Magna 02 Ondas Eletromagneticas II

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Polarização 
de ondas eletromagnéticas
e 
Reflexão e Refração
Aula 2
Ondas polarizadas oscilando 
perpendicularmente à rodovia
Ondas polarizadas oscilando 
paralelamente à rodovia
Ondas eletromagnéticas 
Polarização da radiação
Polarização linear:
Direção do campo elétrico ),( trE 
2
Representação de uma 
onda linearmente polarizada
na direção y
Plano de 
oscilação
Polarização vertical
Polarização horizontal
Polarização a 45°
Polarização a 135°
Ondas eletromagnéticas 
Polarização da radiação
)sin(),(
0
trkEtrE  
ytkzE
xtkzEtrE
ˆ)cos(
ˆ)sin(),(
0
0





Polarização linear
Polarização circular
2
0
22 ),(),( EtrEtrE yx 

3
https://en.wikipedia.org/wiki/Polarization_(waves)#/media/File:Polarisation_rectiligne.gif
Ondas eletromagnéticas 
Polarização da radiação
)sin(),(
0
trkEtrE  
ytkzE
xtkzEtrE
ˆ)cos(
ˆ)sin(),(
0
0





Polarização linear Polarização circular
2
0
22 ),(),( EtrEtrE yx 

4
https://en.wikipedia.org/wiki/Polarization_(waves)#/media/File:Rising_circular.gif
5
Ondas eletromagnéticas 
Polarização da radiação
Linearmente polarizada
circularmente polarizada
Direção de 
propagação
Note a 
diferença de 
fase de 90°
Campo E
Se esta onda 
estivesse se 
aproximando de um 
observador, o vetor 
E pareceria estar 
girando no sentido 
horário: esta é uma 
polarização circular.
Direção de 
propagação
6
Polarização circular
Veja uma animação em https://en.wikipedia.org/wiki/Circular_polarization
OBS: veja que legal aqui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Polarization_(waves)#/media/File:Rising_circular.gif 7
Ondas eletromagnéticas 
Polarização da radiação
Polarização elíptica (duas ondas com amplitudes 
diferentes e fora de fase de 90°)
ytkzExtkzEtrE
yx ˆ)cos(ˆ)sin(),( 00  
1
),(),(
2
0
2
2
0
2

