4ª lista CDI

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3a Lista de Exerćıcios - Cálculo Diferencial e Integral I - Diferenciação
1. Use a definição para calcular as derivadas das funções. Depois, determine os valores
da derivada conforme especificado.
(a)
f(x) =
1− x
2x
, f ′(−1), f ′(1), f ′(
√
2)
(b)
r(s) =
√
2s + 1, r′(1), r′(0), r′(
1
2
)
(c)
s(t) =
t
2t + 1
, s′(−1), s′(1), s′(2)
(d)
z(w) =
1√
3w − 2
, z′(1), z′(0), z′(2)
2. Derive as funções e determine o coeficiente angular da tangente no valor dado da
variável independente.
(a)
f(x) =
1
2 + x
, x = 2
(b)
f(x) = x3 − x2, x = −1
3. Derive as funções e depois, determine uma equação para a tangente no ponto indicado
no gráfico da função.
(a) f(x) = 8√
x−2 , (x, y) = (6, 4)
(b) f(x) = 1 +
√
4− x, (x, y) = (3, 2)
4. O gráfico da figura a seguir é composto por segmentos de reta unidos pelas extremida-
des.
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(a) Em quais pontos do intervalo [−4, 6] f ′ não é definida? Justifique sua resposta.
(b) Represente graficamente a derivada de f. O gráfico deve mostrar uma função
escada.
5. Use as informações a seguir para fazer o gráfico da função f no intervalo fechado [−2, 5].
(a) O gráfico de f é composto por segmentos de reta fechados unidos pelas extremi-
dades.
(b) O gráfico começa no ponto (−2, 3).
(c) A derivada de f é a função escada da figura a seguir.
6. Compare as derivadas à direita e à esquerda para mostrar que as funções abaixo não
são deriváveis no ponto P.
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7. Cada figura abaixo, mostra o gráfico de uma função em um intervalo fechado D. Em
que pontos do domı́nio da função parece ser:
(a) derivável?
(b) cont́ınua, mas não derivável?
(c) nem cont́ınua nem derivável?
Justifique sua resposta.
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8. A curva y = x3 tem sempre corficiente angular negativo? Em caso afirmativo, onde?
Justifique sua resposta.
9. A parábola y = 2x2 − 13x + 5 tem alguma tangente cujo coeficiente angular seja −1?
Se tem, encontre uma equação para a reta e o ponto de tangência. Se não tem, por
que não?
10. Alguma tangente à curva y =
√
x cruza o eixo x em x = −1? Se cruza, encontre uma
equação para a reta e o ponto de tangência. Se não cruza, por que não?
11. Represente graficamente a derivada de f(x) = |x|.
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