Modelos probabilísticos discretos
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Modelos probabilísticos discretos

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Modelos probabilísticos para
variáveis aleatórias discretasvariáveis aleatórias discretas

Prof. Carlos Amorim

Distribuição de Bernoulli

• Experimento de Bernoulli

– Tem somente dois resultados possíveis: sucesso (se
acontecer o evento que nos interessa) ou fracasso (o
evento não se realiza);

– A probabilidade de sucesso é p e a probabilidade de
fracasso (1-p).

Variável aleatória X
0, fracasso P(0) = 1 - p

P(1) = p

Variável aleatória de Bernoulli. )(~ pBerX

1, sucesso

Distribuição de Bernoulli

• Valor esperado e variância

)(1)1(0)( ppXE +−= p=

2)( ppXV −= )1( pp −=

Ex:
Experimento: lançamento de um dado;
Sucesso se sair a face 5.

)( ppXV −= )1( pp −=

== )0(XP 6/5

== )1(XP 6/1

=)(XE 6/1

=)(XV 36/5)6/5)(6/1( =

Distribuição binomial

• Experimento binomial

– Consiste de “n” experimentos (ensaios) de
Bernoulli;

– Para cada ensaio existe dois possíveis
resultados: sucesso ou fracasso;

– A probabilidade de sucesso é p. A
probabilidade de fracasso é (1-p);

– Os ensaios são independentes.

Distribuição binomial

• Experimento binomial

Definimos a variável aleatória X tal que:

X = o número de sucessos num experimentoX = o número de sucessos num experimento
binomial, ou seja, o número de sucessos
ocorridos em “n” repetições independentes do
experimento de Bernoulli.

Distribuição binomial

• Ex: Um dado é lançado 10 vezes, qual a probabilidade
da face 5 sair 4 vezes?

� Se o dado for lançado 2 vezes, qual a probabilidade de ambos

Pensando em algo mais simples:

� Se o dado for lançado 2 vezes, qual a probabilidade de ambos
ensaios resultarem em sucesso?

A é o evento sucesso no primeiro ensaio.
B é o evento sucesso no segundo ensaio.

pAP =)(
pBP =)(

6/1=
6/1=

=∩ )( BAP

Como A e B são eventos independentes:

)()( BPAP
36

1

6

1

6

1

6

1
2

=






=×=

Distribuição binomial

� Se o dado for lançado 10 vezes, qual a probabilidade de obter
sucesso nos 10 ensaios?

10

6

1







=adeprobabilid

- Qual a probabilidade de falha no primeiro ensaio e sucesso nos outros nove
ensaios?

� Qual a probabilidade de 9 sucessos e uma falha?

9

6

1

6

5







×=adeprobabilid (FSSSSSSSSS)

Distribuição binomial

� Qual a probabilidade de 9 sucessos e uma falha?

9

6

1

6

5







×=adeprobabilid (FSSSSSSSSS)

9
15 

(SFSSSSSSSS)

9

6

1

6

5







×=adeprobabilid

(SSFSSSSSSS)

9

6

1

6

5







×=adeprobabilid

(SSSSSSSSSF)

9

6

1

6

5







×=adeprobabilid

10 seqüências

Distribuição binomial

� Qual a probabilidade de 9 sucessos e uma falha?

9

6

1

6

5
10 







××=adeprobabilid

• Ex: Um dado é lançado 10 vezes, qual a probabilidade
da face 5 sair 4 vezes?

=adeprobabilid
64

6

5

6

1







×







×









4

10

)!(!

!

knk

n
C

k

n
n

k −
==








)!410(!4

!1010
4 −

=C
!6!4

!678910 ××××
= 210

24

5040
==

64

6

5

6

1
210 







×






×=

Distribuição binomial

Função de probabilidade para uma variável
aleatória binomial:

knk pp
n

kXP −−





== )1()(

Onde: k = número de sucessos;

n = número de ensaios;

p = probabilidade de sucesso.

pp
k

kXP −





== )1()(

),(~ pnbX

Distribuição binomial

Ex: Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual a
probabilidade de saírem 8 caras?

n 

20,...,2,1,0=X

knk pp
k

n
kXP −−








== )1()(

8=k
20=n

2/1=p

128

2

1
1

2

1

8

20
)8( 







 −















==XP 12013,0=

Distribuição binomial

• Valor esperado e variância

npXE =)(

)1()( pnpXV −=

Ex:
Um dado é lançado 21 vezes. Seja X o número de vezes que
sair a face 5. Calcule o valor esperado e a variância de X.

)1()( pnpXV −=

=p
=)(XE 5,3

6

1
21 =×

=)(XV 916667,2
6

1
1

6

1
21 =








 −××

6/1

Distribuição de Poisson

• Para “n” muito grande e um “p” muito pequeno:

knk pp
k

n
kXP −−








== )1()( ,

!

)(

k

npe knp−
≅ .,...,2,1,0 nk =

Ex: Ex:
A probabilidade de uma lâmpada se queimar ao ser ligada é

1/100. Numa instalação de 100 lâmpadas, qual a probabilidade de
2 lâmpadas queimarem ao serem ligadas?

( ) 982 )99,0(01,0
2

100
)2( 








==XP 1848,0=

!2

)1(
)2(

21−

==
e

XP 18394,0=

Distribuição de Poisson

• Uma variável aleatória X tem uma distribuição de
Poisson com parâmetro se0>λ

,
!

)(
k

e
kXP

kλλ−
== .,...,2,1,0 nk =

Onde: np=λOnde: np=λ

É largamente empregada quando se deseja contar o
número de eventos de certo tipo que ocorrem num intervalo de
tempo, ou superfície ou volume.

Ex:
- número de chamadas recebidas por um telefone durante

cinco minutos;
- número de falhas de um computador num dia de operação;
- defeitos por unidade (m²,m³, etc.) por peça de fábrica.

)(~ λPoisX

Distribuição de Poisson

• Valor esperado e variância

λ=)(XE

λ=)(XV

Ex:
Um telefone recebe, em média, cinco chamadas por minuto.

Supondo que a distribuição de Poisson seja adequada nessa
situação, obter a probabilidade de que o telefone não receba
chamadas durante um intervalo de um minuto.

λ=)(XV

=)(XE
:X Número de chamadas por minuto.

5 λ=

Distribuição de Poisson

!
)(

k

e
kXP

kλλ−
==

== )0(XP
!0

505−e
0067,05 == −e

!0

Qual a probabilidade de obter no máximo duas chamadas em quatro minutos?

=λ
:X Número de chamadas em quatro minutos.

2045 =×
=≤ )2(XP ==+=+= )2()1()0( XPXPXP

=++=
−−−

!2

20

!1

20

!0

20 220120020 eee =++− )200201(20e 20221 −e

Questão

• A probabilidade de alguém passar em um determinado
teste na primeira tentativa é de 15%. Se 10 pessoas
fizerem o teste na próxima vez que ele for
oferecido,qual a probabilidade de:

a) ninguém passar?a) ninguém passar?

b) exatamente 4 passarem?

c) no máximo 3 passarem?

d) no mínimo 3 passarem?

e) Qual o valor esperado do número de pessoas passarem?

f) Qual é a variância do número de pessoas passarem?