RESUMO - Energia Potencial e Conservação da Energia

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Energia Potencial e Conservac¸a˜o da Energia
Energia Potencial e Conservac¸a˜o da Energia
Prof. Fa´bio Nakagomi
UDF - Centro Universita´rio
2 de setembro de 2013
Prof. Fa´bio Nakagomi Energia Potencial e Conservac¸a˜o da Energia
Energia Potencial e Conservac¸a˜o da Energia
Suma´rio
1 Trabalho e Energia Potencial
2 Forc¸as Conservativas e Dissipativas
3 Determinac¸a˜o de Valores de Energia Potencial
Energia Potencial Gravitacional
Energia Potencial Ela´stica
4 Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
5 Curvas de Energia Potencial
6 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Externa sobre um Sistema
7 Conservac¸a˜o da Energia
8 Poteˆncia
Prof. Fa´bio Nakagomi Energia Potencial e Conservac¸a˜o da Energia
Energia Potencial e Conservac¸a˜o da Energia
Trabalho e Energia Potencial
Suma´rio
1 Trabalho e Energia Potencial
2 Forc¸as Conservativas e Dissipativas
3 Determinac¸a˜o de Valores de Energia Potencial
Energia Potencial Gravitacional
Energia Potencial Ela´stica
4 Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
5 Curvas de Energia Potencial
6 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Externa sobre um Sistema
7 Conservac¸a˜o da Energia
8 Poteˆncia
Prof. Fa´bio Nakagomi Energia Potencial e Conservac¸a˜o da Energia
Energia Potencial e Conservac¸a˜o da Energia
Trabalho e Energia Potencial
Introduc¸a˜o
Nem sempre o trabalho
realizado sobre um corpo
por um agente externo e´
convertido totalmente em
energia cine´tica. Muitas
vezes o trabalho da´ origem a
um outro tipo de energia,
chamada energia
potencial. Analogamente a`
energia cine´tica, um corpo
com energia potencial tem a
capacidade de realizar
trabalho.
Figura 1 : Energia Potencial.
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Energia Potencial e Conservac¸a˜o da Energia
Trabalho e Energia Potencial
Energia Potencial
Definic¸a˜o
Energia Potencial e´ qualquer
energia que pode ser associada a`
configurac¸a˜o (arranjo) de um
sistema de objetos que exercem
forc¸as uns sobre os outros.
Figura 2 : Energia Potencial.
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Trabalho e Energia Potencial
Em geral, nesta situac¸a˜o existe um agente externo
realizando trabalho sobre o sistema de interesse.
Atrave´s da realizac¸a˜o deste trabalho, o agente externo
transfere energia para o sistema, que armazena de alguma
forma.
Quando o agente externo e´ retirado, o sistema libera a
energia armazenada (energia potencial) atrave´s da
realizac¸a˜o de trabalho (forc¸a) e converte esta energia em
energia cine´tica.
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Trabalho e Energia Potencial
No cap´ıtulo anterior discutimos a relac¸a˜o entre o trabalho e a
variac¸a˜o da energia cine´tica:
Teorema Trabalho Energia Cine´tica
W = ∆K (1.1)
Neste cap´ıtulo vamos discutir a relac¸a˜o entre trabalho e a variac¸a˜o
da energia potencial:
Trabalho e Energia Potencial
W = −∆U (1.2)
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Forc¸as Conservativas e Dissipativas
Suma´rio
1 Trabalho e Energia Potencial
2 Forc¸as Conservativas e Dissipativas
3 Determinac¸a˜o de Valores de Energia Potencial
Energia Potencial Gravitacional
Energia Potencial Ela´stica
4 Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
5 Curvas de Energia Potencial
6 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Externa sobre um Sistema
7 Conservac¸a˜o da Energia
8 Poteˆncia
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Energia Potencial e Conservac¸a˜o da Energia
Forc¸as Conservativas e Dissipativas
Forc¸as Conservativas
Se a forc¸a estiver associada com algum tipo de energia potencial,
ela e´ dita ser conservativa.
Forc¸as Conservativas
Uma forc¸a e´ conservativa se o trabalho que realiza sobre uma
part´ıcula se anula ao longo de um percurso fechado. Podemos
dizer tambe´m que uma forc¸a e´ conservativa se o trabalho que
realiza sobre uma part´ıcula que se move entre dois pontos na˜o
depende da trajeto´ria seguida pela part´ıcula.
Exemplos:
Forc¸a Graviatacional
Forc¸a Ela´stica
Forc¸a Ele´trica
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Forc¸as Conservativas e Dissipativas
Forc¸as Dissipativas
Forc¸as Dissipativas
Aquelas forc¸as que na˜o sa˜o
conservativas sa˜o chamadas de
forc¸as dissipativas. Sa˜o
processos que sa˜o considerados
irrevers´ıveis.
