Apostila FIS120

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FIS 120 – Laboratório de Física 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS 
 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
 
 
 
 
 
 
 2
ÍNDICE 
 
 ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS --------------------------------------------------- 03 
 CONSTRUÇÃO E LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS ----------------------------------------- 09 
 LINEARIZAÇÃO DE CURVAS --------------------------------------------------------------------- 21 
 LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS ------------------------------------------------------------------- 23 
 EQUILÍBRIO --------------------------------------------------------------------------------------------- 25 
 QUEDA LIVRE ----------------------------------------------------------------------------------------- 28 
 SEGUNDA LEI DE NEWTON ----------------------------------------------------------------------- 31 
 ENERGIA MECÂNICA E MOMENTO LINEAR ----------------------------------------------- 34 
 OSCILAÇÕES ------------------------------------------------------------------------------------------- 38 
 LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON -------------------------------------------------------- 44 
 MÁQUINAS TÉRMICAS ------------------------------------------------------------------------------ 46 
 CONDUTIVIDADE TÉRMICA ---------------------------------------------------------------------- 52 
 FENÔMENOS ÓTICOS ------------------------------------------------------------------------------- 55 
 FORMAÇÃO DE IMAGENS ------------------------------------------------------------------------- 59 
 RESISTÊNCIA ELÉTRICA -------------------------------------------------------------------------- 62 
 CIRCUITOS SIMPLES I ------------------------------------------------------------------------------ 67 
 CIRCUITOS SIMPLES II ----------------------------------------------------------------------------- 70 
 FENÔMENOS ELETROSTÁTICOS E MAGNÉTICOS --------------------------------------- 78 
 INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA ----------------------------------------------------------------- 83 
 ANEXO: MODELO DE RELATÓRIO DE ATIVIDADE EXPERIMENTAL-------------- 86 
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
1. NOÇÕES SOBRE A TEORIA DE ERROS 
 O ato de medir é, em essência, um ato de comparar, e essa comparação envolve erros de diversas 
origens (dos instrumentos, do operador, do processo de medida etc.). Pretende-se aqui estudar esses erros e 
suas conseqüências, de modo a expressar os resultados de dados experimentais em termos que sejam 
compreensíveis a outras pessoas. 
 Quando se pretende medir o valor de uma grandeza, pode-se realizar apenas uma ou várias medidas 
repetidas, dependendo das condições experimentais particulares ou ainda da postura adotada frente ao 
experimento. Em cada caso, deve-se extrair do processo de medida um valor adotado como melhor na 
representação da grandeza e ainda um limite de erro dentro do qual deve estar compreendido o valor real. 
1.1 ERROS E DESVIOS 
 Algumas grandezas possuem seus valores reais conhecidos e outras não. Quando conhecemos o 
valor real de uma grandeza e experimentalmente encontramos um resultado diferente, dizemos que o valor 
obtido está afetado de um erro. 
ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma 
grandeza e o valor real ou correto da mesma. 
Matematicamente: erro = valor medido − valor real 
 
 Entretanto o valor real ou exato da maioria das grandezas físicas nem sempre é conhecido. Quando 
afirmamos que o valor da carga do elétron é 1,60217738 x 10
-19 
C, este é, na verdade, o valor mais provável 
desta grandeza, determinado através de experimentos com incerteza de 0,30 partes por milhão. Neste caso, 
ao efetuarmos uma medida desta grandeza e compararmos com este valor, falamos em desvios e não erros. 
 
DESVIO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza 
e um valor adotado que mais se aproxima do valor real. 
Na prática se trabalha na maioria das vezes com desvios e não erros. 
1.2 CLASSIFICAÇÃO DE ERROS 
 Por mais cuidadosa que seja uma medição e por mais preciso que seja o instrumento, não é possível 
realizar uma medida direta perfeita. Ou seja, sempre existe uma incerteza ao se comparar uma quantidade de 
uma dada grandeza física com sua unidade. 
 Segundo sua natureza, os erros são geralmente classificados em três categorias: grosseiros, 
sistemáticos e aleatórios ou acidentais. 
1.2.1 ERROS GROSSEIROS: 
 Ocorrem devido à falta de prática (imperícia) ou distração do operador. Como exemplos, podemos 
citar a escolha errada de escalas, erros de cálculo, etc. Devem ser evitados pela repetição cuidadosa das 
medições. 
1.2.2 ERROS SISTEMÁTICOS: 
 Os erros sistemáticos são causados por fontes identificáveis, e, em princípio, podem ser eliminados 
ou compensados. Estes fazem com que as medidas feitas estejam consistentemente acima ou abaixo do valor 
real, prejudicando a exatidão da medida. Erros sistemáticos podem ser devidos a vários fatores, tais como: 
 
• Ao instrumento que foi utilizado; 
Ex: intervalos de tempo feitos com um relógio que atrasa; 
 4
 
• Ao método de observação utilizado; 
Ex: medir o instante da ocorrência de um relâmpago pelo ruído do trovão associado; 
 
• A efeitos ambientais; 
Ex: a medida do comprimento de uma barra de metal, que pode depender da temperatura ambiente; 
 
• As simplificações do modelo teórico utilizado; 
Ex: não incluir o efeito da resistência do ar numa medida da aceleração da gravidade baseada na medida do 
tempo de queda de um objeto a partir de uma dada altura. 
1.2.3 ERROS ALEATÓRIOS OU ACIDENTAIS: 
 São devidos a causas diversas e incoerentes, bem como a causas temporais que variam durante 
observações sucessivas e que escapam a uma análise em função de sua imprevisibilidade. Podem ter várias 
origens, entre elas: 
• Os instrumentos de medida; 
• Pequenas variações das condições ambientais (pressão, temperatura, umidade, fontes de ruídos, etc.); 
• Fatores relacionados com o próprio observador sujeitos à flutuações, em particular a visão e a audição. 
 De um modo simples podemos dizer que uma medida exata é aquela para qual os erros sistemáticos 
são nulos ou desprezíveis. Por outro lado, uma medida precisa é aquela para qual os erros acidentais são 
pequenos. 
O erro é inerente ao próprio processo de medida, isto é, nunca será completamente 
eliminado. Poderá ser minimizado procurando-se eliminar o máximo possível as fontes 
de erros acima citadas. Portanto, ao realizar medidas, é necessário avaliar 
quantitativamente os erros cometidos. 
1.3 DESVIO MÉDIO − VALOR MÉDIO 
 Quando um mesmo operador efetua uma série de medidas de uma grandeza, utilizando um mesmo 
instrumento, as medidas obtidas terão valores que poderão não coincidir na maioria das vezes, isso devido 
aos erros experimentais inerentes a qualquer processo de medida. 
 Suponha que um experimentador realize 10 vezes a medida do comprimento L de uma barra. Essas 
medidas foram realizadas com uma régua cuja menor divisão era 1 cm (régua centimetrada), de modo que os 
milímetros foram avaliados (é costume fazer estimativas com aproximações até décimos da menor divisão 
da escala do instrumento). 
 Em qualquer das medidas efetuadas encontraram-se, como comprimento da barra, 5 cm completos 
mais uma fração avaliada da menor divisão, de modo que as flutuações, neste caso, residem nas diferentes 
avaliações da menor divisão. A tabela a seguir mostra os valores obtidos nas dez medidas realizadas. 
 
n Ln(cm) )(cm)L(LΔL nn 
1 5,7 0,0 
2 5,8 + 0,1 
3 5,5 - 0,2 
4 5,6 - 0,1 
5 5,5 - 0,2 
6 5,7 0,0 
7 5,8 + 0,1 
8 5,7 0,0 
9 5,9 + 0,2 
10 5,8 + 0,1 
N=10 57cmLn  1,0cmLn  
 Calculando-se a media aritmética das medidas efetuadas tem-se: 
5,7cmcm
10
57
cm
10
5,85,95,75,85,75,55,65,55,85,7
N
L
L n 

  
 5
que é o valor mais provável para o comprimento da barra. 
Ovalor médio é mais preciso e exato quanto 
maior for o número N de medidas. 
 Define-se o desvio de uma medida como sendo a diferença entre o valor medido (L
n 
) e o valor médio 
( L ). 
ΔL
n 
= (L
n 
−L ) 
 O desvio de cada medida, no caso do exemplo, está indicado na tabela. Desse conjunto deve-se 
extrair a incerteza que afeta o valor médio. Considera-se, para esse fim, a média aritmética dos valores 
absolutos dos desvios denominada desvio médio ( LΔ ): 
0,1cmcm
10
1,0
cm
10
0,10,20,00,10,00,20,10,20,10,0
N
ΔL
LΔ n 

  
 Esse desvio significa que o erro que se comete ao adotar o valor médio (L= 5,7 cm) é de 0,1 cm. Em 
outras palavras, o valor real deve estar entre 5,6 e 5,8 cm. Dessa maneira, o comprimento da barra pode ser 
expresso como: 
L=( LL  ) ou seja L= (5,7 ± 0,1) cm 
1.4 DESVIO AVALIADO OU INCERTEZA 
 Se o experimentador realiza apenas uma medida da grandeza, o valor medido evidentemente será o 
valor adotado, já que não se tem um conjunto de dados para ser analisado, como no caso anterior. Aqui, 
também, o valor adotado representa a grandeza dentro de certo grau de confiança. A incerteza de uma única 
medida, em geral, depende de vários fatores como: o instrumento utilizado, as condições em que a medida se 
realiza, o método utilizado na medida, a habilidade do experimentador, a própria avaliação do último 
algarismo (fração avaliada da menor divisão da escala do instrumento) etc... 
 
 
 
 
1.5 DESVIO RELATIVO PERCENTUAL E ERRO RELATIVO PERCENTUAL 
 O desvio relativo percentual ou o erro relativo percentual são obtidos, multiplicando-se o desvio 
relativo ou o erro relativo por 100%. 
 O desvio relativo/erro relativo nos dá, de uma certa forma, uma informação a mais acerca da 
qualidade do processo de medida e nos permite decidir, entre duas medidas, qual a melhor. Isto é, quanto 
menor o desvio relativo, maior a precisão da medida. 
 
a) No caso de uma única medida: 
 
 
 
 
 
b) No caso de uma série de medidas: 
 
 
 
 
É costume tomar a incerteza de uma medida como sendo a metade 
da menor divisão da escala do instrumento utilizado. 
E%= X100%
esperadovalor
esperadovalor -medidovalor 
 
E%= X100%
esperadovalor
esperadovalor -medidas das médiovalor 
 
 6
2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS (A.S.) 
 
 A medida de uma grandeza física é sempre aproximada, por mais capaz que seja o operador e por 
mais preciso que seja o aparelho utilizado. Esta limitação reflete-se no número de algarismos que usamos 
para representar as medidas. Ou seja, só utilizamos os algarismos que temos certeza de estarem corretos, 
admitindo-se apenas o uso de um algarismo duvidoso. Claramente o número de algarismos significativos está 
diretamente ligado à precisão da medida, de forma que quanto mais precisa a medida, maior o número de 
algarismos significativos. Assim, por exemplo, se afirmamos que o resultado de uma medida é 3,24 cm 
estamos dizendo que os algarismos 3 e 2 são corretos e que o algarismo 4 é duvidoso, não tendo sentido 
físico escrever qualquer algarismo após o 4. 
 Portanto, denominam-se algarismos significativos de uma medida os algarismos exatos acrescidos 
de um único algarismo duvidoso. 
 
 
 
 
 
Algumas observações devem ser feitas: 
 
i- Não é algarismo significativo o zero à esquerda do primeiro algarismo significativo diferente de zero. 
Assim, tanto L=32,5 cm como L=0,325 m representam a mesma medida e tem três algarismos 
significativos. Outros exemplos são: 
5 = 0,5x10 = 0,05x10
2 
= 0,005x10
3 
(1 A.S. ) 
26 = 2,6x10 = 0,26x10
2 
= 0,026x10
3 
(2 A.S. ) 
0,00034606 = 0,34606x10
-3 
= 3,4606x10
-4 
(5 A.S.) 
 
ii- O zero à direita de algarismo significativo também é algarismo significativo. Portanto, L=32,5 cm e 
L=32,50 cm são diferentes, ou seja, a primeira medida tem 3 A.S. enquanto que a segunda é mais precisa 
e tem 4 A.S. 
 
iii- É significativo o zero situado entre algarismos significativos. Por exemplo: 
L = 3,25 m tem 3 A.S. enquanto que L=3,025 m tem 4 A.S. 
 
iv- Quando tratamos apenas com matemática, podemos dizer, por exemplo, que 5 = 5,0 = 5,00 = 5,000. 
Contudo, ao lidarmos com resultados de medidas devemos sempre lembrar que 5 cm ≠ 5,0 cm ≠ 5,00 cm 
≠5,000cm, já que estas medidas tem 1 A.S., 2 A.S., 3 A.S. e 4 A.S., respectivamente. Em outras 
palavras, a precisão de cada uma delas é diferente. 
 
v- Arredondamento: Quando for necessário fazer arredondamento de algum número, utilizaremos a 
seguinte regra: quando o último algarismo significativo for menor ou igual a 5 este é abandonado; 
quando o último algarismo significativo for maior que 5, somamos 1 unidade ao algarismo significativo 
anterior. Por exemplo: 
 
8,234 cm é arredondado para 8,23 cm 
8,235 cm é arredondado para 8,23 cm 
8,238 cm é arredondado para 8,24 cm 
 
 Em seguida serão fornecidos alguns exemplos de como escrever corretamente o resultado de uma 
medida realizada em laboratório com os números corretos de algarismos significativos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Algarismos significativos = Algarismos exatos + um único algarismo duvidoso 
 7
Exemplo 1: 
 
Foram efetuadas 8 medidas do diâmetro (D) de um cabo, como mostra a tabela abaixo. 
 
 
n Dn(mm) (mm)10ΔD 2n
 
1 12,20 -1,25 
2 12,30 +8,75 
3 12,10 -11,25 
4 12,20 -1,25 
5 12,20 -1,25 
6 12,10 -11,25 
7 12,40 +18,75 
8 12,20 -1,25 
N=10 97,70mmDn  )mm1000,55(D 2n  x 
 
 Com esse conjunto de medidas, obtém-se o valor médio e o desvio médio. 
 
