechada existe se a e b satisfazem uma condição apropriada, a ser determinada (antes eram a,b > 0).
	Como vimos acima, devemos encontrar condições nas quais o ponto fixo é um repelidor, ou seja, um nó instável ou espiral instável. Em geral, a Jacobiana é . Realizando a álgebra que já aprendemos encontramos que no ponto fixo o determinante da Jacobiana é e o traço é . 
	Como o ponto fixo é instável para , e estável para , a linha divisória de ambas ocorre quando , isso define uma curva no espaço (a,b), como mostrado na figura 7.3.7. 
	Para parâmetros na região correspondentes a , nós garantimos que o sistema possui uma órbita fechada - integração numérica mostra que existe um ciclo limite estável. A figura 7.3.8 mostraum retrato de fase gerado por computador para um caso típico de a = 0.08, b = 0.6. 
· Sem Caos no Plano de Fase
	O Teorema de Poincaré-Bendixson é um dos resultados centrais da dinâmica não-linear. Ele diz que as possibilidades dinâmicas no plano de fase são muitos limitadas: se uma trajetória é confinada em uma região limitada e fechada que não contém ponto fixo, então a trajetória eventualmente se aproxima de uma órbita fechada. Nada mais complicado que isso é possível. 
	Esse resultado depende crucialmente do plano de duas dimensões. Em sistemas de alta dimensão (n ≥ 3) o teorema de Poincaré-Bendixson não se aplica, e algo muito radical pode acontecer: trajetórias podem vagar pra sempre em uma região fechada sem ir para um ponto fixo ou ciclo limite. Em alguns casos, as trajetórias são atraídas para um objeto geométrico complexo chamado de atrator estranho, um conjunto fractal onde o movimento é aperiódico e sensível a pequenas mudanças nas condições iniciais. Essa sensibilidade torna o movimento imprevisível a tempo grandes. Nós estamos então de frente com o caos. Iremos discutir isso posteriormente. 
· 7.4 - Sistemas Liénard
	No início da dinâmica não-linear havia um grande, havia muito interesse sobre oscilações não-lineares. Esse interesse era motivado pelo desenvolvimento do rádio e de tecnologias tubo a vácuo. Foi descoberto que muitos circuitos oscilatórios poderiam ser modelados por equações diferenciais de segunda ordem na forma: , agora conhecidas como equações de Liénard. Essa equação é uma generalização do oscilador de van der Pol , mencionado na seção 7.1. Ele pode também ser interpretado mecanicamente como uma equação do movimento para uma unidade de massa sujeita a um atrito não-linear e uma força restauradora não-linear (-g(x)). Equação de Liénard é equivalente ao sistema .
	O seguinte teorema estabelece que esse sistema possui um único, e estável ciclo sobre a hipótese apropriada de f e g.
	Teorema de Liénard: Suponha que f(x) e g(x) satisfazem as seguintes condições: 
1) f(x) e g(x) são continuamente diferencíavel para todo x;
2) g(-x) = -g(x) para todo x, ou seja (g(x) é uma função ímpar);
3) g(x) > 0 para x > 0
4) f(-x) = f(x) para todo x, ou seja, (f(x) é uma função par);
5) A função ímpar tem exatamente um zero positivo em x = a, é negativa para 0 < x < a, é positiva e não decai para x > a e .
	Então o sistema possui um ciclo limite único e estável ao redor da origem no plano de fase.
	Esse resultado parece plausível. As suposições de g(x) sugerem que a força restauradora atua como uma mola ordinária, e tende a reduzir qualquer deslocamento, e as suposições de f(x) implica que o atrito é negativo para pequenos |x| e positivo para grandes |x|. Desde que pequenas oscilações são empurradas para cima e grandes oscilações puxadas para baixo, não é surpreendente que o sistema caia em um oscilações auto-sustentada de amplitude intermediária. 
· Exemplo 7.4.1:
	Mostre que a equação de van der Pol tem um ciclo limite único e estável.
	A equação de van der Pol tem e , então as condições (1)-(4) do teorema de Liénard são claramente satisfeitas. Para checar a condição (5), perceba que , então a condição (5) é satisfeita para todo . Logo a equação de van der Pol tem um ciclo limite único e estável. 
· 7.5 - Oscilações de relaxamento
	Vamos nos perguntar agora, dado que uma órbita fechada existe, o que podemos dizer sobre seu formato e seu período? Em geral, alguns problemas como esse não podem ser resolvidos de forma exata, mas nós podemos obter aproximações úteis se alguns parâmetros são grandes ou pequenos.
	Nós começamos considerando a equação de van der Pol , para . Nesse limite forte e não-linear, nós vemos que o ciclo limite consiste de um acúmulo extremamente lento de carga, seguido de uma descarga repentina e assim sucessivamente. Oscilações desse tipo são comumente chamadas de oscilações de relaxamento, pois o “estresse” acumulado durante a fase lenta é “relaxado” durante a descarga rápida.
· Exemplo 7.5.1:
	Dê uma análise do plano de fase da equação de van der Pol para .
	Para sairmos do usual , iremos utilizar outras variáveis. Perceba que , então podemos fazer , e então a equação de van der Pol fica , logo isso pode ser escrito como . Se fizermos , temos que .
	Agora considere uma típica trajetórias no plano de fase (x, y). As nullclines são a chave para entender o movimento. Afirmamos que todas as trajetórias se comportam como o mostrado na figura 7.5.1, começando de qualquer ponto exceto a origem, a trajetória atravessa horizontalmente até a nullcline cúbica y = F(x). Então ela cai até o ponto B, depois vai até o ponto C, logo ela sobe até D e continua o movimento periódico.
	Para justificar essa figura, suponha que a condição inicial não é muito próxima da nullcline, ou seja, suponha que . Então implica que onde , logo que a velocidade é enorme na direção horizontal, e pequena na direção vertical, então as trajetórias se movem praticamente na horizontal. Se a condição inicial é acima da nullcline, então e portanto , então a trajetória move-se lateralmente em direção a nullcline. Entretanto, uma vez que a trajetória chega perto , então e tornam-se comparáveis, ambos viram . O que acontece então ? A trajetória cruza a nullcline verticalmente, como mostrado na figura 7.5.1 e então se move lentamente por trás da nullcline com velocidade , até chegar ao ponto B onde ela pode pular lateralmente novamente. 
	Essa análise mostra que o ciclo limite possui duas escalas de tempo amplamente separadas: o rastejamento requer e o pulo requer . Ambas as escalas de tempo são aparentes na forma de onda de x(t) mostrada em 7.5.2, obtida por integração numérica da equação de van der Pol para e condição inicial . 
· 7.6 - Osciladores não-lineares fracos
	Essa seção aborda equações na forma: , onde e é uma função suave arbitrária. Essas equações representam perturbações pequenas no oscilador linear e são portanto chamadas osciladores não-lineares fraco. Dois exemplos fundamentais são a equação de van der Pol (agora no limite da pequena não-linearidade) e a equação de Duffing 
	Para ilustrar o tipo de fenômeno que pode surgir, a figura 7.6.1 mostrar uma solução gerada por computador para a equação de van der Pol no plano de fase para e uma condição inicial perto da origem. A trajetória é uma espiral sinuose lenta que leva muitos ciclos para a amplitude crescer de forma significativa. Eventualmente a trajetória tende ao ciclo limite com raio próximo de 2. 
	Gostaríamos de poder predizer o formato, período e raio de um ciclo limite. Nossas análises irão explorar o fato de que o oscilador é “próximo” de um oscilador harmônico simples, no qual entendemos completamente. 
	
· Teoria da Perturbação regular e sua falha
	Continua cap7 algum dia.
· Capítulo 8 - Revisitando as Bifurcações
· 8.0 - Introdução
	Iremos continuar a abordagem que começamos no capítulo 3, porém agora estendendo nossa análise para sistemas de duas dimensões. Podemos agora visualizar e descrever as formas como oscilações aparecem e são destruídas à medida que variamos os parâmetros. 
· 8.1 - Bifurcações Sela-nó, transcrítica e forquilha
	As bifurcações discutidas no capítulo 3 possuem análogos em duas dimensões (como em todas as dimensões). No entanto, nada novo acontece quando adicionamos mais dimensões, toda a ação continua confinada em um subespaço unidimensional onde a bifurcação ocorre, enquanto as dimensões extras fazem apenas com que o fluxo seja atraído ou repelido desses subespaços.
· Bifurcação Sela-Nó
	A sela-nó é o mecanismo básico para criação e destruição de pontos fixos. Aqui está o exemplo prototípico em duas dimensões: . Na direção x, nós vemos o comportamento de bifurcação discutido na seção 3.1, enquanto na direção y o movimento é exponencialmente amortecido. 
	Considere o retrato de fase a medida que μ varia. Para μ > 0, a figura 8.1.1 mostra que há dois pontos fixos, um nó estável em (x*, y*) = (√μ , 0 ) e um ponto de sela em (-√μ, 0). A medida que μ decresce, a sela e onó aproximam um do outro e então colidem em μ = 0, e finalmente desaparecem quando μ < 0.
	Mesmo após os pontos fixos terem aniquilado um ao outro, eles continuam influenciando o fluxo, eles deixam um “fantasma”, uma região de gargalo que suga as trajetórias que entram e as atrasam antes que essas passem para o outro lado. A figura 8.1.1 é representativa para a situação mais geral. Considere um sistema bidimensional , que depende do parâmetro μ . Suponha que para algum valor de μ as nullclines se intersecta como na figura 8.1.2. Perceba que cada interseção corresponde a um ponto fixo, pois e simultaneamente. Então para ver como os pontos fixos se movem quando μ varia, nós precisamos apenas ver as interseções. Suponha agora que as nullclines se afastam uma das outras à medida que μ varia, tornando tangente em μ = μc. Então o ponto fixo se aproxima um do outro e colide em μ = μc; depois que as nullclines se separam não há interseções e os pontos fixos desaparecem como em um bang. O ponto é que todas bifurcações de sela-nó possuem essa característica localmente. 
· Exemplo 8.1.1:
	O sistema seguinte é um modelo para o sistema de controle genético. A atividade de um certo gene é assumida para ser diretamente induzida por duas cópias da proteína para a qual ele codifica. Em outras palavras, o gene é estimulado pelo seu próprio produto, potencialmente levando a um feedback autocatalítico. Na forma adimensional, as equações ficam: , onde x e y são proporcionais às concentrações da proteína e do RNA mensageiro (mRNA), respectivamente, e a,b > 0 são parâmetros que governam a taxa de degradação de x e y. 
	Mostraremos que o sistema possuem 3 pontos fixos, quando a < ac, onde ac deve ser determinado. Mostraremos que dois desses pontos fixos coalescem em uma sela-nó quando a = ac. Então esquematize o retrato de fase para a < ac, e veremos a interpretação biológica. 
	As nullclines são dadas por y = ax e pela curva sigmoidal e esquematizado na figura 8.1.3. Vamos supor que nós variamos a enquanto b é fixo. Isso é simples de visualizar, pois a é a inclinação da linha. Para a pequeno, nós teremos 3 interseções como na figura 8.1.3. A medida que a aumenta, as duas interseções de cima se colidem quando a linha intercepta a curva tangencialmente. Para valores muito grande de a, esse ponto fixo desaparece deixando a origem como único ponto fixo. 
	Para encontrar ac, nós computamos os pontos fixos diretamente e procuramos onde eles coalesce. As nullclines se intersecionam quando . Uma solução é quando x* = 0, e nesse caso y* = 0. A outra interseção satisfaz a equação quadrática que tem duas soluções . Se , ou seja 2ab < 1. Essas soluções coalescem quando 2ab = 1. Consequentemente ac = 1/2b.
	As nullclines (figura 8.1.4) provém muitas informações sobre o retrato de fase para a < ac. O campo vetorial é vertical na linha y = ax e horizontal na curva sigmóide. As outras flechas podem ser esquematizados analisando o sinal de e .
	Vamos analisar agora as classificações dos pontos fixos, a matriz Jacobiana é , que tem um traço , então todos os pontos fixos são nós ou selas, dependendo do valor do determinante. Em (0,0), Δ = ab > 0, então a origem é sempre um ponto fixo estável. Para os outros dois pontos fixos, Δ parece complicado, mas podemos simplificar usando , então temos: . Para Δ<0, no ponto fixo do meio, que tem 0 < x* < 1, ele é um ponto de sela. O ponto fixo com x* > 1 é sempre um nó estável, pois Δ < ab e portanto . 
	O retrato de fase é plotado na figura 8.1.5. A interpretação biológico é que o sistema pode atuar como um interruptor bioquímico, mas somente se o mRNA e a proteína se degradarem lentos o suficiente, especificamente se a sua taxa de decaimento satisfaz ab < ½. Nesse caso, há 2 estados estacionários: um na origem, significando que o gene é silenciado e não há proteína ao redor para ligá-lo, e outro onde x e y são altos, significando que o gene está ativo e sustentado pelo alto nível de proteína. A variedade estável da sela, age como o limiar, ela determina quando o gene liga e desliga, dependendo dos valores iniciais de x e y. 
	Comment by João Antonio: Esse é o retrato de fase para a < ac. Logo se aumentarmos a taxa de degradação, apenas o ponto da origem se mantém, significando que o gene desligado é a única opção.
	O fluxo aqui é similar ao da figura 8.1.1. Todas as trajetórias relaxam rapidamente na variedade instável da sela, que desempenha um papel análogo ao do eixo x na figura 8.1.1. Assim fundamentalmente, a bifurcação é um evento unidimensional, com os pontos fixos deslizando em direção um ao outro ao longo da variedade instável.
· Bifurcação Transcrítica e de Forquilha
	Usando a mesma ideia anterior, nós conseguimos construir exemplos prototípicos das bifurcação transcrítica e forquilha e pontos fixos estável. Na direção x, a dinâmica é dada pelas formas normais discutidas no capítulo 3, e na direção y o movimento é exponencialmente amortecido. Isso leva aos seguintes exemplos: 
· Exemplo 8.1.2:
	Faça os retratos de fase para o sistema de forquilha supercrítica , para μ < 0 , μ = 0 e μ > 0.
	Para μ < 0, o único ponto fixo é um nó estável na origem. Para μ = 0, a origem ainda é estável, mas agora nós temos um decaimento muito lento ao longo da direção x ao invés de um decaimento exponencial; esse é o fenômeno chamado de “desaceleração crítica”, discutido na seção 3.4. Para μ > 0, a origem perde estabilidade e dá origem a dois novos pontos fixos simétricos localizados em (x*, y*) = (±√μ, 0). Computando o Jacobiano para cada ponto, podemos checar que a origem é uma sela e os outros dois pontos fixos são nós estáveis. Os retratos de fase são representados na figura 8.1.6. 
· Exemplo 8.1.3:
	Mostre que a bifurcação de forquilha supercrítica ocorre na origem do sistema e determine o valor de bifurcação μc. Plot o retrato de fase próxima da origem para μ ligeiramente maior que μc. 
	O sistema é invariante sob a mudança de variáveis , então o retrato de fase deve ser simétrico com reflexão através da origem. A origem é um ponto fixo para todo μ, e sua Jacobiana é: , que tem e , consequentemente a origem é um ponto fixo estável se μ < -2 e uma sela se μ > -2. Isso sugere que uma bifurcação de forquilha ocorre em μc = -2. Para confirmar isso, nós buscamos por um par simétrico de pontos fixos perto da origem para μ perto de μc (Note que ainda não sabemos se a bifurcação é super ou sub crítica). O ponto fixo satisfaz y = x e consequentemente (μ + 1)x + sen(x) = 0. Uma solução é x = 0, agora suponha que x é pequeno e não nulo e expanda o seno com uma série de potências. Então, . Depois de dividir tudo por x, e ignorar os termos de alta ordem, nós temos que . Logo, existe um par de pontos fixos com , para μ levemente maior que -2. Então uma bifurcação de forquilha supercrítica ocorre em μc = -2. Por causa que a bifurcação é supercrítica, nós sabemos que os dois novos pontos fixos são estáveis, sem precisarmos checar. 	Comment by João Antonio: Se fosse uma bifurcação de forquilha subcrítica, um par de pontos fixos iria existir quando a origem era estável, e não depois dela se tornar uma sela.
	Para desenhar o retrato de fase perto de (0,0), para μ levemente maior que -2, é de grande ajuda encontrar os autovetores da Jacobiana na origem. Isso pode ser feito de forma exata, mas uma simples aproximação é que a Jacobiana é próxima àquela na bifurcação, então , que possui autovetores (1,1) e (1,-1) com autovalores λ = 0 e λ = -2 respectivamente. Para μ levemente maior que -2, a origem se torna uma sela e o autovalor zero se torna ligeiramente positivo. O retrato de fase é mostrado na figura 8.1.7. 
	Perceba que por causa das aproximações que fizemos, essa figura só é válida localmente em ambos os parâmetros e espaço de fase. 
	Em todos os exemplos que vimos acima, as bifurcações ocorreram quando Δ = 0, ou equivalente, quando um dos autovalores é igual a zero. Mais geral, as bifurcação de sela-nó, transcrítica e forquilha são todas exemplos de bifurcações de autovalor-zero. São bifurcações queenvolvem colisão de dois ou mais pontos fixos.
Veremos a seguir um tipo novo de bifurcação, que não possui contra-parte nos sistemas unidimensionais. Ela provém formas de um ponto fixo se desestabilizar sem colidir com nenhum outro ponto fixo. 
· 8.2 - Bifurcações Hopf
	Suponha um sistema bidimensional com um ponto fixo estável. Quais são todas as formas possíveis dele perder estabilidade a medida que variamos o parâmetro μ? Os autovalores da Jacobiana é a chave. Se o ponto fixo é estável, os autovalores λ1 e λ2 devem ambos cair na metade esquerda do plano Re λ < 0. Como λ satisfaz uma equação quadrática com coeficientes reais, há duas possibilidades: ambos autovalores serem reais e negativos (Figura 8.2.1a) ou eles são conjugados complexos (Figura 8.2.1b). Para desestabilizar o ponto fixo, nós precisamos que um, ou ambos, os autovalores cruzem para a metade direita do plano à medida que μ varia. 
· Bifurcação de Hopf Supercrítica
	Suponha que nós temos um sistema físico que cai para o equilíbrio através de amortecimento exponencial oscilatório. Em outras palavras, distúrbios pequenos decaem depois de uma chacoalhada por um tempo (Figura 8.2.2a). Agora suponha que a taxa de decaimento depende de um parâmetro de controle μ. Se o decaimento se torna mais lento e mais lento e finalmente mudanças para crescer o parâmetro a um valor crítico μc, o estado de equilíbrio irá perder estabilidade. Em muitos casos o movimento resultante é um ciclo limite de oscilação sinusoidal e pequena amplitude em torno do estado estacionário (Figura 8.2.2b). Então dizemos que o sistema sofreu uma bifurcação supercrítica Hopf. Em termos de fluxo no espaço de fase, uma bifurcação supercrítica Hopf ocorre quando uma espiral estável se transforma em uma espiral instável cercada por um ciclo limite, elíptico e pequeno, próximo. Bifurcações de Hopf podem ocorrer em espaços de fase de qualquer dimensão n ≥ 2.
	Um exemplo simples de bifurcação de Hopf é dados pelo seguinte sistema: . Há 3 parâmetros: μ controla a estabilidade do ponto fixo na origem, ω da a frequência da oscilação infinitesimal, e b determina a dependência de frequência em amplitude para oscilações de alta amplitude. A figura 8.2.3 plot o retrato de fase para μ abaixo e acima da bifurcação. Quando μ < 0, a origem r = 0 é uma espiral estável cujo sentido de rotação depende de ω. Para μ = 0, a origem ainda é uma espiral estável. Finalmente para μ > 0, existe uma espiral instável na origem e um ciclo limite estável em r = √μ.
	Para ver como os autovalores se comportam durante a bifurcação, nós escrevemos o sistema em coordenadas Cartesianas, isso torna fácil encontrar a Jacobiana. Fazemos então x = r.cos(θ), y = r.sen(θ). Então: e de forma similar , então o Jacobiano na origem é , que possui autovalores , como esperado, os autovalores cruzam o eixo imaginários da esquerda para direita quando μ aumenta de negativo para positivo. 
· Regras de ouro
	Nosso caso idealizado ilustra duas regras que podem ser generalizadas para todas as bifurcações de Hopf:
1) O tamanho do ciclo limite cresce continuamente do zero e aumenta proporcional a para μ perto de μc.
2) A frequência do ciclo limite é dada aproximadamente por avaliada em μ = μc. Essa fórmula é exata no nascimento do ciclo limite, e correta com para μ = μc. O período é portanto .
	Porém o nosso exemplo idealizado possui algumas propriedades artefato. Primeiro, em bifurcação Hopf encontradas na prática, o ciclo limite é elíptico, não circular e seu formato se torna distorcido a medida que μ se move para longe do ponto de bifurcação. Nosso exemplo é somente é típico topologicamente, não geometricamente. Segundo, em nosso exemplo idealizado os autovalores se movem em linhas horizontais à medida que μ varia, ou seja é estritamente independente de μ. Normalmente, os autovalores devem seguir um caminho curvo e atravessar o eixo imaginários com inclinação diferente de 0 (Figura 8.2.4).
· Bifurcação de Hopf Subcrítica
.	Assim como as bifurcações de forquilha, a de Hopf vem com super- e subcriticas. O caso subcrítico é mais dramático e perigoso em aplicações de engenharia. Após a bifurcação, as trajetórias saltas para um atrator distante, que pode ser um ponto fixo, outro ciclo limite, infinito ou --- em três ou mais dimensões ---- um atrator caótico. Por agora, vamos considerar o sistema bidimensional.. Uma importante diferença desse para o caso supercrítico é que agora o termo r3 é desestabilizador, pois ele ajuda a governar as trajetórias para longe da origem. 
	O retrato de fase é mostrado na Figura 8.2.5. Para μ < 0 existe dois atratores, um ciclo limite estável e um ponto fixo estável na origem. Entre eles está um ciclo instável mostrado em linhas tracejadas. A medida que μ aumenta, o ciclo instável aperta como um laço ao redor do ponto fixo. Uma bifurcação Hopf subcrítica ocorre em μ = 0, quando o ciclo instável chega a amplitude 0 e engole a origem tornando a instável. Para μ > 0, o ciclo limite de alta amplitude é de repente o único atrator, então as soluções que antes eram ficavam próximas da origem são forçadas a crescer em uma oscilação de alta amplitude.
	Perceba que o sistema exibe histerese: uma vez que as oscilações de alta amplitude começam, elas não podem retornar trazendo μ de volta pra 0. De fato, as oscilações grandes irão persistir até que μ = -¼ onde os ciclos estável e instável colidem e se aniquilam. Essa destruição ocorre via outro tipo de bifurcação. 
· Subcrítica, supercrítica ou bifurcação degenerada ?
	Dada uma bifurcação de Hopf, como podemos saber se ela é super- ou subcrítica ? A linearização não provém uma distinção, em ambos os casos, um par de autovalores move da esquerda pra direita. 
	Um critério analítico existe, mas ele pode ser difícil de usar. Uma estratégia mais rápida é usar o computador. Se um pequeno ciclo limite atrator aparece imediatamente depois do ponto fixo ficar instável e se sua amplitude volta pra zero a medida que o parâmetro é revertido a bifurcação é supercrítica, caso contrário ela provavelmente é subcrítica, no caso onde o atrator pode estar longe do ponto fixo, e o sistema pode exibir histerese em caso de reversão do parâmetro. Claro que o experimento no computador não prova nada, e checagens devem ser realizadas antes de se fazer qualquer conclusão.
	Também devemos estar cientes da bifurcação Hopf degenerada. Como exemplo, temos o pêndulo amortecido . A medida que mudamos o amortecimento μ de positivo para negativo, o ponto fixo na origem muda de estável para espiral instável. Entretanto quando μ = 0, nós não temos uma verdadeira bifurcação de Hopf, isso pois não há ciclos limites em cada lado da bifurcação. Ao invés disso, em μ = 0, nós temos uma família de órbitas fechadas circundando a origem. Esse caso degenerado tipicamente aparece quando sistemas não conservativos viram conservativos do nada no ponto de bifurcação. Então o ponto fixo se torna um centro não linear. 
· Exemplo 8.2.1:
	Considere o sistema . Mostre que uma bifurcação de Hopf ocorre na origem a medida que μ varia. Essa bifurcação é sub-, supercrítica ou degenerada ?	
	O Jacobiano na origem é , que tem e e . Logo a medida que μ aumenta através de zero, a origem muda de uma espiral estável para uma espiral instável. Isso sugere que algum tipo de bifurcação de Hopf ocorre quando μ = 0.
	Para decidir qual o tipo de bifurcação, nós usamos um raciocínio simples e integração numérica. Se transformarmos o sistema em coordenadas polares, temos , logo . Isso implica que para μ > 0, r(t) cresce tão rápido quanto . Em outras palavras, todas as trajetórias são repelidas para o infinito. Então certamente não há órbitas fechadas para μ > 0. Em particular, a espiral instável não é cercada por um ciclo limite estável, então a bifurcação não pode ser supercrítica.
	Ela poderia ser degenerada ? Isso iria requerer que a origem fosse um centro não-linear quando μ = 0. Mas é estritamente positivo longe do eixo x, então órbitas fechadas são impossíveis. Por eliminação, nós esperamos que a bifurcaçãoseja subcrítica. Isso é confirmado pela figura 8.2.6, que é um retrato de fase gerado pelo computador para μ = -0,2.
	Note que um ciclo limite instável circunda o ponto fixo estável, como esperado em uma bifurcação subcrítica. Além disso, o ciclo é elíptico e rodeado por uma espiral suavemente sinuosa, características típicas da bifurcação de Hopf. 
· 8.3 - Reações químicas oscilatórias
	Como um exemplo de bifurcação de Hopf, vamos estudar os experimentos conhecidos como osciladores químicos. Esses sistema é conhecido tanto pelo seus comportamento espetacular, quanto pela história por trás de sua descoberta. Vamos analisar um modelo simples para oscilações na reação de dióxido de cloro-iodo-ácido malônico. 
	Nos anos iniciais da década de 1950, o bioquímico russo, Boris Belousov, estava tentando criar um teste caricatura em tubo para o ciclo de Krebs. Quando ele misturou ácido cítrico e íons de bromato em uma solução de ácido sulfúrico na presença de um catalisador Cério (Ce), ele observou que a mistura se tornava amarelada, depois perdia a cor, então ficava novamente amarelada, e perdia a cor novamente. Assim ela oscilava nisso por mais ou menos 1 hora até finalmente chegar a um equilíbrio. Hoje em dia reações químicas oscilatórias não são surpresa, porém na época era algo completamente novo, já que o pensamento geral era que as reações químicas se dirigiam monotonicamente para o equilíbrio, por causa das leis da termodinâmica. O artigo de Belousov relatando isso foi rejeitado por vários jornais.
	Belousov finalmente conseguiu publicar seu trabalho de uma forma obscura em uma reunião médica Russa. Depois de algum tempo seu trabalho circulou de forma desacreditada até que um aluno de graduação, Zhabotinsky, confirmou que Belousov estava certo o tempo todo e trouxe seus experimentos a luz na conferência de Praga em 1968, uma das poucas vezes que cientistas soviéticas e ocidentais foram autorizados a se encontrar. A partir disso, muito interesse surgiu nas reações biológicas e bioquímicas oscilatórias, e as reações de BZ, como foram chamadas, se tornaram um modelo simples para esses sistemas mais complexos. 
· Reações de dióxido de cloro-iodo-ácido malônico
	O mecanismo dos osciladores químicos pode ser muito complexo. A reação BZ envolve mais de 20 paços de reação elementais, mas com sorte, eles se equilibram muito rápido, o que permite a redução cinética para três equações diferenciais. De forma similar, Lengyel el al. (1990) propôs e analisou um modelo particular para outra reação química oscilatória, a reação de dióxido de cloro-iodo-ácido malônico (ClO2-I2-MA). Esse experimento mostra que as seguintes três reações e as leis de taxa empírica capturam o comportamento do sistema:
	Integração numérica de (1)-(3) mostra que o modelo exibe oscilação que lembra aquelas observadas experimentalmente. Entretanto esse modelo também é complicado para se analisar. Para simplificar, Lengyel usou um resultado encontrado em suas simulações: Três dos reagentes (MA, I2 e ClO2) variam muito mais lentamente que os intermediários I- e ClO2-, que variam em muitos ordens de magnitude durante um período de oscilação. Aproximando os valores de concentração dos reagentes lentos como constantes, e fazendo outras simplificações que reduzem o sistema para um modelo de duas variáveis (Como o modelo despreza o consumo lento dos reagentes, então esse modelo será incapaz de chegar a um eventual equilíbrio). Então o modelo adimensional se torna: , onde x e y são concentrações adimensionais de I- e ClO2-. O parâmetro a,b > 0 depende das taxas constantes empíricas e das concentrações assumidas para os reagentes lentos. Vamos começar a análise desse sistema construindo uma região armadilha e aplicando o teorema de Poincaré-Bendixson. Então veremos que as oscilações químicas chegam em um bifurcação de Hopf supercrítica. 
· Exemplo 8.3.1:
	Prove que o sistema possui uma órbita fechada no quadrante positivo x, y > 0 se a e b satisfazem certas restrições, a ser determinadas. 
	Como no exemplo 7.3.2, as nullclines nos ajudam a construir uma região armadilha. Quando , temos a curva e quando temos a parábola . Essas nullclines são esquematizado na figura 8.3.1, com alguns vetores representativos.
	Agora vamos considerar uma caixa pontilhada na figura 8.3.2. Essa é uma região armadilha, pois todos os vetores no limite da caixa apontam para dentro. 
	Não podemos aplicar o teorema de Poincaré-Bendixson ainda, pois há um ponto fixo dentro da região armadilha, , na intersecção das nullclines. Porém vamos argumentar como no exemplo 7.3.3. Se o ponto fixos se tornar um repelidor, podemos aplicar o teorema de Poincaré para a caixa “perfurada” removendo o ponto fixo. Para isso, devemos ver em quais condições o ponto fixo é um repelidor. O Jacobiano em (x*, y*) é , o determinante e o traço é dado por . Como o determinante é maior que zero, o ponto nunca será uma sela. Logo (x*, y*) é um repelidor se o traço for maior que zero, ou seja, se . Nessa circunstância, o teorema de Poincaré-Bendixson implica a existência de uma órbita fechada em algum lugar da caixa pontilhada. 
· Exemplo 8.3.2:
	Usando integração numérica, mostrar que a bifurcação de Hopf ocorre quando b = bc e decida se a bifurcação é sub- ou supercrítica. 
	O resultado análitico acima, mostra que quando b decresce através de bc, o ponto fixo muda de uma espiral estável para uma espiral instável; essa é a assinatura da bifurcação de Hopf. A figura 8.3.3 plota dois retratos de fase típicos (Aqui escolhemos a = 10; então implica em bc = 3,5). Quando b > bc, todas as trajetórias espiralam para o ponto fixo (8.3.3a), enquanto para b < bc elas são atraídas para um ciclo limite estável (8.3.3b). 
	Logo a bifurcação é supercrítica, depois que o ponto fixo perde estabilidade, ele é cercado por um ciclo limite estável. 
	Os resultados são sumarizados no diagrama de estabilidade na figura 8.3.4. O limite entre as duas regiões é dado pelo bifurcação de Hopf em 
· Exemplo 8.3.3:
	Aproxime o período do ciclo limite para b levemente menor que bc.
	A frequência é aproximada pela parte imaginária do autovalor na bifurcação. Como usual, os autovalores satisfazem . Uma vez que e em b = bc. Nós temos que , mas em bc, . Como e portanto . Um gráfico de T(a) é mostrado na figura 8.3.5. Quando .
· 8.4 - Bifurcações globais de ciclo
	Em sistemas bidimensionais, existem 4 formas nas quais ciclos limites podem ser criados ou destruídos. A bifurcação de Hopf é a mais famosa, mas outras 3 merecem atenção. Elas são difíceis de detectar pois envolvem grandes regiões do plano de fase, muito além de apenas a vizinhança de um ponto fixo. Por isso são chamadas de bifurcações globais. 
· Bifurcação sela-nó de ciclos
	A bifurcação onde dois ciclos limites coalescem e se aniquilam é chamada de dobra (fold) ou bifurcação sela-nó de ciclos, por analogia a bifurcação relacionada de pontos fixos. Um exemplo ocorre no sistema estudado na seção 8.2. Lá estávamos interessados na bifurcação subcrítica de Hopf quando µ = 0, agora vamos nos concentrar na dinâmica quando µ < 0.
	É útil pensar na equação radial como um sistema unidimensional. Como podemos checar, esse sistema possuem uma bifurcação sela-nó dos pontos fixos em µc = -¼ . Agora retornando para o sistema bidimensional, esses pontos fixos correspondem a ciclos limites. A figura 8.4.1 plota os retratos de fase e seus comportamentos correspondentes no plano de fase. 
	Em µc um ciclo semi-estável nasce. Quando µ decresce isso se torna um par de ciclos limites, um estável e um instável. Vendo na outra direção, um ciclo limite estável e instável se colidem e desaparecem quando µ decresce além de µc. Perceba que a origem se mantém estável sempre, já que ela não participa da bifurcação. 
· Bifurcação de período infinito
	Considere o sistema: , onde µ ≥ 0. Esse sistema combina dois sistemas unidimensionais que já estudamos anteriormente nos capítulos 3 e 4. Na direçaõ radial, todas as trajetórias (exceto r* = 0) aproximam de um ciclo unitário monotonicamentequando . Na direção angular, o movimento é sempre anti-horário se µ > 1, considerando que existem dois raios invariantes definidos por sen(θ) = µ se µ < 1. Logo quando µ decresce através de µc = 1, o retrato de fase muda como na figura 8.4.2. 
	A medida que µ decresce, o ciclo limite r = 1 desenvolve um gargalo em θ = π/2 que se torna cada vez mais grave com . O período de oscilação aumenta e finalmente se torna infinito quando µc = 1, quando o ponto fixo aparece no círculo; portanto o termo bifurcação de período infinito. Para µ < 1, o ponto fixo se divide em uma sela e um nó. 
· Bifurcação homoclínica
Nesse cenários, parte do ciclo limite se move cada vez mais perto para um ponto de sela. Na bifurcação, o ciclo toca o ponto de sela e torna-se uma órbita homoclínica. Esse é outro tipo de bifurcação de período infinito; para fugir de confusão, vamos chamá-la de ciclo-sela ou bifurcação homoclínica. 
Considere o sistema , a figura 8.4.3 plota uma série de retratos de fase antes, durante e depois da bifurcação. Somente os detalhes importantes são mostrados. 
	Numericamente, a bifurcação é encontrada para ocorrer quando . Para µ < µc, o ciclo limite estável passa próximo do ponto de sela na origem (8.4.3a). Quando µ cresce para µc, o ciclo limite aumenta (8.4.3b) e toca o ponto de sela, criando uma órbita homoclínica (8.4.3c). Quando µ > µc, a conexão com a sela é quebrada e o ciclo é interrompido (8.4.3d).
A chave dessa bifurcação é o comportamento da variedade instável da sela. Perceba que o braço da variedade instável que sai da origem para o nordeste: ou ele volta pra origem (8.4.3c), ou ele cai no ciclo (8.4.3a,b) ou ele passa direto (8.4.3d).
· Leis de escala
 Para cada bifurcação dada aqui, existem leis de escala características que governam a amplitude e o período do ciclo limite quando se aproxima da bifurcação. Vamos denotar µ como alguma medida adimensional de distância da bifurcação, e assumir que µ < < 1. A lei de escala genérica para ciclos em sistemas bidimensionais é dado pela tabela 8.4.1.
 
