Lista de Exercícios - Derivadas

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Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ - Caˆmpus Pato Branco
Lista 5 - Derivadas - Ca´lculo Diferencial e Integral I - CD21NB 1EL
Prof. Mateus Eduardo Saloma˜o, 22/04/2016.
1. Seja f(x) = x2 + 1. Calcule f ′(1), f ′(0) e
f ′(x).
2. Seja f(x) = 3x + 2. Calcule f ′(2), f ′(0) e
f ′(x).
3. Ca´lcule f ′(p), pela definic¸a˜o, sendo dados
(a) f(x) = x2 + x e p = 1
(b) f(x) =
√
x e p = 4
(c) f(x) = 5x− 3 e p = −3
(d) f(x) =
1
x
e p = 1
(e) f(x) =
1
x2
e p = 2
(f) f(x) = 2x3 − x2 e p = 1
(g) f(x) = 3
√
x e p = 2
4. Determine a equac¸a˜o da reta tangente em
(p, f(p)) sendo dados
(a) f(x) = x2 e p = 2
(b) f(x) =
1
x
e p = 2
(c) f(x) =
√
x e p = 9
(d) f(x) = x2 − x e p = 1
5. Calcule f ′(x) pela definic¸a˜o:
(a) f(x) = x2 + x
(b) f(x) = 3x− 1
(c) f(x) = x3
(d) f(x) = 1
x
(e) f(x) = 5x
(f) f(x) = 10
(g) f(x) =
x
x+ 1
(h) f(x) =
1
x2
6. Deˆ um exemplo (por meio de um gra´fico)
de uma func¸a˜o f , definida e deriva´vel em
R, tal que f ′(1) = 0.
7. Deˆ um exemplo (por meio de um gra´fico)
de uma func¸a˜o f , definida e deriva´vel em
R, tal que f ′(x) > 0 para todo x.
8. Deˆ um exemplo (por meio de um gra´fico)
de uma func¸a˜o f , definida e cont´ınua em R,
tal que f ′(1) na˜o exista.
9. Mostre que a func¸a˜o
g(x) =
{
2x+ 1, se x < 1
−x+ 4, se x ≥ 1
na˜o e´ deriva´vel em p = 1. Esboce o gra´fico
de g.
10. Mostre que a func¸a˜o g(x) =
{
x2 + 2, se x < 1
2x+ 1, se x ≥ 1
Mostre que g e´ deriva´vel em p = 1 e calcule
g′(1).
11. Construa uma func¸a˜o f : R → R que seja
cont´ınua em R e que seja deriva´vel em todos
os pontos, exceto em −1, 0, 1.
12. Calcule g′(x)sendo g dada por:
(a) g(x) = x6
(b) g(x) = x100
(c) g(x) =
1
x
(d) g(x) = x2
(e) g(x) =
1
x3
(f) g(x) =
1
x7
(g) g(x) = x
(h) g(x) = x−3
13. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao
gra´fico de f(x) =
1
x
no ponto de abscissa 2.
Esboce os gra´ficos de f e da reta tangente.
14. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao
gra´fico de f(x) =
1
x2
no ponto de abscissa 1.
Esboce os gra´ficos de f e da reta tangente.
15. Seja f(x) = 5
√
x. Calcule f ′(x), f ′(1) e
f ′(32).
16. Calcule g′(x), sendo g dada por:
1
(a) g(x) = 4
√
x
(b) g(x) = 6
√
x
(c) g(x) = 8
√
x
(d) g(x) = 9
√
x
17. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao
gra´fico de f(x) = 3
√
x no ponto de abscissa
1. Esboce os gra´ficos de f e da reta tan-
gente.
18. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao
gra´fico de f(x) = ex no ponto de abscissa 0.
19. Seja f(x) = ax, onde a > 0 e a 6= 1 e´
um nu´mero real dado. Mostre que f ′(x) =
ax ln a.
20. Calcule f ′(x):
(a) f(x) = 2x
(b) f(x) = 5x
(c) f(x) = pix
(d) f(x) = ex
21. Seja g(x) = loga x, onde a > 0 e a 6= 1 e´
constante. Mostre que g′(x) = 1
x ln a
. (Dica:
use mudanc¸a de base para logaritmos).
22. Calcule g′(x):
(a) g(x) = log3 x
(b) g(x) = log5 x
(c) g(x) = logpi x
(d) g(x) = ln x
23. Seja f(x) = sen(x). Calcule f ′(
pi
4
).
24. Seja f(x) = cos(x). Calcule f ′(0), f ′(
pi
3
) e
f ′(−pi
4
).
25. Seja g(x) = cotg(x). Calcule f ′(
pi
4
).
26. Seja g(x) = cossec(x). Calcule g′(
pi
4
).