Valor médio: 
12,2125mmmm
8
97,7
N
D
D n   
Desvio médio: 
0,07mm0,06875cmmm
8
55,00x10
N
ΔD
DΔ
2
n 

 
 O valor da grandeza é D = (12,2125 ± 0,06875) mm. No entanto, observa-se que a incerteza no 
valor médio, isto é, o desvio médio, afeta a segunda casa decimal desse valor. Assim, os outros algarismos 
posteriores perdem o significado e não são significativos, já que entre os algarismos significativos é 
admitida a presença de um único algarismo duvidoso. No entanto, esses algarismos presentes tanto no valor 
médio quanto no desvio médio devem ser considerados para efeito de cálculo, devendo ser desprezados na 
apresentação final. Escreve-se o resultado final da seguinte maneira: 
D = (12,21 ± 0,07) mm 
 
 Normalmente, ao serem feitas aproximações, como no caso acima, é costume, quando o primeiro 
algarismo desprezado for maior ou igual a cinco, acrescentar uma unidade ao último algarismo mantido. 
 
 
Exemplo 2: 
 
 Suponha-se que um processo de medidas e cálculos tenha originado para a resistividade por uma 
unidade de área de material o valor médio de 32,765 Ω/m com um desvio médio de 0,0241 Ω/m. 
 Tem-se então: 
m
m
m
m
/)02,077,32(/)0241,0765,32( 

 
 Deve-se notar que o valor médio pode apresentar um número de algarismos significativos maior que 
as medidas individuais. Esse resultado, aparentemente sem sentido, é explicável já que está se tratando 
estatisticamente um conjunto de dados, e as medidas individuais deixam de ter importância, prevalecendo o 
conjunto como um todo, ou seja, o valor médio. 
 
 
 8
Exemplo 3: 
O resultado de uma experiência forneceu o valor médio e o desvio médio iguais a: 
1) m = (13,4258 ± 0,0342) g → m = (13,43 ± 0,03) g = (1,343 ± 0,003) x 10 g 
2) m = (7836,6 ± 12,8) g → m = (784 ± 1) x 10 g = (7,84 ± 0,01) x 10
3 
g 
 Ao se trabalhar com algarismos significativos, não se deve esquecer de que os zeros à esquerda não 
são significativos, mas os da direita o são. Portanto, são significativos todos os números isentos de dúvida, a 
partir do primeiro não nulo, e também o primeiro algarismo duvidoso e mais nenhum. 
2.1 OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS − REGRAS ADOTADAS 
a) Na adição e subtração: faz-se a operação normalmente e no final reduz-se o resultado, usando critério de 
arredondamento, para o número de casas decimais da grandeza menos precisa. 
 
 Exemplos: 
Adição - (12.441 + 57,91 + 1,987 + 0,0031 + 119,20) = 12.620,1001 = 12.620 
Subtração - (12.441,2 − 7.856,32) = 4.584,88 = 4.584,9b) Na multiplicação e divisão: o resultado deverá ter igual número de algarismos (ou um algarismo a mais) 
que a grandeza com menor quantidade de algarismos significativos que participa da operação. 
 
Exemplos: 
 Multiplicação - (12,46 x 39,83) = 496.2818 = 496,28 
 Divisão - (803,407 / 13,1) = 61,328 = 61,33 
 
c) Na potenciação e radiciação: o resultado deverá ter o mesmo número de algarismos significativos da 
base (potenciação) ou do radicando (radiciação). 
 
Exemplos: 
 Potenciação - (1,52 x 10
3
)
2 
= 2,31 x 10
6
 
 Radiciação - (0,75 x 10
4
)
1/2 
= 0,87 x 10
2 
2.2 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS EM MEDIDAS COM ERRO: 
 Suponhamos que uma pessoa ao fazer uma série de medidas do comprimento de uma barra L, tenha 
obtido os seguintes resultados: 
 
 - comprimento médio, L = 82,7390 cm 
 - erro estimado, ΔL = 0,538 cm 
 
 Como o erro da medida está na casa dos décimos de cm, não faz sentido fornecer os algarismos 
correspondentes aos centésimos, milésimos de cm e assim por diante. Ou seja, o erro estimado de uma 
medida deve conter apenas o seu algarismo mais significativo. Os algarismos menos significativos de erro 
são utilizados apenas para efetuar arredondamento ou simplesmente são desprezados. Neste caso ΔL deve ser 
expresso apenas por ΔL = 0,5 cm. 
 Os algarismos 8 e 2 do valor médio são exatos, porém o algarismo 7 já é duvidoso porque o erro 
estimado afeta a casa que lhe corresponde. Deste modo, os algarismos 3 e 9 são desprovidos de significado 
físico e não é correto escrevê-los: estes algarismos são utilizados para efetuar arredondamento ou 
simplesmente são desprezados. O modo correto de escrever o resultado final desta medida será então: 
L = (82,7 ± 0,5) cm 
Nos casos em que o erro da medida não é estimado devemos também escrever os algarismos 
significativos da grandeza mensurada com critério. 
 
 
 9
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
CONSTRUÇÃO E LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS 
1. INTRODUÇÃO 
 Frequentemente, em experiências de física, medimos os valores de uma dada grandeza em função da 
variação nos valores de outra grandeza. Como resultado, temos uma coleção de medidas relacionando ambas 
as grandezas, o que gera uma tabela de dados. Entretanto, suponha que também desejamos conhecer o 
comportamento de outros valores, os quais não aparecem na tabela de dados. Nesse caso um procedimento 
científico consiste em apresentar os dados da tabela na forma de um gráfico (método gráfico). Um gráfico 
tem a grande vantagem de tornar visível como a variação de uma grandeza afeta a outra. Assim sendo, um 
gráfico, frequentemente, nos permite determinar a dependência funcional entre as variáveis envolvidas e 
assim poder estimar por interpolação ou extrapolação outros valores que não tenham sido dados pela tabela. 
Para tal fim, ligamos os pontos experimentais por uma curva suave e através da análise gráfica (análise do 
gráfico) obtemos a relação matemática entre as variáveis. Trata-se de uma poderosa ferramenta de análise de 
dados experimentais, a qual tem levado à formulação de novas leis físicas. Além disso, o método gráfico é 
extremamente útil na comparação de dados teóricos e experimentais, pois qualquer discrepância entre a 
teoria e o experimento é facilmente observada. 
2. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 
 Etapas na construção de um gráfico: 
a) Em geral, em um gráfico, a grandeza representada em cada eixo recebe o nome de variável. O primeiro 
passo, a seguir, é identificar as variáveis (grandezas) cujos valores serão lançados em cada eixo do 
gráfico. Assim os eixos devem ser identificados com a grandeza e sua unidade (indicada por vírgula 
ou parênteses). O eixo horizontal é chamado de abscissa e nele lança-se os valores numéricos da 
variável independente. No eixo vertical, ou ordenada, lança-se os valores numéricos da variável 
dependente. 
b) A seguir devemos escolher escalas apropriadas para cada eixo, de acordo com o número de algarismos 
significativos dos dados. Como a escolha da escala para cada eixo vai depender dos algarismos 
significativos dos valores numéricos da variável correspondente, as escalas adotadas para cada eixo, em 
geral, serão diferentes. No entanto, uma boa escolha das escalas deve permitir que todos os pontos 
experimentais fiquem contidos na região do papel delimitada pelos dois eixos de forma que o gráfico não 
fique comprimido em um canto. As escalas devem ser marcadas nos eixos a intervalos iguais e com o 
número correto de algarismos significativos. Não se deve marcar nada entre os intervalos, nem mesmo 
os valores dos pontos experimentais, pois são os intervalos que irão nos auxiliar na visualização da 
ordem de grandeza de ditos valores, como ilustrado na Figura 2.1. 
c) Lançar os valores numéricos dos pares de valores contidos na tabela de dados. Cada par de valores da 
tabela gera um ponto no gráfico (ponto experimental), é costume indicá-los por uma pequena cruz ou um 
pequeno círculo. Para tal fim devemos determinar o ponto de interseção entre as retas paralelas aos eixos 
traçadas a partir dos valores numéricos nos eixos correspondentes. 
d) A última etapa compreende a análise gráfica da seqüência dos pontos experimentais, a parte mais 
importante do trabalho experimental. 
 
 
 
 
 
 10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1- Modo de se indicar os intervalos e os pontos experimentais em um gráfico. 
2.1 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS EM UMA ESCALA LINEAR (PAPEL 
MILIMETRADO) 
 Uma escala linear é construída de tal modo que a distância entre marcas sucessivas das escalas, ao 
longo de cada eixo, é constante. O papel milimetrado é um exemplo de escala linear. 
2.1.1 ESCALA 
 Ao construir um gráfico numa escala linear, devemos escolher escalas apropriadas para cada eixo, 
isto é, devemos escolher um determinado comprimento, sobre o eixo, para representar um dado valor da 
grandeza. Assim, por exemplo, numa folha de papel quadriculado ou milimetrado, como ilustrado na Figura 
2.2, que são exemplos de escalas lineares, cada unidade de comprimento passará a corresponder a um dado 
valor da grandeza. O parâmetro de correspondência chama-se de fator de escala e. As dimensões típicas de 
um papel milimetrado são 180 mm x 280mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2- Exemplo de um papel com escala linear (papel milimetrado). 
 
 Segue abaixo um procedimento padrão para se determinar o fator de escala: 
 
 Seja x a grandeza cujos valores numéricos serão lançados num dos eixos do gráfico, vamos supor, 
por exemplo, no eixo de 180 mm do papel milimetrado. Primeiro identificamos, na tabela de dados, o menor 
 11
valor de x, denotando-o x
0
, o qual é tomado como o referencial no eixo (em alguns casos é conveniente 
considerar x
0 
igual a zero). Neste caso, o fator de escala pode ser obtido pela seguinte regra de três: 
 
180 mm corresponde a ( xmax- x
0
 ) 
1 mm corresponde a ( xmax - x
0
 )/180 mm 
 
 
Note: Como mencionado anteriormente, em muito casos é mais conveniente considerar x
0 
igual a zero 
 
Exemplo : 
 
Construa uma escala linear em um segmento de reta de 150 mm, para representar os tempos x listados na 
tabela abaixo. Considere intervalos de 10 segundos. x (s) 
 
x (s) 2 4 8 14 22 30 
 
a) Cálculo do fator de escala: 
 
1. Partindo do zero: xmax= 30 s e façamos x0 = 0 (escolha arbitrária). 
150 mm corresponde a 30 unidades de segundos 
1 mm corresponde a 30 unidades de segundos /150 mm 
 
 
e = 30 unidades de segundos /150 mm = 0,2 unidades de segundos/mm 
 
Esse fator de escala nos informa que cada 10 mm do papel milimetrado corresponderá a 2 s. 
 
2. Não partindo do zero: xmax= 30 s e x0 = 2 s (escolha arbitrária). 
150 mm corresponde a 28 unidades de segundos 
1 mm corresponde a 28 unidades de segundos /150 mm 
 
 
e = 28 unidades de segundos /150 mm = 0,1867 unidades de segundos/mm 
 
b) Neste exemplo teremos, portanto, a seguinte escala linear: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.3- Exemplo de uma escala linear. 
 Algumas informaçõesúteis que devem ser seguidas ao se escolher a melhor escala de um gráfico: 
a) Procurar sempre utilizar uma escala limpa e fácil de ser lida, ou seja, escolha uma escala que não sejam 
necessários muitos cálculos para se encontrar a localização dos pontos no gráfico. Uma boa escala é aquela 
que além de ocupar bem o papel, permite encontrar facilmente a localização dos pontos no gráfico. Logo, 
para facilitar, tanto para quem faz o gráfico, quanto para quem vai lê-lo, utilize uma escala que seja bem 
clara para todo mundo. Mesmo que isso signifique não usar todo o papel milimetrado. 
b) A escala utilizada em um eixo é totalmente independente da escala usada no outro. 
c) Sempre escreva no eixo, a escala que está sendo utilizada. 
150 mm 
 12
3. ANÁLISE GRÁFICA 
 A análise gráfica consiste em descobrir a dependência funcional entre as variáveis plotadas nos 
eixos; isto é, achar a fórmula matemática que descreva a sua inter-relação. A análise gráfica permite, em 
muitos casos, descobrir a lei que rege um fenômeno físico. O conhecimento dessas leis é muito importante 
para a elaboração de modelos teóricos que expliquem o fenômeno estudado. A seguir, considerando a 
dependência funcional mais simples entre duas variáveis que é a relação linear, este será o primeiro caso a 
ser discutido. 
3.1 RELAÇÃO LINEAR 
 Uma relação linear entre as variáveis x e y obedece à seguinte equação: 
y = a x + b, 
onde a e b são constantes. O gráfico resultante é uma reta. A interseção da reta com o eixo y fornece o valor 
do coeficiente linear da reta, b, pois quando x = 0, y = b. Já o coeficiente angular, a, exprime a taxa de 
variação da variável dependente em relação à variável independente, a=Δy/Δx. O coeficiente angular não 
deve ser confundido com a tangente do ângulo formado pela reta com o eixo horizontal. Observe que se 
você mudar as escalas, muda o ângulo também, entretanto o coeficiente angular não muda. No exemplo 
ilustrado na Figura 2.4 a escala no eixo Y foi mudada do caso (a) para (b). Compare o valor do coeficiente 
angular com a tangente dos ângulos em cada situação. São iguais? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 - Gráficos da posição x em função do tempo transcorrido, num movimento com velocidade constante. 
Ambas as figuras têm o mesmo coeficiente angular, a=Δy/Δx, que neste caso corresponde ao valor da velocidade do 
móvel. Entretanto, note que as tangentes são diferentes. 
 
