Exercício de Estatística sobre Distribuição de Frequência

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ESTATÍSTICA 
PROFESSOR CARLOS FELIX
Rio de Janeiro, 29 de Agosto de 2011
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Questão 03 - Com as informações abaixo, responda o que é solicitado no próximo slide. 
As notas de matemática obtidas por 50 alunos de uma classe foram:
1   2   3   4   5   6   6   7   7   8
2   3   3   4   4   6   6   7   8   8
2   3   4   4   5   6   6   7   8   9
1   2   3   4   5   5   6   7   8   9
2   3   4   5   5   6   7   7   8   9
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Complete a distribuição de freqüência abaixo:
Ponto médio da classe
Frequência da Classe
Repare que, pela tabela de Sturges, temos 6 classes nesta distribuição de frequência. No entanto, se fizermos a distribuição com 5 classes, teremos uma visualização melhor destas frequências.
3
5
7
9
11
13
15
9
		i
		NOTAS
		xi
		fi
		1
2
3
4
5
6
		0 ׀— 2
2 ׀— 4
4 ׀— 6
6 ׀— 8
  8 ׀— 10
		1
....
....
....
....
		2
....
....
....
....
		 
		 
		 
		∑fi = 50
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Responda as perguntas abaixo:
1. Qual é a amplitude amostral?
2. Qual é a amplitude da distribuição?
3. Qual é o número de classes da distribuição?
4. Qual é o limite inferior da quarta classe?
5. Qual é o limite superior da classe de ordem 2?
6. Qual é a amplitude do segundo intervalo da classe?
Calcule:
1. h3 = ....      2. n = ....      
3. l1 = ....      4. L3 = ....      
5. x2 = ....      6. f5 = ....
AA = x(máx) – x(mín) = 9 – 1 = 8
AT = L(máx) – l(mín) = 10 – 0 = 10
Cinco classes
6
4
h2 = L2 – l2 = 4 - 2 = 2
h3 = L3 – l3 = 6 - 4 = 2 
Zero
3
9
6
50
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Medidas de Posição
 I. Média Aritmética
 I.1 Simples  a média aritmética, ou média, de um conjunto de N números X1, X2, ...., Xn é definido por:
	 _
	 X = (X1 + X2 + ....... + Xn) / n (n = nº de ocorrências)
	
 Exemplo :	 {1, 1, 3, 4, 4} 	  X = (1 + 1+ 3 + 4 + 4)/5 = 13/5 = 2,6
 I.2 Ponderada  Se os valores X1, X2, ...., Xn ocorrerem com freqüências f1, f2, ....., fn, então:
	 _
	 X = X1 f1 + X2 f2 + ..... + Xn fn =  Xi fi
 ----------------------------------------- ----------
	 f1 + f2 + ..... + fn  fi
 
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 I.3 Moda  Pode-se definir como moda o valor mas freqüente, quando comparada sua freqüência com a dos valores contíguos de um conjunto ordenado. A moda pode não existir e, mesmo que exista, pode não ser única.
 • Moda para dados em Rol: 
 
 X = 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8
	 moda = 6  unimodal
 Y = 2, 3, 4, 5, 6
	 não tem moda  amodal
 Z = 2, 4, 4, 4, 6, 7, 8, 8, 8, 9
	 tem duas modas: 4 e 8  bimodal 
*
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Moda para Dados Tabulados:
Quando estamos diante de dados tabulados (sem a existência de “classes”), a moda será simplesmente o elemento de maior frequência.
Aqui, valem as mesmas regras usadas para a atribuição da moda com dados distribuídos em Rol: Amodal (sem moda), Modal (uma moda), Bimodal (das modas ou Multimodal (mais de duas modas).
Moda
		Xi
		fi
		1
2
3
4
5
6
		3
7
10
15
3
2
*
*
Moda para Dados Agrupados:
	
		 h ( D1)
	 Moda = Xo + -----------------
	 (D1 + D2)
Sendo:
	Xo  ponto inicial do intervalo de classe a que pertence a frequencia modal (Fm).
	h  intervalo de classe.
	D1  frequencia modal menos freqüência anterior à Fm.
	D2  frequencia modal menos freqüência posterior à Fm.
*
*
	Exemplo do Cálculo da Moda para Dados Agrupados:
	
