apostila-eletricidade

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Eletricidade Ba´sica
Notas de aula da disciplina F´ısica III-ICEN-CUR-UFMT
Prof. Dr. Rosevaldo de Oliveira
16 de Dezembro de 2010
Conteu´do
1 Ferramentas Matema´ticas 1
1.1 Coodenadas Curvil´ıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Teorema da Divergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Integrais de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Lei de Coulomb e o Campo Ele´trico 5
2.1 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Campo Ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Teorema da divergeˆncia e a 1◦ Equac¸a˜o de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Energia Potencial e Potencial Ele´trico 8
3.1 Trabalho realizado sobre uma carga pontual q num campo gerado por uma carga Q 8
3.2 Forc¸a conservativa: Energia Potencial Ele´trica de uma carga pontual . . . . . . . 9
3.3 Potencial Ele´trico de uma carga pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4 Energia potencial de um sistema de part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.5 A 1◦ Equac¸a˜o de Maxwell e o potencial ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.6 Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Meios Diele´tricos e Capacitores 15
4.1 Material Diele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Capacitores Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3 Energia Elestrosta´tica Armazenada em Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.4 Condic¸o˜es de Fronteiras em Diele´trico-Diele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Condutores Meta´licos 20
5.1 Materiais condutores e a lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.2 Corrente e Resisteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.3 Condic¸o˜es de Fronteiras em condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6 Campo Magne´tico e Materiais Magne´ticos 24
6.1 Forc¸a Magne´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.2 Forc¸a de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.3 Forc¸a Magne´tica sobre uma Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.4 Lei de Biot e Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.5 Materiais Magne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.5.1 Classificac¸a˜o dos Materiais Magne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
i
7 Equac¸o˜es de Maxwell 29
7.1 Equac¸o˜es de Maxwell em um Meio Qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.2 As Equac¸o˜es de Maxwell na Forma Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.3 Lei de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.4 Lei de Ampe`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.4.1 Corrente nula e Campo Ele´trico varia´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.4.2 Campo Ele´trico constante ou nulo e Corrente ele´trica na˜o nula . . . . . . 31
7.4.3 Campo Ele´trico varia´vel e Corrente ele´trica na˜o nula . . . . . . . . . . . . 31
8 Ondas Eletromagne´ticas 33
9 Circuitos 34
9.1 Elementos ba´sicos de um circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.2 Circuito de corrente cont´ınua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.3 Transientes em Circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.4 Circuitos de corrente alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.5 Sistemas Polifa´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.6 Harmoˆnicos em circuitos e Se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
ii
Cap´ıtulo 1
Ferramentas Matema´ticas
1.1 Coodenadas Curvil´ıneas
Consideramos um espac¸o vetorial 3-D (tridimensional), e as bases canoˆnicas deste espac¸o sa˜o
os vetores bases ıˆ, ˆkˆ. Portanto um vetor ~r pode ser escrito em termos desta base como
~r = xˆı + yˆ + zkˆ (1.1)
Em um sistema de coordenadas curvil´ınea estas componentes sa˜o func¸o˜es de outras varia´veis
x = x(u1, u2, u3),y = y(u1, u2, u3) e z = z(u1, u2, u3). E desta forma um elemento diferencial do
vetor ~r torna-se
d~r =
∂~r
∂u1
du1 +
∂~r
∂u2
du2 +
∂~r
∂u3
du3 (1.2)
Definamos as novas bases da seguinte forma
∂~r
∂ui∣∣∣ ∂~r∂ui ∣∣∣ ≡ eˆi (1.3)
Os coeficientes de Lame` sa˜o definidos por
hi =
∣∣∣∣ ∂~r∂ui
∣∣∣∣ (1.4)
E usando os resultados acima podemos escrever a equac¸a˜o (1.5) como
d~r = hiduieˆi (1.5)
O elemento de linha diferencial ds2 = d~r · d~r em termos das coordenadas curvil´ıleas e´ dado
por
ds2 = h2i du
2
i = h
2
1du
2
1 + h
2
2du
2
2 + h
2
3du
2
3 (1.6)
O elemento de volume e´ dado por
1
dV = |d~r1 · [d~r2 × d~r3]| (1.7)
dV = |(h1du1eˆ1) · [(h2du2eˆ2)× (h3du3eˆ3)] (1.8)
dV = h1h2h3du1du2du3 (1.9)
dV = Jdu1du2du3 (1.10)
onde o jacobiano da transformac¸a˜o e´ definido por J = h1h2h3.
O gradiente de uma func¸a˜o escalar ϕ em cordenadas curvil´ınea e´ dado por
~∇ϕ =
(
eˆi
hi
∂
∂ui
)
ϕ (1.11)
O divergente de uma func¸a˜o vetorial ~F e´ dado por
~∇ · ~F = 1
h1h2h3
[
∂(h2h3F1)
∂u1
+
∂(h1h3F2)
∂u2
+
∂(h1h2F3)
∂u3
]
(1.12)
O rotacional de um campo vetorial ~F e´ dado por
~∇× ~F =
∣∣∣∣∣∣
ıˆ ˆ kˆ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Fx Fy Fz
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
h1eˆ1 h2eˆ2 h3eˆ3
∂
∂u1
∂
∂u2
∂
∂u3
h1F1 h2F2 h3F3
∣∣∣∣∣∣ (1.13)
O Laplaciano pode ser demonstrado como sendo a seguinte expressa˜o
~∇2ϕ = 1
h1h2h3
[
∂
∂u1
(
h2h3
h1
∂ϕ
∂u1
)
+
∂
∂u2
(
h1h3
h2
∂ϕ
∂u2
)
+
∂
∂u3
(
h1h2
h3
∂ϕ
∂u3
)]
(1.14)
Figura 1.1: Sistema de coordenadas esfe´ricas
Aplicac¸a˜o: Coordenadas esfe´ricas
As coordenadas sa˜o limitadas r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ pi
e 0 ≤ φ ≤ 2pi. Como mostrado na figura ao lado
podemos realizar a seguite decomposic¸a˜o
x = r sin(θ) cos(φ) (1.15)
y = r sin(θ) cos(φ) (1.16)
z = r cos(θ) (1.17)
As coordenadas curvil´ıneas sa˜o definidas
u1 = r u2 = θ u3 = φ (1.18)
Os coeficientes de Lame` sa˜o calculados
h1 = 1 h2 = r h3 = r sin(θ) (1.19)
O elemento de linha e´ portanto dado por
ds2 = dr2 + r2dθ2 + r2 sin2(θ)dφ2 (1.20)
O elemento de volume e´ dado pela seguinte
expressa˜o
dV = r2 sin(θ)dr dθ dφ (1.21)
2
1.2 Campos Vetoriais
1.2.1 Teorema da Divergeˆncia
Fluxo de campos vetoriais
1. O fluxo de um vetor ~v por uma superf´ıcie de a´rea A e´ definido como sendo o produto
escalar entre o vetor ~v e o vetor a´rea ~A = Anˆ, onde o vetor a´rea e´ formado pelo produto
do valor da a´rea pelo vetor unita´rio perpendicular a superf´ıcie. Calcule o fluxo do vetor
~v = 3ˆı + 8ˆ + 6kˆ pela superf´ıcie ~A = 10ˆı, isto e´, esta superf´ıcie esta´ no plano z − y.