 No gráfico, a seqüência dos pontos experimentais irá sugerir uma reta. Por se tratar de dados 
experimentais podemos esperar uma pequena dispersão em torno de uma reta representativa (reta média). 
Estas dispersões refletem o grau de incerteza associado a cada ponto e é costume indicá-las através de barras 
de incertezas. Portanto, neste caso, o objetivo da análise gráfica é determinar a equação da reta média 
(relação analítica ente as grandezas y=ax+b). Os parâmetros a e b devem ser calculados através da melhor 
reta visual ou do método de mínimos quadrados (método da regressão linear). 
 
3.2 MELHOR RETA VISUAL 
 Uma maneira direta de analisar os dados em um gráfico linear é traçar manualmente uma reta que 
visualmente melhor se ajuste aos pontos do gráfico, obter o ponto que a reta intercepta o eixo vertical, b, e 
calcular a inclinação desta reta utilizando a expressão a=Δy/Δx, onde os valores de Δx e Δy são sempre 
calculados utilizando pontos da reta traçada, e nunca pontos da tabela de dados. É importante observar 
que não é necessário que qualquer um dos pontos experimentais esteja sobre a reta traçada. 
(a) (b) 
 13
 
Exemplo: Análise gráfica através da melhor reta visual 
A tabela abaixo mostra resultados experimentais (fictícios) obtidos em uma aula de laboratório, da 
posição de um determinado objeto(x) em função do tempo (t). 
 
t (s) x (m) 
1,6 4,4 
5,8 17,5 
9,9 33,7 
16,1 42,0 
20,1 53,3 
 
Com esses dados foi possível obter o seguinte gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.5 - Gráficos da posição x em função do tempo transcorrido, num movimento com velocidade constante. 
 
Análise gráfica: 
 
1) Para obter a inclinação da reta, deve-se usar pontos da reta e não os pontos experimentais. (Para essa reta 
a= 2,6 m/s). 
2) O ponto que a reta intercepta o eixo posição quando o tempo é igual a zero, nos fornece o valor de b. 
(Para essa reta b= 2,7 m). 
3) Sempre coloque unidades em a e b. 
4) A relação analítica obtida ente x e t, será portanto: x=(2,6 m/s)t+2,7 m 
5) A inclinação da reta sempre nos traz um resultado físico. Neste caso, a inclinação representa a velocidade 
do que foi medido. Portanto, a = velocidade = 2,6 m/s. 
6) O coeficiente b nem sempre possui um significado físico, pois em alguns casos ele pode estar relacionado 
a erros experimentais. Nesse exemplo, b possui um significado físico. O gráfico nos diz que no tempo zero 
segundos, o objeto em estudo se encontrava a 2,7 m da origem. 
 
3.3 MÉTODO DA REGRAÇÃO LINEAR 
 Aplicaremos o método de regressão linear para obter a expressão analítica de uma relação linear 
entre as variáveis x e y. Sendo assim, procuramos uma equação da forma: 
y = a x + b. (1) 
que é a equação da reta média. O método consiste em minimizar os desvios (dispersões) em torno da reta 
média. Portanto, devemos minimizar a seguinte quantidade: 
t (s) 
x 
(m
) 
b 
x 
t 
a=x/t 
t (s) 
 14
  
2n
1i
ii baxyS 

 , (2) 
onde n é o número de medidas (número de pares de valores na tabela de dados). Minimizar S corresponde a 
fazer ∂S/∂a = 0 e ∂S/∂b = 0, o que gera as duas equações: 
 
iiii yxxaxb   2 e (3) 
  ii yxanb . (4) 
 
 Resolvendo simultaneamente (3) e (4), obtemos o valor dos coeficientes da reta (1): 
 
  
  




22
ii
iiii
xx
yxyxn
a e (5) 
     
  




22
2
ii
iiiii
xxn
xyxxy
b . (6) 
 Uma outra constante, denominada de coeficiente de correlação linear (r), mede o grau do 
relacionamento linear entre as duas variáveis y e x cuja relação analitica é dada por (1). O valor de r pode ser 
obtido por meio da equação: 
 
  
       
 



2
i
2
i
2
i
2
i
iiii
yynxxn
yx)y(xn
r . (7) 
 r = 1  Significa uma correlação perfeita positiva entre as duas variáveis, neste caso, y e x. 
Isto significa que se uma variável aumenta, a outra sempre aumenta. (y e x são diretamente 
proporcionais). 
 r = − 1  Significa uma correlação negativa perfeita entre as duas variáveis. Isto é, se uma 
aumenta, a outra sempre diminui. (y e x são inversamente proporcionais). 
 r = 0  Significa que as duas variáveis não dependem linearmente uma da outra. No entanto, 
pode existir uma dependência não linear. 
Exemplo: Método da regressão linear. 
 A partir da seguinte tabela de dados, obter y como uma função linear de x usando o método de 
regressão linear. 
xi 1,0 1,6 2,0 3,0 3,4 4,0 5,0 5,5 6,0 7,0 38,5x i  
yi 1,4 1,6 2,0 2,3 2,6 3,1 3,4 3,8 4,1 4,6 28,9yi 
 Procuramos uma equação da forma y = a x + b. Para isso calcularemos as quantidades indicadas na 
tabela abaixo. 
xi yi 1,40 2,56 4,00 6,90 8,84 12,4 17,0 20,9 24,6 32,2 8,301yx i i 
xi
2 1,00 2,56 4,00 9,00 11,6 16,0 25,0 30,3 36,0 49,0 5,841x 2i  
 A seguir determinamos o valor dos coeficientes angular e linear da reta através das equações (5) e 
(6), com n = 10: 
 15
     
    
0,54
38,5184,510
28,938,5130,810
a
2



 e 
     
    
20,8
38,5184,510
38,5130,8184,528,9
2 

b . 
Obs: Neste caso a e b não possuem unidades pelo fato de x e y também não possuírem. 
 Logo, a relação procurada é: y = 0,54x + 0,82 , e o gráfico correspondente é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como pode ser observado no gráfico da Figura 2.6 a reta média, reta da regressão linear, não passa 
necessariamente sobre os pontos no gráfico. Para traçar esta reta, basta substituir alguns valores de x (pelo 
menos 3) na relação analíticaobtida, encontrar os correspondentes valores de y, marcar esses pontos no 
gráfico e traçar a reta correspondente. O coeficiente de correlação linear obtido foi muito próximo de +1 o 
que implica em uma correlação linear positiva muito boa entre as duas variáveis y e x. Isto significa que se x 
aumenta, y também aumenta. Ou seja, y e x são diretamente proporcionais 
4. LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS 
 Em geral, a relação entre duas grandezas físicas não é linear, e é fundamental descobrir de que tipo é 
e quais são os parâmetros que a caracterizam. Sabe-se que na relação linear é muito simples o processo de se 
determinar e associar os parâmetros envolvidos (neste caso o coeficiente linear e angular) a grandezas 
físicas. Portanto, quando se observa que o gráfico obtido não é uma reta, pode-se linearizá-lo através de uma 
mudança de variáveis, transformando em retas mesmo curvas aparentemente complexas. Este processo de 
transformar um gráfico curvo em uma reta denomina-se linearização. Para isso, um certo grau de 
familiaridade com as representações gráficas das principais funções matemáticas é recomendável, pois deve-
se ter uma noção sobre que tipo de função matemática poderia gerar uma curva igual a indicada pela 
sequência de pontos experimentais no gráfico. Existem duas funções matemáticas especiais que aparecem 
com bastante frequência em alguns fenômenos físicos, as chamadas funções logarítmicas. Para essas funções 
foi desenvolvido um tipo de papel que, em vez da escala linear milimetrada, tem-se uma escala logarítmica. 
Nesse tipo de papel, essas funções resultam diretamente em um gráfico linearizado, o que facilita a 
determinação das constantes desconhecidas. Vamos discutir aqui como linearizar um gráfico utilizando papel 
milimetrado e papel com escala logarítmica. Para isso vamos estudar dois tipos de funções que serão bastante 
vistas em nossos experimentos: função tipo potência (y = kx
n
) e função do tipo exponencial (y = k.e
nx 
), onde 
k e n são constantes. 
4.1 LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS EM PAPEL MILIMETRADO 
Seja um gráfico que sugere uma curva do tipo y =kxn. Suponha que fazendo uma medida de duas 
grandezas, observamos que a relação entre as duas é dada pela equação: 
y=3x2 (8). 
Figura 2.6 - Gráficos de y em função de 
x, com a respectiva reta da regressão 
linear. 
 
 16
Se em um papel milimetrado fizermos o gráfico não de y versus x nós não teremos uma reta, como 
ilustrado na Figura 2.7 (a). Para linearizarmos o gráfico, temos que ter uma função do tipo y = a x + b que 
é a equação de uma reta. Logo, basta fazermos um gráfico com uma nova função: 
y’ = a x’ + b (9), 
onde x’= x2. Esse novo gráfico de y versus x2, como ilustrado na Figura 2.7 (b), estará linearizado e neste 
gráfico os valores dos coeficientes linear e angular da reta podem ser calculados pelo método da regressão 
linear ou pela melhor reta visual (como se trata de uma função exata, em ambos os métodos obteremos a=3 e 
b=0, como era de se esperar). Note que no caso do uso do método da regressão linear deve-se usar o novo x’= 
x2, ou seja, os coeficientes a e b, devem ser obtidos com as variáveis y e x’. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.7 - Representação gráfica de (a) uma relação tipo potência y=3x
2
 e (b) exemplo de mudança de variável para a 
linearização do gráfico. Em (b), os coeficientes a e b podem ser obtidos pela melhor reta visual ou regressão linear. 
4.2 LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS EM PAPEL COM ESCALA LOGARÍTMICA 
 Novamente, seja um gráfico que sugere uma curva do tipo: 
y =kxn . (10) 
Nesse caso, aplicando logaritmo à relação acima, teremos: 
log (y) = log (k) + n log (x). (11) 
Fazendo: log (y) = y' , log (k) = b, a=n e log (x) = x' , obteremos: 
y' = a x'+b, (12) 
que é a equação de uma reta. Ou seja, podemos transformar uma relação tipo potência (equação 10) em uma 
relação linear (equação 12) aplicando o logaritmo. Além do mais, se em um papel milimetrado fizermos o 
gráfico não de y versus x, mas o gráfico de log (y) versus log (x) nós teremos uma reta. Essa linearização 
seria trabalhosa de ser feita utilizando um papel milimetrado, pois necessitaríamos de uma nova tabela com 
log (y) e log (x), e a partir dessa nova tabela é que teríamos que construir o gráfico linearizado. Para facilitar 
o nosso trabalho existem papéis que já possuem escala logarítmica na base 10, os papeis mono-log e di-log. 
No papel di-log (log-log) ambos os eixos do papel possuem uma escala logarítmica de base 10, dividida em 
décadas (cada década multiplica por 10 os valores da década anterior). A Figura 2.8 ilustra um modelo de 
papel di-log. Em geral o papel di-log tem duas décadas em um dos eixos e três décadas no outro eixo. Note 
que o papel di-log não começa do ponto (0,0), pois como o papel possui escala logarítmica, ele começa do 
ponto (1,1) , uma vez que log 1= 0. Numa escala logarítmica as distâncias entre marcas sucessivas não é 
constante (como numa escala linear) aqui elas são proporcionais às diferenças entre os logaritmos das 
variáveis. Isto é, a escala logarítmica é feita de tal maneira que a distância entre 1 e 2 é proporcional a (log 2 
- log 1); a distância entre 2 e 3 é proporcional a (log 3 - log 2); e assim por diante (como tarefa observe as 
escalas numa folha impressa de papel mono-log ou log-log). Sendo assim fica evidente que tanto no gráfico 
mono-log como no log-log o aspecto do gráfico será diferente de quando você usa escalas lineares. Nessa 
escala, ao colocarmos diretamente os valores de x e y no papel, estamos fazendo com que as distâncias entre 
(a) y=3x
2
 
(a) y=ax' +b, onde x'= x
2
 
 17
sucessivos valores de x e y sejam proporcionais a log (x ) e log (y), porque as escalas foram construídas 
assim. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.8 - Modelo de papel di-log (log-log). 
 
