CAP. 9 TESTES DE HIPÓTESES

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148 
 
CAPÍTULO 9 
TESTES DE SIGNIFICÂNCIA OU TESTES DE HIPÓTESES 
 
1. Introdução 
 
 Os testes de Significância são chamados comumente de testes de Hipóteses. Para sermos exatos, 
os testes de significância testam a Hipótese inicial Ho, enquanto os testes de Hipóteses testam a Hipótese 
Alternativa H1. Na prática ambos são chamados de testes de Hipóteses. 
 Os testes de Hipóteses podem ser divididos em dois grupos: os testes paramétricos, assim 
chamados por se referirem às hipóteses sobre os parâmetros populacionais e aqueles chamados não 
paramétricos, pois na verdade se referem exclusivamente à forma da distribuição, ou em outras palavras, 
dada uma distribuição de frequências, determina-se a que tipo de distribuição de probabilidades esta 
“adere” melhor. 
 Nos problemas de Estimação, estimamos os parâmetros populacionais dentro de Intervalos de 
Confiança. Agora nos testes de Hipóteses admitir-se-á que exista uma Hipótese inicial Ho, a respeito do 
parâmetro populacional que deverá ser testado e assim, manter-se a hipótese inicialmente tida como 
válida ou rejeitá-la em favor de uma Hipótese alternativa H1. 
 
Exemplo 1: 
 No lançamento de uma moeda desejamos saber se a moeda utilizada é ou não uma moeda 
equilibrada. 
 Não é possível afirmar que a moeda é honesta ou equilibrada apenas olhando-a e, não há qualquer 
razão para afirmar que ocorrerá mais cara do que coroa ou vice-versa. Lançando apenas uma vez também 
não podemos tirar conclusão se é ou não equilibrada e lançando a moeda muitas vezes dispomos de mais 
informações. 
 A formulação de hipóteses ou de conjecturas acerca das populações é denominada hipóteses 
estatísticas, podendo ser ou não verdadeiras. 
 A hipótese a ser testada é frequentemente denominada de hipótese nula. 
Observações: 
 1) A hipótese nula Ho representa aquilo que se acredita no momento que se deseja provar. 
 2) A hipótese nula Ho sempre se refere a um valor especificado para o parâmetro da população 
(média 

) e não para uma estatística amostral ( média 
x
). 
 3) A hipótese nula Ho sempre contém um sinal de igualdade com relação ao valor especificado 
exato da população. 
 4) A hipótese alternativa H1 nunca contém o sinal de igualdade com relação ao valor especificado 
para a população. 
 5) A rejeição da hipótese nula Ho indica que você tem comprovação estatística de que a hipótese 
alternativa esta correta. 
 6) Um procedimento quando levado a uma decisão acerca de uma hipótese particular é 
denominado de teste de uma Hipótese. 
 7) Testar a hipótese envolve considerar uma amostra aleatória, computar uma estatística teste a 
partir de dados amostrais e, então tomar uma decisão a respeito da hipótese nula Ho. 
 No exemplo colocamos nossa hipótese nula como: 
 
 H0: A probabilidade de sair cara é p=1/2. E como Hipótese alternativa. 
 H1: Hipótese nula é falsa. No caso a moeda não é equilibrada. 
 
 
 
149 
 
 Formulada a hipótese H0: A probabilidade de sair cara é p=1/2, e se lançarmos 20 vezes a moeda 
e ocorrerem 17 vezes cara, ficamos inclinados a rejeitar a hipótese que a moeda é honesta. Se jogarmos a 
moeda n vezes e se o número de caras esta próximo de n/2, aceitamos H0, a hipótese de que a moeda é 
honesta. Os testes de Hipóteses assim como os de estimação, baseiam-se em estimadores amostrais para 
validar as generalizações feitas para as populações. 
 
