Suplemento - Curiosidades

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MENTIRAS QUE MINHA CALCULADORA E COMPUTADOR ME CONTARAM
Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins (IMECC/Unicamp)
 Veja a Seção 1.4, no Volume 
1, para uma discussão de calcu-
ladoras gráficas e computado-
res com software gráfico.
Uma grande variedade de calculadoras de bolso é atualmente comercializada. Algumas podem executar 
programas elaborados pelo usuário; outras têm pacotes pré-programados para procedimentos de cálculo 
utilizados com frequência, incluindo a exibição de gráficos. Todos têm certas limitações em comum: 
uma magnitude limitada (geralmente menos de 10100 para calculadoras) e um limite na precisão (geral-
mente 8 a 13 dígitos).
Uma calculadora normalmente vem com um manual do usuário. Leia-o! O manual irá falar sobre 
outras limitações (por exemplo, para ângulos quando entram funções trigonométricas) e, talvez, como 
superá-las.
Pacotes de programas para microcomputadores (mesmo os mais fundamentais, que realizam opera-
ções aritméticas e funções elementares) muitas vezes sofrem de falhas ocultas. Você vai ser informado 
de alguns deles nos exemplos a seguir, e você será encorajado a experimentar usando as ideias aqui 
apresentadas.
EXPERIMENTOS PRELIMINARES COM SUA CALCULADORA OU COMPUTADOR
Para dar uma primeira olhada nas limitações e qualidade de sua calculadora, calcule 2 ¸ 3. Naturalmen-
te, a resposta não é um decimal com um número finito de algarismos, por isso não pode ser representado 
exatamente na sua calculadora. Se o último dígito apresentado é 6 em vez de 7, então a sua calculadora 
aproxima 2/3 truncando em vez de arredondar; assim, esteja preparado para a perda de um pouco mais 
de precisão nos cálculos mais longos.
Agora multiplique o resultado por 3, isto é, calcule (2 ¸ 3) ´ 3. Se a resposta for 2, então subtraia 2 
do resultado, assim calcule (2 ¸ 3) ´ 3 – 2. Em vez de se obter 0 como resposta, você pode obter um pe-
queno número negativo, o que depende da construção dos circuitos. (A calculadora mantém, neste caso, 
alguns dígitos “sobressalentes” que são lembrados, mas não mostrados.) Isso está certo, pois, como 
mencionado anteriormente, o número finito de dígitos torna impossível representar 2 ¸ 3 exatamente.
Uma situação similar ocorre quando você calcula ( )26 6.- Se você não obtiver 0, a ordem de 
grandeza do resultado irá dizer-lhe quantos dígitos a calculadora usa internamente.
Em seguida, tente calcular (–1)5 usando a tecla yx. Muitas calculadoras indicarão um erro, pois elas 
são projetadas para tentar e5 ln(–1). Uma maneira de superar isso é a utilização do fato de que (–1)k = cos 
kp sempre que k é um número inteiro.
As calculadoras são geralmente construídas para operar no sistema de numeração decimal. Em 
contraste, alguns pacotes de microcomputador de programas aritméticos operam em um sistema de 
número com base diferente de 10 (tipicamente, 2 ou 16). Aqui a lista de truques indesejáveis que o seu 
dispositivo utilizar é ainda maior, uma vez que nem todos os números decimais que terminam são re-
presentados exatamente. Uma recente implementação da linguagem de programação BASIC (em dupla 
precisão) mostra exemplos de conversão incorreta entre diferentes bases:
?
?
8 0,1 0,79999 99999 99999 9
19 0,1 1,90000 00000 00001
´ =
´ =enquanto que
Mesmo outra implementação, aparentemente livre das anomalias anteriores, não irá calcular funções em 
precisão dupla. Por exemplo, o número p = 4 ´ tg–11, cuja representação com 16 dígitos decimais deve 
ser 3,14159 26535 89793, aparece como 3,14159 29794 31152; isso está errado por mais de 3 ´ 10–7. 
O que é pior, a função cosseno é programada de tal maneira que seu “cos” 0 = 1 + 2–23. (Você pode 
inventar uma situação em que isso poderia arruinar seus cálculos?) Estes defeitos ou similares existem 
em outras linguagens de programação também.
OS PERIGOS DA SUBTRAÇÃO
Você pode ter observado que a subtração de dois números que são próximos um do outro é uma opera-
ção delicada. A dificuldade é semelhante a este exercício mental: imagine que você ande com os olhos 
vendados 100 passos para a frente e, em seguida, vira de costas e anda 99 passos. Você tem certeza que 
você acaba exatamente a um passo de onde você começou?
