Geometria Analítica Espacial - Lista 4

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Geometria Anal´ıtica Espacial 2012-2 Lista 4
Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto Multidisciplinar
Departamento de Tecnologias e Linguagens
Professor: Marcelo Farias
Produto Interno
Aplicac¸o˜es
1. Considere os vetores: ~v1 = (1, 1,−1), ~v2 = ( 1√2 , 0, 1√2 ), ~v3 = (0,−1, 1), ~v4 = (−1, 1, 0), ~v5 =
(−2, 1, 3), ~v6 = (
√
3, 1, 1), ~v7 = (2, 4, 0), ~v8 = (−1,−1, 1).
(a) Calcule os produtos internos de todos os poss´ıveis pares de vetores distintos da lista.
(b) Identifique os pares de vetores ortogonais.
(c) Identifique os vetores unita´rios da lista e normalize os vetores que na˜o sejam unita´rios.
(d) Calcule e compare os nu´meros ‖~v1 + ~v4‖ e ‖~v1‖+ ‖~v4‖.
(d) Calcule e compare os nu´meros ‖~v1 + ~v8‖ e ‖~v1‖+ ‖~v8‖.
(d) Determine o cosseno do aˆngulo formado entre quaisquer dois dos vetores ~v1, ~v2 e ~v3.
2. Determine quais das afirmativas abaixo sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas, justificando as suas
respostas.
(a) < u, v >= 0 se, e somente se, u = ~0 ou v = ~0.
(b) Se < v, v > > 0, enta˜o v > 0.
(c) Se < v,w >= 0 para qualquer que seja o vetor v do espac¸o, enta˜o w = ~0 .
3. Qual o valor de α para que os vetores v = (α, 2,−4) e w = (2, 1− 2α, 3) sejam ortogonais?
4. Dados os vetores u = (2, 1, α), v = (α+ 2,−5, 2) e w = (2α, 8, α), determine o valor de α para que
os vetores u+ v e w − u sejam ortogonais.
5. Mostre que os pontos A = (−1, 2, 3), B = (−3, 6, 0) e C = (−4, 7, 2) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo
retaˆngulo.
6. Dados os pontos A = (m, 1, 0), B = (m−1, 2m, 2) e C = (1, 3,−1), determine m de modo que ABC
sejam ve´rtices de um triaˆngulo retaˆngulo em A.
7. Determine o aˆngulo entre os vetores:
(a) u = (2,−1,−1) e v = (−1,−1, 2).
(b) u = (1,−2, 1) e v = (−1, 1, 0).
8. Calcular o valor de m de modo que seja 120◦ o aˆngulo entre os vetores u = (−2, 1,m + 1) e
v = (1,−2, 1).
9. Determinar o vetor u tal que ‖u‖ = 2, sabendo que o aˆngulo entre u e v = (1,−1, 0) e´ pi4 rad e u e´
ortogonal a w = (1, 1, 0).
10. Determine a projec¸a˜o ortogonal do ponto A = (1, 1, 2) sobre a reta l : P = P0 + tv, t ∈ R, onde:
(a) P0 = (−1, 1,−1) e ~v = −→OA, onde A = (−2, 2, 1).
(b) P0 = (0, 1, 0) e ~v = (−1, 1, 1).
(c) P0 = (0, 1, 0) e ~v = (1, 0,−1).
(d) P0 = (0, 0, 0) e ~v =
−−→
AB, onde A = (1, 0,−1) e B = (1, 0, 0).
11. Considerando os vetores da lista do Exerc´ıcio 1, calcule:
1
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(a) prv1(v2)
(b) prv2(v4)
(c) prv8(v1)
(d) prv3(v6)
(e) prv4(v1)
(f) prv5(v7)
(g) prv8(v3)
(h) prv2(v2)
12. Determine a projec¸a˜o ortogonal do ponto A = (3, 2,−2) sobre o plano Π : Q = Q0+s~v+t~w, s, t ∈ R,
onde:
(a) Q0 = (1, 0, 0), v = (0, 2,−1), w = (1, 1, 0).
(b) Q0 = (0, 1, 0), v = (3, 1, 1), w = (0, 1, 0).
(c) Q0 = (−1, 0, 1), v = (1, 0,−1), w = (0, 1, 0).
(d) Q0 = (0, 0,−2), v = (1, 0,−1), w = (1, 2, 0).
13. Seja Π o plano que passa por um ponto Q0 paralelo aos vetores mutuamente perpendiculares ~v e
~w. Dado um ponto A do espac¸o, verifique que o ponto A′ dado por
−−−→
Q0A
′ = prv(
−−→
Q0A) + prw(
−−→
Q0A)
e´ a projec¸a˜o ortogonal de A sobre Π. Para isso, verifique que <
−−→
A′A, v >= 0 e <
−−→
A′A,w >= 0,
onde
−−→
A′A =
−−→
Q0A−
−−−→
Q0A
′.
14. Usando o exerc´ıcio anterior, determine a projec¸a˜o ortogonal do ponto A = (2, 0, 2) sobre o plano
Π : Q = Q0 + s~v + t~w, s, t ∈ R, onde:
(a) Q0 = (0, 0, 0), v = (2,−2, 1), w = (1, 0,−2).
(b) Q0 = (−1, 1, 0), v = (3, 0,−1), w = (0, 2, 0).
(c) Q0 = (1, 1, 1), v = (0, 0,−1), w = (1, 1, 0).
(d) Q0 = (0, 1, 1), v = (3, 1,−1), w = (1,−2, 1).
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