2. Conceituação. 
 
 Frequentemente os pesquisadores utilizam desta ferramenta estatística para testarem a veracidade 
ou não de afirmações feitas sem o devido suporte técnico. 
 Por exemplo, um administrador financeiro pode ter a impressão que um de seus desembolsos pela 
compra de matéria prima está mais alto que a média do ano anterior. 
 Outro caso simples poderia ser o aumento do custo do dinheiro para empréstimos para um setor 
produtivo em relação a outro setor, ou seja, a média dos juros cobrados numa indústria em comparação 
aos cobrados para outra indústria. Ainda, a rejeição de lotes de peças por comparação entre as médias dos 
diâmetros das peças em dois lotes. 
 Por meio dos Testes de Hipóteses, testa-se uma hipótese existente Ho inicialmente tida como 
verdadeira e daí, a partir de uma amostra válida colhida dentro da população de teste, tentar-se-á provar se 
a hipótese inicial é verdadeira para a população ou abandonar-se-á, substituindo-a pela hipótese 
alternativa H1. Em outras palavras, o teste ocorre a princípio a partir da comparação de um tipo de evento 
ou variável de cada amostra selecionada e, portanto trata-se de hipóteses sobre observações que possam 
ser controladas e comprovadas. 
 As hipóteses sobre fatos controláveis por sua vez devem ser traduzidas em hipóteses válidas em 
estatística as quais dizem respeito a parâmetros populacionais. 
 O objetivo do teste pode ser resumido por meio de um exemplo genérico onde a partir da dúvida 
se duas determinadas amostras tem ou não uma média presumida. Neste caso colhe-se uma amostra 
verificando-se nesta a média e o desvio padrão amostral. Da teoria de Estimação devemos recordar que a 
média amostral é um bom estimador da média populacional enquanto que o desvio padrão só o é se a 
amostra tiver mais do que 30 observações. 
 Como observado anteriormente, vale lembrar que, a média e o desvio padrão, são a impressão 
digital de uma distribuição de frequências. Assim, podemos abordar um caso genérico onde foram 
calculados a média e o desvio padrão de duas amostras de índices financeiros extraídos da mesma 
população e se quer ter certeza da verdadeira média populacional. Estaremos, portanto, recorrendo a 
Teoria de Probabilidades para resolver esta dúvida. 
Exemplo 2: 
 Sejam duas amostras cuja distribuição de frequências esta indicada abaixo com as respectivas 
médias. O teste de Hipótese é assim indicado: 
 Ho : a verdadeira média é 
0
 
 H1 : a verdadeira média é maior que 
 0
por exemplo 
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 1
 
 
150 
 
 Note-se que uma variável em estudo cuja média esteja entre os valores 
0 1 e  
, a princípio pela 
análise gráfica, pode pertencer ao grupo da esquerda ou ao grupo da direita. 
 Portanto se Ho for verdadeira, poderemos dizer que a variável pertence à população representada 
pelo gráfico da esquerda, caso contrário prevalece a outra hipótese de que a variável pertença à população 
representada pela população da direita, portanto será verdadeira H1 . 
 
3. Erros do tipo I e II 
 
Erro tipo I: Um erro do tipo I ocorre caso você rejeite a hipótese nula, H0, quando ela é verdadeira e não 
deveria ser rejeitada. A probabilidade de ocorrência de um erro do tipo I é representada por 𝛼. 
 
Erro tipo II: Um erro do tipo II ocorre caso você não rejeite a hipótese nula, H0, quando ela é falsa e 
deveria ser rejeitada. A probabilidade de ocorrência de um erro do tipo II é representada por 𝛽. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Nível de significância () 
 A probabilidade de cometer um erro do tipo I, representado por 𝜶, é identificada com Nível de 
significância () do teste estatístico. Também denominada de probabilidade de rejeitar-se H0, sendo esta 
escolhida pelo observador analista. 
 O complemento da probabilidade de um erro do tipo I, (1- 𝜶), é conhecido como coeficiente de 
confiança. Sua representação gráfica é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Poder de um Teste 
 A probabilidade de cometer um erro do tipo II é representada por 𝛽. O poder de um teste é 
também chamado de probabilidade (1– β) e representa-se graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
-1

-1 b-1
b
-1 b-1
b
 
 
151Quanto menor for o nível de significância α (alfa) maior será o de β (Beta) e assim menor será a 
área (1 – β) o que diminui o poder do teste. 
 Ao contrário, quanto maior for o nível de significância (alfa) menor será o de (Beta) e 
consequentemente maior será a área (1 – β) que se denomina poder do teste. Isto significa que se 
aumentarmos o grau de significância aumentando Alfa (de 1% para 5% ou até mesmo para 10%) e se com 
isto H0 não for rejeitada, isto é, se ainda assim a hipótese H0 estiver contida na área (1 – α) e não na área 
de rejeição, teremos a certeza de que a variável em estudo pertence ao grupo de H0 e não pertence ao 
grupo de H1 o que aumenta o poder do teste. 
 