Observac¸o˜es: O fluxo de um vetor ~v sobre uma superf´ıcie fechada e´ dado por
Φ =
∮
~v · d~a,
se Φ > 0 dizemos que o vetor esta´ “saindo”da superf´ıcie fechada e se Φ < 0 dizemos que
o vetor esta´ entrando na superf´ıcie. Se o fluxo e´ zero Φ = 0 isto significa que a mesma
quandidade vetorial que “entra sai”.
Teoria O fluxo do vetor ~v(x, y, z) = f1(x, y, z)ˆı + f2(x, y, z)ˆ + f3(x, y, z)kˆ sobre um cubo
unita´rio centrado na origem do sistema cartesiano (x, y, z).
Precisamos calcular a seguinte integral de fluxo
Φ =
∮
~v · d~a (1.22)
Φ =
∮ (
f1(x, y,z)ˆı + f2(x, y, z)ˆ + f3(x, y, z)kˆ
)
·
[
daxykˆ + daxz ˆ + dayz ıˆ
]
Φ =
∮
f3(x, y, z)daxy +
∮
f2(x, y, z)daxz +
∮
f1(x, y, z)dayz
Φ = Φxy +Φxz +Φyz
Onde Φxy e´ o fluxo do vetor ~v(x, y, z) atrave´s das paredes do cubo em z = 0 e z = 1 e e´
dada por
Φxy =
∮
f3(x, y, z)daxy (1.23)
Φxy =
∫ 1
0
∫ 1
0
[f3(x, y, z = 1)− f3(x, y, z = 0)]dxdy (1.24)
o mesmo acontece para os fluxos atrave´s das outras paredes
Φxz =
∫ 1
0
∫ 1
0
[f2(x, y, z = 1)− f2(x, y, z = 0)]dxdz (1.25)
Φyz =
∫ 1
0
∫ 1
0
[f1(x, y, z = 1)− f1(x, y, z = 0)]dydz (1.26)
2. Calcule o fluxo do vetor ~v(x, y, z) = xˆı+yˆ+zkˆ sobre um cubo unita´rio centrado na origem
do sistema cartesiano (x, y, z).
3. Calcule o fluxo do vetor ~v(x, y, z) = x2yz ıˆ+y2xzˆ+z2xykˆ sobre um cubo unita´rio centrado
na origem do sistema cartesiano (x, y, z).
3
Teorema da divergeˆncia
Pelo teorema da divergeˆncia sabemos que o fluxo de um vetor ~v(x, y, z) = f1(x, y, z)ˆı +
f2(x, y, z)ˆ+f3(x, y, z)kˆ sobre uma superf´ıcie fechada tambe´m pode ser calculado por uma
integral de volume dada por
Φ =
∫ ∫ ∫
~∇ · ~v(x, y, z)dxdydz (1.27)
onde
~∇ · ~v(x, y, z) = ∂f1(x, y, z)
∂x
+
∂f2(x, y, z)
∂y
+
∂f3(x, y, z)
∂z
.
4. Calcule os fluxos usando a integral de volume dos problemas 2 e 3.
1.2.2 Integrais de Linha
O trabalho ou a energia para movimentar uma part´ıcula de um ponto inicial Pi ate´ o ponto
final Pf seguindo uma curva C sob a ac¸a˜o de uma forc¸a ~F e´ dado por
W = lim
N→∞
N∑
k=1
~F · ~∆l =
∫ Pf
Pi
~F · ~dl (1.28)
Quando a curva e´ fechada, ela comec¸a e termina no mesmo ponto, e o trabalho e´ nulo (zero).
Denotamos o campo com esta caracter´ıstica como sendo um campo conservativo∮
C
~F · ~dl = 0 (1.29)
1.2.3 Teorema de Stokes
4
Cap´ıtulo 2
Lei de Coulomb e o Campo Ele´trico
2.1 Lei de Coulomb
Documentos de cerca de 600 a.c. mostram evideˆncias que os gregos ja´ conheciam a eletrici-
dade esta´tica. O termo eletricidade foi criado pelos gregos, no latin “electrum” significa “aˆmbar
amarelo”. Provavelmente os gregos gastaram muitas horas de lazer esfregando pequenos pedac¸os
de aˆmbar em suas roupas e observando como ele atra´ıa penugem. O principal interesse dos gre-
gos na˜o era a f´ısica experimental, portanto na˜o deram continuidade nos avanc¸os em eletricidade.
Somente no se´culo XVII um coronel da a´rea de engenharia do exe´rcito franceˆs, coronel Charles
Coulomb, elaborou uma se´rie de experimentos usando balanc¸a de torc¸a˜o sens´ıvel, inventada por
ele mesmo, para determinar a forc¸a ele´trica de forma quantitativa. E seus resultados podem ser
sintetizados na expressa˜o abaixo
F = k
Qq
r2
(2.1)
onde a constante ele´trica k = 14pi� , no va´cuo � = �0 = 8, 854 × 10−12 Fm conhecida como a
permissividade do va´cuo, e portanto no va´cuo a constante ele´trica torna-se k ' 9× 109Nm2
C2
. As
cargas podem assumir valores positivos e negativos, as cargas de mesmo sinal se repelem e as
de sinal contra´rio se atraem.
2.2 Campo Ele´trico
Dada uma regia˜o do espac¸o, podemos associar a cada ponto uma grandeza escalar ou vetorial.
Se associarmos a cada ponto do espac¸o uma grandeza escalar, enta˜o acabamos de definir um
campo escalar. Exemplos de campos escalares sa˜o campos de temperatura, de pressa˜o, de
densidade. Quando associamos a cada ponto do espac¸o uma grandeza vetorial, temos enta˜o um
campo vetorial. Exemplos de campos vetoriais sa˜o campos de forc¸a, campos de velocidade e
campos de acelerac¸a˜o.
O campo ele´trico e´ definido como
~E = k
Q
r2
eˆr (2.2)
este e´ o campo ele´trico causado por uma carga fonte Q.
Se inserirmos uma carga de prova q numa distaˆncia r da carga fonte, isto e´, estamos colocando
uma carga de prova q no campo ele´trico criado pela carga Q, o valor da forc¸a ele´trica sera´ dado
pela seguinte expressa˜o
~F = q ~E (2.3)
5
2.3 Teorema da divergeˆncia e a 1◦ Equac¸a˜o de Maxwell
A primeira equac¸a˜o de Maxwell e´ dada por
~∇ · ~D = ρ (2.4)
onde ~D e´ a induc¸a˜o ele´trica e ρ a densidade de carga.
A relac¸a˜o entre a induc¸a˜o ele´trica e o campo ele´trico e´ dada por
~D = �0 ~E + ~P (2.5)
onde ~P e´ a polarizac¸a˜o do meio e �0 e´ a permissividade do va´cuo.
Para meios lineares podemos relacionar a polarizac¸a˜o com o campo ele´trico
~P = χe�0 ~E (2.6)
onde χe e´ a grandeza adimensional chamada susceptibilidade ele´trica do material.