y
y
x
x
E
trE
E
trE

x
E
y
E
8
x
E
y
E
9
Em uma onda não polarizada a 
direção instantânea do vetor 
polarização varia aleatoriamente 
com o tempo. Pode-se produzir 
uma onda não-polarizada 
superpondo duas ondas 
linearmente polarizadas em 
direções perpendiculares e 
aleatórias. 
Ondas eletromagnéticas não polarizadas 
O campo E aponta para diferentes direções, 
mas sempre com a mesma amplitude; a 
onda está se propagando perpendicular ao 
papel; também podemos criar uma onda 
não polarizada superpondo duas ondas 
polarizadas perpendicularmente e 
aleatoriamente.
 A luz com diversas polarizações pode ser representada
pela soma de seus componentes y e z separadamente, 
de modo a produzir as componentes y e z resultantes
 Para a luz não polarizada, obtemos componentes iguais nas 
direções y e z
 Se a polarização na direção z for encontrada com maior 
frequência do que na direção y, então a luz estará 
parcialmente polarizada na direção z
Ondas eletromagnéticas não polarizadas 
10
Polarizador (1)
 A luz não polarizada pode ser transformada em luz polarizada fazendo-a 
atravessar um polarizador
 Um polarizador permite que apenas uma componente da polarização da luz o 
atravesse
 Uma maneira de confeccionar um polarizador é produzir um material
formado por longas cadeias paralelas de moléculas, as quais, efetivamente,
deixam passar apenas as componentes da luz com uma dada polarização e 
bloqueiam a componente com a outra polarização.
11
12
Ondas eletromagnéticas 
Não vamos examinar o que está acontecendo 
microscopicamente com as moléculas do filtro ou 
material polarizador, e vamos definir:
eixo de polarização  direção de polarização
de modo que a componente do E // a essa direção 
é transmitida e a componente do E  a essa 
direção é absorvida!
Polarizador (2)
 Discutiremos polarizadores sem considerar em detalhes a
estrutura molecular
 Ao invés disso, caracterizaremos cada polarizador por uma direção
ou eixo de polarização
 A luz não polarizada, ao atravessar um polarizador, emerge polarizada
em uma direção de polarização
13
Polarizador (3)
 As componentes da luz não polarizada 
cujos campos elétricos possuam a mesma 
direção do polarizador serão transmitidas, 
enquanto as componentes perpendiculares ao 
eixo do polarizador serão absorvidas; 
 Se luz com um campo elétrico paralelo
ao eixo de polarização incidir no 
polarizador, toda a luz passará por ele;
 Se luz com um campo elétrico perpendicular
ao eixo de polarização incidir no 
polarizador, nenhuma luz será transmitida.
14
15
Uma analogia mecânica
Polarizador
 Agora consideremos a intensidade da luz que atravessou um polarizador;
 Começamos com a luz não polarizada de intensidade I0;
 A luz não polarizada possui componentes de polarização iguais nas
direções y e z;
 Após ter atravessado um polarizador vertical, somente a componente
y permanece;
 A intensidade I da luz após ter atravessado o polarizador é dada por
porque a luz não polarizada recebia contribuições iguais das componentes
y e z e somente a componente y é transmitida pelo polarizador vertical.
 O fator de ½ se aplica apenas ao caso de luz não polarizada que
atravessa um polarizador.
0
1
2
I I
16
Intensidade após o polarizador (1)
 Consideremos agora o caso em que luz polarizada incida em um polarizador 
e que esta luz tem uma polarização que não é paralela nem perpendicular ao 
eixo de polarização do polarizador 
 O ângulo formado entre a polarização
da luz incidente e o eixo polarizador é 
 A componente do campo elétrico E
da luz transmitida é dada por:
em que E0 é a amplitude do campo elétrico da luz polarizada incidente
 A intensidade luminosa I0 antes de atravessar o polarizador é dada por 
EE0cos
I0
1
c0
Erms
2
1
2c0
E0
2
17
Intensidade após o polarizador (2)
 Após atravessar o polarizador, a intensidade I é dada por
 A intensidade transmitida em termos da intensidade original é
 Este resultado é chamado de lei de Malus. 
 Essa equação se aplica ao caso da luz polarizada que incide em
um polarizador.
I
1
2c0
E2I
1
2c0E
2
1
2c0E0cos 
2
I0cos
2
18
19
Resumindo: 
luz não-polarizada fica polarizada ao passar pelo polarizador:
Apenas a componente da luz na direção de 
polarização do filtro consegue atravessá-lo:
I = ½ I0
(regra da metade)
Ondas eletromagnéticas não polarizadas 
Polarizadores
ANTES: Intensidade da radiação incidente não-polarizada 
(ex.: luz natural)
DEPOIS: Intensidade da 
radiação polarizada ao 
longo de :
yˆ
 


2
0
0202
0
2
cos
2
cos
I
d
I
II

20
Luz não polarizada 
Filtro polarizador vertical
Luz polarizada verticalmente Luz polarizada
no ângulo 
(Estamos aqui fazendo uma média sobre todas as orientações, portanto uma média em ângulo)
21
Agora um outro caso: 
o que acontece se a luz que 
incide no filtro já for 
Polarizada?
apenas a componente na direção de polarização (y) é transmitida!
Considerando que Ey= E cos, a intensidade da luz transmitida será
I = I0 cos
2 
(lei de Malus, ou do cosseno ao quadrado)
z
y
Visualização através de um polarizador:
Ondas eletromagnéticas 
Polarizadores
22
23
Eixos
paralelos
Eixos
perpendiculares
 Ondas eletromagnéticas podem ser 
polarizadas (linear, circular, elíptica), 
não-polarizadas ou parcialmente 
polarizadas;
 Certos materiais polarizadores deixam 
passar apenas a componente do campo 
elétrico paralela aoeixo de polarização.
Mais um resumo da aula até agora: 
24
Ondas eletromagnéticas: Reflexão e Refração 
xkktkx ˆ seconst. 