 Após a linearização utilizando o papel di-log ou o papel mono-log, os valores dos coeficientes linear 
e angular da reta devem ser calculados utilizando a melhor reta visual ou o método de regressão linear, nesse 
caso considerando-se as novas variáveis log(y) e log(x), como ilustrado na Figura 2.9. (Lembre-se, os 
coeficientes só podem ser calculados em gráficos já linearizados). 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.9 - Exemplos de mudança de variáveis na linearização de (a) uma relação tipo potência: y=kx
n
, e (b) tipo 
exponencial: y = kenx. 
 Como indicado na Figra 2.9 (a) o coeficiente angular da reta exprime a taxa de variação de log(y) em 
relação a log(x), e o coeficiente linear b = log(k) corresponde à interseção da reta com o eixo que passa pela 
origem de log(x) (pois quando log(x) = 0, log(y) = log(k)). Finalmente, achado log(k) segue que k = 10
b
. 
Exemplo: 
 Em uma experiência sobre o movimento de um projétil, no plano (x,y), o gráfico em escala linear 
dos dados correspondentes gerou a curva indicada na Figura 2.10. 
b= log k b= log k
log (y) log (y)
log (x) x
Δlog(x)
Δlog(y)
a  
x
Δlog(y)
a

 
 18
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.10 - Movimento de um projétil, no plano (x,y), 
 Observando o gráfico acima, podemos inferir que a relação matemática entre as variáveis, altura 
percorrida (y) e deslocamento na horizontal (x), é do tipo potência: y = kx
n
. Portanto, para podermos 
determinar os parâmetros k e n é preciso linearizar o gráfico acima. Neste caso, a expressão linearizada é 
log (y) = log (k) + a log (x), que corresponde a uma relação linear entre as novas variáveis log(x) e log(y). 
Para determinar a reta média calcularemos os coeficientes linear, b = log(k), e o coeficiente angular, a=n, 
pelo método de regressão linear, a partir dos dados listados na tabela a seguir. 
Logo, obtemos: 
     
    
21,9615
0,9910,228310
1,8540,9910,438910
a
2



 
 
     
    
0,009
0,9910,228310
0,9910,43890,22831,854-
b
2



 
 
Finalmente, achado b = log(k) = 0,009 teremos k = 10
0,009 
= 1,02. Portanto, a relação analítica 
procurada, a qual descreve o movimento deum projétil, é dada por: y = 1,02 x
2 
(m). Observe que se trata de 
uma trajetória parabólica. 
y=kxn 
 19
 Agora, seja um gráfico que sugere uma curva do tipo: 
y =kenx . (13) 
Nesse caso, aplicando logaritmo à relação acima, teremos: 
log (y) = (n loge) x+ log (k) (14) 
Fazendo: log (y) = y' , log (k) = b, a= n loge (é uma constante), obteremos: 
y' = a x+b, (15) 
que é a equação de uma reta. Em consequência, como indicado na Figura 2.9 (b), o gráfico log (y) versus x 
gerará uma reta. Novamente, fazer essa linearização utilizando o papel milimetrado seria um tanto 
trabalhoso, pois seria preciso calcular uma nova tabela para, a partir dela, construir o gráfico que fornece 
uma reta. Para evitar este trabalho existe o papel mono-log que consiste em um papel com uma das escalas 
sendo linear e a outra logarítmica. A Figura 2.11 ilustra um modelo de papel mono-log. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.11 - Modelo de papel mono-log. 
Assim como no papel di-log não é preciso calcular os logaritmos dos valores tabelados obtidos no 
experimento, como seria feito se fosse utilizado o papel milimetrado para linearizar o gráfico. Neste caso é 
necessária somente a indicação dos pontos tabelados diretamente no gráfico e o gráfico assim obtido no 
papel mono-log, será equivalente ao gráfico log (y) versus x obtido no papel milimetrado. 
 20
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO: 
1) Durante uma aula de FIS 120 o objetivo dos estudantes era descobrir a dependência entre duas grandezas 
X e Y. Durante o experimento verificou-se que um aumento na grandeza X implicava em um aumento na 
grandeza Y. A tabela abaixo mostra os valores medidos para X e Y: 
Y (cm) 78,2 54,9 42,7 28,7 21,4 17,2 11,7 
X (cm) 1,6 5,2 12,0 45,0 120,0 250,0 900,0 
a) Faça o gráfico de Y versus X no papel di-log (log-log) em anexo. 
b) Partindo do pressuposto de que Y = kXn e utilizando o método da regressão linear, encontre os valores 
de k e n e escreva o relacionamento analítico entre Y e X. (A calculadora pode ser usada no cálculo da 
regressão linear). 
c) Após a linearização do gráfico os estudantes calcularam o coeficiente de correlação linear e obtiveram um 
valor muito próximo de -1. O que significa este resultado? 
 
2) Em um laboratório de pesquisa avançada na área de novos materiais, e utilizando-se os equipamentos 
adequados, os cientistas verificaram como o comprimento (L) de uma barra cilíndrica, feita de uma super 
liga metálica recentemente descoberta, variava de uma forma inesperada em função da temperatura (T). Foi 
obtida a seguinte tabela após as medidas. 
L(cm) 50,50 79,20 147,10 248,00 495,50 
T (0C) 2,0 23,0 42,0 60,0 90,0 
 
Após vários teses e estudos foi obtida a seguinte relação teórica entre o comprimento L da barra e a 
temperatura T. 
L= µRT2+ L0, 
onde µ é um coeficiente característico da liga metálica e R é o raio da barra. 
 
a) Utilizando o papel milimetrado e o conhecimento da relação teórica entre L e T construa um gráfico já 
linearizado. Esboce a melhor reta visual que se ajuste, segundo a sua avaliação, aos pontos experimentais. 
b) Utilizando o esboço da curva de ajuste (melhor reta visual), encontre o relacionamento analítico entre as 
grandezas L e T. 
c) Quais são os significados físicos da inclinação da reta e da interseção desta com o eixo vertical? 
d) Calcule o valor de µ sabendo que R=5,00 cm . (Lembre-se, jamais use pontos experimentais para esse 
cálculo). 
 
 
 
 
 
 
 
 21
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: LINEARIZAÇÃO DE CURVAS 
1. OBJETIVO: 
 Coleta de dados para serem utilizados como material para: 
 Construção de gráficos em papéis milimetrado e di-log (log-log). 
 Linearização de curvas. 
2. PRIMEIRA PARTE: 
2.1 PROCEDIMENTOS: 
a) Disponha verticalmente uma mola, estabelecendo, com segurança, a posição de equilíbrio de sua 
extremidade inferior sobre uma régua centimetrada. Suspenda, na extremidade livre da mola, um peso 
conhecido e meça o respectivo deslocamento vertical em relação à posição de equilíbrio. 
b) Repita o procedimento anterior para diferentes pesos, completando a tabela a seguir: 
 
F (gf) 10 20 30 40 50 60 70 
x (cm) 
2.2 ATIVIDADES: 
1) Construa, em um papel milimetrado, o gráfico F versus x correspondente, sendo F a ordenada e x a 
abscissa. 
2) Esboce a curva que, a seu juízo, melhor caracteriza o relacionamento entre essa grandezas físicas (Melhor 
reta visual). O relacionamento analítico entre as grandezas é linear? 
3) Utilizando a melhor reta visual feita em 2, determine o relacionamento analítico entre F e x. Para isso, 
encontre o valor das constantes a e b, lembrando que como a relação entre F e x é linear, F= ax+b. Qual 
o significado físico das constantes a e b? 
4) Faça a análise de regressão linear e determine o relacionamento analítico entre F e x. As grandezas F e x 
são diretamente proporcionais? (Faça essa análise através do cálculo do coeficiente de correlação linear r). 
3. SEGUNDA PARTE: 
3.1 PROCEDIMENTOS: 
a) Disponha, sobre um disco graduado em graus, dois espelhos planos formando um ângulo . 
b) Coloque à frente dos dois espelhos um objeto qualquer e conte o corresponde número de objetos N vistos 
nessa situação (N=Número de imagens mais 1, correspondente ao objeto real). 
c) Complete a tabela a seguir, repetindo o procedimento para os diferentes ângulos apresentados. 
 
 (grau) 45,0 60,0 72,0 90,0 120,0 180,0 
N(unidades) 
 
3.2 ATIVIDADES: 
1) Construa, em um papel milimetrado, o gráfico N versus . A relação entre essas grandezas é linear? 
 
2) Utilizando um papel milimetrado, linearize a curva. Através da melhor reta visual e da regressão linear, 
determine o relacionamento analítico entre N e . (Para isso, encontre os valores de a e b, sendo que a 
 22
relação analítica entre as grandezas é dada por N=a(1/)+b). Qual o significado físico de a e b? Calcule o 
coeficiente de correlação linear (r) entre N e 1/ e discuta o significado do resultado obtido? 
3) Linearize a curva, utilizando um papel di-log. Através da melhor reta visual e da regressão linear, 
determine o relacionamento analítico entre N e . (Para isso, encontre os valores de k e n, sendo que a 
relação analítica entre as grandezas é dada por N=kn). Calcule o coeficiente de correlação linear (r) entre 
log N e log  e discuta o significado do resultado obtido? 
 
OBSERVAÇÒES: 
1) As análises pela melhor reta visual e regressão linear SÓ PODEM ser feitas em gráficos já 
linearizados. 
2) Pode-se usar diretamente as funcionalidades da calculadora científica no cálculo de a, b e r pelo 
método da regressão linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS 
1. OBJETIVO: 
 Verificar experimentalmente a trajetória de um projétil em um plano e obter a velocidade inicial do 
projétil no caso de um lançamento horizontal. 
2. INTRODUÇÃO: 
Nesta prática, se fará um estudo do movimento parabólico. É pertinente lembrar que o movimento de 
uma partícula em queda livre não é necessariamente vertical. Considera-se queda livre todo movimento 
sujeito apenas à força gravitacional (peso), como é o caso do movimento parabólico de um “projétil”. A 
trajetória desse movimento deve ser analisada nas duas direções: 
 
• vertical (y). A componente vertical do vetor velocidade (v
y
) é variável, pois nesta direção atua a aceleração 
da gravidade (g), sempre para baixo, oriunda da força gravitacional. 
• horizontal (x): A componente horizontal do vetor velocidade (v
x
) é constante pois nenhuma força 
(desprezando qualquer tipo de resistência) atua sobre o corpo nessa direção. 
 
 Assim, as equações para cada componente, adotando o eixo vertical (y) positivo orientado para 
baixo, são: 
2
00 2
1
tatvrr

 . (1) 
Como na horizontal ax=0 e na vertical ay=g, teremos: 
1) Horizontal:tvxx x00  (2) 
2) Vertical: 200 2
1
gttvyy y  (3) 
No caso de um lançamento horizontal, como o que será realizado na prática, v0y=0. 
3. METODOLOGIA: 
 MATERIAL UTILIZADO: 
Calha, esfera, régua centimetrada, folha de papel carbono coberta com papel branco, fita adesiva, corda com 
peso na ponta (prumo), nível, papel milimetrado. 
 PROCEDIMENTOS: 
A Figura 1 ilustra o aparato que será utilizado para a realização do experimento. A esfera será 
abandonada do topo de uma calha (ponto A). No ponto B, tomado com a origem do sistema de referência 
(y0=0 e x0=0), a esfera abandonará a calha e atingirá o piso no ponto C. 
 Vamos fazer uma tabela com medidas diferentes de y e de x, mantendo para cada conjunto de 
medidas a mesma configuração inicial. Para isso, selecione um valor para a altura y e a seguir solte a esfera 
sempre de uma altura h fixa. Com isso conseguiremos para cada lançamento a mesma velocidade inicial no 
final da calha (ponto B). O ponto em que a esfera se choca com o piso (ponto C) refere-se ao alcance x 
correspondente a esta altura y. 
 24
Passos para a realização das medidas: 
 
a) Nivele a base horizontal da calha para 
garantir um lançamento horizontal (voy=0). 
 
b) Com o auxílio do prumo marque no piso o 
ponto x0=0. Esse ponto deve ser sempre o 
mesmo em todas as medidas. 
 
c) Marque o ponto inicial de lançamento na 
calha (Ponto A). 
 
d) Faça um lançamento teste para um 
determinado y e onde a esfera tocar o piso 
coloque a folha de papel carbono coberta com 
papel branco. A esfera deixará uma marca no 
papel branco e através desta marca o valor de 
x poderá ser obtido. 
 
 
e) Varie y 8 vezes e para cada valor de y faça 3 lançamentos. Meça com uma régua centimetrada o valor 
médio de x para cada y e complete a tabela a seguir. (Obtenha o valor médio de x visualmente) 
 
y (cm) 
x (cm) 
x2 (cm2) 
ATIVIDADES: 
1) Faça um gráfico de y versus x no papel milimetrado. Que tipo de relação existe entre x e y? 
2) Linearize o gráfico fazendo um gráfico de y versus x2
 
em um outro papel milimetrado. 
3) Encontre o relacionamento analítico entre as grandezas y e x. 
4) Quais são os significados físicos da inclinação da reta e da interseção desta com o eixo vertical? 
(DICA: Do movimento horizontal temos t = x/v
0X
. Substituindo este tempo na equação (3) você pode obter 
uma equação para y em função de x2. Esta será a equação para a trajetória do projétil, deduzida a partir das 
equações dadas.) 
5) Adotando-se o valor de g = 9,78 m/s
2
, determine a velocidade com que a esfera abandonou o extremo 
inferior da calha (vox). (Não utilizar pontos da tabela. Obter por análise gráfica). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto A 
h 
y
x 
Ponto B 
Ponto C 
g

 
Figura 1- Esquema do aparato experimental. 
 
