08 Mec II Mov Plano Inclinado

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ENGENHARIA MECÂNICA
Disciplina: MECÂNICA II
Assunto: 
MOVIMENTO NO
PLANO INCLINADO
CONTEÚDO
1 - Introdução;
2 – Atrito, Conceito, Tipos, Aplicação;
3 – Força de Atrito;
4 - Coeficiente de Atrito;
5 – Movimento no Plano Inclinado;
6 – Aplicações no Plano Inclinado;
7 – Plano Inclinado e o Parafuso.
MOVIMENTO NO PLANO INCLINADO
Objetivo:
Determinar o Coeficiente de Atrito
a) ESTÁTICO;
b) CINÉTICO.
MOVIMENTO NO PLANO INCLINADO
1 - INTRODUÇÃO
Quando se tenta colocar um objeto sólido 
em movimento ao apoiado sobre uma 
superfície sólida, percebe-se que há uma 
força contrária ao seu deslocamento, ou 
mesmo dificultando-o caso o movimento 
já tenha sido iniciado.
Essa força é conhecida como:
Força de Atrito de Contato.
Por Que Ocorre Atrito? 
Por mais lisa que 
uma superfície 
possa parecer, 
microscopicamente
ela apresenta 
irregularidades
(rugosidades), de tal 
forma que quando há 
um contato entre 2 
superfícies, este contato 
existe efetivamente 
somente entre alguns 
pontos. 
2 - CAUSAS de ATRITO:
Irregularidades das superfícies dificultam 
o deslizamento.
- Forças de Adesão
Corpos são de materiais são diferentes;
- Força de Coesão
Corpos são do mesmo material.
2 corpos pressionados um contra o outro: sempre estão 
presentes forças de contato (Normais N). 
3ª Lei de Newton
Ação e Reação.
Em alguns corpos, formam-se verdadeiras 
soldas entre os pontos de contato. 
Para que uma superfície deslize sobre a 
outra é necessário quebrar tais soldas. 
Em alguns casos, as Forças de Atrito são úteis 
(embreagem, freio, alicate, correia e polias, abrir 
tampa de garrafa pet); 
Não andaríamos se não fosse o atrito entre as solas 
de nossos sapatos e o chão, pois escorregariam p/ 
trás como acontece quando andamos sobre um piso 
muito liso.
Em outros casos, representam um grande obstáculo.
Atrito nas partes móveis de máquinas é prejudicial
(mancais). 
Por isso usa-se lubrificantes a fim de reduzi-los.
Atrito Inconveniente
Atrito nos Mancais do Virabrequim
Atletas Aguardando Momento p/ Largada
Atrito Possibilita Tração p/ Largada
Atrito: Disco de Embreagem
Atrito –
Freio a Disco 
c/ Pastilha
Atrito – Freio a Tambor c/ Lona Rebitada
Atrito – Alicate de Pressão
ATRITO ENTRE CORREIA E POLIA POSSIBILITA 
TRANSMISSÃO DE MOVIMENTO
Atrito: 
Contato 
(Pressão) 
dos Dedos 
c/ a 
Tampa da 
Garrafa PET
Atrito: Contato (Pressão) dos Dedos 
(impressão Digital) c/ o Botão de Ajustagem
02 – FUNDAMENTOS 
Qual É o Conceito de Rolamento?
CORPOS RODAM MELHOR DO QUE DESLIZAM.
● Quando um corpo desliza no outro, o atrito entre
eles causa uma força que tende a deixar o corpo
deslizante mais lento.
● Quando duas superfícies giram uma sobre a outra,
atrito é menor.
Rodas de um carro são como grandes rolamentos.
Se o carro tivesse algo como esquis no lugar das 
rodas, ele teria muito mais dificuldade em se deslocar 
nas estradas.
Fa =  * N  Fa = ( * N) / R
Fa não depende da área total das superfícies
em contato, mas sim das áreas que
efetivamente estão em contato (devido às
rugosidades), as quais, por sua vez,
independem da área total das superfícies em
contato.
Se um bloco retangular for apoiado sobre uma
mesa pelo seu lado maior, a pressão exercida
sobre os picos das saliências (que realmente
fazem o contato) é menor do que se o bloco
fosse apoiado pelo lado menor.
Quando a superfície total em contato é maior (lado
maior apoiado), os picos são pouco deformados;
Quando a superfície total em contato é menor, os
picos são mais deformados.
Em ambos os casos a área real em contato é
praticamente a mesma.
Atrito representa um dos grandes obstáculos na
realização de experiências que exijam grande
precisão e repetibilidade.
Saber como atua, do que depende e como dominá-lo
é algo bastante importante para a realização de boas
experiências.
3 - ATRITO – Força que se opõe ao movimento de uma 
superfície em relação a outra: Fa =  . N
 - Coeficiente de Atrito em função da rugosidade da 
superfície do material considerado.
N - Carga Normal em uma das superfícies.
3.1. TIPOS DE ATRITOS:
3.1.1. ATRITO SÓLIDO – Aquele que ocorre entre 
superfícies sólidas, podendo ser subdivididos em:
ESTÁTICO – Ocorre antes do início do movimento de um 
corpo em atrito.
CINÉTICO – Ocorre durante o movimento de um corpo em 
atrito.
3.1.2. ATRITO FLUÍDICO – Resistência interna ao 
movimento de um fluido (conhecido como viscosidade).
Força de 
Atrito 
Fluídico, 
Quando a 
Superfície 
é um 
Líquido.
Força de Atrito 
Fluídico, quando 
a superfície 
é um gás
(Acoplamento 
Pneumático) 
A tentativa de 
deslizamento é para 
trás, pois o pneu força 
o chão neste sentido, 
logo, o atrito é para 
frente. 
Chamamos este atrito 
que é na mesma 
direção de movimento 
de atrito motor.
A forma como a Fa é descrita não leva em conta o
caráter microscópico do fenômeno, mas restringe-se
às observações experimentais.