· Exemplo 8.4.1:
	O oscilador de van der Pol não parece se enquadrar em nenhum lugar da tabela 8.4.1. Quando ε = 0, os autovalores na origem são puramente imaginários λ = ± i, sugerindo que uma bifurcação de Hopf ocorre quando ε = 0. Mas nós sabemos pela seção 7.6 que para 0 < ε < < 1, o sistema possui um ciclo limite com amplitude . Assim o ciclo nasce completamente grande, não com tamanho como prediz a tabela de leis. Qual a explicação ?
	A bifurcação em ε = 0 é degenerada. O termo não linear desaparecem exatamente com o mesmo valor de parâmetro que os autovalores cruzam cruzam a linha do eixo imaginário. Isso é uma coincidência não genérica! 
	Podemos redimensionar x para evitar esse degeneração. Escrevendo a equação . Vamos fazer para remover a dependência de ε do termo não-linear. Então e a equação se torna . Agora o termo não-linear não é destruído quando os autovalores se tornam puramente imaginários. Da seção 7.6, temos que a solução do ciclo limite é . Em termos de u temos . Logo a amplitude cresce com como esperado para bifurcação de Hopf.
	Em espaços de fases de ordem superior, as bifurcações correspondentes obedecem essas mesmas leis de escala, com algumas ressalvas: 1) Muitas bifurcações adicionais de ciclo limite são possíveis, então a tabela não é mais exaustiva. 2) A bifurcação homoclínica torna-se muito mais sútil de analisar.
	
· 8.7 - Mapas de Poincaré
	Os mapas de Poincaré são úteis para estudar fluxos de turbilhão, como fluxos próximos a órbitas periódicas (e como veremos a seguir, fluxos em sistemas caóticos). Considere um sistemas n-dimensional . Faremos S ser uma superfície de seção com dimensão n-1 (Fig. 8.7.1). É necessário que S seja transversal ao fluxo, ou seja, todas as trajetórias começando em S fluem através de S e não paralelas a ela. 
	O mapa de Poincaré P é um mapeamento de S para si mesmo obtido seguindo trajetórias de uma interseção com S para a próxima. Se denota a interseção kth, então o mapa de Poincaré é definido por . Suponha que x* seja um ponto fixo de P, ou seja P(x*) = x*. Então a trajetórias começando em x* retorna para x* depois de um tempo T, e é portanto uma órbita fechada para o sistema original . Olhando para o comportamento de P próximo do ponto fixo, nós podemos determinar a estabilidade da órbita fechada. Então o mapa de Poincaré converte problemas sobre órbitas fechadas (que são difíceis) em problemas sobre pontos fixos do mapeamento. O problema é que normalmente é impossível encontrar uma fórmula para P. 
Parte 3 - Caos
· Capítulo 9 - Equações de Lorenz
· 9.0 - Introdução
	Vamos começar nossos estudos de Caos com as equações de Lorenz. 
. 
	Aqui σ, r, b > 0 são parâmetros. Ed Lorenz (1963) derivou esse sistema tridimensional de um modelo drasticamente simplificado de rolos de convecção na atmosfera. As mesmas equações também aparecem para modelos de lasers e dínamos, e como veremos elas descrevem o movimento de uma certa roda de água. 
	Lorenz descobriu que esse sistema determinístico de aparência simples poderia ter uma dinâmica extremamente errada: em uma ampla gama de parâmetros, as soluções oscilam de forma irregular, nunca se repetindo, mas sempre se mantendo na região limitada do espaço de fase. Quando as trajetórias são plotadas em 3 dimensões, ele descobriu que elas se estabeleceram em um conjunto complicado, hoje em dia chamado de atrator estranho. Diferente de pontos fixos e ciclos limites, o atrator estranho não é um ponto ou uma curva ou mesmo uma superfície, ele é um fractal com dimensão fracionários entre 2 e 3. 
· 9.1 - Uma roda de água caótica
	Um modelo mecânico para as equações de Lorenz foi inventado por Willem Malkus and Lou Howard no MIT na década de 1970. É um modelo de brinquedo de uma roda de água, com copos com vazamento suspensos em sua borda. (Figura 9.1.1).
	A água é despejada de forma constante a partir do topo. Se a taxa for muito lenta, os copos superiores nunca enchem o suficiente para superar o atrito e a roda permanece sem movimento. Para uma taxa de despejamento mais alta, o copo superior fica pesado o suficiente para começar a girar a roda (Figura 9.1.1a). Eventualmente a roda se estabelece em uma rotação constante em uma direção ou em outra (Fig. 9.1.1b). Por simetria, a rotação para qualquer direção é possível, e depende das condições iniciais. 
	Aumentando o fluxo um pouco mais, nós desestabilizamos a rotação estacionária. Então o movimento se torna caótico; a roda gira em uma direção por algumas voltas, então os copos se tornam muito cheios e a roda não tem inércia suficiente para carregá-los de volta ao topo, então a roda desacelera e reverte sua direção (Fig. 9.1.1c). Ela gira por outra direção por algumas vezes. A roda continua mudando a direção erraticamente. 
	A figura 9.1.2 representa uma roda d’água mais sofisticada usada nos dias de hoje. A roda fica em cima de uma mesa inclinada. A água é bombeada para dentro dos canalículos da roda onde podemos ver claramente a distribuição. Ela sai por pequenos furos nos canalículos onde é coletada e bombeada de novo garantindo uma entrada constante de água. 
	Os parâmetros podem ser variados em duas formas. Um freio pode ser adicionado na roda para por mais ou menos atrito. E a inclinação pode ser alterada, o que afeta a força gravitacional no sistema. 
	Um sensor mede a velocidade angular da roda ω(t) e plota um gráfico em tempo real (Figura 9.1.3). Perceba a sequência de revertidas irregulares. 
	Queremos entender de onde esse caos vem e as bifurcações que fazem a roda sair do estado de repouso, para uma rotação estacionária e depois para um movimento caótico. 
· Notação
	Aqui estão as coordenadas, variáveis e parâmetros que descrevem o movimento da roda. (Fig. 9.1.4):
	θ = ângulo na estrutura do laboratório (não a estrutura presa a roda)
	θ = na estrutura do laboratório
	ω(t) = velocidade angular da roda (aumenta no sentido anti-horário, conforma faz θ) 
	m(θ, t) = distribuição de massa de água em torno do aro da roda, definida demodo que a massa entre θ1 e θ2 é .
Q(θ) = influxo (taxa na qual a água é bombeada)
r = raio da roda
K = taxa de vazamento
v = taxa de amortecimento rotacional
I = momento de inércia da roda
· Simplificação 	Comment by João Antonio: Essa parte é um resumo de toda uma simplificação bem densa da parte matemática do livro.
	Após muitas análises e demonstrações matemáticas, temos que o sistema final que representa a roda d’água é , que vem de um par original de Equações Diferenciais Parciais. Podemos perceber que esse sistema é equivalente às equações de Lorenz. 
	Ninguém jamais entendeu esse sistema completamente, pois seu comportamento é de fato muito complexo, porém podem tentar dizer algo a respeito. 
· Pontos fixos
	Vamos começar encontrando os pontos fixos do sistema acima. Por conveniência de notação, os usuais asteriscos vão ser omitidos nos passos intermediários. 
	Se definirmos todas as derivadas iguais a zero, temos: 
Agora resolvendo para b1 por eliminação de a1 em (10) e (11):. 
Equacionando (10) e (12), temos que . Logo ou 
Assim, existem dois tipos de pontos fixos a considerar:
1) Se , então e . Esse ponto fixo corresponde ao estado de repouso sem rotação. A roda está em descanso, com o influxo balanceado pelo vazamento. Não estamos dizendo que esse estado é estável, apenas que ele existe; cálculos de estabilidade virão mais a frente. 
2) Se , então temos que . Como , nós temos . Logo 
Se o lado direito de (16) é positivo, então tem duas soluções correspondendo a rotação estacionária em qualquer direção. Essas soluções existem se, e somente se, .
	O grupo adimensional em (17) é chamado de número de Rayleigh. Essa taxa expressa a competição entre g e q1 (gravidade e influxo, que tendem a girar a roda) e K e v (vazamento e amortecimento, que tendem a parar a roda). Então isso faz sentido para a rotação estacionária, somente se o número de Rayleigh for grande o suficiente. 
	Esse número aparece em outras partes de mecânica dos fluidos, geralmente na convecção, onde ele é proporcional a diferença de temperaturas em cima e em baixo no sistema. Para pequenas temperaturas, o calor é conduzido verticalmente, mas o fluxo permanece parado. Porém quando o número de Rayleigh cresce além de um valor crítico, a instabilidade ocorre. O fluido quente é menos denso e começa a subir, enquanto o fluído gelado no topo começa a descer. Isso cria um padrão de convecção completamente análogo ao padrão de rotação estacionária na roda d’água.
	A analogia com a roda d’água termina por aí. Com números muito grande de Rayleigh, uma turbulência se desenvolve no movimento de convecção e se torna complexo no espaço e no tempo. Em contraste, a roda d’água cai em um padrão de pêndulo, onde ele começa a mudar o sentido da direita para a esquerda indefinidamente. 
· 9.2 - Propiedades simples das equações de Lorenz
	Vamos agora seguir os passos de Lorenz. Ele levou análise o mais longe possível usando técnicas padrão, mas em certo momento foi confrontado com o que parecia um paradoxo. Um por um ele eliminou todas as possibilidades conhecidas para os comportamento de longo-prazo do seu sistema: ele mostrou que em um certo conjunto de parâmetros, não podia haver nenhum ponto fixo estável e nenhum ciclo limite estável, e ainda provou que todas as trajetórias permaneciam confinadas na região limite e são eventualmente atraídas para um conjunto de volume zero. Vamos primeiro ver como Lorenz observou as possibilidades mais tradicionais. 
	A equação de Lorenz é , onde σ, r, b > 0 são parâmetros: σ é o número de Prandtl, r é o número de Rayleigh e b não tem nome.
· Não linearidade
	O sistema possui apenas duas não-linearidades, os termos quadráticos xy e xz. 
· Simetria
	Existe uma simetria importante nas equações de Lorenz. Se substituir , as equações permanecem as mesmas. Logo, se (x(t), y(t), z(t)) são soluções, então também são (-x(t), -y(t), -z(t)).
· Contração de volume
	O sistema de Lorenz é dissipativo: volumes no espaço de fase contraem sob o fluxo. Para ver isso, devemos pensar em como os volumes evoluem?
	Vamos responder a pergunta no geral, para qualquer sistema tridimensional . Escolha uma superfície fechada arbitrária S(t) com volume V(t) no espaço de fase. Pense nos pontos em S como condições iniciais para as trajetórias, deixe-as evoluir por um tempo infinitesimal dt. Então S evolui para uma nova superfície S(t + dt); qual é o volume V(t + dt)?
	Figura 9.2.1 mostra uma visão lateral do volume. 
	Deixe n denotar a normal externa de S. Como f é a velocidade instantânea dos pontos, f*n é o componente externo normal da velocidade. Portanto, em um tempo dt, um fragmento de área dA varre um volume (f*ndt)dA, como na figura 9.2.2.	Comment by João Antonio: Produto escalar
	Logo, 
Então nós obtemos, . Logo, . Finalmente, nós escrevemos a integral abaixo pela teorema da divergência, e temos . Para a equação de Lorenz . Desde que a divergência seja constante, se reduz para , que possui solução . Então, os volumes no espaço de fase encolhem exponencialmente rápido. 
	Portanto, se começamos com uma enorme bolha de condições iniciais, isso eventualmente irá reduzir para algo de volume zero, como um balão cheio de ar murchando. Todas as trajetórias começando na bolha terminam em algum lugar nesse conjunto limitado; posteriormente veremos que isso corresponde a um ponto fixo, ciclo limite ou algum atrator estranho. A constrição do volume impõe fortes restrições a possíveis soluções para as equações de Lorenz, como veremos nos exemplos.
· Exemplo 9.2.2:
	Mostre que é impossível para o sistema de Lorenz haver pontos fixos repelidores e ciclos limites repelidores. (Repelidor quer dizer que todas as trajetórias perto do ponto ou órbita, são dirigidas para longe). 
	Repelidores são incompatíveis com a contração de volume, pois eles são fontes de volume, no seguinte sentido. Suponha que envolvemos um repelidor com uma superfície fechada de condições iniciais próximas no espaço de fase. Um pequeno tempo depois, a superfície teria se expandido, e às trajetórias correspondentes dirigidas para longe. Então o volume dentro da superfície iria aumentar. Isso contradiz o fato de que todo volume contrai. 
	