 25
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: EQUILÍBRIO 
1. OBJETIVO: 
 Verificar experimentalmente o equilíbrio de uma partícula e o equilíbrio de um corpo rígido. 
2. INTRODUÇÃO: 
Sabe-se, pela Primeira Lei de Newton, que, se é nula a resultante de forças externas (Σ Fext) 
que atuam sobre um corpo, este permanecerá em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, configurando 
o que definimos como equilíbrio de translação. Essa Primeira Lei pode ser vista como um caso particular 
da Segunda Lei de Newton (Σ Fext = ma, onde m e a são, respectivamente, a massa e a aceleração 
translacional do corpo), pois, se Σ Fext = 0, a aceleração será nula (o corpo estará em repouso ou em 
movimento retilíneo uniforme). 
Deve-se observar que, se o corpo está sujeito a forças com componentes em três direções (eixos Ox, 
Oy e Oz), para que esteja em equilíbrio de translação deverão ser nulas simultaneamente as resultantes 
dessas componentes em cada um dos eixos, ou seja: 
Σ Fx = 0 
 Σ Fy = 0 (1ª. condição de equilíbrio) 
Σ Fz = 0 
 
Por outro lado, se o corpo é rígido e, por conseguinte, tem também possibilidade de girar em torno de um 
eixo qualquer, ele poderá estar em equilíbrio de translação, mas não em equilíbrio de rotação. Para que essas 
duas condições sejam satisfeitas, deverá ser também nula a somatória dos torques externos em relação a 
qualquer ponto O, ou seja, 
 
 Σ τext = 0 (2ª. condição de equilíbrio) 
 
Ressalte-se que o torque τO de uma força F em relação a um ponto O é definido como o produto 
vetorial da distância da força ao ponto por essa força, ou seja, τO = r x F. Assim, o vetor torque é 
perpendicular ao plano que contém os vetores r e F, sendo sua direção e seu sentido dados pela regra da mão 
direita. Quanto ao módulo do torque, pode-se, simplificadamente, calculá-lo pelo produto do módulo da 
força por seu braço, que é a distância perpendicular da linha de ação da força ao ponto. Deve-se observar, 
assim, que, caso a força externa esteja aplicada no ponto O ou tiver sua linha de ação passando por esse 
ponto, será nulo o respectivo torque em relação a esse ponto. 
3. METODOLOGIA: 
PRIMEIRA PARTE: EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA 
MATERIAL UTILIZADO: 
Quadro magnético, papel milimetrado, régua, pinos, roldanas, barbante, balança, um bloco de massa 
conhecida (mc) e dois blocos de massas desconhecidas (me e md). 
PROCEDIMENTO: 
 Passos para a realização das medidas: 
 
a) Faça, no quadro magnético, a montagem ilustrada na Figura 1, configurando uma situação de equilíbrio. 
b) Com o auxilio do papel milimetrado, obtenha os valores de cos(α), sen(α), tg(α), cos(β), sen(β) e tg(β). 
 
 
 
 
 26
M 
Centro de 
gravidade da 
barra 
Pino 
O 
θ
Papel 
milimetrado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1- Equilíbrio de partícula. 
 
ATIVIDADES: 
1) Aplicando 1ª condição de equilíbrio determine, de forma indireta, as massas desconhecidas me e md. 
(Dica: Utilize o valor conhecido de mc e os resultados das medidas feitas em b. 
2) Calcule o erro relativo percentual na determinação das massas desconhecidas. (Utilize a balança para 
obter o valor esperado das mesmas). 
3) Como, a partir dos valores experimentais obtidos para me e md, você poderia obter o valor das tensões das 
cordas da esquerda (Te) e da direita (Td)? 
SEGUNDA PARTE: EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO. 
MATERIAL UTILIZADO: 
Quadro magnético, papel milimetrado, pinos, roldana, barbante, balança, um bloco de diferentes massas, 
mola e uma barra homogênea de madeira 
PROCEDIMENTO: 
Passos para a realização das 
medidas: 
 
a) Faça, também no quadro 
magnético, a nova montagem 
ilustrada na Figura 2, 
configurando uma situação de 
equilíbrio para a barra (corpo 
rígido). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Faça um diagrama das forças que atuam sobre a barra. 
me 
mc 
md 
Papel 
milimetrado 
α β 
Figura 2- Equilíbrio de corpo rígido. 
 27
 
c) Com o auxilio do papel milimetrado, obtenha os valores do ângulo (θ) que a barra faz com a horizontal. 
 
d) Com o auxílio de uma régua ou de uma trena, obtenha os valores dos braços de alavanca dos componentes 
horizontal e vertical da força que o pino (articulação) exerce sobre a barra. Obtenha esses valores em relação 
ao ponto O indicado na Figura 2. 
 
e) Utilizando a balança obtenha os valores da massa da barra e da massa M. 
 
f) Retire o pino da articulação e, fazendo passar a extremidade de uma mola pelo furo no qual o pino se 
encontrava articulado, encontre uma posição para a mola que restabeleça a configuração de equilíbrio 
anterior. 
ATIVIDADES: 
1) Aplicando a 1ª condição de equilíbrio, determine os componentes horizontal e vertical da força resultante 
exercida pela articulação sobre a barra. A partir desses valores obtidos, escreva o vetor força resultante, 
calcule seu módulo e o ângulo φ que esse vetor força resultante faz com o eixo horizontal. 
2) Aplicando a 2ª condição de equilíbrio (calcule Σ τext em ao ponto O indicado na Figura 2), determine os 
componentes horizontal e vertical da força resultante exercidapela articulação sobre a barra. A partir desses 
valores obtidos, escreva o vetor força resultante, calcule seu módulo e o ângulo φ que esse vetor força 
resultante faz com o eixo horizontal. 
3) O vetor força exercida pela articulação sobre a barra está ao longo da barra? Justifique sua resposta. 
4) Os resultados encontrados anteriormente (módulo e direção da força da exercida pela articulação) estão de 
acordo com aqueles verificados utilizando-se a mola? Justifique sua resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 28
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: QUEDA LIVRE 
1. OBJETIVO: 
 Medir a aceleração da gravidade local a partir do estudo do movimento de uma esfera em queda 
livre. 
2. INTRODUÇÃO: 
 Ao longo do dia é muito comum observarmos o movimento de queda de objetos. Seja uma caneta 
que cai da mesa, um pingo de chuva que cai na terra ou mesmo uma folha seca que cai da árvore no inverno. 
Dessa forma, o estudo desse tipo de movimento se torna algo importante para o entendimento de processos 
tais como os exemplificados. Normalmente, num movimento de queda como esses, a força de atrito também 
influencia no movimento, entretanto, num tratamento mais simplificado, desconsiderando os efeitos desta 
força, pode-se dizer que a força peso é a responsável pela queda do objeto até o chão. Portanto, este objeto 
deve ter um movimento acelerado com aceleração igual à aceleração da gravidade, onde seu deslocamento 
vertical y , ao longo da queda, considerando o eixo y positivo de cima para baixo, será: 
2
00 2
1
attvyy  (1) 
onde 0y é a posição inicial do objeto, que pode ser considerado zero dependendo da referência escolhida, 
0v é a velocidade inicial de queda do objeto, que também pode ser considerada nula se o objeto parte do 
repouso, e a é o módulo da aceleração do objeto, que em queda livre é a própria aceleração da gravidade 
local g . Como a posição depende do tempo de queda, este é incluído como a variável t . Com essas 
considerações, temos que uma versão mais simplificada da equação acima é dada por: 
2
2
1
gty  (2) 
 Nota-se desta equação que o deslocamento de um objeto em queda livre ao longo da posição 
representada pela coordenada y aumenta com o quadrado do tempo de queda e que a constante de 
proporcionalidade está intimamente ligada à aceleração da gravidade no local da queda do objeto. 
3. METODOLOGIA: 
MATERIAL UTILIZADO: 
Dispositivo para medição de tempo, suportes, esferas e trena. 
 PROCEDIMENTOS: 
 Nesta prática deseja-se coletar dados de tempo de queda t referente à respectiva altura y da qual a 
esfera foi abandonada. 
 Passos para a realização das medidas: 
a) Disponha o equipamento como mostrado na Figura 1. Use uma esfera de 13 mm de diâmetro como o 
objeto em queda. 
b) Ajuste a altura da qual a esfera cai até a base, em 1,80m. Meça tal altura e anote o valor na Tabela 1. 
Pressione o botão RESET no medidor de tempo e libere o parafuso do disparador tal que a esfera seja 
liberada. Anote o valor de tempo medido, 1t , na Tabela 1. Repita a medida, anotando o correspondente valor 
2t . Calcule o valor médio do tempo, medt , e anote na tabela. 
 
 29
 
c) Repita o procedimento anterior para as diferentes alturas apresentadas na tabela. 
 
Esfera 
 
y (m) 
 
t1 (s) 
 
t2 (s) 
 
 
tmed (s) 
 
 
tmed
2 (s2) 
 
1,80 
1,60 
1,40 
1.20 
1,00 
0,80 
0,60 
Esfera de 
13 mm 
0,40 
 
Tabela 1: Dados coletados e calculados relativos à queda da esfera de 13mm de diâmetro. 
 
d) Repita os passos anteriores utilizando agora a esfera de 16 mm. 
 
Esfera 
 
y (m) 
 
t1 (s) 
 
t2 (s) 
 
 
tmed (s) 
 
 
tmed
2 (s2) 
 
1,80 
1,60 
1,40 
1.20 
1,00 
0,80 
0,60 
Esfera de 
16 mm 
0,40 
 
Tabela 2: Dados coletados e calculados relativos à queda da esfera de 16mm de diâmetro. 
 
ATIVIDADES: 
1) Para cada esfera, faça um gráfico de y versus tmed no papel milimetrado. Que tipo de relação prevê entre y 
e t? 
2) Linearize o gráfico relacionando, para cada esfera, y com 2medt em um outro papel milimetrado. Fazendo 
a análise pela melhor reta visual e pela regressão linear, encontre, em cada caso, o relacionamento analítico 
entre as grandezas y e 2medt . 
base 
Medidor de tempo 
Esfera no 
disparador 
 y 
Figura 1- Esquema de montagem do 
equipamento para medida do tempo de 
queda da esfera. 
 
 30
3) A partir dos gráficos linearizados, responda: 
 Qual o significado físico da interseção de cada reta com o eixo vertical ? E do respectivo 
coeficiente angular ? 
 A aceleração é constante para cada esfera? Como se conclui isso a partir dos gráficos? 
4) A partir de sua resposta anterior e dos dados obtidos, determine a aceleração da gravidade local. A 
aceleração obtida foi a mesma para cada esfera? 
5) Adotando g = (9,78 ± 0,01) m/s2como sendo o valor esperado para a aceleração da gravidade local, qual o 
erro relativo percentual obtido? 
6) Descreva o experimento e discuta sobre seus resultados. Sob que condições os resultados obtidos são 
válidos? Como os erros experimentais afetam as conclusões? Como se poderia melhorar o experimento? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: SEGUNDA LEI DE NEWTON 
1. OBJETIVO: 
 Determinar a relação existente entre a força aplicada em um corpo e a aceleração que este adquire. 
2. INTRODUÇÃO: 
 A todo momento observamos fenômenos dinâmicos ao nosso redor, como uma folha que cai no 
chão, uma pequena formiga carregando algo ou mesmo uma avalanche numa montanha coberta de neve. O 
fato de cada um destes eventos ocorrerem e gerarem diferentes efeitos sempre despertou o interesse por 
explicar estes fenômenos e entendê-los, pois desta forma, torna-se possível fazer previsões sobre cada um 
desses fenômenos. Diante deste mundo repleto de curiosidades, Isaac Newton desenvolveu uma relação para 
o estudo do movimento de objetos. A segunda lei formulada por este estudioso trata da relação existente 
entre a força aplicada sobre um corpo e a respectiva aceleração por este adquirida. Newton formulou que a 
soma de todas as forças externas aplicadas a um dado corpo é igual ao produto da massa do corpo pela sua 
aceleração, ou seja: 
amF

. (1) 
esta equação gerou grandes avanços no entendimento de diversos sistemas, pois permite calcular a força 
necessária para imprimir uma dada aceleração de módulo a , num corpo de massa m , bem como permite 
calcular a força aplicada em dado corpo de massa m , quando este tem uma dada aceleração de módulo a . 
Permitindo, assim, dimensionar diferentes sistemas antes de executá-los. 
3. METODOLOGIA: 
MATERIAL UTILIZADO: 
Detector de movimento do tipo “Photogate”, trilho de ar com um planador, polia, massas, linha, suportes. 
PROCEDIMENTO: 
Passos para a realização das medidas: 
 
a) Monte o trilho de ar de modo que este fique nivelado tal que o planador fique parado no trilho quando não 
estiver atuando forças externas. O planador não deve deslizar preferencialmente para nenhum lado. A 
distância D entre os Photogates deve se manter fixa. A Figura1 mostra o esquema da montagem. 
 
