Cálculo Numérico serie de taylor

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Cálculo Numérico
Prof. Rubens de Oliveira – ICE UFJF
rubens.oliveira@ice.ufjf.br
 Série de Taylor 
Introdução
Cálculo Numérico Serie de Taylor
 Algumas funções são difíceis de serem avaliadas:




( ) xf x e
( ) ln( )f x x( ) ( )f x sen x ( )( ) sen xf x e
Prof. Rubens de Oliveira ICE-UFJF
 O objetivo aqui é calcular (aproximar) f(x) por meio de funções que sejam 
mais fáceis de serem avaliadas, por exemplo:

2 3
1 2 3( )
n
n o nP x a a x a x a x a x     
 Observe que as avaliações de polinômios são feitas através de operações de 
adições e multiplicações.
Introdução
Cálculo Numérico Serie de Taylor
Prof. Rubens de Oliveira ICE-UFJF
 O objetivo, então, é aproximar uma função f(x), difícil de ser avaliada, por 
um polinômio de Pn(x) de grau n.
 Uma das aproximações polinomiais mais usadas são os polinômios de
Taylor.
 Extremamente importantes;
 Os Polinômios de Taylor são utilizados na solução de diversos 
problemas:
 Diferenciação numérica;
 Solução numérica de equações diferenciais ordinárias, etc.
 Suponha f (x) seja uma função tal que e suas derivadas , ,
,...... existam , e seja um valor real;
0x 0
( )f x
0( )f x 0( )f x0( )f x 0( )
nf x
 O objetivo é obter uma aproximação da função f(x) através de polinômio, 
conhecendo a função f(x) em um determinado ponto 𝑥0.
Definição
Cálculo Numérico Serie de Taylor
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 Os Polinômios de Taylor apresentam as seguintes características:
Onde: 
( ) ( )
0 0( ) ( ) 0
k k
nP x f x k n  
( ) ( ) e ( ) representam a derivadas de ( ) e ( ) respectivamente.k kn nf x P x k f x P x
 Inicialmente vamos considerar 𝑥0 = 0 e admitir um polinômio aproximador 
dado na forma: 
2 3
0 1 2 3( ) ( ) .......
n
n nf x P x a a x a x a x a x       0
n
k
k
k
a x


 Os coeficientes são determinados considerando: 
 Onde: 
( ) ( )(0) (0) 0......k knP f k n k
a ( )
0(0) e (0) são as derivadas de ( ) e ( ) , em 0
k k
n nf P k f x P x x 
Definição
Cálculo Numérico Serie de Taylor
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 Desta forma, se: 0 0x 
2 3
0 1 2 3( ) .......
n
n nP x a a x a x a x a x     
( ) ( )
0 0( ) ( )
k k
nP x f x( ) ( )
0 0( ) ( )
k k
nP x f x Considerando , ou seja, 0k  0 (0)a f
2 3
0 1 2 3 0 0(0) (0) 0 0 0 ....... 0 (0)
n
n nP f a a a a a a f a          2 30 1 2 3( ) ....... nn nP x a a x a x a x a x     
 Com 
1k 
2 1
1 2 3( ) 2 3 .......
n
n nP x a a x a x na x
     
1 (0)a f 
2 1
1 2 3(0) (0) 2 0 3 0 ....... 0 (0)
n
n nP f a a a na f
         
 Com 
2k 
2
2 3( ) 2 3 2 ....... ( 1)
n
n nP x a a x n n a x
        2
2 3(0) (0) 2 3 2 0 ....... ( 1) 0 (0)
n
n nP f a a n n a f
           
2
(0)
2
f
a


Definição
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0 0x 
2 3
0 1 2 3( ) .......
n
n nP x a a x a x a x a x     
( ) ( )
0 0( ) ( )
k k
nP x f x
 Considerando 
3k  
3
(0)
6
f
a


3
3 4(0) (0) 2 3 4 3 2 0 ....... ( 1)( 2) 0
n
n nP f a a n n n a
           
3
3 4( ) 2 3 4 3 2 ....... ( )( 1)(n 2)
n
n nP x a a x n n a x
         
 Genericamente, ou seja para a k-esima derivada: 1( ) ! ( )( 1)..(2) ....... ( 1)...( 1)
k n k
n k k nP x k a k k a x n n n k a x