	Por processo de eliminação, concluímos que todos os pontos fixos do sistema devem ser bacias ou selas, e órbitas fechadas (se existirem) devem ser estável, ou como selas. Para o caso de pontos fixos, vamos verificar essas conclusões explicitamente. 
· Pontos fixos
	Como na roda d’água, o sistema de Lorenz tem dois tipos de pontos fixos. A origem (x*, y*, z*) = (0, 0, 0) é um ponto fixo para todos os valores de parâmetros. Isso corresponderia ao estado sem movimento na roda d’água. Para r > 1, existe também um par simétrico de pontos fixos . Lorenz chamou eles de C+ e C-. Eles são análogos às rotações estacionárias para esquerda e direita. A medida que , C+ e C- coalescem com a origem em uma bifurcação de forquilha. 
· Estabilidade linear na origem
	A linearização na origem é , obtida por omissão dos termos não lineares xy e xz. A equação para z é desacoplada, e mostra que exponencialmente rápido. As outras duas direções são governadas pelo sistema , com traço e determinante . Se r > 1, a origem é um ponto de sela, pois . Perceba que isso é um novo tipo de sela para nós, pois o sistema completo é tridimensional. Incluindo o decaimento na direção z, a sela tem uma direção de saída e duas de entrada. Se r < 1, todas as direções são de entrada, então a origem é uma bacia de atração. Especificamente, desde que , a origem é um nó estável para r < 1.
· Estabilidade global na origem
	Atualmente, para r < 1, nós podemos mostrar que toda trajetória se aproxima da origem a medida que ; a origem é globalmente estável. Logo, não pode haver nenhum ciclo limite ou caos para r < 1.
	A prova envolve a construção de uma função Liapunov, uma função definida, suave e positiva que decresce ao longo das trajetórias. Como discutido na seção 7.2, uma função Liapunov é uma generalização de função de energia para um sistema mecânico clássico,na presença de fricção, ou outra dissipação, a energia decresce monotonicamente. Não há nenhuma caminho para inventar funções Liapunov, mas uma boa tentativa é a soma de quadrados. 
Aqui, consideramos . As superfícies de V constantes são elipsóides concêntricas sobre a origem (Fig. 9.2.3). 
A ideia é mostrar que para r < 1 e (x, y, z) ≠ (0,0,0), então ao longo das trajetórias. Isso implicaria que as trajetórias continuam se movendo para o menor V, e logo penetra elipsóides cada vez menores com . Mas V é limitada abaixo de 0, então e logo , como desejado. 
	Agora calculando , completando o quadrado nos primeiros dois termos . Então o lado direito é estritamente negativo se r < 1 e (x, y, z) ≠ (0,0,0). Isso certamente não é positivo, pois é uma soma negativo dos quadrados, mas poderia ? Isso iria requerer que cada termo na direita desaparecesse separadamente. Logo, y = 0 e z = 0, então o primeiro termo se reduz para -x2, que desaparece se x = 0. 
	A conclusão é que implica que (x, y, z) = (0, 0, 0). Caso contrário, . Logo, o critério foi estabelecido e a origem é globalmente estável para r < 1.
· Estabilidade de C+ e C-
	Agora suponha r > 1, então C+ e C- existe. Eles são linearmente estáveis para ( assumindo que σ - b - 1 > 0). Usamos um subscrito de H, pois C+ e C- perdem estabilidade após uma bifurcação de Hopf em r = rH.
	O que acontece imediatamente após a bifurcação, para r levemente maior que rH? Podemos pensar que C+ e C- estariam cada um circundado por ciclo limite estável. Isso iria ocorrer, se a bifurcação de Hopf fosse supercrítica. Porém, ela é subcrítica, os ciclos limites são instáveis e existem somente para r < rH. 
Aqui a figura intuitiva. Para r < rH o retrato de fase próximo a C+ é esquematizado na figura 9.2.4. 
	O ponto fixo é estável. Ele é circundado por um ciclo sela, um novo tipo de ciclo limite instável que somente é possível em espaços de fase de três ou mais dimensões. O ciclo possui uma variedade instável bidimensional (o plano na figura 9.2.4) e uma variedade estável bidimensional (não mostrada). Quando , o ciclo colapsa sobre o ponto fixo. Na bifurcação de Hopf, o ponto fixo absorve o ciclo sela e muda em um ponto de sela. Para r > rH, não há nenhum atrator na vizinhança. 
	Então para r > rH, as trajetórias devem voar para algum atrator distante. Mas o que pode ser ? Um diagrama de bifurcação parcial para o sistema, baseado nos resultados até agora, não mostra nenhuma dica de qualquer objeto estável para r > rH (Fig. 9.2.5).
	Poderiam todas as trajetórias serem repelidas para o infinito ? Não; nós provaremos que todas as trajetórias eventualmente entram e permanecem em uma grande elipsóide. Poderia haver algum ciclo limite estável que não conhecemos ? Possivelmente, mas Lorenz deu um argumento persuasivo de que para r ligeiramente maior que rH, qualquer ciclo limite teria que ser instável. 
	Então as trajetórias tem que ter algum tipo de comportamento a longo prazo bizarro. Elas são repelidas de um objeto instável e depois de outro. Ao mesmo tempo, elas estão confinados em algum limite de volume zero, e conseguem se mover sem que uma intersecta a outra. Veremos a seguir o que acontece. 
	
· 9.3 - Caos em um atrator estranho
	Lorenz usou a integração numérica para visualizar como as trajetórias se comportavam em longo prazo. Ele estudou o caso particular onde . Esse valor de r é além do valor da bifurcação de Hopf, , então ele sabia algo estranho deveria acontecer. É claro, coisas estranhas poderiam ocorrer por outras razões, os computadores eletromecânicos da época eram difíceis de usar, então Lorenz tinha que interpretar sua integração numérica com cautela. 
	Ele começou integrando da condição inicial (0, 1, 0), perto do ponto de sela na origem. A figura 9.3.1 plota y(t) para solução resultante. 
	Depois de um ínicio transiente, a solução vai para um tipo de oscilação que persiste em , mas que nunca se repete com exatidão. O movimento é aperiódico. 
	Lorenz descobriu que uma maravilhosa estrutura emerge quando a solução é visualizada como trajetória no espaço de fase. Por exemplo, quando x(t) é plotado contra z(t), um padrão de borboleta aparece (figura 9.3.2).
	A trajetória parece cruzar-se repetidamente, mas isso é um artefato de projeção de trajetórias tridimensionais em um plano bidimensional. Em 3 dimensões, nenhum auto-intersecção ocorre. 
	Vamos tentar entender a 9.3.2 em detalhe. A trajetória começa perto da origem, em seguida sobe pela direita e então mergulha em uma espiral na esquerda. Depois de uma espiralada muito lenta para fora, a trajetória volta para o lado direito e espirala por algumas vezes e então volta para a esquerda e assim por diante indefinidamente. O número de circuitos feito em cada lado varia de forma imprevisível de um ciclo para o próximo. Na verdade, a sequência do número de circuitos tem muitas características de uma sequência aleatória. Fisicamente, a alternância entre esquerda e direita corresponde às mudanças de direção na roda d’água. 
	
	Quando a trajetória é vista em três dimensões, ela parece cair em uma conjunto fino que parece com asas de borboleta. Figura 9.3.3 esquematiza esse atrator estranho. Esse conjunto limitante, é o conjunto atrator de volume zero cuja existência foi deduzida na seção 9.2.
	Qual é a estrutura geométrica do atrator estranho? Figura 9.3.3 sugere que é um par de superfície que se fundem em uma só na parte inferior. Mas como isso pode ocorrer, se o teorema da unicidade (Seção 6.2) nos diz que as trajetórias não podem se cruzar ou se fundir ? Lorenz deu uma ótima explicação - as duas superfícies apenas parecem se fundir. A ilusão é causada pela forte contração do fluxo, e resolução numérica insuficiente. Mas veja onde essa ideia pode nos levar:
		As duas superfícies parecem meramente se fundir e permanecem superfícies distintas. Seguindo essas superfícies ao longo de um caminho paralelo a uma trajetória, e circundando C+ e C-, nós vemos que cada superfície na realidade são 4 superfícies. Continuando o processo para outro circuito, nós vemos que na realidade há 8 superfícies, etc. Finalmente concluímos que existem infinitas superfícies complexas, cada uma extremamente próxima da outra. 
Hoje em dia, esse “complexo infinito de superfícies” seria chamado de fractal. Que é um conjunto de pontos com volume zero, mas área de superfície infinita. De fato, experimentos numéricos sugerem que isso tem a dimensão em torno de 2.05! 
· Divergência exponencial de trajetórias próximas
	O movimento no atrator exibe dependência sensível das condições iniciais. Isso significa que duas trajetórias começando extremamente próxima, vão divergir rapidamente uma da outra e terão futuros completamente diferentes. A implicação prática é que predições a longo prazo são impossíveis em sistemas como esse, pois pequenas incertezas são amplificadas muito rapidamente. 
	Vamos tornar essa ideia mais precisa. Suponha que tenhamos decaimentos transientes, de modo que uma trajetória esteja “no” atrator. Suponha que x(t) é um ponto no atrator no tempo t, e considere um ponto próximo, dizemos que x(t) + 𝛿(t), onde 𝛿 é um vetor de separação pequeno de tamanho inicial (Figura 9.3.4).
	Agora veja como 𝛿(t) cresce. Em estudos numéricos do atrator de Lorenz encontra-se que , onde . Então, as trajetórias vizinhas se separam exponencialmente rápido. De forma equivalente se plotarmos por t, nós encontramos uma curva que é próximo de uma linha reta, com inclinação positiva de λ (Fig. 9.3.5).
	Precisamos considerar algumas qualificações:
1) A curva nunca é exatamente reta. Ela se move pois a força da divergência exponencial varia um pouco ao longo do atrator;
2) A divergência exponencial deve parar quando a separação é comparável ao “diâmetro” do atrator - as trajetórias obviamente não podem se distanciar mais do que isso. Isso explica o nível de saturação na curva da figura 9.3.5.
3) O número λ comumente chamado de expoente de Liapunov, embora esse seja um uso errôneo do termo, pois: 
a) Primeiro, existem atualmente n diferentes expoentesde Liapunov para sistemas de n-dimensões, definido como segue. Considere a evolução de uma espera infinitesimal de condições iniciais perturbadas. Durante a evolução, a esfera se torna distorcida em uma elipsóide infinitesimal. Vamos fazer , denotar o tamanho da kth do eixo principal da elipsóide. Então , onde λk é o expoente de Liapunov. Para t grande, o diâmetro da elipsóide é controlado por λk mais positivo. Logo, nosso λ é atualmente o maior expoente de Liapunov. 
b) Segundo, λ depende (levemente) de qual trajetória estamos estudando. Nós precisamos tirar a média de muitos pontos diferentes da mesma trajetória para ter o valor real de λ.
	
	Quando um sistema possui um expoente de Liapunov, existe um horizonte de tempo onde a predição é quebrada, como esquematizado na figura 9.3.6. Suponha que nós mensuramos as condições iniciais de um sistema experimental muito acuradamente. É claro, nenhum medida é perfeita, existe sempre algum erro entre nossa estimativa e o estado inicial real. Depois de um tempo t, a discrepância aumenta . Vamos fazer a ser a medida de tolerância, ou seja, se a predição está dentro de a do estado verdadeiro, nós consideramos ela aceitável. Então nossa predição se torna inaceitável quando ; isso ocorre depois de um tempo . A dependência logarítmica de é o que nos machuca. Não importa quando duro nós trabalhemos para reduzir o erro da mensuração inicial, nós não podemos predizer tempos mais longos que alguns múltiplos de . 
· Exemplo 9.3.1:
	Suponha que estejamos tentando predizer o futuro de um sistema caótico dentro de uma tolerância de a = 10-3. Dada que nossa estimativa do estado inicial é incerta com . Por quanto tempo conseguiremos prever o estado do sistema, enquanto ele se mantém com tolerância? Agora imagine que compramos o melhor equipamento e recrutamos o melhor aluno de graduação e essa pessoa mensurou o estado inicial milhões de vezes melhor, ou seja, melhores nosso erro inicial para , por quanto tempo podemos predizer ?
	A predição original é e predição melhorada é . Então, após uma melhora inicial da nossa incerteza em milhões de vezes, conseguimos predizer somente 10/4 = 2,5 vezes mais! 
· Definindo Caos
	Nenhuma definição para o termo caos é aceita universalmente, mas muitos concordam com três características usadas na definição seguinte:
	CAOS: é um comportamento a longo prazo aperiódico em um sistema determinístico que exibe sensível dependência para as condições iniciais. 
1) “Comportamento de longo prazo aperiódico” significa que há trajetórias que não caem para pontos fixos, órbitas periódicas ou órbitas quasiperiódicas quando . Para fins prática. Percebemos que essas trajetórias não são tão raras. Por exemplo, podemos insistir que haja um conjunto aberto de condições iniciais que levam para trajetórias aperiódicas, ou talvez que tais trajetórias devam ocorrer com probabilidade diferente de zero, dada uma condição inicial aleatória.
2) “Determinista” significa que o sistema não é aleatório. O comportamento irregular surge da não-linearidade do sistema, ao invés de forças motrizes aleatórias. 
3) “Dependência sensível das condições iniciais” significa que trajetórias próximas separaram-se exponencialmente rápido, ou seja, o sistema possui expoente Liapunov positivo. 
· Exemplo 9.3.2:
	Algumas pessoas pensam que o caos é somente uma palavra bonita para instabilidade. Por exemplo, o sistema é determinista e mostra separação exponencial das trajetórias próximas. Poderíamos chamar esse sistema de caótico ?
	Não! Trajetórias são repelidas para o infinito e nunca retornam. Então o infinito age como um ponto fixo. Comportamento caótico deve ser aperiódico, e isso exclui pontos fixos, e comportamento periódico. 
· Definindo Atrator e Atrator estranho
	O termo atrator é muito difícil de definir rigorosamente. Nós queremos uma definição que é suficiente para incluir todos os candidatos naturais, mas restritiva suficiente para excluir os impostores. 
	Um atrator é um conjunto no qual todas as trajetórias vizinhas convergem. Pontos fixos estáveis e ciclos limites estáveis são exemplos. Mais precisamente, definimos atrator, como um conjunto fechado A com as seguintes propriedades:
1) A é um conjunto invariante: qualquer trajetória x(t) que começa em A fica em A por todo tempo.
2) A atrai um conjunto aberto de condições iniciais: existe um conjunto aberto U contendo A que se , então a distância de x(t) para A tende a zero quando . Isso significa que A atrai todas as trajetórias que começam suficientemente perto dela. O U é chamado de bacia de atração de A.
3) A é mínimo: não existe um subconjunto adequado de A que satisfaz condições 1) e 2).
· Exemplo 9.3.3:
	Considere o sistema . Vamos fazer I denotar o intervalo , y = 0. Então I é um conjunto invariante ? Ele atrai um conjunto aberto de condições iniciais ? Ele é atrator ?
	O retrato de fase é mostrado na figura 9.3.7. Existe pontos fixos estáveis nos pontos de I e um ponto de sela na origem. A figura mostra que I é um conjunto invariante, qualquer trajetória começando em I fica em I para sempre (De fato, o eixo x inteiro é um conjunto invariante, desde que y(0) = 0, então y(t) = 0 para todo t). Então a condição 1 está satisfeita. 
	Além disso, I atrai um conjunto aberto de condições iniciais, pois ele atrai todas as trajetória do plano xy. Então a condição 2 está satisfeita. 
	Mas I não é um atrator, pois não é mínimo. Os pontos fixos estáveis são subconjuntos de I que também satisfazem as condições 1 e 2. Esses pontos são os únicos atratores do sistema. 
	Existe uma importante moral no exemplo 9.3.3. Se um certo conjunto atrai todas as trajetórias do sistema, ele pode falhar em ser um atrator por não ser mínimo, logo ele deve conter um ou mais atratores menores. 
	O mesmo pode ser verdade para as equações de Lorenz. Apesar de todas as trajetórias serem atraídas para o conjunto limite de volume zero, ele não necessariamente é um atrator, pois pode não ser mínimo. Essa dúvida persistiu por muito tempo, mas finalmente descansou em 1999. Iremos discutir isso na seção 9.4.
	Finalmente iremos definir atrator estranho como um atrator que exibe sensibilidade às condições iniciais. Atratores estranhos são originalmente chamados de estranhos pois eles são conjuntos fractais. 
· 9.4 - Mapas de Lorenz
	Lorenz em 1963 encontrou uma forma elegante de analisar a dinâmica dos atratores estranhos. Ele direcionou sua atenção para uma vista particular do atrator (Figura 9.4.1).
	Então ele escreveu: “A trajetória aparentemente vira uma espiral apenas depois de uma certa distância crítica do centro. Além disso, a extensão em que essa distância é excedida parece determinar o ponto em que a próxima espiral é inserida, isso por sua vez parece determinar o número de circuitos antes de mudar novamente de espiral. Portanto, parece que alguma característica única de um determinado circuito parece prever a mesma característica do circuito seguinte.” 
	A característica única ao qual ele se referiu é o zn, o n-ésimo máximo local de z(t) (Figura 9.4.2).
	