6. Valor Crítico de um teste 
 
 Supondo H0 como verdadeira, o pesquisador deverá fixar a probabilidade de rejeitá-la. Como 
visto, a esta probabilidade chamamos de nível de significância. Nas diversas situações de pesquisas 
costuma-se utilizar os níveis 0,1%,1%, 5% e 10% , sendo que a maioria dos programas adota por padrão o 
nível 5% nada impedindo que o observador utilize outro. Explicaremos mais adiante como a 
determinação do poder de um teste pode influenciar esta decisão. 
 
 À probabilidade de rejeitar a Hipótese inicial H0, associa-se um valor crítico 
cx
 relacionado à 
distribuição de frequências estudada. Este valor crítico é definido pelo nível de significância adotado e 
pela consequente consulta à tabela da função de densidade respectiva que podem ser Z normal de Escore 
Reduzido como nos nossos exemplos, ou t-Student e caso se queiram testar, médias ou desvios padrão de 
amostras grandes ou pequenas respectivamente. 
 
7. Valor de comparação 
testeZ
 
 
 O valor de comparação 
testeZ
 representa o afastamento que uma amostra representada por sua 
média 
x
 se afasta da verdadeira média populacional 
0
. Do TCL (teorema central do limite) sabe-se que 
o desvio padrão amostral é “n” vezes menor que o populacional e representa-se 
n

 . 
Daí a fórmula do valor de comparação será representada como: 
0
teste
x
Z
n


-

 
 Quando 
testeZ
 for maior que o valor crítico
cx
(se o teste for à direita) ou menor que o valor crítico 
cx
 (se o teste for à esquerda), então 
testeZ
 estará na área de rejeição da hipótese inicial H0 dada pelo nível 
de significância 

 e, portanto devemos rejeitá-la. O mesmo acontece para o teste bilateral. Quando um 
teste for significante (rejeição de 
0H
) ao nível 5%, isto não quer dizer necessariamente que deva ser 
significante aos níveis de 1% e/ou 0,1%. 
 
7.1 Direção do teste 
 
Para se executar um teste de hipótese é necessário termos pelo menos a média da amostra e a 
média da população e também o desvio padrão da amostra ou da população. 
Se a amostra revelar uma média maior que a média populacional 
0
 afirmada (de maneira categórica) 
então se pode suspeitar que aquela amostra pudesse ter sido retirada de uma população com média maior 
do que aquela afirmada. Desta forma o teste será unilateral à DIREITA e suas hipóteses serão escritas 
como: 
 
 
152 
 
0 0
1 0
H : a verdadeira média é 
H : a verdadeira média é maior que 


 
Se a amostra revelar uma média menor que a média populacional 
0
 afirmada (de maneira 
categórica) então se pode suspeitar que aquela amostra pudesse ter sido retirada de uma população com 
média menor do que aquela afirmada. Desta forma o teste será Unilateral à ESQUERDA e suas hipóteses 
serão escritas como: 
0 0
1 0
H : a verdadeira média é 
H : a verdadeira média é menor que 


 
Quando não houver uma afirmação categórica a respeito da verdadeira média populacional 
contra a qual se quer comparar uma amostra então devemos “abrir” o teste BILATERALMENTE. Desta 
forma suas hipóteses serão escritas como: 
0 0
1 0
H : a verdadeira média é 
H : a verdadeira média é de 


 
 
8. Valor Crítico para testes Unilaterais. 
 
 Suponha então a probabilidade de rejeição de 5% o valor crítico de corte denominado xc será dado 
por: 
50% 5% 0,45 1,64Z Z Z -   
, dependendo se o teste unilateral for à direita (positivo) ou à esquerda 
(negativo). 
 
 
 
 
 
0,45
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Valor Crítico para testes Bilaterais 
 
 Supondo o mesmo nível de significância de 5%, o valor crítico de corte denominado xc será dado 
por: 
1-α 2 95% 2 0,475Z = Z = Z = ± 1,96 ,
 
para cada lado da curva de densidade de probabilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ 1,64
%5
+ 1,96
%5,2 %5,2
- 1,96
Ho Ho 
0H
95%
 