No va´cuo χe = 0 portanto ~D = �0 ~E e a primeira equac¸a˜o de Maxwell e´ dada por
~∇ · ~E = ρ
�0
(2.7)
Pelo teorema da divergeˆncia o fluxo do vetor ~D pode ser escrito tanto como uma integral de
superf´ıcie quanto em termos de uma integral de volume
Φ =
∮
S
~D · d~a =
∫
V
(~∇ · ~D) dV (2.8)
Superf´ıcies esfericamente sime´trica
Tomamos uma superf´ıcie esfericamente sime´trica em relac¸a˜o a uma distribuic¸a˜o de carga
centrada na origem de um sistema de refereˆncia, o fluxo do campo ele´trico sobre esta superf´ıcie
e´ dado por
Φ =
∮
S
~E · d~a =
∫
V
(~∇ · ~E) dV (2.9)
por suposic¸a˜o ~E esta´ orientado na mesma direc¸a˜o de d~a com no mesmo sentido, enta˜o o produto
escalar da´ |E||da| como |E| e´ constante sobre a superf´ıcie, enta˜o a integral de superf´ıcie nos
fornece
∮
S
~E · d~a = |g|4pir2 igualando com o outro lado obtemos
Φ = |E|4pir2 =
∫
V
(
ρ(r)
�0
) dV (2.10)
|E|4pir2 = Q
�0
(2.11)
onde Q =
∫
V ρ(r)) dV e´ a carga ele´trica contida no volume interno a` superf´ıcie. Portanto o
campo ele´trico
|E| = Q
4pi�0r2
E a forc¸a ele´trica sobre um corpo de carga q nesta superf´ıcie S e´ encontrada por
|F | = q|E|.
6
Aplicac¸o˜es
1. Calcule a forc¸a ele´trica sobre um corpo de carga q fora da distribuic¸a˜o de carga, isto e´,
com r > R onde R e´ o raio de uma distribuic¸a˜o esfe´rica de carga de carga Q. A densidade
de carga e´ constante ρ(r) = QV , onde V e´ o volume da esfera carregada.
2. Calcule a forc¸a ele´trica sobre um corpo de carga q dentro da distribuic¸a˜o de carga, isto e´,
com r < R onde R e´ o raio de uma distribuic¸a˜o esfe´rica de carga de carga Q. A densidade
de carga e´ constante ρ(r) = QV , onde V e´ o volume da esfera carregada.
7
Cap´ıtulo 3
Energia Potencial e Potencial
Ele´trico
3.1 Trabalho realizado sobre uma carga pontual q num campo
gerado por uma carga Q
O campo ele´trico devido uma carga pontual e´ dado por
~E =
Q
4pi�0
eˆr
r2
(3.1)
como mostra a Figura-1.
Uma carga q colocada em um ponto r neste campo sofrera´ uma forc¸a dada por
~F = q ~E(r) (3.2)
O trabalho realizado para deslocar esta carga q de r1 ate´ r2 e´ dado por
W12 =
∫ P2
P1
~F · d~s (3.3)
se tertarmos deslocar a carga na direc¸a˜o do campo, nosso dispeˆndio de energia torna-se negativo.
E lembrando que a integral acima e´ uma integral de linha.
1. Dado o campo na˜o uniforme ~E = yˆı + xˆ + 2k determinemos o trabalho para levar 2C de
B(1,0,1) ate´ A(0.8,0.6,1) ao longo do arco mais curto do c´ırculo x2 + y2 = 1.
Soluc¸a˜o:
W12 =
∫ P2
P1
~F · d~s (3.4)
=
∫ A
B
[2(yˆı + xˆ + 2k)] · [dxˆı + dyˆ + dzkˆ]
= 2
∫ 0.8
1
ydx+ 2
∫ 0.6
0
ydy + 4
∫ 1
1
dz
= 2
∫ 0.8
1
√
1− x2 dx+ 2
∫ 0.6
0
√
1− y2dy
= 0.96J
8
Podemos resolver integrais de linha por interme´dio de parametrizac¸o˜es
W12 =
∫ P2
P1
~F · d~s (3.5)
=
∫ P2
P1
[
~F · d~s
dt
]
dt (3.6)
(3.7)
Alguns exemplos de parametrizac¸a˜o sa˜o
x = t y =
√
1− t2 (3.8)
x = cos(t) y = sin(t) (3.9)
3.2 Forc¸a conservativa: Energia Potencial Ele´trica de uma carga
pontual
Para o caso da forc¸a ele´trica gerado por uma part´ıcula pontual sabemos que e´ conservativa
~∇× ~F = 0 (3.10)
e assim podemos escrever ~F como
~F = −~∇U (3.11)
onde U = U(x, y, z) e´ a energia potencial ele´trica.
Sabemos que estetipo de forc¸a representa um campo conservativo, enta˜o e´ va´lido o seguinte
teorema
∫ P2
P1
~F · d~s = − [U(P2)− U(P1)] (3.12)
neste caso estamos considerando que o deslocamento esta´ no mesmo sentido da forc¸a.
Para determinar U usaremos o caso de uma part´ıcula pontual q, se afastando da carga
geradora do campo Q. Com r2 > r1
W12 =
∫ P2
P1
~F · d~s (3.13)
W12 =
∫ P2
P1
[q ~E(r)eˆr] · [dr eˆr]
W12 =
∫ r2
r1
q
Q
4pi�0 r2
dr
W12 = − qQ
4pi�0 r
∣∣∣∣r2
r1
W12 = U1 − U2 = −∆U (3.14)
Portanto a energia potencial de uma part´ıcula pontual e´ definida como
U(r) =
qQ
4pi�0 r
(3.15)
9
Se ao inve´s de afastarmos a carga de prova q da carga fonte Q, aproximarmos da carga de
prova, isto e´ r2 < r1, obteremos o seguinte resultado
W12 =
∫ P2
P1
~F · d~s (3.16)
W12 =
∫ P2
P1
[q ~E(r)eˆr] · [−dr eˆr]
W12 = −
∫ r2
r1
q
Q
4pi�0 r2
dr
W12 =
qQ
4pi�0 r
∣∣∣∣r2
r1
(3.17)
W12 = U2 − U1 (3.18)
e assim identificamos a energia potencial ele´tron U(r) ≡ qQ4pi�0 r E assim temos que o trabalho e´
igual a
W12 = U2 − U1 = ∆U (3.19)
S´ıntese: Note que quando estamos afastando da carga fonte o trabalho e´ W12 = U1 −U2 =
−∆U e quando estamos se aproximando da carga fonte trabalho e´ W12 = U2 − U1 = ∆U .
3.3 Potencial Ele´trico de uma carga pontual
O potencial ele´trico de uma carga q inserida num campo gerado por uma carga Q e´ definido
como a energia ele´trica por unidade de carga
V (r) ≡ U(r)
q
(3.20)
V (r) =
Q
4pi�0 r
ou V (r) =
kQ
r
(3.21)
E podemos facilmente verificar que o trabalho para afastar uma carga q de uma carga fonte
Q e´ dado por
W12 = U1 − U2 = q(V1 − V2) = −q∆V (3.22)
E o trabalho para aproximar uma carga q de uma carga fonte Q e´
W12 = U2 − U1 = q(V2 − V1) = q∆V (3.23)
Exemplo: Cosideraremos dois casos distintos, o primeiro caso o produto das cargas e´ positivo
qQ > 0 e no segundo caso o produto das cargas e´ negativos qQ < 0.