      
(0)
!
k
k
f
a
k

1(0) (0) ! ( )( 1)..(2) 0 ....... (0)
k k k
n k kP f k a k k a f     
 Desta forma, o Polinômio de Taylor, para , também conhecido como 
Polinômio de Maclaurin é dado por: 
0 0x 
2 3(0) (0) (0)( ) (0) (0) .......
2! 3! !
n
n
n
f f f
P x f f x x x x
n
 
     
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 De modo geral, sendo o polinômio aproximador é dado:
Onde: 
0x R        
2 3
0 1 0 2 0 3 0 0( ) ( ) .......
n
n nf x P x a a x x a x x a x x a x x           
0
0
( )
n
k
k
k
a x x

 
 Novamente os coeficientes são determinados considerando: 
 Onde: 
( ) ( )
0 0( ) ( ) 0......
k k
nP x f x k n k
a ( ) ( ) e ( ) representam a derivadas de ( ) e ( ) respectivamente.k kn nf x P x k f x P x
Definição
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 Desta forma, se: 
( ) ( )
0 0( ) ( )
k k
nP x f x
       
2 3
0 1 0 2 0 3 0 0( ) .......
n
n nP x a a x x a x x a x x a x x         
 Considerando , ou seja: 
0k 
       
2 3
0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 0 0 0( ) ( ) ....... ( )
n
n nP x f x a a x x a x x a x x a x x f x            
0 0( )a f x
 Com 
1k 
     
1 2 1
1 2 0 3 0 0( ) 2 3 ....... ( )
n
n nP x a a x x a x x n a x x
               
2 1
0 0 1 2 0 0 3 0 0 0 0 0( ) ( ) 2 3 ....... ( ) ( )
n
n nP x f x a a x x a x x n a x x f x

              
1 0( )a f x
Definição
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( ) ( )
0 0( ) ( )
k k
nP x f x
       
2 3
0 1 0 2 0 3 0 0( ) .......
n
n nP x a a x x a x x a x x a x x         
 Com 
2k 
0
2
( )
2
f x
a

    
1 2
2 3 0 0( ) 2 3 2 ....... ( )( 1)
n
n nP x a a x x n n a x x
             
2
0 0 2 3 0 0 0 0 0( ) ( ) 2 3 2 ....... ( )( 1) ( )
n
n nP x f x a a x x n n a x x f x

              
 Com 
3k 
 
3
3 0( ) 3 2 ....... ( )( 1)( 2)
n
n nP x a n n n a x x
         
3
0 0 3 0 0 0( ) ( ) 3 2 ....... ( )( 1)( 2) ( )
n
n nP x f x a n n n a x x f x

           
0
3
( )
6
f x
a


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 Genericamente, ou seja, para a k-esima derivada: 
   1 0 0( ) ! ( )( 1)..(2) ....... ( 1)...( 1)
n kk
n k k nP x k a k k a x x n n n k a x x

         0 0 1 0 0 0( ) ( ) ! ( )( 1)..(2) ....... ( )
k k k
n k kP x f x k a k k a x x f x      
0( )
!
k
k
f x
a
k
( ) ( )0 0( ) ( )k knP x f x        
2 3
0 1 0 2 0 3 0 0( ) .......
n
n nP x a a x x a x x a x x a x x         
 Assim o Polinômio de Taylor de grau n para f(x) em torno de 𝑥0 é dado por:
2 30 0 0
0 0 0 0 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ....... ( )
2! 3! !
n
n
n
f x f x f x
P x f x f x x x x x x x x x
n
 
         
Definição
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Resumidamente
 Polinômio de Taylor de grau n para f(x) em torno de 𝑥0 é dado por:
2 30 0 0
0 0 0 0 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ....... ( )
2! 3! !
n
n
n
f x f x f x
P x f x f x x x x x x x x x
n
 
         0
0
0
( )
( ) ( )
!
kn
k
n
k
f x
P x x x
k
 
 O Polinômio de Taylor, para 𝑥0=0 , ou seja, Polinômio de Maclaurin é dado por: 
2 3(0) (0) (0)( ) (0) (0) .......
2! 3! !
n
n
n
f f f
P x f f x x x x
n
 