Exemplo:
Forc¸a de Atrito Cine´tico
Figura 3 : Forc¸as Dissipativas.
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Determinac¸a˜o de Valores de Energia Potencial
Suma´rio
1 Trabalho e Energia Potencial
2 Forc¸as Conservativas e Dissipativas
3 Determinac¸a˜o de Valores de Energia Potencial
Energia Potencial Gravitacional
Energia Potencial Ela´stica
4 Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
5 Curvas de Energia Potencial
6 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Externa sobre um Sistema
7 Conservac¸a˜o da Energia
8 Poteˆncia
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Energia Potencial e Conservac¸a˜o da Energia
Determinac¸a˜o de Valores de Energia Potencial
Considere um objeto que se comporta como uma part´ıcula e que
faz parte de um sistema no qual atua uma forc¸a conservativa ~F .
Quando essa forc¸a realiza um trabalho W sobre o objeto, a
variac¸a˜o ∆U da energia potencial associada ao sistema e´ o
negativo do trabalho realizado. Temos que:
∆U = −W (3.1)
No caso mais geral em que a forc¸a varia com a posic¸a˜o, podemos
escrever o trabalho W como:
W =
∫ xf
xi
F (x)dx (3.2)
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Determinac¸a˜o de Valores de Energia Potencial
A equac¸a˜o anterior 3.2 fornece o trabalho realizado pela forc¸a
quando o objeto se desloca do ponto xi para o ponto xf , mudando
a configurac¸a˜o do sistema. Como a forc¸a e´ conservativa, o
trabalho e´ o mesmo para qualquer percurso entre esses dois
pontos. Susbtituindo 3.2 em 3.1, descobrimos que a variac¸a˜o de
energia potencial associada e´:
Valor da Energia Potencial
∆U = −
∫ xf
xi
F (x)dx (3.3)
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Determinac¸a˜o de Valores de Energia Potencial
Energia Potencial Gravitacional
Energia Potencial Gravitacional
Definic¸a˜o
A energia potencial associada a um sistema constitu´ıdo pela Terra
e uma part´ıcula pro´xima e´ chamada de energia potencial
gravitacional.
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Determinac¸a˜o de Valores de Energia Potencial
Energia Potencial Gravitacional
Se uma part´ıcula se desloca (com o sentido positivo para cima) de
uma altura yi para uma altura yf , a variac¸a˜o da energia potencial
gravitacional e´ dada por:
∆U = −
∫ yf
yi
(−P)dy
= −
∫ yf
yi
(−mg)dy
= mg
∫ yf
yi
dy
= mg · y
∣∣∣yf
yi
= mg(yf − yi )
= mg∆y
(3.4)
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Determinac¸a˜o de Valores de Energia Potencial
Energia Potencial Gravitacional
Sa˜o apenas as variac¸o˜es ∆U da energia potencial gravitacional (ou
de qualquer outro tipo de energia) que possuem significado f´ısico.
Se o ponto de refereˆncia de uma part´ıcula e´ tomado como sendo
yi = 0 e a energia ptencial gravitacional correspondente do sistema
e´ tomado como sendo Ui = 0,a energia potencial gravitacional U
de uma part´ıcula a uma altura y e´ dada por:
Energia Potencial Gravitacional
Ugravitacional(y) = mgy (3.5)
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Determinac¸a˜o de Valores de Energia Potencial
Energia Potencial Ela´stica
Energia Potencial Ela´stica
Consideramos a seguir um
sistema massa-mola da
figura ao lado, com o bloco
se movendo na extremidade
de uma mola de constante
ela´stica k .
Figura 4 : Sistema Massa-Mola.
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Determinac¸a˜o de Valores de Energia Potencial
Energia Potencial Ela´stica
Energia Potencial Ela´stica
Definic¸a˜o
Energia potencial associada ao estado de compressa˜o ou distensa˜o
de um objeto ela´stico.