• Analisaremos primeiramente o caso qQ > 0, e definamos a carga de teste seja q = 2C
enquanto que a carga fonte possua Q = 5 C, a distaˆncia inicial entre as cargas e´ de
r1 = km e a distaˆncia final sendo de r2 = 2km. Portanto o trabalho realizado de deslocar
a carga q da posic¸a˜o r1 para r2 e´
10
W12 = q(V1 − V2) = 2
(
k5
k
− k5
2k
)
(3.24)
W12 = 10J − 5J (3.25)
W12 = 5J (3.26)
Importante: Portanto quando estamos lidando cam cargas de mesmo sinal, quando elas
esta˜o pro´ximas a energia potencial e´ maior do que quando elas esta˜o mais afastadas.
• No caso quando o produto das cargas e´ negativo qQ < 0, isto e´, quando as cargas possuem
sinais diferentes a situac¸a˜o e´ diferente. Consideremos que as cargas sejam Q = +5C e
q = −2C, e deslocaremos afastando a carga teste q da carga fonte. Indo de r1 = k para
r2 = 2k. Assim teremos
W12 = q(V1 − V2) = −2
(
k5
k
− k5
2k
)
(3.27)
W12 = −10J + 5J (3.28)
W12 = −5J (3.29)
Importante: Quando as cargas esta˜o pro´ximas a energia potencial e´ mais negativa U(r1 =
k) = −10J e quando as cargas esta˜o mais afastadas a energia potencial e´ menos negativa
U(r2 = 2k) = −5J
3.4 Energia potencial de um sistema de part´ıculas
3.5 A 1◦ Equac¸a˜o de Maxwell e o potencial ele´trico
Como ja´ vimos a 1◦ Equac¸a˜o de Maxwell e´ dada por
~∇ ~E = ρ
�0
(3.30)
E sabemos que
~F = −~∇U (3.31)
q ~E = −~∇U (3.32)
~E = −~∇(U
q
) (3.33)
~E = −~∇V (3.34)
Substituindo (3.34) na (3.30) obtemos
~∇ · (−~∇V ) = ρ
�0
(3.35)
∇2V = − ρ
�0
(3.36)
onde ∇2 e´ o operador Laplaciano, que em coordenadas cartesianas e´ definido por
∇2 = ∂
2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
(3.37)
11
3.6 Lista de Exerc´ıcios
1. Calcule o trabalho realizado ao deslocar uma carga de 4 C de B(1,0,0) ate´ A(0,2,0) ao
longo do caminho y = 2− x , z = 0 no campo
(a) ~E = 5ˆı V/m
(b) ~E = 5xˆı V/m
(c) ~E = 5xˆı + 5yˆ V/m
R: 20J, 10J, -30J
2. Determine o trabalho realizado pelo campo ele´trico ~E = 6xyˆı + 3x2 ˆ V/m para deslocar
uma carga de 2 C de A(0,0) ate´ B(1,1) sobre a curva y = x2. Verifique se a forc¸a e´
conservativa.
3. Prove que o trabalho e´ igual a variac¸a˜o da energia cine´tica
W12 =
mvf
2
2
− mvi
2
2
(3.38)
4. Usando o resultado do exerc´ıcio anterior, encontre a velocidade final de uma carga q =
−2µC saindo da posic¸a˜o r1 = 4×10−8m com velocidade inicial vi = 0 e indo para a posic¸a˜o
r2 = 2× 10−8m. O valor da carga geradora do campo e´ Q = +3µC. Veja a Figura-1. A
velocidade e´ maior que a velocidade da luz?
5. Encontre a velocidade final do exerc´ıcio anterior usando a energia cine´tica relativ´ıstica
K = mc2
 1√
1− v2
c2
− 1
 (3.39)
6. A Figura-2 mostra um sistema de cargas, onde sa˜o dados: Q1 = 4µC, Q2 = 8µC e
Q3 = −2µC
(a) Determine a energia potencial ele´trica do sistema de carga mostrado na Figura-2
(b) Determine o potencial ele´trico do sistema de carga mostrado na Figura-2 no ponto
P.
7. Junto ao solo, a ce´u aberto, o campo ele´trico da terra e´ E = 150N/C, dirigido para
baixo. Uma esfera tendo massa m = 5g possui carga q = 4µC. Despreze os efeitos do ar.
Determine a acelerac¸a˜o da queda da esfera.
8. Calcule o potencial e o campo ele´trico num ponto P acima do plano de um anel isolante
uniformemente carregado.
9. Calcule o potencial o campo ele´trico num ponto P acima do plano de um disco circular
isolante uniformemente carregado.
10. Calcule o potencial o campo ele´trico devido uma casca esfe´rica uniformemente carregada.
11. Qual o significado f´ısico das superf´ıcies equipotenciais?
12. Qual o significado f´ısico do gradiente do potencial?
12
13. Demostre que o potencial ele´trico e o campo ele´trico de um dipolo ele´trico para grandes
distaˆncias sa˜o dados por
V =
ql cos θ
4pi�0r2
(3.40)
~E =
ql
4pi�0r3
(2 cos θ eˆr + sin θ eˆθ)
14. Um dipolo ele´trico localizado na origem no espac¸o livre possui um momento de dipolo
~p = 3ˆı− 2ˆ + k nC.m.
(a) Determine V em A(2,3,4)
(b) Determine V em r = 2.5, θ = 30◦ e φ = 40◦.
R: 0.230V e 1.973V
13
Figura-1
Figura-2
14
Cap´ıtulo 4
Meios Diele´tricos e Capacitores
4.1 Material Diele´trico
Em um meio diele´trico linear homogeˆneo e isotro´pico
~P = �0χ~E (4.1)
onde χ e´ a susceptibilidade diele´trica do meio.
Inserindo a equac¸a˜o (4.1) na equac¸a˜o (7.1), obteremos o seguinte resultado
~D = �0 ~E + �0χ~E = �0 (1 + χ)︸ ︷︷ ︸
κ
~E (4.2)
~D = �0κ~E (4.3)
onde κ e´ a constante diele´trica do meio. Ainda podemos definir a permitividade do material
como sendo
� = �0κ (4.4)
Agora podemos expressar a induc¸a˜o ele´trica em termos do campo ele´trico em um meio linear,
homogeˆneo e isotro´pico como
~D = � ~E (4.5)
As propriedades de linearidade, homogeneidade e isotropicidade de um material, podem ser
alteradas sob certas condic¸o˜es tais como a variac¸a˜o da temperatura, pressa˜o, radiac¸a˜o bem como
a variac¸a˜o do campo ele´trico externo.
Em um material diele´trico:
• Se a permitividade � na˜o depende do campo, o material e´ linear .
• Se a permitividade � na˜o depende das coordenadas, o material e´ homogeˆneo.
• E se a permitividade � na˜o depende da direc¸a˜o, o material e´ isotro´pico.