O nome desse fenômeno é “perda de dígitos significativos.” Para ilustrar, vamos calcular
8721 3 10 681 2-
1
2  MENTIRAS QUE MINHA CALCULADORA E COMPUTADOR ME CONTARAM
As aproximações da minha calculadora são
8721 3 15105,21509 e 10 681 2 15105,21506» »
e então nós obtemos 8721 3 10 681 2 0,00003.- » Mesmo com três dígitos mais expostos, a dife-
rença surge como 0,00003306. Como você pode ver, os dois números com dez dígitos concordam em 
nove dígitos que, após a subtração, se tornam zeros antes do primeiro dígito diferente de zero. Para pio-
rar as coisas, os pequenos erros de outrora nas raízes quadradas tornam-se mais visíveis. Neste exemplo 
em particular, podemos usar racionalização para escrever
18 721 3 10 681 2
8 721 3 10 681 2
- = +
(trabalhe os detalhes!) e agora a perda de dígitos significativos não ocorre:
1 0,00003310115
8 721 3 10 681 2
»+ para sete dígitos
(Seria necessário muito espaço para explicar por que todos os sete dígitos são confiáveis; o assunto 
trata de análise numérica com essas situações e similares.) Veja o Exercício 7 para outra instância de 
restauração de dígitos perdidos.
Agora você pode ver por que nos Exercícios 2.2 (Exercício 44) seu palpite no limite da (tg x – x)/x3 
tinha que dar errado: tg x torna-se tão perto de x que os valores eventualmente concordam em todos 
os dígitos que a calculadora é capaz de carregar. Da mesma forma, se você começar com praticamente 
qualquer função contínua f e tentar adivinhar o valor de
0
( ) ( )( ) lim 
h
f x h f xf x
h
+ -¢ =
o suficiente usando uma calculadora, você vai acabar com um zero, apesar de todas as normas do Ca-
pítulo 2!
ONDE O CÁLCULO É MAIS PODEROSO 
DO QUE CALCULADORAS E COMPUTADORES
Um dos segredos do sucesso do cálculo na superação das dificuldades relacionadas com a subtração 
é a manipulação simbólica. Por exemplo, (a + b) – a é sempre b, embora o valor calculado possa ser 
diferente. Tente isso com a = 107 e 52 10 .b -= ´ Outra ferramenta poderosa é o uso de desigual-
dades; um bom exemplo é o Teorema do Confronto como demonstrado na Seção 2.3. Ainda um outro 
método para evitar dificuldades computacionais é fornecido pelo Teorema do Valor Médio e suas con-
sequências, como a Regra de l’Hôspital (que ajuda a resolver o exercício acima mencionado e outros) 
e a Desigualdade de Taylor.
As limitações de calculadoras e computadores são ainda ilustradas por uma série infinita. Um equí-
voco comum é o de que uma série pode ser resumida pela adição de termos até que não haja “pratica-
mente nada a acrescentar” e “o erro é menor que o primeiro termo negligenciado”. A última afirmação 
é verdadeira para a série alternada determinada (ver o Teorema de Estimativa da Série Alternada), mas 
não de um modo geral; uma versão modificada é verdadeira para outro tipo de série (Exercício 10). 
Como exemplo para refutar esses equívocos, vamos considerar a série
1,001
1
1
n n
¥
=
å
que é uma série-p convergente ( p = 1,001 > 1). Suponha que quiséssemos somar esta série, correta até 
oito casas decimais, acrescentando termos até que eles sejam menores de 5 na nona casa decimal. Em 
outras palavras, poderíamos parar quando
1,001
1 0,00000 0005
n
<
ou seja, quando n = N = 196 217 284. (Isso exigiria um computador de alta velocidade e maior preci-
são.) Fazendo isso, iríamos acabar com a soma parcial aproximada
1,001 19,5= <å
MENTIRAS QUE MINHA CALCULADORA E COMPUTADOR ME CONTARAM  3
Mas, a partir da prova do Teste da Integral, temos
1,001 1,0011
1
1 1000
n
dx
n x
¥ ¥
=
> =å ò
Assim, o resultado da máquina representa menos de 2% da resposta correta!
Suponhaque, em seguida, quiséssemos adicionar um grande número de termos desta série, diga-
mos, 10100 termos, a fim de deixar a soma infinita mais aproximada. (Este número 10100, chamado de 
googol, está fora do alcance de calculadoras de bolso e é muito maior que o número de partículas ele-
mentares em nosso sistema solar.) Se fôssemos adicionar 10100 termos da série acima (apenas na teoria; 
um milhão de anos é menor que 1026 microssegundos), ainda assim obteríamos uma soma menor que 
207 em comparação com a soma verdadeira de mais de 1000. (Essa estimativa de 207 é obtida através 
de uma forma mais precisa do Teste Integral, conhecida como a Fórmula de Euler-Maclaurin, e apenas 
então usando uma calculadora. A fórmula proporciona um modo para acelerar a convergência desta e 
de outras séries.)