No caso de uma mola que exerce uma forc¸a ela´stica F = −kx
quando sua extremidade livre sofre um deslocamento x , a energia
potencial ela´stica na configurac¸a˜o de refereˆncia e´ dada por:
Energia Potencial Ela´stica
Uelastica(x) = 1
2
kx2 (3.6)
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Energia Potencial e Conservac¸a˜o da Energia
Determinac¸a˜o de Valores de Energia Potencial
Energia Potencial Ela´stica
enquanto o bloco se desloca do ponto xi para o ponto xf , a forc¸a
ela´stica Fx = −kx realiza trabalho sobre o bloco. Para determinar
a variac¸a˜o correspondente da energia potencial ela´stica do sistema:
∆U = −
∫ xf
xi
(Fx)dx
= −
∫ xf
xi
(−kx)dx
= k
∫ xf
xi
xdx
= k · 1
2
x2
∣∣∣xf
xi
=
1
2
kxf
2 − 1
2
kxi
2
(3.7)
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Energia Potencial e Conservac¸a˜o da Energia
Determinac¸a˜o de Valores de Energia Potencial
Energia Potencial Ela´stica
Para associar um valor de energia potencial U ao bloco na posic¸a˜o
x escolhemos a configurac¸a˜o de refereˆncia como sendo aquela
na qual a mola se encontra no estado relaxado e o bloco esta´ em
xi = 0. Nesse caso, a energia potencial ela´stica Ui e´ zero, o que
nos da´:
Energia Potencial Ela´stica
Uelastica(x) = 1
2
kx2 (3.8)
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Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
Suma´rio
1 Trabalho e Energia Potencial
2 Forc¸as Conservativas e Dissipativas
3 Determinac¸a˜o de Valores de Energia Potencial
Energia Potencial Gravitacional
Energia Potencial Ela´stica
4 Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
5 Curvas de Energia Potencial
6 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Externa sobre um Sistema
7 Conservac¸a˜o da Energia
8 Poteˆncia
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Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
Energia Mecaˆnica
Definic¸a˜o
A Energia Mecaˆnica Emec de um sistema e´ a soma da energia
cine´tica K e da energia potencial U do sistema:
Emec = K + U (4.1)
Sistema Isolado
Sem Forc¸as Externas
Apenas Forc¸as Conservativas
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Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
Princ´ıpio de Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
Temos que a variac¸a˜o da Energia Cine´tica e´ dada por:
∆K =W (4.2)
E a variac¸a˜o da Energia Potencial e´ dada por:
∆U = −W (4.3)
Combinado as duas, temos que:
∆K = −∆U (4.4)
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Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
Princ´ıpio de Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
Reagrupando os termos da equac¸a˜o 4.4 temos:
Princ´ıpio de Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
K2 + U2 = K1 + U1 (4.5)
Ou de outra forma:
Princ´ıpio de Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
∆Emec = ∆K + ∆U = 0 (4.6)
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Curvas de Energia Potencial
Suma´rio
1 Trabalho e Energia Potencial
2 Forc¸as Conservativas e Dissipativas
3 Determinac¸a˜o de Valores de Energia Potencial
Energia Potencial Gravitacional
Energia Potencial Ela´stica
4 Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
5 Curvas de Energia Potencial
6 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Externa sobre um Sistema
7 Conservac¸a˜o da Energia
8 Poteˆncia
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Energia Potencial e Conservac¸a˜o da Energia
Curvas de Energia Potencial
Curvas de Energia Potencial
Se conhecermos a func¸a˜o
Energia Potencial U(x) de
um sistema no qual uma
forc¸a unidimensional Fx(x)
age sobre uma part´ıcula,
podemos determinar a forc¸a
usando a equac¸a˜o 5.1.
Forc¸a e Energia Potencial
Fx(x) = −dU(x)
dx
(5.1)
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Curvas de Energia Potencial
Se U(x) e´ dada na forma de um gra´fico, para qualquer valor de x a
forc¸a F (x) e´ o negativo da inclinac¸a˜o da curva no ponto
considerado e a energia cine´tica da part´ıcula e´ dada por:
Forc¸a e Energia Potencial
K(x) = Emec − U(x) (5.2)
Onde Emec e´ a energia mecaˆnica do sistema.
Um ponto de retorno e´ um ponto x no qual o movimento de
uma part´ıcula muda de sentido (nesse ponto K = 0).
A part´ıcula se encontra em equil´ıbrio nos pontos onde a
inclinac¸a˜o da curva de U(x) e´ nula (nesses pontos,
Fx(x) = 0).
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Curvas de Energia Potencial
Figura 5 : Gra´fico de U(x).
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Suma´rio
1 Trabalho e Energia Potencial
2 Forc¸as Conservativas e Dissipativas
3 Determinac¸a˜o de Valores de Energia Potencial
Energia Potencial Gravitacional
Energia Potencial Ela´stica
4 Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
5 Curvas de Energia Potencial
6 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Externa sobre um Sistema
7 Conservac¸a˜o da Energia
8 Poteˆncia
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Trabalho Realizado por uma Forc¸a Externa sobre um Sistema
Trabalho Realizado por uma Forc¸a Externa sobre um
Sistema
Trabalho
O trabalho W e´ a energia
transferida para um sistema ou
de um sistema atrave´s de uma
forc¸a externa que age sobre o
sistema.
Auseˆncia de Atrito.
Presenc¸a de Atrito.
Figura 6 : Trabalho.
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Trabalho Realizado por uma Forc¸a Externa sobre um Sistema
Auseˆncia de Atrito
Quando mais de uma forc¸a
externa age sobre o sistema,
o trabalho total dessas
forc¸as e´ igual a` energia
transferida.