Verifica-se experimentalmente que a Fa depende:
 da Força Normal N (ou de contato) entre os corpos;
 dos materiais de que são compostos os mesmos;
 da condição de rugosidade das superfícies em
contato.
A Fa pode ainda se classificada em:
Força de Atrito Estático;
Força de Atrito Cinético, conforme será visto a
seguir.
 Se o bloco não se mover, conclui-se que 
a Fa deve ter o mesmo módulo, a mesma 
direção e o sentido contrário à força F. 
Com o bloco parado enquanto se 
manifestava esta força, ela é chamada de 
FORÇA DE ATRITO ESTÁTICO (F
ae
)
Sempre contrária à tendência de 
deslizamento entre as superfícies.
No caso, o módulo
de N é igual ao módulo 
de P = m.g. 
Assim, definimos:
ATRITO 
ESTÁTICO –
Coeficiente entre a 
Força F necessária 
para iniciar o 
movimento de 
um corpo, 
considerando 
o seu próprio 
Peso P. 
μ
e
= F
ae
/P
Se continuar a empurrar o bloco, aumentando 
gradualmente o módulo da força F, haverá um 
momento em que o bloco se movimentará. 
Então: força F ultrapassou o valor de Fae.
Quando o bloco entra em movimento, uma 
Força de Atrito, opondo-se a este movimento, 
continua a atuar. 
Esta força requerida p/ manter em 
deslizamento um corpo c/ determinado Peso P
é denominada Força de Atrito Cinético, a 
qual é sempre menor que o Valor Máximo da 
Força de Atrito Estático (Fae > Fac).
CARACTERÍSTICAS DA 
FORÇA DE ATRITO CINÉTICO
 É menor que a força de atrito estático para as 
mesmas superfícies;
Independente das áreas de contato;
Para velocidades não muito altas é independentes 
da velocidade;
É proporcional à reação normal de apoio.
Ao analisarmos o desempenho da frenagem de um veículo com ABS, 
observamos que há uma modulação da pressão, variando entre elevação, 
manutenção e redução da pressão, independentemente da força aplicada 
pelo motorista ao pedal de freio. 
Assim que o sistema de freios é pressionado, a unidade de comando 
detecta a iminência de travamento de uma das rodas e, automaticamente, 
comanda uma estratégia de manutenção da pressão, antes que a roda 
trave. Se ainda houver possibilidade de travamento, a bomba hidráulica 
recalca o fluido de freio para aliviar a pressão na roda em vias de 
travamento. A velocidade da roda volta a subir e, como a situação é de 
frenagem, eleva-se novamente a pressão naquela roda, modulando sua 
pressão de trabalho.Observando o gráfico, podemos verificar que, através da modulação da 
pressão (P roda), a velocidade angular da roda (V roda) varia em função da 
estratégia de modulação, diminuindo a distância de frenagem (V veículo) e 
ampliando a zona de trabalho estável do veículo.
No início do processo, (tempo = 0) as velocidades do veículo e da roda são 
iguais. À medida em que a pressão de frenagem se eleva, as velocidades 
(roda e veículo) diminuem. Porém, vale observar que num determinado 
ponto (entre tempo = 0 e o tempo = 1), a elevação da pressão de frenagem 
leva uma determinada roda à situação de travamento. 
A partir desta condição, nota-se uma redução mais acentuada da 
velocidade da roda do que da velocidade do veículo. 
Essa diferença é o deslizamento da roda em relação ao solo. 
Quando este valor atinge 100%, tem-se o bloqueio efetivo da roda. 
O sistema antibloqueio atua na faixa de deslizamento e força de frenagem 
ideal, permitindo melhor controle do veículo e menores distâncias de 
frenagem.
Quando se atinge o tempo igual a 1 do gráfico, vemos que a velocidade da 
roda cai muito em relação à do veículo, o que indica elevado deslizamento 
e ainda a possibilidade de travamento da roda. 
Nesta condição, o sistema ABS entra em ação e impede que a pressão do 
fluido de freio continue crescendo na roda que está na iminência do 
travamento. 
Por meio dos sensores de rotação das rodas, o sistema “percebe” que 
mesmo mantendo a pressão, a roda continua perdendo velocidade 
desproporcionalmente em relação ao veículo mantendo a possibilidade de 
bloqueio. 
Nesta condição como pode ser visto no tempo igual a 2, o sistema diminui a 
pressão do freio na roda passível de travamento para fazer com que a 
velocidade angular desta, se eleve e elimine a possibilidade de 
travamento.
Adicionalmente o gráfico dado como correto admite 
que a pressão no pedal do freio deva continuar 
aumentando progressivamente para que de novo 
valha o atrito ...
Desloca-se um torno mecânico na horizontal sobre o piso de 
uma oficina. Força de Compressão: N = 800 N; 
Força de Atrito?
a) Quando desliza sem rolos: Fa1 = 400N;
b) Quando desliza sobre rolos: Fa2 = 40 N;
Coeficiente de Atrito - Relação entre força 
de atrito e força de compressão.
Relação Entre 
Força de Atrito
(1 e 2) e Força
de Compressão:
a) Fa
1
/ N 
= 400N / 800N
= 0,5;
b) Fa
2
/ N
= 40N / 800N
= 0,05;
SUPERFICIES EM CONTATO e
Aço Sobre Aço 0,18
Aço Sobre Ferro (patins) 0,02 a 0,03
Aço Sobre Ferro 0,19
Gelo Sobre Gelo 0,028
Patins de Madeira Sobre Gelo e Neve 0,035
Goma (pneumático) Sobre Terreno Firme 0,4 a 0,6
Correia de Couro (seca) Sobre Metal 0,56
Bronze Sobre Bronze 0,2
Bronze Sobre aço 0,18
Roble Sobre Roble na Direção da Fibra 0,48
COEFICIENTES DE ATRITO 
POR DESLIZAMENTO P/ DIFERENTES MATERIAIS
Fonte: Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Manual de Física Elemental. Editorial Mir 1975.