Se as duas abordagens anteriores não dão a informação correta sobre a precisão das somas parciais, 
o que dá? Uma desigualdade adequada satisfeita pelo restante da série, como você pode ver no Exer-
cício 6.
Computadores e calculadoras não são substitutos para o pensamento matemático. Eles são apenas 
substitutos para alguns tipos de trabalho matemático, numéricos ou simbólicos. Há, e sempre haverá, 
problemas matemáticos que não podem ser resolvidos por uma calculadora ou computador, indepen-
dentemente do seu tamanho e velocidade. Uma calculadora ou computador estende a capacidade hu-
mana para lidar com números e símbolos, mas ainda há margem considerável e necessidade de “pensar 
antes de fazer”.
MENTIRAS QUE MINHA CALCULADORA E COMPUTADOR ME CONTARAM – EXERCÍCIOS  1
EXERCÍCIOS Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins (IMECC/Unicamp)
 1. Faça uma conjectura sobre o valor de
2 20
1 1lim 
senx x x
æ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø
 e determine quando parar de calcular antes que a perda de 
dígitos significativos destrua o seu resultado. (A resposta 
vai depender de sua calculadora.) Então encontre a resposta 
precisa utilizando um método de cálculo apropriado.
 2. Faça uma conjectura sobre o valor
0
ln (1 )lim 
h
h
h
+
 e determine quando parar de calcular antes que a perda de 
dígitos significativos destrua o seu resultado. Desta vez, a 
subtração prejudicial ocorre no interior da máquina; expli-
que como (supondo que a série de Taylor com centro a = 1 
é utilizada para aproximar ln x). Então encontre a resposta 
precisa utilizando um método de cálculo apropriado.
 3. Mesmo os problemas de cálculo de aparência inocente po-
dem levar a números que ultrapassam o alcance da calcula-
dora. Mostre que o valor máximo da função
2
( )
(1,0001)x
xf x =
 é maior que 10124. [Dica: Use logaritmos]. Qual é o limite 
de f(x) quando x  ¥?
 4. Qual é uma expressão numericamente confiável para subs-
tituir 1 cos ,x- especialmente quando x é um número pe-
queno? Você vai precisar usar identidades trigonométricas. 
(Lembre-se de que alguns pacotes de computador sinaliza-
riam uma condição de erro desnecessário, ou até mesmo 
mudariam para aritmética complexa, quando x = 0.)
 5. Tente calcular
D = ln ln(109 + 1) — ln ln(109)
 na sua calculadora. Esses números são tão próximos que 
você provavelmente vai obter 0 ou apenas alguns dígitos 
de precisão. No entanto, podemos usar o Teorema do Valor 
Médio para conseguir uma precisão muito maior.
 (a) Seja f (x) = ln ln x, a = 109, e b = 109 + 1. Então o 
Teorema do Valor Médio dá
f ¢(b) – f (a) = f ¢(c) (b – a) = f ¢(c)
 onde a < c < b. Como f ’ está diminuindo, temos f ¢(a) 
> f ¢(c) > f ¢(b). Use isso para estimar o valor de D.
 (b) Use o Teorema do Valor Médio uma segunda vez para 
descobrir por que as quantidades f ¢(a) e f ¢(b) no item 
(a) são tão próximas umas das outras.
 6. Para a série de 1,0011 ,n n
¥ -
=S estudada no texto, exatamente 
de quantos termos precisamos (em teoria) para tornar o erro 
inferior a 5 na nona casa decimal? Você pode usar as desi-
gualdades a partir da prova do Teste da Integral:
1
1
( ) ( ) ( ) 
N N
n N
f x dx f n f x dx
¥¥ ¥
+ = +
< <åò ò
 7. Arquimedes descobriu uma aproximação para 2p consideran-
do o perímetro p de um polígono regular de 96 lados inscrito 
em um círculo de raio 1. Sua fórmula, em notação moderna, é
96 2 2 2 2 3p = - + + +
 (a) Realize os cálculos e compare com o valor de p a par-
tir de fontes mais precisas, por exemplo, p = 192 sen 
(p/96). Quantos dígitos você perdeu?
 (b) Realize a racionalização para evitar subtração de núme-
ros aproximados e conte os dígitos exatos novamente.