15
Para materiais anisotro´picos, cada componente cartesiana retangular do vetor D e´ uma
combinac¸a˜o linear das treˆs componentes de E, neste caso temos que
 DxDy
Dz
 =
 �11 �12 �13�21 �22 �23
�31 �32 �33
 ExEy
Ez
 (4.6)
Exemplo: Para um dado material anisotro´pico temos que
 DxDy
Dz
 =
 4�0 �0 �0�0 4�0 �0
�0 �0 4�0
 ExEy
Ez
 (4.7)
Calcule a induc¸a˜o ele´trica para o campo ele´trico
~E = 10ˆı + 10ˆ (
V
m
) (4.8)
Obtemos que a induc¸a˜o e´ dada por
~D = 50�0ˆı + 50�0 ˆ + 20�0kˆ (4.9)
4.2 Capacitores Planos
Figura 4.1: Capacitorplano preen-
chido com um material diele´trico
A figura abaixo mostra um capacitor preenchido por um ma-
terial diele´trico.
Aplicando a lei de Gauss entre uma das placas∮
~D · d~s = Q (4.10)
obtemos que a induc¸a˜o ele´trica e´ dada por
~D =
Q
A
(4.11)
onde A e´ a a´rea das placas separadas por uma distaˆncia d.
Fazendo uso da equac¸a˜o (4.5),podemos determinar o valor do
campo ele´trico entre as placas enta˜o e´ dado por
~E =
Q
�0κA
(4.12)
A diferenc¸a de potencial entre as placas e´ dada por
V = V+ − V− =
∫ −
+
~E · d~l
V = E d (4.13)
Substituindo (4.12) em (4.13) obtemos o potencial entre as placas
16
V =
Qd
�0κA
(4.14)
Agora que possu´ımos o valor do potencial entre as placas do capacitor podemos calcular a
capacitaˆncia, isto e´
C =
Q
V
(4.15)
C = κ
(
�0A
d
)
(4.16)
Abaixo a tabela mostra alguns valores da costante diele´trica
Exemplo: Um capacitor de placas paralelas com a´rea de A = 0, 01m2 e separado por uma
distaˆncia de d = 0, 005m preenchido com porcelana. A permitividade do va´cuo e´ por �0 =
8, 854× 10−12F/m.
Sua capacitaˆncia e´ dada por
C = κ
(
�0A
d
)
C = 6, 5×
(
8, 854× 10−12 × 0, 01
0, 005
)
C = 1, 15102× 10−10F (4.17)
Sob uma diferenc¸a de potencial de 200 Volts, a carga armazenada e´ dada por
Q = C V
Q = 1, 15102× 10−10 × 200 (4.18)
Q = 2, 30204C (4.19)
4.3 Energia Elestrosta´tica Armazenada em Capacitores
A energia necessa´ria para deslocar um elemento de carga dq do infinito ate´ as placas e´ dada
por
17
dU = V dq =
q
C
dq (4.20)
A energia total armazenada no capacitor com carga final Q e´ dada por
U =
∫ Q
0
du (4.21)
U =
Q2
2C
(4.22)
Exemplo: Um capacitor de 150µF e´ usado em uma caˆmara fotogra´fica para armazenar energia.
Suponha que o capacitor foi carregado a 200 V. Qual e´ o valor da energia armazenada neste
capacitor ?
U =
1
2
CV 2 =
1
2
(150× 10−6F )(200)2 = 3J (4.23)
Esta energia e´ usada para acender a laˆmpada do flash em 1/1000 de segundos, a poteˆncia e´
enta˜o de 3000 Watts.
Exemplo: No caso de um capacitor plano a energia eletrosta´tica armazenada e´ dada por
U =
1
2
�0
(
V
d
)2
(Ad) (4.24)
E a densidade pode ser escrita como
u =
1
2
�0E
2 (4.25)
esta e´ a densidade de energia armazenada no campo ele´trico.
18
4.4 Condic¸o˜es de Fronteiras em Diele´trico-Diele´trico
As induc¸a˜o ele´trica na fronteita entre dois materiais diele´tricos sa˜o representadas na figura
abaixo.
Observe que as induc¸o˜es possui duas componentes, uma normal da superf´ıcie de fronteira
DN e outra tangencial Dt. As condic¸o˜es de fronteiras sa˜o as seguintes
Dt1
Dt2
=
κ1
κ2
(4.26)
DN1 = DN2 (4.27)
κ e´ a constante diele´trica dos meios.
Exerc´ıcios
1. Demonstre que a capacitaˆncia de um capacitor de placas paralelas planas no va´cuo e´ dado
por
C0 =
�0A
d
(4.28)
2. Demostre que a capacitaˆncia de um capacitor de placas paralelas planas em um meio
qualquer e´ encontrada pela simples multiplicac¸a˜o da capacitaˆncia no va´cuo pela constante
diele´trica.
3. Demostre que capacitaˆncia de um capacitor esfe´rico meta´lico e´ dado por
C =
4pi�0R1R2
R2 −R1 (4.29)
4. A superf´ıcie da terra e a ionosfera pode ser aproximada por um capacitor de placas paralelas
com cargas de 1000000C separadas por uma distaˆncia de 10 km, numa difernc¸a de potencial
de 300000 V. Calcule a capacitaˆncia e o campo ele´trico. Qual a a´rea A da base da nuvem?
A constante diele´trica do ar e´ κ = 1, 00059.
5. Demostre que a energia armazenada no capacitor e´ dada por
U
volume
=
1
2
�0E
2 (4.30)
6. Explique porque a diferenc¸a de potencial cai quando colocamos um diele´trico entre as
placas de um capacitor.
19
Cap´ıtulo 5
Condutores Meta´licos
5.1 Materiais condutores e a lei de Ohm
A figura abaixo mostra a estrutura de bandas de energia em treˆs diferentes materiais
observe que apenas o material condutor na˜o possui banda proibida.
Para uma grande variedade de materiais isotro´picos, l´ıquidos e so´lidos (na˜o gases) e´ valido
a lei de Ohm
5.2 Corrente e Resisteˆncia
A corrente ele´trica e´ o movimento de cargas positivas
E e´ definida por
I = lim
∆t→0
∆Q
∆t
≡ dQ
dt
(5.1)
ou, tambe´m atrave´s do vetor densidade de corrente ~J
I =
∫
S
~J · d~s (5.2)
20
e, em geral
~J = ρ~v (5.3)
onde ρ e´ a densidade de carga e ~v a velocidade das cargas.
Devido a conservac¸a˜o da carga temos que
~∇ ~J + ∂ρ
∂t
= 0 (5.4)
que e´ a equac¸a˜o da continuidade.
Considere um fio de comprimento L, e a´rea A, conforme mostrado na figura abaixo.
~J = σ ~E (5.5)
Inicialmente vamos supor que ~J e ~E sa˜o uniformes, enta˜o
I =
∫
S
~J · d~s = JA (5.6)
e a diferenc¸a de potencial sera´ dada por
Vab =
∫ b
a
~E · d~l = EL (5.7)
assim
J =
I
A
= σE = σ
V
L
(5.8)
ou
V =
LI
σA
(5.9)
E definimos a resisteˆncia da seguinte maneira V = RI, enta˜o a resisteˆncia de um conduto
com estas caracter´ısticas e´ dado por
R =
L
σA
(5.10)
21
5.3 Condic¸o˜es de Fronteiras em condutores
A intensidade do campo ele´trico dentro do condutor e´ zero, caso contra´rio ter´ıamos uma
corrente e consequentemente uma resisteˆncia e dissipac¸a˜o numa condic¸a˜o estaciona´ria. A figura
abaixo mostra a induc¸a˜o ele´trica num ponto sobre a superf´ıcie do condutor.
