Solução da 2ª Lista

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Exerc´ıcios de Probabilidade - Soluc¸a˜o
Henrique Dantas Neder
Professor Associado
Universidade Federal de Uberlaˆndia
10 de novembro de 2014
1. Sabe-se que 80 % dos peˆnaltis marcados a favor do Brasil sa˜o cobrados
por jogadores do Flamengo. A probabilidade de um peˆnalti ser conver-
tido e´ 40 % se o cobrador for do Flamengo e de 70 % em caso contra´rio.
Um peˆnalti a favor do Brasil acabou de ser marcado:
a) Qual a probabilidade do peˆnalti ser cobrado por um jogador do
Flamengo e ser convertido?
Seja o evento F = {o peˆnalti e´ cobrado pelo jogador do Flamengo} e o
evento C = {o peˆnalti e´ convertido em gol}
P(F)=0,80
P(C/F)=0,40
P (C/F ) = 0, 70
P (F ∩ C) = P (F )× P (C/F ) = 0, 80× 0, 40 = 0, 32
b) Qual a probabilidade do peˆnalti ser convertido?
C = (C ∩ F ) ∪ (C ∩ F )
P (C) = P (F )× P (C/F ) + P (F )× P (C/F )=
0, 80× 0, 40 + (1− 0, 80)× 0, 70 = 0, 46
2. Marina quer enviar uma carta a Veroˆnica. A probabilidade de que
Marina escreva a carta e´ de 8/10. A probabilidade de que o correio
na˜o perca e´ de 9/10. A probabilidade de que o carteiro entregue e´ de
9/10. Dado que Veroˆnica na˜o recebeu a carta, qual e´ a probabilidade
condicional de que Marina na˜o a tenha escrito?
Sejam os eventos:
M = {Marina escreve a carta}
C = {O correio na˜o perde a carta}
T = {O certeiro entrega a carta}
V = {Veroˆnica recebe a carta}
P(M) = 0,8
P(C) = 0,9
P(T) = 0,9
V = M ∪ C ∪ T
P (M/V ) = P (M∩V )
P (V )
= P (M∪V )
P (V )
= 1−(P (M)+P (V )−P (M∩V )
1−P (V ) =
1−(P (M)+P (V )−P (M)×P (V/M))
1−P (V ) =
1−(0,8+0,8×0,9×0,9−0,8×0,9×0,9)
1−0,8×0,9×0,9 = 0, 5682
1
3. Duas ma´quinas A e B produzem 3000 pec¸as em um dia. A ma´quina A
produz 1000 pec¸as, das quais 3 % sa˜o defeituosas. A ma´quina B produz
as restantes 2000, das quais 1 % sa˜o defeituosas. Da produc¸a˜o total
em um dia uma pec¸a e´ escolhida ao acaso e, examinando-a, constata-
se que e´ defeituosa. Qual e´ a probabilidade de que a pec¸a tenha sido
produzida pela ma´quina A?
A = {A pec¸a e´ produzida pela ma´quina A}
B = {A pec¸a e´ produzida pela ma´quina B}
D = {A pec¸a e´ defeituosa}
P(A) = 1/3
P(B) = 2/3
P(D/A) = 0,03
P(D/B) = 0,01
P (A/D) = P (A∩D)
P (D)
= P (A∩D)
P ((D∩A)∪(D∩B)) =
P (A)×P (D/A)
P (A)×P (D/A)+P (B)×P (D/B) =
1/3×0,03
1/3×0,03+2/3×0,01 = 0, 6
4. Uma moeda equilibrada e´ jogada duas vezes. Sejam A e B os eventos:
A: cara na primeira jogada; B: cara na segunda jogada Verifique que A
e B sa˜o independentes.
Para provarmos que A e B sa˜o independentes temos que mostrar que:
P (A ∩B) = P (A)× P (B)
Sejam os eventos
A1 = cara na primeira jogada
A2 = cara na segunda jogada
P (A) = P (A1 ∩ A2) + P (A1 ∩ A2) = 1/2× 1/2 + 1/2× 1/2 = 1/2
P (B) = P (A1 ∩ A2) + P (A1 ∩ A2) = 1/2× 1/2 + 1/2× 1/2 = 1/2
P (A)× P (B) = 1/2× 1/2 = 1/4
Mas P (A ∩B) = P (A1 ∩ A2) = 1/2× 1/2 = 1/4 = P (A)× P (B)
e portanto A e B sa˜o independentes.
5. Um exame de laborato´rio teˆm eficieˆncia de 95 % para detectar uma
doenc¸a quando essa doenc¸a existe de fato. Entretanto o teste aponta
um resultado “falso positivo” para 1 % das pessoas sadias testadas.
Se 0,5 % da populac¸a˜o tem a doenc¸a, qual e´ a probabilidade de uma
pessoa ter a doenc¸a dado que seu exame foi positivo?
