Non linear dynamics and chaos

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Nonlinear dynamics and Chaos 
· Capítulo 1 - Visão Geral
Dinâmica é o assunto que aborda a mudança e os sistemas que envolvem o tempo. Se o sistemas tende ao equilíbrio, fica repetindo em ciclos ou faz algo mais complicado, é através da dinâmica que analisamos seu comportamento. 
Existem dois tipos de sistemas dinâmicos: Equações diferenciais e Equações de diferença (iterated maps).
· Equações diferenciais: Descrevem a evolução de sistemas em um tempo contínuo. São mais usuais na ciência e na engenharia, portanto são o foco principal do livro. 
· Equações de diferença: Descrevem problemas onde o tempo é discreto. Essas não serão o foco do livro, porém são úteis para prover exemplos simples de caos.
As equações diferenciais são principalmente divididas em ordinárias e parciais. Uma equação diferencial ordinária é quando há apenas uma variável independente. Em contraste uma equação parcial possui duas variáveis independentes. No livro, o foco é com o comportamento temporal, portanto as Equações ordinárias serão as principais. 
 
Eq. oscilador harmônico massa mola. 
Eq. ordinária (apenas o tempo (t) como variável independente)
 
Eq. do calor
Eq. parcial (possui o tempo (t) e o espaço (x) como variável independentes)
	Uma forma muito geral de Equações Diferenciais Ordinárias é dada pelo sistema: 
	Comment by João Antonio: X1,...,Xn é como se fosse o conjunto de variáveis. Por exemplo: Considerando o sistema solar, poderíamos achar a uma função da posição dos planetas em relação ao tempo.
	Onde as variáveis (x1,...xn) podem representar concentrações de químicos, populações de animais em um ecossistema, posição e velocidade de planetas no sistema solar. As funções (f1, …, fn) são determinadas pelo problema em mãos. Podemos reescrever a Equação do massa-mola nessa forma de sistema fazendo: , então e , escrevendo na forma de sistema temos: 	Comment by João Antonio: x(Dois pontos) = -b/mx(ponto) - k/mx == é a forma normal da equação diferencial da massa-mola
	Esse sistema é dito linear, pois todos os termos do lado direito são primeira potência. Um sistema não-linear possui termos que são produtos, potências ou funções de x, como: x1x2, (x1)^3 ou cos(x1)
Eq. do pêndulo vertical e sua forma de sistema - Exemplo de Equação diferencial ordinária não linear
	
	A não linearidade torna o problema mais difícil de resolver analiticamente, porém deve haver alguma forma de extrair informação de um sistema. No livro, ele irá abordar com extrair informações do comportamento do sistema, através de métodos geométricos. Por exemplo, supondo que seja conhecida uma solução para o sistema do pêndulo, em uma determinada condição inicial. Essa solução será um par de funções x1(t) e x2(t) representando posição e velocidade do pêndulo. Construindo um espaço abstrato de coordenadas x1,x2, uma solução (x1(t), x2(t)) será apenas um ponto se movendo ao longo de uma curva nesse espaço 
 
	A curva é chamada de trajetória e o espaço é chamado de espaço de fase do sistema, que é o espaço com (x1,...,xn), esse espaço é n-dimensional. O espaço de fase é completamente preenchido de trajetórias, sendo que cada ponto poderá servir como condição inicial. O objetivo será fazer o oposto: dado um sistema, queremos desenhar as trajetórias e então extrair informação sobre as soluções.
Parte 1 - Fluxos Unidimensionais 
· Capítulo 2 - Fluxos na linha
	A palavra sistema utilizada daqui pra frente não se refere ao sentido clássico da matemática de um conjunto de equações, mas sim a um sistema dinâmico. Dessa forma, uma simples equação pode representar um sistema.
· 2.1 - Uma forma geométrica de pensar
	Imagens geralmente são melhores para analisar sistemas não lineares do que fórmulas. Considere a seguinte equação diferencial não linear: . Separando as variáveis e depois integrando: . Para descobrir o valor da constante C podemos fazer x=x0 quando t=0, então C = ln | csc x0 + cot x0 | e a solução é: . Essa solução é exata, porém difícil de ser analisada, por exemplo: O que acontece quando t tende ao infinito ?. 
	Fazendo uma análise gráfica dessa mesma equação percebemos o quão mais claro é. Podemos pensar que o t é o tempo e x é a posição de uma partícula imaginária se movendo ao longo de uma linha real e que é a velocidade dessa partícula, então a equação diferencial representa um campo vetorial na linha. Para esquematizar o campo vetorial, podemos plotar um gráfico de por x e desenhar setas no eixo x para indicar a velocidade correspondente naquele x. As setas apontam para direita quando e para a esquerda quando . Imagine uma partícula sobre as linhas do gráfico, supondo que essa partícula comece no ponto π /2, então essa teria seu movimento, ou fluxo, para a direita, porém se essa partícula começar no ponto 3π /2, então seu fluxo seria para a esquerda. 
	Comment by João Antonio: Uma partícula iniciando em pi/4 possui movimento acelerado para a direita, até passar por pi/2, então começa a desacelerar até chegar no ponto estável de pi.
	Os pontos sobre o eixo x, não possuem fluxo, pois nesses pontos a velocidade é zero ( ), esses pontos são chamados de pontos fixos. Há dois tipos de pontos fixos, os representados por pontos fechados são os pontos fixos estáveis (também chamados de atratores, porque o fluxo são em direção a eles), já os pontos abertos são os pontos fixos instáveis (também chamados de repelidores).
	Com esse gráfico podemos analisar qualquer situação inicial (x0) de uma partícula. Se sua velocidade inicial é então ela se moverá para a direita até chegar ao ponto estável mais próxima. Se a velocidade inicial é ela irá para a esquerda da mesma forma, porém se , ela se manterá constante. Essa visão qualitativa da solução pode ser visualizada no gráfico a seguir de x por t.
	Comment by João Antonio: Por que uma condição inicial x0 se move em direção ao ponto estável mais próximo, mas nunca chega nele de fato, ela tende ao infinito ?	Comment by João Antonio: Pq ele vai acelerando ou desacelerando infinitamente, mas nunca para. Ele chega ao ponto estável apenas no infinito
· 2.2 - Pontos fixos e estabilidade
	As ideias da sessão anterior podem ser aplicadas a qualquer sistema de uma dimensão . Precisamos apenas desenhar o gráfico de f(x) e então usar ele para esboçar os vetores na linha.	Comment by João Antonio: É não linear, pois a derivada de x em relação a t é igual a uma função de x que está em função de t. Logo se x(t) é a função desconhecida em relação a t. A não linearidade vem justamente de uma função em função de x(t) = f(x(t))	Comment by João Antonio: O formato linear seria:x(ponto) = f(t)x(t), onde f(t) seria uma função conhecida de t, e x(t) a função incógnita de t.
	Comment by João Antonio: A reta x é um espaço vetorial, onde os vetores são a velocidade. Que tem direção, sentido e módulo.
	Com o passar do tempo, o ponto imaginário se move ao longo do eixo x de acordo com alguma função x(t). Essa função é chamada de trajetória baseada em x0, e representa a solução da equação diferencial começando da condição inicial x0. Uma figura como a 2.2.1 é um retrato de fase que representa todas as trajetórias qualitativas do sistema. A aparência do retrato de fase é controlado pelos pontos fixos (x*), definidos por f(x*) = 0. Em termos de equações diferenciais, os pontos fixos representam as soluções de equilíbrio. O equilíbrio é definido como estável quando todas as perturbações suficientemente pequenas longe deles se esgota com o tempo (são representados pelos pontos fixos estáveis). Já o equilíbrio instável é quando as perturbações crescem com o tempo. Note que a definição de equilíbrio estável está centrada na parte de pequenos distúrbios, analisando o gráfico 2.2.1, vemos que pequenos distúrbios que tiram do ponto estável poderão retornar a estabilidade, porém um grande distúrbio que move o objeto para além do ponto instável x=1, não será possível retornar ao equilíbrio, dessa forma ele tenderá para o infinito positivo. Sendo assim, dizemos que o ponto x*=-1 ele é um estávellocal, e não um estável global.	Comment by João Antonio: Lembrando que uma equação diferencial podem ter várias soluções. Essa é apenas a solução começando de x0.	Comment by João Antonio: Equilíbrio estável é quando alguma perturbação retira o corpo do equilíbrio, porém esse tende a retornar ao equilíbrio.	Comment by João Antonio: Já o equilíbrio instável é quando a perturbação retira o corpo do equilíbrio, e esse tende a se afastar cada vez mais do equilíbrio.
	Exemplo 1:
	Encontre todos os pontos de e classifique sua estabilidade:
Para isso, . Para achar os pontos fazemos f(x*)=0, logo os pontos seriam x = + 1 ou -1. Para determinar a estabilidade plotamos o gráfico de x² - 1 e fazemos uma análise de sua estabilidade. Analisando o gráfico abaixo podemos perceber que o ponto -1 é estável e o +1 é um ponto instável. 
	Exemplo 2:
	Faça o esquema do retrato de fase de e determine a estabilidade de todos os pontos fixos.
	Para esse caso plotar o esquema da função x-cosx é complicada, uma solução portanto é plotar os gráficos separadamente de f(x) = x e f(x)=cos(x). A interseção entre ambos os gráficos será um ponto fixo. Para saber quanto a estabilidade devemos analisar a esquerda cos(x) é maior que x, portanto a função ficaria com velocidade negativa e iria para esquerda, a direita x é maior que cos(x) portanto teria velocidade final positiva e o fluxo para direita. Logo o ponto fixo é instável. 
· 2.3 - Crescimento Populacional
O modelo mais simples para o crescimento populacional é , onde N(t) é a população no tempo t e r > 0 é a taxa de crescimento populacional. Esse modelo prediz um crescimento exponencial, , onde N0 é a população no t=0. Obviamente o crescimento exponencial de uma população não se dá para sempre, dessa forma, para modelar o limite de recursos geralmente é assumido que a taxa de crescimento per capita () diminui à medida que a população (N) se torna muito grande. De acordo com a figura 2.3.1, podemos ver que para N pequenos o r é similar ao do primeiro caso, porém para populações maiores que uma certa capacidade do meio (K), a taxa de crescimento torna-se negativa, significando que a taxa de morte é maior que a taxa de nascimento. Uma maneira matemática de analisar esse problema é assumir que a taxa de crescimento per capita diminui linearmente com N, como mostrado na figura 2.3.2. Dessa forma temos uma equação logística .	Comment by João Antonio: Eq. diferencial linear.	Comment by João Antonio: Eq. diferencial não-linear
	Analisando qualitativamente pelo plot de por N, podemos perceber que há dois pontos fixos, N* = 0 e N* = K, onde N = 0. N*=0 é um ponto fixo instável e N*=K é um ponto fixo estável. De forma biológica, uma população pequena irá crescer exponencialmente fugindo de N=0 e tendendo a K. Pequenas perturbações levarão a população de retornar a K, de tal forma que se t tender ao infinito, N = K. Se N0 = 0, então a população nunca irá crescer, tendo em visto que não há indivíduos para se reproduzir. 
	Comment by João Antonio: A velocidade próxima a 0 é pequena e vai crescendo a medida que se afasta de 0. Quando passa de K/2, a velocidade volta a diminuir até chegar a K.
	A figura 2.3.3 também permite nos deduzir a forma qualitativa das soluções desse sistema. Uma população com N0=3/2K irá crescer aceleradamente até atingir K/2, onde passará a crescer de forma mais devagar até atingir K. Esse comportamento nos leva a um gráfico sigmóide de N(t).
	Apesar de muito interessante, o modelo logístico não deve ser levado ao pé da letra. Quando considerado populações de bactérias, leveduras e outros microorganismos em laboratórios sob condições controladas, a curva de crescimento se assemelha muito ao do modelo logístico, porém quando consideramos organismos complexos com diferentes estágios e ciclos de vida, esse modelo não se adequa perfeitamente de tal forma que algumas variações no crescimento exponencial podem ser encontradas antes desses atingirem o limite do meio (K). 
	
