Valor Esperado e Variância

Prévia do material em texto

Valor esperado e Variância
Prof. Carlos Amorim
Valor esperado 
(Esperança Matemática)
O valor esperado, , de uma variável
aleatória discreta é definido como:
)(XE
X
∑=
n
xpxXE )()( ∑
=
=
i
ii xpxXE
1
)()(
onde, nxxx ,...,, 21 : valores possíveis de X.
)()( ii xXPxp ==
Valor esperado
• É a mesma média que aprendemos anteriormente?
Notas de 100 alunos:
4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,3,3,3,3,3,3,3,3,
3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,
2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,02,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,0
Como podemos encontrar a média?
- Somar todos os números e dividir por 100: 92,2
100
292
=
- Multiplicar cada número pela quantidade de vezes que ele
se repete, somar os resultados e dividir por 100:
Valor esperado
128324 =×
105353 =×
54272 =×
551 =×
010 =×
2920554105128 =++++
92,2
100
292
=
010 =× 100
x )(xp
4
3
2
1
0
0,32
0,35
0,27
0,05
0,01
)(xxp
1,28
1,05
0,54
0,05
0,00
00,005,054,005,128,1)( ++++=XE
92,2)( =XE
é uma média ponderada dos diferentes
valores de X com pesos dados pelas
respectivas probabilidades.
)(XE
Valor esperado
• Ex:
– Experimento: lançamento de um dado;
– X: número de pontos obtidos.
?)( =XE ?)( =XE
x )(xp
1
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
6
1
6
6
1
5
6
1
4
6
1
3
6
1
2
6
1
1)( ×+×+×+×+×+×=XE
5,3)( =XE
não é o resultado que podemos esperar quando X
for observada uma única vez.
)( XE
é a média aritmética dos resultados quando X for
observada um grande número de vezes.
)(XE
Valor esperado
O valor esperado, , de uma variável
aleatória contínua é definido como:
)(XE
X
∫
+∞
= dxxxfXE )()( ∫
+∞
∞−
= dxxxfXE )()(
onde, )(xf : é a função de densidade de probabilidade.
Valor esperado
• Ex:
=)(xf
,2x
0, para outros valores de .
10 << x
x
∫
+∞
= ∫
+∞
∞−
= dxxxfXE )()(
∫∫∫
+∞
∞−
++=
1
1
0
0
)()()()( dxxxfdxxxfdxxxfXE
∫∫∫
+∞
∞−
++=
1
1
0
0
020)( dxxdxxdxXE
∫ ===
1
0
1
0
3
2
3
2
3
22)(
x
dxxXE
Valor esperado
• Ex2: (relógio elétrico)
=)(xf
º0<x
º360º0 <≤ x
0, se
1/360, se
∫ ===
360
0
360
0
2
180
2360
1
360
1
)(
x
dxxXE
º360≥x0, se
Valor esperado de uma função de 
uma variável aleatória
a) Caso discreto:
∑
n
XSeja uma variável aleatória e seja ).(XHY =
∑
=
==
n
i
ii xpxHxHEYE
1
)()()]([][
b) Caso contínuo:
∫
+∞
∞−
== dxxfxHxHEYE )()()]([][
Valor esperado de uma função de 
uma variável aleatória
a) Caso discreto:
Ex:
X 0 1 2
p(xi) 1/4 2/4 1/4
12)( += xxH
?)]([ =xHE
∑
=
+=+=
3
1
)()12(]12[)]([
i
ii xpxxExHE
b) Caso contínuo:
∫==
1
0
22 22]2[)]([ xdxxxExHE
?)]([ =xHE
3
4
1
5
4
2
3
4
1
1 =×+×+×=
=)(xf
,2x
0, para outros valores de .
10 << x
x
22)( xxH =
1|4 10
1
0
43 === ∫ xdxx
Propriedades do Valor esperado
Seja uma variável aleatória e uma constante.
• ;
• ;
X C
CCE =)(
)()( XECCXE ×=• ;
• ;
Se então ;
• k funções de , então
)()( XECCXE ×=
bXaY += )()( XbEaYE +=
CXECXE ±=± )()(
:)(),...,(),( 21 XHXHXH K X
)]([...)]([)]([)](...)()([ 2121 XHEXHEXHEXHXHXHE KK +++=+++
Propriedades do Valor esperado
• Ex:
x p(x)
1 ¼
2 ½
4
1
3
2
1
2
4
1
1)( ×+×+×=XE 2=
2 ½
3 ¼
x+3 p(x)
¼
½
¼
4
5
6
CXECXE +=+ )()( 532 =+=
4
1
6
2
1
5
4
1
4)3( ×+×+×=+XE 5=
Propriedades do Valor esperado
• Ex:
x p(x)
1 ¼
2 ½
4
1
3
2
1
2
4
1
1)( ×+×+×=XE 2=
2 ½
3 ¼
2x p(x)
¼
½
¼
2
4
6
)()( XECCXE ×= 422 =×=
4
1
6
2
1
4
4
1
2)2( ×+×+×=XE 4=
Propriedades do Valor esperado
• Ex:
x p(x)
1 ¼
2 ½
4
1
3
2
1
2
4
1
1)( ×+×+×=XE 2=
2 ½
3 ¼
2x+1 p(x)
¼
½
¼
3
5
7
1)(2)12( +=+ XEXE 5122 =+×=
4
1
7
2
1
5
4
1
3)12( ×+×+×=+XE 5=
Propriedades do Valor esperado
• Ex:
=)(xf
,2x
0, para outros valores de .
10 << x
x
22)( xxH =
?)]([ =xHE
=)2( 2XE 1
2
1
2 =×=
?)]([ =xHE
=)( 2XE
)(2 2XE
∫
1
0
22xdxx
1
0
4
2
x
=
2
1
=
Variância
a) Caso discreto:
∑
n
2)]([)( XEXEXV −=
∑
=
−=
n
i
ii xpXExXV
1
2 )()]([][
b) Caso contínuo:
∫
+∞
∞−
−= dxxfxExXV )()]([][ 2
Variância
• Ex:
x p(x) 2)( =XE ∑ −=
n
ii xpXExXV
2 )()]([][
a) Caso discreto:
x p(x)
1 ¼
2 ½
3 ¼
2)( =XE
∑
=
−=
3
1
2 )()2()(
i
ii xpxXV
∑
=
−=
i
ii xpXExXV
1
)()]([][
2
1
4
1
10
4
1
1 =×++×=
Variância
• Ex:
=)(xf
,2x 10 << x
b) Caso contínuo:
2
∫
+∞
∞−
−= dxxfxExXV )()]([][ 2
=)(
0, para outros valores de .x
3
2
)( =XE
∫
+∞
∞−
−= dxxfxXV )(]
3
2
[][ 2 =+−= ∫
+∞
∞−
dxxfxx )()
9
4
3
4
( 2
=+−= ∫ ∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
dxxfdxxxfdxxfx )(
9
4
)(
3
4
)(2
=×+−= ∫
1
0
2 1
9
4
)(
3
4
2 XExdxx =+×−
9
4
3
2
3
4
2
1
0
4x
18
1
9
4
2
1
=−
Variância
• Teorema:
)()()( 22 XEXEXV −=
Demonstração:
2)]([)( XEXEXV −=
Demonstração:
)]()(2[ 22 XEXXEXE +−=
)]([)](2[)( 22 XEEXXEEXE +−=
)()()(2)( 22 XEXEXEXE +−=
)()(2)( 222 XEXEXE +−=
)()( 22 XEXE −=
Variância
• Ex:
x p(x) 2)( =XE
a) Caso discreto:
x p(x)
1 ¼
2 ½
3 ¼
2)( =XE
∑
=
−=
3
1
2 )()2()(
i
ii xpxXV 2
1
4
1
10
4
1
1 =×++×=
)()()( 22 XEXEXV −=
∑
=
=
3
1
22 )()(
i
i xipxXE
2
9
2
5
2
4
1
9
2
1
4
4
1
1 =+=×+×+×=
2
1
2
2
9 2 =−=
Variância
• Ex:
=)(xf
,2x 10 << x
b) Caso contínuo:
2
18
1
)()]([][ 2 =−= ∫
+∞
∞−
dxxfxExXV
=)(
0, para outros valores de .x
3
2
)( =XE
)()()( 22 XEXEXV −=
∫=
1
0
22 2)( xdxxXE
2
1
2
1
0
4
==
x
18
1
3
2
2
1
2
=