      0
(0)
( ) ( )
!
kn
k
n
k
f
P x x
k

Exemplos
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 Exemplo1
 Encontre o Polinômio de Taylor degrau n que aproxime a função 
em torno do ponto 𝑥0 = 0.
( ) xf x e
Solução: 
2 3(0) (0) (0)( ) (0) (0) .......
2! 3! !
n
n
n
f f f
T x f f x x x x
n
 
     
 n=1 Linear
( ) xf x e( ) xf x e 
0 0
1( ) (0) (0) 1T x f f x e e x x     
1( ) 1T x x 
 n=2 Quadrático
0 2 2
2 0 0
2
(0)
( ) (0) (0) 1
2! 2! 2
f e x x
T x f f x x e e x x

        
( ) xf x e 
2
2 ( ) 1
2
x
T x x  
Exemplos
Cálculo Numérico Serie de Taylor
 Exemplo1
 Encontre o Polinômio de Taylor de grau n que aproxime a função 
em torno do ponto x0 = 0.
( ) xf x e
Solução: 
2 3(0) (0) (0)( ) (0) (0) .......
2! 3! !
n
n
n
f f f
T x f f x x x x
n
 
     
 n=3
0 2 0 3 2 3
2 2 0 0
3
(0) (0)
( ) (0) (0) 1
2! 3! 2 6 2 6
f f e x e x x x
T x f f x x x e e x x
 
           
( ) xf x e ( ) xf x e 
( ) xf x e  ( )
xf x e 
2 3
3( ) 1
2 6
x x
T x x   
2 3
3
(0) (0)
( ) (0) (0)
2! 3!
f f
T x f f x x x
 
   
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Exemplos
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 A n-derivada da função é dado por: 
( ) xf x e ( ) xf x e 
( ) xf x e ( ) xf x e 
( ) xf x e
......... ( )n xf x e0mas 1e 
2 31 1 1( ) 1 .......
2! 3! !
n
nT x x x x x
n
     
0
( )
!
kn
n
k
x
T x
k
 Exemplo1 Encontre o Polinômio de Taylor de grau n que aproxime a função em torno do ponto x0 = 0. ( )
xf x e
Solução: 
2 3(0) (0) (0)( ) (0) (0) .......
2! 3! !
n
n
n
f f f
T x f f x x x x
n
 
     
Exemplos
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 Observações:
 A qualidade da aproximação é proporcional ao grau do polinômio
 O erro da aproximação é proporcional à distância entre o ponto x a ser avaliado e 
𝑥0
0 1
1 1,5
2 1,625
3 1,645833333
4 1,6484375
5 1,648697917
6 1,648719618
7 1,648721168
8 1,64
(0,5
872
)
1265
nn P
1,6exp 487(0,5) 21271
0 1
1 3
2 5
3 6,333333333
4 7
5 7,266666667
6 7,355555556
7 7,380952381
8 7,3873
(2
0 5 7
)
1 8
nn P
7,389exp(2 9) 05609
Exemplos
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 Exemplo 2
 Encontre o Polinômio de Taylor que aproxime a função em 
torno do ponto 𝑥0 = 0, considerando n=1 (linear). n=2 ( quadrático) e n=3
( ) ( )f x sen x
Solução: 
2 3(0) (0) (0)( ) (0) (0) .......
2! 3! !
n
n
n
f f f
T x f f x x x x
n
 
     
 n=1 Linear
( ) ( )f x sen x( ) cos( )f x x 1( ) (0) (0) (0) cos(0)T x f f x sen x x    1( )T x x
 n=2 Quadrático
2
2
2
(0) (0)
( ) (0) (0) (0) cos(0)
2! 2!
f sen x
T x f f x x sen x

     
( ) ( )f x sen x  
2 ( )T x x
Exemplos
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 Exemplo 2
 Encontre o Polinômio de Taylor que aproxime a função em 
torno do ponto x0 = 0, considerando n=1 (linear). n=2 ( quadrático) e n=3
( ) ( )f x sen x
Solução: 
2 3(0) (0) (0)( ) (0) (0) .......
2! 3! !
n
n
n
f f f
T x f f x x x x
n
 
     
 n=3
2 3 3
2 2
3
(0) (0) (0) cos(0)
( ) (0) (0) (0) cos(0)
2! 3! 2! 3! 6
f f sen x x x
T x f f x x x sen x x
 