	* Classe modal: classe 4 (frequencia 15);
	* Ponto inicial da classe modal: 6 (classe varia de 6 a 8);
	* Frequencia da classe anterior à classe modal: 13 					(classe anterior é “4 a 6”);
	* Frequencia da classe posterior à classe modal: 9 					(classe posterior é “8 a 10”);
	* Calculando:
		 (15 - 13) 2
	 Moda = 6 + ------------------------------- = 6 + ----------- = 
	 (15 - 13) + (15 - 9) 2 + 6
 2
 = 6 + ------ = 6 + 0,25 = 6,25
 8
*
*
I.4 Mediana Pode-se definir como uma medida de posição que traz o número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. 
	* É um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos. 
	* Passos para calcular uma Mediana:
	a)  Para Dados Não Agrupados:
a.1) Série: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18 (número par de elementos)
valor central (aquele que apresenta o mesmo número de elementos à direita e à esquerda): 10  Md = 10
a.2) Série: 2 5,6, 9,10,12,15 16,18,20 (número ímpar de elementos)
valor central (calculado pela média aritimética dos elementos centrais): 10 e 12  Md = (10 + 12) / 2 = 11
*
*
	b) Para Dados Agrupados sem intervalo de classes:
	
	* Identificar a freqüência acumulada imediatamente superior à metade da soma das freqüências. 
	* A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal freqüência acumulada. 
(∑ f1) ÷ 2 = 34 ÷ 2 = 17
A menor freqüência acumulada que supera esse valor é 18, que corresponde ao valor 2 da variável, sendo este o valor mediano. Logo: Md = 2
		OCORRÊNCIA
		fi
		Fi
		0
1
2
3
4
		2
6
10
12
4
		2
8
18
30
34
		 
		∑ = 34
		 
*
*
	b) Para Dados Agrupados com intervalo de classes:
	
	
	* O problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está compreendida a mediana.
	* Inicialmente, determinar a classe na qual se acha a mediana (classe mediana). Esta classe será aquela correspondente à freqüência acumulada imediatamente superior a (∑ f1) ÷ 2. No exemplo das notas: (∑ f1) ÷ 2 = 50 /2 = 25
3
5
7
9
11
13
15
9
Classe Mediana (∑ f1 = 26)
		i
		NOTAS
		xi
		fi
		1
2
3
4
5
6
		0 ׀— 2
2 ׀— 4
4 ׀— 6
6 ׀— 8
  8 ׀— 10
		1
....
....
....
....
		2
....
....
....
....
		 
		 
		 
		∑fi = 50
*
*
	
	
	* A mediana será calculada pela fórmula:
		Md = l* + {[∑fi - F(ant)] h*} / f*
		Onde:
l* - é o limite inferior da classe mediana;
F*(ant) - é a freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana;
f* - é a freqüência simples da classe mediana;
h* - é a amplitude do intervalo da classe mediana.
3
5
7
9
11
13
15
9
Classe Mediana (∑ f1 = 26)
		i
		NOTAS
		xi
		fi
		1
2
3
4
5
6
		0 ׀— 2
2 ׀— 4
4 ׀— 6
6 ׀— 8
  8 ׀— 10
		1
....
....
....
....
		2
....
....
....
....
		 
		 
		 
		∑fi = 50
*
*
	
	
	* Substituindo os valores na fórmula Md = l* + {[∑fi - F(ant)] h*} / f* :
		Md = 4 + { [26 - 13)] . 2 } / 13
		Md = 4 + { 13 . 2 } / 13
		Md = 4 + 26 / 13
		Md = 4+ 2
		Md = 6		
3
5
7
9
11
13
15
9
No exemplo das notas, temos:
* Classe mediana: Classe 3
* l3 = 4
* F3(ant) = 13 (Frequencia acumulada até a classe 2)
* f3 = 13
* h3 = 2
		i
		NOTAS
		xi
		fi
		1
2
3
4
5
6
		0 ׀— 2
2 ׀— 4
4 ׀— 6
6 ׀— 8
  8 ׀— 10
		1
....
....
....
....
		2
....
....
....
....
		 