2
Sejam os eventos:
E = {O exame detecta a doenc¸a} D = {A doenc¸a existe de fato}
P(E/D) = 0,95
P (E/D) = 0, 01
P(D) = 0,05
P (D/E) = P (D∩E)
P (E)
= P (D)×P (E/D)
P (E)
= P (D)×P (E/D)
P ((E∩D)∪(E∩D)) ==
P (D)×P (E/D)
P (D)×P (E/D)+P (D)×P (E/D) =
0,05×0,95
0,05×0,95+0,95×0,01 = 0, 8333
6. Um ju´ri de 3 pessoas tem dois jurados que decidem corretamente (cada
um) com probabilidade p e um terceiro jurado que decide por cara ou
coroa. As deciso˜es sa˜o tomadas por maioria. Outro ju´ri tem proba-
bilidade p de tomar uma decisa˜o correta. Qual dos ju´ris tem maior
probabilidade de acerto?
Seja E1 = {o primeiro juri toma a decisa˜o correta}
Seja E2 = {o segundo juri toma a decisa˜o correta}
J1 = o primeiro jurado do primeiro juri toma a decisa˜o correta
J2 = o segundo jurado do primeiro juri toma a decisa˜o correta
J3 = o terceiro jurado do primeiro juri toma a decisa˜o correta P (E1) =
P ((J1∩ J2∩ J3)∪ (J1∩ J2∩ J3)∪ (J1∩ J2∩ J3)∪ (J1∩ J2∩ J3)) =
(1 − p) × p × 0, 5 + p × (1 − p) × 0, 5 + p × p × 0, 5 + p × p × 0, 5 =
(1− p)× p + p2 = p− p2 + p2 = p
Portanto, os dois juris tem a mesma probabilidade (p) de tomar a
decisa˜o correta.
7. Lanc¸a-se um dado na˜o viciado ate´ a obtenc¸a˜o do terceiro 6. Seja X o
nu´mero do lanc¸amentos em que isto ocorre. Calcule: a) P(X = 10); b)
P(X ¡ 10); c) P(X ¿ 10).
Soluc¸a˜o:
a) Para calcular P(X=10) temos que fixar o fato de que sai um seis no
de´cimo lanc¸amento e os outros dois resultados iguais a 6 podem sair em
combinac¸o˜es de dois resultados iguais a 6 dentro dos nove lanc¸amentos.
Enta˜o temos que ter qualquer sequencia de 2 resultados 6 e 7 resultados
na˜o 6 em 9 lanc¸amentos. Enta˜o a probabilidade de que saia o terceiro
6 no de´cimo lanc¸amento e´ igual a:
3
P(2 resultados iguais a 6 em 9 lanc¸amentos) x P(resultado 6 no de´cimo
lanc¸amento) =(
9
2
)
× (1
6
)2 × (1− 1
6
)7 × rac16 = 9!
2!× (9− 2)! × (
1
6
)2 × (1− 1
6
)7 × 1
6
= 0, 0465
b) P (X < 10) =
∑9
i=1 P (X = i) = P (X = 1)+P (X = 2)+ ...+P (X =
9)
P (X = 1) = 0
P (X = 2) = 0
P (X = 3) = (1
6
)3 = 1
216
P (X = 4) =
(
3
2
)
× (1
6
)2 × (1− 1
6
)× 1
6
= 3× 5
216
P (X = 5) =
(
4
2
)
× (1
6
)2 × (1− 1
6
)2 × 1
6
= 6× 5
216
P (X = 6) =
(
5
2
)
× (1
6
)2 × (1− 1
6
)3 × 1
6
= 10× 5
216
P (X = 7) =
(
6
2
)
× (1
6
)2 × (1− 1
6
)4 × 1
6
= 15× 5
216
P (X = 8) =
(
7
2
)
× (1
6
)2 × (1− 1
6
)5 × 1
6
= 21× 5
216
P (X = 9) =
(
8
2
)
× (1
6
)2 × (1− 1
6
)6 × 1
6
= 28× 5
216
P (X < 10) = 1
216
+ (1
6
)3× (3× (5
6
) + 6× (5
6
)2 + 10× (5
6
)3 + 15× (5
6
)4 +
21× (5
6
)5 + 28× (5
6
)6) = 0, 1782
c) P (X > 10) = 1 − P (X ≤ 10) = 1 − (P (X < 10) + P (X = 10)) =
1− (0, 1782 + 0.0465) = 0, 7753
8. Aos nu´meros inteiros de 1 a n sa˜o designadas probabilidades propor-
cionais aos seus valores. Determine p(i) para i=1,..,n.
P (X = Xi) = k ×Xi∑n
i=1 P (Xi) = 1∑n
i=1 P (Xi) =
∑n
i=1 k × Xi = k ×
∑n
i=1Xi = k × (1 + 2 + ... + n) =
k × n×(1+n)
2
= 1
k = 2
n(1+n)
Portanto: p(i) = 2
n(1+n)
× i
9. Uma moeda e um dado sa˜o lanc¸ados e os resultados sa˜o colocados na
forma (x,y), onde x representa o resultado da moeda e y representa o
4
resultado do dado. Determine o espac¸o amostral e a probabilidade dos
seguintes eventos: a) A: ocorrer cara;
Vamos simbolizar o espac¸o amostral pelo evento S.