· 2.4 - Análises de estabilidade linear 
	Até agora usamos análises gráficas para avaliar a estabilidade de um ponto fixo, porém podemos também querer uma análise de estabilidade de forma quantitativa. Esse tipo de informação pode ser obtida através de um método de linearização em um ponto fixo. 
	Se x* for um ponto fixo, então é uma pequena perturbação longe de x*. Para verificar se a perturbação cresce ou diminui, derivamos uma equação diferencial, que como x* é constante fica igual a x(ponto). Logo, temos , usando uma expansão de Taylor obtém-se como f(x*) = 0, pois esse é um ponto fixo. Então . Se f’(x*) é diferente de 0, então o termo O(n²) é desprezível e escrevemos a aproximação Essa equação diferencial em n é chamada de linearização sobre x*. Isso mostra que a perturbação cresce exponencialmente se f’(x*) > 0 e descresce se f’(x*) < 0. Caso f’(x*) = 0, então o termo O(n²) não é desprezível, e uma análise não-linear é necessária. 	Comment by João Antonio: Isolando x(t) temos: x(t) = n(t) + x *	Comment by João Antonio: Ou Série de Taylor - Ver conteúdo de C2
	O resultado é que a inclinação f’(x*) no ponto fixo determina sua estabilidade. Em exemplos anteriores os pontos fixos estáveis sempre tiveram inclinação negativa (significa que a perturbação diminui até retornar a estabilidade). Podemos agora além de analisar graficamente, mensurar o quão estável um ponto fixo é através de f’(x*).	Comment by João Antonio: É diferente do x ponto, pois esse é a derivada de x em relação ao tempo. E para análise de estabilidade derivamos o x ponto em relação ao x.
· Exemplo:
	Nada pode ser dito sobre a estabilidade de um ponto quando f’(x*) = 0. Nesse caso a estabilidade é melhor determinada caso a caso. 
	Nesses casos, todos os sistemas possuem ponto fixo x* = 0 com f’(x*) = 0. Porém, o sistema a) possui o ponto estável, enquanto o sistema b) possui o ponto instável. Já no caso do sistema c) o ponto é um híbrido chamado de semi-estável, já que é atraído pela direita e repelido pela esquerda. No caso d) toda a linha é preenchida com pontos fixos estáveis, nesse caso a perturbação nem cresce nem diminui. 
· 2.5 - Existência e Exclusividade
	Até o momento as análises feitas foram muito gerais, e servem para o propósito do livro, porém devemos tomar cuidado com alguns problema patológicos de certas análises. 
	Por exemplo, para a equação , soluções com x0 = 0 não são únicas. Uma clara solução para essa equação é quanto x(t) = 0, para todo t. Porém, existe outra solução e para encontrá-la podemos usar a separação de variáveis, , e então . Impondo a condição inicial x(0)=0 leva a C=0, então é também uma solução. Quando essa singularidade falha, a análise geométrica colapsa, pois o ponto de fase não sabe como se mover, por exemplo nesse caso se ponto começa na origem ele ficaria lá (x(t)=0) ou iria se mover de acordo com ?
	A fonte de não exclusividade pode vir de uma dica da própria observação do campo vetorial. No gráfico abaixo vemos que o ponto x*=0 é muito instável e a inclinação de sua derivada é infinita.
	Através desse exemplo, podemos ver um teorema que provém condições suficientes para analisarmos a existência ou singularidade de soluções para . 
	Teorema da exclusividade e singularidade: Suponha que f(x) e f’(x) são contínuos em um intervalo aberto R sobre o eixo x. E suponho que x(0)=x0 é um ponto em R. Então o problema do valor inicial possui uma solução x(t) em um intervalo sobre t=0 e a solução é única.
Outro problema pode observado através do exemplo. Neste caso, a função é contínua e possui derivada contínua para todo x, logo o teorema diz que a solução existe e é única para qualquer condição inicial x0, porém o teorema não diz nada sobre a solução existe por todo o tempo, ele apenas garante que a solução exista por um intervalo de tempo pequeno em torno de t=0.
Considerando o caso onde x(0)=0, podemos resolver analiticamente por separação de variáveis então: que leva a , a condição incial x(0)=0 implica que C=0, então x(t) = tan(x).t. 
Percebe que a solução só existe para , poisx(t) é ±∞ quando t = ± π/2. Fora deste intervalo de tempo o sistema não possui solução para o problema do valor inicial x0 = 0. A parte legal disso é que esses sistemas conseguem ter soluções que chegam ao infinito, em tempos finitos, esse fenômeno é chamado explodir (blow up). Não nos preocuparemos com existência e singularidade pelo resto desse livro. 
· 2.6 - Impossibilidade de oscilação
	A dinâmica de sistemas de primeira ordem são dominados por pontos fixos. Em todos os exemplos até agora as trajetórias fluíram para um ponto fixo ou iam para ±∞ . A razão é que as trajetórias são forçadas a aumentar, diminuir ou permanecerem constantes. Em papo geométrico, o ponto de fase nunca reverte sua direção. Por esses motivos, eventos como oscilações amortecidas e superação (overshoot) não podem ocorrer em sistemas de primeira ordem, dessa forma podemos afirmar que não existem soluções periódicas para . 
· Análogo mecânico: Sistemas super amortecido
	Vamos tomar como exemplo mecânico um caso onde é um dos limites das leis de Newton, onde o termo de inércia (massa x aceleração) é desprezível. Por exemplo: suponha uma massa (m), que está presa a uma mola não linear cuja força de restauração é F(x), onde x é a distância para a origem. Essa mola é mergulhada em um pote com líquido bem viscoso como mel, que gera uma força de atrito e assim, a lei de Newton é . 
No frasco viscoso onde , o sistema se comporta ou fazendo equivalência a , como: . O comportamento do sistema é simples, a mola prefere ficar no estado de equilíbrio onde f(x) = 0 e f’(x) < 0, se essa for retirada um pouco do estado de equilíbrio ela tenderá a retornar a esse estado por meio da Força de restauração. Nenhuma superação é possível, pois o atrito é enorme e oscilações estão fora de questão.
· 2.7 - Potenciais
	Existe outra forma de visualizar a ideia de dinâmica de sistemas de primeira ordem, baseado na ideia de energia potencial da física. Imagine uma partícula caindo pelas paredes de um poço potencial, onde o potencial V(x) é dado por . Como antes, suponha que a partícula está sob efeito de um forte atrito e sua inércia é completamente desprezada. O sinal negativo de V(x) é uma convenção da física de que a partícula está sempre indo ladeira abaixo no processo de movimento, para visualizar isso pense em V(x(t)). Pela regra da cadeia teremos , agora para sistemas de primeira ordem , então pela definição de potencial. Consequentemente, . Assim V(x) sempre diminui ao longo da trajetória, a não ser que a partícula esteja na posição de equilíbrio onde dV/dx = 0, então V se mantém constante. Note que os locais de máximo potencial são os pontos instáveis e os locais de mínimo potencial seriam os pontos estáveis
 
· Capítulo 3 - Bifurcações 
	Dado a trivialidade dos sistemas unidimensionais, o que os tornam interessante ? A dependência de parâmetros. A estrutura qualitativa do fluxo pode variar conforme os parâmetros são variados. Pontos fixos podem ser criados ou destruídos e suas estabilidades podem mudar. Essas mudança qualitativas na dinâmica são chamadas de bifurcações e os valores de parâmetros nas quais elas ocorrem são chamadas pontos de bifurcações. 	Comment by João Antonio: Pois eles apenas se movimentam em direção ao equilíbrio ou para + ou - infinito.	Comment by João Antonio: É uma mudança qualitativa, pois você antes tem um ponto de equilíbrio (viga reta), e após a mudança no parâmetro você pode ter ela envergada pra direita ou pra esquerda (dois pontos de equilíbrio).
	Bifurcações são importantes, pois eles provém modelos de transição e instabilidades quando alguns parâmetros controles são variados. Por exemplo, considera uma viga, com peso pequeno colocado sobre ela, essa viga pode suportar o peso e permanecer vertical, porém se o peso for muito grande, a posição vertical pode se tornar instável e então a viga enverga. Nesse caso o peso desempenha o papel do parâmetro de controle, e a posição da viga desempenha o papel da variável dinâmica X. 
	Esse capítulo introduz o contexto mais simples: bifurcações em pontos fixos para fluxos na linha. 
· 3.1 - Bifurcação de nó de sela (Saddle-Node Bifurcation)
	Esse tipo de bifurcação é um exemplo básico de como dois pontos fixos são criados e destruídos. Quando um parâmetro é variado, dois pontos fixos movem-se em direção ao outro, colidem e mutuamente se aniquilam. 
	Um bom exemplo desse tipo de bifurcação é dado por: , onde r é o parâmetro que pode ser variado. Quando r é negativo, existem dois pontos fixos, um estável e um instável. A medida que r se aproxima de 0, os pontos fixos movem-se em direção ao outro até se colidirem no 0, onde tornam-se um ponto fixo semi-estável. Quando r é positivo, o ponto fixo deixa de existir. Nesse exemplo dizemos que a bifurcação ocorre no r = 0, pois os campos vetoriais de r<0 e r>0 são qualitativamente diferentes.	Comment by João Antonio: Forma normal desse tipo de bifurcação. Fazendo x* = 0, temos que as raízes são + ou - sqrt(-r). Ou seja, para r negativo, existirá 2 raízes, porém para r positivo, devido ao sinal já negativo, não irá existir raiz nenhuma.	Comment by João Antonio: Essa é uma equação normal ou protótipo. Todas as bifurcações desse tipo se assemelham a isso aqui.
	Comment by João Antonio: Parábola que sobe e desce
· Convenções gráficas:
	Existem muitas formas de representar a bifurcação de nó de sela. Podemos representar os campos vetoriais para valores discretos de r, como em 3.1.2. E podemos representar com valores contínuos de r, então temos algo como 3.1.3. Nesse último caso, representamos os pontos estáveis por linha contínua e os pontos instáveis por linha tracejada. Quando r é positivo, não haverá pontos, quando r é negativo haverá pontos estáveis desde que x seja negativo, e pontos instáveis desde que x seja positivo. A curva mostra que r = -x².
 