A ideia de Lorenz é que zn deve prever zn+1. Para checar isso, ele integrou numericamente as equações por um longo tempo, e então mediu o máximo local de z(t) e finalmente plotou zn+1 vs zn. Como mostrado na figura 9.4.3, os dados da série caótica parecem cair perfeitamente numa curva. 
	Com esse raciocínio, Lorenz foi capaz de extrair ordem do caos. A função zn+1 = f(zn) mostrada na figura 9.4.3 é agora chamada de mapa de Lorenz. Eles nos diz muito sobre a dinâmica do atrator: dado um z0, nós podemos predizer z1 por z1 = f(z0) e usar essa informação para predizer z2 = f(z1) e assim por diante. A análise desse mapa de iteração nos leva a conclusões importantes, porém precisamos esclarecer algumas coisas.
	Primeiro, o gráfico na figura 9.4.3 não é bem uma curva. Ele tem de ter alguma espessura. Estritamente falando, f(z) não é uma função bem definida, pois ela pode ter mais de um output zn+1 para um input zn. Por outro lado, a espessura é muito pequena, e podemos simplificarpor aproximação tratando como uma curva. 
	Segundo, o mapa de Lorenz pode nos lembrar do mapa de Poincaré (seção 8.7). Em ambos os casos é uma tentativa de simplificar a análise de uma equação diferencial reduzindo-a em uma mapa iterativo. Porém para construir um mapa de Poincaré para um fluxo tridimensional, nós precisamos computar as sucessivas interseções da trajetória com uma superfície bidimensional. O mapa de Poincaré pega um ponto nessa superfície, especificado por duas coordenadas e então nos mostra como essas coordenadas mudam na primeira volta até a superfície. O mapa de Lorenz é diferente pois ele caracteriza a trajetória por apenas um número, e não dois. Essa simples abordagem só funcionamente quando o atrator é muito “plano”, ou seja, próximo de duas dimensões, como é o caso dos atratores de Lorenz.
· Excluindo ciclos limites estáveis
	Como saber se o atrator de Lorenz não é apenas um ciclo limite estável disfarçado ? Poderíamos pensar que: “As trajetórias não parecem se repetir pois não foram integradas por tempo suficiente. Eventualmente, elas iriam cair para um comportamento periódico a longo prazo, um prazo mais longo do que vou tentado em seu computador”. 
	Lorenz deu um contra-argumento plausível que ciclos limites estáveis de fato não ocorre para os parâmetros estudados. 
	Seu argumento é assim: A observação chave é que o gráfico da figura 9.4.3 satisfaz em qualquer lugar. Essa propriedade implica que se houver qualquer ciclo limite instável, ele necessariamente deve ser instável. 
	Para ver o por que, nós começamos a analisar os pontos fixos no mapa f. Esses são os ponto z* onde f(z*) = z*, e nesse caso zn = zn+1 = zn+2 = …. Figura 9.4.3 mostra que há um ponto fixo, onde a diagonal de 45º intersecta o gráfico. Esse representa uma órbita fechada que se parece com a mostrada na figura 9.4.4. 
	Para mostrar que essa órbita fechada é instável, considere uma trajetória levemente perturbada que possui , onde é pequeno. Depois da linearização usual, nós temos que . Desde que , nós temos que . Logo, o desvio aumenta com cada iteração, e então a órbita fechada original é instável. Vamos generalizar esse argumento para mostrar que toda órbita fechada é instável. 
· Exemplo 9.4.1:
	Dada a aproximação do mapa de Lorenz , com para todo z, mostre que todas as órbitas fechadas são instáveis. 
	Pensando na sequência {zn} correspondente a uma órbita fechada arbitrária. Isso deve ser uma sequência complicada, mas nós sabemos que a órbita eventualmente fecha, então a sequência irá se repetir. Logo , para algum inteiro p ≥ 1 (onde p é o período da sequência, e zn é o período-p no ponto.)
	Agora para provar que a órbita fechada correspondente é instável, considerar um pequeno desvio , e olhe para ele após as iterações de p, quando o ciclo está completo. Mostraremos que , que implica que o desvio aumenta e que a órbita fechada é instável. 
	Para estimar , iremos um passo de cada vez no tempo. Após um iteração por linearização em torno de zn. Depois de duas iterações . Logo após, p iterações . Como cada fator no produtório possui valor absoluto maior que 1, pois para todo z. Então que prova que a órbita fechada é instável. 
· 9.5 - Explorando o espaço de parâmetros
	Até agora nos concentramos nos particulares valores de parâmetros , como Lorenz. O que acontece se mudarmos eles ? Pode-se encontrar ciclos limites amarrados em nós, caos intermitente, periodicidade ruidosa, bem como atratores estranhos. 
	Há um vasto espaço tridimensional para ser explorado, e muito continua a ser descoberto. Para simplificar, muitos pesquisadores mantém , enquanto variam apenas o r. 
	O comportamento para pequenos valores de r foi resumido na figura 9.5.1.
	Muito dessa figura é familiar. A origem é globalmente estável para r < 1. Quando r = 1, a origem perde estabilidade por uma bifurcação de forquilha supercrítica e um par simétrico de pontos fixos atratores surgem (na figura mostra somente um lado). Em rH = 24,74 o ponto fixo perde estabilidade absorvendo o ciclo limite instável em uma bifurcação de Hopf subcrítica. Agora, vendo novos resultados. Até r = 13.926 não há nenhum ciclo limite, então um par de ciclos limites instáveis são criados através de uma bifurcação homoclínica. 	Comment by João Antonio: A origem é nesse momento é um ponto de sela e possui órbitas homoclínicas. Essas órbitas vão se apertando até que perdem o contato com a sela e se tornam ciclo limites instáveis. A medida que r aumenta esses ciclos se apertam mais e mais.
	A bifurcação homoclínica trás muitas ramificações para a dinâmica, mas essa análise é complicada demais para fazermos agora. De forma conclusiva, dizemos que um conjunto invariante complicado nasce em r = 13.926 junto com os ciclos limites instáveis. Esse conjunto é um “matagal” de infinitos sela-ciclo e órbitas aperiódicas. Isso não é um atrator e não é observado diretamente, mas gera uma dependência sensível das condições iniciais na vizinhança. As trajetórias podem ficar penduradas nesse conjunto, como se “vagasse em um labirinto”. Então elas se movem caóticamente por um tempo, mas eventualmente caem em C+ ou C-. O tempo gasto presa próximo a esse conjunto aumenta a medida que r aumenta. Finalmente, quando r = 24.06 o tempo gasto nesse conjunto se torna infinito e o conjunto se torna o atrator estranho. 
· Exemplo 9.5.1:
	Mostre numericamente que as equações de Lorenz podem exibir caos transiente quando r = 21. (Com )
	Depois de experimentar algumas condições iniciais diferentes é fácil achar soluções como a mostrada na figura 9.5.2.
	Inicialmente a trajetória parece traçar o atrator estranho, porém podemos perceber que depois ela se acomoda na direita e começa a cair em espiral até o ponto fixo estável C+. (Lembre-se que C+ e C- ainda são estáveis em r = 21). 
	
O gráfico de y por t mostra o mesmo resultado: uma solução inicial errática e depois cai para um equilíbrio (Figura 9.5.3).
	Outros nomes usados para caos transiente é caos metaestável ou pré-turbulência. 
	Pela nossa definição, a dinâmica do exemplo 9.5.1 não é “caótica”, pois ela possui um comportamento a longo prazo que não é aperiódico. Por outro lado, a dinâmica exibe dependência sensível das condições iniciais, se nós escolhermos condições iniciais levemente diferentes, a trajetória poderia facilmente ir para C- ao invés de C+. Então o comportamento do sistema é imprevisível, pelo menos para certas condições iniciais. 
	O caos transiente nos mostra que sistemas determinísticos podem ser imprevisíveis, mesmo se seus estados finais forem muito simples. Em particular, você não precisa de atratores estranhos para gerar comportamento aleatório de forma eficaz. Muitos jogos de azar são exemplos de caos transiente como por exemplo, jogar dados. O dado rolando loucamente sempre para em uma das 6 posições de equilíbrio. O problema com predizer onde ele vai parar é que sua posição final depende sensivelmente da orientação inicial e velocidade (assumindo que essa seja grande o suficiente)
Antes de terminarmos o exemplo de r pequeno. Devemos notar outra implicação da figura 9.5.1. Para 24.06 < r < 24.74, existem dois tipos de atratores: pontos fixos e atratores estranhos. Essa coexistência significa que podemos ter histerese entre caos e equilíbrio variando r lentamente para frente e para trás. Isso significa que com perturbação suficiente uma roda d’água em rotação estacionária pode entrar em caos permanente. 
O próximo exemplo mostra como a dinâmica se torna simples novamente quando r é muito grande. 
· Exemplo 9.5.2:
	Descreva a dinâmica de longo prazo para grandes valores de r, quando ). Interprete os resultados em termos de movimento da roda d’água. 
	Simulações numéricas indicam que o sistema possui um ciclo limite globalmente atrator para todo r > 313. Nas figuras 9.5.4 e 9.5.5 plotamos uma solução típica para r = 350, perceba a aproximação para o ciclo limite. 
	Essa solução prediz que a roda d’água deve finalmente balançar para direita e para esquerda como um pêndulo, girando uma vez para direito entãopara esquerda e assim por diante. Isso é observado experimentalmente. 
	A história é muito mais complicada para r entre 28 e 313. Para a maioria dos valores de r somente encontramos caos, mas há pequenas janelas de comportamento periódico intercaladas. As três maiores janelas são 99.524… < r < 100.795…; 145 < r < 166; e r > 214.4. A padrão alternado entre regimes caóticos e regimes periódicos se assemelha ao que será visto no mapa logístico (Capítulo 10). 
· 9.6 - Usando Caos para enviar mensagens secretas
	O Caos pode ser útil. Normalmente pensamos que o Caos é só uma curiosidade na melhor das hipóteses, e um incômodo ou algo a ser evitado em engenharia, na pior. Porém desde 1990, pesquisadores encontraram formas de explorar o caos em muitas coisas práticas. 
	Uma aplicações envolve “comunicações privadas”. Suponha que você queira enviar mensagens secretas a alguém. Naturalmente você usaria um código que seja difícil para um inimigo de decifrar, mesmo se ele interceptar a mensagem. Esse é um problema antigo já que pessoas inventam e decifram códigos há muitos anos. 
	Kevin Cuomo e Alan Oppenheim (1992, 1993) implementaram uma nova abordagem para esse problema com base na descoberta de Pecora e Carroll’s (1990) do caos sincronizado. A estratégia consiste de: Quando você transmite a mensagem para seu amigo, você deve “mascarar” sua mensagem com muito caos. Um ouvinte externo só receberá o caos, que soa como um ruído sem sentido. Porém seu amigo terá um receptor muito bom que reproduz perfeitamente o caos, assim ele pode subtrair essa “máscara de caos” e ouvir perfeitamente a mensagem. 
· Demonstração de Cuomo
	Kevin Cuomo foi um aluno do Strogatz (autor do livro) no curso de dinâmica não linear e no final do semestre ele apresentou para toda a classe uma demonstração ao vivo de sua abordagem. Ele primeiramente mostrou como construir uma máscara de caos, usando uma implementação eletrônica das equações de Lorenz (Figura 9.6.1). O circuito involve resistores, capacitores, amplificadores operacionais e chips multiplicadores analógicos. 
	
	As voltagens u, v, w em três pontos diferentes do circuito são proporcionais aos x, y e z da equação de Lorenz. Então esse circuito atua como um computador análogo as equações de Lorenz. Os traços do osciloscópio para u(t) vs w(t) confirmam que o circuito está seguindo o familiar atrator de Lorenz. Então conectando esse circuito ao um alto-falante, podemos ouvir o caos que soa como uma estática no rádio. 
	A parte difícil é fazer um receptor que possa sincronizar perfeitamente com o transmissor caótico. No modelo de Cuomo, o receptor é um circuito elétrico idêntico acionado de certa forma pelo transmissor. Veremos os detalhes depois, mas observe que experimentalmente o caos sincronizado ocorre. A figura 9.6.2 plota as variáveis do receptor ur(t) e vr(t) por suas contrapartes no transmissor u(t) e v(t). 
	O traço de 45º no osciloscópio indica que a sincronização é próxima do perfeito, apesar do fato de que ambos os circuitos estão funcionando de forma caótica. A sincronização também é bem estável: os dados da figura mostram um tempo de alguns minutos. 
	Cuomo demonstrou como utilizar isso para mensagens com uma música. Tocando a versão original e depois tocando a versão mascarada. Com a versão mascarada havia um grande chiado, impossível de saber que havia uma música por baixo. Porém quando essa mensagem foi enviada para o receptor com caos sincronizado, essa faz a subtração eletrônica na hora e é possível ouvir a música de novo, de forma um pouco confusa, mais facilmente compreensível. 
	As figura 9.6.3 e 9.6.4 ilustram a performance do sistema mais quantitativamente. A Figura 9.6.3a é um segmento da música obtida por amostragem da forma de onda a taxa de 48kHz e com resolução de 16 bits. Esse sinal é mascarado por muito caos. O espectro de potência da figura 9.6.4 mostra que o caos é em torno de 20 decibéis mais alto que a mensagem com cobertura em toda a faixa de frequência. Por fim, a mensagem desmascarada no receptor é a Figura 9.6.3b. O original é recuperado com um pouco de distorção (mais visível nas partes achatadas da gravação).
· Prova da sincronização
	O circuito receptor é mostrado na Figura 9.6.5. Ele é idêntico ao transmissor, com a exceção do sinal dirigido u(t) que é substituído pelo sinal recebido ur(t) em um lugar crucial do circuito. Para ver o efeito disso na dinâmica, escrevemos as equações que governam ambos os transmissores e receptores. Usando as leis de Kirchhoff e as apropriadas formas adimensionais. 
	Temos:
 , como dinâmica do transmissor. Isso é apenas as equações de Lorenz escritas em termos de variáveis escálaveis 
(Essa escala é irrelevante matematicamente, mas mantém as variáveis em uma faixa favorável para implementação eletrônica, se uma unidade deve corresponder a um volt. Caso contrário, a ampla faixa dinâmica das soluções excede o típico limites de fonte de alimentação). 
	As variáveis receptoras evoluem de acordo com onde escrevemos u(t) para enfatizar que o receptor é dirigido pelo sinal caótico de u(t) vindo do transmissor. 
	O resultado surpreendente é que o receptor assintoticamente se aproxima da sincronia perfeita com o transmissor, começando de qualquer condição inicial. Para ser preciso, fazemos: . A afirmação é que para todas as condições iniciais. 
	Por que isso é surpreendente ? Pois a cada instante, o receptor só tem informação parcial sobre o estado do transmissor. Ele é dirigido só por u(t), de alguma forma ele consegue reconstruir as duas outras variáveis do transmissor v(t) e w(t) muito bem.
	A prova está no próximo exemplo.
· Exemplo 9.6.1:
	Definindo uma função Liapunov apropriada, mostre que .
	Primeiro iremos escrever as equações que governam a dinâmica do erro. Subtraindo ambos os sistema temos: . Esse é um sistema linear para e(t), mas possui um coeficiente caótico e dependente de tempo, u(t), em dois termos. A ideia é construir uma função Liapunov de tal forma que o caos se anula. Veja só: multiplicando a segunda equação por e2 e a terceira por 4e3. Então: 
E o termo caótico desaparece!
	O lado esquerdo de (3) é . Isso sugere a forma da função Liapunov. Como em Cuomo e Oppenheim (1992), nós definimos a função . E certantamente definido positivamente, pois é uma soma de quadrados (como sempre asumimos ). Para mostrar que E é uma função Liapunov devemos mostrar que ela decresce ao longo da trajetória. Nós já computamos a derivada em função do tempo do segundos dois termos, então se concentre no primeiro termo mostrado entre chaves:. Agora complete o quadrado para o termo em chaves . Logo , somente se . Entretanto E é uma função Liapunov então, é assintoticamente globalmente estável. 
	
	Devemos estar cientes do que estamos provando e do que não estamos. O Exemplo 9.6.1 mostra somente que o receptor irá sincronizar com o transmissor se o sinal que dirige os dois for u(t). Mas isso não prove que a abordagem de mascarar o sinal irá funcionar. Para essa aplicação, o sinal é uma mistura de u(t) + m(t) onde m(t) é a mensagem e u(t) > > m(t) é a máscara. Nós não temos nenhuma prova que o receptor irá regenerar u(t) precisamente. De fato, ele não regenera, é por isso que a música saiu meio estranho. Porém isso ainda é um mistério matemático, de por que essa abordagem funciona tão bem. A prova está quando ouvimos que funciona! 
· Capítulo 10- Mapas unidimensionais
· 10.0 - Introdução
	Agora iremos abordar uma nova classe de sistemas dinâmicos onde o tempo é discreto,ao invés de contínuo. Esses sistemas são conhecidos como equações de diferença, relações de recursão, mapas iterados, ou simplesmente mapas. 
	Por exemplo, suponha que você aperte repetidamente o botão do cosseno em sua calculadora (setada para radianos), começando de algum número x0. Então as leituras sucessivas será x1 = cos(x0), x2 = cos(x1) e assim por diante. Qual resultado mágico aparece após muitos iterações ?
	A regra xn+1 = cos(xn) é um exemplo de mapa unidimensional, chamado assim pois os pontos xn pertencem a um espaço unidimensionalde números reais. A sequência x0, x1, x2… é chamada de órbita começando em x0.
	Os mapas surgem de várias maneiras. 
1) Como ferramentas para analisar equações diferenciais: Nós já encontramos mapas nessa função. Por exemplo, o mapa de Poincaré permite provar a existência de uma solução periódica para o pêndulo dirigido e as junções de Josephson (seção 8.5), e para analisar a estabilidade de soluções periódicas em geral (seção 8.7). O mapa de Lorenz (seção 9.4) provém uma forte evidência de que o atrator de Lorenz é verdadeiramente estranho, e não somente um ciclo limite muito longo. 
2) Como modelos para fenômenos naturais: Em alguns contextos científicos é natural considerar o tempo como discreto. Isso é o caso dos eletrônicos digitais, em algumas áreas da teorias econômicas e financeiras, em sistemas mecânicos dirigidos por impulso, e no estudo de certas populações de animais onde gerações sucessivas não se sobrepõem. 
3) Como exemplos simples de caos: Mapas são interessantes para estudarmos como laboratórios de matemática para o caos. De fato, mapas podem apresentar um comportamento mais selvagem que equações diferenciais pois os pontos xn ao longo de suas órbitas fluem continuamente (Figura 10.0.1).
	O estudo de mapas ainda está no início, mas muito progresso já foi feito nas últimas décadas graças à capacidade crescente de calculadoras, computadores e agora computação gráfica. Mapas são fáceis e rápidos para simular em computadores, onde o tempo é inerentemente discreto. 
· 10.1 - Pontos fixos e teias de aranha
	Nessa seção, nós desenvolvemos algumas ferramentas para analisar mapas unidimensionais na forma de xn+1 = f(xn), onde f é uma função suave da linha real para si mesma. 
· Um ponto pendante
	Quando dizermos “mapa” queremos dizer a função f ou a equação de diferença xn+1 = f(xn)? Seguindo o uso mais comum, chamamos ambos de mapa. 
· Pontos fixos e estabilidade linear
	Suponha que x* satisfaz f(x*) = x*. Então x* é um ponto fixo, se xn = x* então xn+1 = f(xn) = f(x*) = x*; logo a órbita permanece em x* por todas as iterações futuras. Para determinar a estabilidade de x*, nós consideramos uma órbita próxima xn = x* + ηn e observamos se a órbita é atraída ou repelida por x*. Ou seja, o desvio ηn cresce ou decai à medida que n aumenta? Substituindo , mas como f(x*) = x* essa equação reduz a . Suponha que queremos negligenciar de forma segura o termo de ordem superior. Então nós obtermos um mapa linearizado com autovalor ou múltiplo . A solução para esse mapa linear pode ser encontrada explicitamente escrevendo poucos termos , e então no geral . Se , então quando e o ponto fixo é linearmente estável. Por outro lado, se , então o ponto fixo é instável. Apesar dessas conclusões sobre a estabilidade local serão baseadas em linearização, elas podem prover informações sobre o mapa original não-linear. Mas a linearização não nos diz nada sobre o caso marginal ; então os termos negligenciados determinam a estabilidade local. 
· Exemplo 10.1.1:
	Encontre os pontos fixos do mapa xn+1 = xn2 e determine sua estabilidade. 
	Os pontos fixos satisfazem x* = (x*)2. Logo x* = 0 ou x* = 1. O multiplicador . O ponto fixo x* = 0 é estável desde que e x* = 1 é instável pois .
	Tentando o exemplo 10.1.1 numa calculadora apertando x2 de novo e de novo, podemos ver que para um x0 suficiente pequeno, a convergência x* = 0 é extremamente rápida. Pontos fixos com o multiplicador são chamados de superestáveis pois a pertubações decai como , que é muito mais rápida que a usual em um ponto estável ordinario. 
· Teias de aranha
	Na seção 8.7 introduzimos a construção teia de aranha para um mapa iterativo (Figura 10.1.1).
	Dado xn+1 = f(xn) e uma condição inicial x0, desenha uma linha vertical até intersectar o gráfico de f; essa altura é o output x1. Nesse ponto podemos retornar para o eixo horizontal e repetir o procedimento para x2 a partir de x1, mas é mais convenientemente simples traçar uma linha horizontal até intersectar a linha diagonal xn+1 = xn, e então se mover verticalmente para a curva novamente. Repetindo o processo n vezes para gerar os primeiros n pontos da órbita. Teias de aranha são úteis pois nos permitem visualizar o comportamento global num relance, complementando assim as informações locais disponíveis pela linearização. Teias de aranha se tornam mais valiosas quando uma análise linear falha, como no próximo exemplo. 
	