−=
Propriedades da Variância
Seja uma variável aleatória e uma constante.
• ;
• ;
X C
0)( =CV
)()( 2 XVCCXV ×=• ;
•
)()( 2 XVCCXV ×=
).()( XVCXV =±
Propriedades da Variância
• Ex:
x p(x)
1 ¼
2 ½
1
)( =XV
2)( =XE
2 ½
3 ¼
2
)( =XV
x+3 p(x)
¼
½
¼
4
5
6
=+ )3(XV
2
1
4
1
)56(
2
1
)55(
4
1
)54()3( 222 =×−+×−+×−=+XV
2
1
)( =XV
5)3( =+XE
Propriedades da Variância
• Ex:
x p(x)
1 ¼
2 ½
2)( =XE
2
1
)( =XV2 ½
3 ¼
2x p(x)
¼
½
¼
2
4
6
)2( XV 2
2
1
4 =×=
4)2( =XE
2
)( =XV
)(22 XV×=
2
4
1
)46(
2
1
)44(
4
1
)42()2( 222 =×−+×−+×−=XV
Questão
1. Uma moeda perfeita é lançada 3 vezes. Seja
Y o número de caras obtidas.
Y p(y)
0 1/8
Calcule o valor esperado e a variância.
0 1/8
1 3/8
2 3/8
3 1/8