 8. Este exercício está relacionado ao Exercício 2. Suponha 
que o seu dispositivo de computação tenha um excelente 
algoritmo para a função exponencial exp(x) = ex, mas um 
programa fraco para ln x. Use a identidade
ln ln 1
b
b
a ea b
e
æ ö- ÷ç ÷ç= + + ÷ç ÷çè ø
 e Desigualdade de Taylor para melhorar a precisão de ln x.
 9. A equação cúbica
x3 + px + q = 0
 onde assumimos por simplicidade que p > 0 tem uma fórmu-
la de solução clássica para a raiz real, chamada fórmula de 
Cardano:
1/3
2 3
1/3
2 3
27 729 1081
3 2
27 729 108
2
q q p
x
q q p
é æ öê ÷+ +ç ÷çê ÷= ç ÷÷çê è øë
ùæ ö ú÷- +ç ÷ç ú÷+ç ÷÷ç úè ø û
 Para um usuário de uma calculadora de bolso, bem como 
para um programador inexperiente, a solução apresenta di-
versos obstáculos. Primeiro, o radicando do segundo termo 
é negativo e a tecla de potência fracionária pode não lidar 
com isso. A seguir, mesmo que tal tecla funcione, quando q é 
pequeno em magnitude e p é de tamanho médio, o pequeno 
número x é a diferença de dois números próximos de /3.p
 (a) Mostre que todos esses problemas são evitados pela 
fórmula
 
2/3 2 2/3
9
3 9
qx
a p p a-
-= + +
 onde 
2 327 729 108
2
q q p
a
+ +=
 Dica: Use a fórmula de fatoração
3 3
2 2
A BA B
A AB B
++ = - +
 (b) Calcule
( ) ( )2/3 2/3
4
2 5 1 2 5
u -= + + + +
2  MENTIRAS QUE MINHA CALCULADORA E COMPUTADOR ME CONTARAM – EXERCÍCIOS
 Se o resultado é simples, relacione-o com a parte (a), isto 
é, restabeleça a equação cúbica cuja raiz é u escrito nesta 
forma.
 10. (a) Considere a série de potências
1
( )
100 1
n
n
n
xf x
¥
=
= +å
 É fácil de mostrar que o seu raio de convergência é r = 
100. A série irá convergir muito lentamente para x = 99: 
descubra quantos termos fará o erro menor de 5 ´ 10–7.
 (b) Nós podemos acelerar a convergência da série, na parte 
(a). Mostre que
( )
100 100
x xf x f
x
æ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø-
 e determine o número de termos da presente série 
transformada que leva a um erro inferior a 5 ´ 10–7. 
 [Dica: Compare com a série 1 ( /100 ),
n n
n x
¥
=S cuja soma 
você conhece.]
 11. Os números positivos
1 1
0
x n
na e x dx
-= ò
 podem, em teoria, ser calculados a partir de uma fórmula de 
redução obtida por integração pelas partes: a0 = e –1, 
 an = nan–1 – 1. Prove, usando 1 £ e1 – x £ e e o Teorema do 
Confronto que limn¥ an = 0. Em seguida, tente calcular 
a20 da fórmula de redução usando a calculadora. O que deu 
errado?
 O termo inicial a0 = e – 1 não pode ser representado 
exatamente na calculadora. Vamos chamar c aproximação 
do e – 1 que podemos inserir. Verifique a partir da fórmula 
de redução (por meio da observação do padrão após alguns 
passos) que
1 1 1 !
1! 2! !n
a c n
n
é ùæ ö÷çê ú= - + + + ÷ç ÷ê úç ÷è øë û

 e lembre-se de nosso estudo da série Taylor e Maclaurin que
1 1 1
1! 2! !n
+ + +
 converge para e – 1 quando n  ¥. A expressão entre col-
chetes converge para c – (e – 1), um número diferente de 
zero, que fica multiplicado por um fator n! de crescimento 
rápido. Conclui-se que, mesmo se todos os cálculos poste-
riores (depois de introduzir a0) foram realizados sem erros, 
a imprecisão inicial faria com que a sequência computado-rizada {an} divergisse.
 12. (a) Um consolo após o resultado catastrófico do Exercício 
11: Se reescrevermos a fórmula de redução para ter
1
1 n
n
aa
n-
+=
 podemos usar a desigualdade utilizada no argumento do 
Teorema de Confronto para obter melhorias das aproxi-
mações de an. Tente a20 novamente utilizando esta abor-
dagem inversa. 
 (b) Usamos a fórmula de redução invertida para calcular 
quantidades para as quais temos fórmulas elementares. 
