Geometria Analítica Espacial - Lista 7

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Geometria Anal´ıtica Espacial 2012-2 Lista 7
Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto Multidisciplinar
Departamento de Tecnologias e Linguagens
Professor: Marcelo Farias
Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o
Superf´ıcies Regradas
1. Fac¸a um esboc¸o da superf´ıcie regrada coˆnica que tem por diretriz a curva C e por geratrizes as retas
que passam pelo ponto P0.
(a) P0 = (0, 0, 3), C =
{
y = x2
z = 0
(b) P0 = (0, 0, 4), C =
{
(x− 1)2 + y2 = 1
z = 1
(c) P0 = (0, 0, 3), C =
{
y2
4 − z
2
9 = 1
x = −1
(d) P0 = (0,−1, 0), C =
{
(x−2)2
4 − (z−2)
2
9 = 1
y = 2
2. Fac¸a um esboc¸o da superf´ıcie regrada cil´ındrica cuja diretriz e´ a curva C em cada um dos itens do
exerc´ıcio anterior, com geratriz paralela a` reta que passa pela origem e pelo ponto P0.
3. Deˆ a equac¸a˜o cartesiana e fac¸a um esboc¸o da superf´ıcie de revoluc¸a˜o obtida pela rotac¸a˜o da curva
C em torno de cada um dos eixos indicados.
(a) C =
{
y = −x3 + 1
z = 0
, pelos eixos OX e OY .
(b) C =
{
x2 + 2z2 − 6x = −5
z = 0
pelos eixos OX e OY .
(c) C =
{
y + 2z = 0
z = 0
pelos eixos OZ e OY .
(d) C =
{
x = z2 − 2
y = 0
pelos eixos OZ e OX.
4. Mostre que as superf´ıcies do item c, do exerc´ıcio anterior, sa˜o regradas. Identifique as retas lP em
cada uma das superf´ıcies por meio de equac¸o˜es parame´tricas.
5. Verifique que a esfera de centro na origem e raio r e´ obtida girando o semic´ırculo C = {(0, y, z); y2+
z2 = r2, y ≥ 0} em torno do eixo OZ.
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