 
153 
 
10. Erros de decisão 
 
 Nas diversas hipóteses que podem ser formuladas, erros são sempre possíveis de acontecer, ou por 
estabelecimento errôneo de uma hipótese ou por má interpretação de resultados. 
 Admita-se que existam quatro possibilidades, duas corretas e duas incorretas: 
 Aceitar Ho quando esta for verdadeira (correta) representa-se por -1 . 
 Rejeitar Ho quando esta for falsa (correta) representa-se por 
b-1
. 
 Aceitar Ho quando esta for falsa (erro Tipo II) representa-se por 
b
. 
 Rejeitar Ho quando esta for verdadeira (erro Tipo I) representa-se por  . 
 A aceitação de Ho leva automaticamente à rejeição da hipótese alternativa H1 e vice-versa, a 
aceitação de H1 leva a rejeição de Ho. 
 Define-se, portanto, Região Crítica como sendo um intervalo de valores que a variável testada 
pode assumir e que leve à rejeição da hipótese inicialmente testada Ho. Pode-se determinar a área de 
rejeição como normalmente apresentado nos programas estatísticos como sendo o nível de significância 
10%, 5%, 1% ou outro. 
 
11. Utilização das tabelas de distribuição de probabilidades 
 Ilustra-se esquematicamente a utilização do modelo teórico nos testes de hipóteses para estimação 
da média populacional quando esta tiver comportamento normal ou próximo da normalidade. 
Variância Populacional σ
2
 Amostra n 
Estatística de 
teste 
Se o valor de σ é conhecido 
Use o estimador σ 
n > 30 
elementos 
x
Z
n


-

 
n ≤ 30 
elementos 
Se o valor de σ é 
desconhecido 
Use o estimador s como 
aproximação de σ 
n > 30 
elementos 
x
Z
s
n
-

 
n ≤ 30 
elementos 
x
t
s
n
-

 
 Em casos onde a amostra não for suficientemente grande e ao mesmo tempo a população não 
possuir comportamento normal, aconselha-se a aumentar o tamanho da amostra no mínimo para mais de 
30 elementos. 
 
11.1. Testes Unilaterais à Esquerda para Média Populacional com 
x
 (desvio padrão 
populacional) conhecido. 
 
Ilustraremos esta teoria por meio de exemplos para grandes e pequenas amostras para que o leitor 
possa compreender sua aplicação prática e verificar que a aplicação destas metodologias depende do 
conhecimento prévio da variância populacional e do tamanho da amostra. 
 
Exemplo 3: (grandes amostras n > 30). 
 Uma empresa metalúrgica fabricante de peças automotivas afirma que seus anéis, para pistões de 
motores a combustão interna, quando instalados, tem diâmetro médio de 13 cm (Ho, média = 13 cm) com 
 
 
154 
 
desvio padrão de 0,17cm. Numa amostra de 138 anéis de pistão constatou-se que o diâmetro médio era de 
12,97cm. Verificar se a afirmação do fabricante é verdadeira ao nível de significância 5%. 
 
Solução: 
 Devemos supor que o teste é unilateral à esquerda, pois a Hipótese inicial Ho afirma que os anéis 
de pistão tem 13cm enquanto que a verificação desse diâmetro na amostraapontou para um valor menor 
ou seja 12,97cm que deverá ser tomado como sendo a Hipótese alternativa H1. 
 
 Hipótese inicial a ser testada Ho, média populacional 
0 13 cm 
 
 Hipótese alternativa H1, média populacional 
0 13 cm 
 
 
Variância Populacional σ
2
 Amostra n 
Estatística de 
teste 
Se o valor de σ é 
desconhecido mas n > 30, use 
o estimador s como 
aproximação de σ 
n > 30 
elementos 
x
Z
s
n
-

 
Valor crítico
 
5% 0,45 1,64Z Z  -
 
 
 
Cálculo do Valor de Teste: sendo 
0 13
0,17
138
12,97
n
x



 


 
,então 
0 12,97 13 2,07
0,17
138
teste
x
Z
s
n
- -
   -
 
 Como o valor crítico de teste é menor que –1,64, conclui-se que está dentro da área de rejeição da 
Hipótese inicial Ho. Portanto a Hipótese inicial deverá ser rejeitada, ou seja, não se pode afirmar que os 
anéis de pistão, uma vez instalados, atendam as especificações demandadas pela fábrica de motores. 
 
Exemplo 4: (pequenas amostras n < 30). 
 
 Suponha que num experimento análogo ao anterior, a população tivesse revelado a mesma média 
de diâmetro de 13 cm e desvio padrão populacional igual a 0,177. Numa amostra de 15 anéis de pistão 
constatou-se que o diâmetro médio era de 12,93cm. Verificar se a afirmação do fabricante é verdadeira ao 
nível de significância 5%. 
 