· Exemplo 10.1.2:
	Considere o mapa xn+1 = sen(xn). Mostre que a estabilidade do ponto fixo x* = 0 não é determinado por linearização. Então use a teia de aranha para mostrar que x* = 0 é estável, e de fato globalmente estável. 
	O multiplicador em x* = 0 é , que é o caso marginal onde a análise linear é inconclusiva. Entretanto, a teia de aranha na figura 10.1.2 mostra que x* = 0 é localmente estável; a órbita cai lentamente pelo estreito canal e chega monotonicamente ao ponto fixo (uma figura similar é obtida por x0 < 0).
	Para ver se essa estabilidade é global, temos que mostrar que todas as órbitas satisfazem . Mas para qualquer x0 a primeira iteração é enviada imediatamente para o intervalo , desde que . A teia de aranha nesse intervalo é qualitativamente igual ao da figura 10.1.2, então a convergência é garantida. 
· Exemplo 10.1.3:
	Voltando ao problema da seção 10.0. Dado xn+1 = cos(xn), como xn se comporta quando ?
	Se você tentou na calculadora, você deve ter encontrado não importa de onde comece. O que é esse número bizarro ? É a única solução para a equação transcendental x = cosx, e isso corresponde a um ponto fixo no mapa. Figura 10.1.3 mostra que uma típica órbita espital no ponto fixo x* = 0.739 quando .
	O movimento espiral implica que xn converge para x* através de oscilações amortecidas. Isso é característica de um ponto fixo com . Em contraste, em pontos fixos estáveis com a convergência é monotônica. 
· 10.2 - Mapas logísticos: numéricos
Em uma revisão influente, Robert May (1976) enfatizou que até mapas não-lineares simples podem ter uma dinâmica complicada. O artigo termina com uma frase memorável “um apelo evangélico para a introdução dessas equações de diferença nos cursos elementares de matemática, para que a intuição dos estudantes possam ser enriquecidas vendo as coisas selvagens que equações não-lineares simples podem fazer”.
Vamos ilustrar esse ponto com o mapa logístico. 	
Um análogo discreto no tempo para a equação logística de crescimento populacional (Seção 2.3). Aqui é uma medida adimensional da população na n-ésima geração e é a taxa de crescimento intrínseco. Como mostrado na figura 10.2.1, o gráfico dessa equação é uma parábola com valor máximo de r/4 em x = ½. Nós restringimos o parâmetro de controle r para o intervalo de então a equação mapeia o intervalo em si mesmo. 
· Período de duplicação
	Suponha que fixamos o r, escolhemos uma população inicial x0 e então usamos a equação para gerar o xn subsequente. O que acontece?
	Para taxa de crescimento pequenas r < 1, a população sempre se extingue quando . Esse resultado pode ser provado por teia de aranha. 
	Para 1 < r < 3 a população cresce e eventualmente chega a um estado estacionário diferente de zero (Figura 10.2.2). O resultado é plotado aqui como uma série temporal de xn vs. n. Para deixar essa sequência clara, nós conectamos os pontos discretos (n, xn) por segmentos de linhas, mas lembre- se que somente os cantos das curvas irregulares são significativos. 
	Para r grande, dizemos r = 3.3, a população aumenta novamente mas agora oscila em torno do estado estacionário, alternando entre uma população grande em uma geração, e outra população pequena na próxima (Figura 10.2.3). Esse tipo de oscilação, onde xn repete a cada duas iterações é chamada de ciclo de período 2. 
	Em um r maior ainda, dizemos r = 3.5 a população é um ciclo que agora se repete a cada 4 gerações; o ciclo anterior teve seu período dobrado para um período 4. (Figura 10.2.4).
	Outra duplicações do período para os ciclos de período 8, 16, 32, …, ocorre a medida que r aumenta. Especificamente, denotamosrn como o valor de r onde um ciclo 2n aparece. Então experimentos computacionais revelem que 
	Note que as sucessivas bifurcações vem cada vez mais rápido. Por fim, o rn converge para um valor limitante . A convergência é essencialmente geométrica: no limite de n grande, a distância entre transições sucessivas diminui em um fator constante. 
. Falaremos muito mais desse valor na seção 10.6.
· Caos e janelas periódicas
	O que acontece para ? Essa resposta pode ser complicada. Para muitos valores de r, a sequência {xn} nunca cai para um ponto fixo ou órbita periódica, ao invés disso o comportamento de longa duração é aperiódico, como na figura 10.2.5. Onde vemos uma versão discreta no tempo para o caos encontrado nos estudos anteriores da equação de Lorenz. 
	O diagrama de teia de aranha correspondente também é complexo (Figura 10.2.6). 
	Podemos imaginar que esse sistema se torna mais e mais caótico a medida que r aumenta, mas de fato a dinâmica é mais sútil que isso. Para ver o comportamento a longo prazo para todos os valores de r de uma vez, nós plotamos o diagrama de órbita uma imagem que se tornou um ícone em dinâmica não linear ( Figura 10.2.7). Essa figura é um plot do atrator do sistema em função de r. Para gerar o diagrama de órbita, você precisa escrever um programa de computador com dois “loops”. Primeiro, escolha um valor de r. Então gere uma órbita começando de qualquer condição inicial aleatório x0. Itere 300 ciclos ou mais, para permitir o sistema cair no seu comportamento eventual. Uma vez que os transientes tenha diminuído, plote muitos pontos, digamos x301, …, x600 acima daquele r. Então mova-se um valor de r adjacente e repita, eventualmente varrendo a imagem inteira. 
	A figura 10.2.7 mostra a parte mais interessante do diagrama, na região Em r = 3.4 o atrator é um ciclo de período-2, como indicado pelo dois ramos. Quando r aumenta, os dois ramos se quebram simultaneamente, levando a um ciclo de período-4. Essa divisão e a duplicação do período comentada anteriormente. Uma cascata de duplicações de período ocorre a medida que r aumenta, até que e o mapa se torna caótico e o atrator muda de um finito para um infinito conjunto de pontos. 
	Para o diagrama de órbita revela uma mistura inesperado de ordem e caos, com janelas periódicas inter espaçadas entre nuvens de pontos caóticos. A maior janela começar próximo de e contém um ciclo estável de período-3. Uma ampliação da parte dessa janela é mostrada na figura de baixo da 10.2.7. De forma fantástica uma cópia do diagrama de órbita reaparece em miniatura!. 
· 10.3 - Mapas logísticos: análise
	Os resultados numéricos da seção anterior nos leva a algumas questões importantes. Tentaremos responder algumas das mais fáceis. 
· Exemplo 10.3.1:
	Considere o mapa logístico para e . Encontre todos os pontos fixos e determine sua estabilidade. 
	Os pontos fixos satisfazem . Logo x* = 0 ou , ou seja, . A origem é um ponto fixo para todo r, enquanto está no intervalo de x permitido somente se .
	A estabilidade depende do multiplicador, . Uma vez que , a origem é estável para r < 1 e instável para r > 1. No outro ponto fixo , então é estável para ou seja, . E é instável para r > 3.
	Os resultados do exemplo 10.1.3 são clareados por uma análise gráfica (Figura 10.3.1). Para r < 1 a parábola está abaixo da diagonal e a origem é o único ponto fixo. A medida que r aumenta a parábola fica mais alta e se torna tangente a diagonal em r = 1. Para r > 1 a parábola intersecta a diagonal em um segundo ponto fixo , quando a origem perde estabilidade. Então podemos ver que x* sofre uma bifurcação a partir da origem em uma bifurcação transcrítica em r = 1 (pegando emprestado um termo de equações diferenciais).
	A figura 10.3.1 também sugere como o x* perde estabilidade, a medida que r aumenta além de 1, a inclinação em x* fica cada vez mais íngreme. O Exemplo 10.3.1 mostra que a inclinação crítica é atingida quando r = 3. A bifurcação resultante é chamada de bifurcação invertida (ou de giro) (flip). 
	As bifurcação invertidas costumam estar associadas com à duplicação do período. No mapa logístico, a bifurcação invertida em r=3, gera um ciclo de período 2 como mostrado no exemplo a seguir. 
· Exemplo 10.3.2:
	Mostre que o mapa logístico tem um ciclo de período 2 para todo r > 3.
	Um ciclo de período 2, se e somente se, existem dois pontos p e q de tal forma que f(p) = q e f(q) = p. Equivalente a isso, p deve satisfazer f(f(p)) = p onde . Logo p é um ponto fixo no segundo mapa iterativo . Como f(x) é um polinômio quadrático, então f2(x) é um polinômio a quarta. Seu gráfico para r > 3 é mostrado na figura 10.3.2.	Comment by João Antonio: isso pois f(x*) = x*. Como f(f(x)) tem que ser igual a p. Então f^2(p) = p, então p é ponto fixo da função ao quadrado
	Para encontrar p e q, nós precisamos resolver para onde o gráfico intersecta a diagonal, ou seja, precisamos resolver a equação de quarto grau f2(x) = x. Isso parece difícil até percebermos que os pontos fixos x* = 0 e são soluções triviais para essa equação (uma vez que satisfazem f(x*) = x* então satisfazem f2(x*) = x*). Depois de fatores os pontos fixos o problema se reduz a uma equação quadrada. 
	A expansão da equação nos dá . Após fatorar para fora x e por uma longa divisão e resolvendo a equação quadrada resultante chegamos a um par de raízes. que são reais para r > 3. Assim um ciclo-2 existe para todo r > 3 como afirmamos. Com r = 3, as raízes se coincidem e se iguala o que mostra que o ciclo-2 bifurca continuamente a partir de x*. Para r < 3 as raízes são complexas o que significa que o ciclo não existe mais. 
	Um diagrama de teia de aranha revela como a bifurcação invertida pode dar origem a duplicação do período. Considere qualquer mapa f, e olhe para a imagem local próxima do ponto fixo onde . (Figura 10.3.3).
	Se o gráfico de f for côncavo próximo de x*, a teia de aranha tende a produzir um pequeno ciclo-2 estável próximo do ponto fixo. Mas igual a bifurcação de forquilha, as bifurcações invertidas podem também serem subcríticas, e nesse caso o ciclo-2 existe abaixo da bifurcação e é instável. O próximo exemplo mostra como determinar a estabilidade do ciclo-2. 
· Exemplo 10.3.3:
	Mostre que o ciclo-2 do Exemplo 10.3.2 é estável (isso explica o valor de r1 e r2 encontrados numericamente na seção 10.2).
	Nossa análise segue uma estratégia que vale a pena lembrar. Para analisar a estabilidade de um ciclo, reduza o problema para uma questão sobre a estabilidade de um ponto fixo. Ambos p e q são soluções de f2(x) = x como pontuado no exemplo 10.3.2, uma vez que p e q são pontos fixos no segundo mapa iterativo f2(x). O ciclo-2 é estável precisamente se p e q são estáveis para f2.
	Para computar onde p é estável nós calculamos o multiplicador: 
(Perceba que o mesmo é obtido quando x = q, por simetria do termo final acima. Portanto quando os ramos se bifurcam, eles devem fazer simultaneamente. Notamos essa divisão simultânea em nossas observações na seção 10.2).
	Depois de realizar as derivadas e substituir p e q, nós temos
Portanto o ciclo-2 é linearmente estável para , ou seja para 
	A figura 10.3.4 mostra um diagrama de bifurcação parcial para o mapa logístico baseado nos nossos resultados. Diagramas de bifurcação são diferentes de diagramas de órbita onde objetos instáveis também são mostrados, nos diagramas de órbita somente os atratores são mostrados. 
	Nosso método analíticos estão se tornando mais pesados, alguns resultados além podem ser encontrados, mas é difícil. Para elucidar o comportamento na região de interesse onde , nós vamos contar principalmente com argumentos gráficos e numéricos. 
· 10.4 - Janela periódica
	Uma das coisas mais intrigantes na imagem do diagrama de órbita da (Figura 10.2.7) é a ocorrência de janelas periódicas para . A janela de período 3 que ocorre próximo de é a mais notável. Nosso primeiro objetivo nessa seção é entender como esse ciclo-3 é criado (o mesmo mecanismo é responsável pela criação de todas as outras janelas, por issoiremos considerar o caso mais simples). 
	Primeiro, algumas notações. Faça , então o mapa logístico é . Então, ou de forma mais simples, . De forma similar, . O terceiro mapa iterador é a chave para entendermos o nascimento do ciclo de período-3. Qualquer ponto p em um ciclo período-3 repete a cada três iterações, esse pontos devem satisfazer , e são portanto pontos fixos no terceiro mapa-iterado. Infelizmente, como é um polinômio de 8º grau, nós não conseguimos resolver esses pontos fixos explicitamente. Mas um gráfico provém de visão suficiente. A figura 10.4.1 plota para r = 3.835.
	As interseções entre o gráfico a linha diagonal correspondem às soluções de . Existem 8 soluções, seis nos interessam e estão marcadas com pontos, e duas são impostores que não são genuinamente de período-3, elas são pontos fixos, ou pontos de período-1 para onde . Os pontos pretos na Figura 10.4.1 correspondem ao ciclo de período-3 estável, perceba que a inclinação de é rasa nesses pontos, consistente com a estabilidade do ciclo. Em contraste, a inclinação excede 1 onde o está marcado com círculos brancos; isso é o ciclo-3 é instável. 
	Agora suponha que nós abaixamos r em direção ao regime caótico. Então o gráfico na Figura 10.4.1 muda de forma, as cristas vão para baixo e os vales sobem. A curva, portanto, se afasta da diagonal. A Figura 10.4.2 mostra que quando r = 3.8, os seis cruzamentos marcados desapareceram. Logo, para algum valor intermediário entre r = 3.8 e r = 3.835, o gráfico deve ser tornar tangente a diagonal. Nesse valor crítico de r, os ciclos de período-3 estável e instável coalescem e se aniquilam em uma bifurcação tangente. Essa transição define o começo da janela periódica. 
	Pode-se mostrar que o valor de r na bifurcação tangente é 
· Intermitência
	Para r logo abaixo da janela de período-3, o sistema exibe um tipo interessante de caos. A Figura 10.4.3 mostra uma órbita típica de r = 3.8282. 
	Parte dessa órbita parece com o ciclo-3 estável, como indicado pelos pontos pretos. Mas isso é assustador pois o ciclo-3 não existe mais. Nós estamos vendo o fantasma do ciclo-3. Nós não deveríamos estar espantados em ver fantasmas, já que eles sempre ocorrer próximo de bifurcações de sela-nó (Seção 4.3 e 8.1) e de fato, uma bifurcação tangente é somente uma bifurcação de sela-nó com outro nome. Mas a nova questão é que a órbita retorna ao ciclo-3 fantasmagórico repetidamente, com surtos intermitentes de caos entre visitas. Esse fenômeno é conhecido como intermitência. 
	A Figura 10.4.4, mostra geometricamente um exemplo de intermitência. Na figura 10.4.4a, perceba os três canais estreitos entre a diagonal e o gráfico de . Esses canais são formados na sequência da bifurcação tangente, quando as cristas e vales são puxados para longe da diagonal. Agora foque no canal da caixa pequena (Figura 10.4.4b). A órbita leva muitas iterações para se apertar pelo canal. Logo , durante a passagem, e então a órbita parece um ciclo-3, isso explica por que vemos o fantasma.
	Eventualmente, a órbita escapa do canal. Então ela balança por aí tecnicamente até eventualmente ser mandada de volta pro canal em algum momento posterior imprevisível. 
	Intermitência não é só uma curiosidade de mapas logísticos. Eles aparecem comumente em sistemas onde a transição de periódico para caos ocorre por uma bifurcação sela-nó de ciclos. Em sistemas experimentais, intermitência aparece como movimento quase-periódico interrompido por rojões irregulares ocasionais. O tempo entre os rojões é estatisticamente distribuído muito mais como uma variável aleatória, mesmo que o sistema seja completamente determinístico. Como o parâmetro de controle é movido para longe da janela periódica, os rojões tornam-se mais frequentes até que o sistema se torne caótico. Essa progressão é chamada de intermitência no caminho ao caos. 
	A figura 10.4.5 mostra um exemplo de experimento de intermitência em caminho ao caos em um laser. 
	A intensidade da luz emitida pelo laser é plotada em função do tempo. No painel mais baixo, o laser está pulsando periodicamente. Uma bifurcação para intermitência ocorre à medida que o parâmetro de controle do sistema (a inclinação do espelho na cavidade do laser) é variado. Indo de baixo pra cima na figura, vemos que os rojões caóticos aumentam. 
· Duplicação de período na janela
	Nós comentamos no final da seção 10.2, que uma cópia do diagrama de órbita aparece em miniatura na janela de período-3. A explicação tem haver com as cristas e vales novamente. Somente após o ciclo-3 estável ser criado pela bifurcação de tangente, a inclinação nos pontos pretos na Figura 10.4.1 é próxima de +1. À medida que aumentamos o r, as cristas aumentam e os vales descem. A inclinação de nos pontos pretos então decrescem também e eventualmente chegam em -1. Quando isso ocorre, uma bifurcação de volta faz os pontos pretos virarem dois, então o ciclo-3 dobra o período e se torna um ciclo-6. O mesmo mecanismo opera como na duplicação de período original, mas agora produz órbita de período . Uma cascata de duplicação do período pode ser encontrada em todas as janelas periódicas. 
· 10.5 - Expoente de Liapunov
	Nós vimos que o mapa logístico pode exibir órbitas aperiódicas para certos valores de parâmetros, mas como nós sabemos que isso realmente é caos? Para ser chamado de “caótico”, o sistema deve apresentar dependência sensível às condições iniciais, no sentido que órbitas vizinhas se separam exponencialmente rápido com o tempo. Na seção 9.3, nós quantificamos a sensibilidade definindo o expoente de Liapunov para uma equação diferencial caótica. Vamos agora estender a definição para mapas unidimensionais. 
	Dado alguma condição inicial x0, considere um ponto próximo , onde a separação inicial é extremamente pequena. Deixe ser a separação depois de n iterações. Se , então é chamado de expoente de Liapunov. Um expoente de Liapunov positivo é assinatura de caos. 
	Uma fórmula mais precisa e computacionalmente útil para pode ser derivada. Pegando os logarítmos e notando que , nós obtemos.
	Aqui nós tomamos o limite no último passo. O termo dentro do logarítmo pode ser expandido por regra da cadeia: 
	Se essa expressão tem um limite quando , então nós definimos esse limite como sendo o expoente de Liapunov para a órbita começando em x0. 
	Note que depende de x0. Entretanto, isso é o mesmo para todo x0 na bacia de atração de um dado atrator. Para pontos fixos estáveis e ciclos, é negativo, para atratores caóticos é positivo. 
· Exemplo 10.5.1:
	Suponha que f tem um p-ciclo estável contendo o ponto x0. Mostre que o expoente de Liapunov < 0. Se o ciclo é superestável, mostre que .
	Como de costume, covertemos questões sobre p-ciclos de f em questões sobre pontos fixos de fp. Desde que x0 é um elemento do p-ciclo, x0 é um ponto fixo de fp. Assumimos, que o ciclo é estável, logo o multiplicador . Portanto, , um resultado que usaremos um momento. 
	Agora observamos que para um p-ciclo. 
desde que o termo p se manenha aparecendo como uma soma infinita. Finalmente, usando a regra da cadeia ao inverso, nós obtemos como desejado. Se o ciclo é superestável, então , por definição .
	O segundo exemplo é sobre o mapa de barraca, definido por para e (Figura 10.5.1).
	Por ser linear por partes, o mapa de barraca é muito mais fácil de analisar que o mapa logístico. 
· Exemplo 10.5.2:
	Mostre que para o mapa de barraca, independente da condição inicial x0.
	Desde que , para todo x, nós encontramos .
	O exemplo 10.5.2 sugere que o mapa de barraca tem soluções caóticas para todo r > 1, desde que . Desde, a dinâmica do mapa de barraca pode ser entendida em detalhe, mesmo em regime caótico. 
	Em geral é necessário usar um computador para calcular o expoente de Liapunov. O próximo exemplo, exemplifica esse cálculo para o mapa logístico.
· Exemplo 10.5.3:
	Descreva um esquema numérico para calcular para o mapa logístico . Faça o gráfico dos resultados como uma função do parâmetro de controle r, para .
	Fixar algum valor de r. Então, começandode uma condição inicial aleatória, iterar o mapa o suficiente para o decaimento transiente, por exemplo 300 iterações ou mais. Depois computamos um número maior de iterações, por exemplo 10000. Precisamos armazenar somente o valor atual de xn, e não o das iterações prévias. Computar e adicionar isso à soma dos logaritmos prévios. O expoente de Liapunov é obtido dividindo o total por 10000. Repetindo esse procedimento para o próximo r e assim por diante. O resultado final é visto na Figura 10.5.2. 
	Comparando este gráfico com o diagrama de órbita da (Figura 10.2.7), nós percebemos que continua negativo para e se aproxima de zero quando o período é duplicado nas bifurcações. Os picos negativos correspondem aos 2n-ciclos. O inicio do caos é visível quando se torna positivo. Para r > 3.57, o expoente de Liapunov aumenta de forma geral, exceto pelas quedas causadas por causa do comportamento periódico. Perceba a grande queda da janela de período-3 próxima de r = 3.83. 
	Na verdade, todas as quedas da figura 10.5.2 devem cair para , pois um ciclo superestável é garantido ocorrer próximo do meio de cada queda, e esse ciclos possuem , como no exemplo 10.5.1. Essa parte do pico é muito estreita para ser resolvida na Figura 10.5.2. 
· 10.6 - Universalidade e Experimentos
	Essa seção lida com alguns dos resultados mais impressionantes de toda a dinâmica não-linear. As ideias são melhor introduzidas com exemplos.
· Exemplo 10.6.1:
	Plote o gráfico do mapa do seno para e e compare com o mapa logístico. Então plote os diagramas de órbita para ambos os mapas, e liste algumas similaridades e diferenças.
	O gráfico do mapa do seno é mostrado em Figura 10.6.1.
	E possui o mesmo formato do gráfico do mapa logístico. Ambas as curvas são suaves, concavidade para baixo e possuem somente um máximo. Esses mapas são chamados unimodais.
	A Figura 10.6.2 mostra o diagrama de órbita para o mapa do seno (em cima) e para o mapa logístico (em baixo). A semelhança é incrível. Perceba que ambos diagramas têm a mesma escala vertical, mas o eixo horizontal do diagrama do mapa do seno está escalonado por um fator de 4. Essa normalização é apropriada pois o máximo de é r e considerando que o de é (¼)r. 
	A Figura 10.6.2 mostra a dinâmica qualitativa dos dois mapas, que é idêntica. Ambos seguem caminhos de duplicação do período até o caos, seguidos por janelas periódicas entrelaçando-se com bandas caóticas. Mais notável ainda é que as janelas acontecem com a mesma ordem, e com o mesmo tamanho relativo. Por exemplo, a janela de período-3 é maior em ambos os casos, e a maior depois disso é a do período-5 e período-6. 
	Mas há diferenças quantitativas. Por exemplo, a bifurcação de duplicação de período ocorre depois no mapa logístico, e as janelas periódicas são mais finas. 
· Universalidade qualitativa: a sequência U
	O Exemplo 10.6.1 ilustra um teorema poderoso descrito por Metropolis et al. (1973). Eles consideraram todos os mapas unimodais da forma , onde f(x) também satisfaz . Os autores provaram que a medida que r é variado, a ordem com o qual as soluções periódicas estáveis aparecem são independentes nos mapas unimodais que estão sendo iterados. Isso é, os atratores periódicos sempre ocorrem na mesma sequência, agora chamado de universal, ou sequência U. Esse resultado implica que a forma algébrica de f(x) é irrelevante, somente a forma geral importa. Até o período 6 a sequência U é:
	O começo dessa sequência é familiar: períodos 1, 2, e 2x2 são os primeiros estágios da duplicação de período. Os próximos, 6, 5 e 3 correspondem às grandes janelas mencionadas na discussão da Figura 10.6.2. Período 2x3 é a primeira duplicação de período do ciclo-3 . Os ciclos posteriores 5, 6, 4, 6, 5, 6 são menos familiar, eles ocorrem em pequenas janelas e são fáceis de perder. 
	A sequência U foi encontrada em experimentos de reações químicas de Belousov-Zhabotinsky. 
	A sequência U é qualitativa, ela dita a ordem, mas não precisamente os valores de parâmetros, nos quais os atratores periódicos ocorrem. Vamos ver agora, para a descoberta de Mitchell Feigenbaum’s sobre a universalidade quantitativa dos mapas unidimensionais. 
· Universalidade quantitativa
	Feigenbaum’s estudou a duplicação de período no mapa logístico. Ele desenvolveu uma teoria para predizer rn, o valor de r quando surge o ciclo 2n. Para checar sua teoria ele programou uma calculadora de mão e percebeu que o rn converge geometricamente, quando a distância entre transições sucessivas encolhe até um fator constante de 4.669. Ele perdeu muito tempo tentando encaixar o valor da taxa de convergência de 4.669 em constantes matemáticas conhecidas, mas não obteve sucesso. Até que alguém o lembrou que a duplicação de período não é propriedade única dos mapas quadráticos, mas também ocorre no mapa do seno por exemplo. Meses mais tarde, ele decidiu computar o mesmo para o outro mapa, e obteve que o rn, convergiu geometricamente para o mesmo número de 4.669. 
	De fato, a mesma taxa de convergência aparece, não importando quando mapa unimodal esteja sendo iterado! Nesse sentido, o número é universal. Isso é uma nova constante matemática, tão básica para duplicação de período como π é para círculos. 
	A Figura 10.6.3 esquematiza o significado de δ. Faça denotar a distância entre valores de bifurcação consecutiva. Então , quando . 
	