         
3
3( )
6
x
T x x 
2 3
3
(0) (0)
( ) (0) (0)
2! 3!
f f
T x f f x x x
 
   
( ) ( )f x sen x ( ) cos( )f x x 
( ) ( )f x sen x  
( ) cos( )f x x  
Exemplos
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 Exemplo 3
 Encontre o Polinômio de Taylor de grau n que aproxime a função 
em torno do ponto 𝑥0 = 0.( ) ( )f x sen x
Solução: 
2 3(0) (0) (0)( ) (0) (0) .......
2! 3! !
n
n
n
f f f
T x f f x x x x
n
 
     
 Generalizando para um grau n e 𝑥0=0, tem-se:
( ) ( )
0
(0) 0
f x sen x
n
f



( ) cos(x)
1
(0) 1
f x
n
f
 

 
( ) ( )
2
(0) 0
f x sen x
n
f
  

 
( ) cos( )
3
(0) 1
f x x
n
f
  

  
4
4
( ) ( )
4
(0) 0
f x sen x
n
f



5
5
( ) cos( )
5
(0) 1
f x x
n
f



3 5 7 9 11
2n+1( ) .......
3! 5! 7! 9! 11!
x x x x x
P x x       
(2 1)
2n+1
0
( ) ( 1)
(2 1)!
kn
k
k
x
P x
k


 


Exemplos
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 Exemplo 4
 Encontre o Polinômio de Taylor de grau n que aproxime a função 
em torno do ponto 𝑥0= 0.
Solução: 
 Considerando um grau n qualquer e 𝑥0=0, tem-se:
2 3(0) (0) (0)( ) (0) (0) .......
2! 3! !
n
n
n
f f f
P x f f x x x x
n
 
     
( ) cos( )f x x
2 4 6 8 10
( ) 1 .......
2! 4! 6! 8! 10!
n
x x x x x
P x        
(2 )
0
( ) ( 1)
(2 )!
kn
k
n
k
x
P x
k
 
( ) cos( )
0
(0) 1
f x x
n
f



( ) (x)
1
(0) 0
f x sen
n
f
  

 
( ) cos( )
2
(0) 1
f x x
n
f
  

  
( ) ( )
3
(0) 0
f x sen x
n
f
 

 
4
4
( ) cos( )
4
(0) 1
f x x
n
f



5
5
( ) ( )
5
(0) 0
f x sen x
n
f
 


Exemplos
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 Exemplo 5
 Encontre uma aproximação de f(6), sabendo que:

 As demais derivadas no ponto x=4 são nulas
 Solução: 
 Considerando 𝑥0= 4, tem-se:
(4) 125f (4) 74f  (4) 30f  (4) 6f  
2 30 0 0
0 0 0 0 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ....... ( )
2! 3! !
n
n
n
f x f x f x
P x f x f x x x x x x x x x
n
 
         
2 330 6(6) 125 74( 4) ( 4) ( 4) 0 .....
2! 3!
nP x x x        2 3 2 3
30 6 30 6
(6) 125 74(6 4) (6 4) (6 4) 125 74(2) (2) (2)
2 6 2 6
nP           
(6) 125 148 15(4) 8 341nP     (6) 341nP 
Exemplos
Cálculo Numérico Serie de Taylor
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 Exemplo 5
 Encontre uma aproximação de f(6), sabendo que:

 As demais derivadas no ponto x=4 são nulas
 Solução: 
 Considerando 𝑥0= 4, tem-se:
(4) 125f (4) 74f  (4) 30f  (4) 6f  
2 330 6(6) 125 74( 4) ( 4) ( 4) 0 .....
2! 3!
nP x x x        
(6) 125 148 15(4) 8 341nP     (6) 341nP 
 Observações: 
 Para determinar Pn(x) apenas os valores da funções e de suas derivadas no ponto 
𝑥0 são necessários
 O conhecimento das expressões analíticas não é requerido
Exemplos
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 Exemplo 6
 Calcule uma aproximação para conhecendo que : 
 Solução: 
 Considerando e 𝑥0=4: 
 Observe que: e Já não da para usar 
2 30 0 0
0 0 0 0 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ....... ( )
2! 3! !
n
n
n
f x f x f x
P x f x f x x x x x x x x x
n
 
