Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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deriva´vel e se f ′(x) ela mesma e´ uma
func¸a˜o cont´ınua.

CAPI´TULO 10. SINAL DA DERIVADA E CRESCIMENTO 137

Exerc´ıcio 6.2. 2) Explique (com os conceitos do Ca´lculo) o que se modifica e o que
na˜o se modifica nos gra´ficos a seguir quando variamos o paraˆmetro b 6= 0 em:

i): y = fb(x) = bx
2

ii) y = fb(x) = x
2 + b

iii) y = fb(x) = x
2 + bx− 1.

(Obs.: nos itens i) e iii) ha´ certos pontos em que se veˆ bem as diferenc¸as entre os
gra´ficos).

Exerc´ıcio 6.3. Encontre o ponto (ou os pontos) do gra´fico de y = (x − 1)3 em que
sua(s) reta(s) tangente(s) e´ (sa˜o) paralela(s) a` reta y = 3x.

Encontre o ponto (ou os pontos) do gra´fico de y = x3 em que sua(s) reta(s)
tangente(s) e´ (sa˜o) ortogonal (s) a` reta y = −1

6
x.

Obs. Na˜o precisa desenhar nada.

Exerc´ıcio 6.4. (resolvido)
Considere a famı´lia de gra´ficos

y = fb(x) := (−b+ 4/3) · x2 + b · x+ (2b− 7/3), b ∈ R,

dos quais plotei apenas 7 representantes (b = 1, 1.2, 1.3, 4/3, 1.6, 1.8, 2):

5

-5

0
2

-10

x

41-1 0-3 3-2

Como se veˆ sa˜o gra´ficos bem diferentes, a` medida que mudamos o paraˆmetro b.

6. EXERCI´CIOS 138

Mas quando se faz um zoom na regia˜o x ∈ [0.3, 0.7] do domı´nio, os pedac¸os dos 7
gra´ficos de y = fb(x) se parecem muito:

2,5

1,5

2

1

0

x

0,70,5

0,5

0,60,4

Explique o que aconteceu quando fizemos o zoom, apo´s confirmar que que os pontos
(−1,−1) e (2, 3) pertencem a esses gra´ficos todos, ∀b ∈ R).

Dica: Teorema Valor Me´dio de Lagrange.

CAP´ıTULO 11

Aplicac¸o˜es da primeira e segunda derivadas

1. Primeiro crite´rio de ma´ximos e mı´nimos

Se olharmos bem a demonstrac¸a˜o que demos do Teorema de Rolle, veremos que
de fato ja´ provamos o seguinte:

Afirmac¸a˜o 1.1. Seja f : (a, b) → R deriva´vel. Se1 x ∈ (a, b) e´ ponto de Mı´nimo
Local ou de Ma´ximo Local, enta˜o f ′(x) = 0.

A rec´ıproca dessa Afirmac¸a˜o e´ em geral falsa: f(x) = x3 tem f ′(0) = 0 e x = 0
na˜o e´ nem Mı´nimo nem Ma´ximo local.

No entanto temos o seguinte:

Afirmac¸a˜o 1.2. Seja f : (a, b)→ R deriva´vel, com x ∈ (a, b) onde f ′(x) = 0.
• i) Suponha que existe um intervalo J centrado em x onde a func¸a˜o derivada
vale f ′ ≤ 0, se x < x, e f ′ ≥ 0, se x < x. Enta˜o x e´ Mı´nimo Local da f .

• ii) Suponha que que existe um intervalo centrado em x onde a func¸a˜o derivada
vale f ′ ≥ 0, se x < x, e f ′ ≤ 0, se x < x. . Enta˜o x e´ Ma´ximo Local da f .

Demonstrac¸a˜o.

De i): Temos que f ′(x) ≤ 0 se x ∈ (−δ + x, x) e f ′(x) ≥ 0 se x ∈ (x, x+ δ).
Mas enta˜o pelo item iii) do Teorema 3.1, a func¸a˜o original f(x) e´ decrescente em

(−δ + x, x). E pelo item i) do Teorema 3.1 a func¸a˜o original f(x) e´ crescente em
(x, x+ δ).

A conclusa˜o e´ que x e´ ponto de Mı´nimo da f restrita a (−δ+x, x+δ), um Mı´nimo
local portanto.

De ii): completamente ana´loga, mutatis mutandis.
�

2. Crite´rio da segunda derivada

Primeiro vamos relembrar e reforc¸ar o tema da segunda derivada ou acelerac¸a˜o
instantaˆnea em termos f´ısicos.

Para definir uma acelerac¸a˜o instantaˆnea usamos um limite do tipo:

lim
h→0

f ′(x+ h)− f ′(x)
h

,

1E´ muito importante que (a, b) seja aberto, pois f : [0, 1]→ R, f(x) = x tem pontos de ma´ximo
e mı´nimo e no entanto f ′(0) = f ′(1) = 1, onde essas derivadas devem ser entendidas como derivadas
a` direita f ′+(0) e a` esquerda f

′
−(1).

139

3. UM PROBLEMA TI´PICO PARA OS ENGENHEIROS 140

onde f ′(x) e´ a func¸a˜o velocidade instantaˆnea (e onde a f(x) de partida era a func¸a˜o
posic¸a˜o em cada instante).

Segundo a definic¸a˜o de derivada, o que fizemos la´ foi derivar a func¸a˜o f ′(x), ela
mesma ja´ uma derivada da func¸a˜o f(x). Fizemos enta˜o uma segunda derivada:

f ′′(x) := ( f ′(x) )′.