Para ver que a ideia é ainda mais poderosa, desenvol-
va-a para as integrais
1 1
0
n xx e dxq- -ò
 onde q é uma constante, 0 < q < 1, e n = 0, 1,.... Para 
tal q as integrais não são mais elementares (não so-
lucionáveis em “termos finitos”), mas o número pode 
ser calculado rapidamente. Encontre as integrais para a 
determinada escolha 13q = e n = 0, 1, ..., 5 com cinco 
dígitos de precisão.
 13. Uma calculadora avançada tem uma chave para uma função 
peculiar:
1 se 0
( ) 1 se 0
x
x
E x e x
x
ì =ïïïï= í -ï ¹ïïïî
 Depois de tantos avisos sobre a subtração de números pró-
ximos, você pode perceber que a definição
1
2senh ( )
x xx e e-= -
 dá resultados imprecisos para x pequeno, onde senh x está 
próximo de x. Mostre que a utilização da função E(x) cal-
culada acuradamente ajuda a restaurar a precisão de senh x 
para x pequeno.
MENTIRAS QUE MINHA CALCULADORA E COMPUTADOR ME CONTARAM – SOLUÇÕES  1
SOLUÇÕES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins (IMECC/Unicamp)
 1. Os resultados são do Maple com Digits: = 16. A última coluna mostra os valores do polinômio de Taylor de sexto grau de 
f(x) = cossec2 x – x–2 próximo de x = 0. Note que o segundo arranjo do polinômio de Taylor é mais fácil de usar com uma calculadora:
( )2 4 6 2 2 21 1 2 1 1 2 1 16 3 15 289 675 675 289 15 3( )T x x x x x x xé ù= + + + = + + +ê úë û
x f(x)calculadora f(x)computador f(x)Taylor
0,1 0,33400107 0,3340010596845 0,33400106
0,01 0,333341 0,33334000010 0,33334000
0,001 0,3334 0,333333400 0,33333340
0,0001 0,34 0,3333334 0,33333333
0,00001 2,0 0,33334 0,33333333
0,000001 100 ou 200 0,334 0,33333333
0,0000001 10 000 ou 20 000 0,4 0,33333333
0,00000001 1 000 000 0 0,33333333
 Vemos que os resultados da calculadora começam a piorar seriamente em x = 0,0001, e para x menores, eles são completamente 
sem sentido. Os diferentes resultados “100 ou 200” etc. dependiam de se calculássemos [(sen x)2] –1 ou [(sen x) –1] 2. Com Maple, o 
resultado fica distante em mais de 10% quando x = 0,0000001 (compare com o resultado da calculadora!) Uma análise detalhada 
revela que os valores da função são sempre maiores que 13 , mas, eventualmente, o computador dá resultados inferiores a 
1
3 .
 O polinômio T6(x) foi obtido através da simplificação paciente da expressão para f(x), começando com sen2(x) = 12 (1 – cos 
2x), onde 
2 4 10
12
(2 ) (2 ) (2 )cos 2 1 ( ).
2! 4! 10!
x x xx R x= - + - - + Consequentemente, o exato valor do limite é T6(0) = 13 . Também 
pode ser obtido por várias aplicações da Regra l’Hôspital na expressão 
2 2
2 2
sen( )
sen
x xf x
x x
-= com simplificações intermediárias.
 2. A expansão de Taylor de ln x centrada em c = 1 é 
2 3 41 1 1
2 3 4ln ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)x x x x x= - - - + - - - +
e x é calculado como 1 + h em que h é pequeno. Nós temos a situação descrita no texto: o 
cálculo de (1 + h) – 1, que deve naturalmente resultar em h, em vez disso resulta um valor 
arredondado de h, destruindo alguns de seus dígitos. Daí o comportamento estranho de 
h = 7 ´ 10–11 e –7 ´ 10–12. Quando 1 + h é indistinguível de 1, os valores calculados são 
0. O valor preciso é
0 1
ln (1 ) ln1lim ln 1.
h x
h d x
h dx =
é ù+ - ê ú= =ê úë û
Em vez de usar esse atalho, poderíamos usar a Regra l’Hôspital.
 3. De 
25
( )
(1,0001)x
xf x = (Podemos supor x > 0; por quê?), temos ln f(x) = 25 ln x – x ln (1,0001) e ( ) 25 ln (1,0001).