         
3 4 2
1
2( )f x x x 
1
2
1 1
( )
2 2
f x x
x

  
3
2
1
( )
4
f x x

    1 13 (3) 4 (3 4) 2 ( 1) 1,75
42 4
nP       
3 1,75 0 0 0( ) ( ) ( )( )nx P xf x f x x x
   
Valor exato 1, 13 73205 
Conclusões
Cálculo Numérico Serie de Taylor
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 A qualidade da aproximação é proporcional ao grau do 
polinômio
 O erro da aproximação é proporcional à distância entre o 
ponto x a ser avaliado e 
𝑥0
Para determinar Pn(x) apenas os valores da funções e de suas 
derivadas no ponto 𝑥0 são necessários
 O conhecimento das expressões analíticas não é requerido
Erros das Aproximações
Cálculo Numérico Serie de Taylor
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 Se f (x) e uma função para a qual Pn(x) existe, definimos o erro (ou resto) 
Rn(x) por:
 Pelo Teorema de Taylor, o erro Rn(x) e dado por:
20 0
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ...... ( ) ( )
2! !
n n
n
n
n
f x P x R x
f x f x
f x f x x x x x x x R x
n
  

        
0
1 0
0
( )
( ) ( ) ( ) (t) para ( )
!
n
x
n
n n
x
x x
R x f x P x f dt t x x
n
     
Erros das Aproximações
Cálculo Numérico Serie de Taylor
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 Forma de Cauchy:
 Forma de Lagrange:
 Essas expressões são úteis para se obter estimativas para o 
erro de uma aproximação de uma função utilizando Polinômios 
de Taylor
1
0
( )
( ) ( ) ( ), ( , )
!
n
n
n o
x t
R x f t x x t x x
n
   
1
1 0( )( ) ( ) , ( , )
( 1)!
n
n
n o
x x
R x f t t x x
n

  

Erros das Aproximações
Cálculo Numérico Serie de Taylor
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 Forma de Lagrange é muito parecida com o termo (n + 1) do 
Polinômio de Taylor :
 A diferença é o valor t na fórmula:
 Para estimar o erro, é comum utilizar o maior valor que 
pode assumir , desta forma pode escrever:
 0 é algum valor no intervalo ; t x x1( )nf t  0para , t x x 0
1
0 1
[ , ]
( )
( ) max ( )
( 1)!
n
n
n
t x x
x x
R x f t
n






1
1 0( )( ) ( ) , ( , )
( 1)!
n
n
n o
x x
R x f t t x x
n

  

Erros das Aproximações - Exemplo-1
Cálculo Numérico Serie de Taylor
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 Obtenha um limite superior para o erro ao aproximar por 
um Polinômio de Taylor de grau 4 expandido em torno do 
ponto . 
 Solução:
Em aula anterior já determinamos:
e admitimos que:
Desta forma, o erro verdadeiro é:
0,5e
0 0x 
4 1,6(0 48 5,5) 437P  1,6exp 487(0,5) 21271
4 4 1,64843(0,5) (0,5) 75 1,648721271 0,00exp(0,5 028)R P    
Erros das Aproximações - Exemplo-1
Cálculo Numérico Serie de Taylor
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 Obtenha um limite superior para o erro ao aproximar por 
um Polinômio de Taylor de grau 4 expandido em torno do 
ponto . 
 Solução:
0,5e
0 0x 
4 4 1,64843(0,5) (0,5) 75 1,648721271 0,00exp(0,5 028)R P    0
1
0 1
[ , ]
( )
( ) max ( )
( 1)!
n
n
n
t x x
x x
R x f t
n





 0
4 1
4
[ , ]
(0,5 0)
(0,5) max
(4 1)!
t
t x x
R e





5
0,5 0,5
4
(0,5)
(0,5) admitindo que e 2 tem-se:
(5)!
R e
Erros das Aproximações - Exemplo-1
Cálculo Numérico Serie de Taylor
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 Obtenha um limite superior para o erro ao aproximar por 
um Polinômio de Taylor de grau 4 expandido em torno do 
ponto . 
 Solução:
0,5e
0 0x 
4 4 1,64843(0,5) (0,5) 75 1,648721271 0,00exp(0,5 028)R P    0
1
0 1
[ , ]
( )
( ) max ( )
( 1)!
n
n
n
t x x
x x
R x f t
n