As condic¸o˜es de fronteiras desejadas para a fronteira de um condutor com o espac¸o livre sa˜o
Dt = Et = 0 (5.11)
DN = �0EN = ρs (5.12)
onde ρs e´ a densidade superficial de carga sobre a superf´ıcie do condutor.
Exerc´ıcios
1. Dada a densidade de corrente ~J = −104 sin(2x e−2y )ˆı+104 cos(2x e−2y )ˆ kA/m2. Determine
a corrente total que atravessa o plano y=1 na direc¸a˜o ˆ na regia˜o 0 < x < 1, 0 < z < 2.
2. Seja ~J = 25r eˆr − 20r2+0.01 kˆ A/m2.
(a) Determine a corrente total que atravessa o plano z = 0.2 na direc¸a˜o kˆ para r < 0.4.
(b) Calcule ∂ρ∂t .
(c) Determine a corrente total que deixa a superf´ıcie fechada definida por r = 0.01,
r = 0.4, z = 0 e z = 0.2.
(d) Mostre que o teorema da divergeˆncia e´ satisfeito para ~J e a superf´ıcie escolhida.
3. Uma densidade de corrente que atravessa um condutor retangulat e´ dada por ~J = 100xˆı
na regia˜o 0 ≤ y ≤ 2 m e 0 ≥ z ≥ 2 m; para 0 > y > 2 m e 0 > z > 2 m a densidade de
corrente e´ nula ~J = 0.
(a) Determine a corrente total que atravessa a superf´ıcie x = 0 m na direc¸a˜o ıˆ.
(b) Se a velocidade final da carga e´ 300 m/s em x=0 m determine a densidade de carga
ρ neste ponto.
4. Uma densidade de corrente e´ dada em coordenadas cil´ındricas como ~J = 200z2kˆ na regia˜o
0 ≤ r ≤ 20 µm; para r ≥ 0 µm ~J = 0.
(a) Determine a corrente total que atravessa a superf´ıcie z = 0.1 m na direc¸a˜o kˆ.
(b) Se a velocidade final da carga e´ 2 × 104 m/s em z=0.1 m determine a densidade de
carga ρ neste ponto.
5. Dado o potencial V = 100(x2−y2). Um ponto P (2,−1, 3) situado na fronteira do condutor-
espac¸o livre. Determine V, ~E, e ~D e a densidade superficial de carga ρs e a equac¸a˜o da
superf´ıcie do condutor.
22
6. Dado o potencial V = 100xy
x2+4
volts no espac¸o livre, e um um ponto P (2, 3, 0) pertencente a
superf´ıcie do condutor. Determine
(a) Determine a equac¸a˜o da superf´ıcie do condutor
(b) Determine o campo ele´trico ~E
(c) Determine a induc¸a˜o ele´trica ~D
(d) Determine a densidade superficial de carga ρs
7. Dado o potencial V = 30x2y2 volts no espac¸o livre, e um um ponto P (1, 2, 3) pertencente
a superf´ıcie do condutor. Determine
(a) Determine a equac¸a˜o da superf´ıcie do condutor
(b) Determine o campo ele´trico ~E
(c) Determine a induc¸a˜o ele´trica ~D
(d) Determine a densidade superficial de carga ρs
8. Vamos considerar o campo ~E = 3y2z3ˆı + 6xyz3 ˆ+ 9xy2z2kˆ V/m no espac¸o livre e tambe´m
que o ponto P (2, 1, 0) pertence a uma superf´ıcie condutora. Determine a densidade de
carga da superf´ıcie e mostre que o potencial e´ V = −3xy2z3 V.
9. Em um condutor onde e´ va´lido a lei de Ohm e possui uma corrente dada por I =
200 sin(30t) A, e com resisteˆncia R = 20 Ω.
(a) Calcule a poteˆncia no tempo de 20 segundos.
(b) Qual o valor da energia dissipada num intervado de 0 s a` 10 s.
10. Uma lamina de um material diele´trico tem uma constante diele´trica de κ = 3, 8 e o vetor
induc¸a˜o ele´trica e´ ~D = 8nC
m2
. Determine ~E e ~P .
11. Cocamos uma lamina de Teflon na regia˜o 0µm ≤ x ≤ 2µm e consideramos o espac¸o livre
onde x < 0µ m e x > 2µm. Fora do Teflon, ha´ um campo uniforme ~Eext = 230ˆı
V
m . Calcule
~D, ~E, ~P em qualquer ponto.
23
Cap´ıtulo 6
Campo Magne´tico e Materiais
Magne´ticos
6.1 Forc¸a Magne´tica
Uma part´ıcula de carga q se movimentando num campo de induc¸a˜o magne´tica ~B numa
velocidade ~v sofre uma forc¸a magne´tica que e´ dada por
~F = q~v × ~B (6.1)
onde × e´ um produto vetorial, a unidade de medida de ~B e´ o Tesla (T), que e´ 1T = NsCm .
O campo magne´tico da Terra e´ 6×10−5T , ja´ no laborato´rio podemos atingir algumas centenas
de Teslas ' 102.
Exemplo: Considere uma carga q = 1C se movimentando com velocidade ~v = 2ˆı + ˆ + 5kˆ num
campo de induc¸a˜o magne´tica ~B4ˆı + 8ˆ + 3kˆ. Calcule a forc¸a magne´tica sofrida pela part´ıcula.
~F = 2
∣∣∣∣∣∣
ıˆ ˆ kˆ
2 3 5
4 8 3
∣∣∣∣∣∣ = 2(9− 40)ˆı− 2(6− 20)ˆ + 2(16− 12)kˆ (6.2)
~F = −62ˆı + 28ˆ + 8kˆ (6.3)
6.2 Forc¸a de Lorentz
No caso onde ale´m de um campo magne´tico ~B esta´ presente tambe´m um campo ele´trico ~E
a forc¸a resultante sobre a part´ıcula carregada sera´ dada por
~F = q( ~E + ~v × ~B) (6.4)
6.3 Forc¸a Magne´tica sobre uma Corrente
6.4 Lei de Biot e Savart
A lei de Biot e Savart e´ expressa
24
~dB =
µ0
4pi
i~dl × eˆr
r2
(6.5)
6.5 Materiais Magne´ticos
As propriedades de certos materiais - o ferro, o n´ıquel, o cobalto e algumas de suas ligas e
compostos - de adquirir um alto e permanente momento magne´tico, e´ de grande importaˆncia
para aplicac¸o˜es tecnolo´gicas. As aplicac¸o˜es de materiais magne´ticos sa˜o muitas e fazem uso de
quase todos os aspectos do comportamento magne´tico.
Considerando um meio magne´tico linear, homogeˆneo e isotro´pico a magnetizac¸a˜o e´ escrito
como
~M = χm ~H (6.6)
Substituindo a expressa˜o (6.6) na (7.1) obtemos o seguinte resultado
~B = µ0( ~H + χm ~H) = µ0(1 + χm)︸ ︷︷ ︸
µ
(6.7)
(6.8)
onde µ e´ a permeabilidade magne´tica. E a induc¸a˜o toma a seguinte forma
~B = µ ~H (6.9)
fornece a relac¸a˜o entre a induc¸a˜o magne´tica ~B (unidade: Tesla) e o campo magne´tico ~H (unidade:
A/m). Para o va´cuo a permeabilidade magne´tica µ = µ0 e´ uma constante com o valor de 4×10−7;
para o ar, µ e´ um pouco maior que µ0 podendo ser admitida igual a µ0 nas aplicac¸o˜es pra´ticas.