Solução: 
 Já que a amostra tem menos que 30 elementos, mas conhecemos o desvio padrão populacional podemos 
utilizar a tabela Z. Verificar se a afirmação do fabricante é verdadeira ao nível de significância 5%. 
-1,64
H1 
 
0H
 
 
155 
 
 Hipótese inicial a ser testada Ho, média populacional 
0 13 cm 
 
 Hipótese alternativa H1, média populacional 
0 13 cm 
 
 
 Variância Populacional σ
2
 Amostra n 
Estatística de 
teste 
Se o valor de σ é conhecido 
Use o estimador σ 
n ≤ 30 elementos xZ
n


-

 
Valor crítico
 
5% 0,45 1,64Z Z  -
 
 
 
 
Cálculo do Valor de Teste: sendo 
0 13
0,177
15
12,93
n
x



 


 
,então 
12,93 13
1,53
0,177
15
teste
x
Z
n


- -
   -
 
 
 Como o valor crítico de teste é maior que –1,64, conclui-se que está na área de aceitação da 
Hipótese inicial Ho. Portanto a Hipótese inicial deverá ser aceita, ou seja, podemos afirmar que os anéis 
de pistão, uma vez instalados atendem as especificações demandadas pela fábrica de motores. 
 
Se por acaso o valor da média verificada na amostra fosse maior que a média populacional, os 
testes que executamos anteriormente seriam unilaterais à direita. Todo o restante do procedimento ficaria 
inalterado incluindo o nível de significância e os valores críticos de teste, que neste caso seriam positivos. 
11.2. Testes Unilaterais à Direita para Média Populacional com 
x
 (desvio padrão populacional) 
desconhecido. 
 
 Para exemplificarmos os testes de significância à direita assumiremos que o desvio padrão 
populacional seja desconhecido. Obviamente, como dissemos anteriormente, não é o lado do teste o 
condicionante do método, mas o conhecimento ou não do parâmetro populacional σ. 
 
Exemplo 5: (grandes amostras n > 30). 
 
 Uma empresa de tintas quer testar se a reclamação de alguns clientes quanto à secagem prematura 
de um de seus produtos é devido à variabilidade de um componente químico adicionado ao produto 
durante o processo de mistura. O químico responsável afirma que são misturados a cada 500 litros de 
tinta, 23 Kg do produto necessário, segundo especificação aprovada. Uma amostragem aleatória simples 
-1,64
0H
1H
5%
 
 
156 
 
de 40 processos de mistura revelou que a média do componente adicionado foi de 23,04 Kg com desvio 
padrão de 0,16 Kg. Verificar se a afirmação do fabricante é verdadeira ao nível de significância 5%. 
 
Solução: Devemos conduzir um teste unilateral à direita, pois a amostra revelou um valor médio 23,04 
Kg. superior ao especificado para o processo 23 Kg. 
 
 Hipótese inicial a ser testada Ho, média populacional 
0 23 cm 
 
 Hipótese alternativa H1, média populacional 
0 23 cm 
 
 
Variância Populacional σ
2
 Amostra n 
Estatística de 
teste 
Se o valor de σ é 
desconhecido, mas n > 30 
use o estimador s como 
aproximação de σ 
n > 30 
elementos 
x
Z
s
n
-

 
Valor crítico
 
64,1045%5  ZZ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do Valor de Teste: sendo 
0 23
0,16
40
23,04
n
x



 


 
,então 
23,03 23
1,5811
0,16
40
teste
x
Z
s
n
- -
   
 
 Como o valor crítico de teste é menor que +1,64 conclui-se que ele está dentro da área de 
aceitação da Hipótese inicial Ho. Portanto a Hipótese inicial não deve deverá ser rejeitada, ou seja, 
podemos afirmar que a secagem prematura não se deve à variabilidade da quantidade misturada, mas a 
outros fatores. 
 