SUPERFICIES EM CONTATO e c
Caucho Sobre Concreto 1,0 0,8
Aço Sobre Aço 0,74 0,57
Cobre Sobre Aço 0,53 0,36
Alumínio Sobre Aço 0,61 0,47
Madeira Sobre Madeira 0,25 a 0,5 0,2
Mad. Encerada Sobre Neve Húmida 0,14 0,1
Teflon Sobre Teflon 0,04 0,04
Articulações Sinoviales Em Humanos 0,01 0,003
COEFICIENTES de ATRITO ESTÁTICO e CINÉTICO 
Fonte: Serway R. A.. Física. Editorial McGraw-Hill. (1992)
EQUILÍBRIO NO PLANO INCLINADO 
Na ausência de atrito, no corpo sobre o plano 
inclinado agem 3 forças: 
a) Carga vertical Peso (P);
b) Reação (Normal) de apoio por parte do plano (N);
c) Força de Atrito (Fa). 
P pode ser decomposta em:
a) Py (┴ ao plano inclinado);
b) Px (║ao plano inclinado). 
Em função de P e  tais componentes valem:
Px = P.sen e Py = P.cos
No equilíbrio devemos ter:
N = P e Fa = Px
N = P.cos e Fa = P.sen
P
y
= N, Comprime o Bloco Contra o Plano
P
x
= F
a
, Solicita o Bloco p/ Baixo
Quando a força de atrito estático atinge o seu valor 
máximo (i.e. quando a inclinação atinge o valor crítico 
c) inicia o movimento.
P sen
c
- F
a
= 0  m.g sen
c
- .N = 0 (1)
N – P cos
c
= 0  N = m.g cos
c
= 0 (2)
Substituindo N em (1), fica:
m.g sen
c
- .m.g cos
c
= 0
.m.g cos
c
= m.g sen
c
 = sen
c
/ cos
c

e
= tan
c 
Coeficiente de Atrito Estático
A equação e = tanc mostra a função que
relaciona o ângulo de inclinação máximo (θc)
da rampa para que não haja escorregamento
com o Coeficiente de Atrito (μ) relacionado às
superfícies.
Considerando-se o sistema da figura em
repouso, a força de atrito recebe o nome de
Força de Atrito Estático e sua intensidade
varia de acordo com a massa m e o ângulo 
de inclinação do plano até um valor máximo
suportável (p/ os materiais do plano e do corpo
em questão), acima do qual haverá
deslizamento do corpo sobre o plano.
Força de Atrito Estático Máxima
Correspondente à situação de iminência
do movimento (um instante antes do
corpo iniciar o movimento), pode ser
escrito, de forma empírica, como:
F
amáx
= 
e
.N
Depende do:
 Tipo de Material em contato;
 Grau de Rugosidade do mesmo.
Corpo ficará em repouso enquanto: F
a
= P
x
Se o ângulo  for aumentado, Px ultrapassará 
Famáx e o corpo deslizará. 
Seja c (Ângulo Crítico) o ângulo 
correspondente à iminência do movimento. 
Nesta situação, pode-se escrever a 1ª Lei de 
Newton p/ o corpo de massa m e assim obter, 
o Coeficiente de Atrito Estático (e) entre o 
corpo e o plano:
P
y
= N, Comprime o Bloco Contra o Plano
P
x
= F
a
, Solicita o Bloco p/ Baixo
Tg
c
= Px / Py 
Tg
c
= Fa / N
Tg
c
= e
VARIAÇÃO 
do 
ÂNGULO 
Se for considerado o plano inclinado com um ângulo 
 > c, o bloco deslizará com uma aceleração a. 
Neste caso, a força de atrito existente entre o corpo e 
o plano é chamada Força de Atrito Cinético, cuja
intensidade é: F
ac
= 
c 
.N
c - Coeficiente de Atrito Cinético entre as 2 
superfícies.
A experiência mostra que:
1 - F
ac
, que atua sobre um objeto que está se 
movendo não depende de sua velocidade, p/ valores 
não muito pequenos nem muito grandes de velocid. 
2 - Atrito é maior quando não há movimento: 
e
> 
c
Se o bloco m desliza pelo plano inclinado com
aceleração a, o mesmo descreve um 
M.R.U.V. 
Aplicando a equação horária desse movimento:
x = xo + vot + a.t²/2
Considerando-se que para t = 0 o corpo parte 
do repouso (vo = 0) de uma posição xo = 0 e 
desloca-se de uma distância x em um tempo t, 
então: 
x = a.t²/2  2x = a.t²  a = 2x / t²
Escrevendo a 2ª Lei de Newton p/ o 
corpo de massa m:
m.g sen - 
c
.N = m.a ; 
m.g cos - N = 0
Portanto:
4 - MOVIMENTO NO 
PLANO INCLINADO
a) Forças Normal e Peso não se anulam, pois 
não estão na mesma direção. 
b) Sua característica mais importante é o 
ângulo de inclinação .
c) Corpos podem deslizar pela ação da força da 
gravidade.
d) Força de Atrito independe da área de 
contato entre as suas duas superfícies.
e) Coeficiente μ é adimensional e depende 
apenas das superfícies de contato.
4 - MOVIMENTO no PLANO INCLIADO
Na figura, tem-se um sistema composto por:
a) T - Força de Tensão no fio (inextensível e “sem 
massa”) produzida pela massa M, que força o corpo 
de massa m a se movimentar sobre o plano, no 
sentido de baixo p/ cima;
b) p = m.g - Força de Atração Gravitacional sobre o 
corpo 1 de massa m;
c) P = M.g - Força de Atração Gravitacional sobre o 
corpo 2 de massa M;
d) N - Força de Reação Normal (ou ) ao plano 
sobre o corpo 1 de massa m.
e) Fa - Força de Atrito,opondo-se ao deslizamento 
do corpo 1. 
