Valor Esperado e Variância
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Valor Esperado e Variância

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Valor esperado e Variância

Prof. Carlos Amorim

Valor esperado
(Esperança Matemática)

O valor esperado, , de uma variável
aleatória discreta é definido como:

)(XE

X

∑=
n

xpxXE )()( ∑
=

=
i

ii xpxXE
1

)()(

onde, nxxx ,...,, 21 : valores possíveis de X.

)()( ii xXPxp ==

Valor esperado

• É a mesma média que aprendemos anteriormente?

Notas de 100 alunos:
4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,3,3,3,3,3,3,3,3,
3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,

2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,02,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,0

Como podemos encontrar a média?

- Somar todos os números e dividir por 100: 92,2
100

292
=

- Multiplicar cada número pela quantidade de vezes que ele
se repete, somar os resultados e dividir por 100:

Valor esperado

128324 =×
105353 =×

54272 =×
551 =×

010 =×

2920554105128 =++++

92,2
100

292
=

010 =× 100

x )(xp

4

3

2

1

0

0,32

0,35

0,27

0,05

0,01

)(xxp

1,28

1,05

0,54

0,05

0,00

00,005,054,005,128,1)( ++++=XE

92,2)( =XE

é uma média ponderada dos diferentes
valores de X com pesos dados pelas
respectivas probabilidades.

)(XE

Valor esperado
• Ex:

– Experimento: lançamento de um dado;

– X: número de pontos obtidos.

?)( =XE ?)( =XE

x )(xp
1

2

3

4

5

6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

6

1
6

6

1
5

6

1
4

6

1
3

6

1
2

6

1
1)( ×+×+×+×+×+×=XE

5,3)( =XE

não é o resultado que podemos esperar quando X
for observada uma única vez.

)( XE

é a média aritmética dos resultados quando X for
observada um grande número de vezes.

)(XE

Valor esperado

O valor esperado, , de uma variável
aleatória contínua é definido como:

)(XE

X

∫
+∞

= dxxxfXE )()( ∫
+∞

∞−
= dxxxfXE )()(

onde, )(xf : é a função de densidade de probabilidade.

Valor esperado

• Ex:
=)(xf

,2x

0, para outros valores de .

10 << x

x

∫
+∞

= ∫
+∞

∞−
= dxxxfXE )()(

∫∫∫
+∞

∞−
++=

1

1

0

0

)()()()( dxxxfdxxxfdxxxfXE

∫∫∫
+∞

∞−
++=

1

1

0

0

020)( dxxdxxdxXE

∫ ===
1

0

1

0

3
2

3

2

3
22)(

x
dxxXE

Valor esperado

• Ex2: (relógio elétrico)

=)(xf

º0<x

º360º0 <≤ x

0, se

1/360, se

∫ ===
360

0

360

0

2

180
2360

1

360

1
)(

x
dxxXE

º360≥x0, se

Valor esperado de uma função de
uma variável aleatória

a) Caso discreto:

∑
n

XSeja uma variável aleatória e seja ).(XHY =

∑
=

==
n

i

ii xpxHxHEYE
1

)()()]([][

b) Caso contínuo:

∫
+∞

∞−
== dxxfxHxHEYE )()()]([][

Valor esperado de uma função de
uma variável aleatória

a) Caso discreto:

Ex:

X 0 1 2

p(xi) 1/4 2/4 1/4

12)( += xxH

?)]([ =xHE

∑
=

+=+=
3

1

)()12(]12[)]([
i

ii xpxxExHE

b) Caso contínuo:

∫==
1

0

22 22]2[)]([ xdxxxExHE

?)]([ =xHE

3
4

1
5

4

2
3

4

1
1 =×+×+×=

=)(xf
,2x

0, para outros valores de .

10 << x

x

22)( xxH =

1|4 10
1

0

43 === ∫ xdxx

Propriedades do Valor esperado

Seja uma variável aleatória e uma constante.

• ;

• ;

X C

CCE =)(

)()( XECCXE ×=• ;

• ;

Se então ;

• k funções de , então

)()( XECCXE ×=

bXaY += )()( XbEaYE +=

CXECXE ±=± )()(

:)(),...,(),( 21 XHXHXH K X

)]([...)]([)]([)](...)()([ 2121 XHEXHEXHEXHXHXHE KK +++=+++

Propriedades do Valor esperado

• Ex:

x p(x)

1 ¼

2 ½

4

1
3

2

1
2

4

1
1)( ×+×+×=XE 2=

2 ½

3 ¼

x+3 p(x)

¼

½

¼

4

5

6

CXECXE +=+ )()( 532 =+=

4

1
6

2

1
5

4

1
4)3( ×+×+×=+XE 5=

Propriedades do Valor esperado

• Ex:

x p(x)

1 ¼

2 ½

4

1
3

2

1
2

4

1
1)( ×+×+×=XE 2=

2 ½

3 ¼

2x p(x)

¼

½

¼

2

4

6

)()( XECCXE ×= 422 =×=

4

1
6

2

1
4

4

1
2)2( ×+×+×=XE 4=

Propriedades do Valor esperado

• Ex:

x p(x)

1 ¼

2 ½

4

1
3

2

1
2

4

1
1)( ×+×+×=XE 2=

2 ½

3 ¼

2x+1 p(x)

¼

½

¼

3

5

7

1)(2)12( +=+ XEXE 5122 =+×=

4

1
7

2

1
5

4

1
3)12( ×+×+×=+XE 5=

Propriedades do Valor esperado

• Ex:

=)(xf
,2x

0, para outros valores de .