	A forma mais comum de representar é invertendo os eixos da figura 3.1.3. Essa figura é chamada de diagrama de bifurcação para a bifurcação de nó de sela. 
· Terminologia:
	A teoria da bifurcação possui por vezes muitas informações e terminologias conflitantes. Por exemplo: a bifurcação de nó de sela é por vezes também conhecida como bifurcação de dobra, ou bifurcação de ponto de inflexão, há também o nome bifurcação do céu azul (para bifurcação de nó de sela com sinal invertido, tipo r - x²). 
· Exemplo: Mostre que o sistema de primeira ordem sofre uma bifurcação de nó de sela a medida que r varia e encontre o valor de r no ponto de bifurcação.
	Uma forma de abordar esse problema de forma geométrica é esquematizar o gráfico de r-x e o gráfico de . Onde a linha dos dois gráficos se encontram, temos que e f(x) = 0, logo corresponde a um ponto fixo do sistema. Agora imagine que começamos a diminuir o valor de r, então a linha r-x começa a abaixar, e os pontos de interseção entre os dois gráficos começam a se aproximar. Em um ponto crítico r = rc, a linha se torna tangente da curva, e então temos o ponto de bifurcação, para r além do rc, a linha não interage com o outro gráfico e não temos pontos fixos.
	Para encontrar o ponto crítico rc, temos que impor a condição de que os gráficos se interseccionam tangencialmente, isso sugere que igualamos as funções e suas derivadas. 	Comment by João Antonio: Somente nesse ponto as equações dos dois gráficos são iguais, e as suas derivadas também são iguais.
e . A segunda equação implica que , então x = 0. Voltando a primeira equação, com x = 0, temos que r =1. Então o rc = 1 que ocorre quando x = 0.
· Forma normal:
	Falamos que a forma é uma forma geral para bifurcações desse tipo, mas no último exemplo usamos . Porém, fazendo uma expansão de Taylor nessa fórmula do exemplo teremos algo parecido com a forma prototípica. 
	Nesse gráfico, temos o gráfico verdadeiro da função do exemplo. Quando fazemos uma expansão de Taylor é como se estivéssemos analisando somente a parte enquadrada, que possui formato parabólico.
· 3.2 - Bifurcação transcrítica
	Em algumas situações, um ponto fixo deve existirpara todos os valores de um parâmetro e nunca consegue ser destruído. Por exemplo, na equação logística há um ponto fixo no 0 da população, independente de como seja a taxa de crescimento, apesar disso esse ponto deve variar sua estabilidade, a medida que o parâmetro varia. A bifurcação transcrítica é o mecanismo padrão para esses tipos de mudança na estabilidade.
	A forma normal para a bifurcação transcrítica é: . A figura abaixo mostra como o campo vetorial varia a medida que r muda. Note que a um x*=0 para todos os valores de r.	Comment by João Antonio: Fazendo x* = 0, teríamos que uma das raízes é x=0 e a outra é x = r. Portanto, independente do valor de r, sempre haverá um ponto fixo em 0.
	Comment by João Antonio: Por causa do rx, ela não só sobe e desce igual a sela nó, mas também translata em x.
	Note a diferença entre a bifurcação transcrítica e a bifurcação de nó de sela. Aqui na transcrítica, os dois pontos fixos não desaparecem após a bifurcação, eles apenas trocam sua estabilidade. Abaixo temos o diagrama de bifurcação.
	Comment by João Antonio: Aqui vemos que para todo x = 0 haverá ponto fixo, porém quando r < 0, ele é estável, e quando r > 0 ele é instável. E para a outra raiz (x=r), temos uma reta, que mostra que quando r < 0, é instável e para r>0 é estável.
· 3.3 - Limiar do laser
	Vamos aplicar esse conhecimento matemático a um exemplo físico. Vamos considerar um tipo particular de laser chamado de laser de estado-sólido, que consiste em uma coleção de átomos “ativos por laser” embebidos em uma matriz sólida delimitada por espelhos que refletem parcialmente cada extremidade. Uma fonte de energia externa é utilizada para “excitar” os átomos de seus estados baixos. Quando a energia externa fornecida é relativamente fraca, o laser age como uma lâmpada, os átomos oscilam de formas independentes e emitem ondas de luz em fases aleatórias. Porém, quando a energia externa fornecida é forte suficiente que atravessa um limiar, os átomos começam a oscilar em fase e o laser é emitido.
· Modelo:
	Um modelo detalhado do laser iria exigir mecânica quântica, no entanto, vamos focar em um modelo simplificado com a física clássica. A variável dinâmica é dada pelo número de fótons no campo do laser (n(t)) e sua variação é dada por: 
O termo de ganho é vem do processo de emissão estimulada no qual fótons estimulam átomos que se excitam e liberam mais fótons. Como esse processo se dá por encontro aleatórios entre fótons e átomos excitados, isso é proporcional a n e ao número de átomos excitados (N(t)), e o parâmetro G > 0, é o coeficiente de ganho. O termo de perda modela o escape de fótons pela parte final do laser, o parâmetro k > 0 é uma taxa constante e seu recíproco 1/k representa o tempo de vida de um fóton no laser.
A ideia principal é: Quando um átomo excitado emite um fóton ele volta a um estado de baixa energia e fica um tempo sem se excitar, então N(t) diminui com emissão de fótons. Suponhamos que na ausência da atividade de laser, o número de átomos excitados é N0, então com a ação do laser, esse número reduz. Assumimos então que: , onde α > 0 é a taxa com que átomos voltam ao seu estado de baixa energia. Com isso teremos que: . Isso é um sistema de primeira ordem de n(t). Encontrando os pontos fixos teríamos que um deles será sempre n*=0, o outro será n*=GN0-k/α G. Nesse caso podemos fazer uma análise, pois caso N0 < k/G, n* seria um ponto fixo negativo e não faz sentido nesse contexto físico. Se N0 = k/G, então n* = 0 e o ponto fixo em 0 seria semi-estável, e caso N0 > k/G, então haverá um ponto fixo positivo. Os gráficos dessas situações está abaixo. 
Aqui o limiar do laser é o N0=k/G que corresponde ao ponto de bifurcação, pois para qualquer valor de N0>k/G, já haveria comportamento de laser. 
	Comment by João Antonio: Esse modelo é simples e demonstra bem um comportamento de laser. Para um modelo mais complexo e mais real deveríamos considerar a mecânica quântica e comportamento dos átomos.
· 3.4 - Bifurcação Forquilha (Pitchfork bifurcartion)
	Esse tipo de bifurcação é comum em problemas físicos onde há simetria. Por exemplo, no caso da viga comentada antes, quando o peso excede seu limite, ela pode envergar para direita ou para a esquerda, então nesse momento o ponto fixo vertical é destruído e surge dois novos pontos fixos correspondentes a envergadura para esquerda ou para direita. 
	Existem dois tipos diferentes de bifurcação de forquilha, o tipo mais simples é o supercrítico e iremos analisar primeiro.
	