4 - MOVIMENTO no PLANO INCLINADO
Na iminência do movimento, pode-se 
escrever a 1ª Lei de Newton p/ os corpos 
de massas m e M, e obter a expressão p/ 
o Coeficiente de Atrito Estático como:
4 - MOVIMENTO no PLANO INCLINADO
Trenó, ao ser colocado sobre um plano inclinado, 
conforme figura, sem atritos, fica sujeito à ação de 2 
forças: 
a) Seu próprio peso P;
b) Força normal N.
a) Componente do peso Px na direção do movimento é 
a força resultante (Fr), que atua sobre o corpo;
b) Componente do peso Py, na direção normal (┴) ao 
plano é equilibrada pela normal N.
Então temos que:
4 - MOVIMENTO no PLANO INCLINADO
TRENÓ NA NEVE
T R E N Ó N A N E V E
Forças em X Forças em Y
Fx = m.ax Fy = 0
P.sen = m.a N - P.cos = 0
m.g.sen = m.a N = P.cos
a = g.sen N = m.g.cos
P – Peso Total do Trenó  P = m.g
N – Força de Reação Normal ao plano 
sobre o corpo de massa m.
Obs.: Quando  = 0  N = P = m.g
APLICAÇÕES DO PLANO INCLINADO
Possivelmente o plano inclinado é a máquina 
simples mais antiga do mundo. 
As civilizações primitivas já utilizavam 
superfícies inclinadas para subir encostas e 
transportar cargas em desníveis. 
Acredita-se que a construção das pirâmides do 
Egito foram facilitadas pelo plano inclinado. 
Mas, qual a vantagem de se utilizar o plano 
inclinado?
O princípio do plano inclinado foi usado há mais de 
4000 anos quando os egípcios construíram as suas 
pirâmides.
Com o Plano Inclinado Galileu diminuía a atuação 
da Aceleração da Gravidade e poderia analisar 
melhor o movimento.
Vetor Px que aponta na direção do movimento é uma 
componente da força peso, a qual diminui c/ o ângulo, 
isto é, quanto menor a inclinação, menor será a 
componente do peso na direção do movimento, por 
isso uma menor aceleração.
Px45º > Px30º
Conclusão: Para elevar um mesmo objeto a uma 
mesma altura utilizando um plano inclinado, na 
medida do possível, devemos escolher aquele que 
possui a menor inclinação.
3 SITUAÇÕES DIFERENTES P/ MESMA CARGA
1º) Elevação Vertical de uma carga de G = 100 N à 
altura de h = 10 m. 
Aplica-se uma força do mesmo valor e de sentido oposto: 
F = 100 N ao longo de um percurso de S = 10 m. 
Trabalho: W = F x S = 100 n x 10 m = 1000 N.m
(Obs.: sentido 
do movimento e 
da força 
coincidem).
Trabalho:
W = F x S
W = 100 n x 10 m 
W = 1000 N.m
2º) Deslizamento Horizontal da mesma carga sobre 
o solo em um percurso de S =10 m (coeficiente de 
atrito  = 0,3).
A força aplicada no sentido do movimento 
corresponde neste caso ao valor da força de atrito, de 
sentido oposto.
Fa = N x  = 100 N x 0,3 = 30 N;
Trabalho: W = F x S = 30 n x 10 m = 300 N.m;
3º) Elevação em Plano Inclinado da mesma carga, cuja 
inclinação é de 1:20, a uma distância de S = 10 m, medida 
sobre a superfície de deslizamento. 
Aqui não coincidem o sentido da força e o do movimento. 
Logo necessita decompor 
a força do peso em 2 
componentes, uma ║ao 
percurso F1 e a outra ┴ ao 
mesmo F2.
Tan = 1/20 = 0,05 
 = 2,8624º 
sen2,8624º = 0,05; 
F1 = F.sen2,86º = 100N x 0,05
F1 = 5 N;
W = F1 x S = 5 N x 10 m
W = 50 N.m
Um bloco pesando P = 500 kgf está sendo puxado por um
motor elétrico em plano inclinado de 30º, o qual dista L = 20m
do bloco na abscissa (eixo X). Determine:
a) Esforço de tração T no cabo entre o motor elétrico e o bloco;
b) Altura h em que se encontra o motor elétrico na ordenada 
(eixo Y).
T – Fa = 0
T – Px = 0
T – P.sen30º = 0
T = P.sen30º = 500 N x 0,5
T = 250 N;
Tan30º = h / L
Tan30º   = 0,57735
h = Tan30º x L 
h = 0,57735 x 20 m
h = 11,547 m
Uma garota de massa M = 50 kg está sobre uma
balança de mola, montada num carrinho que desloca
livremente por um plano inclinado fixo em relação ao
chão horizontal.
Não se consideram atritos nem resistência do ar.
Módulo da aceleração da gravidade local g = 10 m/s2
a) Durante a descida, qual o módulo da componente
vertical da aceleração da garota?
b) Durante a descida, qual a leitura na escala da
balança que está calibrada em Newton?
Fr = m.a = m . g sen 30º
m. a = m . g sen 30º
a = g sen 30º
a = 10 m/s² x 0,5 
a = 5 m/s²
a) Componente 
Vertical:
Sen 30º = ay / a
ay = a sen 30º = 5 m/s² x 0,5 = 2,5 m/s²
a
R
= g – a
y
= 10 – 2,5 = 7,5 m/s²
b) Leitura da Balança:
P = M x a
R
= 50kg x 7,5m/s² = 375kg.m/s² = 375 N
aay
Um caixote está apoiado sobre a carroceria plana 
e horizontal de um caminhão, parado numa estrada 
plana e horizontal, conforme a figura. 
Sabendo que o coeficiente de atrito do caixote com 
a carroceria é 0,39 e g = 10 m/s², determine a máxima 
aceleração que o caminhão pode sair sem que o 
caixote escorregue.
