Efeito Zeeman

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Laborato´rio de F´ısica Experimental V • Experimento Realizado em 29/06/2016
Efeito Zeeman
Daniel Rocha Ferreira, Victtor Hudson A. Arantes
Professor(a): Dr. Lauro June Queiroz Maia
Instituto de F´ısica, Universidade Federal de Goia´s
Curso de F´ısica - Licenciatura
Resumo
O experimento teve por objetivo determinar o valor do magne´ton de Bohr. Para isso
medimos o desdobramento das linhas espectrais vermelhas observadas em um monitor,
em que as mesmas foram criadas por um campo magne´tico aplicado a` uma laˆmpada de
ca´dmio. Por fim chegamos ao resultado final para o valor do magne´ton de Bohr, obtendo;
µB = (1, 798× 10−23 J/T ) com uma diferenc¸a percentual de 93, 9% com relac¸a˜o ao valor
estipulado pela literatura cient´ıfica de µB = 9, 273× 10−24 J/T [2].
1 Objetivos
Este experimento tem como objetivos principais determinar o valor do magneton de Bohr1
atrave´s de medidas do desdobramento das linhas espectrais vermelhas de uma laˆmpada de
ca´dmio em func¸a˜o do campo magne´tico aplicado.
2 Introduc¸a˜o
Em 1896, Pieter Zeeman2 observou que, quando um a´tomo e´ submetido a um campo
magne´tico externo e enta˜o excitado, as linhas espectrais emitidas no processo de desexcitac¸a˜o
se separam em va´rias componentes. A Figura (1) ilustra exemplos do efeito Zeeman. Para
campos menores do que va´rios de´cimos de 1 tesla, a separac¸a˜o e´ proporcional a` intensidade do
campo. O efeito Zeeman indica claramente que os n´ıveis de energia do a´tomo se separam em
va´rias componentes na presenc¸a de um campo magne´tico externo. Em alguns casos especiais
ditos efeito Zeeman ”normal”, essas subdiviso˜es dos n´ıveis de energia podem ser explicadas por
uma teoria cla´ssica desenvolvida por Lorentz3. O efeito Zeeman normal ocorre para a´tomos
com spin total nulo S = 0. Pode ocorrer de duas formas, dependendo da direc¸a˜o de observac¸a˜o
em func¸a˜o da direc¸a˜o do vetor de induc¸a˜o magne´tica:
1. Caso a observac¸a˜o seja feita ao longo de uma direc¸a˜o paralela ao vetor induc¸a˜o magne´tica,
ocorrera´ um desdobramento da raia espectral original em duas raias;
1Constante f´ısica relacionada com o momento magne´tico que recebe o do f´ısico dinamarqueˆs Niels Bohr
(1885-1962). Pode ser expressa em termos de outras constantes elementares.
2F´ısico neerlandeˆs (1865-1943)
3Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928), f´ısico neerlandeˆs.
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2. Caso a observac¸a˜o seja feita ao longo de uma direc¸a˜o perpendicular ao vetor induc¸a˜o
magne´tica, ocorrera´ um desdobramento da raia espectral em treˆs raias.
Nos casos mais gerais, denominados de efeito Zeeman ”anoˆmalo”, na˜o foi poss´ıvel dar nem
mesmo uma explicac¸a˜o qualitativa antes do desenvolvimento da mecaˆnica quaˆntica e da in-
troduc¸a˜o do spin do ele´tron. Mesmo utilizando o formalismo da mecaˆnica quaˆntica e levando em
considerac¸a˜o o spin do ele´tron a explicac¸a˜o e´ bastante complicada ja´ que cada linha desdobra-se
em muitos componentes, mais precisamente em 2j + 1 raias, em que j e´ a projec¸a˜o do vetor
momento angular quaˆntico sobre o eixo de quantizac¸a˜o.
Figura 1: Representac¸o˜es de chapas fotogra´ficas mostrando as subdiviso˜es de diferentes linhas
espectrais no efeito Zeeman normal e anoˆmalo. As flechas mostram as subdiviso˜es previstas por
uma teoria cla´ssica de Lorentz [1].