· Bifurcação de forquilha supercrítica
	A forma normal da bifurcação supercrítica é: . Note que essa fórmula é invariante para a mudança de variável de . Pois, quando fizermos tudo multiplicado por (-1), voltamos para a mesma fórmula normal. Essa invariância é a simetria esquerda-direita que foi mencionada anteriormente, mais tecnicamente dizemos que o campo vetorial é equivariante. A figura abaixo mostra o campo vetorial para os diferentes valores de r.	Comment by João Antonio: Uma função é considerada par quando f(x) = f(-x)	Comment by João Antonio: Uma função é considerada ímpar quando f(-x) = -f(x)	Comment by João Antonio: Essa fórmula aqui seria considerada ímpar	Comment by João Antonio: Para achar as raízes igual a 0. Ficaria x(r-x²) = 0. Logo a primeira raiz seria x=0, independente do valor de r. Para as outras raízes teríamos r-x²=0, então x²=r, e x = + ou - raiz de r. Logo, se r é negativo, não existe raiz, se r positivo haverá 3 raízes ao todo, se r é 0, apenas o 0 é raiz da função.
	Comment by João Antonio: Quando r<0 a reta correspondente a (-rx) possui a mesma inclinação que o -x³, portanto ocorre essa linearização. Quando r = 0, é o próprio gráfico de -x³, porém quando r>0 a inclinação da reta (rx) é positiva, e contrária a -x³, dessa forma a resultante dos dois gráficos cria essas "barrigas".
	Quando r<0 apenas a origem é um ponto fixo estável, quando r=0, a origem continua como ponto fixo estável, porém agora mais fraca, pois a linearização desaparece, as soluções agora decaem muito mais devagar, esse decaimento é chamado de desaceleramento crítico na física. Quando r>0 a origem se tornam instável e surge dois novos pontos fixos estáveis e simétricos sendo x* = ±√r. 	Comment by João Antonio: É mais fraca pois a inclinação da derivada diminui, porém o que quer dizer linearização desaparece em termos na equação ?
	O termo forquilha fica claro quando analisamos o diagrama de bifurcação. 
· Exemplo:
	O modelo é muito utilizado para mecânica estatística de imãs e redes neurais. Essa equação sofre uma bifurcação supercrítica a medida que o β é variado. 	Comment by João Antonio: β é um parâmetro relacionado com a temperatura. Ele é β= 1/T.
A estratégia aqui utilizada é a de traçar ambos os gráficos separadamentes e depois analisar os pontos de intersecção correspondentes aos pontos fixos. Podemos analisar na figura abaixo que a medida que β aumenta, a inclinação do de tanh(x) aumenta. Dessa forma quando β < 1 há somente um ponto fixo na origem, quando β = 1 e x*=0 ocorre a bifurcação, e quando β > 1 surge dois pontos fixos estáveis e a origem se torna instável. 
	Comment by João Antonio: Em um modelo físico o β está relacionado com a temperatura. Imaginemos que temos vários vetores magnéticos desordenados (origem estável) quando β é pequeno (temperatura alta). A medida que esfriamos o sistema (β aumenta), há um certa tendência dos vetores magnéticos se orientarem para cima ou para baixo (pontos fixos estáveis), dessa forma a orientação aleatória dos vetores passa a ser instável.
· Bifurcação de forquilha subcrítica
	No caso discutido anteriormente o termo cúbico da bifurcação supercrítica é estabilizador: ele age como uma força restauradora que puxa x(t) de volta para x = 0. Se pelo contrário esse termo for desestabilizador, então temos uma bifurcação subcrítica: . O diagrama de bifurcação abaixo. Nesse caso a forquilha do diagrama está invertida, os pontos fixos x*=±√-r são instáveis e existem antes da bifurcação (r<0), por isso o nome subcrítico. Como no casosupercrítico, a origem continua estável para r<0 e instável para r>0. Porém agora, para r>0, ela não faz oposição ao termo cúbico, pelo contrário, o termo cúbico auxilia a guiar as trajetórias para ±∞. Esse termo leva a uma explosão, levando x(t) = ±∞, iniciando em qualquer condição x0 ≠ 0.	Comment by João Antonio: As raízes aqui seriam: x = 0 para todo r e x = + ou - raiz de -r. Dessa forma, se r<0 existirá 3 raízes, porém se r>0, então apenas 0 é raiz. Se r=0, apenas 0 é raiz e o ponto é semi-estável.
	Para sistemas físicos reais é comum utilizar termos de mais alta ordem para “capturar” e evitar explosões de instabilidade. Abaixo temos o diagrama de bifurcação para essas situações.
Para valores de x pequenos, o diagrama se comporta necessariamente como a figura 3.4.6 acima, a diferença está no termo , onde os braços instáveis fazem a curva e se tornam estáveis quando , onde . Esses braços estáveis para altos valores de x existem para todo . 
	Vamos notar alguns pontos interessantes na figura 3.4.8: 
1) Entre os valores de , existem 2 pontos estáveis coexistentes, um localizado na origem e outro no braço de alta amplitude, a condição inicial x0 que determinará para qual ponto fixo estável o fluxo irá. Uma consequência é que a origem será permissível a pequenas perturbações, mas não a grandes perturbações, logo ela é localmente estável. 
2) A existência de estados estáveis diferentes permite pulos ou histerese quando r varia. Imagine um sistema começando em x*=0 e onde r aumenta lentamente, ele permanecerá na origem até r=0, quando essa irá perder estabilidade, a partir de agora qualquer perturbação irá fazer o fluxo pular para um dos dois braços de alta amplitude. Agora caso o parâmetro r comece a diminuir, o fluxo irá voltar no braço de alta amplitude até que r < rs, para então ele ter a possibilidade de saltar de volta para a origem. Essa falta de reversibilidade a medida que o parâmetro varia que é chamado de histerese. 
3) A bifurcação em rs é uma sela-nó. 
	