Da definição de atrito temos: Fa = .N
Da 3ª Lei de Newton:
Reação Normal: N = P = m.g
Força de Atrito Fica: Fa = .m.g
Da 2ª Lei de Newton, temos: F = m.a
Como o sistema está em equilíbrio: Fa = F, 
Logo: .m.g = m.a
Cancelando m, fica: .g = a
a = 0,39 x 10 m/s²
a = 3,9 m/s²
EXEMPLOS DE PLANO INCLINADO:
RAMPA - Dispositivo para elevação de cargas;
PARAFUSO - Possui rosca (perfil helicoidal) que é 
um plano inclinado – Utilizado para fixar peças.
CUNHA - Peça prismática com base triangular 
isósceles.
C U N H A
Constituída por uma peça prismática com base 
triangular isósceles.
Formada de 2 planos inclinados unidos pelas suas 
bases.
Serve p/ cortar vários materiais, como madeira. 
Machado é um tipo de cunha.
A potência P atua na face oposta à aresta do vértice 
() do triângulo isósceles. 
As resistências atuam normalmente às outras 2 faces 
retangulares.
A potência P, aplicada à cabeça da cunha, decompõe-
se nos componentes de valor P' res aos lados da 
cunha e que equilibram resistências iguais (Q = P') e 
opostas.
M - Ponto médio da cabeça AB
sen(/2) = MB/BC  MB = BC.sen(/2). 
Da semelhança dos triângulos ABC e OPP'
obtemos: 
P/P' = AB/BC = 2.MB/BC = 2.BC sen(/2)/BC
P/P' = 2.sen(/2)
Donde, finalmente, a equação da cunha:
P = 2.P'.sen(/2) = 2.Q.sen(/2)
P/ que a potência seja menor que a resistência 
deve-se ter P < 2Q e  < 60o.
Nota: Via de regra não há interesse em se 
escrever a expressão algébrica "teórica" da 
relação entre P e Q porque na cunha o atrito é 
sempre muito grande e deve ser considerado.
A concepção de uma cunha é a mesma de um plano 
inclinado. 
Seu formato pode ser descrito como um prisma 
triangular como ilustrado na fig. 1-a. 
Da intuição física, não é difícil ver a aplicabilidade 
desse instrumento e sua associação em várias 
ferramentas do cotidiano. 
Como exemplos, encontrados em muitos livros 
didáticos, há o calço, machado, lâminas de corte e 
pontas de ferramentas (martelete). 
A atenção para essa máquina simples está na 
transmissão de força, cuja compreensão reside nos 
conceitos de vetores.
As forcas desenhadas sobre a cunha na fig.1-a são 
posicionadas de modo que suas linhas de ação 
interceptam-se sobre o centro de gravidade da cunha 
- o baricentro para o perfil mostrado. 
Pelo princípio de transmissibilidade e que força e um 
vetor deslizante, seus vetores então são 
reposicionados sobre o centro de gravidade, fig.1-
b (força peso desprezível comparada às forcas 
presentes, por consideração). 
Aplicando a segunda lei de Newton em modo vetorial 
inicialmente para o caso estático, e notado da figura 
que,
F é o modulo do vetor força aplicada;
Ry o modulo do vetor resistência para cada lado da 
cunha com intensidades iguais.É notado da fig. 1-b que a força de resistência e 
quem sofre a decomposição. 
Assim, racionalmente e considerado que a 
intensidade de R e maior e não a da força aplicada F, 
como é conduzido em algumas literaturas que 
trabalham o assunto lembrando que o objetivo do 
plano inclinado e de reduzir o esforço realizando o 
mesmo trabalho. 
Evidentemente, não pode ser a componente maior 
que o próprio vetor como esses textos apresentam 
para a forca aplicada F.
A equação (6) mostra que teoricamente:
a) Para fins de transmissão de força e uma vez 
instalada a cunha, a força aplicada será igual o dobro 
da componente da resistência oferecida. 
b) Para fins mais reais e de utilidade, deve ser 
considerada a força de atrito. 
Como exemplo, a força de atrito será desfavorável na 
instalação de um calço. 
Sua orientação é contra o movimento e paralela ao 
eixo y (fig.2-a). 
Entretanto, com o calço já instalado e pressionado, a 
força de atrito será favorável a sua fixação, 
impedindo-o de sair, fig.2-b.
Os pontos onde ocorrem as somas dos vetores na 
fig.2-c são os pontos onde as linhas de ação dos 
vetores em comum se interceptam.
Logo, as resultantes das forças acabam por ter a 
mesma orientação em suas linhas de ação, eixo 
vertical, onde fica notável a aplicação da 2ª lei de 
Newton.
A equação (7) abaixo considera a força de atrito para 
a instalação da cunha como calço. 
Adotando o sentido do movimento como positivo 
encontra-se
 - Aceleração constante sofrida pela cunha e m - sua massa,
são as forcas de atrito para a lateral direita e esquerda, 
respectivamente;
μ
C
- Coeficiente de Atrito Cinético (instalação).
No caso da cunha já instalada é possível determinar o 
coeficiente de atrito mínimo exigido p/ a cunha não 
escapar, o qual dependerá da geometria da cunha. 
Segue então que, se o ângulo da ponta de ataque da 
cunha for como na fig. 1-a, a força de atrito pode ser 
escrita para a situação mínima de equilíbrio como
ƒ cos(/2)  R sen(/2) (9);
μ
est
 tan(/2) (10).
μ
est 
– Coeficiente de Atrito Estático.
A equação (10) mostra explicitamente a dependência 
da condição mínima para o coeficiente de atrito em 
função da geometria da cunha. 
O tamanho da cunha (lateral) nada interfere, já que a 
força de atrito independe da área da cunha. 
A força peso sobre a cunha não foi considerada e 
para um cálculo mais exato deveria. 
Contudo, para levá-la em conta, dependeria da 
posição que a cunha se alojaria.
