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sites.google.com/site/profafguimaraes 1 Prof. A.F.Guimarães Física 1 – Questões 3 Questão 1 Não confunda velocidade média com a média de um conjunto de velocidades (média das velocidades). Calcule a velocidade média de uma atleta nos seguintes casos: a) A atleta anda 150 m com velocidade de 11,5m s−⋅ e depois corre 100 m com velocidade de 14m s−⋅ ao longo de uma pista retilínea; b) A atleta anda 2 minutos com velocidade de 11,5m s⋅ e a seguir corre durante 3 minutos com velocidade de 14,5m s−⋅ ao longo de um caminho em linha reta. Resolução: a) Vamos encontrar previamente, o tempo total do percurso, que é igual ao tempo do primeiro percurso adicionado ao tempo do segundo percurso: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ; , . 150 100 1,5 4 100 25 125 . x xt t t t t v v x xt t v v t s ∆ ∆∆ =∆ +∆ ∆ = ∆ = ∆ ∆∆ = + ⇒∆ = + ∆ = + = Agora que temos o tempo total, estamos em condições de determinar a velocidade média: 1250 2 . 125m xv m s t −∆= = = ⋅∆ b) A diferença agora reside na ausência do percurso total. Assim, temos que, previamente, determinar o comprimento do percurso total: 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 ; , 1,5 120 4,5 180 180 810 990 . x x x x v t x v t x v t v t x m ∆ =∆ +∆ ∆ = ⋅∆ ∆ = ⋅∆ ∆ = ⋅∆ + ⋅∆ = ⋅ + ⋅ ∆ = + = O tempo total do percurso é igual a 300s. Assim, a velocidade média é dada por: 1990 3,3 . 300m v m s−= = ⋅ Questão 2 Dois trens, cada qual com velocidade escalar de 160km h−⋅ , seguem em linha reta se aproximando entre si sobre os mesmos trilhos. Os maquinistas dos dois trens percebem simultaneamente o perigo no momento em que a distância entre os trens é de 150 m. Suponha que os dois maquinistas percam, simultaneamente, o mesmo intervalo de tempo de 0,2 s desde o instante mencionado acima até o momento em que os freios dos trens são acionados. A ação dos freios é igual sites.google.com/site/profafguimaraes 2 nos dois trens e faz cada trem parar depois de percorrer 50 m. Verifique se haveria ou não colisão. Qual seria a distância crítica para a colisão? Resolução: Vamos, previamente, determinar qual a distância total percorrida pelos dois trens: 50 16,7 0,2 53,3 .x m∆ = + ⋅ ≅ Cada trem percorre a distância de 53,3 m. Assim, os dois trens juntos, percorrem 106,6 m, restando 43,4 m de distância entre eles. Portanto não ocorre a colisão. Para que a colisão ocorresse, seria necessária que a distância entre eles fosse menor que 106,6 m. Questão 3 Um trem se desloca com velocidade constante, de Oeste para Leste, sendo o módulo do vetor velocidade igual a 160km h−⋅ durante 50 minutos. A seguir, toma uma direção Nordeste, com a mesma velocidade escalar, durante 30 minutos. Finalmente, mantendo a velocidade escalar, segue para Oeste, durante 10 minutos. Calcule a velocidade média do trem durante este percurso (isto é, determine o módulo, a direção e o sentido da velocidade média). Resolução: Primeiro percurso: 1 1 560 50 6 r v t km∆ = ⋅∆ = ⋅ = ; Segundo percurso: 2 2 160 30 2 r v t km∆ = ⋅∆ = ⋅ = ; Terceiro percurso: 3 3 160 10 6 r v t km∆ = ⋅∆ = ⋅ = . Assim, 1 2 3r r r r∆ =∆ +∆ +∆? ? ? ? . Vamos determinar os componentes: 1 2 3 30 250 10 2 61,2 30 2 21,2 . 