Estratégias de resolução (Sequências e Séries)

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= l
-
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R e s u m o do s T e s t es d e C o n v e r gên c ia
# o e n t o T
Se j a E u 1 m a s ék e c a m t er m o s po s i t iv o s e s e ja f (x ) af u n ç o qu e r e s u l ta qu an d o k f o r s u bs t i tu í do p o r x n o t e r m o
ge r a . da séDe Se f fo r de a e s c e n te e c o n t i n u a p a r a x 1
° I u t e n t o
E s te te s te ap l i c a se ape n a s p ar a
s D e s c o m te r r a o s p o si t i v o s
u k e 
1
f t x ) dx
a m b a s c o n v e r ge m o u di v e r ge m
T e n te es te te s t e quandof ) f o r f ác i l
de i n t e g r a r
Se jam E 
· 
· 二二
, 
b
, 
s ér i e s c o m te r m o s n ão n e E s te te s t e ap l i c a s e ap e n a s p a r a
T e s t e d a c o m p a r a ç ã o 
g a t l v o s t a l qu e sér i e s c o m te r m o s n il o n e g a t i v o s
(2 6 1) a l S b 1 a 2 S b2 a k [ bb 
T e n te e s te t e s t e e m úl t im o c a s os e E b t c o n v e rg i r c n t ä o E a t c o n v e rg e s e E a
* 
o u u Ds t e te s s ão f r e q l i e n t e n 1e n t edi v e r gi r E n t ão E b , ü v e rg e m a i s f ãc i l d c
T e s t e d a R a o P - l im
(b ) A Si e di v e r ge se p > 1 o u p - + .
(c ) O te s te é i n c o n c lu s iv o s e p = 1
s e j a E u t u m a s éDe c o m t e r m o s po s i t i v o s ta l q u e
T es t e d a R a i z P - , H W T e n 1e e s te te s t e qu a n do u
* 
e n v o l v e r(2 6 6) (a ) A s é t i e c o n v e rg e s e p < 1 k s i m a s p o t ên c i a s
(b) A säh e di v e r g e s e p » l o r p = + -(c ) O te s t e é i n c o n c l u s i v o s e p = 1
Se jam E a
* 
e b
, 
sér i e s c o m te m <o s po s i t i v o s t a l qu e
O T e s t e a C o m p a r a ção 
I s s o m a i s f äc j j de se a pl i c a r d o
d o s L im i t e s P l im 
qu e 0 te sh de c o m par aç ão , m a s
(2 6 4 ) 
k + + bk a i n da r eq u e r a l gu m a s h ab i l i da de s
Se a t > O p a r a k . 1 2 3 e n tão a s s éDe s
T e s t e da S¢r i e o 1 + a 2 a 3 + a 4
A l t e i n a d1 
c o n v e r ge m s e as se gu i n tes c o n ü çõe s são s a t i s fe i t a s : 
E s te te s t e a p l ic a s e a p e n a s p u a
(2 7 1) (a ) a 1 > a 2 > a 3 >
sü i e s a l te m adas
(b)
. 
H a * - O
Se ja E u 1 u m a s r i e c o m t e r m o s di f e r e n te s de z e r o ta l qu e
T M d a Ra z ão p a r a
C o n r e r gên c i a A bs o l u t a 
P -
, X W A s De n ão n ec e s s i ta te r te r m o s
(c ) 0 b s t e e i n c o n c lu s iv o se p - 1
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E s t r a t ég i a p a r a T e s t a r a s Sé r i e s
A go r a t e m o s v ár i a s m a n e i r a s de t e s t a r a c o n v e r g ên c i a o u di v e rg ên c i a d e u m a s ér i e ; oPr o b l e m a é de c i d i r qu a t t e s t e u s a r e m qu e s ér i e N e s s e a sp e c t o t e s t a r s ér i e s é s i r n i l a r ai n te g r ar f mções D e n o v o
, 
n o há r e gr a s c e r te i r a s e r áp ida s p a r a qu a l t e s t e a p l i c a r a u m a
s éD e d a d a m a s v o c Ê p o d e a c h ar o s c o n s e l h o s a s e gu i r de a l g u m a u t ih d a d eN ão é s áb i o a p l i c a r u m a l i s t a de t e s t e s e m u m a o r d e m e s pe c í fi c a a t é qu e u m de l e s】ì n a l m e n t e f u n c i o n e I s s o s e D a u m a p e r d a d e t e m p o e e s fo r ço E m v e z d i s s o