27. Calcule f ′(x):(Guidorizzi 7.7 - questo˜es 1,7,9)
(a) f(x) = 3x2 + 5
(b) f(x) = x3 + x2 + 1
(c) f(x) = 3x3 − 2x2 + 4
(d) f(x) = 3x+
√
x
(e) f(x) = 5 + 3x−2
(f) f(x) = 2 3
√
x
(g) f(x) = 3x+
1
x
(h) f(x) =
4
x
+
5
x2
(i) f(x) =
2
3
x3 +
1
4
x2
(j) f(x) = 3
√
x+
√
x
(k) f(x) = 2x+
1
x
+
1
x2
(l) f(x) = 6x3 + 3
√
x
(m) f(x) = 5x4 + bx3 + cx2 + k, onde b, c e
k sa˜o constantes.
(n) f(x) =
x
x2 + 1
(o) f(x) =
x2 − 1
x+ 1
(p) f(x) =
3x2 + 3
5x− 3
(q) f(x) =
√
x
x+ 1
(r) f(x) = 5x+
x
x− 1
(s) f(x) =
√
x+
3
x3 + 2
(t) f(x) =
3
√
x+ x√
x
(u) f(x) =
x+ 4
√
x
x2 + 3
(v) f(x) = 3x2 + 5 cos(x)
(w) f(x) =
cos(x)
x2 + 1
(x) f(x) = xsen(x)
(y) f(x) = x2tg(x)
(z) f(x) =
x+ 1
tg(x)
28. Calcule f ′(x) (Guidorizzi 7.7 - 9,12)
(a) f(x) =
3
sen(x) + cos(x)
(b) f(x) =
sec(x)
3x+ 2
(c) f(x) = cos(x) + (x2 + 1)sen(x)
(d) f(x) =
√
x sec(x)
2
(e) f(x) = 3 cos(x) + 5 sec(x)
(f) f(x) = xcotg(x)
(g) f(x) = 4 sec(x) + cotg(x)
(h) f(x) = x2 + 3xtg(x)
(i) f(x) =
x2 + 1
sec(x)
(j) f(x) =
x+ 1
xsen(x)
(k) f(x) =
x
cossec(x)
(l) f(x) = (x3 +
√
x)cossec(x)
(m) f(x) =
x+ sen(x)
x− cos(x)
(n) f(x) = x2ex
(o) f(x) = 3x+ 5 lnx
(p) f(x) = ex cos(x)
(q) f(x) =
1 + ex
1− ex
(r) f(x) = x2 lnx+ 2ex
(s) f(x) =
x+ 1
x lnx
(t) f(x) = 4 + 5x2 lnx
(u) f(x) =
ex
x2 + 1
(v) f(x) =
lnx
x
(w) f(x) =
ex
x+ 1
29. Calcule f ′(x):(Guidorizzi 7.7 - 14)
(a) xex cos(x)
(b) x2(cos(x))(1 + lnx)
(c) exsen(x) cos(x)
(d) (1 +
√
x)extg(x)
30. Determine a derivada:(Guidorizzi 7.11 - 1)
(a) f(x) = sen(4x)
(b) f(x) = cos(5x)
(c) f(x) = e3x
(d) f(x) = cos(8x)
(e) f(x) = sen(x3)
(f) f(x) = ln(2x+ 1)
(g) f(x) = esen(x)
(h) f(x) = cos(ex)
(i) f(x) = (senx+ cosx)3
(j) f(x) =
√
3x+ 1
(k) f(x) = 3
√
x− 1
x+ 1
(l) f(x) = e−5x
(m) f(x) = ln(x2 + 3x+ 9)
(n) f(x) = etg(x)
(o) f(x) = sen(cos(x))
(p) f(x) = (x2 + 3)4
(q) f(x) = cos(x2 + 3)
(r) f(x) =
√
x+ ex
(s) f(x) = tg(3x)
(t) f(x) = sec(3x)
31. Seja f : R → R, deriva´vel e seja g(t) =
f(t2 + 1). Supondo f ′(2) = 5, calcule g′(1).
32. Seja f : R → R, deriva´vel e seja g(t) =
f(e2x). Supondo f ′(1) = 2, calcule g′(0).