2 x x x x y r r r r r r km r km ∆ =∆ +∆ −∆ ∆ = + − ∆ = ∆ = = Assim, 61,2 21,2r i j∆ = +? . A velocidade média será então: 1r∆? 2r∆? 3r∆? r∆? 450 sites.google.com/site/profafguimaraes 3 ( )1 61,2 21,2 1,5 40,8 14,1 rv i j t v i j ∆= = +∆ = + ?? ? O módulo da velocidade média é dado por: 2 2 140,8 14,1 43,2 .v km h−= + = ⋅ O vetor velocidade média tem direção tal que forma com a direção Oeste – Leste um ângulo dado por: 014,1 0,35 19 . 40,8 arctg arctgθ θ= ⇒ = ≅ Questão 4 Um elétron parte do repouso e sofre uma aceleração que cresce linearmente com o tempo, isto é, a kt= , sendo 32k m s−= ⋅ . A partir do gráfico de “a X t” obtenha o gráfico “v X t”. Depois obtenha “x X t”, supondo o movimento retilíneo. Utilizando estes gráficos ou então através do método analítico responda às seguintes questões: a) Qual é a expressão de v em função de t? b) Qual é a expressão de x em função de t? c) Calcule o valor de v para t = 2 s. d) Calcule o valor de x para t = 3 s. Resolução: Vamos obter os gráficos. a X t: Para encontrar o gráfico de v X t, devemos determinar a área abaixo da curva, no gráfico da aceleração. Assim, para o primeiro intervalo de tempo, temos: ( ) 10 1 1 21 12v m s − → ⋅∆ = = ⋅ . 1 2 2 4 3 6 0 a(m⋅s‐2) t(s) sites.google.com/site/profafguimaraes 4 Para o segundo intervalo de tempo: ( ) ( ) 11 2 2 4 12 32v m s − → + ⋅∆ = = ⋅ . Para o terceiro intervalo de tempo: ( ) ( ) 12 3 4 6 13 52v m s − → + ⋅∆ = = ⋅ . Vamos construir o gráfico da velocidade. O procedimento para construir o gráfico do espaço é semelhante. Porém, vamos aproximar as áreas das figuras para áreas dos triângulo retângulo e trapézio. Assim, para o primeiro intervalo de tempo: ( ) 0 1 1 1 11 2 2x m→ ⋅∆ ≅ = . Para o segundo intervalo de tempo: 1 2 2 4 3 6 0 a(m⋅s‐2) t(s) (1) (2) (3) 1 2 3 1 4 9 t(s) v(m⋅s‐1) 0 sites.google.com/site/profafguimaraes 5 ( ) ( )1 2 1 4 12 2,52x m→ + ⋅∆ ≅ = . Para o terceiro intervalo de tempo: ( ) ( )2 3 4 9 13 6,52x m→ +∆ ≅ = . Agora podemos construir o gráfico do espaço: Agora vamos encontrar a expressão de v(t). Sabemos que: dva dt = . 1 2 3 1 4 9 t(s) v(m⋅s‐1) 0 (1) (2) (3) 1 2 3 0,5 3 9,5 0 x(m) t(s) sites.google.com/site/profafguimaraes 6 Assim, 2 3 0 0 0 2 ; 2 . 2 . t t t ktv a dt v kt dt v k m s v t −= ⇒ = ⇒ = = ⋅ = ∫ ∫ Agora a expressão de x(t): 2 0 0 3 3 0 . 3 3 t t t dxv x vdt x t dt dt t tx x = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ∫ ∫ Para t = 2s: 2 12 4 .v m s−= = ⋅ Para t = 3s: 33 9 . 3 x m= = De acordo com o gráfico, o valor de x(3)=9,5m. Isso ocorreu devido à aproximação feita. Se, em vez de utilizarmos as áreas de triângulo e trapézios utilizássemos áreas bem menores, a aproximação seria melhor. E, de fato, teríamos uma somatória que se aproximaria da integração feita acima. Questão 5 A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo Ox varia com o tempo de acordo com a relação: ( )0 1 ktx x e−= − . Onde x0 e k são constantes. Esboce um gráfico de “x” em função do tempo, outro gráfico de “v” em função do tempo e um outro gráfico de “a” em função do tempo. Determine: (a) o valor de x para t = 0, (b) o valor de x para t →∞, (c) a distância total