· 3.5 - Pérola em um aro rotativo super amortecido
	Aqui vamos ter um exemplo de um sistema físico. Uma pérola de massa m desliza em um aro de raio r. O aro é forçado a girar em uma velocidade angular constante de ω sobre seu eixo vertical. O problema aqui é analisar o movimento da pérola no aro, que sofrerá ação tanto da força gravitacional quanto da força centrífuga. Porém adicionaremos ao problema o fator de amortecimento, imaginando que esse sistema esteja embebido em um líquido viscoso que ofereça força de fricção para a pérola.
	Φ Será o ângulo entre a pérola e a parte inferior da direção vertical, e por convenção ele será , pois assim só haverá um ângulo para cada ponto no aro. Então, denota a distância da pérola até o eixo vertical do aro.
	Escrevendo a lei de Newton para a pérola temos que, existe a força gravitacional que puxa para baixo e uma força centrifuga para o lado, além de uma força tangencial de amortecimento . Depois de substituir na força centrífuga e considerar que a aceleração tangencial é dada por, obtemos a equação: 
	Essa é uma equação diferencial de segunda-ordem, porém iremos encontrar algumas condições especiais onde podemos ignorar o termo , e assim transformá-la em um sistema de primeira ordem, para que nossa análise seja mais fácil. 
· Análise do sistema de primeira ordem
	Os pontos fixos dessa equação correspondem às posições de equilíbrio para a pérola, nós esperamos que em posição de descanso a pérola possa ficar em baixo ou em cima do aro. Isso é comprovado quando observamos que para mgsinΦ = 0, sempre existirá ponto fixo quando o sinΦ = 0, logo haverá Φ *= 0 e Φ *= π. 
Porém, pode ainda haver mais pontos fixos, se , o que quer dizer que o aro está girando rápido o suficiente. Esses pontos fixos irão satisfazer . Para visualizá-los vamos introduzir um parâmetro e resolver graficamente. 
Plotamos cosΦ vs Φ (Figura 3.5.4) e buscamos por intersecções entre a função constante 1/γ. Para γ<1 não nenhuma intersecção, porém para γ>1, há dois pares de intersecções simétricos. Se analisarmos quando γ -> ∞ essas intersecções se aproximam de ±π/2.
A figura 3.5.5 mostra os pontos fixos para os casos onde γ<1 e γ>1.
 	Comment by João Antonio: A esquerda o aro parado ou girando a baixas velocidades. Em baixas velocidades a força centrífuga não é forte o suficiente para equivaler a força gravitacional e portanto o ponto inferior é estável.	Comment by João Antonio: A direita quando o aro gira a partir de certa velocidade crítica. Quando girando rápido a força centrífuga se torna mais forte, portanto a pérola sobe até onde a força centrífuga e gravitacional se equilibram. Criando dois novos pontos estáveis simétricos, e tornando a parte de baixo instável.
Para finalizar nossas análises, podemos plotar todos os Φ por γ e observar o diagrama de bifurcação. A figura está abaixo. 
	Comment by João Antonio: A bifurcação de forquilha supercrítica ocorre quando γ =1
· 3.6 - Bifurcações imperfeitas e catástrofes 
	As bifurcações de forquilha são comuns em problemas que apresentam simetrias, como por exemplo no caso da pérola no aro rotativo, que possui uma simetria perfeita entre esquerda e direita do aro. Porém no mundo real, em muitas circunstâncias simetrias são aproximadas, e uma imperfeição leva a ligeira diferenças entre esquerda e direita. Vamos ver os sistemas onde essas imperfeições estão presentes. Considere: 
	Quando h = 0 nós temos a forma normal da bifurcação de forquilha supercrítica e há uma perfeita simetria entre x e -x, porém quando h ≠ 0, essa simetria é quebrada. Por isso chamamos h de parâmetro de imperfeição. 
	Esses sistemas são um pouco mais complexos de analisar do que as bifurcações anteriores, pois aqui lidamos com dois parâmetros (h e r), para facilitar podemos manter r fixo e variar apenas o h. Podemos esboçar os gráficos y= rx - x³ e y = -h, separadamente e observar suas intersecções. Quando r ≤ 0, há somente um ponto de intersecção entre os dois gráficos. Já quando r >0 pode haver um, dois ou três ponto de intersecção, dependendo do valor de h. 
	O caso crítico ocorre quando a reta de y=-h é apenas tangente da região de máximo local (ou mínimo local), então temos uma bifurcação sela-nó. Para encontrarmos o valor de h nesse ponto, temos que notar que a função tem valor em máximo local quando , logo e então o valor da função cúbica nesse local é . Então a bifurcação sela-nó ocorre quando h=±hc(r), onde . 	Comment by João Antonio: Pois a derivada da função naquele ponto de máximo e de mínimo local é igual a 0
	Para resumir os resultados podemos plotar as curvas de bifurcação de h=±hc(r), em um plano (r,h). Podemos notar que no ponto (r,h) = (0,0) as duas curvas se encontram tangencialmente, esse ponto é chamado de ponto de cúspide e é onde ocorre uma bifurcação de 2 codimensões (significa que temos que ajustar os dois parâmetros para alcançar essa bifurcação, até agora todas as bifurcações podiam ser alcançadas com apenas 1 parâmetro, e são chamadas de bifurcações 1 codimensão). 
	Comment by João Antonio: Para valores de h maiores que hc temos apenas 1 ponto, para valores de h menores que hc temos 3 pontos fixos. Para valores de r <0 temos apenas 1 ponto. Para valores de h = hc temos 2 pontos (em cima da linha)
	Um gráfico como esse é chamado de diagrama de estabilidade e mostra os diferentes tipos de comportamento que ocorre quando nos movemos por um espaço de parâmetro (o plano (r,h)). 
	Vamos analisar também o diagrama de bifurcação para um h fixo. 
	Comment by João Antonio: No gráfico da direita há uma quebra de simetria com relação ao ponto instável que fica levemente deslocado para baixo. E não perfeitamente centralizado como antes.
	Nesse caso podemos observar que quando h=0, a bifurcação se comporta normalmente como uma forquilha supercrítica. Porém, quando h ≠ 0, a forquilha se quebra em duas partes. O ramo superior consiste inteiramente de pontos fixos estáveis, e não há mais uma transição no 0, agora os valores apenas continuam subindo à medida quer aumenta. Já o ramo inferior consiste de uma parte estável e uma instável, e somente é acessível em caso de haver uma grande perturbação.
	Podemos também plotar o diagrama em função de h com r constante. Quando r ≤ 0, há somente um ponto fixo para cada valor de h, porém para r > 0 existem 3 pontos fixos quando h < hc(r) e somente um, para h > hc(r).
	Comment by João Antonio: Analisando o gráfico da direita podemos ver que se h=0, temos 3 pontos perfeitamente simétricos. Porém quando h não é 0, o ponto instável é deslocado para um lado ou para outro.
	A última forma de visualizarmos nosso resultado é em um gráfico tridimensional. Nesse gráfico temos o eixo x projetado sobre o espaço de parâmetro (r,h). Assim podemos visualizar a superfície de catástrofe da cúspide. A superfície se dobra em si mesma em certos lugares e sua projeção no plano (r,h) leva as curvas de bifurcação mostradas em 3.6.2. Uma seção desse gráfico fixada em h produz a imagem 3.6.3 e uma fixada em r produz a imagem 3.6.4.
	O termo catástrofe é motivado pelo fato de que a medida que os parâmetros mudam o estado do sistema pode deslizar sobre a superfície superior e cair descontinuamente para a superfície inferior (3.6.6). 
Um fato interessante de notar é que com r grande e diminuindo h o sistema sofre a catástrofe, porém se voltarmos a aumentar h, ele não tende a voltar, pois irá parar embaixo da dobra. Ou seja, uma vez feito o caminho de catástrofe, o sistema não consegue voltar pelo mesmo caminho. 
· 3.7 - Surto de Insetos 
	Vamos analisar agora um exemplo biológico de bifurcação e catástrofe, para isso iremos olhar para o modelo do surto de insetos chamados de Choristoneura. Esses insetos constituem uma das maiores pragas no Canadá, de tal forma que quando ocorrem surtos conseguem desfolhar e matar a maioria dos abetos na florestas. 
	Existe um modelo muito interessante para a dinâmica entre os insetos e a floresta, simplificando podemos considerar como escalas de tempo diferente. Os insetos possuem uma escala de tempo rápida, podendo aumentar sua densidade em até 5 vezes em um ano, dessa forma sua escala de tempo é em meses. Já a floresta possui uma escala de tempo lenta, sendo que as árvores levam de 7-10 anos para substituir suas folhagens e possuem um tempo de vida de 100-150 anos, sem os insetos. Dessa forma, considerando a dinâmica dos insetos, podemos considerar as variáveis da floresta como constantes. No final da análise, permitiremos que as variáveis da floresta variem lentamente. 
· Modelo
	O modelo proposto para a dinâmica dos insetos é: . Na ausência de predadores a população de insetos N(t) é assumida a crescer logisticamente com taxa de crescimento R. A capacidade do meio (K) depende da quantidade de folhagens existentes nas árvores, e como esse é o parâmetro que varia lentamente, trataremos como fixo. O termo p(N) representa a taxa de morte devido a predação (principalmente por aves). Quase não há predação quando os insetos são escassos, porém quando sua população cresce, além de um nível crítico A a predação cresce rapidamente e então atinge um platô (as aves estão comendo o mais rápido que elas conseguem). p(N) tem essa forma: , onde A e B > 0. 
Logo o modelo completo é : 
· Formulação adimensional
	O modelo possui 4 parâmetros: R, K, A e B. Uma das possíveis formas de não dimensionalizar um sistemas é pegando A e K, que possuem a mesma dimensão que N e fazer N/A e N/K como níveis adimensionais da população. As vezes não dimensionalizar um sistema é feito por tentativa e erro, porém aqui queremos fazer de tal forma que todos os termos adimensionais sejam puxados para a parte logística da equação e nenhum fique na parte da predação. Assim iremos fazer e dividir tudo por B. Logo teremos: . Agora vamos colocar um tempo adimensional τ e os grupos r e k que representam a taxa de crescimento adimensional e capacidade do meio adimensional, de tal forma que: , e então teremos que é nossa forma adimensional final. 	Comment by João Antonio: N é o número de indivíduos, K é o número de indivíduos que o meio suporta e A é o número de individuos onde a predação aumenta o nível. Logo todos representam a mesma dimensão: número de indivíduos	Comment by João Antonio: Aonde havia N, virou Ax. Por isso Adx. Pois antes era dN
· Análise dos pontos fixos
	Analisando a forma adimensional final podemos notar que há um ponto fixo trivial x* = 0, que será sempre instável, tendo em vista que para qualquer valor de x próximo de 0 a população tende a crescer exponencialmente, e que para valores de x pequenos a predação é quase insignificante. 
	Os outros pontos fixos são dados pela solução: . Podemos analisar facilmente de forma gráfica, basta plotar o lado esquerdo e o lado direito da equação. O lado esquerdo representa uma reta onde k intercepta o eixo x e r intercepta o eixo y. Já o lado direito da equação é uma curva que é independente dos parâmetros então quando variamos r e k a linha se move, mas a curva não.
Analisando a figura ao lado podemos notar que para qualquer k pequeno e r>0, teremos apenas um intersecção, porém para valores grande k, podemos ter uma, duas ou três intersecções, dependendo do valor de r.
Vamos imaginar que há três interseções a, b e c, a medida que abaixamos o valor de r com k fixo, os pontos b e c se aproximam um do outro até que tornam-se apenas um ocorrendo uma bifurcação sela-nó (no ponto onde a reta tangencia a curva). Após a bifurcação, o único ponto fixo restante seria a e x*=0. Similarmente a e b pode colidir caso o valor para r seja aumentado. 
	Para definir a estabilidade devemos nos lembrar que x*=0 é instável, e que essa estabilidade sempre se alterna ao longo do eixo x, portanto a seria estável, b seria instável e c seria estável. 
Para os valores de r e k onde haveria 3 interseções, o campo vetorial seria similar a figura ao lado. O menor ponto estável a é chamado de refúgio e o maior ponto estável c é chamado de surto. 
	Do ponto de vista de controle de peste, queremos manter a população no ponto de refúgio e longe do ponto de surto. O destino do sistema é controlado pela condição inicial x0. Um surto irá ocorrer se, e somente se, x0 > b, nesse sentido o ponto instável b atua como um limiar. Um surto também pode ser gerado em caso de os valores r e k produzirem uma bifurcação sela-nó e o ponto estável a desaparecer, nesse caso a população irá saltar de repente para o ponto estável c, a situação fica pior pelo efeito de histerese, onde mesmo que os parâmetros sejam redefinidos para os valores antes do surto, a população não irá cair de volta para o refúgio. 
· Calculando a curva de bifurcação
	Para calcular as curvas no espaço de fase (k,r) iremos considerar a forma paramétrica (k(x), r(x)) onde x passa por todos os valores positivos. Como discutido anteriormente a condição para a bifurcação sela-nó é que a reta intersecciona a curva tangencialmente, então:
 e , após a derivada temos: , pegando essa equação e substituindo na primeira teremos: por fim, pegando essa e substituindo em temos: . A condição k>0 implica que x está restrito a a x > 1. 
	Agora podemos plotar as curvas de bifurcação no plano e seus pontos (k(x), r(x)) no espaço (k,r) (Figura 3.7.5). As diferentes áreas do gráfico estão marcadas de acordo com os pontos fixos. Para r pequenos há apenas o ponto de refúgio a, e para r grandes apenas o ponto c é estável. Na região biestável, ambos os estados (a e c) coexistem. A figura 3.7.6 é a visualização tridimensional. 
 	Comment by João Antonio: A catástrofe do surto, acontece exatamente quando meu sistema está no refúgio, com k alto e r baixo. Então meu r subitamente cresce, ocorre uma bifurcação sela-nó e o ponto a deixa de existir. Logo a população dará uma salto pela região biestável irá direto para a região de surto.
Parte 2 - Fluxos Bidimensionais 
· Capítulo 5 - Sistemas Lineares
· 5.0 - Introdução 
	Como vimos no espaço de fase de uma dimensão o fluxo é extremamente confinado. Todas as trajetórias são forçadas a se moverem monotonicamenteou se manter constante. Em espaços de fases com altas dimensões as trajetórias possuem um vasto leque de comportamentos dinâmicos possíveis. Ao invés de estudarmos toda essa complexidade de uma vez, iremos analisar com uma classe mais simples de sistemas de alta dimensão, chamados de sistemas lineares de duas dimensões. 
· 5.1 - Definições e Exemplos
	Um sistema linear de duas dimensões é um sistema com forma: ,
Onde a, b, c e d são parâmetros. Podemos denotar vetores e escrever esse sistema de forma mais compacta , onde . Como o sistema é linear no sentido que x1 e x2 são soluções, então qualquer combinação linear c1x1 + c2x2 também é solução. Perceba que , quando x = 0, então x* = 0 é sempre um ponto fixo para qualquer matriz A. 
	As soluções de podem ser visualizadas como trajetórias se movendo sobre um plano (x,y), nesse contexto chamado de plano de fase.	Comment by João Antonio: Antes chamávamos de espaço de fase pois era unidimensional. Agora que é bidimensional, chamaremos de plano de fase
		
· Exemplo 5,1,1: 
	A vibração de uma massa pendurada em uma mola é dada pela equação diferencial: , onde m é a massa e k a constante da mola, e x o deslocamento da mola e relação ao ponto de equilíbrio. Esse sistema é chamado de oscilador harmônico. 	Comment by João Antonio: Para esse sistema podemos encontrar uma solução analítica facilmente, tendo em vista que é uma eq. dif. linear. Porém, iremos analisar qualitativamente, como fazemos com as não-lineares, para as quais é difícil encontrar resposta analítica.
	O movimento no plano de fase é determinado pelo campo vetorial que vem da equação diferencial. Para encontrar esse campo vetorial, devemos notar que o estado do sistema é caracterizado por sua posição atual x e sua velocidade v. Se nós sabemos ambos os valores x e v então a equação determina unicamente o estado futuro do sistema. Entretanto se reescrevermos essa equação em termos de x e v: , onde a primeira equação é somente a definição de velocidade e a segunda é a equação diferencial reescrita em termos de v. Para simplificar a notação podemos usar . Então teremos: . Esse sistema corresponde ao vetor em cada ponto (x,v) e portanto representa um campo vetorial no plano de fase.	Comment by João Antonio: Para esse sistema podemos encontrar uma solução analítica facilmente, tendo em vista que é uma eq. dif. linear. Porém, iremos analisar qualitativamente, como fazemos com as não-lineares, para as quais é difícil encontrar resposta analítica.	Comment by João Antonio: Para esse sistema podemos encontrar uma solução analítica facilmente, tendo em vista que é uma eq. dif. linear. Porém, iremos analisar qualitativamente, como fazemos com as não-lineares, para as quais é difícil encontrar resposta analítica.
	Por exemplo, vamos analisar como o campo vetorial se parece quando estamos no eixo x. Então v = 0 e . Logo, os vetores apontam verticalmente para baixo para x positivo e verticalmente para cima para x negativo. A medida que x se torna maior, o vetor se torna mais longo. Similarmente no eixo v, o campo vetorial é , e os vetores apontam para direita quando v > 0 e para a esquerda quando v < 0. A medida que nos movemos no plano de fase, os vetores mudam de direção como na figura 5.1.2. 
	