	Também existe uma escala universal na direção x. É mais difícil afirmar com precisão por que as forquilhas variam em largura, mesmo com o mesmo valor r. Para levar em conta essa não uniformidade, nós definimos uma escala de x padrão como segue: Faça xm denotar o máximo de f, e faça dn denotar a distância de xm para o ponto mais próximo em um ciclo-2n (Figura 10.6.3). 
	Então, a taxa tende a um limite universal quando :
	Independente da forma precisa de f. Aqui o sinal negativo indica que o ponto mais próximo no ciclo-2n alterna acima e abaixo de xm, como mostrado na Figura 10.6.3. Logo, o dn é alternativamente positivo e negativo. 
	Feigenbaum desenvolveu uma bela teoria para explicar por que α e δ, são universais. Ele pegou emprestado a ideia de renormalização da física estatística, e encontrou uma analogia entre α e δ e os expoentes universais observados em experimentos de transições de fase de segunda ordem em fluidos magnéticos, e outros sistemas físicos. Veremos na seção 10.7 de forma breve a teoria da renormalização. 
· Testes experimentais
	Desde os trabalhos de Feigenbaum, as sequências de bifurcações de duplicação de período foram testadas em uma variedade de sistemas experimentais. Por exemplo, no experimento de convecção de Libchaber et al. (1982), uma caixa contendo mercúrio líquido é aquecida por baixo. O parâmetro de controle é o número de Rayleigh R, uma medida adimensional do gradiente de temperatura imposto externamente de baixo pra cima. Para R menor que um valor crítico de Rc, o calor é conduzido pra cima enquanto o fluido se mantém sem movimento. Mas para R > Rc, o estado sem movimento se torna instável e a convecção ocorre - o fluído quente sobe de uma lado, perde calor no topo e então cai do outro lado, gerando um padrão de contra-rotação nos cilindros (Figura 10.6.4). 
	Para R pouco acima de Rc os rolos são retos e possuem movimento constante. Além disso, em qualquer local fixo do espaço a temperatura é constante. Com mais aquecimento, outra instabilidade se instala. Uma onda se propaga para frente e para trás ao longo de cada rolo, causando uma oscilação na temperatura em cada ponto. 
	Em experimentos tradicionais desse tipo, continuam aumentando o calor até que mais instabilidades ocorrem e eventualmente a estrutura do rolo seja destruída tornando o sistema turbulento. Libchaber queria ser capaz de aumentar o calor sem desestabilizar a estrutura espacial. Por isso ele escolheu mercúrio, então a estrutura do rolo poderia ser estabilizada aplicando um campo magnético em todo o sistema. Mercúrio possui uma alta condutividade elétrica, então tem uma forte tendência para os rolos se alinharem com o campo, assim retendo suaorganização espacial. 
	Olhando os resultados experimentais. A Figura 10.6.5 mostra que o sistema sofre uma sequência de duplicações de período à medida que o número de Rayleigh é aumentado.
	Cada série temporal mostra a variação de temperatura em um ponto do fluido. Para , a temperatura varia periódicamente. Isso pode ser considerado como o ciclo de período-1 básico. Quando o R é aumentado para , os máximos de temperatura sucessivos não são mais iguais, os picos ímpares são um pouco mais altos e os pares um pouco mais baixos, esse é o estado de período-2. Após mais aumentos em R, é gerado duplicações de períodos adicionais, como mostrado nas duas séries temporais mais em baixo na Figura 10.6.5.
	Medindo cuidadosamente o valor de R nas bifurcações de período, os autores chegaram em , em concordância com o valor teórico de 4.699. 
	A Tabela 10.6.1 sumariza os resultados de alguns experimentos de convecção de fluídos e circuitos eletrônicos não-lineares. As estimativas experimentais de δ são mostradas com os erros entre parênteses, então 4.3(8) significa .
	
	É importante ressaltar que a medição desse valor de delta é muito difícil. Dessa forma, a concordância próxima entre esses resultados experimentais e o teórico é impressionante. 
· O que os mapas 1D tem haver com a ciência?
	O poder preditivo da teoria de Feigenbaum’s pode causar um mistério. Como essa teoria funciona, visto que não inclui nada de física dos sistemas reais, como fluídos convectivos ou circuitos eletrônicos? E sistemas reais, geralmente tem muitos graus de liberdade, como pode toda essa complexidade ser capturada por um mapa unidimensional? Finalmente, sistemas reais envolvem tempo contínuo, e então como uma teoria baseada em tempo discreto funciona tão bem?
	Para responder essas questões, vamos começar com um sistema que é mais simples que os fluídos convectivos, mas ainda mais complicados que os mapas unidimensionais. O sistema é um conjunto de três equações diferenciais inventado por Rossler para exibir o mais simples atrator estranho possível. O sistema de Rossler é: , onde a, b e c são parâmetros. Esse sistema contém somente um termo não linear zx, e é até mais simples que o sistemas de Lorenz, que possui duas não-linearidades.
	A Figura 10.6.6 mostra projeções de duas dimensões dos atratores do sistema para diferentes valores de c (com a = b = 0.2). 
	Em c = 2.5 o atrator é um ciclo limite simples. A medida que c aumenta para 3,5 o limite do ciclo gira duas vezes antes de fechar, e seu período é aproximadamente duas vezes a do ciclo original. Isso é como a duplicação de período se parece em tempo contínuo! De fato, em algum lugar entre c = 2.5 e 3.5, uma bifurcação de período dobrado de ciclos deve ter ocorrido (Como a figura 10.6.6 sugere, essa bifurcação só pode ocorrer em 3 ou mais dimensões, pois o ciclo limite precisa de espaço para evitar cruzar sobre si mesmo). Outra bifurcação de duplicação de período cria o ciclo-4, mostrado em c = 4. Depois de uma cascata infinita de duplicações de período, obtemos o atrator estranho mostrado em c = 5. 
	Para comparar esses resultados com aqueles obtidos para os mapas unidimensionais, usamos um truque do Lorenz para obter mapas de um fluxo (Seção 9.4). Para um dado valor de c, nós gravamos os máximos locais sucessivos de x(t) para a trajetória no atrator estranho. Então plotamos , onde xn denota o nth máximo local. Esse mapa de Lorenz para c = 5 é mostrado na Figura 10.6.7. Os pontos caem muito próximo a uma curva unidimensional. Observe a incrível semelhança com o mapa logístico!
	Nós podemos também computar um diagrama de órbita para o sistema de Rossler. Agora permitimos todos os valores de c, não apenas aqueles onde o sistema é caótico. Para cada c, nós plotamos todos os máximos locais de xn no atrator para aquele valor de c. O número de diferentes máximos nos diz o “período” do atrator. Por exemplo, em c = 3.5 o atrator é de período-2 (Figura 10.6.6) e consequentemente possui dois máximos locais x(t). Ambos esses pontos são representados abaixo de c = 3.5 na Figura 10.6.8. Procedemos dessa forma para todos os valores de c. 
	O diagrama permite reconhecer os pontos de bifurcação do sistema. Também podemos ver o caminho das duplicações periódicas para o caos, e a longa janela periódica de ciclo-3. 
	Agora podemos ver por que os sistemas físicos são governados pela teoria universal do Feigenbaum’s. Se o mapa de Lorenz é quase unidimensional e unimodal, então a teoria se aplica. Isso é certamente o caso para o sistema de Rossler, e provavelmente para o mercúrio de convecção de Libchaber. Mas nem todos os sistemas possuem mapas de Lorenz unidimensionais. Para o mapa de Lorenz ser quase unidimensional, o atrator estranho precisa ser muito plano, ou seja, somente um pouco mais de duas dimensões. Isso requer que o sistema seja muito dissipativo; somente dois ou três graus de liberdade são aceitos.
	Portanto, por mais que essa teoria funcione para muitos sistemas caóticos, isso não se aplica para fluidos turbulentos ou corações fribilantes, onde há muitos graus de liberdade correspondendo a comportamentos complicados no tempo e espaço.
· 10.7 - Renormalização
	Vamos ver agora uma introdução intuitiva da teoria de renormalização de Feigenbaum’s para a duplicação de período. 
	Primeiro, vamos introduzir algumas notações. Faça f(x,r) ser um mapa unimodal que sofre uma duplicação de período em caminho ao caos à medida que r aumenta e suponha que xm é o máximo de f. Faça rn denotar um valor de r em que o ciclo 2n nasce, e faça Rn denotar o valor de r onde o ciclo-2n é estável. 
	Feigenbaum’s formulou sua análise em termos de ciclos superestáveis, então vamos praticar com eles. 
· Exemplo 10.7.1: 
	Encontre R0 e R1 para o mapa f(x,r) = r - x2. 
	Em R0 o mapa tem um ponto fixo superestável, por definição. A condição do ponto fixo é x* = R0 - (x*)2 e a condição de superestabilidade é . Como , nós devemos ter x* = 0, ou seja, o ponto fixo é um máximo de f. Substituindo x* = 0 na condição do ponto fixo chegamos em R0 = 0. 
	Em R1 o mapa possui um ciclo-2 superestável. Faça p e q denotar os pontos do ciclo. A superestabilidade requer que o multiplicador , então o ponto x = 0 deve ser um dos pontos do ciclo-2 . A condição do período-2 implica em . Portanto R1 = 1 (já que a outra raiz dá um ponto fixo e não um ciclo-2). 
	O exemplo 10.7.1 ilustra uma regra geral: um ciclo superestável em um mapa unimodal sempre contém xm como um de seus pontos. Consequentemente, existe uma forma gráfica simples de localizar Rn (Figura 10.7.1). Nós desenhamos uma linha horizontal na altura xm, então Rn ocorre onde a linha intersecta um ramo do diagrama de órbita. Perceba que Rn está entre rn e rn+1. Os experimentos numéricos mostram que o espaço entre sucessivos Rn sempre chega ao fator universal . 
	A teoria de renormalização é baseada na auto-similaridade da árvore do diagrama - os ramos são parecidos com os ramos anteriores, exceto pela escala diminuída nas direções x e r. Essa estrutura reflete a repetição infinita do mesmo processo dinâmico: um ciclo-2n nasce, então se torna superestável e por fim perde estabilidade em uma bifurcação de duplicação de período. 
	Para expressar a auto-similaridade matematicamente, nós comparamos f com sua segunda iteração f2 em valores de r correspondentes, e então “renormalizamos” um mapa no outro. Especificamente, observe os gráficos f(x, Ro) e f2(x, R1) (Figura 10.7.2 a e b). 
	Essa é uma comparação justa, pois os mapas possuem as mesmas propriedades de estabilidade: xm é um ponto fixo superestável em ambos eles. Perceba que para obter a figura 10.7.2b, pegamos o segundo mapa iterado de f e aumentamos r de R0 para R1. Esse desvio em r é uma parte básica do processo de renormalização. 
	O pequeno quadrado na figura 10.7.2b é reproduzido em 10.7.2c. O ponto chave é que a Figura 10.7.2c é quase que exatamente idêntica a figura 10.7.2a, exceto pela mudança na escala e a reversão dos eixos. Do ponto de vista da dinâmica, ambos os mapas são muito similares - diagramasde teia começando de pontos correspondentes irão parecer quase o mesmo.
Precisamos converter agora essas observações qualitativas em fórmulas. Um primeiro passo muito útil para traduzir a origem de x para xm é redefinir x como x - xm. Essa redefinição de x dita que nós também subtraímos xm de f, já que f(xn, r) = xn + 1. Os gráficos traduzidos são mostrados na Figura 10.7.3a e 10.7.3b.
Para fazer a Figura 10.7.3b se parecer com a Figura 10.7.3a, nós fazemos isso por um fator de em ambas as direções e também invertemos substituindo (x,y) por (-x, -y). Ambas as operações podem ser realizadas em um passo se nós definirmos um fator de escala para ser negativo. Rescalar o é equivalente a substituir por . Finalmente, a semelhança entre a Figura 10.7.3a e a Figura 10.7.3c mostra que .
Em resumo, f foi renormalizada pegando o segundo mapa iterado, reescalando e mudando r para o próximo valor superestável. 
Não há nenhum motivo para parar em f 2. Por exemplo, podemos renormalizar f 2 para gerar um f 4; esse também possui um ponto fixo superestável se nós mudarmos r para R2. O mesmo raciocínio produz: 
Quando expressado em termos do mapa original , essa equação se torna . Depois de renormalizar n vezes temos: .
Feigenbaum encontrou numericamente que , onde g0(x) é uma função universal com um ponto fixo superestável. A função limitante existe somente se for escolhido corretamente, especificamente . 
Aqui “universal” significa que a função limitante g0(x) é independente da f original. Isso parece incrível de primeira, mas a forma do limite sugere a explicação: g0(x) depende de f somente através do comportamento próximo de x = 0, uma vez que isso é tudo que sobrevive no argumento de a medida que . Em cada renormalização, nós estamos pegando uma vizinhança cada vez mais pequena do máximo de f, então praticamente toda a informação sobre o formato global de f é perdida. 
Uma advertência: A ordem do máximo nunca é perdida. Portanto, uma afirmação mais precisa é de que g0(x) é universal para todo f com um máximo quadrático (o caso genérico). Um g0(x) diferente é encontrado para f com máximo de quarto grau, etc. 
	Para obter outras funções universais gi(x), comece com , ao invés de :
, aqui gi(x) é uma função universal com um ciclo-2i superestável. O caso onde nós começamos com (no ínicio do caos) é o mais interessante e importante uma vez que 
Pela primeira vez não precisamos mudar r quando nós renormalizamos! A função limitante , usualmente chamada de g(x), satisfaz . Essa é a equação funcional para g(x) e o fator universal de escala . Essa equação pe auto-referencial já que g(x) é definida em termos de si mesmo. 
A equação funcional não está completa até que especificamos as condições de contorno de g(x). Depois da mudança na origem, todos nossos f’s unimodais possuem um máximo em x = 0, então precisamos de g’(0) = 0. Também, podemos setar g(0) = 1 sem perda de generalidade (Isso apenas define a escala para x; se g(x) é solução da equação (2) então , é o mesmo para ).
Agora resolvemos para g(x) e . Em x = 0, a equação funcional dá g(0) = g(g(0)). Mas g(0) = 1, então 1 = g(1). Logo, = 1/g(1), que mostra que é determinada por g(x). Ninguém nunca achou uma solução de forma fechada para g(x), então recorremos a uma solução de série de potência (que assume que o máximo é quadrático). Os coeficientes são determinados substituindo a série de potências em (2) e combinando com potências de x. Feigenbaum usou um expansão de sete termos e encontrou com . Então essa teoria de renormalização foi bem sucedida em explicar o valor de observado numericamente. 
A teoria também explica o valor de . Infelizmente, essa parte é bem mais sofisticada. Veremos agora um exemplo de renormalização. 
· Renormalização para pedestres
	O seguinte exemplo tem por objetivo clarear o processo de renormalização. Como bônus damos uma aproximação de forma fechada para e .
	Vamos fazer ser um mapa unimodal que segue o caminho da duplicação de período até o caos. Suponha que as variáveis são definidas para que o ciclo de período-2 seja criado em x = 0, quando . Então para ambos x e μ perto de 0, o mapa é aproximadamente , desde que o autovalor seja -1 na bifurcação (Vamos negligenciar todos os termos de alta ordem em x e μ; por isso nossos resultados serão somente aproximações). Sem perda de generalidade, podemos definir a = 1 redimensionando . Então localmente, nosso mapa tem a forma normal ; A ideia é, para μ > 0, existem pontos de período-2 dizemos p e q. A medida que μ aumenta, p e q vão eventualmente duplicar o período. Quando isso acontece, a dinâmica de f 2 próxima de p vai necessariamente ser aproximada por um mapa com a mesma forma algébrica de (3), pois todos os mapas possuem essa forma próximo a uma bifurcação de período. Nossa estratégia é calcular o mapa governando a dinâmica em f 2 próximo de p e renormalizar isso para se parecer com (3). Isso define uma renormalização iterada, que por sua vez leva a previsão de e .
	Primeiro encontramos p e q. Por definição do período-2, p é mapeado para q e q para p. Portanto (3) produz . Subtraindo uma dessas equaçoes da outra, e fatorando fora p - q, nós encontramos que p + q = μ . Então multiplicando as equações juntas e simplifcando pq = -μ . Portanto, 
Agora mudando a origem para p e olhando para a dinâmica local. Faça
	Então p é um ponto fixo de f 2. Expandindo em potência de pequeno desvio . Depois de alguma álgebra e negligenciando os termos de alta ordem, nós temos , onde 
	Como prometido, o η-mapa (4) possui a mesma forma algébrica que o mapa original (3)! Nós podemos renormalizar (4) em (3) redimensionando η e definindo um novo μ.
	Para redimensionar η, faça . Então (4) se torna . Isso combina com (3) quase perfeitamente. Tudo que falta é definir um novo parâmetro por . Então (6) atinge a forma desejada , onde o parâmetro renormalizado é dado por . Quando , o mapa renormalizado (7) caminha para uma bifurcação de flip. Equivalentemente, o ciclo-2 do mapa original perde estabilidade e cria um ciclo-4. Isso nos trás para o final da primeira duplicação de período. 
· Exemplo 10.7.2:
	Usando (8) calcule o valor de μ onde o mapa original (3) dá origem a um ciclo-4. Compare seus resultados com o valor encontrado para o mapa logístico no exemplo 10.3.3.
	O solução de período-4 nasce quando . Resolvendo essa equação quadrática chegamos a ( A outra solução é negativa e não é relevante). Agora lembre-se que a origem de μ foi definida como μ = 0 no nascimento do período-2, que ocorre em r = 3 para o mapa logístico. Logo, , que recupera o resultado obtido no exemplo 10.3.3. 
	Como o (7) possui a mesma forma do mapa original, então podemos aplicar a mesma análise novamente, agora em relação a (7) como o mapa fundamental. Em outras palavras, nós podemos renormalizar ad infinitum! Isso nos permite iniciar nosso caminho para o caos, usando somente a transformação da renormalização. 
	Faça denotar o valor de parâmetro do mapa original (3) dando origem ao ciclo-2n. Por definição, , nós temos ; por exemplo 10.7.2 . Em geral, o satisfaz . No inicio, parece que temos os subscritos ao contrário, mas olhando melhor e usando o Exemplo 10.7.2 como guia. Para obter, , nós definimos em (8) e então resolvemos para . Similarmente, para obter , nós definimos em (8) e resolver para em termos de :
	
· Exemplo 10.7.3:
	Encontre 
	É um pouco mais fácil trabalhar com (9). Os pontos fixos satisfazem e são dados por . Incidentalmente, isso dá uma previsão bem precisa de para o mapa logístico. Lembre-se que corresponde ao nascimento do período-2, que ocorre em r = 3 para o mapa logístico. Então corresponde a onde o atual resultado numérico é .
	Finalmente, nós vimos como e α fazem sua entrada. Para k >> 1, o μk deve convergir geometricamente para μ* a uma taxa dada pela constante universal δ. Logo, . A medida que , essa taxa tende para 0/0 e portanto deve ser avaliada pela regra de L’Hôpital. O resultado é: , onde nós usamos (9) no cálculo da derivada. Finalmente, nós substituímos μ*, usando (11)e obtemos 
	Essa estimativa é aproximadamente 10% maior que a verdadeira , o que não é ruim considerando nossas aproximações. 
	Para encontrar o α aproximado, percebe que nós usamos C como um parâmetros de redimensionamento quando definimos . Logo C desempenha um papel em α. Substituindo μ* em (5), temos que é aproximadamente 10% do atual valor .
	