percorrida desde t = 0 até t→∞, (d) a expressão da velocidade v em função do tempo t. (e) A aceleração deste movimento é constante ou variável? (f) Obtenha a expressão da aceleração em função do tempo t. (g) Obtenha a expressão de a em função de v. (h) Calcule os valores de v e de a para t→∞. (i) Calcule os valores de x, de v e de a para t = 1s. Considere x em metrose t em segundos; suponha k = 1 s‐1, x0 = 2m. Resolução: a) Para t = 0: ( ) ( )00 01 1 1 0. kx x e x x x − ⋅= − ⇒ = − ∴ = b) Para t→∞: ( )0 0lim 1 2 . kt t x x e x x m − →∞ = − = ∴ = sites.google.com/site/profafguimaraes 7 c) ∆x=? 0 00 2 .x x x m∆ = − = = d) v(t)=? ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 0 1 1 . kt kt kt kt dx d dv v x e v x e dt dt dt v x k e v x ke − − − − = ⇒ = − ⇒ = − = − − ∴ = e) A expressão da velocidade é dada por: 0 2 0 . kt kt dv da a x ke dt dt a x k e − − = ⇒ = ∴ =− Portanto, a aceleração é variável. f) Vide o item e. g) a(v)=? Tomando as expressões dos itens “d” e “e”, teremos: 0 0; . kt kta kx ke v x ke a kv − −=− = ∴ =− h) Para t→∞: 0 2 0 lim 0 lim 0. kt t kt t v x ke a x k e − →∞ − →∞ = = =− = i) Para t = 1s: ( )10 1 1 0 2 1 1,26 ; 0,74 ; 0,74 . x x e m v x ke m s a kv m s − − − − = − ≅ = ≅ ⋅ =− ≅− ⋅ Os gráficos: sites.google.com/site/profafguimaraes 8 Questão 6 Um méson é disparado com uma velocidade de 6 14 10 m s−⋅ ⋅ para uma região onde um campo elétrico o acelera num sentido oposto ao da velocidade inicial, porém, na mesma direção. Suponha que o módulo desta desaceleração seja constante e igual a 14 22 10 m s−⋅ ⋅ . a) Calcule a distância percorrida pelo méson desde o instante da aplicação do campo elétrico até o instante em que ele pára (momentaneamente) b) Qual o tempo que ele leva para percorrer a distância mencionada no item anterior? Resolução: a) ( ) 2 2 0 26 14 12 14 2 2 0 4 10 2 2 10 16 10 4 10 4 10 4 . v v a x x x x m x cm− = + ∆ = ⋅ − ⋅ ⋅ ∆ ⋅ = ⋅ ∆ ∴∆ = ⋅ ⇒∆ = sites.google.com/site/profafguimaraes 9 b) 6 14 0 8 0 4 10 2 10 2 10 . v v at t t s− = + ⇒ = ⋅ − ⋅ ∴ = ⋅ Questão 7 Um manual de instruções para motorista estabelece que um automóvel com bons freios e viajando a 180km h−⋅ pode parar a 56 m de distância do ponto onde o automóvel se encontrava no momento da aplicação dos freios. A distância correspondente a uma velocidade de 148km h−⋅ é de 24 m. No cálculo destes espaços se leva em conta também o tempo de reação do motorista, durante este intervalo de tempo a aceleração é nula e o carro continua com velocidade constante. Suponha que tanto o tempo de reação quanto a desaceleração sejam iguais nos dois casos. Calcule: a) O tempo médio de reação do motorista; b) A desaceleração. Resolução: Vamos visualizar com gráficos as duas situações: Para a primeira situação, teremos: 1 1 156; 22,2 .x x x t′∆ +∆ = ∆ = ⋅ (7.1) Mas, t(s) v(m⋅s‐1) 0 t t’ 22,2 t(s) v(m⋅s‐1) 0 t t’’ 13,3 ∆x1 ∆x2 ∆x2’’ ∆x1’’ sites.google.com/site/profafguimaraes 10 2 2 2 0 1 1 22,22 . 2 v v a x x a ′ ′= − ∆ ⇒∆ = (7.2) Assim, utilizando (7.1) e (7.2), teremos: 49322,2 56. 2 t a + = (7.3) Procedendo de forma análoga para a segunda situação: 17713,3 24. 