33. Derive:(Guidorizzi 7.11 - 4)
(a) f(x) = xe3x
(b) f(x) = ex cos 2x
(c) f(x) = e−xsenx
(d) f(x) = e−2xsen(3x)
(e) f(x) = e−x
2
+ ln(2x+ 1)
(f) f(t) =
et − e−t
et + e−t
(g) f(x) =
cos 5x
sen2x
(h) f(x) = (e−x + ex
2
)3
(i) f(t) = t3e−3t
(j) f(x) = ex
2
ln(1 +
√
x)
(k) f(x) = (sen3x+ cos 2x)3
(l) f(x) =
√
ex + e−x
(m) f(x) = ln(x+
√
x2 + 1)
(n) f(x) =
√
x2 + e
√
x
(o) f(x) = x ln(2x+ 1)
(p) f(x) = (ln(x2 + 1))3
(q) f(x) = ln(secx+ tgx)
(r) f(x) = (cos(x3))3
3
(s) f(x) =
cosx
sen2x
(t) f(t) =
te2t
ln(3t+ 1)
34. Determine f ′, f ′′ e f ′′′ (Guidorizzi 7.8 - 1)
(a) f(x) = x3 + 5x2 + 3x+ 1
(b) f(x) = 1000x9 + 50x6
(c) f(x) = x12 + 5x3 + 4x
(d) f(x) = 2x
(e) f(x) = 7
(f) f(x) = 4x4 + 2x
(g) f(x) =
1
x
(h) f(x) = 5x2 − 1
x3
(i) f(x) = 3x3 − 6x+ 1
(j) f(x) = x|x|
(k) f(x) =
{
x2 + 3x, se x ≤ 1
5x− 1, se x > 1
35. Determine a derivada de ordem n.(Guidorizzi
7.8 - 3)
(a) f(x) = ex
(b) f(x) = sen(x)
(c) f(x) = cos(x)
(d) f(x) = ln x
36. Seja y =
x3
x+
√
x
, calcule
dy
dx
.
37. Calcule a derivada segunda. (Guidorizzi 7.11
- 5)
(a) f(x) = sen(5x)
(b) y = cos(4t)
(c) f(t) = sen(ct), onde c ∈ R
(d) y = e−3t
(e) y = e−x
2
(f) y =
ex
x+ 1
(g) y = ln(x2 + 1)
38. Seja g : R → R uma func¸a˜o diferencia´vel e
seja f dada por f(x) = xg(x2).
(a) Verifique que f ′(x) = g(x2)+2x2g′(x2).
(b) Calcule f ′(1), supondo que g(1) = 4 e
g′(1) = 2.
39. Seja g : R→ R diferencia´vel tal que g(1) =
2 e g′(1) = 3. Calcule f ′(0), sendo f dada
por f(x) = exg(3x+ 1).
40. Seja y = e2x. Verifique que
d2y
dx2
− 4y = 0.
41. Seja g uma func¸a˜o deriva´vel. Verifique que
(a) [tg(g(x))]′ = sec2(g(x))g′(x)
(b) [sec(g(x))]′ = sec(g(x))tg(g(x))g′(x)
(c) [cotg(g(x))]′ = −cossec2(g(x))g′(x)
(d) [cossec(g(x))]′ = −cossec(g(x))cotg(g(x))g′(x)
42. Derive (Guidorizzi 7.11 - 16)
(a) y = tg(3x)
(b) y = sec(4x)
(c) y = cotg(x2)
(d) y = sec(tg(x))
(e) y = etg(x
2)
(f) cossec(2x)
(g) x2tg(2x)
43. Associe o gra´fico de cada func¸a˜o em (a) -
(d) com o gra´fico de sua derivada em I-IV.
Justifique suas escolhas.
44. Se f e g foremfunc¸o˜es cujos gra´ficos esta˜o
ilustrados, seja u(x) = f(x)g(x) e v(x) =
f(x)
g(x)
. Calcule u′(1) e v′(5).
45. O gra´fico de f e´ dado. Diga, explicando
quais, os nu´mero em que f na˜o e´ diferencia´vel.
4
Respostas:
1) 2,0,2x.
2) 3,3,3.
3) a)3, b)
1
4
, c)5, d)-1, e)-
1
4
, f)4, g)
1
3 3
√
4
4) a) y = 4x − 4, b) y = −1
4
x + 1, c)
x− 6y + 9 = 0, d) y = x− 1
5) a)2x + 1, b) 3, c)3x2, d) -
1
x2
, e) 5, f) 0,
g)
1
(x+ 1)2
, h)
−2
x3
12) a)6x5, b)100x99, c)− 1
x2
, d)2x, e)− 3
x4
,
f)− 7
x8
, g)1, h)−3x−4.
13) y = −1
4
x+ 1
14) y = −2x+ 3
15)
1
5
5
√
x4
,
1
5
,
1
80
16) a)
1
4
4
√
x3
, b)
1
6
6
√
x5
, c)
1
8
8
√
x7
, d)
1
9
9
√
x8
.
17) y =
1
3
x+
2
3
18) y = x+ 1
20) a)2x ln 2 b)5x ln 5 c)pix ln pi d)ex
22) a)
1
x ln 3
b)
1
x ln 5
c)
1
x lnpi
d)
1
x
23)
√
2
2
5