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Universidade Federal do Ceara´ Departamento de Estat´ıstica e Matema´tica Aplicada Prof. : Juveˆncio S. Nobre CC0288 - Infereˆncia Estat´ıstica I - 2016.2 Lista de exerc´ıcios # 1: Estat´ısticas de Ordem Distribuic¸a˜o: 22/08/2016 Entrega: 29/08/2016 1. Considere X1, . . . ,Xn iid∼ X, com X representando uma varia´vel aleato´ria a.c. com func¸o˜es densidade e distribuic¸a˜o, respectivamente, dadas por fx e FX . Mostre, usando o me´todo da func¸a˜o distribuic¸a˜o acumulada, que as densidades do mı´nimo e ma´ximo amostrais (Y1 e Yn), sa˜o dadas respectivamente por: fY1(x) = n[1− FX(x)]n−1fX(x)1X (x) e fYn(x) = n[FX(x)] n−1fX(x)1X (x). 2*. Considere X1, . . . ,Xn iid∼ X, com X representando uma varia´vel aleato´ria a.c. com func¸o˜es densidade e distribuic¸a˜o, respectivamente, dadas por fx e FX . Obtenha a densidade conjunta da i-e´sima e j-e´sima estat´ısticas de ordem (i < j). 3. Considere X1,X2 iid∼ β(1, 2). Calcule a probabilidade de um item seja pelo menos duas vezes maior que o outro. 4. Considere X1, . . . ,Xn iid∼ U(0, 1). Mostre que X(k) = Yk ∼ β(k, n − k + 1). 5. ConsidereX1, . . . ,Xn iid∼ U{1, . . . , N}, N ∈ N. Determine a func¸a˜o de probabilidade do mı´nimo e ma´ximo amostrais. 6. Considere X1, . . . ,Xn iid∼ U(0, 1). Calcule a probabilidade da amplitude amostral ser menor que 1/2. 7. Considere X1, . . . ,X4 iid∼ exp(1). Calcule P(Y4 ≥ 4). 8. Considere X1,X2,X3 iid∼ β(2, 1). i) Calcule a probabilidade do mı´nimo amostral ser superior a mediana da distribuic¸a˜o β(2, 1). ii) Determine o coeficiente de correlac¸a˜o entre a mediana (Y2) e o ma´ximo (Y3) amostrais. 9. Considere um vetor aleato´rio X = (X1,X2) com func¸a˜o densidade dada por fX(x) = 12 7 x1(x1 + x2)1(0,1)(x1)1(0,1)(x2). Determine a distribuic¸a˜o conjunta de min{X1,X2} e max{X1,X2}. 10. Considere um vetor aleato´rio X = (X1,X2) cujas componentes sa˜o independentes, tais que X1 ∼ β(2, 1) e X2 ∼ β(3, 1). Determine a distribuic¸a˜o conjunta de Y1 = min{X1,X2} e Y2 = max{X1,X2}. 11. Considere X1, . . . ,Xn iid∼ exp(1) e Y1 < Y2 < . . . < Yn as respectivas estat´ısticas de ordem. i) Mostre que Z1 := nY1, Z2 := (n− 1)(Y2 − Y1), Z3 := (n− 2)(Y3 − Y2), . . . , Zn := Yn − Yn−1 sa˜o estocasticamente independentes e identicamente distribuidas. ii) Demonstre que todas as func¸o˜es lineares de Y1, Y2, . . . , Yn da forma ∑n i=1 aiYi podem ser expressas como func¸o˜es lineares de varia´veis aleato´rias estocasticamente independentes. 12. No programa de avaliac¸a˜o e revisa˜o te´cnica estamos interessados no tempo total para com- pletar um projeto que e´ composto por um grande nu´mero de subprojetos. Para ilustrac¸a˜o, sejam X1,X2,X3 as VAs que representam os treˆs tempos aleatoriamente independentes de execuc¸a˜o dos subprojetos. Se esses subprojetos sa˜o em se´rie (o primeiro deve ser completado antes do in´ıcio do segundo e assim por diante), enta˜o estamos interessados na soma Y = ∑3 i=1Xi. Se eles esta˜o em paralelo (podem ser realizados simultaneamente), enta˜o estamos interessados em Z = max{X1,X2,X3}. No caso de X1,X2,X3 iid∼ U(0, 1), determine: i) A fdp de Y . ii) A fdp de Z. 13. Sejam Y1 < Y2 < Y3 < Y4 < Y5 estat´ısticas de ordem de uma amostra aleato´ria de tamanho 5 de uma distribuic¸a˜o U(0, θ), θ > 0. i) Determine E[2Y3]. ii) Determine a fdp do vetor (Y3, Y5). iii) Encontre a esperanc¸a condicional φ(Y5) = E[2Y3|Y5]. iv) Compare as variaˆncias de 2Y3 e φ(Y5). 14. Seja Y1 < Y2 as estat´ısticas de ordem de uma amostra de tamanho 2 de uma distribuic¸a˜o N (0, σ2). i) Mostre que E[Y1] = −σ/ √ pi. Sugesta˜o: Obtenha E[Y1] atrave´s da distribuic¸a˜o conjunta de (Y1, Y2) integrando primeira- mente com relac¸a˜o a Y1. ii) Calcule Cov(Y1, Y2). 15*. Considere X1, . . . ,Xn iid∼ X, em que X e´ uma V.A. qualquer. Uma medida de dis- persa˜o/desigualdade bastante utilizada e´ a diferenc¸a me´dia de Gini, definida por G := n∑ j=2 j−1∑ i=1 |Xi −Xj |/ ( n 2 ) . i) Se n = 10, encontre a1, . . . , a10 tais que G = n∑ i=1 aiYi, em que Y1, . . . , Y10 representam as estat´ısticas de ordem da amostra. ii) Mostre que E[G] = 2σ/ √ pi, se X ∼ N (µ, σ2).
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