	
· Capítulo 11- Fractais
· 10.0 - Introdução
	De volta no capítulo 9, nós encontramos que as soluções das equações de Lorenz caem em um conjunto complicado no espaço de fase. Esse conjunto é um atrator estranho. Lorenz percebeu que a geometria desse conjunto deve ser muito peculiar, algo como, um “complexo infinito de superfícies”. Neste capítulo, desenvolvemos as ideias necessárias para descrever esses conjuntos estranhos mais precisamente. As ferramentas virão da geometria fractal. 
	A grosso modo, fractais são formas geométricas complexas com estrutura fina em escalas arbitrariamente pequenas. Geralmente, eles têm algum grau de auto-similaridade. Em outras palavras, se ampliarmos alguma parte de um fractal, nós veremos características que lembram o todo. Algumas vezes essa similaridade é exata; mas geralmente é somente aproximada ou estatística. 
	Fractais são de grande interesse, pois eles possuem uma combinação exótica de beleza, complexidade e estrutura interminável. Eles são reminiscências de objetos naturais como montanhas, nuvens, linhas costeiras, redes de vasos sanguíneos e qualquer brócolis (kk) de uma forma que figuras geométricas clássicas como cones e quadrados não conseguem representar. Eles também são úteis em aplicações científicas, indo desde computação gráfica e compressão de imagem até mecânica estrutural de fissuras e mecânica de fluidos viscosos.
	Nossos objetivos aqui é tornar-se familiar com a ideia de fractais simples para entender as várias noções de dimensões fractais. Essas ideias serão usadas no Capítulo 12 para clarear a estrutura geométrica de atratores estranhos. 
· 10.1 - Conjuntos contáveis e incontáveis
	Essa seção revisa a teoria de conjunto necessária para posteriores discussões de fractais. 
	Existem alguns infinitos maiores que outros? Surpreendentemente a resposta é sim. Georg Cantor inventou uma maneira de comparar diferentes conjuntos infinitos. Dois conjuntos X e Y são ditos para ter a mesma cardinalidade (ou número de elementos) se eles possuem um mapeamento invertível que pareia cada elemento com precisamente um de . Esse mapeamento é chamado de correspondência um-para-um; 
	Um conjunto infinito familiar é o conjunto dos números naturais N = {1,2,3,4,...}. Esse conjunto provém de uma base para comparação, se outro conjunto X pode ser colocado em correspondência de uma-para-um com os números naturais, então X é contável. Caso contrário, X é incontável. 
	Essas definições levam a algumas conclusões surpreendentes, como o próximo exemplo mostra. 
· Exemplo 11.1.1:
	Mostre que o conjunto dos números naturais pares E = {2,4,6,...} é contável.
	Nós temos que encontrar uma correspondência de um-para-um entre E e N. Uma correspondência é dada pelo mapeamento invertível de cada número natural n com um número par 2n.; então 1:2, 2:4, 3:6 e assim por diante. 
	Portanto há exatamente tantos números pares quanto há de números naturais. Você poderia ter pensado que não, já que metade está ausente (os ímpares). 
	Existe uma caracterização de conjuntos contáveis com uma utilidade frequente. Um conjunto X é dito contável se ele pode ser escrito como uma lista {x1, x2, x3, …} como todo aparecendo em algum lugar da lista. Em outras palavras, dando um x qualquer, existe algum n finito tal que, xn = x.
	Uma forma conveniente de exibir essa lista é dando um algoritmo que sistematicamente conta os elementos de X. Essa estratégia é usada nos próximos dois exemplos. 
· Exemplo 11.1.2:
	Mostre que os inteiros são contáveis.
	Um algoritmo para listar todos os inteiros: Nós começamos com 0 e então aumentamos esse valor absoluto. Então a lista é {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …}. Qualquer inteiro particular irá aparecer eventualmente, logo os inteiros são contáveis. 
· Exemplo 11.1.3:
	Mostre que os números positivos racionais são contáveis. 
	Uma forma errada seria: começar listando os números 1/1, ½, ⅓, ¼, … em ordem. Infelizmente nunca iríamos terminar o 1/n, então os números como ⅔ nunca seriam contados!
	A maneira correta é construir uma tabela onde a entrada pq é p/q. Então os números racionais podem ser contados pelo procedimento de tecelagem mostrado na Figura 11.1.1. Qualquer p/q dado será alcançado depois de finitos números de paços, logo os números racionais são contáveis. 
	Vamos agora considerar nosso primeiro exemplo de conjunto incontável. 
· Exemplo 11.1.4:
	Faça X denotar o conjunto dos números reais entre 0 e 1. Mostre que X é incontável. 
	A prova é dada por contradição. Se X é contável, nós podemos listar todos os números reais entre 0 e 1 como um conjunto {x1, x2, x3,...}. Reescrevendo esses números em forma decimal:
	
	Onde xij denota o jth dígito do número real xi. 
	Para obter a contradição, nós mostraremos que existe um número r entre 0 e 1 que não está na lista. Portanto, qualquer lista é necessariamente incompleta, e os reais são incontáveis. 
	Construímos r da seguinte forma: seu primeiro dígito é qualquer coisa diferente de x11, o primeiro dígito de x1. Similarmente, seu segundo dígito é qualquer coisa diferente de x22. Em geral seu nth dígito é , definido como qualquer dígito outro que não xnn. Então, percebemos que o número não está na lista. Por que não? Ele não pode ser igual ao x1, pois difere deste no primeiro dígito. Similarmente r difere de x2 no segundo dígito, do x3 no terceiro e assim por diante. Logo r não está na lista e portanto X é incontável. 
	Esse argumento (desenvolvido por Cantor) é chamado de argumento diagonal, pois r é construído mudando as entradas diagonais xnn da matriz de dígitos [xij]; 
· 10.2 - Conjunto de Cantor
	Veremos agora outra criação de Cantor, um fractal conhecido como conjunto de Cantor. Ele é simples e portanto pedagógico, mas também é muito mais do que isso, como veremos no capítulo 12, o conjunto de Cantor está intimamente relacionado com a geometria dos atratores estranhos. 
	Figura 11.2.1 mostra como construir um conjunto de Cantor. Nós começamos com o intervalo fechado S0 = [0,1] e removemos seu terço médio, ou seja, deletamos o intervalo (⅓, ⅔) e deixamos os pontos extremos para trás. Isso irá produzir um par de intervalos fechados como mostrado em S1. Então removemos o terço médio desses dois intervalos para produzir S2 e assim por diante. O conjunto limite C = S∞ é o Conjunto de Cantor. É difícil visualizar, mas a Figura 11.2.1 sugere que isso consiste de um número infinito de pedaços infinitesimais, separados por gaps de vários tamanhos. 
· Propriedades Fractais do Conjunto de Cantor
	O conjunto de Cantor C possui muitas propriedades que são típicos de fractais mais geralmente:
1. C possui estrutura em escalas pequenas arbitrárias. Se nós aumentarmos parte de C repetidamente, nós continuaremos a ver um padrão complexo de pontos separados por gaps de vários tamanhos. Essa estrutura nunca termina. Em contraste, quando nós olhamos para uma curva suave ou uma superfície sobre ampliação repetida, a figura se torna mais e mais sem característica. 
2. C é auto-similar. Ele contém cópias menores de si mesmo em todas as escalas. Por exemplo, se pegarmos a parte esquerda de C (contendo o intervalo [0,⅓], e aumentar por um fator de três, nós temos C de volta. Similarmente, as partes de C em cada um dos 4 intervalos de S2 são geometricamente similares a C, exceto em uma escala reduzida por um fator de 9. Para facilitar a visualização, vamos pensar nos conjuntos Sn. Focando na parte esquerda de S2 - ela se parece com S1, exceto que é 3 vezes menor. Similarmente, a parte esquerda de S3 é S2 reduzida por um fator de 3. Em geral, a parte esquerda de Sn+1 parece com o todo de Sn, numa escala reduzida de 3. Agora colocando n = ∞. A conclusão é que a parte esquerdade S∞ se parece com a S∞, em escala reduzida de 3. Aviso: A auto-similaridade estrita do conjunto de Cantor é encontrada somente em fractais simples. Fractais mais gerais possuem somente uma auto-similaridade aproximada. 
3. A dimensão de C não é um inteiro. Como mostrado na Seção 11.3, sua dimentão é atualmente ln2/ln3 ≈ 0.63! A ideia de uma dimensão não inteira é desconcertante, mas acaba se tornando uma generalização natural das nossas ideias intuitivas sobre dimensões e provém uma ferramenta muito útil para quantificar a estrutura de fractais. 
Duas outras propriedades do conjunto de Cantor são dignas de nota, embora não sejam propriedades fractais. C possui medida zero e consiste de incontáveis muitos pontos. Essas propriedades são clareadas nos exemplos. 
· Exemplo 11.2.1:
	Mostre que a medida do conjunto de Cantor é zero, no sentido de que ela pode ser percorrida por intervalos cujos comprimentos totais são arbitrariamente pequenos. 
	Figura 11.2.1 mostra que cada conjunto Sn completamente cobre todos os conjuntos que vem depois da sua construção. Logo, o conjunto de Cantor C = S∞ é coberto por cada um dos conjuntos Sn. Assim, o tamanho total do conjunto de Cantor, deve ser menor que o tamanho total de Sn, para qualquer n. Faça Ln denotar o tamanho de Sn. Então, pela figura 11.2.1 nós vemos que L0 = 1, L1 = ⅔ , L2 = ⅔*⅔=(⅔)² e em geral, Ln = (⅔)n. Desde que, Ln -> 0 a medida que n ->∞, o conjunto de Cantor tem tamanho total de zero.
 	O exemplo 11.2.1 sugere que o Conjunto de Cantor é “pequeno” em algum sentido. Por outro lado, ele contém muitos pontos - incontáveis de fato. Para visualizar isso, primeiro desenvolvemos uma elegante caracterização do conjunto de Cantor. 
· Exemplo 11.2.2:
	Mostre que o conjunto de Cantor C consiste de todos os pontos c ∈ [0,1] que não possui 1’s em suas expansão base-3. 
	A ideia de expandir números em diferentes bases não é familiar. Primeiro vamos nos lembrar como escrever um número arbitrário x ∈ [0,1] em base 3. Nós expandimos em potências de ⅓ : então se , então x = .a1a2a3… em base 3, onde os dígitos an são 0,1 ou 2. Essa expansão possui um interpretação geométrica legal (Figura 11.2.2)
	Se imaginarmos que [0,1] é dividido em três pedaços iguais, então o primeiro dígito a1 nos diz se x está no pedaço da esquerda, meio ou direita. Por exemplo, todos os números com a1 = 0 estão no pedaço da esquerda. O segundo dígito a2 provém uma informação mais refinada, ela nos diz se x está no terço da esquerda, meio ou direita de um dado pedaço. Por exemplo, pontos da forma x = .01… está no meio da parte do terço da esquerda de [0,1], como mostrado em Fig. 11.2.2. 
	Agora pense sobre a expansão de base 3 dos pontos no conjunto de Cantor C. Deletamos o terço do meio de [0,1] no primeiro estágio de construção de C, então removemos todos os pontos onde o primeiro dígito seria 1. Portanto, esses pontos não estão em C. Os pontos restantes, aqueles com a chance de estarem em C, devem conter 0 ou 2 como seu primeiro dígito. Similarmente, pontos com o segundo dígito 1 foram deletados no próximo estágio da construção. Repetindo este argumento, vemos que C consiste de todos os pontos cuja expansão de base 3 não contém 1. 
	Há ainda um ponto delicado a ser abordado. E sobre os pontos finais como ⅓ = .1000….? Ele está no conjunto de Cantor, ainda que possua 1 em sua expansão de base 3. Isso não é contraditório? Não! Pois esses pontos podem ser escritos em termos de 0’s e 2’s como segue: ⅓ = .1000… = .02222… Por esse truque, cada ponto no conjunto de Cantor pode ser escrito de tal forma que não apareça 1 em sua expansão de base 3. 
· Exemplo 11.2.3:
	Mostre que o conjunto de Cantor é incontável
	Isso é somente uma reescrita do argumento diagonal de Cantor do exemplo 11.1.4, então seremos breves. Suponha que há uma lista {c1, c2, c3, …} de todos os pontos em C. Para mostrar que esse é incontável, nós produzimos um ponto que está em C, mas não na lista. Faça cij denota o jth dígito na expansão de base 3 de ci. Definindo , onde as barras superiores indicam que trocamos 0’s e 2’s: então = 0 se cnn = 2 e = 2 se cnn = 0. Então está em C, desde que seja escrito somente com 0’s e 2’s, mas não está na lista, desde que difere de cn no nth dígito. Isso contradiz a suposição original de que a lista é completa. Logo C é incontável. 
· 10.3 - Dimensão de fractais auto-similares
	Qual é a “dimensão” de um conjunto de pontos? Para objetos geométricos familiares, a resposta é clara - linhas e curvas suaves são unidimensionais, planos e superfície suaves são bidimensionais, sólidos são tridimensionais e assim por diante. Se forçados a dar uma descrição, podemos dizer que uma dimensão é o número mínimo de coordenadas necessárias para descrever todo ponto no conjunto. Por exemplo, uma curva suave é unidimensional, pois todo ponto é determinado por um número, o comprimento de arco para algum ponto fixo de referência em uma curva.
	Mas quando tentamos aplicar essa definição para fractais, nós caímos em paradoxos. Considere a Curva de von Koch, definida recursivamente na Figura 11.3.1. 
	Nós começamos com um segmento de linha S0. Para gerar S1, deletamos o terço do meio de S0 e substituímos por os outros dois lados de um triângulo equilátero. Nas etapas subsequentes são gerados recursivamente pelas mesmas regras: Sn é obtido substituindo o terço do meio de cada segmento de linha em Sn-1 pelos outros dois lados de um triângulo equilátero. O conjunto limite é K = S∞ é a curva de von Koch. 
	Qual é a dimensão da curva de von Koch? Como é uma curva, podemos ficar tentados a responder que é unidimensional. Mas o problema é que K possui tamanho de arco infinito! Para visualizar isso, observamos que se o tamanho de S0 é L0, então o tamanho de S1 é L1 = 4/3L0, pois S1 contém quatro segmentos, cada um de tamanho 1/3L0. O tamanho aumenta por um fator de 4/3 a cada estágio de construção, então Ln (4/3)n L0 -> ∞ a medida que n -> ∞.
	Além disso, o tamanho de arco entre qualquer dois pontos em K é infinito, por razões similares. Logo, pontos em K não são determinados pelo seu tamanho de arco de um ponto particular, pois todo ponto é infinitamente distante de todos os outros!
	Isso sugere que K possui mais de uma dimensão. Mas será que realmente queremos dizer que K é bidimensional? Isso certamente não parece possuir nenhuma “área”. Então a dimensão deveria estar entre 1 e 2, o que quer que isso signifique. 
	Com esse paradoxo como motivação, vamos agora considerar algumas noções melhoradas de dimensão, que podemos utilizar em fractais. 
· Dimensão de similaridade
	Os fractais mais simples são auto-similares, ou seja, eles são feitos de cópias reduzidas de si mesmo, até escalas arbitrariamente pequenas. A dimensão desses fractais pode ser definida estendendo uma observação elementar sobre conjuntos auto-similares como linha, quadrados e cubos. Por exemplo, considere a região quadrada mostrada na Figura 11.3.2.
	Se reduzirmos o quadrado por um fator de 2 em cada direção, então será necessário 4 quadrados para igualar ao todo. Se reduzirmos a escala por um fator de 3, então 9 quadrados são necessários para igualar ao todo. Em geral, se reduzirmos dimensões lineares de uma região quadrada por um fator de r, então é necessário r² de quadrados menores para igualar a figura original. 
	Agora suponha que nós jogamos o mesmo jogo com um cubo sólido. Os resultados são diferentes: se nós reduzirmos o cubo por um fator de 2, então precisaremos de 8 cubos menores para igualar o original. Em geral, se o cubo é reduzido por r, nós precisamos de r³ de cubos menores para igualar o original. 
	Os expoentes 2 e 3 não são acidentais; eles refletem a bidimensionalidade do quadrado e tridimensionalidade do cubo. Essa conexão entre dimensões e expoentes sugere a seguinte definição. Suponha que um conjunto auto-similar é composto por m cópias de si mesmo reduzidas por um fator de r. Então a dimensão de similaridade d é o expoente definido por m = rd, ou equivalentemente, . Essa fórmula é fácil de usar, pois m e r são usualmenteclaros por inspeção. 
· Exemplo 11.3.1:
	Encontre a dimensão de similaridade do conjunto de Cantor C.
	Como ilustra a Figura 11.3.3, C é composto de duas cópias de si mesmo, cada uma reduzida em escala por um fator de 3.
	Então m = 2, quando r = 3. Portanto, d = ln2/ln3 ≈ 0.63.
· Exemplo 11.3.2:
	Mostre que a curva de von Koch possui dimensão de similaridade de ln4/ln3 ≈ 1.26.
	A curva é feita de quatro partes iguais, cada uma é similar a curva original, mas reduzida por um fator de 3 em ambas as direções. Um desses pedaços é indicado pela seta na Figura 11.3.4.
	Logo, m = 4 quando r =3, e portanto d = ln4/ln3.
· Conjuntos de Cantor mais gerais
	Outros fractais auto-similares podem ser gerados alterando o procedimento recursivo. Por exemplo, para obter um novo tipo de conjunto de Cantor, dividimos o intervalo em 5 partes iguais, deletamos o segundo e o quarto subintervalos e então repetimos esse procedimento indefinidamente (Figura 11.3.5). Chamamos o conjunto limitante de conjunto de Cantor de 5 pares, desde que os quintos pares são removidos em cada estágio. (Similarmente, o conjunto de Cantor padrão da Seção 11.2 é geralmente chamado de conjunto de Cantor dos terços do meio).
· Exemplo 11.3.3:
	Encontre a dimensão de similaridade do conjunto de Cantor de quintos pares.
	Faça o intervalo original ser denotado por S0 e faça Sn denotar o nth estágio de construção. Se reduzirmos Sn por um fator de 5, nós temos um terço do conjunto Sn+1. Agora setando n = ∞, nós vemos que o conjunto de Cantor de quintos pares S∞ é feito de três cópias de si mesmo, reduzidos por um fator de 5. Logo, m = 3 quando r = 5, e então d = ln3/ln5.
	Existem muitos diferentes conjuntos como o de Cantor que os matemáticos abstrairam sua essência na seguinte definição. Um conjunto fechado S é chamado de conjunto de Cantor topológico se satisfaz as seguintes propriedades:
1. S é “total desconectado”. Isso significa que S não contém subconjuntos (exceto pontos únicos). Nesse sentido, todos os pontos em S são separados uns dos outros. Para o conjunto de Cantor dos terços do meio e outros subconjuntos na linha real, essa condição simplesmente diz que S não contém intervalos. 
2. Por outro lado, S não contém “pontos isolados”. Isso significa que todo ponto em S possui um vizinho arbitrário próximo - dado qualquer ponto p ∈ S, e quando distância pequena ε > 0, existe outro ponto q ∈ S, com a distância ε de p. 
	O aspecto paradoxal dos conjuntos de Cantor surgem pois a primeira propriedade diz que os pontos estão espalhados, mas a segunda propriedade diz que eles estão juntos.
	Perceba que a definição não diz nada sobre a auto-similaridade ou dimensão. Essas noções são geométricas em vez de topológicas; elas dependem de conceitos de distância, volume e assim por diante, que são muito rígidos para alguns propósitos. Características topológicas são mais robustas que geométricas. Por exemplo, se nós continuamente deformarmos um conjunto de Cantor auto-similar, podemos facilmente destruir sua auto-similaridade, mas as propriedades 1 e 2 irão persistir. Quando estudarmos atratores estranhos no Cap. 12, veremos que as seções cruzadas dos atratores estranhos são geralmente conjuntos topológicos de Cantor, embora eles não sejam necessariamente auto-similares.
· 10.4 - Dimensão da caixa
	Para lidar com fractais que não são auto-similares, nós precisamos generalizar nossa noção de dimensão ainda mais. Várias definições foram propostas. Todas as definições compartilham a ideia de “medida em escala ε” - de grosso modo, nós medimos o conjunto de formas a ignorar irregularidades de tamanhos menores que ε, e então nós estudamos como essas medidas variam quando ε -> 0. 
	
· Definição de Dimensão da Caixa
	Um tipo de medida que envolve cobrir o conjunto com caixas de tamanho ε (Figura 11.4.1).
 
	Faça S ser um subconjunto do espaço euclidiano D-dimensões e faça N(ε) ser o menor números de cubos de dimensão-D e lados ε necessários para cobrir S. Como N(ε) depende de ε? Para termos uma intuição, considere o conjunto clássico mostrado na Figura 11.4.1. Para uma curva suave de tamanho L, N(ε) ∝ L/ε, para uma região planar de área A limitada por uma curva suave, N(ε) ∝ A/ε². A observação chave é que a dimensão do conjunto é igual ao expoente d na lei de potência N(ε) ∝ L/εd. 
	Essa lei de potência também serve para a maioria dos conjuntos fractais S, exceto que d não é mais um inteiro. Por analogia com o caso clássico, nós interpretamos d como a dimensão, usualmente chamada de capacidade ou dimensão da caixa de S. Uma definição equivalente é
· Exemplo 11.4.1:
	Encontre a dimensão da caixa do conjunto de Cantor.
	Lembre-se que o conjunto de Cantor é coberto por cada um dos conjuntos Sn usados na sua construção (Fig. 11.2.1). Cada Sn consiste de 2n intervalos de tamanho (⅓)n, então se pegarmos ε = (⅓)n, nós precisamos de todos os 2n intervalos para cobrir o conjunto de Cantor. Logo, N = 2n, quando ε = (⅓)n. Desde que ε -> 0 quando n -> ∞, nós temos em concordância com a dimensão de similaridade do exemplo 11.3.1.
	Essa solução ilustra um truque muito útil. Usamos uma sequência discreta ε = (⅓)n, que tende a zero quando n -> ∞, mesmo que a definição de dimensão da caixa diga que devemos deixar ε -> 0 continuamente. Se ε ≠ (⅓)n, a cobertura será um pouco desperdiçada, algumas caixas ficaram penduradas na borda do conjunto, mas o valor limitante d será o mesmo. 
· Exemplo 11.4.2:
	Um fractal que não é auto-similar é construído como se segue. Uma região quadrada é dividida em 9 quadrados iguais, e então um dos quadrados pequenos é selecionado aleatoriamente e descartado. Então o processo se repete com cada um dos 8 quadrados remanescentes e assim por diante. Quando é a dimensão da caixa do conjunto de limitação?
	
Figura 11.4.2 mostra os primeiros dois estágios da realização típica dessa construção aleatória. 
	Pegando uma unidade de tamanho igual ao lado do quadrado original. Então S1 é coberto (sem desperdício) por N = 8 quadrados de lado ε = (⅓). Similarmente, S2 é coberto por N = 8², quadrados de lado ε = (⅓)². Em geral, N = 8n quando ε = (⅓)n. Logo, 
· Críticas a dimensão da caixa
	Quando computamos a dimensão da caixa, não é sempre fácil encontrar uma cobertura mínima. Existe uma forma equivalente de computar a dimensão da caixa que foge desse problema. Nós cobrimos o conjunto com uma malha quadrada de lado ε, contamos o número de quadrados ocupados N(ε) e então computamos d como antes.
	Mesmo com essa melhora, a dimensão da caixa é raramente usada na prática. Sua computação requer muito espaço de memória e tempo computacional comparada a outros tipos de dimensões fractais. A dimensão da caixa também sofre de algumas desvantagens matemáticas. Por exemplo, seu valor não é sempre o que deveria ser, o conjunto dos números racionais entre 0 e 1 pode ser provado para ter uma dimensão da caixa de 1, mesmo que esse conjunto tenha somente pontos contáveis. 
· 10.5 - Dimensões pontuais e de correlação
	Agora é hora de retornar a dinâmica. Suponha que nós estejamos estudando um sistema caótico que caia para um atrator estranho em um espaço de fase. Dado que o atrator estranho tipicamente possui um microestrutura fractal, como poderíamos estimar a dimensão fractal?
	Primeiro, nós geramos um conjunto de muitos pontos, {xi, i = 1, ...., n} no atrator, deixando o sistema evoluir por muito tempo (e descartando os transientes iniciais como de costume). Para termos uma melhor estatística, podemos repetir esse processo em muitas trajetórias diferentes. Na prática, entretanto, quase todas trajetórias no atrator estranho possui a mesma estatística a longo prazo, então é suficiente rodar 1 trajetória por tempo extremamente longo. Agora que temos muitos pontos no atrator, nós podemos tentar computar a dimensão da caixa, mas essa abordagem é impraticável, como mencionada anteriormente. 
	Grassberger e Procaccia propuseram uma abordagem mais eficiente que se tornou padrão. Fixe um ponto x no atrator A. Faça Nx(ε) denotar o números de pontos de A dentro de uma bolade raio ε sobre x (Figura 11.5.1).
	