 
 
Figura1- Esquema da montagem do planador no trilho de ar. 
 
b) Meça o comprimento do planador (L), a massa do planador (mp) e a massa do suporte (ms) e anote o 
valor na tabela de dados . 
c) Monte o planador no trilho e amarre a linha tal que esta passe pela polia e prenda o suporte para as massas 
na outra extremidade. 
Photogate Photogate 
 Planador 
linha 
Polia 
Mesa 
L
Suporte 
D 
 32
d) Adicione uma massa de 100 gramas ao planador tal que esta estejam distribuídas igualmente entre um 
lado e o outro do planador (50 gramas de cada lado). Anote o valor da massa total m (massa do planador 
(mp) + massas adicionadas) na tabela de dados. 
e)Coloque uma massa de 10 gramas no suporte situado à extremidade da corda e anote o valor da massa 
total na tabela de dados como am (massa do suporte (ms) + massas adicionadas). 
f) Selecione o modo “Gate” do sensor (Photogate Timer). 
g) Escolha um ponto de partida 0x para o planador fazendo uma marca no trilho. O planador deve partir 
sempre deste mesmo ponto 0x em todos os experimentos. 
h) Pressione o botão "RESET". 
i) Tendo adicionado as massas e posicionado o planador, mantenha este firme no ponto de partida e solte-o. 
Colete os valores de tempo 1t , tempo que o planador gasta para passar pelo primeiro “Photogate” , e o tempo 
tgate. O tempo tgate pode ser obtido apertando o "READ" no controlador dos “Photogates”. Necessitaremos do 
tempo 2t , tempo que o planador gasta para passar pelo segundo “Photogate”. Este tempo é obtido da 
seguinte forma: 2t = tgate- 1t . Estas medidas devem ser repetidas três vezes. Tome o valor médio dos tempos 
obtidos de cada sensor. 
j) Tome cuidado de verificar se a linha permanece na roldana e não deixe que o planador volte no trilho após 
passar pelo segundo “Photogate”.Se isso ocorrer, refaça a medida. 
k) Selecione o modo “PULSE” do sensor (Photogate Timer). 
l) Pressione o botão "RESET". 
m) Liberando o planador do ponto 0x , meça o tempo 3t que este gasta para ir de um sensor ao outro. Repita 
esta medida três vezes e anote o valor médio. 
n) Varie a massa am mudando as massas do planador para a extremidade da corda (desta forma, a massa 
total amm será constante). Anote os valores das massas na tabela. Repita o procedimento completo de (f) a 
(m) para pelo menos cinco diferentes combinações de massas. 
 
ATIVIDADES: 
1) Na Figura 2 são ilustrados os diagramas das forças que atuam no planador e na massa suspensa na corda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura2- Esquema da diagramas das forças que atuam no planador e na massa suspensa na corda. 
 
Considere que a polia na Figura 1 tem massa desprezível e que a linha rola sem deslizar sobre a mesma. 
Partindo da equação (1) e dos diagramas ilustrado na Figura 2, mostre que: 
ammgm )( aa  , (2) 
 
 
2) Sabendo os valores médios dos tempos e o comprimento do planador, determine as o módulo das 
respectivas velocidades médias 1v ( 1v =L/ 1t ) e 2v ( 1v =L/ 2t ) do planador ao passar por cada sensor. Use a 
equação 312 /)( tvva  para determinar a o módulo da aceleração média do planador ao passar por entre 
os dois sensores. Determine, também, o módulo da força peso do suporte + massas adicionadas 
( gmP aa . onde 
2/78,9 smg  .) 
suporte + massas 
(ma) 
2T

 
)(a aPgm

 
Planador 
(m) 
1

 
gm

 
1T

 
1a

 
2a

 
 33
3) Em uma folha de papel milimetrado faça o gráfico de aF versus a. 
4) Através da melhor reta visual e da regressão linear, determine o relacionamento analítico entre aP e a. 
Qual o significado físico de a e b? Calcule o coeficiente de correlação linear (r) e discuta o significado do 
resultado obtido? 
 5) Tomando o valor de )( amm obtido na balança como sendo o valor esperado para esta grandeza, calcule 
o erro relativo percentual da prática. 
 
 
Tabela: valores de massa, tempo e valores calculados. 
 
Comprimento do planador: L =____________ metros. 
Massa do planador: mp=____________ gramas. 
Massa do suporte: ms=____________ gramas. 
m (gramas) ma (gramas) t1(s) tgate(s) t2(s) t3(s) v1 (m/s) v2 (m/s) a (m/s
2) Pa (N) 
 
 
 
 
t1m = tgatem = t2m = t3m = 
 
 
 
 
 
t1m = tgatem = t2m = t3m = 
 
 
 
 
 
t1m = tgatem = t2m = t3m = 
 
 
 
 
 
t1m = tgatem = t2m = t3m = 
 
 
 
 
 
t1m = tgatem = t2m = t3m = 
 
 
 
 
 
t1m = tgatem = t2m = t3m = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: ENERGIA MECÂNICA E MOMENTO LINEAR 
1. OBJETIVO: 
 Discutir as condições de conservação da energia mecânica e do momento linear de uma partícula. 
 Analisar experimentalmente o movimento de uma esfera, sob o ponto de vista de sua energia 
mecânica e seu momento linear. 
2. INTRODUÇÃO: 
 A palavra energia é derivada de energeia ("em ação" em grego) e sinteticamente relaciona-se à 
propriedade de um sistema que lhe permite realizar trabalho. Embora não se tenha uma definição completa 
sobre energia, seus diferentes tipos ou formas podem ser calculados e são bem caracterizados. 
 Um dos tipos importantes de energia e cujo entendimento nos permite analisar muitos fenômenos da 
natureza é a energia mecânica, definida como a soma da energia cinética com as modalidades de energia 
potencial. Em determinadas situações a energia mecânica total do sistema se conserva: nesse caso se a 
energia cinética aumenta, a energia potencial diminui da mesma quantidade, e vice-versa. Quando se fala em 
energia cinética deve-se levar em conta não só a energia cinética translacional (1) como também a energia 
cinética rotacional (2), modalidade que o sistema também possui quando gira em torno de um eixo. 
2
2mv
Ect  (1) 
2
2I
Ecr  (2) 
 Quando as forças externas que atuam sobre um sistema são chamadas de conservativas, os trabalhos 
por elas realizados não acarretam aumento tampouco diminuição da energia mecânica do sistema, mas tão 
somente a conversão de energia cinética em energia potencial, e vice-versa. A energia mecânica total do 
sistema é, portanto, conservada, nesse caso. Como exemplos típicos de forças conservativas temos a força 
gravitacional (peso), a força elástica e a força elétrica, cada uma delas associada a uma modalidade de 
energia potencial, respectivamente energia potencial gravitacional Ug, energia potencial elástica Uelast e 
energia potencial elétrica Uelet, tal que: 
mghU g  (3) 
2
2kx
U elast  (4) 
qVU elet  (5) 
 Por outro lado, existem forças que, ao realizarem trabalho sobre o sistema dissipam sua energia 
mecânica em calor. Essas forças são chamadas de forças dissipativas, sendo os exemplos característicos a 
resistência do ar e a força de atrito entre um bloco e uma superfície. 
 Existem também situações em que a força que atua sobre um sistema não é nem conservativa nem 
dissipativa. Neste caso, caso o trabalho realizado sobre essa força seja nula, a energia mecânica total do 
sistema pode aumentar ou diminuir, não sendo nesse último caso considerada dissipação. 
 Resumindo: 
 
 
 
 
 Uma outra grandeza física também muito importante é o momento linear ou quantidade de 
movimento p

, que, no caso de uma partícula, é definido como: 
vmp

 . (6) 
A energia mecânica de uma partícula só é conservada quando são conservativas 
as forças que realizam trabalho sobre ela. 
 35
Caso tenhamos não uma partícula isolada, mas um sistema de n partículas, a quantidade de movimento total 
será dada pela soma vetorial das quantidades de movimento das partículas individuais. 
 Observe que, diferentemente do caso da energia (grandeza escalar), a quantidade de movimento é 
uma grandeza vetorial, podendo ser demonstrado que, caso seja nula a resultante das forças externas que 
atuam sobre a partícula ou sistema de partículas, o correspondente momento linear total se conserva ( em 
módulo, direção e sentido). Esse princípio de conservação, que pode ser enunciado como apresentado 
abaixo, é muito importante em variadas situação da natureza (colisões de partículas macroscópicas e 
microscópicas e desintegração de nuclídeos, por exemplo). 
 
 
 Vamos, a seguir, em um exemplo típico, discutir o que ocorre com a energia mecânica e o momento 
linear de um sistema constituído por duas esferas de massas e raios iguais, designados, respectivamente, por 
m e R. 
 Considere que se abandone a primeira esfera de uma altura h (Ponto A) de uma rampa curva, ao final 
da qual se encontra uma outra esfera idêntica inicialmente em repouso (Ponto B). Após rolar sem deslizar, a 
primeira esfera colide com a outra esfera noPonto B. Após a colisão, as esferas abandonam a rampa, com 
velocidades horizontais, passando a descrever trajetórias parabólicas até chocarem no chão, atingindo 
alcances horizontais x1 e x2, como ilustrado na Figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para melhor análise, vamos dividir o fenômeno em três etapas: antes da colisão (1a etapa) , a colisão 
propriamente dita (2a etapa), e após a colisão (3a etapa). 
1a Etapa: 
 Como a primeira esfera rola sem deslizar durante a descida da rampa, e desprezando-se a resistência 
do ar, conclui-se que a única força que realiza trabalho sobre ela é o seu peso. Como essa força é 
conservativa, a energia mecânica do sistema constituída pelas das esferas se conserva nessa etapa, ocorrendo 
tão somente a transformação da energia potencial gravitacional da primeira esfera em energia cinética (de 
translação do centro de massa e de rotação em torno do eixo que passa por esse ponto). 
 Aplicando-se o princípio de conservação da energia mecânica, e lembrando que o momento de 
inércia da esfera é 2mR2/5, em relação ao eixo que passa por seu centro de massa, pode-se escrever que, 
imediatamente antes da colisão, a velocidade vcm do centro de massa da primeira esfera será: 
7
10gh
vcm  . (7) 
Note que, nessa etapa, a quantidade de movimento do sistema não se conserva, pois a primeira esfera está 
sujeita a força resultante não-nula. 
Se é nula a resultante das forças externas que atuam sobre um sistema em um processo, 
sua quantidade de movimento total se conserva (em módulo, direção e sentido). 
h 
H 
x2
x1
Ponto A 
Ponto B 
Figura 1- Esquema do aparato 
experimental. 
 
 36
2a Etapa: 
 Pode ser demonstrado que, pelo fato de serem diferentes os alcances horizontais após a colisão, a 
colisão é inelástica, com perda de energia mecânica do sistema na colisão ( em forma de calor, som, etc.). 
 Por outro lado, a quantidade de movimento total das duas esferas se conserva, pois durante a colisão 
é nula a resultante das forças externas (peso, normal e a força que uma esfera exerce sobre a outra) sobre as 
duas esferas. Assim, e considerando-se v'1 e v
'
2 os módulos das velocidades (horizontais) das esferas projétil e 
alvo, imediatamente após a colisão, respectivamente, pode-se escrever: 
'
2
'
17
10
mvmv
gh
m  . (8) 
3a Etapa: 
 Após a colisão, a energia mecânica do sistema volta a se conservar pois a resistência do ar é 
desprezível e novamente a única força que realiza trabalho é o peso de cada esfera. 
 Como a componente horizontal da velocidade de cada esfera se manterá constante, as esferas passa a 
descrever movimentos parabólicos após a colisão. Assim, são seguintes as relações entre v'1 e v
'
2 e os 
respectivos alcances x1 e x2, onde tq é o tempo de queda: 
qt
x
v 1'1  (9) 
qt
x
v 2'2  (10) 
 Observe que tq é o mesmo para as duas esferas, já que ambas percorrem a mesma distância vertical. 
Substituindo essas equações na relação decorrente da aplicação da conservação do momento linear, e 
observando que tq é constante, pois H é fixa e o mesmo para as duas esferas, obtém-se: 
'
2
'
2
2
1
7
10
mvv
x
x
m
gh
m 





 (11) 












 1
7
10
2
12
x
x
t
xgh
q
 (12) 
 A relação entre o tempo de queda tq e a altura H pode, por outro lado, ser obtida da equação horária 
do movimento vertical (queda livre). 
2
2
qgtH  , (13) 
onde g é o módulo da aceleração da gravidade local. 
 Substituindo essa relação na equação anterior, obtém-se: 
 22120
7
xx
H
h 




 (14) 
donde se conclui que a altura h é proporcional ao quadrado da sma dos alcances horizontais das esferas, ou 
seja: 
 221 xxkh  (15) 
onde k=(7/20H). 
 
3. METODOLOGIA: 
MATERIAL UTILIZADO: 
Plataforma de lançamento de projéteis,duas esferas de massas e raios aproximadamente iguais, trena 
milimetrada com nível, linha de prumo, formulário contínuo com papel carbono. 
 