10 << x

x

22)( xxH =

?)]([ =xHE

=)2( 2XE 1
2

1
2 =×=

?)]([ =xHE

=)( 2XE

)(2 2XE

∫
1

0

22xdxx

1

0

4

2

x
=

2

1
=

Variância

a) Caso discreto:

∑
n

2)]([)( XEXEXV −=

∑
=

−=
n

i

ii xpXExXV
1

2 )()]([][

b) Caso contínuo:

∫
+∞

∞−
−= dxxfxExXV )()]([][ 2

Variância
• Ex:

x p(x) 2)( =XE ∑ −=
n

ii xpXExXV
2 )()]([][

a) Caso discreto:

x p(x)

1 ¼

2 ½

3 ¼

2)( =XE

∑
=

−=
3

1

2 )()2()(
i

ii xpxXV

∑
=

−=
i

ii xpXExXV
1

)()]([][

2

1

4

1
10

4

1
1 =×++×=

Variância
• Ex:

=)(xf
,2x 10 << x

b) Caso contínuo:

2

∫
+∞

∞−
−= dxxfxExXV )()]([][ 2

=)(

0, para outros valores de .x
3

2
)( =XE

∫
+∞

∞−
−= dxxfxXV )(]

3

2
[][ 2 =+−= ∫

+∞

∞−
dxxfxx )()

9

4

3

4
( 2

=+−= ∫ ∫∫
+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−
dxxfdxxxfdxxfx )(

9

4
)(

3

4
)(2

=×+−= ∫
1

0

2 1
9

4
)(

3

4
2 XExdxx =+×−

9

4

3

2

3

4

2

1

0

4x

18

1

9

4

2

1
=−

Variância

• Teorema:

)()()( 22 XEXEXV −=

Demonstração:
2)]([)( XEXEXV −=

Demonstração:

)]()(2[ 22 XEXXEXE +−=

)]([)](2[)( 22 XEEXXEEXE +−=

)()()(2)( 22 XEXEXEXE +−=

)()(2)( 222 XEXEXE +−=

)()( 22 XEXE −=

Variância
• Ex:

x p(x) 2)( =XE

a) Caso discreto:

x p(x)

1 ¼

2 ½

3 ¼

2)( =XE

∑
=

−=
3

1

2 )()2()(
i

ii xpxXV 2

1

4

1
10

4

1
1 =×++×=

)()()( 22 XEXEXV −=

∑
=

=
3

1

22 )()(
i

i xipxXE
2

9

2

5
2

4

1
9

2

1
4

4

1
1 =+=×+×+×=

2

1
2

2

9 2 =−=

Variância
• Ex:

=)(xf
,2x 10 << x

b) Caso contínuo:

2
18

1
)()]([][ 2 =−= ∫

+∞

∞−
dxxfxExXV

=)(

0, para outros valores de .x
3

2
)( =XE

)()()( 22 XEXEXV −=

∫=
1

0

22 2)( xdxxXE
2

1

2

1

0

4

==
x

18

1

3

2

2

1
2

=







−=

Propriedades da Variância

Seja uma variável aleatória e uma constante.

• ;

• ;

X C

0)( =CV

)()( 2 XVCCXV ×=• ;

•

)()( 2 XVCCXV ×=

).()( XVCXV =±

Propriedades da Variância

• Ex:

x p(x)

1 ¼

2 ½
1

)( =XV

2)( =XE

2 ½

3 ¼
2

)( =XV

x+3 p(x)

¼

½

¼

4

5

6

=+ )3(XV

2

1

4

1
)56(

2

1
)55(

4

1
)54()3( 222 =×−+×−+×−=+XV

2

1
)( =XV

5)3( =+XE

Propriedades da Variância

• Ex:

x p(x)

1 ¼

2 ½

2)( =XE

2

1
)( =XV2 ½

3 ¼

2x p(x)

¼

½

¼

2

4

6

)2( XV 2
2

1
4 =×=

4)2( =XE

2
)( =XV

)(22 XV×=

2
4

1
)46(

2

1
)44(

4

1
)42()2( 222 =×−+×−+×−=XV

Questão

1. Uma moeda perfeita é lançada 3 vezes. Seja
Y o número de caras obtidas.

Y p(y)

0 1/8

Calcule o valor esperado e a variância.

0 1/8

1 3/8

2 3/8

3 1/8
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