	
A maioria dos pontos na bolsa não são relacionados imediatamente com a porção da trajetória até x, em vez disso, eles vem de partes posteriores que passam perto de x. Logo, Nx(ε) mede a frequência que uma trajetória típica passa por uma vizinhança ε de x. 
	Agora varie o ε. A medida que ε aumenta, o número de pontos na bola cresce com lei de potências: Nx(ε) ∝ εd, onde d é chamado de dimensão pontual em x. A dimensão pontual depende significamente de x; ela será menor em regiões rarefeitas do atrator. Para ter uma dimensão geral de A, um cálculo médio de Nx(ε) sobre muitos x. A quantidade resultante é encontrada empiricamente para escalar como: C(ε) ∝ εd, onde d é chamada de dimensão correlacionada. 
	A dimensão correlacionada leva em conta a densidade de pontos no atrator e portanto se diferencia da dimensão de caixa, que apenas pondera as caixas ocupadas igualmente, não importando quantos pontos elas contenham. (Matematicamente falando, a dimensão correlacionada envolve uma medida invariável apoiada em um fractal, não apenas o próprio fractal). Em geral, dcorrelation ≤ dbox, embora elas sejam geralmente muito próximas. 
	Para estimar d, plota-se log(C(ε)) vs. log ε. Se a relação C(ε) ∝ εd for válida para todo ε, nós encontrariamos uma linha reta de inclinação d. Na prática, a lei de potências, vale apenas acima de uma faixa intermediária de ε. (Fig. 11.5.2).
	A curva satura em um ε grande, por causa as bolas ε envolvem todo o atrator, e então Nx(ε) não pode crescer mais. Por outro lado, em um ε pequeno, o único ponto onde cada bola-ε é o próprio x. Então, a lei de potência vale apenas na região escalar, onde (separação mínimos dos pontos em A) << ε << diâmetro de A.
· Exemplo 11.5.1:
	Estime a dimensão de correlação do atrator de Lorenz para os valores de parâmetro padrão r = 28 e σ = 10, b = 8/3.
	Figura 11.5.3 mostra o resultado de Grassberger e Procaccia (1983). (Perceba que em sua notação, o raio da bola é l e a dimensão de correlação é v). A linha de inclinação dcorr = 2.05 ± 0.01 dá um excelente ajuste aos dados, exceto para ε grande, onde a saturação ocorre.
	Esses resultados foram obtidos integrando numericamente o sistema com o método de Runge-Kutta. O intervalo de tempo foi de 0.25 e 15.000 pontos foram computados. Grassberger e Procaccia também reportaram que a convergência foi rápida, a dimensão de correção poderia ser estimada com ± 5 % usando somente alguns mil pontos. 
· Exemplo 11.5.2:
	Considere o mapa logístico xn+1 = rxn(1-xn) com o valor de parâmetro r = r∞ = 3.5699456…, correspondente ao nascimento do caos. Mostre que o atrator é parecido com um conjunto de Cantor, embora não estritamente auto-similar. Então compute sua dimensão correlacionada numericamente.
	Nós visualizamos o atrator construindo de forma recursiva. De grosso modo, o atrator parece com o ciclo-2n, para n >> 1. Figura 11.5.4 esquematicamente mostra alguns ciclos-2n típicos, para valores de n pequenos. 
	Os pontos no painel esquerdo da Figura 11.5.4 representam os ciclos-2n super estáveis. Os painéis da direita mostram os valores correspondentes de x. A medida que n -> ∞, o conjunto resultante se aproxima de um conjunto topológico de Cantor, com pontos separados por gaps de vários tamanhos. Mas o conjunto não é estritamente auto-similar - os gaps escalonam por diferentes fatores dependendo de suas localizações. Em outras palavras, alguns dos “ossos da sorte” no diagrama de órbita são mais largos que outros com mesmo r. (Nós comentamos dessa não uniformidade na seção 10.6, após ver diagramas de órbitas gerados pelo computador na Fig, 10.6.2).
	A dimensão de correlação do conjunto limitante foi estimada por Grassberger and Procaccia. Eles geraram uma única trajetória com 30.000 pontos, começando de x0 = ½. Eles plotaram o log de log(C(ε)) vs. log ε e viram que é bem ajustada por uma linha com inclinação igual a dcorr = 0.500 ± 0.005 (Fig. 11.5.5).
	Isso é menor que a dimensão da caixa dbox ≈ 0.538, como esperado.
	Para ε muito pequeno, o dado da Figura 11.5.5 desvia de uma linha reta. Os autores atribuem esse desvio a correlações residuais entre os xn’s em suas trajetórias únicas. Essas correlações seriam negligenciadas se o mapa fosse fortemente caótico, mas para um sistema na origem do caos, as correlações são visíveis em escalas pequenas. Para estender a escala, pode-se usar um número maior de pontos ou mais de uma trajetória. 
· Multifractais
	Concluiremos mencionando um conceito refinado, mas sem entrar em muitos detalhes. No atrator logístico do Exemplo 11.5.2, a escala varia de lugar para lugar, diferente do conjunto de cantor de terços do meio, onde essa escala é uniforme de ⅓ em todo lugar. Assim, não podemos caracterizar completamente o atrator logístico por sua dimensão ou qualquer outro número único - nós precisamos de algum tipo de função de distribuição que nos diz como a dimensão varia no atrator. Conjuntos desse tipo são chamados de multifractais.
	A noção de dimensão pontual permite-nos quantificar as variações locais em escala. Dado um multifractal A, faça Sα ser o subconjunto de A consistindo de todos os pontos com dimensão pontual α. Se α é um fator de escala típico de A, então ele será representado frequentemente, então Sα será um conjunto relativamente grande; se α é incomum, então Sα será um conjunto pequeno. Para ser mais quantitativo, perceba que cada Sα é por si só um fractal, então faz sentido medir seu “tamanho” por sua dimensão fractal. Assim, faça f(α) denota a dimensão de Sα. Então f(α) é chamado de espectro multifractal de A ou espectro de índices escalares.
	De grosso modo, podemos pensar o multifractal como um conjunto entrelaçado de fractais de diferentes dimensões α, onde f(α) mede seus pesos relativos. Desde que α muito grandes e muito pequenos são incomuns, a forma de f(α) tipicamente se parece com a Fig. 11.5.6. O máximo valor de f(α) acaba sendo a dimensão da caixa.
	Para sistemas na origem do caos, multifractais levam a uma versão mais poderosa da teoria da universalidade mencionada na Seção 10.6. A quantidade universal é agora uma função f(α) em vez de um único número; portanto oferece muito mais informação e a possibilidade de testes muito mais rigorosos. As predições da teoria foram checadas para uma variedade de sistemas experimentais na origem do caos e obtiveram sucesso. Por outro lado, ainda falta uma rigorosa teoria matemática sobre multifractais. 
· Capítulo 12- Atratores Estranhos
· 10.0 - Introdução
	Nossos estudos nos 3 capítulos anteriores revelaram um pouco dos sistemas caóticos, mas algo importante ficou faltando: intuição. Nós sabemos o que acontece, mas não por que acontece. Por exemplo, não sabemos o que causa a dependência sensível das condições iniciais, ou como uma equação diferencial pode gerar um atrator fractal. Nosso primeiro objetivo é entender essas coisas de forma geométrica e simples. 
	Essas mesmas questões confrontaram os cientistas na década de 1970. Na época, os únicos exemplos conhecidos de atratores estranhos eram o atrator de Lorenz (1963) e algumas construções matemáticas de Smale (1967). Portanto, havia a necessidade de outros exemplos concretos, de preferência o mais transparente possível. Esses foram fornecidos por Hénon (1976) e Rossler (1976) usando conceitos intuitivos de alongamento e dobramento. Esses tópicos serão discutidos na seção 12.1-12.3. O capítulo é concluído com alguns exemplos experimentais de atratores da química e mecânica. Em adição, esses exemplos ilustram as técnicas de reconstrução do atrator e seções de Poincaré, dois métodos padrões para análises de dados experimentais de sistemas caóticos. 
· 10.1 - Os exemplos simples
	Os atratores estranhos possuem duas propriedades que parecem difíceis de conciliar. Trajetórias no atrator se mantém confinada em regiões fechadas no espaço de fase, mas elas se separam exponencialmente das suas vizinhas (pelo menos inicialmente). Como podem essas trajetórias divergirem infinitamente e ainda assim serem limitadas? 
	O mecanismobásico envolve repetir alongar e dobrar. Considere uma pequena bolha de condições iniciais no espaço de fase (Fig. 12.1.1).
	O atrator estranho tipicamente surge quando o fluxo contrai a bolha em algumas direções (refletindo a dissipação do sistema) e alonga e outras (levando a dependência sensível das condições iniciais. O alongamento não pode continuar para sempre - a bolha distorcida deve ser dobrada novamente em si mesma, para se manter na região limitada. 
	Para ilustrar esse efeito de alongar e dobrar, vamos considerar um exemplo doméstico. 
· Fazendo massas
	A Figura 12.1.2 mostra o processo utilizado para fazer massas e croissants. 
	A massa é enrolada e achatada, então dobrada novamente, então enrolada novamente e assim por diante. Depois de algumas repetições, o produto final é uma estrutura em camadas - o análogo culinário ao atrator fractal. 
	Além disso, o processo mostrado na figura 12.1.2 automaticamente gera dependência sensível das condições iniciais. Suponha que uma pequena gota de corante alimentar seja colocada na massa, representando condições iniciais próximas. Depois de muitas iterações de alongamento e dobramento e re-injeção, o corante estará espalhado por toda a massa. 
	A Figura 12.1.3 representa uma vista mais detalhada desse mapa de massa, aqui modelado como um mapa contínuo de um retângulo em si mesmo.
	O retângulo abcd é achatado, alongado e dobrado na ferradura a’b’c’d’, também mostrada em S1. Da mesma forma, S1 é achatada, alongada e então dobrada em S2 e assim por diante. À medida que vamos de um estágio pro próximo, as camadas se tornam mais finas e há o dobro delas.
	Agora tente imaginar o conjunto limitante S∞. Isso consiste de infinitas camadas suaves, separadas por gaps de vários tamanhos. De fato, uma seção transversal vertical através do meio de S∞ nos lembraria o conjunto de Cantor! Logo, S∞ é (localmente) o produto de uma curva suave com o conjunto de Cantor. A estrutura fractal do atrator é consequência do alongamento e dobramento que criaram S∞. 
· Terminologia
	A transformação mostrada na Figura 12.1.3 é normalmente chamada de mapa de ferradura, mas nós evitamos esse nome pois ele causa confusão com outro mapa de ferradura (A ferradura Smale), que possui várias propriedades diferentes. Em particular, o mapa de ferradura de Smale não possui um atrator estranho, é um conjunto invariante mais como uma sela estranha. A ferradura de Smale é fundamental para discussões rigorosas de caos, mas sua análise e significado são melhores para um curso mais avançado. 
	Por que queremos reservar a palavra ferradura para o mapa de Smale, nós chamaremos esse mapa de mapa de pasta. O nome melhor seria o “mapa de padeiro”, mas o nome já foi usado pelo próximo exemplo.
· Exemplo 12.1.1:
	O mapa de padeiro B do quadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 em si mesmo é dado por: onde a é um parâmetro que varia de 0 ≤ a ≤ ½. Ilustre a ação geométrica de B mostrando os efeitos em uma face desenhada no quadrado unitário. 
	O sujeito experimental relutante é mostrado na Figura 12.1.4a.
	Como veremos em breve, a transformação pode ser considerada como um produto de duas transformações mais simples. Primeiramente o quadrado é esticado e achatado em um retângulo de 2 x a (Fig. 12.1.4b). Então o retângulo é cortado na metade, criando dois retângulos 1 x a, e a metade da direita é empilhada em cima da metade da esquerda, de modo que sua base esteja no nível y = ½ (Fig. 12.1.4c).
	Porque esse procedimento é equivalente às fórmulas de B? Primeiro, considere a metade esquerda do quadrado, onde 0 ≤ xn ≤ ½. Aqui (xn+1, yn+1) = (2xn, ayn), então a direção horizontal é esticada por 2 e a direção vertical é contraída por a. O mesmo é verdadeiro para a metade da direita do retângulo, exceto que a imagem é desviada para esquerda por 1 e para cima por ½ uma vez que (xn+1, yn+1) = (2xn, ayn) + (-1, ½). Esse desvio é equivalente a empilhar como dito. 
	O mapa de padeiro exibe dependência sensível das condições iniciais, graças ao estiramento na direção x. Ele possui muitas órbitas caóticas - incontáveis de fato. Essa e outras propriedades dinâmicas do mapa de padeiro serão discutidas nos exercícios. 
	O próximo exemplo mostra que, como o mapa de pasta, o mapa de padeiro possui um atrator estranho com uma seção transversal como a de Cantor. 
· Exemplo 12.1.2:
	Mostre que para a < ½ o mapa de padeiro possui um atrator fractal A que atrai todas as órbitas. Mais precisamente, mostre que existe um conjunto A de tal forma que qualquer condição inicial (x0, y0), a distância de Bn (x0, y0) até A converge para 0 quando n -> ∞.
	Primeiro vamos construir o atrator. Faça S denotar o quadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1; isso inclui todas as possíveis condições iniciais. As primeiras três imagens de S sob o mapa B são mostradas como regiões sombreadas na Figura 12.1.5.
	A primeira imagem B(S) consiste de duas tiras de altura a, como sabemos do exemplo 12.1.1. Então B(S) é achatado, estirado, cortado e empilhado até B2(S). Agora nós temos 4 tiras de altura a2. Continuando nesse caminho, nós vemos que Bn(S) de tirar 2n horizontais de tamanho an. O conjunto limitante A = B∞(S) é um fractal. Topologicamente, é o conjunto de Cantor para segmentos de linha.
	Um ponto técnico: Como nós podemos ter certeza que realmente existe um “conjunto limitante”? Nós invocamos um teorema padrão para topologia de conjunto de pontos. Observe que as sucessivas imagens do quadrado são aninhadas uma dentro da outra. O Teorema garante que as interseções contábeis de uma família aninhada de conjuntos compactos é um conjunto compacto não-vazio - esse conjunto é nosso A. Além disso, A C Bn para todo n. 
	A propriedade de aninhamento também nos ajuda a mostrar que A atrai todas as órbitas. O ponto Bn(x0, y0) encontra-se em algum lugar em uma das duas tiras de Bn(S) e todos os pontos nessas tiras estão a uma distância an de A, pois A é contida em Bn(S). Já que an -> 0 quando n -> ∞, a distância de Bn(x0, y0) para A tende a 0 quando n -> ∞, como requerido. 
· Exemplo 12.1.3:
	Encontre a dimensão da caixa do atrator do mapa de padeiro com a < ½.
	O atrator A é aproximado de Bn(S) que consiste de tiras 2n com altura an e tamanho 1. Agora cubra A com caixas quadradas de lado ε = an (Figura 12.1.6).
	Uma vez que as tiras tem tamanho 1, leva aproximadamente a-n para cobrir cada uma delas. Existe 2n ao todo, então N ≈ a-n x 2n = (a/2)-n. Logo, .
	Como verificação, note que d -> 2 quando a -> ½; isso faz sentido pois o atrator preenche uma porção cada vez maior do quadrado S quando a -> ½.
· A importância da dissipação
	Para a < ½, o mapa de padeiro encolhe áreas no espaço de fase. Dado qualquer região R no quadrado. 
	
	Esse resultado segue a geometria elementar. O mapa de padeiro elonga R por um fator de 2 e achata por um fator de a, então a área(B(R)) = 2a x area(R). Uma vez que a < ½ por suposição, area(B(R)) < area(R) como requerido. (Perceba que a operação de corte não muda a área da região).
	A contração de área é análoga a contração de volume que encontramos para as equações de Lorenz na Seção 9.2. Como naquele caso, leva a muitas conclusões. Por exemplo, o atrator A no mapa de padeiro deve ter área zero. O mapa de padeiro também não pode ter nenhum ponto fixo repulsor, uma vez que esses pontos expandem elementos de área em sua vizinhança.
	Em contraste, quando a = ½ o mapa de padeiro é preservador-áreas: area(B(R)) = area(R). Agora o quadrado S é mapeado em si mesmo, sem gaps entre as tiras. O mapa possui dinâmica qualitativamente diferente nesse caso. Transientes nunca decaem - as órbitas se misturam indefinidamente no quadrado, mas nunca se acomodam definitivamente em um atrator de menor dimensão. Esse tipo de caos nós nunca vimos antes!
	Essa distinção entre a < ½ e a = ½ exemplifica um tema mais amplo na dinâmica não-linear. Em geral, se um mapa ou fluxo contrai volume no espaço de fase, isso é chamado dissipativo. Sistemas dissipativos comumente surgem de modelos físicos envolvendo fricção, viscosidade ou algum outro processo que dissipaenergia. Em contraste, maps que preservam área são associados com sistemas conservativos, particularmente com os sistemas Hamiltonianos da mecânica clássica.
	Essa distinção é crucial, pois mapas preservadores de área não podem possuir atratores (estranhos ou outros tipos). Como definido na seção 9.3, um “atrator” deve atrair todas as órbitas começando em um conjunto aberto suficientemente pequeno contendo ele; esse requerimento é incompatível com a preservação de área. 
· 12.2 - Mapa de Hénon
	Nessa seção discutiremos outro mapa bidimensional com um atrator estranho. Ele foi criado pelo Astrônomo teórico Michel Hénon (1976) para clarear a microestrutura de atratores estranhos. 
	O interesse de Hénon nesse assunto surgiu quando ele viu um físico palestrar, e este falava das dificuldades em resolver as equações de Lorenz, já que esse apresentava uma rápida contração de volume.
	Hénon teve uma ideia inteligente. Ao invés de ir direto ao problema de Lorenz, ele buscou um mapa que capturasse suas ideias principais, mas com um pouco de dissipação. Os mapas foram a escolha pois eles são mais fáceis de simular e suas soluções podem ser seguidas com mais precisão por mais tempo. 
	O mapa de Hénon é dado por: , onde a e b são parâmetros ajustáveis. Hénon (1976) chegou nesse mapa após uma linha de raciocínio elegante. Para simular o estiramento e dobramento que ocorre no sistema de Lorenz, ele considerou a seguinte cadeia de transformações (Fig. 12.2.1).
	Começando com uma região retangular alongada ao longo do eixo x (Fig. 12.2.1a). Estire e dobre o retângulo aplicando a seguinte transformação.
	(A linha denota iteração e não derivação). As linhas de baixo e de cima do retângulo são mapeadas nas parábolas de (Fig. 12.2.1b). O parâmetro a controla o dobramento. Agora dobre a região um pouco mais por contração Fig. 12.2.1b ao longo do eixo x; 
	Onde -1 < b < 1. Isso produz a Figura 12.2.1c. Finalmente, volte para a orientação ao longo do eixo x, refletindo contra a linha y = x (Fig. 12.2.1d);
	Então a transformação composta T = T’’’T’’T’ gera o mapa de Hénon, onde usamos as notações (xn, yn) para (x,y) e (xn+1, yn+1) para (x’’’, y’’’).
· Propriedades elementares do mapa de Hénon
	Como desejado, o mapa de Hénon captura várias propriedades essenciais do sistema de Lorenz. (Essas propriedades serão verificadas com exemplos abaixo e nos exercícios).
1. O mapa de Hénon é inversível. Essa propriedade é a contraparte do fato de que no sistema de Lorenz, existe somente uma única trajetória através de cada ponto no espaço de fase. Em particular, cada ponto tem um único passado. Nesse respeito, o mapa de Hénon é superior ao mapa logístico, seu análogo unidimensional. O mapa logístico estica e dobra o intervalo unitário, mas não é invertível já que todos os pontos (exceto o máximo) vem de duas pré-imagens. 
2. O mapa de Hénon é dissipativo. Ele contrai áreas, e faz isso na mesma taxa em todo lugar do espaço de fase. Essa propriedade é análoga à divergência constante negativa no sistema de Lorenz. 
3. Para certo valores de parâmetros, o mapa de Hénon possui uma região armadilha. Em outras palavras, existe uma região R que é mapeada dentro de si mesma (Fig. 12.2.2) Como no sistema de Lorenz, o atrator estranho é trancado dentro dessa região armadilha. 
	A próxima propriedade enfatiza uma importante diferença entre o mapa de Hénon e o sistema de Lorenz.
4. Algumas trajetórias do mapa de Hénon escapam para o infinito. Em contraste com o sistema de Lorenz que é limitado; todas eventualmente entram e ficam dentro de um grande elipsóide. Mas não é surpresa que o mapa de Hénon possui algumas trajetórias ilimitadas; longe da origem o termo quadrático domina e repele órbitas para o infinito. Um comportamento similar ocorre no mapa logístico - lembre-se que órbitas começando fora do intervalo unitário eventualmente se tornam ilimitadas. 
	Vamos agora verificar as propriedades 1 e 2. 
· Exemplo 12.2.1:
	Mostre que o mapa de Hénon T é inversível se b ≠ 0 e encontre o inverso T -1.
	Nós resolvemos a equação do mapa para xn e yn, dado xn+1 e yn+1. A álgebra nos dá que . Logo T -1