Modelos probabilísticos discretos

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Modelos probabilísticos para 
variáveis aleatórias discretasvariáveis aleatórias discretas
Prof. Carlos Amorim
Distribuição de Bernoulli
• Experimento de Bernoulli
– Tem somente dois resultados possíveis: sucesso (se
acontecer o evento que nos interessa) ou fracasso (o
evento não se realiza);
– A probabilidade de sucesso é p e a probabilidade de
fracasso (1-p).
Variável aleatória X
0, fracasso P(0) = 1 - p
P(1) = p
Variável aleatória de Bernoulli. )(~ pBerX
1, sucesso
Distribuição de Bernoulli
• Valor esperado e variância
)(1)1(0)( ppXE +−= p=
2)( ppXV −= )1( pp −=
Ex:
Experimento: lançamento de um dado;
Sucesso se sair a face 5.
)( ppXV −= )1( pp −=
== )0(XP 6/5
== )1(XP 6/1
=)(XE 6/1
=)(XV 36/5)6/5)(6/1( =
Distribuição binomial
• Experimento binomial
– Consiste de “n” experimentos (ensaios) de
Bernoulli;
– Para cada ensaio existe dois possíveis
resultados: sucesso ou fracasso;
– A probabilidade de sucesso é p. A
probabilidade de fracasso é (1-p);
– Os ensaios são independentes.
Distribuição binomial
• Experimento binomial
Definimos a variável aleatória X tal que:
X = o número de sucessos num experimentoX = o número de sucessos num experimento
binomial, ou seja, o número de sucessos
ocorridos em “n” repetições independentes do
experimento de Bernoulli.
Distribuição binomial
• Ex: Um dado é lançado 10 vezes, qual a probabilidade
da face 5 sair 4 vezes?
� Se o dado for lançado 2 vezes, qual a probabilidade de ambos
Pensando em algo mais simples:
� Se o dado for lançado 2 vezes, qual a probabilidade de ambos
ensaios resultarem em sucesso?
A é o evento sucesso no primeiro ensaio.
B é o evento sucesso no segundo ensaio.
pAP =)(
pBP =)(
6/1=
6/1=
=∩ )( BAP
Como A e B são eventos independentes:
)()( BPAP
36
1
6
1
6
1
6
1
2
=




=×=
Distribuição binomial
� Se o dado for lançado 10 vezes, qual a probabilidade de obter
sucesso nos 10 ensaios?
10
6
1





=adeprobabilid
- Qual a probabilidade de falha no primeiro ensaio e sucesso nos outros nove 
ensaios?
� Qual a probabilidade de 9 sucessos e uma falha?
9
6
1
6
5





×=adeprobabilid (FSSSSSSSSS)
Distribuição binomial
� Qual a probabilidade de 9 sucessos e uma falha?
9
6
1
6
5





×=adeprobabilid (FSSSSSSSSS)
9
15 
(SFSSSSSSSS)
9
6
1
6
5





×=adeprobabilid
(SSFSSSSSSS)
9
6
1
6
5





×=adeprobabilid
(SSSSSSSSSF)
9
6
1
6
5





×=adeprobabilid
10 seqüências 
Distribuição binomial
� Qual a probabilidade de 9 sucessos e uma falha?
9
6
1
6
5
10 




××=adeprobabilid
• Ex: Um dado é lançado 10 vezes, qual a probabilidade
da face 5 sair 4 vezes?
=adeprobabilid
64
6
5
6
1





×





×





4
10
)!(!
!
knk
n
C
k
n
n
k −
==





)!410(!4
!1010
4 −
=C
!6!4
!678910 ××××
= 210
24
5040
==
64
6
5
6
1
210 




×




×=
Distribuição binomial
Função de probabilidade para uma variável
aleatória binomial:
knk pp
n
kXP −−



== )1()(
Onde: k = número de sucessos;
n = número de ensaios;
p = probabilidade de sucesso.
pp
k
kXP −



== )1()(
),(~ pnbX
Distribuição binomial
Ex: Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual a
probabilidade de saírem 8 caras?
n 
20,...,2,1,0=X
knk pp
k
n
kXP −−





== )1()(
8=k
20=n
2/1=p
128
2
1
1
2
1
8
20
)8( 




 −











==XP 12013,0=
Distribuição binomial
• Valor esperado e variância
npXE =)(
)1()( pnpXV −=
Ex:
Um dado é lançado 21 vezes. Seja X o número de vezes que
sair a face 5. Calcule o valor esperado e a variância de X.
)1()( pnpXV −=
=p
=)(XE 5,3
6
1
21 =×
=)(XV 916667,2
6
1
1
6
1
21 =




 −××
6/1
Distribuição de Poisson
• Para “n” muito grande e um “p” muito pequeno:
knk pp
k
n
kXP −−





== )1()( ,
!
)(
k
npe knp−
≅ .,...,2,1,0 nk =
Ex: Ex: 
A probabilidade de uma lâmpada se queimar ao ser ligada é 
1/100. Numa instalação de 100 lâmpadas, qual a probabilidade de 
2 lâmpadas queimarem ao serem ligadas?
( ) 982 )99,0(01,0
2
100
)2( 





==XP 1848,0=
!2
)1(
)2(
21−
==
e
XP 18394,0=
Distribuição de Poisson
• Uma variável aleatória X tem uma distribuição de
Poisson com parâmetro se0>λ
,
!
)(
k
e
kXP
kλλ−
== .,...,2,1,0 nk =
Onde: np=λOnde: np=λ
É largamente empregada quando se deseja contar o
número de eventos de certo tipo que ocorrem num intervalo de
tempo, ou superfície ou volume.
Ex:
- número de chamadas recebidas por um telefone durante
cinco minutos;
- número de falhas de um computador num dia de operação;
- defeitos por unidade (m²,m³, etc.) por peça de fábrica.
)(~ λPoisX
Distribuição de Poisson
• Valor esperado e variância
λ=)(XE
λ=)(XV
Ex:
Um telefone recebe, em média, cinco chamadas por minuto.
Supondo que a distribuição de Poisson seja adequada nessa
situação, obter a probabilidade de que o telefone não receba
chamadas durante um intervalo de um minuto.
λ=)(XV
=)(XE
:X Número de chamadas por minuto.
5 λ=
Distribuição de Poisson
!
)(
k
e
kXP
kλλ−
==
== )0(XP
!0
505−e
0067,05 == −e
!0
Qual a probabilidade de obter no máximo duas chamadas em quatro minutos? 
=λ
:X Número de chamadas em quatro minutos.
2045 =×
=≤ )2(XP ==+=+= )2()1()0( XPXPXP
=++=
−−−
!2
20
!1
20
!0
20 220120020 eee =++− )200201(20e 20221 −e
Questão
• A probabilidade de alguém passar em um determinado
teste na primeira tentativa é de 15%. Se 10 pessoas
fizerem o teste na próxima vez que ele for
oferecido,qual a probabilidade de:
a) ninguém passar?a) ninguém passar?
b) exatamente 4 passarem?
c) no máximo 3 passarem?
d) no mínimo 3 passarem?
e) Qual o valor esperado do número de pessoas passarem?
f) Qual é a variância do número de pessoas passarem?