Resolucao lista 06

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Curso de Álgebra Linear
Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Exercícios de Álgebra Linear - Lista 06 – Aplicações e Transformações Lineares
01) Verificar se as aplicações abaixo definidas são transformações lineares.
a) F:RR, definida por F(x)=x2
Para ser T.L., deve-se atender:
i) F(u1+u2)=F(u1)+F(u2)
ii)F(ku)=kF(u)
i) F(u1+u2)=F(u1)+F(u2)
 u1 = x1 R F(u1)=F(x1)=x21
 u2 = x2 R F(u2)=F(x2)=x22
F(u1+u2)= F(x1+x2) = (x1+x2) =(x1+x2)2 =x21+2x1x2+x22
x21+2x1x2+x22 ≠ F(u1)+ F(u2 )
não vale I, portanto não é T.L.
b) F:R3R2, definida por F(x,y,z)=(z,x+y)
Para ser T.L., deve-se atender:
i) F(u1+u2)=F(u1)+F(u2)
ii)F(ku)=kF(u)
i) F(u1+u2)=F(u1)+F(u2)
 u1 =( x1,y1,z1) R3 F(u1)= ( x1,y1,z1)=(z1, x1+y1)
 u2 =( x2,y2,z2) R3 F(u2)= ( x2,y2,z2)=(z2, x2+y2)
F(u1+u2)=F(x1+x2, y1+y2 , z1+z2 )= (z1+z2, x1+x2 + z1+z2)=
[(z1, x1+y1) + (z2, x2+y2)]= F(u1)+ F(u2 ) vale i
ii)F(ku)=kF(u)
ku=k(x,y,z)=(kx,ky,kz)
F(ku)=F(kx,ky,kz)
F(ku)=(kz, kx+ky)
F(ku)=(kz, k(x+y))
F(ku)=k(z, x+y)
F(ku)= kF(x,y,z)
F(ku)= kF(u) vale ii, portanto é uma T.L.
c) F:RR2, definida por F(x)=(x, 2)
Para ser T.L., deve-se atender:
i) F(u1+u2)=F(u1)+F(u2)
ii)F(ku)=kF(u)
i) F(u1+u2)=F(u1)+F(u2)
 u1 = x1 R F(u1)=F(x1)= (x1, 2)
 u2 = x2 R F(u2)=F(x2)= (x2, 2)
F(u1+u2)= F(x1+x2)= (x1+x2, 2) ≠ F(u1)+ F(u2 ) não vale I, portanto não é T.L.
d) F:R2R2, definida por F(x,y)=(x2+y2, x)
Para ser T.L., deve-se atender: 
i) F(u1+u2)=F(u1)+F(u2)
ii)F(ku)=kF(u)
i) F(u1+u2)=F(u1)+F(u2)
 u1 =( x1,y1) R2 F(u1)=( x1,y1)=(x21+y21, x1)
 u2 =( x2,y2) R2 F(u2)= ( x2,y2)=(x22+y22, x2)
F(u1+u2)=F(x1+x2, y1+y2 )
(x21+y21 + x22+y22, x1+x2)=
[(x21+y21 , x1)+( x22+y22 , x2)= F(u1)+F(u2) vale i
ii)F(ku)=kF(u)
ku=k(x,y,z)=(kx,ky)
F(ku)=F(kx,ky)
F(ku)=(kx2+ky2,kx)
F(ku)=(k(x2+y2),kx)
F(ku)=k(x2+y2, x)
F(ku)=k(x,y)
F(ku)=k(u) vale ii, portanto é uma T.L.
 e) F:R3R, definida por F(x,y,z)=(-2x+3y+7z)
Para ser T.L., deve-se atender:
i) F(u1+u2)=F(u1)+F(u2)
ii)F(ku)=kF(u)
i) F(u1+u2)=F(u1)+F(u2)
 u1 =( x1,y1,z1) R3 F(u1)=( x1,y1,z1)=( -2x1+3y1+7z1)
 u2 =( x2,y2,z2) R3 F(u2)=( x2,y2,z2)= ( -2x2+3y2+7z2)
u1+u2=F(x1+x2, y1+y2, z1+z2)=
[-2(x1+x2 )+3( y1+y2 )+7(z1+z2)]=
[(-2x1-2x2 )+( 3y1+3y2 )+(7z1+7z2)]=
[(-2x1+3y1 +7z1)+(-2x2 +3y2+7z2)]= u1+u2 vale i
ii)F(ku)=kF(u)
ku=k(x,y,z)=(kx,ky,kz)
F(ku)=F(kx,ky,kz)
F(ku)=-2(kx)+3(ky)+7(kz)
F(ku)=k(-2x)+k(3y)+k(7z)
F(ku)=k(-2x+3y+7z)
F(ku)=kF(x,y,z)
F(ku)=kF(u) vale ii, portanto é uma T.L.