A frente de onda é o lugar geométrico dos pontos onde
const. trk 
Frente de onda plana: 
)trk(senE)t,r(E   0
25
Direção de propagação
Ondas eletromagnéticas 
00
1

c

1
v
)()(
1
)(
rr
rv 



vc 
No vácuo
Em meios materiais
Em geral
t
tt  
tt  2 
tt 3
Raios
(s à frente
de onda)frentes de 
onda 26
Ondas eletromagnéticas 
Reflexão e refração: Princípio de Huygens
Todos os pontos de uma frente de onda se comportam 
como fontes pontuais para ondas secundárias.
Depois de um intervalo de tempo t, a nova posição da 
frente de onda é dada por uma superfície tangente a estas 
ondas secundárias.
27
Ondas eletromagnéticas 
Reflexão e refração: Princípio de Huygens
28
Ondas eletromagnéticas 
Reflexão e refração: Princípio de Huygens
29
Ondas eletromagnéticas 
Reflexão e refração
1
v
2
v
Índice de refração
v
c
n 
h
ttp
://w
w
w
.p
h
y.n
tn
u
.ed
u
.tw
/n
tn
u
java/view
to
p
ic.p
h
p
?t=3
2
30
ri
 
reflexão especular
AD
tv
AD
BD
sen i
1
AD
tv
AD
AC
sen r
1
Ondas eletromagnéticas 
Reflexão e refração
i r
31
Ondas eletromagnéticas 
Reflexão e refração: reflexão especular x reflexão difusa
32
Ondas eletromagnéticas 
Reflexão e refração: Lei de Snell
AD
tv
AD
BD
i
1sen 
AD
tv
AD
AE
t
2sen 
1
v
2
v
i
i
v
c
n 
AD
tv
AD
BD
sen i
1
i
 
1
t
 
2
onde
i
t
33
Ondas eletromagnéticas 
Reflexão e refração: Lei de Snell
AD
tv
AD
BD
i
1sen 
AD
tv
AD
AE
t
2sen 
1
v
2
v
i
i
v
c
n 
AD
tv
AD
BD
sen i
1
i
 
1
t
 
2
onde
i
t
34
111
1
 senn
ct
sen
tv
AD 
222
2
 senn
ct
sen
tv
AD 
2211  sennsenn 
i
t
2
v
Ondas eletromagnéticas 
Reflexão e refração: Lei de Snell
21
nn 
12
21
 
 nn
1
2
1
2 sensen 
n
n

35
Ondas eletromagnéticas 
Reflexão e refração: Lei de Snell
12
21
 
 nn
1
2
1
2 sensen 
n
n

12
21
 
 nn
36
Reflexão interna total
37
Ondas eletromagnéticas 
Reflexão interna total
Se a incidência se dá de um meio mais refringente para outro 
menos refringente, ou seja, , há um ângulo crítico acima 
do qual só há reflexão.
21
nn 
221 90 nsennsenn c 









 
1
21
n
n
senc
n1
n2
n1 > n2
c
1
2
2211  sennsenn 
38
Reflexão para o ângulo crítico
Ondas eletromagnéticas 
Reflexão interna total: uma aplicação em fibras ópticas
39
Aplicação: Fibra óptica 
 Se o segundo meio é o ar, então podemos fazer n2 igual a 1 e 
obter uma expressão para o ângulo crítico para a reflexão interna 
total da luz, deixando um meio com índice de refração n e 
entrando no ar: sen c= 1/n.
 Uma aplicação importante para a reflexão interna total é na fabricação de 
fibras ópticas.
 A luz é injetada em uma fibra óptica de forma que o ângulo de reflexão na 
superfície interna da fibra é maior que ângulo crítico para a reflexão 
interna total
 Esta luz é então transportada ao longo do comprimento da fibra por 
reflexões sucessivas.
 Um tipo de fibra óptica usada para comunicação digital que consiste em 
um núcleo de vidro envolto por revestimento feito de vidro, com um índice 
de refração menor do que o do núcleo.
40
vava nn 22 
Ondas eletromagnéticas 
Dispersão cromática )(nn 
)sin()(),( trkkEtrE 



