Solução da 1ª Prova

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Primeira Prova de Estat´ıstica
novembro de 2014
Prof. Henrique Neder
1. A revista Wall Street Journal Stock Market Data Bank informa o nu´mero
de ac¸o˜es negociadas na New York Stock Exchange, em intervalos de meia-
hora. Seguem-se os nu´meros combinados de ac¸o˜es negociadas (em milho˜es
de ac¸o˜es) em intervalos de meia hora durante treˆs dias.
Ac¸o˜es negociadas (em milho˜es) Nu´mero de per´ıodos a cada meia hora
5 – 10 8
10 – 15 17
15 – 20 8
20 – 25 3
25 – 30 2
30 – 35 1
a. Encontre a me´dia e desvio padra˜o dessa distribuic¸a˜o. (valor: 15)
µ =
∑
Xi
N =
∑
fiPMi∑
fi
=
8×7.5+17×12.5+8×17.5+3×22.5+2×27.5+1×32.5
8+17+8+3+2+1 = 14, 5512
σ2X =
∑
X2i−Nµ2
N =
∑
fiPM
2
i −Nµ2
N =
8×7.52+17×12.52+8×17.52+3×22.52+2×27.52+1×32.52−(8+17+8+3+2+1)∗14,55122
8+17+8+3+2+1 =
35, 5382
σX =
√
35, 5382 = 5, 9613
b. Encontre a mediana e a moda. (valor: 10)
X.5 = 10 + 5×
39
2 −8
17 = 13, 3823
A classe modal e´ o segundo intervalo de frequeˆncia.
c. Verifique que tipo de assimetria / simetria tem esta distribuic¸a˜o. (valor:
10)
Como a me´dia e´ menor que a mediana temos uma assimetria negativa.
2. O nu´mero de horas de visualizac¸a˜o de televisa˜o por famı´lia e as horas
de programac¸a˜o principais sa˜o dois fatores que afetam o rendimento da
publicidade por televisa˜o. Uma amostra aleato´ria de 25 famı´lias em uma
a´rea de visualizac¸a˜o especial produziu as seguintes medidas de visualizac¸a˜o
por agregado familiar:
3.0, 6.5, 5.0, 7.5, 9.0, 6.0, 8.0, 12.0, 5.0, 2.0, 7.5, 4.0, 1.0, 10.0, 6.5
a. Calcule a me´dia da amostra e do desvio padra˜o da amostra. (valor: 15)
X¯ =
∑
Xi
N =
3.0+6.5+5.0+7.5+9.0+...+10.0+6.5
15 = 6, 2
s2X =
∑
X2i−nµ2
n−1 =
702−15×6,22
15−1 = 8, 9571
sX =
√
8, 9571 = 2, 9928
b. Encontre o percentual das horas de observac¸a˜o por domic´ılio que cai
no intervalo x¯± s. (valor: 15)
1
X¯ − s = 6, 2− 2, 9928 = 3, 2071
X¯ + s = 6, 2 + 2, 9928 = 9, 1928
As observac¸o˜es que esta˜o dentro deste intervalo sa˜o: 6.5,5.0,7.5,9.0,6.0,8.0,5.0,7.5,4.0,6.5
Temos enta˜o: 100× 1015 = 66, 67%
3. No aˆmbito de um estudo sobre o rendimento dispon´ıvel mensal de duas
populac¸o˜es (A e B), foram extra´ıdas amostras de 10 elementos de cada
uma delas. Os resultados em milhares de euros foram os seguintes.
Populac¸a˜o Rendimento mensal (R$ 1000 por ano)
A 12 40 24 45 68 32 68 23 34 45
B 14 61 24 68 41 62 14 67 51 70
a. Verifique qual das duas distribuic¸o˜es tem maior variabilidade rela-
tiva (sugesta˜o: use o coeficiente de variac¸a˜o para fazer esta comparac¸a˜o).
(valor: 20)
Amostra de A:
X¯A =
12+40+24+45+68+32+68+23+34+45
10 = 39, 1
X¯B =
14+61+24+68+41+62+14+67+51+70
10 = 47, 2
s2A =
∑
X2i−n×Xˆ2
n−1 =
122+402+242+452+682+322+682+232+342+452−10×39,12
10−1 =
337, 6555
s2B =
∑
X2i−n×Xˆ2
n−1 =
142+612+242+682+412+622+142+672+512+702−10×47,22
10−1 =
505, 5111
sA =
√
337, 6555 = 18, 3754
sB =
√
505, 5111 = 22, 4835
CVA =
18,3754
39,1 = 0, 4699
CVB =
22,4835
47,2 = 0, 4763
b. Misture as duas distribuic¸o˜es e calcule a me´dia e a variaˆncia da amostra
resultante. (valor: 15)
X¯ =
∑
Xi
n =
12+40+24+...+67+51+70
20 = 43, 15
s2X =
∑
X2i−n×Xˆ2
n−1 =
122+402+242+...+672+512+702−20×43,152
20−1 = 416, 6605
2