6.5.1 Classificac¸a˜o dos Materiais Magne´ticos
Os materiais magne´ticos podem ser agrupados em treˆs categorias; os diamagne´ticos (χm < 0),
os paramagne´ticos (χm > 0) e os ferromagne´ticos (χm >> 0 ).
• Diamagnetismo (χm < 0): Quando um material, tal como o bismuto, e´ colocado na pre-
senc¸a de um campo magne´tico externo, a resultante da densidade do fluxo magne´tico
dentro do material e´ reduzida drasticamente. Os momentos magne´ticos no interior do ma-
terial sa˜o alinhados contra o campo externo. Neste sentido os materiais diamagne´ticos sa˜o
caracterizados, tambe´m, pelo fato de que os a´tomos na˜o produzem um momento magne´tico
permanente. Ou, mais exatamente, os efeitos das micro-correntes no interior de um dos
a´tomos se anulam, tal que o momento magne´tico resultante no a´tomo e´ zero. Nessas cir-
cunstaˆncias, quando aplicamos um campo magne´tico, pequenas correntes sa˜o produzidas
no interior do a´tomo por induc¸a˜o magne´tica. De acordo com a lei de Lenz, essas correntes
sa˜o tais que se opo˜em ao crescimento do campo externo. Enta˜o os momentos magne´ticos
induzidos nos a´tomos sera˜o na direc¸a˜o oposta ao campo magne´tico aplicado.
• Paramagnetismo (χm > 0): Quando um material, tal como a platina, e´ colocada na pre-
senc¸a de um campo magne´tico externo, os momentos magne´ticos do material sa˜o alinhados
com o campo externo, e o fluxo de campo dentro do material e´ aumentado. As linhas de
campo magne´tico externo penetram no material se alinhando com a mesma direc¸a˜o do
25
campo. Em termos dos paraˆmetros magne´ticos, os materiais paramagne´ticos sa˜o carac-
terizados pela magnetizac¸a˜o M na mesma direc¸a˜o de B. Os materiais paramagne´ticos sa˜o
caracterizados, tambe´m, por a´tomos que teˆm um momento magne´tico permanente. Os mo-
vimentos orbitais dos ele´trons e os spins produzem correntes circulares que sa˜o diferentes
de zero. O paramagnetismo e´ completamente inexplicado em termos do eletromagnetismo
cla´ssico. Se o a magnetizac¸a˜o dos materiais fossem atribu´ıdas somente aos ele´trons orbi-
tando nos a´tomos, a partir da lei de Lenz poder´ıamos esperar que todos os materiais se
comportariam como os diamagne´ticos na presenc¸a de campo externo. A origem do pa-
ramagnetismo e´ o momento magne´tico constante associado com o spin eletroˆnico. Como
na˜o existe um conceito cla´ssico equivalente ao spin (quaˆntico) podemos afirmar que este
fenoˆmeno so´ pode ser explicado com a ajuda da teoria quaˆntica.
• Ferromagnetismo (χm >> 0) : A propriedade peculiar dos materiais ferromagne´ticos tais
como o ferro, n´ıquel e o cobalto e´ que a suscetibilidade magne´tica, a magnetizac¸a˜o e a
permeabilidade na˜o sa˜o constantes mas dependem, para um particular material, de sua
historia magne´tica e te´rmica passada. Todos os materiais ferromagne´ticos sa˜o fortemente
paramagne´ticos, contudo, no sentido de que um campo externo aplicado pode aumen-
tar sensivelmente a densidade de fluxo magne´tico no interior do material. Os materiais
ferromagne´ticos teˆm a´tomos com momentos magne´ticos permanentes. Esses momentos
magne´ticos esta˜o alinhados, mesmo em auseˆncia de um campo magne´tico externo. Entre-
tanto a agitac¸a˜o te´rmica em temperaturas suficientemente elevadas transforma esse tipo
de material em paramagne´tico. Nos materiais ferromagne´ticos, devido ao alinhamento
dos momentos magne´ticos on interior do material, estes produzem um campo magne´tico,
mesmo em auseˆncia de campo externo.
A figura abaixo mostra a classificac¸a˜o dos materiais magne´ticos
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Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 6
Campo magne´tico e forc¸a
1. Dos treˆs vetores da equac¸a˜o ~F = q~v × ~B, que pares sa˜o sempre ortogonais entre si? e que
pares podem formar qualquer aˆngulo entre si?
2. Um ele´tron que tem velocidade ~v = (2 × 106m/s)ˆı + (3 × 106m/s)ˆ penetra num campo
magne´tico ~B = (0.030T )ˆı + (0.15T )ˆ. Determine o mo´dulo a direc¸a˜o e o sentido da forc¸a
sobre o ele´tron. e = 1.6× 10−19C.
3. Uma carga q = 2C esta´ numa velocidade ~v = 4ˆı+5jˆ+6kˆ m/s numa regia˜o onde a induc¸a˜o
magne´tica vale ~B = 3ˆı + 6ˆ + 2kˆ T. Calcule a forc¸a magne´tica sobre a part´ıcula.
4. Uma carga q = 2C e de massa 3 kg esta´ numa velocidade ~v = 4ˆı+5jˆ+6kˆ m/s numa regia˜o
onde a induc¸a˜o magne´tica vale ~B = 3ˆı + 6ˆ + 2kˆ T e o campo ele´trico vale ~E = 10ˆı V/m
e o campo gravitacional vale ~g = 20kˆm/s2. Calcule a forc¸a resultante sobre a part´ıcula.
Dado forc¸a gravitacional ~F = m~g.
5. Uma part´ıcula de carga 2 C e de massa 2 kg esta´ numa velocidade ~v = 3ˆ m/s em uma
induc¸a˜o magne´tica ~B = 2kˆ T. Qual o raio da o´rbita?
6. Os campos magne´ticos sa˜o usados para curvar um feixe de ele´trons nos experimentos em
f´ısica. Que campo magne´tico uniforme, aplicado perpendicularmente a um feixe de ele´trons
numa velocidade de 1.3× 106m/s e´ nescessa´rio para fazer com que os ele´trons percorram
uma trajeto´ria circular de raior = 0.35m?
Forc¸a magne´tica sobre correntes
7. Um condutor transportando uma corrente de 5000A,do sul para o norte, sob o campo
magne´tico da terra (60 × 10−6T ) que esta´ direcionado para o norte inclinado de 70◦ em
relac¸a˜o ao fio. Determine o a forc¸a magne´tica do campo da terra sobre 100 metros deste
fio.
8. Um fio de 1.8 metros transporta uma corrente de 13 A e faz um aˆngulo de 35◦ com o
campo magne´tico B=1.5T. Calcule a forc¸a magne´tica sobre o fio.
Dipolo magne´tico
9. Defina momento de dipo´lo magne´tico?
10. O momento de Dipolo magne´tico da terra e´ de 822J/T . Suponha que ele seja produzido por
cargas fluindo no nu´cleo derretido da terra. Calcule a corrente geradas por estas cargas,
supondo um raio de 3500 km.