		 
		 
		∑fi = 50
*
*
Exercícios
Considere a seguinte amostra de uma pesquisa feita com 15 consumidores que atribuíram as seguintes notas a uma mercadoria numa escala de 0 a 100 : 
	65, 68, 70, 75, 80, 80, 82 ,85, 90 ,90, 90, 95, 98, 100, 100.
	Calcular :
	a) Média Aritmética Simples
	b) Moda
	c) Mediana
*
*
Resposta:
	Amostra : 65, 68, 70, 75, 80, 80, 82 ,85, 90 ,90, 90, 95, 98, 100, 100.
	a) Média Aritmética Simples:
	 X = (65+68+70+75+80+80+82+85+90+90+90+95+98+100+100) / 15
	 X = 1268 / 15  X = 84,53
	
	b) Moda  Md = 90
	c) Mediana (Nesta caso, temos dados não agrupados)
	 Md = 85 (termo central de uma sequência de valores com um número ímpar de valores)
*
*
Segue abaixo os dados agrupados de uma sondagem eleitoral de avaliação do Prefeito Silva. Calcular média , moda e mediana.
 
Plan1
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
										Classes		fi		Fi
										0 I----- 10		2		2
										10 I----- 20		1		3
										20 I----- 30		3		6
										30 I----- 40		5		11
										40 I----- 50		10		21
										50 I----- 60		8		29
										60 I----- 70		9		38
										70 I----- 80		6		44
										80 I----- 90		4		48
										90 I----100		2		50
Plan2
		
Plan3
		
*
*
Resposta:
 a) Média: (Como temos uma distribuição por 				 classes, devemos achar o ponto médio das classes).
 X = (5+15+25+35+45+55+65+75+85+95) / 10
 X = 500 / 10  X = 50
 b) Moda: 
 * Classe modal: classe 5 (frequencia 10);
	 * Ponto inicial da classe modal: 40 ( 40 |----- 50 );
	 * Frequencia da classe anterior à classe modal: 5 					 (30 |----- 40 ); 		 * Frequencia da classe posterior à classe modal: 8 					 (50 |----- 60 ); * Calculando:
		 (10 - 5) 5 5 Moda = 40 + ------------------------------- = 40 + ----------- = 40 + ------ = 40 + 0,71 = 40,71 		(10 - 5) + (10 - 8) 5 + 2 7
 
Plan1
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
										Classes		fi		Fi
										0 I----- 10		2		2
										10 I----- 20		1		3
										20 I----- 30		3		6
										30 I----- 40		5		11
										40 I----- 50		10		21
										50 I----- 60		8		29
										60 I----- 70		9		38
										70 I----- 80		6		44
										80 I----- 90		4		48
										90 I----100		2		50
Plan2
		
Plan3
		
*
*
Resposta:
 a) Mediana: (Como temos uma distribuição por 			 classes, devemos achar a classe mediana).
 ( ∑ f1 ) / 2 = 25 
 * classe mediana: 6
	 * l6: 50 ( 50 |----- 60 );
 * Frequencia acumulada até a classe anterior à classe 				 modal: 21 ( 40 |----- 50 );
	 * f6: 8
 * h6: 10 
Calculando: 
	Md = l* + {[∑fi - F(ant)] h*} / f*  Md = 5 + { [29 - 21)] . 10 } / 8  Md = 5 + { 8 . 10 } / 8
 Md = 5 + 80 / 8  Md = 5 + 10  Md = 15
 
Plan1
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
										Classes		fi		Fi
										0 I----- 10		2		2
										10 I----- 20		1		3
										20 I----- 30		3		6
										30 I----- 40		5		11
										40 I----- 50		10		21
										50 I----- 60		8		29
										60 I----- 70		9		38
										70 I----- 80		6		44
										80 I----- 90		4		48
										90 I----100		2		50
Plan2
		
Plan3
		
*
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Medidas de Posição
Na análise da distribuição de uma variável, há grande interesse de determinarmos qual o valor que divide a distribuição em duas partes iguais, quatro partes iguais, dez partes iguais e cem partes iguais. A estes valores (separatrizes) chamaremos respectivamente de:
	
	* Quartis – divide em quatro partes iguais
	* Decis – divide em dez partes iguais
	* Percentis - divide em cem partes iguais
	
O interesse no conhecimento das separatrizes decorre do fato de a partir delas poderemos introduzir os índices de Pearson, de uso muito prático na descrição de uma variável X.
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