2. Considerando que F: R2R2 é um Operador Linear e que F ( 1 , 2 )=( 3 , -1 ) e
F ( 0 , 1) = ( 1 , 2 ), achar RF(x , y), para que (x , y), represente um vetor genérico de R2.
B={u1=(1,2), u2=(0,1)} R2
 (x,y) u é C.L. de B, isto é:
(x,y)=a(1,2)+b(0,1)
(x,y)=(a,2a)+(0,b)
(x,y)=(a,2a+b)
 x=a
y=2a+b y=2x+b b=y-2x
F(x,y)=F[a(1,2)+b(0,1)]
F(x,y)=F[a(1,2)+F(b(0,1)]
F(x,y)=aF(1,2)+bF(0,1)
F(x,y)=x(3,-1)+(y-2x).(1,2)
F(x,y)=(3x,-x)+(y-2x,2y-4x)
F(x,y)=(x+y, -5x+2y)
3. Verificar se as aplicações abaixo de R3R3 são transformações Lineares:
a) F (x , y , z ) = ( x - y , x + y , 0 );
Para ser T.L., deve-se atender: 
i) F(u1+u2)=F(u1)+F(u2)
ii)F(ku)=kF(u)
i)F(u1+u2)= F(u1)+F(u2)
u1=(x1,y1,z1) u=R3 ∕ F(u1)=F(x1,y1,z1)=(x1-y1, x1+y1,0)
u2=(x2,y2,z2) u=R3 ∕ F(u2)=F(x2,y2,z2)=( x2-y2, x2+y2,0)
u1+u2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) u=R3 ∕
F(u1+u2)=F(x1+x2,y1+y2, z1+z2)
F(u1+u2)=((x1+x2),(y1+y2),0)=
((x1-y1)+ (x2-y2); (x1+y1)+ (x2+y2);0)=F(u1)+F(u2) vale i
ii)F(ku)=kF(u);kR
ku=k(x,y,z)=(kx,ky,kz)
F(ku)=F(kx,ky,kz)
F(ku)= F((kx-ky),(kx+ky),K0)
F(ku)= F(k (x-y),k(x+y),k0)
F(ku)= Fk(x-y,x+y,0)
F(ku)= kF(x,y,z)
F(ku)=kF(u)
Portanto a aplicação é uma transformação Linear.
b) F (x , y , z) = (2x – y + z, 0 , 0 );
Para ser T.L., deve-se atender: 
i) F(u1+u2)=F(u1)+F(u2)
ii)F(ku)=kF(u)
i)F(u1+u2)= F(u1)+F(u2)
u1=(x1,y1,z1) u=R3 ∕ F(u1)=F(x1,y1,z1)=(2x1-y1+z1,0,0)
u2=(x2,y2,z2) u=R3 ∕ F(u2)=F(x2,y2,z2)=( 2x2-y2+z2,0,0)
u1+u2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) u=R3 ∕
F(u1+u2)=F(x1+x2,y1+y2, z1+z2)
F(u1+u2)=(2(x1+x2)-(y1+y2)+(z1+z2),0,0)=
(2x1+2x2-y1-y2+z1+z2 , 0 , 0)= F(u1)+F(u2) vale i
ii)F(ku)=kF(u);kR
ku=k(x,y,z)=(kx,ky,kz)
F(ku)=F(kx,ky,kz)
F(ku)= F(k2x-ky+kz , k0,K0)
F(ku)= F(k (2x-y+z),0,0)
F(ku)= Fk(2x-y+z,0,0)
F(ku)= kF(x,y,z)
F(ku)=kF(u)
Portanto a aplicação é uma transformação Linear.