VANTAGEM MECÂNICA (VM) de uma máquina 
simples traduz a economia de força proporcionada 
pela máquina, isto é, o número pela qual a força 
aplicada pelo operador está sendo multiplicada.
Sendo P a intensidade da força aplicada pelo 
operador e Q o peso da carga a ser levantada 
(lembrar que P < Q), temos: VM = Q/P (definição)
Da conservação do trabalho T1 = T2, posto acima
T1 = P.L e T2 = Q.H,
P.L = Q.H tem-se: Q/P = L/H, donde:
sen = H/L
VM = Q/P = L/H = 1/sen
Observe que quanto menor for a inclinação (), menor 
será sen (menor será o declive) e maior será a 
vantagem mecânica. 
Menor será o esforço p/ arrastar a carga plano acima. 
Todavia, maior será o deslocamento que a carga irá 
efetuar.
Vantagem Mecânica do Plano 
Inclinado É Função da Relação Entre 
a Sua Altura e o Seu Comprimento
Tg  = H / L
1) Quanto menor o ângulo de inclinação, 
maior a distância a percorrer e menor o 
esforço a ser empregado.
2) Quanto maior o ângulo, menor a 
distância, sendo o esforço maior.
Assim, quem sobe uma ladeira menos 
inclinada usa menos força, mas percorre 
uma distância maior.
PARAFUSO E O PLANO INCLINADO
Parafuso é uma aplicação do plano inclinado, que 
neste caso é enrolado em um cilindro.
Com o auxilio desse instrumento, Galileu Galilei pôde 
estudar o movimento uniformemente variado.
PARAFUSO E O PLANO INCLINADO
Pode-se Utilizar o Princípio da Rosca p/ 
Deslocamento de um Corpo.
PLANO INCLINADO E 
A ROSCA DO PARAFUSO
O levantamento de uma carga com o parafuso de um 
macaco para carro assemelha-se ao impelir ou puxar 
para cima cargas colocadas sobre vigas ou pranchas 
dispostas em Plano Inclinado.
A carga desliza subindo sobre a referida superfície.
Os filetes de rosca de um parafuso, enrolado em 
redor do núcleo da rosca agem como um estreito 
plano inclinado, 
PLANO INCLINADO 
E A ROSCA DO PARAFUSO
Se o filete de uma rosca for desenrolado, aparecerá 
a forma normal do plano inclinado. 
O passo p da rosca corresponde ao cateto oposto H
e a hélice desenrolada L, ao cateto adjacente de um 
triângulo retângulo.
A relação entre as dimensões H e L da citada figura 
geométrica chama-se Inclinação:
Tg  = H / L
ROSCA 
E O
PLANO
INCLINADO
NA 
TRANSMISSÃO 
DO 
MOVIMENTO
Porca Fixa: a rotação do parafuso determina 
a translação do mesmo em relação à porca. 
Na prensa, a cada volta do parafuso (através 
do trabalho da força aplicada na alavanca) ele 
avança (ou retrocede) de um passo.
Na prensa ilustrada acima, a alavanca tem 
braço R e o parafuso tem passo p. 
A resistência Q aplica-se verticalmente, na 
ponta do parafuso. 
Quando a resistência cede de uma distância p, o 
trabalho será dado por Q.p
A potência P é o esforço que se faz tangencialmente 
à circunferência de raio R da alavanca.
Trabalho dessa potência, numa volta completa 
será: P.2..R
(c/ essa volta completa o parafuso desloca-se de p).
Tem-se, pois: P.2..R = Q.p ou P = Q.p/(2..R).
Cada prensa apresenta sua característica (n) que 
é: (2..R)/p = n , de modo que, a equação da 
prensa é: P = Q / n
No parafuso-sem-fim, que se engrena 
com uma roda dentada de n dentes, uma 
volta na manivela desloca (gira) a roda de 
um dente. 
Sendo r o raio do cilindro que suspende a 
carga Q, tem-se:
P.2R.n = Q.2r
Logo, a equação da potência será:
P = Q.r / (R.n)
PLANO INCLINADO E O PARAFUSO
O efeito da carga apresenta-se como resultante da 
ação de 2 forças componentes ortogonais.
A força de deslizamento paralela ao plano inclinado 
e a força de compressão (contato) perpendicular ao 
mesmo.
As 3 forças constituem o “paralelograma de forças”.
Pode-se determinar a grandeza das forças que atuam 
na rosca de um parafuso, recorrendo à equação dos 
trabalhos.
Trabalho Empregado = Trabalho Realizado
Força F x Distância C
o
= Carga q x Passo p
Exemplo: Deseja-se levantar uma carga (Q) de 3000 N
com um macaco de parafuso, cujo passo (p) da rosca é de 
8 mm e a alavanca giratória de acionamento tem o 
comprimento (L) de 0,6 m. Determine a força F e o 
torque T aplicados.
Resolução:
Deslocamento da carga em 1 rotação - passo: p = 8 mm;
Distância Percorrida pela alavanca em uma rotação: 
Comprimento da circunferência: C
o
= 2..R = 2..L
Co = 2 x 3,1416 x 0,6 m = 3,76992 m = 3.770 mm;
Força F x Distância C
o
= Carga Q x Passo p
F = Q x p / C
o
= 3000 N x 8 mm = 6,366 N;
3.770 mm
T = F x L = 6,366 N x 0,6 m = 3,82 N.m
FORÇAS na ROSCA do PARAFUSO
 2tancostan 1  n








 
pd
l

 1tan
Forças Atuantes ao Subir Carga na Rosca do Parafuso. 
(a) Forças a Atuar no Paralelepípedo; 
(b) Forças a Atuar na Seção Axial; 
(c) Forças a Atuar no Plano Tangencial.