No efeito Zeeman normal, a u´nica fonte de momento magne´tico e´ o momento angular orbital
do ele´tron. Quando este momento dipolar magne´tico esta´ sob ac¸a˜o de um campo magne´tico
aplicado ~B, ele fica sob efeito de um torque magne´tico ~τ dado por:
~τ = ~µ× ~B (1)
que tendera´ a alinhar o momento de dipolo magne´tico com o campo magne´tico. Assim, a
chamada energia potencial de orientac¸a˜o ∆E para a condic¸a˜o de campo fraco (quando o campo
magne´tico na˜o tem intensidade suficiente para perturbar o acoplamento LS) sera´ dada por:
∆E = −~µ · ~B = µBBgm′j , (2)
onde µB e´ chamado magne´ton de Bohr e g e´ o fator de Lande´
4, dados pelas respectivas ex-
presso˜es:
µB =
e~
2m
(3)
g = 1 +
j′(j′ + 1) + s′(s′ + 1)− l′(l′ + 1)
2j′(j′ + 1)
(4)
sendo e a carga do ele´tron e m, sua massa.
4Alfred Lande´ (1888-1976), f´ısico teuto-estadunidense.
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Substituindo os valores conhecidos na equac¸a˜o (3), obte´m-se o valor do magne´ton de Bohr
igual a 9, 2741× 10−24 J/T .
Assim, para o efeito Zeeman normal, o campo magne´tico aplicado ira´ desdobrar os n´ıveis
de energia em (2l + 1) componentes, separados por uma energia igual a µB · B. As transic¸o˜es
atrave´s de radiac¸a˜o de dipolo ele´trico entre esses n´ıveis obedecem a`s regras de selec¸a˜o:
∆m′l = 0,±1 (5)
A consequeˆncia disto e´ que sempre observa-se o desdobramento de cada linha espectral em
um tripleto, sendo uma linha central com mesma frequeˆncia da linha original (∆m′l = 0), uma
com frequeˆncia mais alta (∆m′l = −1) e outra com frequeˆncia mais baixa (∆m′l = +1).
O esquema da Figura (2) logo abaixo retrata a transic¸a˜o 61D2 −→ 51P1 (notac¸a˜o espec-
trosco´pica) para o a´tomo de ca´dmio Cd.
Figura 2: Transic¸a˜o 1D2 −→1 P1 decorrente da aplicac¸a˜o de um campo magne´tico para o a´tomo
de ca´dmio.
Como ambos estados possuem um spin total nulo (s′ = 0, que representam estados de
singleto), o efeito observado e´ o efeito Zeeman normal.
Uma ana´lise mais detalhada mostra que a luz emitida em uma experieˆncia Zeeman esta´
polarizada, sendo que o estado de polarizac¸a˜o da linha depende da direc¸a˜o de observac¸a˜o em
relac¸a˜o ao campo magne´tico. Quando a luz emitida e´ observada paralelamente a direc¸a˜o do
campo, a linha resultante da transic¸a˜o ∆m = ±1, , sa˜o circularmente polarizadas, sendo
rotuladas como σ+ ou σ−, caso a polarizac¸a˜o estiver, ou na˜o, no sentido da rotac¸a˜o da corrente
ele´trica que cria o campo ~B.
Quando a luz emitida e´ observada perpendicularmente a` direc¸a˜o do campo, a linha resul-
tante da transic¸a˜o ∆m = 0, chamadas de linha σ, tambe´m sa˜o linearmente polarizadas em
direc¸a˜o perpendicular ao campo. A intensidade das componentes σ e´ duas vezes maior em
observac¸a˜o longitudinal do que na observac¸a˜o transversal. Estas regras de polarizac¸a˜o podem
ser entendidas qualitativamente considerando a interac¸a˜o do campo com a radiac¸a˜o resultando
que o movimento dos ele´trons acelerados.