c) F (x , y , z ) = ( x , x , x );
Para ser T.L., deve-se atender: 
i) F(u1+u2)=F(u1)+F(u2)
ii)F(ku)=kF(u)
i)F(u1+u2)= F(u1)+F(u2)
u1=(x1,y1,z1) u=R3 ∕ F(u1)=F(x1,y1,z1)=( x1,x1,x1)
u2=(x2,y2,z2) u=R3 ∕ F(u2)=F(x2,y2,z2)=( x2,x2,x2)
u1+u2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) u=R3 ∕
F(u1+u2)=F(x1+x2,y1+y2, z1+z2)=
((x1+x2),(x1+x2),(x1+x2))= F(u1)+F(u2)
ii)F(ku)=kF(u);kR
ku=k(x,y,z)=(kx,ky,kz)
F(ku)=F(kx,ky,kz)
F(ku)= Fk(x,y,z)
F(ku)=kF(x,x,x)
F(ku)= F(ku)= kF(x,y,z)
F(ku)=kF(u)
Portanto a aplicação é uma transformação Linear.
d) F (x , y , z ) = ( 2x2 + 3y , x, z ).
Para ser T.L., deve-se atender: 
i) F(u1+u2)=F(u1)+F(u2) e ii)F(ku)=kF(u)
i)F(u1+u2)= F(u1)+F(u2)
u1=(x1,y1,z1) u=R3 ∕ F(u1)=F(x1,y1,z1)=(2x21+3y1,x1,z1)
u2=(x2,y2,z2) u=R3 ∕ F(u2)=F(x2,y2,z2)=( 2x22+3y2,x2,z2)
u1+u2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) u=R3 ∕
F(u1+u2)=F(x1+x2,y1+y2, z1+z2)=
((2(x1+x2)2+3(y1+y2), (x1+x2), (z1+z2))=
((2x1+2x2)2+ (3y1+3y2), (x1+x2), (z1+z2))=
((4x21+8x1x2+4x22)+(3y1+3y2), (x1+x2), (z1+z2))≠ F(u1)+F(u2) não vale i
Portanto não é T.L.
4. Seja um Operador Linear do IR2: tal que F (1 , 0) = (2 , 1) e F(0 , 1) = (1 , 4),
a) Determinar F( 2 , 4);
B={u1=(1,0), u2=(0,1)} R2
 (x,y) u é C.L. de B, isto é:
(x,y)=a(1,0)+b(0,1)
(x,y)=(a,0)+(0,b)
(x,y)=(a,b)
 x=a
y=b
F(x,y)=F[a(1,0)+b(0,1)]
F(x,y)=F[a(1,)+F(b(0,1)]
F(x,y)=aF(1,0)+bF(0,1)
F(x,y)=x(2,1)+y(1,4)
F(x,y)=(2x,x)+(y,4y)
F(x,y)=(2x+y, x+4y)
Portanto F(2,4)=(2(2)+4 , 2+4(4)) 
F(2,4)=(8,18)
b) Determinar (x , y) tal que F(x , y) = (2 , 3);
Sabemos que F(x,y)=(2x+y, x+4y) do item anterior, como F(x,y)=(2,3) então:
(2,3)=(2x+y,x+4y)
 2x+y=2
 X+4y=3 trocar L2 por L1+(-2)L2
2x+y=2
 -7y=-4
 -7y=-4 2x+y=2
 y=4/7 2x+4/7=2
 2x=2-4/7
 2x=10/7
 X=5/7 portanto (x,y)=(5/7,4/7)
c) Determinar a qualidade da Aplicação ( Injetora, Sobrejetora, Bijetora).
A nossa aplicação é: F(x,y)=(2x+y, x+4y)
Para que uma aplicação F:U(V seja injetora devemos ter que para qualquer u1 e u2 ( U, teremos que F(u1) = F(u2) , assim sendo no caso desta aplicação se u1= (x1, y1) e u2=(x2, y2),
F(u1) =( 2x1+ y1, x1+ 4y1) e F(u2) =( 2x2+ y2, x2+ 4y2) para que F(u1) = F(u2) devemos ter que 
( 2x1+ y1, x1+ 4y1) =( 2x2+ y2, x2+ 4y2) ou seja 2x1+ y1 = 2x2+ y2 ( 2(x1 – x2)= (y2 – y1) 
e x1+ 4y1 = x2+ 4y2 ( (x1 – x2)= 4(y2 – y1) , Comparando as duas equações em negrito teremos: 8(y2 – y1)= (y2 – y1) ( 8=1 que é uma afirmação falsa portanto F(u1) ( F(u2), 
isto é a Aplicação não é Injetora.
