Geometria Analítica Espacial - Lista 3

Prévia do material em texto

Geometria Anal´ıtica Espacial 2012-2 Lista 3
Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto Multidisciplinar
Departamento de Tecnologias e Linguagens
Professor: Marcelo Farias
Retas no Espac¸o
Planos
1. Determine um gerador e as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa pelos pontos A e B, onde:
(a) A = (3,−1, 1), B = (−4, 2,−4)
(b) A(0,−1, 1), B = (1, 0, 1)
(c) (1, 2,−1), B = (−v3, 0, 1)
(d) (pi(pi − 1), pi, 0), B = (pi, 0, 1)
2. Determine equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa pelo ponto A e e´ gerada pelo vetor ~v , onde:
(a) A = (1, 0, 1), ~v =
−−→
AB, com B = (3, 3, 1).
(b) A = (3, 1, 1), ~v =
−−→
BC, com B = (3, 3, 1), C = (2, 1, 2).
(c) A = (2, 2, 0), ~v = (2, 3, 0).
(d) A = (3, 3, 0), ~v =
−−→
BA, onde B = (5, 6, 0).
3. Determine os pares de retas reversas dentre as retas do Exerc´ıcio 2.
4. Como devem ser as coordenadas do vetor gerador de uma reta para que esta seja paralela a um dos
eixos coordenados? (Fac¸a o exerc´ıcio para os treˆs eixos.)
5. Como devem ser as coordenadas do vetor gerador de uma reta para que esta seja paralela a um dos
planos. coordenados?
6. Dados o ponto A = (2, 3,−4) e o vetot ~v = (1,−2, 3), pede-se:
(a) escrever as equac¸o˜es parame´tricas da reta r que passa por A e tem a direc¸a˜o de ~v.
(b) encontrar os pontos B e C de r de paraˆmetros t = 1 e t = 3, respectivamente.
(c) determinar o ponto de r cuja abscissa e´ igual a 4.
(d) verificar se os pontos D = (4,−1, 2) e E = (5, 4,−3) pertencem a r.
(e) determinar o ponto de r cuja ordenada e´ igual a 5.
(f) representar r atrave´s de outras equac¸o˜es parame´tricas.
(g) escrever as equac¸o˜es parame´tricas da reta s que passa por G = (5, 2,−4) e e´ paralela a` reta r.
(h) escrever as equac¸o˜es parame´tricas da reta r1 que passa por A e e´ paralela ao eixo x.
7. Determinar se a reta r , paralela ao vetor ~v = (1, 1, 0) e que passa pelo ponto A = (2,−1, 0),
intersecta a reta s que passa por B = (0, 0, 1) e C = (0, 1,−1).
8. Discuta a posic¸a˜o relativas das retas abaixo:
(a) r :

x = 3 + h
y = 1 + 2h
z = 2− h
e s :

x = 5 + 3t
y = −3− 2t
z = 4 + t
(b) r :

x = 2− s
y = 3− 5s
z = 6− 6s
e s :

x = −3 + 6t
y = 1 + 7t
z = −1 + 13t
(c) r :

x = 2 + s
y = 4− 2s
z = 1 + 3s
e s :

x = −1 + 4t
y = 2 + 3t
z = 5− 2t
9. Calcular o valor de m para que sejam concorrentes as seguintes retas:
1
Geometria Anal´ıtica Espacial 2012-2 Lista 3
(a) r :

x = m− t
y = 1 + t
z = 2t
e s :

x = 1 + 3s
y = −2 + s
z = −2s
(b) r :

x = 5 + t
y = mt
z = −1 + t
e s a reta que passa pelos pontos (0,−5, 2) e (1,−3, 1).
10. Dada a reta r :

x = 2 + t
y = t
z = −1 + 2t
determine um ponto equidistante aos pontos (2,−1,−2) e (1, 0,−1).
11. Dada a reta r :

x = 2 + t
y = 1 + 2t
z = 3 + 2t
determine os pontos que distam 6 do ponto (2, 1, 3); e os que distam
2 do ponto (1,−1, 3).
12. Determine, caso seja poss´ıvel, o plano Π tal que:
(a) Passa por A = (1, 1, 0) e e´ gerado por ~v1 = (2, 0,−1), e ~v2 = (2, 2, 2).
(b) Conte´m os pontos A = (2, 0,−1) e B = (2, 2, 2) e e´ paralelo ao vetor ~v = (1, 1, 1).
(c) Conte´m os pontos A = (0, 0,−2), B = (3, 1,−2) e C = (0, 1, 1).
13. Se ~v1 e ~v2 sa˜o geradores de um plano Π1 que na˜o intersecta outro plano Π2, enta˜o ~v1 e ~v2 geram o
plano Π2?
14. E´ verdade que por cada ponto do espac¸o passa um plano gerado por dois vetores LI dados?
15. Determine as equac¸o˜es parame´tricas do plano Π:
(a) que passa por A = (1, 1, 0) e conte´m a reta dada pela equac¸a˜o vetorial:
l : (x, y, z) = (0, 1, 1) + t(1, 0, 1), t ∈ R.
(b) que conte´m as retas l1 : (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(1, 1,−1), t ∈ R e l2 : (x, y, z) = s(1,−1, 1), s ∈
R.
(c) que conte´m a reta l : (x, y, z) = (0, 1, 1) + t(1, 0, 1), t ∈ R e e´ paralelo ao vetor ~v = (0, 0, 1).
16. Determine se a reta que intersecta o plano Π. Se a resposta for afirmativa, ache o ponto de
intersec¸a˜o.
(a) l e´ a reta paralela ao vetor ~v1 = (1, 1, 1) e passa pelo ponto A = (0, 1, 0). Π e´ o plano que
conte´m os pontos B = (1, 0, 0), C = (0, 1, 0) e D = (1, 2,−2).
(b) l e´ a reta que conte´m os pontos A = (0,−1,−1) e B = (1, 2, 0) e Π e´ o plano que passa pelos
pontos C = (1, 0, 0) e D = (2, 0, 0) e e´ paralelo ao vetor ~v = (1, 2,−1).
(c) l e´ o eixo OZ do sistema de coordenadas e Π e´ o plano que passa pelo ponto A = (0, 2, 0) e e´
gerado pelos vetores ~v = (2, 4, 2) e ~w = (1, 2,−2).
2