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Para campos magne´ticos moderados, os desdobramentos em energia causados pelo efeito
Zeeman sa˜o muito pequenos para serem observados por meio de espectrosco´pios comuns. Mas,
utilizando-se um espectrosco´pio de Fabry-Perot, e´ poss´ıvel corrigir este problema. No caso da
experieˆncia executada em laborato´rio, a presenc¸a das componentes sate´lites em relac¸a˜o a` linha
vermelha do Cd (λ = 643, 8 nm) e´ investigada com este aparato, em que o espac¸amento entre
as placas e´ fixo, denominado ”etalon”, onde variac¸o˜es de comprimento da ordem de 0, 002 nm
podem ser observadas.
O interferoˆmetro, esquematizado abaixo, possui duas placas de vidro planas e paralelas e
cobertas na superf´ıcie interna com camadas meta´licas parcialmente refletoras, sendo as placas
separadas por uma distaˆncia igual a 3 mm para o interferoˆmetro utilizado. Para este inter-
feroˆmetro, raios incidindo segundo um aˆngulo θ em relac¸a˜o a` normal das placas apresentara˜o
interfereˆncia construtiva regida pela equac¸a˜o:
2t cos(θ) = nλ (6)
onde n e´ um nu´mero inteiro e o ı´ndice de refrac¸a˜o entre as placas e´ igual a 1.
A luz que chega ao interferoˆmetro e´ focalizada sobre a tela atrave´s da lente da direita.
Os aˆngulos θn, que correspondem aos ane´is de interfereˆncia projetados na tela deobservac¸a˜o
podem ser obtidos a partir da expressa˜o:
θn =
√
2(n0 − n)
n0
(7)
va´lida apenas para aˆngulos pequenos. Na expressa˜o (7) n e´ um inteiro (para um anel brilhante)
e n0 = 2t/λ e´ um paraˆmetro (geralmente na˜o-inteiro), que indica a condic¸a˜o de interfereˆncia
no centro da figura, ou seja, θ = 0.
Assim, o raio do p-e´simo anel brilhante pode ser escrito como:
rp =
√
2f 2
n0
√
(p− 1) + � (8)
onde f e´ a distaˆncia focal da lente usada para focalizac¸a˜o (lente da direita) e � e´ um paraˆmetro
entre 0 e 1 que indica o quanto n0 difere de um inteiro.
A partir da equac¸a˜o (8) pode-se obter a relac¸a˜o entre raios dos ane´is consecutivos, dada
por:
r2p+1 − r2p =
2f 2
n0
(9)
Para o caso em que ocorre o desdobramento de duas raias espectrais muito pro´ximas, de
comprimentos de onda λa e λb, em que a refere-se ao anel mais externo e b ao mais interno, a
diferenc¸a entre os nu´meros de onda λ−1a e λ
−1
b sera´ dada por:
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∆ν =
1
λa
− 1
λb
=
1
2t
(
r2p+1,a
r2p+1,a − r2p,a
− r
2
p+1,b
r2p+1,b − r2p,b
)
(10)
onde t e´ a espessura do elaton (3, 0 mm). Utilizando as definic¸o˜es que seguem
∆p+1,pa = r
2
p+1,a − r2p,a (11)
∆p+1,pb = r
2
p+1,b − r2p,b (12)
δpa,b = r
2
p,a − r2p,b (13)
Comparando as equac¸o˜es acima com as equac¸o˜es (8) e (9), e´ poss´ıvel concluir que, na
situac¸a˜o em que λa e λb sa˜o muito pro´ximos, valem as relac¸o˜es, para qualquer valor de p.