	Vamos imaginar um fluxo no plano de fase com velocidade local dada por . Então para encontrar a trajetória começando em (x0, v0), nós colocamos uma partícula imaginária ou ponto de fase em (x0, v0) e observamos como ela é carregada pelo fluxo. O fluxo na figura acima gira em torno da origem. A origem é especial, pois um ponto de fase colocado lá permanece sem movimento, pois , quando (x,v) = (0,0), então a origem é um ponto fixo. Mas um ponto de fase começando em qualquer outro lugar irá circular em torno da origem e eventualmente retornar ao ponto de começo. Essas trajetórias formam órbitas fechada como mostradas no retrato de fase do sistema (figura 5.1.3). 	Comment by João Antonio: Essa figura 5.1.3 no contexto físico seria de um sistema onde não há perda de energia. Logo, ela iria se conservar. Sabemos que em um sistema real, haveria perda de energia e de velocidade, portanto as trajetórias iriam se parecer com espirais que perdem velocidade e posição até atingir a origem.
	O ponto fixo (x,v) = (0,0) corresponde a equilíbrio estático do sistema: a massa repousa na posição de equilíbrio e vai permanecer lá para sempre, já que a mola está relaxada. As órbitas fechadas podem ser interpretadas como movimento periódicos (oscilações da massa), para ver isso vamos analisar alguns pontos da órbita. 
	Quando x é negativo, a velocidade v é 0, isso corresponde a um extremo da oscilação onde a mola é mais comprimida, mas no próximo instante x aumenta e v agora é positivo, a massa é puxada de volta para a posição de equilíbrio, mas dessa vez ela passa por x = 0 com uma alta velocidade e então ultrapassa essa posição. A massa eventualmente chega ao outro extremo onde x é positivo e v é 0, porém logo ela é puxada de volta e completa o ciclo. 
	
O formato das órbitas fechadas tem uma interpretação física interessante. Ela possuem formato de ellipses dadas pela equação , onde C >= 0 é uma constante. 
	
· Exemplo 5.1.2: 
	Para o sistema linear , onde , vamos esquematizar o retrato de fase a medida que a varia do - ∞ para o + ∞. 
	O sistema é que através de uma multiplicação de matrizes leva a , onde podemos ver que as duas equações são desacopladas, já que não há x na equação y e vice versa. Podemos resolver cada equação separadamente e obtemos: .
	Os retratos de fases para diferentes valores de a é visto abaixo:
	Comment by João Antonio: Aqui quando você começa no eixo x ou y vc só fica nesse eixo pq a solução é desacoplada.
	Quando a < 0, x(t) também decai exponencialmente e todas as trajetórias se aproximam da origem a medida que . Entretanto a direção da aproximação depende do tamanho de a comparado a -1. Se a < -1 então x(t) decai mais rapidamente que y(t) e as trajetórias se aproximam da origem tangencialmente ao eixo mais lento (y(t)), a explicação para isso é que como x decai rapidamente e y demora para decair, a trajetória chega ao eixo y e decai horizontalmente até a origem. Nessa figura 5.1.5a, o ponto fixo x* = 0 é chamado de nó estável. 
	Quando a = -1 temos y(t)/x(t) = y0/x0 = constante, e todas as trajetórias são linhas retas até a origem. Esse é um caso muito especial que ocorre porque a taxa de decaimento nas duas direções são exatamente iguais. Nesse caso x* é chamado nó simétrico ou estrela (5.1.5b). 
	Quando -1 < a < 0 nós temos novamente um nó estável, porém as trajetórias se aproximar de x* ao longo da direção x, que possui o decaimento mais lento nesse range de a (5.1.5c). 
	Algo diferente ocorre com a = 0, onde , então toda uma linha de pontos fixos sobre o eixo x. Todas as trajetórias se aproximam desses pontos fixos por linhas verticais (5.1.5d).
	Quando a > 0, x* se torna instável devido ao crescimento exponencial na direção x. A maioria das trajetórias fogem de x* rumo ao infinito. Uma exceção ocorre se a trajetória começa com o eixo y, então ele caminha até a origem. No tempo tendendo ao infinito positivo, as trajetórias são assintóticas ao eixo x, porém com o tempo tendendo ao infinito negativo (para trás), as trajetórias tendem ao eixo y. Aqui x* = 0 é chamado de ponto de sela. O eixo y é chamado de variedade estável do ponto de sela x*, definido como o conjunto de condições iniciais x0 tais que quando Da mesma forma, a variedade instável de x* é o conjunto de condições iniciais tais que quando Aqui a variedade instável é o eixo x (5.1.5e). 	Comment by João Antonio: Uma trajetória típica se aproxima da variedade instável quando tempo vai para infinito positivo, e para uma variedade estável quando tempo vai para negativo.
· Linguagem de estabilidade
	Vamos introduzir algumas linguagens para discutir a estabilidade de diferentes tipos de pontos fixos. Essa linguagem vão ser legais para analisar a estabilidade de pontos fixos de sistemas não-lineares. 
	Nós dizemos que x*=0 é um pontofixo atrator (Figuras 5.1.5a-c), quanto todas as trajetórias que começam próximas a x* tendem a ele a medida que . Isso é que quando . De fato x* atrai todas as trajetórias no plano de fase, por isso é chamado de atrator global. 
	Uma noção diferente de estabilidade é dada quando analisamos as trajetórias para todos os tempos, e não apenas . Nós dizemos que um ponto fixo x* é Liapunov estável se todas as trajetórias que começam suficiente perto de x* permanecem perto a ela por todo o tempo. Nas figuras 5.1.5a-d, a origem é Liapunov estável.
	Na figura 5.1.5d podemos ver que o ponto fixo pode ser Liapunov estável, mas não é um atrator. Quando isso ocorre denominamos neutramente estável. Trajetórias próximas não são atraídas nem repelidas por um ponto neutramente estável. Também é possível para um ponto fixo ser atrator, mas não ser Liapunov estável, esse exemplo é dado pelo campo vetorial, , no círculo. Aqui atrai todas as trajetórias quando , mas não é Liapunov estável, pois há trajetórias que começam muito próximas de e se afastam do ponto até retornarem a ele. 
	Quando um ponto fixo é ambos, Liapunov estável e atrator, chamamos ele de estável ou assintoticamente estável. 
	Quando x* é instável, ele não é nem atrator nem Liapunov estável. Aqui seria o exemplo da figura 5.1.5e. 
	