 0
4 1
4
[ , ]
(0,5 0)
(0,5) max
(4 1)!
t
t x x
R e





5
0,5 0,5
4
(0,5)
(0,5) admitindo que e 2 tem-se:
(5)!
R e
5
4
(0,5)
(0,5) 2
12
2
0
0,0005R  
Erros das Aproximações - Exemplo-1
Cálculo Numérico Serie de Taylor
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 Obtenha um limite superior para o erro ao aproximar por 
um Polinômio de Taylor de grau 4 expandido em torno do 
ponto . 
 Solução:
0,5e
0 0x 
4 4 1,64843(0,5) (0,5) 75 1,648721271 0,00exp(0,5 028)R P    0
1
0 1
[ , ]
( )
( ) max ( )
( 1)!
n
n
n
t x x
x x
R x f t
n





 0
4 1
4
[ , ]
(0,5 0)
(0,5) max
(4 1)!
t
t x x
R e





5
0,5 0,5
4
(0,5)
(0,5) admitindo que e 2 tem-se:
(5)!
R e
5
4
(0,5)
(0,5) 2
12
2
0
0,0005R  
4 0,00028(0, 0, 55 0 2) 00R 
Erros das Aproximações - Exemplo-2
Cálculo Numérico Serie de Taylor
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 Seja f(x) = sen(x). Obtenha um limitante superior para o erro 
ao calcular uma aproximação para com um Polinômio 
de Taylor cúbico em torno do ponto x0 = 0. Adote sen(x) ≤ 1 
quando necessário. 
 Solução:
0
1
0 1
[ , ]
( )
( ) max ( )
( 1)!
n
n
n
t x x
x x
R x f t
n






 4f 
3 1
3 1
3
[0, ]
4
( 0)
4
( ) max ( )
4 (3 1)! t
R f t








 4
( ) ( ) ( ) cos( ) ( ) ( )
( ) cos( ) ( ) ( )
f x sen x f x x f x sen x
f x x f x sen x
      
    
4
3
[0, ]
4
( )
4
( ) max ( )
4 (4)! t
R sen x




 
4
3
( )
4
( ) 1
4 (2
0,015854
4)
R

   
Erros das Aproximações - Exemplo-2
Cálculo Numérico Serie de Taylor
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 Solução:
 Em aula anterior, determinou-se que: 
 sabendo que: 
4
3
( )
4
( ) 1
4 (2
0,015854
4)
R

   3 5 7 9 11
( ) .......
3! 5! 7! 9! 11!
n
x x x x x
P x x       
 
3
3
3 3
4
( ) ( )
4 46
0,7046
6
x
P x x P
      2
( )
4 2
0,7071sen    
3 0,7071 0,70( ) 0,004
46 25R   
3 0,015854 
 
(
 
) 0,0025
 é 
4
 
confirma se que erro da aproximação
inferior ao limite obt do
R
i
    
Erros das Aproximações - Exemplo-3
Cálculo Numérico Serie de Taylor
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 Seja e . Determine n para que o erro ao se 
aproximar f(x) por um Polinômio de Taylor seja: 
para . Caso necessário adote .
 Solução:
 Se e 
 Logo:
3e0
0x ( ) xf x e 5( ) 10 nR x

 -1 x 1  0
1
0 1
[ , ]
( )
( ) max ( )
( 1)!
n
n
n
t x x
x x
R x f t
n





1( ) ( )x n xf x e f x e  
1
[ 1,1]
 -1 x 1 max ( ) 3n
t
f t e
 
    
1
5
(1) 3
( ) 3 10
( 1)! ( 1)!
n
nR x
n n

   
 
1
( 0) 1
n
x

 5
3
( 1)!
10
n

   
300000 ( 1)! n   40320 uma v e ez que (7+1)!= !(8+1) 3628808n 
Erros das Aproximações - Exemplo-3
Cálculo Numérico Serie de Taylor
Prof. Rubens de Oliveira ICE-UFJF
 Seja e . Determine n para que o erro ao se 
aproximar f(x) por um Polinômio de Taylor seja: 
para . Caso necessário adote .
 Solução:
 Logo, se: e tem-se: 
 Por exemplo:
3e0
0x ( ) xf x e 5( ) 10 nR x