( )
f x
f x x
¢ = - Esta 
derivada, bem como a própria derivada f ¢(x), é positiva para 0 250 249 971,015,ln (1,0001)x x< < = » e negativa para x > x0. Por 
isso, o valor máximo de f (x) é 
0
25
0
0( ) ,(1,0001)x
xf x = um número muito grande para ser calculado diretamente. Usando logaritmos 
decimais, log10 f (x0) » 124,08987757, de forma que f (x0) » 1,229922 ´ 10124. O valor real do limite é lim ( ) 0;x f x¥ = seria um 
h ln(1 + h)/h
10–2 0,99503309
10–4 0,99995000
10–6 0,99999950
10–8 1 – 5 ´ 10–9
7 ´ 10–11 1,4285714
10–11 0
–10–2 1,0050336
–10–4 1,00005
–10–6 1,0000005
–10–8 1 + 5 ´ 10–9
–7 ´ 10–11 1,0
–7 ´ 10–12 1,4285714
2  MENTIRAS QUE MINHA CALCULADORA E COMPUTADOR ME CONTARAM – SOLUÇÕES
desperdício e deselegante utilizar a Regra l’Hôspital 25 vezes, uma vez que podemos transformar f (x) em 
25
/25( ) ,(1,0001) x
xf x
æ ö÷ç= ÷ç ÷ç ÷çè ø 
e a expressão interior precisa de apenas uma aplicação da Regra l’Hôspital para dar 0.
 4. ( ) ( )2 1 12 21 cos 2 sen 2 sen .x x x- = = ⋅ Outra forma (não tão geralmente válida como a primeira): 
 
sen1 cos1 cos .
1 cos 1 cos
xxx
x x
+- ⋅ =+ + 
 5. Para f(x) = ln ln x; com x Î [a, b], a = 109 e b = 109 + 1, precisamos de 2 2
1 ln 1( ) , ( ) .
ln (ln )
xf x f x
x x x x
+¢ ¢¢= = -
 (a) f ¢(b) < D < f ¢(a), onde f ¢(a) » 4,8254942434 ´ 10–11, f ¢(b) » 4.8254942383 ´ 10–11.
 (b) Vamos estimar que f ¢(b) – f ¢(a) = (b – a) f ¢¢(c1) = f ¢¢(c1). Uma vez que f ¢¢ aumenta (diminui seu valor absoluto), temos 
 ½ f ¢(b) – f ¢(a)½ £ ½ f ¢¢(a)½ » 5,0583 ´ 10–20.
 6. Aplicando as desigualdades para f (x) = x–1,001, obtemos 10,001 1,001 0,001
1
1000 1 1000
( 1) N N
r
N n N
¥
+
+
< = £+ å e a condição suficiente para 
 rN +1 < 5 ´ 10–9, conforme requerido, é 90,001
1000 5 10 ,
N
-£ ´ o que ocorre pela primeira vez quando N = (2 ´ 1011)1000. Por outro 
lado, os restos estão diminuindo e se M = N –1, então a parte do lado esquerdo das desigualdades mostram que rM + 1 > 5 ´ 10–9. 
Comparado com uma potência de 10 usando logaritmos com base 10, o nosso valor de N > 1011 301.
 7. (a) O valor calculado de 11 dígitos de 192 sen 96
p é 6,2820639018, enquanto o valor (no mesmo dispositivo) de p antes da racio-
nalização é 6,282063885, que é 1,68 ´ 10–8 menor que o resultado trigonométrico.
 (b) 96
2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3
p =
+ ⋅ + + ⋅ + + + ⋅ + + + +
 mas é claro que podemos evitar cálculos repetitivos armazenando resultados intermediários em uma memória: 
1 2 1 3 2 4 3
1 2 3 4
962 3 , 2 , 2 , 2 , e portanto p p p p p p p p
p p p p
= + = + = + = + =
 De acordo com esta fórmula, uma calculadora fornece p » 6,2820639016, que está dentro de 2 ´ 10–10 do resultado trigono-
métrico. Com Digits = 16; o Maple dá p » 6,282063901781030 antes da racionalização (fora do resultado trig em cerca 
de 1,1 ´ 10–14) e p » 6,282063901781018 depois da racionalização (erro de cerca de 1,7 ´ 10–15), um ganho de cerca de um 
dígito de precisão para a racionalização. Se estabelecemos Digits: = 100; a diferença entre o cálculo do Maple de 192 sen 
96
p e o radical é de apenas cerca de 4 ´ 10–99.