· 5.2 - Classificação dos Sistemas Lineares
	Nós queremos estudar agora todos os casos gerais para qualquer matriz arbitrária 2x2 e classificar todos os possíveis retratos de fase que podem ocorrer. 
	Precisamos nos lembrar que os eixos x e y nas abordagens anteriores desempenham um importante papel geométrico. Eles determinam a direção da trajetória quando . Eles também contém trajetórias de linha reta que são especiais: uma trajetória começando em uma coordenada desses eixos permanece nesse eixo para sempre e exibem crescimento exponencial simple ou decaimento ao longo dele. 
	Para casos gerais, queremos encontrar os análogos dessas trajetórias de linha reta, por isso buscamos por trajetórias na forma: , onde v ≠ 0 é algum vetor fixo a ser determinado e λ é a taxa de crescimento, também a ser determinada. Se essas soluções existem, elas correspondem a movimento exponencial ao longo da linha expandida pelo vetor v.
	Para encontrar as condições de v e λ , nós substituímos em e obtemos , cancelando o termo exponencial temos: . Dizemos que as soluções da linha reta existem se v é um autovetor de A com um autovalor λ correspondente. Nesse caso, a solução é chamada de autosolução. 
	Para encontrar um autovalor da matriz A, usamos a equação caraterística , onde I é a matriz identidade. Para uma matriz 2x2 , essa equação se torna , expandindo o determinante temos , onde , então os autovalores serão: as soluções da equação quadrada. A situação típica é os autovalores serem distinto: λ1 ≠ λ2. Nesse caso, um teorema da álgebra linear estabelece que os autovetores correspondentes v1 e v2 são linearmente independentes e portanto abrange todo o plano (Figura 5.2.1). Em particular, qualquer condição inicial x0 pode ser escrita como combinação linear de autovetores, dizemos que x0 = c1v1 + c2v2. Essa observação permite que possamos escrever a solução geral para x(t) de forma simples: . 	Comment by João Antonio: Para mais detalhes ver o caderno de Introdução a Álgebra Linear	Comment by João Antonio: Isso é uma combinação linear das soluções de xponto = Ax e portanto também é solução. Além de cumprir com o requisito de x(0) = x0.	Comment by João Antonio: Analisando a exponencial, podemos inverter o signal dos autovalores ou inverter o sinal do tempo. Ambos dão na mesma coisa.
· Exemplo 5.2.1: 
	Vamos resolver o problema para a condição inicial (x0, y0) = (2 , -3).
	A matriz correspondente é , primeiro iremos encontrar os autovalores de matriz, que possui e , que leva a equação característica e . 
	Agora para encontrar os autovetores usamos Av = λv, ou (A - λI)v = 0 . Dado um autovalor λ, o correspondente autovetor v = (v1, v2) satifaz e para λ =2, temos que , que possui uma solução não-trivial (v1,v2) = (1,1). Similarmente para λ = -3, temos (v1,v2) = (1, -4). Em suma, e agora iremos escrever a solução geral como combinação linear das autosoluçoes: . Por fim podemos encontrar c1 e c2 que satisfazem a condição inicial (x0, y0) = (2, -3). Em t = 0, temos que é equivalente ao sistema algébrico . A solução é c1 = 1 e c2 = 1, substituindo de volta temos: para a solução do problema do valor inicial. 	Comment by João Antonio: Ver o caderno de IAL	Comment by João Antonio: Outros vetores como (4,4) também podem ser solução. Porém vale notar que esses são construídos com escalares multiplicando a base (1,1).
· Exemplo 5.2.2: 
	Agora iremos esquematizar o retrato de fase do sistema anterior. Os autovalores são λ = 2 e λ = -3. Consequentemente a primeira autosolução cresce exponencialmente e a segunda decai. Isso quer dizer que a origem é um ponto de sela. A varíavel estável é a correspondente ao v2 = (1,-4) que é correspondente a autosolução que decai, por outro lado v1 = (1,1) corresponde a variável instável, que é a que cresce. Como em todo ponto sela, uma trajetória típica se aproxima da variável instável quando e pra variável estável quando .
· Exemplo 5.2.4: 
O que acontece se os autovalores são números complexos ? Nesse caso, o ponto fixo pode ser um centro ou uma espiral. Já vimos um centro no exemplo do oscilador harmônico, onde a origem está cercada por órbitas fechadas. Nesse caso, o centro é neutralmente estável. Uma espiral deve ocorrer se o oscilador harmônico for ligeiramente amortecido, e então a trajetória vai falhar em fechar um ciclo pois o sistema perde energia a cada volta.
Para justificar isso, vamos lembrar que os autovalores são dados por e então para ser complexo, deve ocorrer: . Para simplificar a notação vamos escrever , onde com para que os autovalores sejam distintos e a solução geral seja dada por , mas agora c e v são complexos, uma vez que os autovalores também são. Isso implica dizer que x(t) envolve combinação linear de . Pela fórmula de Euler portanto x(t) é uma combinação envolvendo e . Esses termos representam oscilações exponencialmente decadentes se e crescimento de oscilações se . Os pontos fixos correspondentes são espirais estáveis e espirais instáveis. Se os autovalores forem puramente imaginários , então todas as soluções são periódicas com período . As oscilações têm amplitude fixa e o ponto fixo é um centro. 	Comment by João Antonio: i = sqrt(-1)	Comment by João Antonio: Uma exponencial complexa é isso aqui.	Comment by João Antonio: Se o Tau do sistema for igual a 0. Então o alfa será igual a zero e os autovalores são puramente imaginários. Logo, o sistema é um centro.	Comment by João Antonio: Período = Tempo que demora para dar uma volta completa.
· Exemplo 5.2.5: 
	Na nossa análise do caso geral, assumimos que os autovalores são distintos. Porém agora vamos suporte que os autovalores são iguais. Para isso, vamos pensar em λ 1 = λ 2 = λ. Então há duas possibilidades: ou há dois vetores independentes correspondente à λ , ou há somente um. 
	Se existir dois autovetores independentes, então eles formam o plano e todo vetor é um autovetor com o mesmo autovalor λ. Para visualizarmos isso, vamos escrever um vetor arbitrário x0 como uma combinação linear de dois autovetores: x0 = c1v1 + c2v2. Então, Ax0 = A(c1v1 + c2v2) = c1λ v1 + c2λ v2 = λ x0, dessa forma x0 é também um autovetor com autovalor λ. Desde que a multiplicação por A estende cada vetor por um fator λ, então a matriz deve ser um múltiplo da identidade: . Então se λ ≠ 0, todas as trajetórias são linhas retas através da origem e o ponto fixo é um nó estrela. Por outro lado se λ = 0, então todo o plano é preenchido por pontos fixos (o sistema é ).	Comment by João Antonio: Aqui, todos os vetores são autovetores pois o decaimente de x e y são iguais. Então eles serão sempre trajetórias retas.
	Outra possibilidade é existir apenas um autovetor (o autoespaço correspondente a λ é unidimensional). Por exemplo, qualquer matrizna forma , com b ≠ 0, tem somente um autoespaço unidimensional. Quando há somente uma autodireção, o ponto fixo é um nó degenerado. Um retrato de fase típico é mostrado na figura 5.2.6. Quando e também quando toda as trajetórias se tornam paralelas a única autodireção disponível. 
 
	Uma boa forma de pensar no nó degenerado é imaginar que ele foi criado pela deformação de um nó ordinário. O nó ordinário tem duas autodireções independentes; todas as trajetórias são paralelas a autodireção lenta quando e a direção rápida quando Agora suponha que começamos a mudar os parâmetros do sistema de uma forma que as duas autodireções são “coladas” juntas. Então algumas das trajetórias são esmagadas na regiões entre o colapso das duas autodireções, enquanto as trajetórias sobreviventes são puxadas para formar o nó degenerado. 
· Classificação dos pontos fixos
	Vamos ver um esquema de classificação simples, onde conseguimos mostrar os tipos de estabilidade de todos os diferentes pontos fixos em um simples diagrama. 
 