Sua definic¸a˜o enta˜o e´ essencialmente a mesma que demos para a derivada (que pas-
samos agora a chamar de primeira derivada), so´ que a mate´ria-prima para compoˆr os
quocientes incrementais na˜o e´ uma func¸a˜o f(x) mas sim uma func¸a˜o f ′(x).

Desse modo, posso enunciar:

Afirmac¸a˜o 2.1. Seja f : (a, b)→ R deriva´vel, tal que f ′(x) tambe´m seja deriva´vel.
• i): se f ′(x) = 0 e f ′′(x) > 0 enta˜o2 x e´ Mı´nimo local da f original.
• ii): se f ′(x) = 0 e f ′′(x) < 0 enta˜o x e´ Ma´ximo local da f original.

Este teorema sera´ generalizado na Afirmac¸a˜o 8.1, um crite´rio da derivada n-e´sima.
Demonstrac¸a˜o. (da Afirmac¸a˜o 2.1)
De i): Pela Afirmac¸a˜o 4.1 do Cap´ıtulo 10, aplicada agora a` func¸a˜o derivada f ′(x),

temos que para x ∈ J centrado em x, f ′(x) < 0 = f ′(0) se x < x e 0 = f ′(x) < f ′(x)
se x < x.

Enta˜o reca´ımos exatamente no item i) da Afirmac¸a˜o 1.2. A conclusa˜o portanto e´
que x e´ Mı´nimo local.

De ii): completamente ana´loga, mutatis mutandis.
�

Com o material deste Cap´ıtulo 11 e do Cap´ıtulo anterior 10 estamos em condic¸o˜es
de confeccionar gra´ficos qualitativamente corretos de polinoˆmios simples, de grau
baixo, e e´ o que faremos como Exerc´ıcio.

3. Um problema t´ıpico para os engenheiros

Suponha que voceˆ tem o seguinte problema pra´tico:

Construir um objeto retangular, onde a construc¸a˜o de cada x metros da largura
custa a metade da construc¸a˜o de cada z metros de comprimento. Gastando 10 reais
na fabricac¸a˜o de cada unidade, quais as medidas de x e z que maximizam a a´rea do
objeto?

Traduzimos o problema assim: queremos maximizar a a´rea

A(x, z) := z · x
com uma func¸a˜o custo3 c(x, z) := x+ 2z fixada em c(x, z) = 10:

x+ 2z = 10.

2Rec´ıproca falsa: f(x) = x4 tem Mı´nimo local em x = 0 e se pode provar que f ′(0) = f ′′(0) = 0
3Tambe´m poderia dizer que a func¸a˜o custo e´ 2x+4z, ja´ que ha´ dois lados que sa˜o largura e dois

que sa˜o comprimento. Mas a soluc¸a˜o seria completamente ana´loga.

CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 141

Note que a princ´ıpio a func¸a˜o a´rea depende tanto de x como de z. Mas a condic¸a˜o
c(x, z) = 10 me permite escrever z = 10−x

2
e a func¸a˜o a´rea como dependendo so´ de

uma varia´vel:

A(x) = (
10− x

2
) · x = 5x− x

2

2
.

O domı´nio natural de A(x) e´ I = (0, 10), pois a largura x tem que ser positiva, e ao
mesmo tempo a condic¸a˜o c(x, z) = 10 diz que, quando z se aproxima de zero, x se
aproxima de 10.

Mas considerar A(x) definida num domı´nio um pouco maior, o intervalo [0, 10],
que tem a vantagem de ser um intervalo limitado e fechado, onde podemos usar o
Teorema 4.2 de Bolzano-Weiersstras, ja´ que A(x) claramente e´ cont´ınua.

Esse Teorema garante que existe um ponto de Ma´ximo global de A : [0, 10]→ R.
Mas onde ? Na˜o adianta so´ sabermos que ha´ uma soluc¸a˜o, queremos acha´-la !

Certamente na˜o sera´ em x = 0 ou em x = 10, pois nesses pontos a A´rea fica zero,
ja´ que na˜o largura ou comprimento. Enta˜o esse ponto x buscado esta´ em (0, 10), o
que e´ promissor, pois poderemos tentar usar a Afirmac¸a˜o 1.2.

Para isso precisamos examinar alguns candidatos.
Conforme a Afirmac¸a˜o 1.1, eles tera˜o que ser pontos onde

A′(x) = 0.

Ora, isso significa para A(x) = 5x− x2
2
que:

5− x = 0,
pelo que ja´ sabemos das derivadas, ou seja, o ponto e´ x = 5.

Mas claramente A′(x) = 5 − x > 0 se x < 5 e A′(x) = 5 − x < 0 se 5 < x. Logo
o item ii) da Afirmac¸a˜o 1.2 diz que realmente x e´ um Ma´ximo local e portanto o
Ma´ximo global, ja´ que na˜o ha´ outro candidato. A a´rea ma´xima desses objetos enta˜o
sera´

A(5) =
25

2
.

12

10

8

6

2

0

4

x

1086420

Figura: O gra´fico de A : [0, 10]→ R, A(x) = 5x− x2
2
.

Em geral, nos problemas desse tipo, aparecem diferentes candidados a Ma´ximos
global, que foram aprovados no teste para Ma´ximos locais dado pelo item ii) da
Afirmac¸a˜o 1.2, e enta˜o se faz necessa´rio comparar os valores da func¸a˜o em questa˜o
em cada um deles.

4. MI´NIMOS DE DISTAˆNCIAS E ORTOGONALIDADE 142

4. Mı´nimos de distaˆncias e ortogonalidade

Suponha que P = (2, 1) e queremos