 8. A identidade ln ln 1
b
b
a ea b
e
æ ö- ÷ç ÷ç= + + ÷ç ÷çè ø pode ajudar como segue: Suponha que b seja a aproximação fraca de ln a, e indique 
h = (a – eb) /eb; uma vez que alguma proximidade entre a e eb é de se esperar, h é um número pequeno. Isso decorre do Teorema do 
Valor Médio: ,
ln
b
ca e e
a b
- =- onde c fica entre b e ln a, daí h = (ln a – b) ⋅ e
c–b. O uso da Expansão de Taylor é simples. Indo até 
a terceira derivada, 2 312 3
2ln (1 )
3!(1 )
h h h h
hq+ = - + + (0 < q < 1) significa mais ou menos que o número de dígitos válidos 
depois da a correção 
2
1ln
2
b b
b b
a e a ea b
e e
æ ö- - ÷ç ÷ç» + - ÷ç ÷çè ø triplica.
 9. (a) ( ) ( )1/31/32 3 2 31 12 2Seja 27 729 108 e 27 729 108 .A q q p B q q pé ù é ù= + + = - +ê ú ê úë û ë û
MENTIRAS QUE MINHA CALCULADORA E COMPUTADOR ME CONTARAM – SOLUÇÕES  3
 Então 
1/33 3 2 2 31
427 e 729 (729 108 ) 3 .A B q AB q q p pé ù+ = = - + = -ë û Substitua na fórmula 
3 3
2 2
A BA B
A AB B
++ = - + , 
onde substituímos B por 3 :p
A
-
( ) ( )
1
3 2/3 2/3
2 3 2 2 31 1
2 2
27 /3( )
27 729 108 3 9 27 729 108
qx A B
q q p p p q q p
-= + = é ù é ù+ + + + + +ê ú ê úë û ë û
 que quase produz a fórmula dada, uma vez que substituindo q por –q resulta na substituição de x por –x; uma simples discussão 
dos casos q > 0 e q < 0 permite substituir q por ½ q ½ no denominador, de modo que isso envolva apenas números positivos. Os 
problemas mencionados na introdução desse exercício desapareceram.
 (b) Um ataque direto funciona melhor aqui. Para economizar espaço, seja 2 5,a = + então podemos racionalizar, usando 
 1 12 5 e 4a a a- -= + - = (verifique!):
( )1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3
2/3 2/3 1/3 1/3 1
4 4
1
u a a a a a aa a a a a a
- -
-
- - -
- -= ⋅ = = -+ + - -
 e elevamos ao cubo a expressão para u: u3 = a – 3a1/3 + 3a–1/3 – a–1 = 4 – 3u, u3 + 3u – 4 = (u – 1) (u2 + u + 4) = 0, de modo que a 
única raiz real é u = 1. Uma verificação com a fórmula a partir da parte (a): p = 3, q = –4, assim 729q2 + 108p3 = 14 580 = 542 ´ 5, e 
( ) ( )2/3 2/3
36 ,
54 27 5 9 81 54 27 5
x -= + + + +
 que simplifica para a forma dada.
 10. (a) Para x = 99, o resto após n termos é 
1
1
1 1
99 99 99100
100100 1 100
nj j
n j j
j n j n
r
+¥ ¥
+
= + = +
æ ö÷ç= < = ÷ç ÷çè ø+å å e é suficiente para tornar n tão gran-
de que ( ) 1 799100100 5 10 ;n+ -< ´ depois da alguma manipulação logarítmica, a resposta é n ³ 1901. [Usando as ideias de parte 
(c), podemos mostrar que essa é realmente a primeira vez que o erro é muito pequeno.]
 (b) Usando a dica, 
1 100
1 ,
100 1 100100
n
n x
n
x x x
x
¥
=
= ⋅ =- -å assim sucessivamente subtraindo, 
 
( )1100
1 1
( ) ,
100 100100 1 100 100 1
nn n
n n n
n n
xx x x xf x f
x
¥ ¥
= =
æ ö æ ö÷ç ÷ç÷ç- = - = - = - ÷ç÷ç ÷ç÷ç è øè ø- + +å å como afirmado. Aqui o resto em x = 99 é estimado 
como segue: 
( )99 1100
1
1
(0,0099) ,
0,9901100 1
j n
n j
j n
r
+¥
+
= +
= <+å e para tornar a última expressão menor que 5 ´ 10–7, só é preciso que
 n ³ 3. O cálculo (não realmente necessário): 
2 3
2 3
99 0,99 (0,99) (0,99)(99) 98,99099.