Para que uma aplicação F:U(V seja sobrejetora devemos ter que para qualquer F(u)=v ( V, existe sempre u ( U tal que F(u) = v, , assim sendo no caso desta aplicação se u= (x, y), sempre vai existir F(u)=F(x,y)=(2x+y, x+4y), haja vista que x e y são números reais.
Portanto a Aplicação é Sobrejetora.
Nota: Naturalmente, a aplicação por não ser Injetora, também não é Bijetora.
5. Seja u = ( x , y , z , t) um vetor genérico do IR4. Quais das aplicações definidas abaixo são Operadores lineares do IR4:
a) F(u) = u + ( 1 , 0 , 1 , 0);
Para ser T.L., deve-se atender: i) F(u1+u2)=F(u1)+F(u2) e ii)F(ku)=kF(u)
i) F(u1+u2)=F(u1)+F(u2). Sendo u1=(x1,y1,z1,t1) e u2=(x2,y2,z2 t2), teremos;
F(u1) =( x1,y1,z1,t1) + ( 1 , 0 , 1 , 0) =( x1+1, y1,z1+1, t1) e 
F(u2) =( x2,y2,z2,t2) + ( 1 , 0 , 1 , 0) =( x2+1, y2, z2+1, t2) e 
F(u1)+F(u2)= ( x1+ x2+2, y1+ y2 , z1 z2+2, t1+t2)
u1+ u2= (x1+x2, y1+y2, z1+z2, t1+t2) (
F(u1+ u2)= ((x1+x2)+1, y1+y2, (z1+z2)+1, t1+t2) 
verificamos portanto que F(u1)+F(u2) (F(u1+ u2),
Assim sendo F(u) = u + ( 1 , 0 , 1 , 0), não é um Operador Linear.
b) F(u) = ( 1 , 0 , 1 , 1);
Considerando que uma Transformação ou Operador linear é uma Aplicação sobre espaços vetoriais e sendo F(0, 0, 0, 0) = (1, 0, 1, 1) ≠ (0, 0, 0, 0) o conjunto U de vetores u, neste caso não é um espaço vetorial e a Aplicação não é um Operador Linear. 
Ainda mais que F, como definida acima, é tal que kF(u) = (k, 0, k, k) ≠ F(ku) para qualquer valor de k≠ 1, fato que também prova que a Aplicação não é um Operador Linear .
c) F(u) = ( x , y – z , y + z , x + t);
F(u) = (x, y − z, y + z, x + t). Sejam u = u = (x, y, z, t), e v = (x1, y1, z1,t1). F é linear pois: 
i)F(u + v) = F((x, y, z, t) + (x1, y1, z1, t1)) = F(x + x1, y + y1, z + z1, t + t1), ou seja,
F(x + x1, y + y1, z + z1, t + t1) = (x + x1, (y + y1) − (z + z1), (y + y1) + (z + z1), (x + x1) + (t + t1)) =
(x, y − z, y + z, x + t) + (x1, y1 − z1, y1 + z1, x1 + t1) = F(u) + F(v).
ii)F(ku) = F((x, y, z, t)) = (kx, k(y − z), k(y + z), k(x + t)) = k(x, y − z, y + z, x + t) = kF(u).
Assim sendo F(u) = ( x , y – z , y + z , x + t), é um Operador Linear.
d) F(u) = ( cos x , y , z , t).
Para ser Operador Linear., deve-se atender: 
i) F(u1+u2)=F(u1)+F(u2) 
ii)F(ku)=kF(u)
i) Sendo u1=(x1,y1,z1,t1) e u2=(x2,y2,z2 t2), teremos;
F(u1) =(cosx1,y1,z1,t1) e F(u2)=(cosx2,y2,z2,t2) ( 
F(u1)+F(u2) = (cosx1+ cosx2, y1+y2, z1+z2, t1+y2)
 u1+ u2= (x1+x2, y1+y2, z1+z2, t1+t2) (
F(u1+ u2)= (cos(x1+x2), y1+y2, z1+z2, t1+t2) , verificamos portanto que 
F(u1)+F(u2) (F(u1+ u2), pois cosx1+ cosx2 ( cos(x1+x2).
Assim sendo F(u) = (cosx, y, z, t). não é um Operador Linear.