 -1 x 1 
 -1 x 1 8n 
5( ) 10 nR x

2 3 4 5 6 7 8
8
1 1 1 1 1 1 1
( ) 1
2! 3! 4! 5! 6! 7! 8!
T x x x x x x x x x        
8
8
0
( )
!
k
k
x
T x
k

Erros das Aproximações - Exemplo-4
Cálculo Numérico Serie de Taylor
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 Seja e . Determine n para que o erro ao se 
aproximar f(x) por um Polinômio de Taylor seja: 
para .
 Solução:
0 0x ( ) ( )f x sen x
7( ) 10 nR x
 - x4 4
  
0
1
0 1 7
[ , ]
( )
( ) max ( ) 10 
( 1)!
n
n
n
t x x
x x
R x f t
n

 


 

0
1 1
[ , ]
( )
cos( )
Se ( ) ( ) ( ) max ( ) 1
( )
cos( )
n n
t x x
sen x
x
f x sen x f x f t
sen x
x
 




   


1
7
( )
4
Logo ( ) 10
( 1)!
n
nR x
n
 
 
1
( 1)!
0
10000
,7853
000
98n
n


 
Erros das Aproximações - Exemplo-4
Cálculo Numérico Serie de Taylor
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 Seja e . Determine n para que o erro ao se 
aproximar f(x) por um Polinômio de Taylor seja: 
para .
 Solução:
0 0x ( ) ( )f x sen x
7( ) 10 nR x
 - x4 4
   7
8 1
(8+1) 362880
 =3191201
0,785398 0
!
 Se n=8 10000000 
,
( ) 1
1137 3
0
1
nR x


   7
9 1
(9+1) 3628800
 =40631628
0,785398 0,0893
!
 Se n=9 10000000
1
( ) 10 nR x


   
3 5 7 9
7
9 9( ) ( ) 10 se - x4 43! 5! 7! 9!
x x x x
P x x R x          1( 1)0 !10000 ,785390 80 0 nn 
Aproximação de Derivada
Cálculo Numérico Serie de Taylor
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 Considere que uma função f(x), cuja expressão é desconhecida, 
seja fornecida por meio de um conjunto de pontos (x0,f(x0)), 
(x1,f(x1)), ... ,(xn,f(xn)).
 Como calcular f′(xi) ?
Podemos usar polinômio de Taylor para aproximar as derivadas da 
função.
Aproximação de Derivada
Cálculo Numérico Serie de Taylor
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 Para calcular a derivada f′(xi) em cada ponto xi, vamos usar um 
polinômio de Taylor linear em torno do ponto xi.
• Diferença Progressiva: x = xi+1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
h
i i i i if x f x f x x x   
1( ) ( )( ) i ii
f x f x
f x
h
  
Aproximação de Derivada
Cálculo Numérico Serie de Taylor
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 Para calcular a derivada f′(xi) em cada ponto xi, vamos usar um 
polinômio de Taylor linear em torno do ponto xi.
• Diferença Regressiva: x = xi−1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
h
i i i i if x f x f x x x

 
  
1( ) ( )( ) i ii
f x f x
f x
h
 
Aproximação de Derivada
Cálculo Numérico Serie de Taylor
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• Diferença Central:
• Subtraindo as duas expressões:
1( ) ( ) ( )i i if x f x f x h  1
( ) ( ) ( )i i if x f x f x h  
1 1( ) ( ) 2 ( )i i if x f x hf x   
1 1( ) ( )( )
2
i i
i
f x f x
f x
h
  
Aproximação de Derivada
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 Diferença central é mais precisa para aproximar a derivada
Aproximação de Derivada – Exemplo-1
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 Calcule f′(1.3) para f(x) = ln(x) usando diferença progressiva e 
central para h = 0,01 e h = 0,001.
• Diferença Progressiva com h= 0,01
• Diferença Central com h= 0,01
1( ) ( ) ln(1,3 0,01) ln(1 0,27,3)( )
0,01 0,0
0027 0,262364
0,766
1
287i ii
f x f x
f x
h
     

 
1 1( ) ( ) ln(1,3 0,01) ln(1,3 0,01)( )
2 0
0,27
,02
0027 0,254642
0,7
0,02
69245942i ii
f x f x
f x
h
         0,
1 1
( ) ln( ) ( ) 76923
1,3
1if x x f x
x
    