 37
PROCEDIMENTOS: 
 Passos para a realização das medidas: 
a) Faça uma montagem similar à ilustrada da Figura 1, fixando a altura H em torno de 1, 50 m. 
b) Nivele a plataforma e, com a linha de prumo, registre no piso a referência a partir da qual serão medidos 
os alcances horizontais ilustrados na Figura 1. 
c) Disponha no piso folha(s) de formulário contínuo com carbono para registrar as alcances horizontais das 
duas esferas após a colisão. 
d) Coloque uma esfera em repouso ao fim da parte plana da plataforma. 
e) Abandone a outra esfera na outra extremidade da plataforma, a uma altura h  0, 45 m em relação ao nível 
inferior, e, após a colisão das esferas, meça os alcances horizontais x1 e x2. Obtenha uma média dessas 
medidas, a partir de três repetições. 
f) Repita o procedimento anterior para diferentes alturas (h  0, 05 m), completando a tabela abaixo: 
 
 
h (m) x1 (m) x2 (m) (x1 + x2) (m) (x1 + x2)
2 (m2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1: Dados coletados e calculados. 
ATIVIDADES: 
1) Construa o gráfico h versus (x1 + x2). 
2) Linearize o gráfico e obtenha os respectivos parâmetros angular e linear, bem como o coeficiente de 
correlação linear r. Lembre-se que, neste caso y = h e x = (x1 + x2)
2. 
3) Discuta o relacionamento analítico entre h e (x1 + x2). 
4) Baseado(a) nos resultados experimentais, responda: a energia mecânica e o momento linear se conservam 
durante o fenômeno observado? Por que? 
5) Faça comentários sobre a metodologia utilizada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: OSCILAÇÕES 
1. OBJETIVO: 
 Observar experimentalmente e discutir alguns fenômenos oscilatórios 
2. INTRODUÇÃO: 
 Na natureza há um grande número de processos que se repetem em intervalos de tempo iguais. São 
os chamados fenômenos periódicos, entre os quais podem ser citados o movimento de um pêndulo, a 
oscilação de um massa suspensa em uma mola e a vibração de uma corda. Embora se diferenciem, a natureza 
destas oscilações é bastante análoga as formulações matemáticas utilizadas para descrevê-la. Uma grandeza 
física fundamental para a análise de todos esses fenômenos é o período T, definido como o tempo 
correspondente a uma oscilação completa. Já ao número de oscilações efetuadas por unidade de tempo 
denominamos frequência f, sendo a relação entre essas grandezas 
T
f
1
 . (1) 
 Se o período é expresso em segundos (s), a frequência deverá ser expressa em s-1 ou hz (hertz). Pode-
se demonstrar que, na ausência de atritos, o período de uma massa m que oscila verticalmente na 
extremidade de uma mola de constante elástica k é dado por: 
k
m
T 2 . (2) 
 Por outro lado, no caso de uma massa m oscilando na extremidade de um fio de comprimento L 
numa região onde a aceleração gravitacional é g, o período de oscilação, também na ausência de efeitos 
dissipativos, será: 
 


































 ......
24
3
2
1
22
1
12 4
2
2
2
2
2
mm sensen
g
L
T

 , (3) 
 
onde θm é o deslocamento angular máximo da massa (amplitude de oscilação). Pode-se então concluir que, 
no caso da oscilação de um pêndulo com amplitude inferior a 15º, os termos senoidais são muito pequenos, 
sendo o período dependente praticamente apenas do comprimento L e da aceleração gravitacional g, isto é: 
g
L
T 2 . (4) 
 
 Cada um desses osciladores, conjunto bloco-mola e pêndulo simples (este no caso de pequenas 
amplitudes) apresentam, portanto, uma única frequência natural, podendo ressonar (entrar em ressonância) 
com um agente externo que atue sobre o sistema com uma frequência igual ou muito próxima da respectiva 
frequência natural. Como pode ser demonstrado, esse fenômeno (ressonância) é caracterizado pela 
otimização de transferência de energia (do agente externo para o sistema oscilante), ocasionando uma 
significativa elevação na amplitude de oscilação. 
 Diferentemente dos dois sistemas acimacitados, uma corda vibrante apresenta, não uma única 
frequência natural, mas sim n frequências naturais, podendo, assim, o fenômeno de ressonância ser 
observado, nesse caso, para diferentes frequências de um agente externo. Senão, vejamos: 
 Suponha uma onda transversal se propagando numa corda de comprimento L, densidade linear μ e 
submetida à tensão F. Para que essa corda entre em ressonância com um agente externo, configurando-se 
uma nítida onda estacionária (com nós nas extremidades e ventres de amplitude significativa), como 
ilustrado na Figura 1, o comprimento L tem que conter um número inteiro de meios comprimentos de onda 
(L = n λ/2) e a frequência do agente externo tem que coincidir ou ser bem próxima de uma das frequências 
naturais da corda vibrante 
. 
 39
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1- Onda estacionária em uma corda. Imagem modificada extraída do livro Physics For Scientists And Engineers 
6Th Ed. 
 
 Assim, e lembrando que v = λ f, onde v é a velocidade da onda na corda, as frequências naturais da 
corda serão: 
v
L
n
fnaturais 





2
 n=1, 2, 3, 4, .... (5) 
 
 Como se sabe que a velocidade de propagação de uma onda numa corda v pode ser obtida também a 
partir de sua tensão e densidade linear, v = (F/μ)1/2, as frequências naturais da corda em função dessas 
características físicas da corda serão dadas por: 













F
L
n
fnaturais 2
. (6) 
 
Assim, se o agente externo (por exemplo, um vibrador colocado a oscilar em uma das extremidades da 
corda) vibrar com uma frequência que seja muito próxima de uma dessas frequências naturais da corda, esta 
entrará em ressonância com esse agente, passando a oscilar com significativa amplitude. 
3. METODOLOGIA: 
PRIMEIRA PARTE: PÊNDULO SIMPLES 
MATERIAL UITLIZADO: 
Barbante, uma massa de 20 g e uma massa de 100 g, cronômetro e trena milimetrada. 
PROCEDIMENTO: 
 Passos para a realização das medidas: 
 
a) Amarre a massa de 20 g na extremidade de um barbante de 1,60 m de comprimento, fixando a outra 
extremidade no teto, de tal forma que esse pêndulo simples oscile num plano vertical. 
b) Afaste lateralmente a massa formando um ângulo menor que 15º com a vertical e abandone a massa. 
Após abandoná-la, meça o tempo correspondente a 10(dez) oscilações completas. Determine o período 
médio desse pêndulo. (T = tempo das 10 (dez) oscilações completas/10). 
 
 
c) Reduza o comprimento do barbante a um quarto do valor original e repita o procedimento.Qual a razão 
entre os períodos obtidos ? Qual seria a razão esperada ? 
 
 
d) Repita a oscilação do pêndulo mais comprido, agora com a massa de 100 g suspensa. Houve alteração no 
período anteriormente obtido ? 
 
/2 
T0,40 m= 
T1,60 m (100 g)= 
T1,60 m (20 g)= 
 40
 
e) Com a montagem do item anterior, obtenha o período para diferentes amplitudes de oscilações. Utilize 
amplitudes maiores que 15º, como por exemplo, 50º e 80º. 
 
 
 
f) Discuta a dependência do período de um pêndulo com a amplitude de oscilação. 
ATIVIDADES: 
1) A partir das atividades realizadas na primeira parte preencha o quadro abaixo: 
Atividades Relato e explicação do fenômeno observado 
1 Medição dos períodos de pêndulos simples 
de massa 20 g e comprimentos L e L/4. 
 
2 Medição dos períodos de pêndulos simples 
de comprimento L e massas de 20g e 100 g. 
 
3 Medição do período de um pêndulo simples 
de massa 100 g e com amplitudes variadas. 
 
SEGUNDA PARTE: SISTEMA MASSA-MOLA 
MATERIAL UTIILIZADO: 
Massas variadas, barbante, molas com diferentes constantes elásticas, tripés, hastes e cronômetro. 
PROCEDIMENTO: 
 Passos para a realização das medidas: 
 
a) Disponha uma massa (m1) na extremidade de uma mola (k1), fixando a outra extremidade da mola no 
arranjo formado com os tripés, hastes e barbantes, como indicado na Figura 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Faça o sistema massa-mola oscilar ao longo dessa direção vertical e, medindo o tempo correspondente a 
10(dez) oscilações completas, determine o respectivo período médio. Compare esse resultado obtido com o 
valor esperado. 
b) Repita o procedimento anterior, para uma massa diferente da anterior (m2), discutindo a dependência do 
período desse sistema com a massa suspensa. 
 
 
 
c) Repita o procedimento realizado em (a) trocando a mola por uma com constante elástica diferente (k2). 
Discuta a dependência do período desse sistema com o valor da constante elástica da mola. 
 
 
Figura 2- Montagem experimental para a 
medida do período de oscilação da mola. 
m1 
k1 
m1= 100,0 gramas k1= 10 N/m 
Tteórico= Tmedido= 
m2= 50,0 gramas k1= 10 N/m 
Tteórico= Tmedido= 
m1= 100,0 g k2= 20 N/m 
Tteórico= Tmedido= 
T1 = T2 = 
 41
d) Com a montagem do item (a), obtenha o período de oscilação da mola para diferentes amplitudes de 
oscilações. 
ATIVIDADES: 
1) A partir das atividades realizadas na segunda parte preencha o quadro abaixo: 
Atividades Relato e explicação do fenômeno observado 
1 Medição dos períodos de um sistema massa-
mola de constante elástica k1 e massas m1 e m2. 
 
2 Medição dos períodos de sistemas massa-mola 
de massa m1 e constantes elásticas k1 e k2. 
 
3 Medição dos períodos de um sistemas massa-
mola de massa m1, constantes elásticas k1 e 
amplitudes variadas. 
 
TERCEIRA PARTE: RESSONÂNCIA 
MATERIAL UTILIZADO: 
Massas variadas, barbante, molas com diferentes constantes elásticas, tripés e hastes. 
PROCEDIMENTO: 
Passos para a realização das medidas: 
 
a) Faça a montagem abaixo, ligando as extremidades dos 4 pêndulos simples a um barbante bem esticado e 
disposto horizontalmente, como ilustrado na Figura 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo apenas um dos pêndulos oscilar, os outro(s) passam também a oscilar com amplitude significativa ? 
Repita o procedimento para a oscilação inicial de outro pêndulo e explique o fenômeno observado. 
 
b) Substitua agora os pêndulos simples por 4 conjuntos massa-mola, como ilustrado abaixo na Figura 4. 
Fazendo apenas um dos conjuntos oscilar, os outro(s) passam também a oscilar com amplitude significativa? 
Repita o procedimento para a oscilação inicial de outro conjunto e explique o fenômeno observado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tamplitude 1= Tamplitude 2= 
Quais pêndulos possuem a mesma frequência de 
oscilação? (Obs: L1=L3) 
Quais sistemas massa-mola possuem a mesma 
frequência natural de oscilação? 
Figura 3 – Pêndulos simples 
10 g 
10 g 
20 g 
20 g 
L1 L3 
L2 L4 
 1 2 3 4 
1 2 3 4 
 
Figura 4 – Osciladores massa-mola 
10 g 
ka 
10 g 
kb 
10 g 
ka 
10 g 
kb 
 42
Vibrador 
ATIVIDADES: 
1) A partir das atividades realizadas na terceira parte preencha o quadro abaixo: 
Atividades Relato e explicação do fenômeno observado 
1 Perturbação de um pêndulo simples em um 
conjunto de quatro pêndulos de comprimentos e 
massas variados. 
 
2 Perturbação de um sistema massa-mola em um 
conjunto de quatro conjuntos de massas e 
constantes elásticas variada. 
 
 
QUARTA PARTE: CORDA VIBRANTE 
MATERIAL UTILIZADO: 
Barbante de densidade linear conhecida, massas variadas, tripés e hastes, roldana com suporte e 
estroboscópio. 
PROCEDIMENTO: 
Passos para a realização das medidas: 
 
a) Ligue um barbante de comprimento L e densidade linear μ a outro barbante de mesmo comprimento e 
densidade linear quatro vezes maior (4μ). 
b) Disponha o conjunto horizontalmente, com uma extremidade ligada ao vibrador e a outra ligada a uma 
massa, de forma a obter, com a oscilação do vibrador, ondas estacionárias nos barbantes, como ilustrado na 
Figura 5. 
c) Faça o vibrador oscilar e, ajustando a massa m da outra extremidade, obtenha uma onda estacionária (2º 
harmônico) no barbante de densidade linear μ. Nesse caso, qual foi o harmônico obtido no segundo 
barbante? Esse resultado coincidiu com o esperado? Explique. 
d) Explique o fenômeno de ressonância observado, utilizando, inclusive, o estroboscópio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 – Ondas estacionárias em cordas de diferentes densidadeslineares 
 
L, 4 L,  
M 
 43
ATIVIDADES: 
1) A partir das atividades realizadas na quarta parte preencha o quadro abaixo: 
Atividades Relato e explicação do fenômeno observado 
1 Conexão de dois barbantes (o primeiro de 
comprimento L e densidade linear  e o segundo 
de comprimento L e densidade linear 4) e 
conexão da extremidade do primeiro barbante a 
um vibrador e da extremidade do segundo 
barbante a uma massa suspensa. 
 