Luz branca
)()(se 2121  nn Em geral,
1
2
1
2 sensen 
i
i
i
n
n

12
211
 

i
ii nn
41
Ondas eletromagnéticas 
Dispersão cromática )(nn 
Luz branca
)()(se 2121  nn Em geral,
12
21 1
 

i
ii nn
1
2
1
2 sensen 
i
i
i
n
n

vava nn 22 
)trk(sen)k(E)t,r(E 



12
211
 

i
ii nn
vava nn 11 
42
42,5o
Ondas eletromagnéticas 
Dispersão cromática:
Formação do arco-íris
Usando ótica geométrica, a 
lei de Snell e algumas 
considerações físicas a mais
Luz vermelha
Veja uma dedução em:
https://plus.maths.org/content/rainbows
Reflexão Total
Refração
Refração
42,5o 41,1o
Ondas eletromagnéticas 
Dispersão cromática:
Formação do arco-íris
Lembrando que comprimentos 
de onda menores sofrem 
deflexão maior
Ver. + Viol.
Veja uma dedução em:
https://plus.maths.org/content/rainbows
Lu
z 
So
la
r
42,5o 41,1o
Ondas eletromagnéticas 
Dispersão cromática:
Formação do arco-íris
O arco tem mais 
ou menos 1,5o
de largura?...
Lu
z 
So
la
r
42,5o 41,1o
Ondas eletromagnéticas 
Dispersão cromática:
Formação do arco-íris
Na verdade, o ângulo real é um pouco acima de 
2o, levando em conta:
• todo o espectro visível 
• o tamanho não-pontual do sol (cerca de 0,5o)
O arco tem mais 
ou menos 1,5o
de largura?...
Ondas eletromagnéticas 
Dispersão cromática:
Formação do arco-íris
arco-íris 
principal
arco-íris 
secundário
47
Luz do sol gotas de chuva
Luz do sol
gotas de chuva
Luz do sol
Ondas eletromagnéticas 
Dispersão cromática:
Formação do arco-íris
Cachoeira da Fumaça – Jalapão, TO – julho/2011
arco-íris 
principal
arco-íris 
secundário
48
gotas de chuva
gotas de chuva
Luz do sol
Luz do sol
Ondas eletromagnéticas 
Polarização por reflexão
A luz refletida por uma superfície
é totalmente polarizada na direção 
perpendicular ao plano de 
incidência quando ocorre
90 refrrefl 
Então
 ii sennsenn   9021
1
2tan
n
n
i
 1
21tan
n
n
Bi

B
 : ângulo de Brewster
B
n2
n1
r
refr 90 refrB 

49
Raio refletido
(pode ser parcial ou 
totalmente
polarizado)
Raio incidente
(não polarizado)
Raio refratado
(parcialmente polarizado)
Resumo da 2ª aula
• Ondas eletromagnéticas podem ser polarizadas;
• Em filtros polarizadores: se luz for não-polarizada, a intensidade 
transmitida será I=½ I0 ; se luz for polarizada, a intensidade 
transmitida será I= I0 cos
2.
• Ótica geométrica: ondas planas e raios.
• Lei da reflexão.
• Lei da refração ou lei de Snell:
• Reflexão interna total:
• Polarização por reflexão (ângulo de Brewster):
50
2211
sinsin  nn 
221 90 nsennsenn c 