Aproximação de Derivada – Exemplo-1
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 Calcule f′(1.3) para f(x) = ln(x) usando diferença progressiva e 
central para h = 0,01 e h = 0,001.
• Diferença Progressiva com h= 0,001
• Diferença Central com h= 0,001
1( ) ( ) ln(1,3 0,001) ln(1,3 0,263133)( )
0,001
0,262364
0,768935063
0,001
i i
i
f x f x
f x
h
       1 1( ) ( ) ln(1,3 0,001) ln(1,3 0 0,,001)( )
2 0,
263133 0,261595
0,769
002 0,002
230921i ii
f x f x
f x
h
         0,
1 1
( ) ln( ) ( ) 76923
1,3
1if x x f x
x
    
Aproximação de Derivada – Exemplo-2
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 Calcule f′(x) nos pontos da tabela abaixo da melhor forma 
possível:
I 0 1 2 3
x -0,3 -0,1 0,1 0,3
f(x) -0,20431 -0,08993 0,11007 0,39569
( )f x
1( ) ( )( ) i ii
f x f x
f x
h
   1 1
( ) ( )
( )
2
i i
i
f x f x
f x
h
   1
( ) ( )
( ) i ii
f x f x
f x
h
 
Derivada Progressiva Derivada Central Derivada Regressiva
I 0 1 2 3
x -0,3 -0,1 0,1 0,3
f(x) -0,20431 -0,08993 0,11007 0,39569
0,5719 0,78595 1,21405 1,4281
Aproximação de Derivada – Exemplo-2
Cálculo Numérico Serie de Taylor
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 Calcule f′(x) nos pontos da tabela abaixo da melhor forma 
possível:
( )f x
1( ) ( )( ) i ii
f x f x
f x
h
   1 1
( ) ( )
( )
2
i i
i
f x f x
f x
h
   1
( ) ( )
( ) i ii
f x f x
f x
h
 
Derivada Progressiva Derivada Central Derivada Regressiva
I 0 1 2 3
x -0,3 -0,1 0,1 0,3
f(x) -0,20431 -0,08993 0,11007 0,39569
0,5719 0,78595 1,21405 1,4281
Aproximação de Derivada – Exemplo-2
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 Calcule f′(x) nos pontos da tabela abaixo da melhor forma 
possível:
( )f x
0,39569 0,11007
( )
0,2
0,3 1,4281f

  
0,11007 0,20431(
( 0,1)
2(0,2)
)
0,78595f

   
0,08993 0,20431)
0,3 0,5719
(
( )
0,2
f
 
  
Derivada Progressiva Derivada Central Derivada Regressiva
I 0 1 2 3
x -0,3 -0,1 0,1 0,3
f(x) -0,20431 -0,08993 0,11007 0,39569
0,5719 0,78595 1,21405 1,4281
Aproximação de Derivada – Exemplo-2
Cálculo Numérico Serie de Taylor
Prof. Rubens de Oliveira ICE-UFJF
 Calcule f′(x) nos pontos da tabela abaixo da melhor forma 
possível:
( )f x
Derivada Progressiva Derivada Central Derivada Regressiva
0,08993 0,20431)
0,3 0,5719
(
( )
0,2
f
 
  
0,39569 0,11007
( )
0,2
0,3 1,4281f

  
0,39569 0,08993)(
( )
2(0,2)
0,1 1,21405f

  

Considerações Finais
Cálculo Numérico Serie de Taylor
Prof. Rubens de Oliveira ICE-UFJF
 Algumas propriedades da aproximação por polinômio de Taylor: 
• Quanto maior o grau do polinômio, melhor a aproximação. 
• A medida que nos afastamos do ponto x = a, a aproximação piora. 
• O polinômio de Taylor Pn(x) só precisa do valor da função e de suas 
derivadas em um ponto a. Não é preciso conhecer a expressão analítica de 
suas derivadas. 
 Aproximações para as derivadas da função f (x): 
• A diferença central é mais precisa para aproximar a derivada.
• As derivadas de alta ordem são calculadas de forma similar. 
• Quanto mais pontos em um intervalo [a, b], ou seja, quanto menor o 
espaçamento h entre eles, melhor a qualidade da aproximação. 
Cálculo Numérico Introdução
Prof. Rubens de Oliveira ICE-UFJF