100 99 100 1 100 1 100 1
f
é ùê ú» - + + »ê ú- + + +ë û
 11. A prova de que lim 0:nn
a
 ¥
= A partir de 1 £ e1–x £ e segue que xn £ e1–xxn £ xn e, e a integração dá 
 1 1 11
0 0 0
1 1, isto é, ,
1 1 1 1
n x n n
n
e ex dx e x dx x edx a
n n n n
-= £ £ = £ £+ + + +ò ò ò e uma vez que 
1lim lim 0,
1 1n n
e
n n ¥  ¥
= =+ + 
 decorre do Teorema do Confronto que lim 0.nn
a
 ¥
= É claro, a expressão 1/ (n + 1) no lado esquerdo poderia ter sido substituída 
por 0 e a prova ainda estaria correta.
4  MENTIRAS QUE MINHA CALCULADORA E COMPUTADOR ME CONTARAM – SOLUÇÕES
 Cálculos: Usando a fórmula 1 1 11 !
1! 2! !
a e n
é ùæ ö÷çê ú= - - + + + ÷ç ÷ê úç ÷è øë û
 com uma calculadora de 11 dígitos:
n an n an n an
0 1,7182818284 7 0,1404151360 14 –5,07636992
1 0,7182818284 8 0,1233210880 15 –77,1455488
2 0,4365636568 9 0,1098897920 16 –1235,3287808
3 0,3096909704 10 0,0988979200 17 –21001,589274
4 0,2387638816 11 0,0878771200 18 –378029,60693
5 0,1938194080 12 0,0545254400 19 –7182563,5317
6 0,1629164480 13 0,2911692800 20 –143651271,63
 É claro que os valores calculados a partir da fórmula de redução direta irão divergir para –¥. Se em vez disso calcularmos utili-
zando a fórmula de redução no Maple (com Digits: = 16), temos alguns resultados estranhos: a20 = –1000, a28 = 1014, a29 = 0, 
e a30 = 1017, como exemplos. Mas, para n maior, os resultados são pelo menos pequenos e positivos (por exemplo, a1000 » 0,001). 
Para n > 32 175, obtemos a agradável mensagem de erro muito grande do objeto. Se, em vez de usar a fórmula de redução, 
integrarmos diretamente com o Maple, os resultados são muito melhores.
 12. (a) A fórmula invertida foi iniciada com n = 30, sabendo que 1 13031 31 ,a e£ £ de modo que o intervalo entre os limites de a29 é 
reduzido por um fator de 30; para a28 por um fator extra de 29, e assim por diante, até que os limites para a20 estejam numa dis-
tância 161 5,1 10 .
31 30 29 21
e -- < ´⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Essa é uma precisão suficiente, mesmo quando usamos um computador. O resultado 
de uma calculadora de 11 dígitos é a20 » 0,049881742885 para todos os 11 dígitos.
 (b) A integração de 
1 1
0
n x
nb x e dx
q- -= ò por partes dá bn = (n – q) bn–1 –1, ou, na forma invertida, 
 [ ]1
1 1 * .n nn
b bb
n n nq q q-
+= = +- - - Novamente, de 1 £ e
1–x £ e concluímos (multiplicando por xn–q e integrando) que 
 1
1 1n
eb
n nq q£ £+ - + - , então lim 0.nn b ¥ = Além disso, à medida que diminuímos 
 n maior para um m menor usando [*], o intervalo entre os limites para bm torna-se 
 
1
( 1 )( 2 ) ( 1 )
e
m m nq q q
-
+ - + - + + e este número (assumindo que m seja dada) pode 
 tornar-se tão pequeno quanto se queira, escolhendo um n suficientemente grande. 
 Os resultados são mostrados à direita. (Para m = 0,1, ..., 5 podemos tomar n = 11 
 com 5 dígitos de precisão.)
 13. Podemos começar expressando ex e e–x em termos de E(x) = (ex – 1)/x (x ¹ 0), onde E(0) = 1 para tornar E contínuo em 0 (pela Re-
gra de l’Hôspital). Nomeadamente, ex = 1 + xE (x), e–x = 1 – xE(–x) e [ ] [ ]121 ( ) 1 ( )senh ( ) ( ) ,2
xE x xE x
x x E x E x
+ - - -= = + - 
onde a adição envolve apenas números positivos E(x) e E(–x), apresentando assim nenhuma perda de precisão devida à subtração. 
 Outra forma, a qual chama a função E apenas uma vez:
 Escrevemos [ ][ ]
( ) ( )
( )
2 12
21 1 ( ) 1( ) 1senh ,
2 1 ( ) 1 2
x
x
x x E x E xxE xex
xE x x E xe
é ù++ -- ê úë û= = =+ + tirando vantagem do fato que 
senh x
x
 é uma 
 função par; assim, substituiu x por |x| não altera seu valor.
m bm
0 2,85335
1 0,90223
2 0,50372
3 0,34326
4 0,25861
5 0,20684