2 t a + = (7.4) O tempo “t” (tempo de reação do motorista) e a aceleração “a” possuem o mesmo valor para as duas situações. Assim, utilizando as eqs. (7.3) e (7.4), teremos um sistema. Vamos multiplicar a eq. (7.3) por 177 e a eq. (7.4) por – 493 e somá‐las. Assim, teremos: 3929,4 6556,9 9912 11832 2627,5 1920 0,73 t t t t s − = − = ∴ ≅ Agora utilizando a eq.(7.4), por exemplo, teremos: 2 17713,3 0,73 24 2 1779,71 24 2 177 14,29 2 6,2 . a a a a m s− ⋅ + = + = = ∴ ≅ ⋅ Questão 8 Um foguete é lançado verticalmente e sobe com aceleração vertical constante de 221m s−⋅ durante 30s. Seu combustível é inteiramente consumido e ele continua viajando somente sob a ação da gravidade. a) Qual é a altitude máxima alcançada? b) Qual é o tempo total decorrido desde o lançamento até que o foguete volte à Terra? Resolução: a) A altitude máxima alcançada: Vamos considerar que a velocidade inicial do foguete seja nula. Desta forma: 2 221 30 9450 . 2 2 ya ty y y m⋅∆ = ⇒∆ = ⇒∆ = sites.google.com/site/profafguimaraes 11 Durante a queima do combustível. Além disso, o foguete ainda sobe porque possui velocidade ascendente, dada por: 121 21 30 630 .y yv t v m s −= ⇒ = ⋅ = ⋅ Sabendo a velocidade podemos agora determinar o quanto o foguete ainda sobe: 2 2 0 2 2 ; 0 0 630 2 9,8 20250 y y yv v g y v y y m ′= − ∆ = ′= − ⋅ ⋅∆ ′∴∆ = Logo, a altura máxima atingida pelo foguete será de: 29700 .mH y y m′=∆ +∆ = b) Depois de queimar totalmente o combustível, o foguete ainda sobe 20250m executando um movimento retardado. Então além dos 30s, o tempo de subida até a altura máxima será de: 0 0 630 9,8 64,3 . y yv v gt t t s = − ⇒ = − ≅ Então, durante a subida o tempo total é de 94,3s. Para a descida teremos: 2 29,8 29700 2 2 77,9 . q q m q gt t H t s = ⇒ = ∴ = O tempo total será de 172,2s. Questão 9 Um elevador aberto está subindo com uma velocidade constante 110v m s−= ⋅ . Um menino no elevador, quando este está a uma altura 20h m= acima do solo, joga direto para cima uma bola. A velocidade inicial da bola em relação ao elevador é 10 20v m s −= ⋅ . a) Obtenha uma expressão literal para a altura máxima “Hm” atingida pela bola; b) Calcule a altura “Hm” pelos dados anteriores; c) Quanto tempo passa para que a bola retorne ao elevador? Resolução: a) O elevador sobe com velocidade constante. Logo, a velocidade da bola, com relação ao poço do elevador será: 0 0.rpv v v= + Assim, sites.google.com/site/profafguimaraes 12 ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 0 0 2 2 0 0 2 0 2 . 2 2 rp rp m m m v v g y v v g H h v v v v H h H h g g = − ∆ ⇒ = + − − + +− = ∴ = + b) 23020 66 . 2 9,8m m H H m= + ∴ ≅⋅ c) A equação horária da posição do elevador: 20 10 .ey t= + (9.1) A equação horária da posição da bola: 29,820 30 2b ty t= + − (9.2) Igualando as eqs. (9.1) e (9.2), teremos: 2 2 9,820 10 20 30 2 9,820 4 . 