S = {(K,1), (K,2), ..., (K,6), (C,1),(C,2),...(C,6)} P (A) = P (K, 1) +
P (K, 2) + ... + P (K, 6) = 6× 0, 5× 1/6 = 1/2
b) B: ocorrer nu´mero ı´mpar;
O espac¸o amostral e´ formado por 12 eventos equiprova´veis. Temos
os seguintes eventos favora´veis a B: (K,1), (K,3), (K,5), (C,1), (C,3),
(C,5). Portanto temos 6 eventos favora´veis a B. Aplicando a definic¸a˜o
cla´ssica dce probabilidade, temos que P(B) = 6/12 = 0,5
c) C: ocorrer nu´mero 3;
P(C) = 2/12 = 1/6
d) D: ocorrer A ∪B;
P (A∪B) = P (A)+P (B)−P (A∩B) = 0, 5+0, 5−3/12 = 9/12 = 3/4
e) E: ocorrer A ∩B
P (A ∩B) = 3/12
10. Considere A e B dois eventos quaisquer associados a um experimento.
Se P (A) = 0, 3 ; P (A∪B) = 0, 8 e P(B)=p, para quais valores de p, A
e B sera˜o: a. eventos mutuamente exclusivos? b. independentes?
a. P (A ∪ B) = P (A) + P (B)− P (A ∩ B) 0, 8 = 0, 3 + p− 0 Portanto
p = 0,8 - 0,5 = 0,3
b. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) 0, 8 = 0, 3 + p − 0, 3 × p
Portanto 0, 7× p = 0, 8− 0, 3 p = 0,5
0,7
= 5/7
11. A probabilidade de que o aluno A resolva um problema e´ de 2/3, e a
probabilidadede que B o resolva e´ de 3/4. Se ambos tentarem inde-
pendentemente, qual a probabilidade de o problema ser resolvido?
12. Suponha que A, B e C sa˜o acontecimentos tais que:
P (A) = P (B) = P (C) = 1
4
; P (A ∩B) = P (B ∩ C) = 0; P (A ∩ C) = 1
8
Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos acontecimentos A,B
ou C ocorra.
13. Considere dois acontecimentos A e B tais que:
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− 0, 1
P (A/B) = 0, 2
5
Determine P(B) e P (A¯/B)
14. Dados dois acontecimentos A e B, tais que:
P (A) = 1
4
, P (B) = 1
3
e P (A ∪B) = 1
2
Determine
a) Se A e B sa˜o independentes;
b) Se A e B sa˜o mutuamente exclusivos;
c) P (A/B), P (A¯/B), P (B¯/A) , P (A¯/B¯)
15. Sejam A e B dois eventos independentes. Prove que o complementar
de A e o complementar de B sa˜o tambe´m eventos independentes.
Se A e B sa˜o independentes, enta˜o P (A ∩B) = P (A)× P (B)
P (A∩B) = P (A ∪B) = 1− (P (A) +P (B)−P (A∩B) = 1−P (A)−
P (B) + P (A)× P (B) = (1− P (A))× (1− P (B)) = P (A)× P (B)
16. Numa amostra constitu´ıda por 100 indiv´ıduos foram obtidos os resul-
tados apresentados no quadro seguinte:
com bronquite sem bronquite
fumante 40 20
nao fumante 10 30
1. Diga justificando os eventos ”ser fumante” e ”ter bronquite” sa˜o
independentes.
A = ser fumante
B = ter bronquite
P(A) = 0,60
P(B) = 0,50
P (A ∩B) = 0, 40
P (A)× P (B) = 0, 3 6= P (A ∩B)
Portanto A e B sa˜o dependentes
2. Calcule a probabilidade de um individuo que e´ fumante ter bron-
quite.
P (B/A) = P (A ∩B)/P (A) = 0, 40/0, 60 = 0, 6667
17. Uma certa doenc¸a aparece em cerca de uma pessoa em cada mil numa
dada populac¸a˜o. Po˜e se em funcionamento um certo programa para
detectar a presenc¸a da doenc¸a, sendo utilizado um aparelho que mostra
6
a presenc¸a da doenc¸a em 99 por cento para uma pessoa com a doenc¸a
e em cinco por cento para uma pessoa sem essa doenc¸a. Pretende se
saber qual e´ a probabilidade de que uma pessoa com um teste positivo
tenha realmente a doenc¸a.
D = a pessoa e´ doente
A = o aparelho detecta a presenc¸a da doenc¸a
P(D) = 0,001
P(A/D)=0,99
P (A/D) = 0, 05
P (D/A) = P (A∩D)
P (A)
= P (D)×P (A/D)
P ((A∩D)∪(A∩D)) =
P (D)×P (A/D)
P (D)×P (A/D)+P (D)×P (A/D) =
0,001×0,99
0,001×0,99+0,999×0,05 = 0, 0194
7