FORÇAS na ROSCA do PARAFUSO
 sincoscos 

n
n
W
P














 cc
n
np
l r
osd
WT 


tancos
tanc
2
 sincoscos 

n
n
W
P














 cc
nnp
r r
osd
WT 

tancos
tanc
2
Rendimento 
do Parafuso
   tan22
100
pd
l
e 
Reversibilidade do Parafuso : é reversível, 
se não for necessário exercer um momento 
para descer a carga. Ou seja quando: p
n
n
d
l

 costancos 
Subir 
Carga:
Descer 
Carga:
Força Actuante: Binário Necessário:
FREIO SAPATA - Sistema mais simples de freio. 
Na figura 1, uma Alavanca A, pivotada em O, tem 
uma Sapata S que, sob ação de uma Força Externa 
P, atua no Tambor T.
Supor a sapata com área pequena em comparação 
com o tambor, de forma que a força de atrito Fa pode 
ser considerada na posição da figura. 
Forças Atuantes no conj. Alavanca-Sapata: 
Força Externa P;
Força de Atrito Fa;
Reação Normal N;
Reação do Pivô Ro.
De acordo com o primeiro tópico da página anterior,
Fa = μ.N #A.1#. N = Fa/μ
μ - Coeficiente de Atrito entre os materiais da sapata 
e do tambor.
Segundo Leis da ESTÁTICA, na Condição de 
Equilíbrio a soma dos momentos em relação a 
qualquer ponto deve ser nula. Escolhendo o pivô O, 
∑Mi = 0 = −a.N + c.Fa + (a + b) P
Substituindo o valor de N,
−(a/μ) Fa + c.Fa + (a + b) P = 0
Reagrupando,
P = (a/μ − c) Fa / (a + b) #B.1#.
A igualdade acima é a relação entre a força aplicada 
e a força de atrito. 
Por essa relação notar-se que:
a) Se a/μ = c, P = 0
Significa que o freio atua sem qualquer força externa.
Situação Limite, que deve ser evitada na prática.
b) Se a/μ < c, P < 0
Significa que, uma vez encostada a sapata no tambor, 
é necessário um esforço para a separação. 
Situação Indesejável, mas pode ser útil em alguns 
casos, por exemplo, evitar retrocessos.
Rearranjando a equação #B.1# anterior,
Fa = (a + b) P / (a/μ − c) #C.1#. 
Assim, para um determinado esforço externo, a 
força de atrito pode ser calculada. 
Se conhecidas a velocidade e energia cinética 
do tambor, é possível determinar outros 
valores, como o tempo necessário para parar.
Na figura 1, o momento da força de atrito tem o 
mesmo sentido da força externa e, portanto, ela 
contribui para reduzir o esforço, um certo grau 
de auto-acionamento. 
Na figura 2, o momento da F
a
é contrário ao da 
Fforça Externa P. 
Por isso é preciso esforço maior p/ acionar o 
freio.
Neste caso, 
é preciso 
recalcular #B.1# 
e #C.1#, com 
aplicação dos 
sinais corretos 
na soma dos 
momentos.
QUE É UM DINAMÔMETRO?
Equipamento p/ medir a potência e as 
características de um motor em suas diversas 
condições de funcionamento.
DE QUE SE COMPÕE UM DINAMÔMETRO?
Volante (a) circundado por uma cinta (b) 
conectada a um braço (c) cuja extremidade se 
apóia sobre a plataforma de uma balança (d). 
FREIO de PRONY
O volante, acionado pelo motor, tem o seu 
movimento restringido pela pressão aplicada à 
cinta, que transmite o esforço ao braço
apoiado sobre a balança. 
A partir das leituras da balança, calcula-se o 
esforço despendido pelo motor. 
Esse dispositivo é conhecido como
FREIO de PRONY.
Inventado em 1821 pelo engenheiro francês 
Gaspar de Prony. 
Rotação do Motor = N (em rpm);
Comprimento do Braço = R (em m ou ft);
Leitura da Balança = P (em lb ou kg).
Com os elementos acima, sabendo-se que a 
periferia do volante percorre, no intervalo de 
uma rotação, a distância C
o
= 2.r contra a 
Força de Atrito F
a
, aplicada pela cinta, 
então, em cada rotação, tem-se 
Trabalho: T = 2.r.F
a
O conjugado resistente ao atrito é formado pelo 
produto da leitura P da balança pelo valor do 
comprimento do braço de alavanca R e será igual ao 
produto r vezes Fa, conjugado que tende a mover o 
braço. 
Logo:
r . Fa = P . R e, em uma rotação, Trabalho: 
T = 2. P. R
Se o motor funcionar a N rpm, o Trabalho por minuto 
será a potência: cv (hp) = 2 P. R. N
A expressão acima define a potência desenvolvida 
pelo motor, que pode ser expressa em hp
(horsepower) ou em cv (cavalo-vapor), 
dependendo das unidades empregadas.
hp = (2 P. R. N) / 33.000  hp = (P. R. N) / 5252
p/ P em libras, R em pés e N em rpm, ou:
cv = (2  P. R. N) / 4.500  cv = (P. R. N) / 716,2
p/ P em Kg, R em metros e N em rpm.
As constantes 4.500 e 33.000 são resultantes das
definições de cv e hp, que são, respectivamente:
a) Potência necessária p/ elevar a altura de um
metro, em um segundo, uma carga de 75 kg, o que
corresponde a 75 x 60 = 4500 p/ transformação em
minuto;
b) Potência necessária p/ elevar a altura de um pé,
em um segundo, uma carga de 550 lb,
donde 550 x 60 = 33000 p/ transformar em minuto.
É comum encontrarmos dinamômetros onde a
leitura da balança é dada em Torque, já
levando em conta o comprimento do braço.