∆p+1,pa = ∆
p+1,p
b (14)
δp+1a,b = δ
p
a,b (15)
Assim, e´ poss´ıvel calcular os valores me´dios das grandezas acima para va´rios ane´is e utilizar
os valores me´dios de ∆¯ e δ¯ para obter, a partir da equac¸a˜o (9):
∆ν =
1
2t
δ¯
∆¯
(16)
A expressa˜o (16) fornece o desdobramento de Zeeman, em termos do nu´mero de onda, em
func¸a˜o dos raios dos ane´is, que podem ser medidos experimentalmente. O resultado obtido
pode ser comparado com as previso˜es teo´ricas, obtidas atrave´s da expressa˜o:
2µBB = hc∆ν (17)
3 Procedimento Experimental
Todo o experimento foi realizado utilizando o arranjo mostrado na Figura (3) e esquema-
tizado na Figura (4), o qual era formado por uma fonte de corrente cont´ınua, um eletro´ıma˜,
um mult´ımetro, uma laˆmpada de ca´dmio, algumas lentes, um capacitor eletrol´ıtico, um in-
terferoˆmetro de Fabry-Perot, uma tela com escala microme´trica, uma caˆmera e um aparelho
televisor.
Para uma melhor visualizac¸a˜o do padra˜o de interfereˆncia, a posic¸a˜o do interferoˆmetro foi
ajustada para se obter uma melhor resoluc¸a˜o.
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Figura 3: Arranjo experimental.
Figura 4: Esquema do aparato experimental.
Aplicando correntes variadas no eletro´ıma˜ (diferentes campos magne´ticos), foram medidos
os diaˆmetros de quatro pares de ane´is conceˆntricos para cada valor de corrente estabelecido.
Os resultados sa˜o mostrados na sec¸a˜o seguinte.
4 Resultados e Discusso˜es
Durante a realizac¸a˜o do experimento foram realizadas seis se´ries de medida dos diaˆmetros
dos ane´is de interfereˆncia, cada uma para um valor diferente de corrente ele´trica nas bobinas.
A laˆmpada de ca´dmio Cd ficou submetida ao campo magne´tico gerado pelas bobinas.
A tabela (1) conte´m os dados obtidos do experimento e o valor do campo magne´tico para
cada situac¸a˜o. A tabela (2) mostra os resultados das manipulac¸o˜es alge´bricas necessa´rias para
se obter o valor me´dio da variac¸a˜o para as componentes a e b e os comprimentos de onda, ∆¯ν,
associadas a` linha espectral que se abriu devido ao campo magne´tico aplicado.
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i (A) B (mT ) r1 (mm) r2 (mm) r3 (mm) r4 (mm)
b 1,50 192,00 2,98 5,23 6,19 7,97
a 1,50 192,00 3,86 5,80 6,89 8,09
b 2,00 260,00 2,96 5,17 6,16 7,94
a 2,00 260,00 3,43 5,29 6,86 8,13
b 2,50 326,00 2,86 4,99 6,16 7,90
a 2,50 326,00 3,27 5,14 6,95 8,16
b 3,00 392,00 2,81 5,10 6,15 7,36
a 3,00 392,00 3,28 5,20 6,99 8,15
b 3,50 456,00 2,79 4,81 6,62 7,86
a 3,50 456,00 3,56 5,40 6,98 8,21
b 4,00 516,00 2,75 5,06 6,11 7,83
a 4,00 516,00 3,06 5,29 5,29 8,18
Tabela 1: Dados obtidos do experimento e campo magne´tico em cada situac¸a˜o de corrente
ele´trica na bobina; a refere-se ao anel mais externo e b ao mais interno (rp,a > rp,b).
i(A)
δ|∆ p δ¯|∆¯ ∆¯ν µB × 10−24
(mm2) 1 2 3 4 (mm2) (m−1) (J/T )
1,50
∆p+1,1b 18,47 10,96 25,20 - 17,53
55,92 2,14∆p+1,1a 18,74 13,97 17,84 -
δpa,b 6,02 6,29 9,29 1,93 5,88
2,00
∆p+1,1b 17,97 13,05 25,10 - 18,41
37,73 1,95∆p+1,1a 16,33 19,11 18,90 -
δpa,b 3,00 1,36 9,25 3,05 4,17
2,50
∆p+1,1b 16,72 32,96 25,89 - 22,24
35,80 2,32∆p+1,1a 15,72 21,88 20,26 -
δpa,b 2,51 1,52 10,36 4,72 4,78
3,00
∆p+1,1b 18,11 11,81 16,35 - 16,49
69,04 5,38∆p+1,1a 16,28 21,96 14,42 -
δpa,b 2,86 1,03 11,18 12,25 6,83
3,50
∆p+1,1b 15,35 21,69 17,96 - 18,29
48,84 4,43∆p+1,1a 16,49 19,56 18,68 -
δpa,b 4,89 6,02 4,90 5,62 5,36
4,00
∆p+1,1b 18,04 20,74 18,19 - 18,55
47,56 4,88∆p+1,1a 18,62 20,74 18,19 -
δpa,b 1,80 2,38 11,39 5,60 5,29
Tabela 2: Ca´lculos parciais e resultados individuais para o valor do magne´ton de Bohr.