	Os eixos são o traço e o determinante da matriz A. Todas as informações no diagrama estão implicadas pelas seguintes fórmulas. . Para chegar ao diagrama nós fazemos as seguintes observações:
1) Se Δ < 0, o autovalores são reais e tem sinais opostos, então o ponto fixo é ponto de sela.
2) Se Δ > 0, os autovalores também são reais, com o mesmo sinal (nós), ou conjugados complexos (centros e espirais). Nós satisfazem e espirais satisfazem . A parábola é o limite entre nós e espirais. Nós estrela e nós degenerados então sobre essa parábola. A estabilidade dos nós e espirais é determinada por τ. Quando τ < 0, ambos autovalores são partes reais negativas, então o ponto fixo é estável. Espirais instáveis e nós tem τ > 0. Centros neutralmente estáveis vivem no limite τ = 0 onde os autovalores são puramente imaginários. 
3) Se Δ = 0, pelo menos um dos autovalores é 0. Então a origem não é um ponto fixo isolado. Existe uma linha inteira de pontos fixos (como na figura 5.1.5d) our um plano de pontos fixos, se A = 0.
	Pelo diagrama podemos notar que pontos de sela, nós e espirais são os tipos mais encontrados de pontos fixos, já que eles ocorrem em grande parte da região do plano (Δ , τ ). Centros, estrelas, nós degenerados e pontos fixos não isolados são casos de borda, que ocorrem somente na curva do plano (Δ , τ ). Nesses casos de borda, os centros são os mais importantes, e ocorrem comumente em sistemas mecânicos com ausência de atrito, onde a energia é conservada. 
· 5.3 - Casos de amor
	Para exemplificar tudo que estudamos vamos analisar um modelo que descreve casos de amor (é apenas um modelo de brincadeira). Aqui na nossa história iremos considerar Romeu que está apaixonado por Julieta, porém aqui Julieta é uma amante inconstante. Quanto mais Romeu ama Julieta, mais Julieta quer fugir de Romeu, porém quando ele se cansa e desiste dela, Julieta começa a achar ele estranhamente atraente e vai atrás dele. Romeu por sua vez ama muito quando ela o ama, porém odeia muito quando ela o despreza. 
	Vamos considerar que R(t) = Amor/Ódio de Romeu por Julieta no tempo t e J(t) é o Amor/Ódio de Julieta por Romeu no tempo t. Valores positivos significam Amor e valores negativos significam Ódio. Então um modelo para o romance deles é: , onde os parâmetros a e b são positivos. 	Comment by João Antonio: Romeu ama ou odeia Julieta proporcional ao amor ou ódio dela. Já Julieta ama quando Romeu odeia, e odeia quando Romeu ama.
	A historia triste desse caso de amor, é que eles nunca irão sair de um ciclo de amor e ódio. O sistema tem um centro em (R, J) = (0,0). Em ¼ do círculo eles possuem amor mútuo um pelo outro.
	Agora vamos considerar a previsão dos apaixonados governado pelo sistema linear geral: , onde os parâmetros a, b, c e d deve possuir o mesmo sinal. A escolha de sinais específica os estilos românticos. Quando temos a > 0 e b > 0 significa que Romeu é fica feliz em ser amado por Julieta e é estimulado a sentir os mesmos afetos por ela. Com a < 0, b >0 temos um estilo de “amante cuidadoso” que fiz feliz em ser amado, mas receoso em nutrir os mesmos sentimentos. 
O que acontece quando dois “amantes cuidadosos” ficam juntos ? O sistema seria: , com a < 0 e b > 0. Nós devemos suspeitar que isso irá depender do tamanho relativo de a e b, então vamos analisar. A matriz correspondente é , com . Então o ponto fixo (R,J) = (0,0) é um ponto de sela se a2 < b2 e é um nó estável se a2 > b2. Os autovalores e correspondentes autovetores são: . Desde que a + b > a - b, o autovetor (1,1) se torna a variedade instável quando a origem é um ponto de sela e se torna a autodireção lenta, quando a origem é um ponto estável. 	Comment by João Antonio: a é o parâmetro de cautela e b é o parâmetro de resposta ao estímulo amoroso do outro.
Se a2 > b2, o relacionamento sempre falha na indiferença mútua. Isso porque a cautela excessiva pode levar a apatia.	Comment by João Antonio: Aqui a indiferença entre ambos, é o 0,0. Já que não seria nem amor, nem ódio.
Se a2 < b2 , os amantes são mais sensíveis um com o outro. Agora o relacionamento é explosivo, dependendo dos sentimentos iniciais seu relacionamento pode se tornar um grande amor ou uma grande guerra. Em qualquer caso, todas as trajetórias se aproximam da linha R = J, então seus sentimentos são mútuos. 
· Capítulo 6 - Plano de fase
· 6.0 - Introdução 
Começaremos nosso estudo com sistemas não-lineares de duas dimensões. Vamos primeiramente considerar algumas propriedades gerais, depois podemos classificar os tipos de pontos fixos baseado no nosso conhecimento dos sistemas lineares. 
· 6.1 - Retrato de fase
	A forma geral para um campo vetorial no plano de fase é: , onde f1 e f2 são funções dadas. Esse sistema pode ser escrito de forma mais compacta em notação de vetor como: , onde x = (x1, x2) e f(x) = (f1(x), f2(x)). Aqui x representa um ponto no plano de fase e é o vetor velocidade naquele ponto. Ao fluir ao longo do campo vetorial, um ponto de fase traça uma solução x(t), correspondente a uma trajetória sinuosa através do plano de fase. Entretanto, o plano de fase inteiro é preenchido com trajetórias, desde que cada ponto possa comprir o papel de condição inicial. 
	Para sistemas não-lineares, não há nenhuma esperança de encontrar as trajetórias analiticamente. Mesmo quando fórmulas explícitas estão disponíveis, elas são muito complicadas prover qualquer discernimento. Ao invés disso, tentamos determinar qualitativamente o comportamento das soluções. Nosso objetivo é encontrar o retrato de fase do sistema diretamente das propriedades de f(x). Um enorme variedade de retratos de fase é possível, um exemplo é mostrado na figura 6.1.2. 
	Algumas das principais características de um retrato de fase:
1) Os ponto fixos, como A, B e C da figura 6.1.2. Pontos fixos satisfazem f(x*) = 0, e correspondem aos estados estacionários ou equilíbrios do sistema. 
2) As órbitas fechadas como D da figura 6.1.2. Esse correspondem as soluções periódicas. Ou seja, soluções para qual x(t + T) = x(t) para todo t, e para alguns T>0
3) O arranjo de trajetórias perto dos pontos fixos e órbitas fechadas. Por exemplo, o padrão do fluxo próximo dos pontos A e C são similares, e diferentes do fluxo próximo do ponto B.
4) A estabilidade ou instabilidade dos pontos fixos e órbitas fechadas. Aqui, os pontos fixos A, B e C são instáveis, pois trajetórias próximas tendem a se mover para longe deles, porém a órbita fechada D é estável. 
	Comment by João Antonio: Diferença pro sistema linear é que lá só tem um ponto fixo e é sempre na origem.	Comment by João Antonio: Trajetórias que tendem ao ciclo não tinham. Pois ou era várias órbitas fechadas, ou eram espirais instáveis e estáveis.
· Computação numérica dos retratos de fase
	Algumas vezes estamos interessados em aspectos quantitativos do retrato de fase. Com sorte, integração numérica de não é muito mais difícil do que o de . Nós sempre vamos usar o método de Runge-Kutta, que na forma vetorial é: , onde . Um já nos provém acurácia suficientepara nossos propósitos. 	Comment by João Antonio: Aqui são vetores	Comment by João Antonio: Aqui são números. Essa é a diferença	Comment by João Antonio: Método de integração numérica
		Quando plotamos o retrato de fase, alguns vetores representativos do campo vetorial nos ajudar na visualização. Infelizmente, as setas e diferentes tamanhos de vetores tendem a se confundir nesses gráficos. Um gráfico do campo de direção é mais claro: pequenas linhas são usadas para indicar a direção local do fluxo. 
· Exemplo 6.1.1:
Considere o sistema . Primeiro, vamos usar argumentos qualitativos para obter informações sobre o retrato de fase. Depois, usando um computador, vamos plotar o campo de direção. Por fim, usando o método de Runge-Kutta vamos computar muitas trajetórias e plotar-las no plano de fase.
Encontraremos os pontos fixos resolvendo simultaneamente. A única solução é (x*, y*) = (-1, 0). Para determinar a estabilidade, vamos notar que y(t) tende a 0 quando t tende ao infinito, isso pois a solução de é . Uma vez que y(t) tende a 0 quando t vai ao infinito, a e então para trajetórias muito longas, a equação x se torna , que tem soluções com crescimento exponencial, que sugere que o ponto fixo é instável. De fato, se prestarmos atenção apenas às condições iniciais no eixo x, com y0 = 0 e então y(t) = 0 para todo tempo. O fluxo no eixo x é governado estritamente por , então o ponto fixo é instável. 	Comment by João Antonio: isso pois é uma exponencial de - t. Então com t infinito, ela tende a 0.
Para esquematizar o retrato de fase, é interessante plotar as linhas nulas, definidas como as curvas onde ambos ou . As linhas nulas indicam onde o fluxo é puramente horizontal ou vertical (Fig. 6.1.3). Por exemplo, o fluxo é horizontal onde uma vez que , isso ocorre na linha y = 0. Ao longo dessa linha, o fluxo é para direita quando , isso significa quando x > -1. 	Comment by João Antonio: Não confundir isso com a trajetória
De forma similar o fluxo é vertical onde , que ocorre na curva mostrada na fig. 6.1.3. Na parte superior da curva, onde y > 0, o fluxo é para baixo, pois . .
As linhas nulas partem o plano em regiões onde e tem muitos sinais. Alguns dos vetores típicos estão traçados na figura 6.1.3. Apesar da quantidade de informações limitadas até agora, essa figura nos dá um bom senso da visão geral do fluxo. 
	Comment by João Antonio: Dá pra ter uma noção da direção dos vetores pelo sinal de xponto e yponto. Ambos positivo é 1º quadrante. Ambos negativos é 3º quadrante. x positivo e y negativo é 4º quadrante e com x negativo e positivo é 2º quadrante.
Usando um computador para terminar o problema. A direção do campo é indicada pelos segmentos de linha da figura 6.1.4, e muitas trajetórias são mostradas. Note como as trajetórias sempre seguem a inclinação local. 
O ponto fixo é agora uma versão não-linear de um ponto de sela. 
· 6.2 - Existência, Singularidade e Consequências Topológicas
	Até agora fomos um pouco otimistas, pois na verdade nós não temos nenhuma garantia de que os sistemas gerais não-lineares sempre terão soluções! Felizmente, o teorema de existência e singularidade dado na seção 2.5 pode ser generalizado para sistemas bidimensionais
		Teorema da existência e singularidade: Considere um problema do valor inicial . Suponha que f é contínuo e que todas as derivadas parciais são contínuas para x, em algum conjunto aberto conectado . Então para , o problema do valor inicial tem solução x(t) em algum intervalo de tempo sobre t = 0, e a solução é única. 
	Em outras palavras, existência e singularidade de soluções é garantido se f é continuamente diferenciável. A prova do teorema é similar para aqueles de case n=1, e pode ser encontrada na maioria dos textos de equações diferenciais. 
	A partir de agora, vamos assumir que todos nossos campo vetoriais são suaves o suficiente para garantir a existência e singularidade de soluções, começando de um ponto qualquer no espaço de fase.
	O teorema da existência e singularidade tem um corolário importante: trajetórias diferentes nunca se interseccionam. Se duas trajetórias se interseccionam, então deveria haver duas soluções começando do mesmo ponto (o ponto de cruzamento), e isso iria violar a parte da singularidade do teorema. Resumindo, uma trajetória não pode se mover em duas direções ao mesmo tempo. Por causa que as trajetórias não podem se cruzar, os retratos de fase sempre tem boas aparências, por outro lado veríamos um emaranhado de curvas como na figura 6.2.1. O teorema da existência e singularidade previne que isso aconteça. 
	Em espaços de fase bidimensional (em oposição para espaços de fase de alta dimensão), esses resultados têm uma consequência topológica forte. Por exemplo, suponha que há uma órbita fechada C no plano de fase. Então uma trajetória qualquer começando dentro de C está presa lá para sempre (Fig. 6.2.2).
	Qual é o destino de uma trajetória tão limitada ? Se existir pontos fixos dentro de C, então o curso da trajetória será eventualmente se aproximar de um deles. Mas o que acontece se não há ponto fixo ? Para campos vetoriais no plano, o teorema de Poincaré-Bendixson estabelece que se há uma trajetória confinada em uma região fechada que não há pontos fixos, então a trajetória deve eventualmente se aproximar da órbita fechada. 
· 6.3 - Pontos fixos e linearização
	Vamos agora estender a técnica de linearização desenvolvida anteriormente em sistemas unidimensionais. A idéia é que possamos aproximar o retrato de fase próximo de um ponto fixo para que ele então corresponda a um sistema linear.
· Sistemas Linearizado
	Considere o sistema e suponha que (x*, y*) é um ponto fixo. Ou seja, . Vamos fazer como componentes de um distúrbio bem pequeno do ponto fixo. Para ver se o distúrbio cresce ou decai, nós temos que derivar equações diferenciais para u e v. Vamos fazer para a equação-u primeiro: 
	Comment by João Antonio: Essa expansão quer dizer, a função no ponto + o quanto eu andei que é representado pelas derivadas parciais em x e y vezes o quanto eu andei em x e y que é u e v. + os termos quadráticos (e de outras ordem que aproximam essa função)	Comment by João Antonio: f(x) + dy. Só que dy = f'(x)dx que é a derivada da função vezes o quanto ela andou em x. Ou seja = f(x) + f'xdx + termos de ordem superior
	Para simplificar a notação, nós escrevemos e , mas devemos lembrar que essas derivadas parciais devem ser avaliadas no ponto fixo (x*, y*); logo elas são números e não funções. A notação , denota o termo quadrático em u e v. Desde que u e v são pequenos, esses termos quadráticos são extremamente pequenos. 
	De forma similar, nós achamos para v. 
	Então o distúrbio (u, v) evolui de acordo com 
, a matriz é chamada de matriz Jacobiana no ponto fixo (x*, y*). Isso é análogo multivariável da derivada f’(x*) visto na seção 2.4.	Comment by João Antonio: Lá naquela seção era a derivada de xponto em relação ao ponto x.
	Uma vez que os termos quadráticos são bem pequenos, podemos negligenciá-los totalmente. Se fizermos isso, obtemos o sistema linearizado cuja dinâmica pode ser analisada pelos métodos da seção 5.2.
· O efeito pequenos dos termos não-lineares
	É realmente seguro negligenciar os termos quadráticos? Em outras palavras, o sistemas linearizado fornece uma figura qualitativamente correta do retrato de fase próximo de (x*, y*) ? A resposta é sim, contanto que o ponto fixo do sistema linearizado não seja um dos casos de borda discutidos na seção 5.2. Em outras palavras, se o sistemas linearizado prediz uma sela, nó ou uma espiral, então o ponto fixo realmente é uma sela, nó ou espiral para o sistema não-linear original. Os casos de borda (centros, nós degenerados, estrelas ou pontos fixos não isolados) são bem mais delicados. Eles podem ser alterados por pequenos termos não-lineares.
· Exemplo 6.3.1:
	Encontre todos os pontos fixos do sistema e use linearização para classificá-los. Então cheque sua conclusão derivando o retrato de fase para o sistemas inteiro não-linear.
	Os pontos fixos irão ocorrer