Neste caso, resulta:
HP = (Torque (lb.ft) x N (rpm)) / 5252
ou
CV = (Torque (Kgm) x N (rpm)) / 716,2
DINAMÔMETRO de CORRENTE de FOUCAULT Capacidade 200 N.m
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. RESNICK, R. e HALLIDAY, D. Física I, vol. 1, Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico S.ª 
1973
2. TIPLER, P.A.. Física, Guanabara Dois, Rio de Janeiro, vol. 1. 1984;
[1] P.F. Barbieri, Revista Brasileira de Ensino Física 33, 4304 (2011). 
[2] http://www1.folha.uol.com.br/saber/799041-institutos-de-educacao-tecnologica-
terao-17-mil-vagas-no-sisu.shtml. Matéria do dia 15/9/2010, acesso em 
28/10/2010. 
[3] http://www.jornaldaciencia.org.br/Detalhe.jsp?id=52790. Matéria do dia 
4/12/2007, acesso em 28/10/2010. 
[4] D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física (LTC, Rio de 
Janeiro, 2008), v. 1, 8ª ed. 
[5] P.A. Tipler e G. Mosca, Física para Cientistas e Engenheiros (LTC, Rio de 
Janeiro, 2009), v. 1. 
3 - http://tecnounifran.wordpress.com/author/gracianodias/page/4/.
Fonte: ©1998-2010 HowStuffWorks, Inc. ;
Fonte: www.geocities.yahoo.com.br/saladefisica;
Referências
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2003), 5ª ed. 
[7] R.A. Serway, Física I p/ Cientistas e Engenheiros (LTC, Rio de Janeiro, 1996), 3ª 
ed. 
[8] H.D. Young e R.A. Freedman, Sears e Zemansky Física (Pearson Addison 
Wesley, Rio de Janeiro, 2003), 10ª ed., v. 1. 
[9] J. Orear, Fundamentos da Física (LTC, Rio de Janeiro, 1981), v. 1. 
[10] http://www.feiradeciencias.com.br/sala06/06_RE04.asp. 
[11] A. Tagliaro, Física (Editora FTD, São Paulo, 1969), v. 1. 
[12] E. Gabriades, Física (Curso apostilado, São Paulo, 1956), p. 121. 
[13] J.L. Sampaio e C.S. Calçada, Física (Atual Editora, São Paulo, 2005), 2ª ed., p. 
149. 
[14] A.M.R. Luz e B.A. Álvares, Física (Editora Scipione, São Paulo, 2005), v. 1. 
[15] http://www.fisica.net/mecanicaclassica/maquinas_simples_alavancas.php. 
Acesso em 1/11/2010. 
[16] http://www.cienciamao.usp.br/tudo/exibir.php?midia=pmd&cod=_pmd2005_i2102
. Acesso em 1/11/2010. 
[17] F.P. Beer, E.R. Johnston Jr., E.R. Eisenberg e G.H. Staab, Mecânica Vetorial 
para Engenheiros (McGraw- Hill, Rio de Janeiro, 2006), 7ª ed. 
[18] R.C. Hibbeler, Estática: Mecânica para Engenharia (Pearson Prentice Hall, 
2005), v. 1.
4 - MOVIMENTO no PLANO INCLINADO
Indicação da rugosidade Ra pelos números de 
classe.
A tabela (Rugosidade nos Processos) que se segue, 
classifica os acabamentos superficiais - geralmente 
encontrados na indústria mecânica - em 12 grupos, e 
as organiza de acordo com o grau de rugosidade e o 
processo de usinagem que pode ser usado em sua 
obtenção. 
Permite, também, visualizar uma relação aproximada 
entre a simbologia de triângulos, as classes e os 
valores de Ra (µm).
GALILEU E O PLANO INCLINADO
As idéias de Aristóteles sobre o movimento dos
corpos permaneceramatuante por cerca de dois mil
anos.
Apenas no século XVII, Galileu Galilei deu um
grande passo na explicação do movimento dos
corpos.
Ele afirmou que "…qualquer velocidade, uma vez
estabelecida num corpo, se manterá constante, desde
que não existam causas de aceleração ou
retardamento, fenômeno que só será observado em
planos aproximadamente horizontais onde a força de
atrito se tenha reduzido a um mínimo”.
Surgindo assim o principio da inércia.
Galileu estudou a queda dos corpos e verificou que
ao contrário do que os aristotélicos pensavam,
corpos c/ massas diferentes, lançados de uma
mesma altura, caem em intervalos de tempo iguais.
A maior dificuldade de Galileu era a medição dos
intervalos de tempo e do espaço percorrido pelo
corpo em queda.
Não havia instrumentos adequados a medição do
tempo (ele media o tempo c/ relógios d’água).
O movimento de queda livre era muito rápido e os
nossos sentidos não conseguem captá-lo com
precisão.
PROBLEMA: Como Galileu chegou a conclusão que
o movimento uniforme não precisa de uma força para
manter o corpo em movimento?
Resolução: Plano Inclinado.
Que é um PLANO INCLINADO?
Resposta: Superfície plana e inclinada, formando c/ a
superfície horizontal um ângulo   90º (tobogã).
Estudando o movimento de diversos objetos sobre
um plano inclinado ele observou que:
Quando um objeto rola de cima p/ baixo no plano
inclinado, o objeto está sujeito a uma aceleração;
Quando um objeto é lançado de baixo p/ cima no
plano inclinado, o objeto sofre uma desaceleração.
GALILEU E O PLANO INCLINADO
Observe as figuras abaixo:
CONCLUSÃO
No caso dos planos inclinados não serem
ascendentes ou descendentes não deve haver
aceleração ou retardamento no movimento do corpo.
O movimento ao longo de um plano horizontal deve
ser permanente.
É obvio que Galileu sabia que movimentos
permanentes não existiam, mas se cada vez mais ele
polisse o plano inclinado, a esfera e o plano
horizontal, o atrito entre os corpos diminuiria e a
esfera se movia durante um tempo maior com
velocidade constante.
Com estes argumentos ele convenceu-se de que o
atrito proporcionava as forças que diminuíam o
movimento horizontal.