2 tt t tt t s / + = + − /= ∴ ≅ Questão 10 Uma bola de tênis cai do telhado de um edifício, sem velocidade inicial. Um observador, parado na frente de uma janela de 1,20m de altura, nota que a bola leva 1/8 do segundo para cair desde o alto da janela até sua base. A bola de tênis continua a cair, choca‐se elasticamente com a calçada horizontal e reaparece na parte inferior da janela 3s depois de ter passado naquele ponto de descida. No choque elástico há conservação de energia cinética. Qual é a altura do prédio? Resolução: Considere a figura abaixo. De 2→3: H1 H2 1,20m ① ② ③ ④ sites.google.com/site/profafguimaraes 13 2 2 3 2 2 2 1 2 2 1 11,20 4,9 8 64 76,8 4,9 8 9 . gty v t v v v m s → − ∆ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ −= ≅ ⋅ Agora, poderemos determinar a distância do telhado até a borda superior da janela: 2 2 2 0 1 2 1 1 2 9 2 9,8 4,1 . v v gH H H m = + = ⋅ ∴ ≅ Podemos tambémdeterminar a velocidade da bola na posição 3: 3 2 3 1 3 19 9,8 8 10,2 . v v gt v v m s− = + = + ⋅ = ⋅ A bola desce até o solo e choca‐se elasticamente. Isto significa que a bola não perde energia, ou seja, ela sobe novamente e atinge a borda inferior da janela (posição 3) com a mesma velocidade v3. Isto significa também que o tempo de queda será o mesmo tempo de subida (1,5s para descer e 1,5s para subir) até a posição 3. Assim, 2 2 2 2 2 10,2 4,9 10,2 1,5 4,9 1,5 26,3 . H t t H H m = + = ⋅ + ⋅ ∴ = Com isso, concluímos que a altura total do prédio vale: 4,1+1,20+26,3=31,6m. Questão 11 Um elevador sobe com uma aceleração, para cima, de 22m s−⋅ . No instante em que sua velocidade é de 14m s−⋅ , um parafuso solto cai do teto do elevador, que está a 2,5 m do seu piso. Calcule: a) O tempo que o parafuso gasta para atingir o piso. b) O seu deslocamento em relação ao poço do elevador. Resolução: a) Vamos escrever a expressão das posições do piso do elevador e do parafuso: 2,5m sites.google.com/site/profafguimaraes 14 2 2 4 2,5 4 4,9 e pa y t t y t t = + = + − Assim, quando o parafuso atingir o piso do elevador, teremos: 2 2 2 4 2 2,5 4 4,9 5,9 2,5 0,65 . e pay y t t t t t t s = + = + − = ∴ ≅ b) Com relação ao poço: 24 4,9 2,6 2,07 0,53 . pa pa pa y t t y y m ∆ = − ∆ = − ∴∆ = Questão 12 Um meteorito entre verticalmente na atmosfera terrestre e passa a “cair” em direção ao centro da Terra com uma aceleração variável dada por: 1 2a kgt= Onde g é a gravidade na superfície terrestre, t é o tempo em segundos e 1 21k s−= . Considere a velocidade inicial do meteorito igual a 140m s−⋅ . Determine: a) A aceleração do meteorito para t = 100s; b) A velocidade do meteorito para t = 100s. Resolução: a) 2 1 9,8 100 98 . a a m s− = ⋅ ⋅ = ⋅ b) 3 1 3 2 . 3 (0) 40 2( ) 40 3 v adt v kg tdt kg tv const v m s kg tv t − = ⇒ = = + = ⋅ ∴ = + ∫ ∫ Assim, ( )32 12 9,8 10 40 6,6 . 3 v v km s− ⋅= + ∴ ≅ ⋅ sites.google.com/site/profafguimaraes 15 Questão 13 Considere a queda do meteorito mencionado na questão anterior. Seja r0 o valor da distância do meteorito ao centro da Terra para t = 0s. Obtenha uma expressão para a determinação da distância r do meteorito ao centro da Terra em função do tempo. Resolução: Do exercício anterior, tomaremos a expressão da velocidade para determinar a expressão da distância “r” do meteorito ao centro da Terra. Assim, 3 3 5 0 5 0 2( ) 40 ( ) 3 2 40 3 4 40 . 15 (0) 440 . 15 kg t drv t e v movimento retrógrado dt kg tr vdt r dt kg tr t const r r kg tr r t = + =− ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜=− ⇒ =− + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ =− − + = ∴ = − − ∫ ∫
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