Quando na˜o existe atrito o
trabalho realizado sobre o
sistema e a variac¸a˜o da
energia mecaˆnica do sistema
sa˜o iguais a`:
Figura 7 : Sem Atrito.
Sem Atrito
W = ∆Emec = ∆K + ∆U (6.1)
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Trabalho Realizado por uma Forc¸a Externa sobre um Sistema
Auseˆncia de Atrito
Quando mais de uma forc¸a
externa age sobre o sistema,
o trabalho total dessas
forc¸as e´ igual a` energia
transferida.
Quando na˜o existe atrito o
trabalho realizado sobre o
sistema e a variac¸a˜o da
energia mecaˆnica do sistema
sa˜o iguais a`:
Figura 7 : Sem Atrito.
Sem Atrito
W = ∆Emec = ∆K + ∆U (6.1)Prof. Fa´bio Nakagomi Energia Potencial e Conservac¸a˜o da Energia
Energia Potencial e Conservac¸a˜o da Energia
Trabalho Realizado por uma Forc¸a Externa sobre um Sistema
Presenc¸a de Atrito
Quando uma forc¸a de atrito
cine´tico age dentro do
sistema, a energia te´rmica
Et do sistema varia.
Esta energia esta´ associada
ao movimento aleato´rio dos
a´tomos e mole´culas do
sistema.
Figura 8 : Com Atrito.
Prof. Fa´bio Nakagomi Energia Potencial e Conservac¸a˜o da Energia
Energia Potencial e Conservac¸a˜o da Energia
Trabalho Realizado por uma Forc¸a Externa sobre um Sistema
Presenc¸a de Atrito
Quando uma forc¸a de atrito
cine´tico age dentro do
sistema, a energia te´rmica
Et do sistema varia.
Esta energia esta´ associada
ao movimento aleato´rio dos
a´tomos e mole´culas do
sistema.
Figura 8 : Com Atrito.
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Trabalho Realizado por uma Forc¸a Externa sobre um Sistema
Nesse caso, o trabalho realizado sobre o sistema e´ dado por:
Com Atrito
W = ∆Emec + ∆Et (6.2)
A variac¸a˜o de ∆Et esta´ relacionada ao mo´dulo fk da forc¸a de
atrito e ao mo´dulo d do deslocamento causado pela forc¸a externa
atrave´s da equac¸a˜o:
Energia Te´rmica
∆Et = fk · d (6.3)
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3 Determinac¸a˜o de Valores de Energia Potencial
Energia Potencial Gravitacional
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4 Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
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6 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Externa sobre um Sistema
7 Conservac¸a˜o da Energia
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Conservac¸a˜o da Energia
Lei de Conservac¸a˜o da Energia
A ENERGIA TOTAL E de um sistema (a soma da energia
mecaˆnica e das energias internas, incluindo a energia te´rmica) so´
pode variar se uma certa quantidade de energia e´ transferida para
o sistema ou retirada do sistema.
Se um trabalho W e´ realizado sobre o sistema:
Trabalho realizado sobre o sistema
W = ∆E = ∆Emec + ∆Et + ∆Eint (7.1)
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Conservac¸a˜o da Energia
Se o sistema e´ isolado (W = 0), isso nos da´:
Sistema Isolado
∆Emec + ∆Et + ∆Eint = 0 (7.2)
Sistema Isolado
Um sistema e´ dito isolado quando sua energia total E na˜o varia.
Em um sistema isolado, podemos relacionar a energia total em um
dado instante e` energia total em outro instante sem considerar as
energias em instantes intermedia´rios.
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Poteˆncia
Suma´rio
1 Trabalho e Energia Potencial
2 Forc¸as Conservativas e Dissipativas
3 Determinac¸a˜o de Valores de Energia Potencial
Energia Potencial Gravitacional
Energia Potencial Ela´stica
4 Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
5 Curvas de Energia Potencial
6 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Externa sobre um Sistema
7 Conservac¸a˜o da Energia
8 Poteˆncia
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Poteˆncia
Poteˆncia
A Poteˆncia desenvolvida por uma forc¸a e´ a taxa com a qual essa
forc¸a transfere energia.
Poteˆncia Me´dia
Pme´dia = ∆E
∆t
(8.1)
Poteˆncia Instantaˆnea
P = dE
dt
(8.2)
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	Trabalho e Energia Potencial
	Forças Conservativas e Dissipativas
	Determinação de Valores de Energia Potencial
	Energia Potencial Gravitacional
	Energia Potencial Elástica
	Conservação da Energia Mecânica
	Curvas de Energia Potencial
	Trabalho Realizado por uma Força Externa sobre um Sistema
	Conservação da Energia
	Potência