Exemplo 6: (pequenas amostras) 
 
 Uma empresa farmacêutica quer estimar a possibilidade de ter que destruir um lote de 
medicamentos devido a excesso de um dos componentes que tem originado reclamações de náuseas por 
parte dos pacientes que o utilizam de forma continuada. A especificação padrão para o medicamento 
proposto pela OMS impõe que a média do componente por comprimido seja 4,3 mg. Para tal verificação a 
empresa colhe uma amostra de 25 comprimidos e obtém média de 4,39 mg e desvio padrão de 0,23 mg. 
Verificar se a empresa terá de destruir o lote devido à afirmação dos clientes, ao nível de significância 
5%. 
Solução: 
 Mais uma vez existe uma afirmação categórica a respeito do valor da média populacional, daí o 
teste é unilateral. Devido ao fato que a amostra revela média 4,39 maior que o proposto pela OMS 4,3 o 
1H
 +1,64
 
 
157 
 
teste é à direita. Por não se conhecer o desvio padrão populacional σ, podemos considerar o desvio padrão 
amostral s e utilizar a tabela t-Student . 
 
 Hipótese inicial a ser testada Ho, média populacional 
0 4,3 mg 
 
 Hipótese alternativa H1, média populacional 
0 4,3 mg 
 
 
Variância Populacional σ
2
 Amostra n 
Estatística de 
teste 
Se o valor de σ é 
desconhecido e n ≤ 30 
Use o estimador s como 
aproximação de σ 
n ≤ 30 
elementos 
x
t
s
n
-

 
Valor crítico 
1; 1,711nt - 
 
 
 
 
 
 Cálculo do Valor de Teste: sendo 
0 4,3
0, 23
25
4,39
S
n
x
 
 


 
,então 
0 4,39 4,3 1,956
0,23
25
teste
x
t
s
n
- -
   
 
 Consultando-se a tabela t-Student para (n –1) = 25 – 1 = 24 graus de liberdade e 0,05 de 
significância temos que o valor de t crítico = + 1,711 
 
 Como o valor t teste = + 1,956 é maior que o valor de t crítico 1,711, conclui-se que está dentro da 
área de rejeição da Hipótese inicial Ho. Portanto, podemos afirmar que a empresa deverá aceitar a 
reclamação dos clientes e destruir o lote de medicamentos, pois tudo se comporta como se a verdadeira 
média do componente químico do remédio seja maior que a especificação técnica de segurança. 
12. Sensibilidade dos Testes de Hipótese 
 
Exemplo 7: 
 Suponha que no exemplo anterior a amostra tivesserevelado um peso médio de 4,37 ao invés de 
4,39, mantendo-se inalterado o desvio padrão e o nível de significância de 5%. 
 
Cálculo do Valor de Teste: 
0 4,37 4,3 1,521
0,23
25
teste
x
t
s
n
- -
   
 
 
H0 
 
1H
 
 
158 
 
 Este valor t teste = +1,521 estaria na área de ACEITAÇÃO da Hipótese inicial, pois seria menor 
que o valor crítico +1,711. 
 A pequena diferença entre as médias dos dois testes 4,39 e 4,37 (0,02 mg) mesmo mantendo-se a 
constatação do desvio padrão amostral, fez com que o teste que inicialmente sugeriria a destruição do 
lote, no segundo teste sugere que não seja destruído. Este fato revela que os testes de significância devem 
ser conduzidos com muita parcimônia pelo analista. 
 As medições técnicas nestes casos devem ser conduzidas com muita precisão, pois em se tratando 
de peças, lotes de remédios, produtos químicos utilizados em processos industriais de precisão, ou 
qualquer outro tipo de medição que exija precisão na terceira ou quarta casa decimal, produtos ou 
processos, poderiam ser rejeitados gerando prejuízos para as partes envolvidas. 
 
13.Testes Bilaterais para Média Populacional com 
x
(desvio padrão populacional) conhecido. 
 
 Este tipo de teste é considerado mais fraco que os anteriores, e deve ser aplicado quando não for 
possível aplicar os anteriores. 
 Há muitos casos em que há interesse em identificar um desvio do valor real do parâmetro para 
menos ou para mais, em relação ao valor testado. 
 Uma situação típica de aplicação dos testes bilaterais é quando da população pudermos extrair 
apenas a informação sobre a variância, ou a afirmação a ser testada sobre a média populacional não tiver 
nenhum embasamento de cálculo. Em outras palavras, se aplica este tipo de teste quando não há como 
afirmar categoricamente o valor do parâmetro populacional a ser testado. 
 Outras situações de aplicação são aquelas em que haja discrepância acentuada da média obtida em 
amostragens sucessivas. 
 Por exemplo, suponha que em duas amostragens ocorram médias muito discrepantes: uma média 
maior e outra menor que a afirmada pela Hipótese inicial. Esta seria uma situação onde seria conveniente 
aplicar-se o teste bilateral e rejeitar a Hipótese inicial quando o valor de teste tomado de forma modular 
for maior qualquer um dos valores críticos bilaterais. 
 
