Variáveis Aleatórias

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Variáveis Aleatórias
Prof. Carlos Amorim
Definição
• Seja S um espaço amostral associado a
um experimento. Variável aleatória é uma
função ou regra que associa a cada
elemento s S um número real X(s).∈elemento s S um número real X(s).∈
S
s X(s)
X
Variável
Aleatória
Variável Aleatória
• Ex:
Experimento: lançamento de 2 moedas.
{ }CaCaCaCCCaCCS ,,,=
X: número de caras obtidas nas duas moedas.
{ }
01 =x Corresponde ao evento (CC)
12 =x Corresponde aos eventos (CCa) e (CaC)
23 =x Corresponde ao evento (CaCa)
Variável Aleatória
Elementos do S Probabilidade
CC
CCa
CaC
CaCa
1/4
1/4
1/4
1/4 Função de probabilidade de X.CaCa 1/4
Probabilidade de : P( )
0
1
2
x x x
P(X=0) = P(0) =1/4
1/2
1/4
Função de probabilidade de X.
1)(0 ≤≤ ixP
∑ =1)( ixP
para todo i.
todo i
[ ])(, ii xPxO conjunto de pares é chamado de distribuição de probabilidade de X.
Variável Aleatória
• Discreta
– Os valores podem ser enumerados;
– Resultam de alguma forma de contagem.
• Contínuas
– Não enumeráveis, podem assumir qualquer 
valor dentro de um intervalo de variação;
– Resultam de uma mensuração.
VA discreta X VA contínua
• Ex1: (Variável aleatória discreta)
O ponteiro dos segundos de um relógio mecânico pode
parar a qualquer instante.
X = indica o ângulo que o ponteiro forma com o eixo
imaginário passando pelo centro do mostrador e pelo númeroimaginário passando pelo centro do mostrador e pelo número
XII.
XII
VI
IIIIX
0°
90°
x
180°
270°
Distribuição de Probabilidade de X:
O ponteiro dá um “salto” por segundo.
60 “saltos” 360º/60 = 6º/salto
x
)(xP
0º
1/60
6º
1/60
12º
1/60
18º
1/60
...
...
348º
1/60
354º
1/60
VA discreta X VA contínua
• Ex2: (Variável aleatória contínua)
O ponteiro dos segundos de um relógio elétrico pode
parar a qualquer instante. Para um relógio elétrico o
ponteiro dos segundos move-se continuamente.
X = indica o ângulo que o ponteiro forma com o eixoX = indica o ângulo que o ponteiro forma com o eixo
imaginário passando pelo centro do mostrador e pelo número
XII.
Quais os valores que X pode assumir ?
}3600/{)360,0[ <≤ℜ∈= xx
Qual a probabilidade de X = ?ix
0)( == ixXP
Variável aleatória contínua
Qual a probabilidade de que X esteja entre 0º e 90º ?
=≤≤ )º90º0( XP
XII
0°
1/4
=≤≤ )º150º120( XP 1/12
XII
VI
IIIIX 90°
x
180°
270° º360
)(
ab
bXaP
−
=≤≤
Variável aleatória contínua
º360
)(
ab
bXaP
−
=≤≤
)(xf
1
)( bXaP ≤≤ )( dXcP ≤≤
(em graus)xa b c d
360
1
3600
=)(xf
º0<x
º360º0 <≤ x
º360≥x
0, se
1/360, se
0, se
A distribuição de probabilidade para uma
variável contínua X é representada por uma
curva e a probabilidade de que X assuma um
valor no intervalo de a e b (a<b) é dada pela
área sob a curva limitada por a e b.
Função de densidade de probabilidade da variável aleatória X
Variável aleatória contínua
• Como calcular a área se a função de densidade de
probabilidade (f.d.p) não for linear?
)(xf
xa b
=≤≤ )( bXaP ∫
b
a
dxxf )(
Ex:
=≤≤ )( bXaP ∫
b
a
dx
360
1
b
a
x
360
=
360360360
abab −
=−=
Variável aleatória contínua
0)()(
0
0
0 === ∫
x
x
dxxfxXP
)()()()( bXaPbXaPbXaPbXaP <<=≤<=<≤=≤≤
1) , isso implica que:
2) A f.d.p de uma V.A. definida para todos os valores de , x bxa ≤≤2) A f.d.p de uma V.A. definida para todos os valores de , 
satisfaz as seguintes condições:
i) 0)( ≥xf
x bxa ≤≤
x∀ entre a e b.
ii) ∫ =
b
a
dxxf 1)(
3) A f.d.p, , não representa a probabilidade de coisa alguma!