11. Prove que o torque aplicado numa espira de a´rea ~A e´ dado por ~τ = ~m× ~B.
Lei de Biot-Savart
12. Um fio de comprimento L = 8m esta´ transportando uma corrente de I = 6A. Qual o
valor do campo magne´tico produzido por este fio com a = 2m de distaˆncia deste fio numa
distaˆncia de b = 3 metros da base (altura). Veja a figura abaixo.
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13. Encontre o campo magne´tico no ponto P (centro) da figura abaixo. Dado que as dimenso˜es
a = 2m , b = 3m e a corrente I = 5A.
28
Cap´ıtulo 7
Equac¸o˜es de Maxwell
7.1 Equac¸o˜es de Maxwell em um Meio Qualquer
Todos os fenoˆmenos ele´tricos e magne´ticos podem ser descritos por apenas 4 vetores, que sa˜o
~E : Campo Ele´trico ~D : Induc¸a˜o Ele´trica
~H : Campo Magne´tico ~B : Induc¸a˜o Magne´tica
E estes vetores obdecem 4 equac¸o˜es diferenciais, conhecidas como Equac¸o˜es de Maxwell:
~∇× ~E = −∂
~B
∂t
(Lei de Faraday) ~∇ ~D = ρ (Lei de Gauss para a induc¸a˜o ele´trica)
~∇× ~H = ~J + ∂
~D
∂t
(Lei de Ampe`re) ~∇ ~B = 0 (Lei de Gauss para a induc¸a˜o Magne´tica)
Os campos esta˜o relacionados com as induc¸o˜es atrave´s das seguintes equac¸o˜es
(1) ~D = �0 ~E + ~P (2) ~B = µ0( ~H + ~M)
�0 permitividade do va´cuo µ0 permeabilidade magne´tica do va´cuo
~P Polarizac¸a˜o do Meio ~M Magnetizac¸a˜o do Meio
7.2 As Equac¸o˜es de Maxwell na Forma Integral
Para isto devemos utilizar os seguintes teoremas
∮
S
~F · d~s =
∫
v
~∇ · ~Fdv Teorema da Divergeˆncia (7.3)∮
C
~F · d~l =
∫
S
~∇× ~F · d~s Teorema de Stokes (7.4)
Usando os dois teoremas acima podemos escrever as equac¸o˜es de Maxwell como
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∮
S
~D · d~s = Q Lei de Gauss para a Induc¸a˜o Ele´trica (7.5)∮
S
~B · d~s = 0 Lei de Gauss para a Induc¸a˜o Magne´tica (7.6)∮
C
~H · d~l = I + dφD
dt
Lei de Ampe`re (7.7)∮
C
~E · d~l = −dφB
dt
Lei de Faraday (7.8)
7.3 Lei de Faraday
A lei de Faraday na forma diferencial e´ dada por
~∇× ~E = −∂
~B
∂t
(7.9)
Na forma integral obtemos a diferenc¸a de potencial em um caminho fechado (ou forc¸a ele-
tromotriz) e´ definida por
fem =
∮
C
~E · d~l = − d
dt
∫
S
~B · d~s = −dΦB
dt
(7.10)
Vamos considerar que a induc¸a˜o magne´tica cresce exponencialmente com o tempo no interior
de uma regia˜o cil´ındrica r < b,
~B = B0e
ktkˆ (7.11)
onde B0 e´ uma constante. Escolhemos um percurso circular r < a e a < b, no plano z = 0, ao
longo do qual Eφ deve ser constante por causa da simetria, temos enta˜o
fem =
∮
~E · d~l = −
∫
∂ ~B
∂t
· d~s (7.12)
fem = 2piaEφ = −kB0ektpia2 (7.13)
Substituindo a por r onde r < b a intensidade do campo ele´trico e´ dado por
~E = −1
2
kB0e
ktreˆφ (7.14)
O mesmo resultado pode ser obtido a partir da equac¸a˜o
~∇× ~E = −∂
~B
∂t
(7.15)
7.4 Lei de Ampe`re
A lei de Ampe`re na forma integral e´ dada por
∮
C
~H · d~l = I + dΦD
dt
(7.16)
Vamos analisar treˆs faces distintas da lei de Ampe`re.
30
7.4.1 Corrente nula e Campo Ele´trico varia´vel
Figura 7.1: Campo
magne´tico gerado por
um campo ele´trico
varia´vel
Neste caso estamos considerando que no interior do circuito C na˜o existe
corrente, mas temos um campo que sua intensidade varia com o tempo.
Neste caso a lei de Ampe`re fica da seguinte forma∮
C
~H · d~l = dΦD
dt
(7.17)
Para simplificar os ca´lculos definamos o campo ele´trico como ~E = E(t)kˆ
e um circuito de Ampe`re C no plano x-y, desta forma o fluxo da induc¸a˜o
torna-se
ΦD =
∫
S
~D · d~s = �0κE(t)pir2 (7.18)
onde r e´ o raio da espira circular que esta´ no plano x-y. Resolvendo a integral de linha no
circuito C, obtemos que
∮
C
~H · d~l =
(
B
µ
)
2pir (7.19)
Sintetizando nossos resultados obtemos que
B =
�0µκr
2
dE
dt
(7.20)
7.4.2 Campo Ele´trico constante ou nulo e Corrente ele´trica na˜o nula
Figura 7.2: A figura mostra
um Campo magne´tico gerado
por uma corrente ele´trica
Neste caso temos uma corrente ele´trica passando por um fio, ena˜o
temos campos ele´tricos variando no tempo. E a lei de Ampe`re torna-
se neste caso ∮
C
~H · d~l = I (7.21)
Uma aplicac¸a˜o simples e´ o ca´lculo do campo magne´tico fora do fio,
e este pode ser facilmente calculado, e o resultado e´
B =
µI
2pir
(7.22)
Pode ainda calcular o campo magne´tico dentro no interior do fio.
7.4.3 Campo Ele´trico varia´vel e Corrente ele´trica na˜o nula
Figura 7.3: Circuito aberto
Nesta situac¸a˜o temos um circuito aberto por um capacitor, e as-
sim temos que levar em conta duas regio˜es distintas: no fio e entre os
capacitores.
Na regia˜o onde se encontra a corrente ele´trica (fio) o campo ja´ foi
obtido na sec¸a˜o anterior e e´ dado por
B =
µI
2pir
(7.23)
31
Na regia˜o entre os capacitores tambe´m ja´ encontremos o valor do
campo e e´ dado por
B =
�0µκr
2
dE
dt
(7.24)
Como a induc¸a˜o magne´tica precisa possuir a mesma intensidade, por comparac¸a˜o obtemos
a “corrente deslocamento”, que e´ dada por
Id =
�0κr
2
dE
dt
(7.25)
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Cap´ıtulo 8
Ondas Eletromagne´ticas
33
Cap´ıtulo 9
Circuitos
9.1 Elementos ba´sicos de um circuitos
9.2 Circuito de corrente cont´ınua
9.3 Transientes em Circuitos
9.4 Circuitos de corrente alternada
9.5 Sistemas Polifa´sicos
9.6 Harmoˆnicos em circuitos e Se´rie de Fourier
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