A u´ltima coluna da tabela (2) fornece o valor do magne´ton de Bohr calculado para cada
uma das seis situac¸o˜es de campo. As me´dias que aparecem nessa tabela foram calculadas pelas
equac¸o˜es (18) e (19), logo abaixo
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∆¯ =
1
6
p=3∑
p=1
(∆p+1,pa + ∆
p+1,p
b ) (18)
δ¯ =
1
4
p=4∑
p=1
δpa,b (19)
O valor me´dio para o magne´ton de Bohr e´ µ¯B = 3, 517 × 10−24 J/T , o desvio percentual
com relac¸a˜o ao valor que consta na literatura (µB = 9, 273× 10−24 J/T ) e´ de 62, 1%.
A figura (5) mostra os pontos associados aos valores de ∆¯ν/2 e seus respectivos valores de
B, a reta que passa entre eles tem a forma funcional B = A∆ν/2, logo, µB = hc/A, onde A e´ o
coeficiente angular da reta. O resultado da regressa˜o linear fornece A = (0.0110±0.0502) (Tm),
com isso, µB = (1, 798 × 10−23 J/T ). O desvio percentual com relac¸a˜o ao valor de (9, 273 ×
10−24 J/T ) vale 93, 9%.
 30
 40
 50
 60
 70
 80
 150 200 250 300 350 400 450 500 550
∆ν
/2
 (m
−
1 )
B (mT)
Regreção Linear
Pontos Experimentais
Figura 5: Gra´fico de ∆¯ν/2 (m−1) × B (mT ), a reta e´ o resultado da regressa˜o linear da forma
y = A · x.
5 Conclusa˜o
O experimento permitiu a obtenc¸a˜o do valor do magne´ton de Bohr, a incerteza associada
ao valor calculado e o desvio percentual ma´ximo na˜o excede 95%. O aparato experimental
permitiu a visualizac¸a˜o do efeito Zeeman com clareza, ale´m de possibilitar a determinac¸a˜o de
uma grandeza f´ısica muito pequena por um me´todo simples e de fa´cil execuc¸a˜o experimental.
Uma das principais fontes de erro desse experimento esta´ nas aproximac¸o˜es mostradas nas
equac¸o˜es (14) e (15), que permitem o ca´lculo de ∆¯ν pela equac¸a˜o (16), mas propagam erros.
Na Tabela (2) e´ poss´ıvel ver que os valores de ∆p+1,pa e ∆
p+1,p
b (p = 1, 2, 3) apresentam diferenc¸as,
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assim como δp+1a,b e δ
p
a,b (p = 1, 2, 3, 4), o que mostra que as aproximac¸o˜es realmente carregam
erros durante os ca´lculos.
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Refereˆncias
[1] EISBERG, Robert; RESNICK, Robert. F´ısica Quaˆntica, Ed. Campus, Rio de Janeiro,
1979.
[2] CARVALHO, Jesiel Freitas; SANTANA, Ricardo Costa. F´ısica Experimental V (Expe-
rimentos de F´ısica Moderna). Goiaˆnia, 2016. (Apostila).[3] TIPLER, Paul Allen. F´ısica moderna. Reverte´, 1994.
10
	Objetivos
	Introdução
	Procedimento Experimental
	Resultados e Discussões
	Conclusão