Somente quando a função for integrada entre dois limites, ela produzirá
uma probabilidade, que será a área sob a curva entre esses limites.
)(xf
Variável aleatória contínua
• Ex:
=)(xf
,2x
0, para outros valores.
10 ≤≤ x
a) é uma função de densidade de probabilidade?)(xfa) é uma função de densidade de probabilidade?
b)
)(xf
)2/10( ≤≤ xP
a)
i)
ii) 
0)( ≥xf x∀ entre 0 e 1.
∫
1
0
2xdx
1
0
2
2
2x
= 1=
Ok!
Ok!
)(xf é uma f.d.p
Variável aleatória contínua
• Ex:
=)(xf
,2x
0, para outros valores.
10 ≤≤ x
b) )2/10( ≤≤ xPb) )2/10( ≤≤ xP
∫=≤≤
2/1
0
2)2/10( xdxxP
2/1
0
2 |x= 4/1=
)(xf
x11/2
1
2
4
1
2
1
2
1
=
×
=trianguloA
=≤≤ )12/1( xP 4/34/11|2 1 2/1
2
1
2/1
=−==∫ xx
Os dois intervalos tem a mesma amplitude,
mas probabilidades diferentes. Ou seja, a
probabilidade de que a V.A. X assuma um
valor num intervalo de amplitude fixa depende
da posição do intervalo.
Questões
1. Uma moeda perfeita é lançada 3 vezes. Seja
Y o número de caras obtidas. Calcule a
distribuição de Y.
2. A função de densidade de probabilidade de2. A função de densidade de probabilidade de
uma variável aleatória X é dada por:
a) Qual o valor deve ter a constante C?
b) Determine: e
0<x
2/10 ≤≤ x
1>x
0, se
0, se
=)(xf
12/1 ≤≤ x
,Cx
),1( xC −
)2/1(),2/1( >≤ xPxP )4/34/1( ≤≤ xP
Função de distribuição acumulada
)()( xXPxF ≤=
a) Caso discreto:
∑= xPxF )()( ,j∀ .xx ≤∑=
j
jxPxF )()( ,j∀ .xx j ≤
b) Caso contínuo:
∫ ∞−=
x
dxxfxF )()(
Função de distribuição acumulada
• Ex1 (caso discreto):
0 1 2
1/10 6/10 3/10
x
)(xP
=)(xF
=)(xF
=)(xF
=)(xF
0<x
10 <≤ x
21 <≤ x
2≥x
se
se
se
se
)(xF
x0
1
21
0
1/10
1/10
7/10
7/10
1
Função de distribuição acumulada
• Dada qual o valor de ?)( jxP)(xF
)()()( 1−−= jjj xFxFxP
Ex1:
10/1)0()0( == FP
Ex1:
10/610/110/7)0()1()1( =−=−= FFP
10/310/71)1()2()2( =−=−= FFP
Função de distribuição acumulada
• Ex2 (caso contínuo):
=)(xf
,2x
0, para outros valores de .
10 << x
x
=)(xF
∫ ∞−
x
dxxf )(
=)(xF
0≤x
10 << x
1≥x
se
se
se
0
1
∫∫ += ∞−
x
dxxfdxxf
0
0
)()( ∫=
x
xdx
0
2 2x=
0
=)(xF
Função de distribuição acumulada
• Ex2 (caso contínuo):
=)(xF
=)(xF
0≤x
10 << x
1≥x
se
se
se
0
1
2x=)(xF
=)(xF 1≥xse1
)(xF
x0
1
1
Função de distribuição acumulada
• Dada e qual o valor de ?)( bxaP ≤≤)(aF
)()()()( aFbFdxxfbxaP
b
a
−==≤≤ ∫
)(bF
(b>a)
)(xf )(xf
x0 a b
)()( aFbF −
Função de distribuição acumulada
• Propriedades:
– se ;
– ,ou seja, ;
)()( 2121 xFxFxx ≤⇒≤
0)(lim =xF 0)( =−∞F– ,ou seja, ;
– ,ou seja, ;
0)(lim =
−∞→
xF
x
0)( =−∞F
1)(lim =
+∞→
xF
x
1)( =+∞F