Kit de sobrevivência de Conjuntos e Intervalos

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CONJUNTOS 
 
 Intuitivamente, conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos, números, 
pessoas etc. 
 Indicamos os conjuntos por letras maiúsculas do nosso alfabeto e seus 
elementos por letras minúsculas. 
 Podemos representar um conjunto de diferentes maneiras: 
 
¾ Por extensão. Por uma listagem de seus elementos, escritos entre chaves e 
separados por vírgula ou ponto-e-vírgula. Ex.: A={1,3,5}. 
 
¾ Por compreensão. Atribuindo uma característica comum a todos os seus 
elementos. Ex.: B={x /x é número ímpar menor que sete}. 
 
 ¾ Pelo diagrama de Venn. Ex.: 
 
 
 
PRINCIPAIS SÍMBOLOS 
 ∈ pertence 
 ∉ não pertence 
 / tal que 
 ⊂ está contido 
 ⊄ não está contido 
 ∃ existe ao menos um 
∃ ! existe um único 
∃/ não existe 
∀ para todo ou qualquer 
⇒ implicação 
⇔ equivalência 
∪ união 
∩ intersecção 
 
1º Exemplo: 
 Sendo P = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, determina, por extensão, os seguintes 
conjuntos: 
A = {x ∈ P / x = 3k, k ∈ P} = { } 
B = {x ∈ P / x = 2k, k ∈ P} = { } 
 
Observações 
¾ Um conjunto que não tem elementos é chamado conjunto vazio e representado 
por φ ou { }. 
 
¾ Quando o conjunto é infinito utilizamos reticências (...). Ex.: E = {1, 2, 3, ...}. 
 
¾ Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está contido em B ou que A é 
subconjunto de B se, e somente se, todo elemento do conjunto A também é 
elemento de B. Ex.: Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5} então A ⊂ B ou A 
é subconjunto de B. 
 
¾ Chamamos de A ∩ B o conjunto formado por todos os elementos comuns a 
A e B. Ex.: Se A = {1, 2, 3, 8} e B = {2, 8, 9} então A ∩ B = {2, 8}. 
 
•1 
 •3 
 •5 
¾ Chamamos de A ∪ B o conjunto formado por todos os elementos de A ou B. 
Considerando os conjuntos A e B do exemplo anterior, temos A ∪ B = {1, 
2, 3, 8, 9}. 
 
 
Principais Conjuntos Numéricos 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS – N 
 
 N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z 
 
 Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q 
 
 Q = {x / x = 
b
a
, com a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠ 0} 
 
Observações 
¾ Z ⊂ Q, pois se QaaZa ∈=∈
1
, . 
¾ Todo número racional pode ser representado na forma decimal, e podemos 
ter dois casos: 
 
1) a representação decimal é finita: 
 6,0
5
3;75,1
4
7 == 
 
2) a representação decimal é infinita periódica: 
 ...5222,0
90
47...333,0
3
1 == 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS – I 
 Considera os números 2 , 3 e π , suas representações decimais 
são: 
 2 = 1,4142135... 
 3 = 1,7320508... 
π = 3,1415926535... 
 e = 2,71828... (n.º de Euler) 
 Observa que existem decimais infinitas não periódicas, às quais damos o nome 
de números irracionais que não podem ser escritos na forma 
b
a
. Todas as raízes 
não exatas são exemplos de números irracionais. 
 
 
CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS 
 
 R = Q U I = { x / x é racional ou x é irracional} 
Portanto, são números reais: 
• os números naturais; 
• os números inteiros; 
• os números racionais; 
• os números irracionais. 
 Podemos representar os Reais em uma reta que chamamos Reta Real: 
 
 
 
Cada número Real tem um ponto na reta associado a ele e cada ponto da reta 
tem um número Real que o representa e a este número chamamos coordenada do 
ponto ou abscissa do ponto. 
 
 
PAR ORDENADO 
 
Se a e b são números reais, então (a,b) é um par ordenado de números reais, 
onde o primeiro elemento é a e o segundo elemento é b. 
Representação Gráfica 
 
 y (Eixo das ordenadas) 
 
 
 b - - - - -• P(a,b) 
 
 
 o a x (Eixo das abscissas) 
 
• P é o ponto de coordenadas a e b 
• O número a é chamado abscissa de P 
• O número b é chamado ordenada de P 
• A origem do sistema é o ponto O(0,0). 
 
 
2º Exemplo: 
 Representa os pontos: M(2,3), N(-1,4), P(-2,-1), Q(3,-2), R(4,0), S(-3,0), T(0,1) 
e V(0,-3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Completa usando os símbolos ∈ ou ∉: 
a) – 7 __ N b) 2 __ Q c) ½ __ I d)
4
9
 __ Q 
e) 0,1666... __ Q f) 64− __ R g) 3,232 __ Q h) 3 27− __ Z 
 
2) Determina, por extensão, os seguintes conjuntos: 
a) {x ∈ N / 1 ≤ x ≤ 4} 
b) {x ∈ Z / -3 < x ≤ 3} 
c) {x ∈ Z / 0 ≤ x < 5} 
d) {x ∈ N / x ≤ -3} 
e) {x ∈ Z / x > 4} 
 
Intervalos 
 
 Chamamos de intervalo a determinados subconjuntos dos números reais. 
Assim, dados dois números reais a e b , com a < b, temos: 
 
¾ intervalo aberto 
(a, b) = { x ∈ R / a < x < b } 
 
¾ intervalo fechado 
[a, b] = { x ∈ R / a ≤ x ≤ b } 
 
¾ intervalo semi-aberto à direita 
 (a, b] = { x ∈ R / a < x ≤ b } 
 
¾ intervalo semi-aberto à esquerda 
[a, b) = { x ∈ R / a ≤ x < b } 
 
¾ intervalos infinitos 
 (a, + ∞) = {x ∈ R / x > a} 
 
 [a, + ∞) = {x ∈ R / x ≥ a} 
 
 (– ∞, a) = {x ∈ R / x < a} 
 
 (– ∞, a] = {x ∈ R / x ≤ a} 
 
Observação: (– ∞, + ∞) = R 
 
 
3º Exemplo: 
Usando a notação de conjuntos, escreve os intervalos: 
a) [6,10] = { x ∈ R / 6 ≤ x ≤ 10 } 
 
b) (-1,5] = { x ∈ R / -1 < x ≤ b } 
 
c) (-∞,3) = { x ∈ R / x < 3 } 
Operações com intervalos 
 
• Intersecção )(∩ 
A ∩ B = { x ∈ U / x ∈ A e x ∈ B } 
 
• União )(∪ 
A ∪ B = { x ∈ U / x ∈ A ou x ∈ B } 
 
4º Exemplo: 
 
1) Se A = {x ∈ R / 2 ≤ x < 5} e B = {x ∈ R / 3 ≤ x < 8}, determina A ∩ B, A ∪B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Se A = {x ∈ R / -2 ≤ x ≤ 0} e B = {x ∈ R / 2 ≤ x < 3}, determina A ∩ B, A ∪B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Determina A ∩ B, A ∪B quando: 
 
a) A = {x ∈ R / 0 < x < 3} e B = {x ∈ R / 1 < x < 5} 
 
b) A = {x ∈ R / -4 < x ≤ 1} e B = {x ∈ R / 2 ≤ x ≤ 3} 
 
c) A = {x ∈ R / -2 ≤ x < 2} e B = {x ∈ R / x ≥ 0}