Exemplo 8: 
 Uma empresa de alimentos sabe que o desvio padrão populacional na adição de certa vitamina a 
um tipo de suco é 45 unidades p/litro. Uma amostra aleatória de 100 litros forneceu uma média de 127,3 
unidades/litro. Será que a partir destas informações podemos afirmar que a média de adição de vitamina é 
aproximadamente igual a 138 unidades/litro se considerarmos o nível de significância de 5%? 
 Note o leitor que, por não termos certeza se a média é maior ou menor que 138 unidades/litro, 
devemos supor que ela é “diferente” de 138 unidades/litro. Portanto o teste é do tipo bilateral. 
 
Hipótese inicial a ser testada Ho: média populacional 
litropor unidades 1380 
 
 
Hipótese alternativa H1: média populacional 
litropor unidades 1380 
 
 
Variância Populacional σ
2
 Amostra n 
Estatística de 
teste 
Se o valor de σ é conhecido 
Use o estimador σ 
n > 30 
elementos 
x
Z
n


-

 
Valor crítico 
1 2 95% 2 0,475 1,96Z Z Z-    
 
 
 
 
 
159 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do Valor de Teste: sendo 
0 138
45
100
127,3
n
x

 


 

 ,então 
127,3 138
2,37
45
100
teste
x
Z
n


- -
   -
 
 Como o valor crítico de teste – 2,37 é menor que –1,96 conclui-se que ele está dentro da área de 
rejeição da Hipótese inicial Ho. Portanto, a Hipótese inicial deverá ser rejeitada, ou seja, não se pode 
afirmar que a média é 138 unidades/litro, mas podemos afirmar que a média é menor que esse valor, 
portanto, bem menor que as especificações do padrão de qualidade das empresas e dos órgãos públicos 
responsáveis. 
 
Exemplo 9: 
 Uma amostra de 100 lâmpadas compactas fluorescente tem vida média 1570 horas e desvio padrão 
120 horas. Se 

 é a média da população, testar a hipótese: 
 H0: 
0
= 1600 horas 
 H1: 
0 
1600 horas, com nível de significância de a) 5% b) 1%. 
Solução: 
a) O teste é bilateral e tem-se a regra de decisão: 
 i) Aceitar H0 se z estiver no intervalo [-1,96, 1,96]. 
 ii) Rejeitar H0 se z estiver fora do intervalo [-1,96, 1,96]. 
 
 - ZC ZC 
 
 Para 5%,tem-se 
1,96CZ  
 e 
120
1600 12
100
x xe
n
      
, logo 
 
 
1570 1600
2,50
12x
x
z


- -
   -
, esse valor cai fora do intervalo [-1,96, 1,96]. 
 Portanto, rejeitamos H0 ao nível de 5%. 
 
b) Para o nível de 1% ou 0,01 tem-se o intervalo [-2,58; 2,58], isto é, 
2,58CZ  
com o uso da 
distribuição normal padronizada. 
+ 1,96
%5,2 %5,2
- 1,96
+ 1,96
%5,2 %5,2
- 1,96
 H0 
 
H0 
H1 
1H
 
 
160 
 
 Como 
1570 1600
2,50
12x
x
z


- -
   -
 e pertence ao intervalo [-2,58; 2,58], aceita-se H0 ao 
nível de 1%. 
 
Exemplo 10: 
 Um laboratório manipula uma tomada para a cura de uma mancha alérgica na pele e afirma que a 
pomada é eficaz em 90% dos tratamentos durante o uso de uma semana. Para a verificação foi tomada 
uma amostra de 300 pacientes com essa mancha alérgica e a pomada curou 250 pacientes. Determinar se 
a afirmação do laboratório é legítima ao nível de 90%. 
Solução: 
 
 O teste é unilateral à esquerda e tem-se a regra de decisão: 
 i) H0 : 
0,9p 
 a pretensão é correta. 
 ii) H1 : 
0,9p 
 a pretensão é falsa. 
 
 
 
 
 
 
Determinando o ponto 
0z
tal que 
0( ) 90%p z z 
 ou 
0(0 ) 0,4000p z z  
. 
 