, 
c o m o n a
in t e gr a ç ão
, 
a p r i n c i p a l e s tr a t égi a é c l a s s i l i c a r a s éD e de a c o r do c o m s u a ï ma
1 Se a s ér i e f o r da f or na E 1/ n p
, 
e l a é 1 a p s éD e , qu e s a b e m o s s e r c o n v e r g e n t e
s e p > 1 e d i v e r g e n t e s e p < 1
2 Se a s ér i e t i v e r a f o r m a 2 a r ^ 1 o u 2 a r ^ e l a é u m a s ér i e ge o m é t r i c a qu e
c o n v e r ge s e I · [ < 1 e di v e r ge s e I · 1 > 1 A l g u m a s m a n i p u l a ç õe s a l gébDc a s
p o de m s e r n e c e s s áD a s p a r a d e i x a r a s éD e de s s a f o r m a
3 Se a s éD e t i v e r u m a f or mai mi l ar a u m a p s ér i e o u a u m a s éD e g e o m é tr i c a
e n t ão u m do s te s te s de c o m p a r a ção de v e s e r c o n s i de r a d o Em a r
, 
s s a
.f o r u m a f u n ção r a c i o n a l o u u m a fb n ç ão a l gébD c a de n (e n v o l v e n do r a í z e s d e
Po l i n ôm i o s) a s De de v e s e r c o m p a r a d a c o m u m a p sér i e N o t e qu e a m a i o D ad a s s ék e s n o s Ex e r c í c i o s 11 4 t e m e s s a f o m l a (O v a l o r d c p d e v e s e r e s c o l h i do
c o m o n a S e ç ão 11 4 de i x a n d o ap e n a s a s p o t ên c i a s n m a i s t a s n o n u m e r a do r ede n o m i n a d o r ) O s t e s t e s de c o m p a r a ç ão s e a p l i c a m a p e n a s a s éJ i e s c o m t e r m o s
PO Si t i v o s m as
, 
s e 2 a
. 
Ti v e r a l gu n s t e r m o s n e g a t i v o s e n t ão po d e r e m o s a p l i c a r oT e s t e da C o m p a r a ção a 2 1 · I e t e s t a r a c o n v e r g ên c i a a b s o l u t a
4 Se v o c ê v i r q u e l i m
.
-
a
. 
? 0 o T e s t e p a r a D i v e rgên c i a de v e s e r u s a d o
5 Se a s ék e f o r d a f o r m a ( 17 ' b o u 2 ( r y b
.
En t ão D T e s t e d a SéD e
A 1t e m a d a é u m a p o s s ib i l i da de ób v i a
6 SéDe s qu e e n v o l v e
-
o u o u t r o w o du tos (in c l u i n do u m a c o n s t a n t e
e le v a d a à n i m a poi ci aý s ão c o m f r da s c o n v e n i e n t e m e n te
u s a n do s e o T e s t e d a R a z ão l e n h a e 田 m e n t e qu e [a . + 1/ a
. 
1 + 1 qu a n d o n + c o
Pa r a t o d a s a s p sér i e s e p o r t an t o t o d a s a s f u n çõe s r a c i o n a i s o u a lg bDc a s d e nE n t ão
, 
o T e s t e da R a z ão n ão de v e s e r u s a do p a r a t a i s s éDe s
7 Se a
. 
Fo r da f o ï m a
, 
o T e s t e d a R a i z po de s er ú t i l
a Se a
.
- F(n )
, 
o n de 0 f (x ) dx é fa c i l m e n t e a v a l i a da
, 
e n t ão o Te s t e d a In t e Br a 1 é
e f ic a z (a s s u m i n d o a Mpó te s e de e [ s e te s t e se r s a t i s f e i t o )
N o s p r ó x i m o s e x e m p l o s n âo t r a b a l h a m o s t o d o s o s de ta lh e s m a s s i m p l e s m e n t ein di c a m o s qu a i s t e s t e s d e v e m s e r u s a d o s
EXEM PL0 1 ål / i
Co m o a
.
+ / * O qu a n do n + co de v e m o s u s a r o T e s t e p a r a D i v e r gên c i a n
C A I M P L0 2
. 1 3n 3 + 4n + 2
E V 
_
C o m o a
. 
é u m a f u n ç i[o a l g b r i c a de n
, 
c o m p a r a m o s a s ér i e da da c o m u m a p s éD e
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