 
1
21sin
n
n
c
 ii sennsenn   9021
1
2tan
n
n
i

ADENDOS
Problema 7 (Cap.33; Ex.53)
Na Fig. 33-57 um raio incide em uma das faces de um prisma triangular de vidro imerso
no ar. O ângulo de incidência é escolhido de tal forma que o raio emergente faz o
mesmo ângulo com a normal à outra face. Mostre que o índice de refração n do vidro
é dado por:
n=
sen
1
2
(ψ+Φ)
sen
1
2
(Φ)
Onde é o ângulo do vértice superior do prisma e é o ângulo de desvio, definido
como o ângulo entre o raio emergente e o raio incidente. (Nessas condições, o ângulo de
desvio tem o menor valor possível, que é denominado ângulo de desvio mínimo).
θ
ψ
θ
Φ
No ar n = 1
Do triângulo temos:
θ= α+
ψ
2
→θ=
ϕ
2
+
ψ
2
β+ ψ/2+β+ ψ /2+ Φ= 180º→α=
ϕ
2
α+ ψ/2+β=90→β= 90− α− ψ/2
Substituindo temos:
Problema 7 (Cap.33; Ex.55)
n=
sen
1
2
(ψ+Φ)
sen
1
2
(Φ)
Φ
Φ
53


sen
sen
nsennsen  
Ondas eletromagnéticas 
Problema 8 (Cap.33; Ex.55)
Uma fonte luminosa pontual está 80,0 cm abaixo da
superfície de uma piscina. Calcule o diâmetro do
círculo, na superfície, através do qual a luz emerge
da água.
54
Uma fonte luminosa pontual está 80,0 cm abaixo da superfície de uma piscina.
Calcule o diâmetro do círculo, na superfície, através do qual a luz emerge da água.
d
R
h
  2/122 Rdh
m0,8d


ararcOH nnn  90sensen2
1/222 )R(d
R
h
R
752,0
33,1
1
sen
2


OH
ar
c
n
n
)565,01(R),80(565,0R)R(d565,0 22222 
cm182D
m1,8242RD;m0,912R832,0R2


55
Na Figura, um raio luminoso que estava se propagando inicialmente no ar incide em
um material 2 com um índice de refração n2 = 1,5. Abaixo do material está o material
3, com um índice de refração n3. O raio incide na interface ar – material com o
ângulo de Brewster para essa interface e incide na interface material 2 – material 3
com o ângulo de Brewster para essa interface. Qual é o valor de n3?
Problema 9 (Cap.33; Ex.66)
θ1
θ2
β
(ar)
n2
n3
Pela definição do ângulo de Brewster
nas duas interfaces:
1
3
21
2
3
2
1
2
1
)tan()tan( :seja ou
)tan(;)tan(
n
n
n
n
n
n




)(ar também1 :ou;1 : logo
)tan(
1
)tan(
2
 :mas
3
1
3
1
212


n
n
n


θ2
1n
fios metálicos
Ondas eletromagnéticas 
Polarizadores
A luz polarizada em uma dada direção é absorvida pelo material 
usado na fabricação do polarizador. A intensidade da luz 
polarizada perpendicularmente a esta direção fica inalterada. 
Exemplo:
eixo de polarização
57
Os fios metálicos contêm elétrons, que podem absorver energia da 
onda elmg e causar corrente nos fios metálicos. 
Mas os elétrons só absorvem energia da componente // aos fios.
58
Você quer testar seus óculos de sol?
(polarização por absorção)
As lentes contêm cristais longos, alinhados em uma direção, 
que absorvem luz que neles incide // à direção do 
alinhamento e deixa passar luz polarizada  ao alinhamento.
Relação entre a orientação da cadeia de moléculas 
e a orientação do eixo de polarização
Quando moléculas estão alinhadas 
verticalmente, o eixo de polarização 
é horizontal
Quando moléculas estão alinhadas 
horizontalmente, o eixo de polarização 
é vertical
Ondas eletromagnéticas 
Polarizadores
Intensidade de uma componente
da radiação incidente:
)(
2
1
2
1 2
0
2
||00
2
000  EEcEcI 


sin
cos
00
0||0
EE
EE



Intensidade da radiação 
polarizada ao longo de :
2
0
cosII 
yˆ
yExEE ˆˆ 0//00

 
eixo de
polarização
2
||00
2
1
EcI 
59