Aulas 5 a 7 Operações com Vetores

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GEOMETRIA ANALÍTICA
Aulas 5 a 8
Aula V 
Multiplicação de um Número Real por um Vetor
Dado: v ≠ 0 ( vetor ) e α ≠ 0 (número real), temos:
I.Módulo: | α v | = | α | | v |
O comprimento de α v é igual ao comprimento de v multiplicando por | α | . 
II. Direção: α v é paralelo a v.
Aula V
III. Sentido: α v e v tem o mesmo sentido se α > 0 e contrário de α < 0. 
Se α = 0 ou v = 0 , então α v = 0.
Aula V
Condição de Paralelismo: 
Versor de um vetor
Considerando
O vetor u é versor do vetor v tal que: 
O versor de um vetor é sempre o próprio vetor sobre seu módulo. Caso adquira sinal negativo, o seu versor será o vetor com sinal negativo sobre seu módulo. Ou seja, u é igual a 
Módulo é igual a 1. Ou seja, é um vetor unitário
Possui o mesmo sentido de v
ÂNGULO DE DOIS VETORES
Considerando dois vetores não nulos, o ângulo entre dois vetores é o ângulo θ formado por duas semi-retas OA e OB de mesma origem O, onde u = OA , v = OB e 0o ≤ θ ≤ 180° .
Se u // v e u e v tem o mesmo sentido: θ = 0.
Se u // v e u e v tem sentido contrário: θ = 180 o.
Fazer o exercício proposto número 12
Aula VI
VETORES EM R2 - TRATAMENTO ALGÉBRICO
Aula VI
Portanto temos sempre que v = a1 v1 + a2 v2 (equação I). 
Qualquer vetor é igual à soma de qualquer valor multiplicado por v1 e v2.
Aula VI
Conceitos
Combinação Linear: Quando vetor v é expresso como na equação I. Portanto, v é combinação linear de v1 e v2.
Base: B = {v1 , v2 } 
Componentes ou coordenadas: a1 e a2 são componentes ou coordenadas de v na base B (a1 é a primeira componente e a2 é a segunda).
Aula VI
Representação de v: v = (a1 , a2 )B ou vB = ( a1 , a2 ) 
Bases Ortogonais: uma base {l1 e l2} é ortogonal se os vetores forem ortogonais e unitários:
l1 ┴ l2 e | l1 | = | l2 | = 1
Ex.: Base que determina o sistema cartesiano ortogonal xoy.
Aula VI
Os vetores são simbolizados por i e j com origem em “O” e extremidade em (1 , 0) e (0 , 1), sendo a base C = {i , j} camada canônica.
Portanto, i = (1 , 0) e j = (0 , 1)
Dado um vetor v qualquer do plano existe uma só dupla de número de x e y tal que:
v = x i + y j
x e y: são componentes de v 
na base canônica
x: abscissa de v
y: ordenada de v
O vetor v é representado por v = ( x , y ). Vetor no plano é um par ordenado(x , y) de números reais.
Aula VI
IGUALDADE DE VETORES
Dois vetores são iguais se, e somente se, u = ( x1 y1 ) e v =( x2 y2 ), x1 = x2 e y1 = y2.
Ex.: u = ( x + 1 , 4 ) v = ( 5 , 2y – 6 )
x + 1 = 5 x = 4, onde alterando na equação teremos: 4 + 1 = 5
2y – 6 = 4 y = 5, onde alterando na equação teremos: 2 . 5 – 6 = 4
Aula VI
SOMA DE VETORES
u = ( x1 y1 ) e v = ( x2 y2 ), define-se: u + v = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
Ex.: u = (3, 5 ) e v = ( 4 , 2 )
u + v = (3 + 4 , 5 + 2) = (7 , 7)
SUBTRAÇÃO DE VETORES
 u = ( x1 y1 ) e v = ( x2 y2 ), define-se: u - v = (x1 - x2 , y1 - y2 )
Ex.: u = (8 , 3 ) e v = ( 5 , 1 )
u + v = (8 – 5 , 3 - 1) = (3 , 2)
Aula VI
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR
α u = (αx1 , αy1)
Ex.: u = ( 2 , 3 ) e α = 3 	 
	3 u = ( 2 . 3 , 3 . 3 ) = ( 6 , 9 )
Aula VII
VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS
Como 
Então
Aula VII 
PONTO MÉDIO
x = x1 + x2 y1 + y2 , onde M = x1 + x2 y1 + y2 
 2 2	 2	 2 
Aula VII
Ex.: O ponto médio do segmento A (- 2 , 3 ) e B ( 6 , 2 ) é:
M = - 2 + 6 , 3 + 2 = 
		 2 2
M = ( 2 , 5/2 )
 
PARALELISMO DE DOIS VETORES
 Dois vetores são paralelos quando se aplica a condição de igualdade e suas componentes forem proporcionais.
x1 = y1 = número qualquer 
x2 y2
Ex.: Os vetores u = ( - 2 , 3 ) e v = ( - 4 , 6 ) 
-2 = 3 são paralelos
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MÓDULO DE UM VETOR
O vetor v = (x , y) pelo Teorema de Pitágoras temos:
| v | = √ x2 + y 2