Usando a tabela da normal padronizada tem-se 
0 1,29.z  -
 
 
 Do enunciado vê-se que a distribuição usada é a binomial e, portanto: 
 . 300.0,9 270
300 0,9 0,1 5,196
n p
npq
  

    


, logo 
250 270
3,85.
5,196
xz
-
  -
 
 
 Portanto -3,85 é menor que -1,29 e de acordo com a regra de decisão conclui-se que a pretensão 
não é legítima e rejeita-se H0. 
 Para esse problema podemos formular a seguinte pergunta: 
 Entre os 300 pacientes testados, quantos deveriam ser curados para que a pretensão seja legítima 
do laboratório? 
 Devemos ter 
0
270
1, 29 270 (1, 29 5,196) 263, 29 263.
5,196
p
p
x
z x
-
 -    -   
 Portanto, a 
pomada deveria curar no mínimo 263 pacientes entre os 300 tratados. 
 
 
 
 
90%
1, 29-
10%
 
 
161 
 
Exercícios de aplicação 25: 
 
1. Um fornecedor de anéis de pistão para motores a combustão interna, afirma que sua produção é 
entregue conforme o projeto especificado pela montadora de veículos com diâmetro de 85 mm e 
desvio padrão de 0,95 mm. O analista de produção da montadora recebeu a remessa de peças e colheu 
uma amostra de 35 unidades a qual apresentou média de 84,6 mm. Pede-se verificar se as peças estão 
sendo entregues conforme a especificação de projeto testando a afirmação do fabricante ao nível de 
significância de 5%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Uma empresa fabricante de bombas de sucção para poços artesianos, afirma que o tempo médio de 
utilização de seu equipamentoantes da perfuração do diafragma é de 6000 horas. Uma amostra de 20 
equipamentos foi levantada e revelou média de 5500 horas e desvio padrão de 1500 horas antes da 
perfuração. Pede-se testar a afirmação do fabricante desse equipamento ao nível de 5%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
162 
 
 
3. Um fabricante de ração animal afirma que tratando filhotes de suínos nos primeiros 30 dias de vida 
com a ração BXY os mesmos apresentariam ao final desse período um peso médio de 5,1 Kg. Um 
fazendeiro suinocultor afirma que uma amostra de 17 de seus animais que foram alimentados com 
essa ração nos primeiros 30 dias de vida e apresentou média de 4,7 Kg com desvio padrão 0,96 Kg. 
Pede-se testar a afirmação do fabricante ao nível de significância de 5%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. A distribuição de resultados dos dividendos de uma carteira de ativos financeiros foi colhida 
aleatoriamente em 40 pregões apresentou média de R$ 34.950,00 e desvio padrão de R$ 
3.900,00. Os supervisores de negócios realizados verificaram em seus registros que essa carteira 
sempre teve rendimentos médios por volta de R$ 33.250,00. O gerente dessa corretora insiste em 
afirmar que a amostra foi mal colhida e que essa carteira historicamente costuma apresentar média de 
rendimentos muito acima desse valor. Baseado nessa amostra pede-se para que você atue como 
analista e calcule os elementos necessários ao nível de 5% de significância. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
163 
 
5. Um fabricante afirma que sua máquina fabrica peças para utilização em motores a Diesel de aplicação 
agrícola, cujo diâmetro se distribui normalmente com valor 14 mm e desvio padrão 0,15 mm. Uma 
amostra de 30 peças é levantada e apresentou diâmetro médio de 14,05 mm. Pede testar a afirmação 
do fabricante ao nível de significância de 5%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. O responsável de um laboratório de análises clínicas afirma que o tempo médio de crescimento de 
certa bactéria até atingir a quantidade desejada para a fabricação de certa vacina é de 30 minutos e 
desvio padrão de 2 minutos. Se uma amostra de 40 culturas dessa bactéria revelou tempo médio de 
29,5 minutos, pode-se dizer que o processo está dentro dos padrões exigidos pelo laboratório? Pede-
se testar ao nível de 5% a afirmação do laboratório. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
164 
 
7. Um laboratório fabrica um remédio para dores de cabeça e afirma ser eficaz para a cura de 90% dos 
casos e durante um período de uma semana. Em uma amostra de 200 pacientes que possuíam essas dores 
o remédio curou 160 pacientes. Determinar se a informação dada pelo laboratório é legítima ao nível de 
90%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Um jogador para verificar se uma moeda é honesta adotou a seguinte decisão: 
 Ho: se o número de caras em amostra de 100 lances estiver entre 40 e 60 inclusive. 
 H1: caso contrário (fora do intervalo). 
Pergunta-devemos aceitar ou rejeitar H0 ?