2 Incidência de luz estroboscópica ao sistema da 
atividade quatro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 44
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON 
1. OBJETIVO: 
 Verificar experimentalmente a Lei de resfriamento de Newton. 
2. INTRODUÇÃO: 
 A Lei de resfriamento de Newton estabelece que a taxa de variação da temperatura de um fluido é 
proporcional à diferença entre as temperaturas do sistema e do meio em que se encontra. Supondo que tal 
fluido à uma temperatura uniforme T se encontre em um ambiente cuja temperatura seja Ta, sendo T  Ta, 
podemos escrever: 
   aa TTkdt
dT
TT
dt
dT
 . (1) 
 Resolvendo esta equação diferencial, obtém-se: 
kt
aa eTTTT
 )( 0 (2) 
onde k=hA/C; A=área da seção reta, C= capacidade térmica e h= coeficiente de película (que depende das 
propriedades físicas do fluido, da forma, natureza e rugosidade da superfície e do tipo de escoamento). 
 Fazendo, aTTT  e aTTT  00 tem-se: 
kteTT  0 . (3) 
3. METODOLOGIA: 
MATERIAL UTILIZADO: 
Ebulidor, dois beckers com diferentes áreas de seção reta (A1 e A2), vasilhames de isopor, termômetros e 
cronômetro ou relógio. 
PROCEDIMENTO: 
 Passos para a realização das medidas: 
 
a) Meça a temperatura ambiente. Ta = ( )
 0C. 
b) Aqueça a água até aproximadamente 800C, transportando cerca de 250 ml para cada um dos beckers. 
c) Coloque os beckers no vasilhame de isopor para evitar perdas de calor por condução através das paredes 
de vidro. 
c) Meça a temperatura da água em cada um dos beckers. Esta temperatura será considerada a temperatura 
inicial T0. 
e) A partir desse instante, meça a temperatura da água nos instantes estabelecidos e complete a tabela abaixo. 
 
t(min) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 50 60 
A1 T (0C) 
A2 
A1 T (0C) 
A2 
ATIVIDADES: 
1) Construa, em uma mesma folha de papel milimetrado, o gráfico T versus t para os dois beckers (A1 e A2). 
Faça uma legenda indicando de forma clara qual medida corresponde a cada becker. 
2) Construa, em uma mesma folha de papel mono-log, o gráfico linearizado de log T versus t para os dois 
beckers (A1 e A2). 
Obs: Para linearizar a curva aplicamos a função log na equação (3) e obtemos a seguinte relação: 
 45
0log)log(log TtekT  . 
3) Através da melhor reta visual e da regressão linear, determine o relacionamento analítico entre T e t. 
Para isso, encontre os valores de k e  T0. Trace a reta da regressão linear. 
4) Tomando o valor de T0 esperado como aquele medido com o termômetro no tempo zero (ver tabela), 
calcule o erro relativo percentual obtido no experimento. Discuta sobre as possíveis fontes de erros. 
5) Calcule o coeficiente de correlação linear (r) entre log  T e t e discuta o significado do resultado obtido. 
6) Discuta os valores de k obtidos nos beckers de diferentes áreas de seção reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 46
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: MÁQUINAS TÉRMICAS 
1. OBJETIVO: 
 Verificação do princípio básico de funcionamento de máquinas térmicas. 
2. INTRODUÇÃO: 
 Quando um fluido passa de uma situação inicial i para uma situação final f, caracterizadas, 
respectivamente, pelas coordenadas termodinâmicas (P
i
, V
i
, T
i
) e (P
f
, V
f
, T
f
), o trabalho W realizado por ele 
(ou sobre ele) é dado pela equação: 
 PdVW (1) 
 Assim, o trabalho realizado depende não apenas dos estados inicial e final, mas também dos estados 
intermediários, isto é, do caminho seguido pelo sistema durante os processos ocorridos. 
 Num diagrama PV, esse trabalho pode ser determinado a partir da área sob a curva. Caso o processo 
seja cíclico, no entanto, quando são coincidentes as situações final e inicial, o trabalho total realizado é 
representado pela área interna entre as curvas correspondentes à expansão e compressão do fluido. 
 A Primeira Lei da Termodinâmica estabelece uma relação entre o trabalho realizado e a 
quantidade de calor envolvida em um processo: 
 
“Em toda transformação entre calor e trabalho, a quantidade de calor entregue ao sistema é igual ao 
trabalho realizado por ele, somado à variação de energia interna do mesmo.” 
 
 Este princípio não faz restrições quando a possibilidade de conversão entre dois tipos de energia. 
Verificou-se que, na natureza, a transformação de energia mecânica em térmica pode ser realizada 
integralmente, sem dificuldades. No entanto, a transformação inversa, do calor em trabalho, que muito mais 
interessa ao homem, sob o ponto de vista utilitário, não é totalmente possível. Esta observação é 
consubstanciada no que chamamos de Segunda Lei da Termodinâmica: 
 
“Para transformar calor em trabalho, por meio de um processo cíclico, são necessárias duas fontes de 
calor em temperaturas diferentes. A fonte em temperatura mais elevada é dita quente e a outra, fria. A fonte 
quente cede calor e a fonte fria recebe calor. A diferença entre estas duas quantidades de calor é convertida 
em trabalho.” 
 
 A transformação de calor em trabalho é feita por meio de máquinas térmicas que trabalham em 
transformações cíclicas. A Figura 1 ilustra o princípio geral de funcionamento de uma máquina térmica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Transformação de trabalho em calor. 
FONTE QUENTE 
FONTE FRIA 
Q2 
Q1 
W = Q2- Q1 (TRABALHO ÚTIL) 
 47
Exemplos típicos dessas máquinas são os motores térmicos de combustão externa ou interna, 
dependendo se o calor é obtido pela máquina de uma fonte externa ou interna, respectivamente. 
 A seguir discutiremos o princípio básico de funcionamento de um motor de combustão externa 
(máquina a vapor) e dois motores de combustão interna (motores a gasolina e Diesel). 
 
2.1 MÁQUINA A VAPOR 
 
 Consiste de 4 partes fundamentais: a caldeira, o cilindro, o distribuidor de vapor, o aparelho de 
transmissão e alguns órgãos acessórios. 
 A caldeira é um reservatório que contém a água a ser aquecida para produzir vapor. O vapor que se 
forma na caldeira passa por meio de tubos ao cilindro, de paredes resistentes, onde se desloca o êmbolo. 
Dependendo de como o vapor age sobre o êmbolo, as máquinas a vapor se classificam em máquinas de 
simples efeito e máquinas de duplo efeito. 
 As máquinas de simples efeito são aquelas em que o vapor age sempre do mesmo lado do êmbolo, 
enquanto que o outro está em contato com a atmosfera. Já nas máquinas de duplo efeito, o êmbolo recebe, 
alternadamente, vapor pelas duas faces; e para que isso aconteça, existe o aparelho de distribuição de vapor. 
Já a conversão do movimento de vaivém do êmbolo em movimento circular é feita pelos órgãos 
transmissores (sistema biela-manivela). O vapor que sai, depois de ter realizado o trabalho, o faz entrando 
em contato direto com a atmosfera (caso das locomotivas) ou é canalizado a um compartimento 
(condensador) que funciona segundo o princípio da parede fria. A partir da utilização do condensador, além 
de aumentar o rendimento da máquina consegue-se o reaproveitamento da água condensada, já a uma 
temperatura considerável 
 
2.2 MOTOR A DIESEL A 4 TEMPOS 
 
 O órgão essencial é um cilindro, em que existem duas aberturas, ambas na parte superior (Figura 2). 
Estas aberturas são munidas de válvulas que abrem automaticamente, no momento oportuno, por serem 
ligadas a um eixo excêntrico (comando de válvulas). Por umadelas é admitido o ar atmosférico e pela outra, 
saem os gases queimados, produzidos pela combustão. Entre as válvulas está instalado um dispositivo 
denominado injetor que alimenta o motor. 
 
1o tempo (Admissão do ar) 
 
É representada pela linha isóbara (a-b) à pressão atmosférica ilustrada na Figura 3. O êmbolo, parte da 
posição mais elevada no interior do cilindro, denominada ponto morto superior PMS (Vi), com a válvula de 
admissão aberta. Dirige-se para a parte mais baixa de seu percurso (Vf) denominada de ponto morto inferior 
PMI. Durante este tempo, o ar (somente ar) penetra no cilindro, em conseqüência da depressão inicial, 
produzida neste pelo movimento do êmbolo. É suposto que durante a admissão, a pressão, no interior do 
cilindro, se mantém, constantemente, igual à pressão atmosférica. Esta etapa está ilustrada na Figura 2 (a). 
 Quando o êmbolo atinge o PMI (Vf), fecha-se a válvula de admissão, terminando assim o “1
o 
tempo”. 
A linha ab que representa este primeiro tempo (admissão) é no diagrama teórico a linha de igual pressão ou 
isóbara ab. 
 
2o
 
tempo (Compressão do ar) 
 
É representada pela linha adiabática bc ilustrada na Figura 3. Nesse tempo, com as duas válvulas 
fechadas, o êmbolo volta do PMI ao PMS, comprimindo o ar, como ilustrado na Figura 2 (b). O volume 
ocupado pelos gases no fim do primeiro tempo era V. No fim do 2o
 
tempo, este volume fica reduzido ao 
volume Vi
 
da câmara de combustão. A mistura foi então comprimida; esta diminuição de volume provoca o 
aumento de pressão. A energia dependida nesta compressão, traduz-se num aumento de temperatura do ar 
comprimido. 
A pressão, no fim da compressão, é da ordem de 30kgf/cm2 a 40kgf/cm2 e a temperatura do ar é da 
ordem de 500 0C a 700 0C. Supõe-se teoricamente que esta compressão é efetuada sem trocas de calor entre o 
ar comprimido e as paredes do cilindro, como se esta fosse completamente impermeável ao calor. Nessas 
condições, esta variação simultânea do volume-pressão-temperatura (curva bc do diagrama) é chamada 
transformação adiabática. 
 
 
 48
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Esquema de funcionamento do Motor a Diesel a 4 tempos. 
 
 
3o tempo (Combustão e expansão) 
 
É representada pela linhas isóbara cd e adiabática de ilustradas na Figura 3. Quando o êmbolo atinge o 
ponto c no fim do segundo tempo, o combustível é injetado, como mostrado na Figura 2(c), dentro do 
cilindro durante uma fração do curso onde o ar está com uma pressão alta e temperatura de 500 0C a 700 0C. 
Em consequência desta alta temperatura, o combustível inflama-se gradualmente à medida que é injetado 
dentro do cilindro. 
INJETOR 
CILINDRO EIX0-MANIVELA 
VÁLVULA DE ADMISSÃO 
VÁLVULA DE ESCAPE 
1O TEMPO
CILINDRO EIX0-MANIVELA 
VÁLVULA DE ADMISSÃO 
VÁLVULA DE ESCAPE 
2O TEMPO
CILINDRO EIX0-MANIVELA 
VÁLVULA DE ADMISSÃO 
VÁLVULA DE ESCAPE 
3O TEMPO
CILINDRO EIX0-MANIVELA 
VÁLVULA DE ADMISSÃO 
VÁLVULA DE ESCAPE 
4O TEMPO
(a) Admissão 
(b) Compressão 
(c) Explosão 
 Tempo motor 
 Trabalho útil 
(c) Escapamento 
 
INJETOR 
INJETOR 
INJETOR 
 49
Admite-se teoricamente que, durante este tempo, que corresponde a uma fração do curso, a pressão 
mantêm-se constante (P1). Esta fração do curso é representada pela isóbara cd: esta é a razão pela qual 
dizemos que o ciclo Diesel é a pressão constante. 
Os gases queimados numa reação exotérmica, com a pressão P1, expandem-se adiabaticamente (curva 
dc), impelindo o êmbolo do PMS ao PMI. Este é o “tempo motor” do ciclo quando se produz o trabalho. 
Os gases expandem-se até o PMI. Devido à necessidade de limitação do curso, no PMI os gases apesar 
de estarem ainda com uma pressão apreciável P2, não são aproveitados até atingirem o valor da Patm
 
o que 
traz como conseqüência uma perda de área do diagrama (parte rachurada da figura). 
 
4o tempo (Escapamento) 
 
Linha representativa ba (isocórica) da Figura 3. No fim do tempo de expansão (PMI) abra-se a válvula 
de escapamento, como ilustrado na Figura 2 (d). A pressão baixa bruscamente de P2
 
a Patm
 
segundo a 
isocórica eb. 
Do PMI ao PMS o êmbolo impele para o exterior os gases queimados. Teoricamente, durante o 
escapamento, a pressão dos gases no cilindro se mantém igual à pressão atmosférica Patm
 , 
ou seja, a isóbara 
ba. 
 Como podemos ver, a cada curso do êmbolo corresponde um giro de 180
o 
do eixo-manivela. Como 
para o ciclo completo necessitamos de quatro cursos, concluímos que cada ciclo do motor a quatro tempos 
corresponde a 7200 ou duas rotações do eixo-manivela. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3– Diagrama dos 4 tempos de um motor a Diesel. 
 
 
2.3 MOTOR A GASOLINA A 4 TEMPOS 
 
 Conforme podemos constatar pelo gráfico ilustrado na Figura 4, o motor a gasolina obedece ao 
mesmo princípio do motor a Diesel, portanto cada tempo corresponde a um percurso do êmbolo. Entretanto, 
enquanto no motor a Diesel a explosão se dá a pressão constante, no motor a gasolina, considerando-se a 
inflamação instantânea, que se dá a volume constante (isocórica cd). Além disso, n motor a gasolina, no 10 
tempo admite-se a mistura ar + gasolina, diferente do motor a Diesel que admite somente ar. 
 A maior diferença porém, além do combustível, reside no fato do injetor do motor Diesel ser 
substituído por uma vela que larga uma centelha, fornecida por um circuito elétrico, que inflama a mistura 
comprimida de gasolina e ar (3o
 
tempo). 
 
 50
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4– Diagrama dos 4 tempos de um motor a gasolina. 
2.4 REFRIGERADORES 
 
 Outro tipo de máquinas térmicas são as máquinas frigoríficas, que retiram calor de um recinto que se 
deseja manter a temperatura baixa e devolvem calor ao ambiente. 
 O refrigerador, em geral, consegue um abaixamento de temperatura pela evaporação de um gás 
liquefeito e compõe-se de três partes fundamentais: o compressor, o condensador e o evaporador, 
representados na Figura 5 (a). 
 
Figura 5- (a) Ciclo de um refrigerador. (b) Como os elementos são arranjados em um refrigerador. Imagem extraída 
da referência: Sears and Zemansky´s. University Physics. 12th edition. 
 
 O compressor é constituído pela bomba aspirante-premente. Quando funciona, o movimento de 
vaivém do êmbolo abre e fecha as válvulas. Quando se aproxima das válvulas, fecha-se uma e abre-se a outra 
que leva o gás sob contínua pressão (daí o nome de compressor) a uma serpentina. Essa serpentina se 
encontra num recipiente onde circula a água. O gás entrando em contato com a serpentina fria e ainda sendo 
comprimido pelo êmbolo se condensa; por isso o compartimento é denominado condensador. Sabemos que a 
condensação do gás se realiza com liberação de calor, que nesse caso, será absorvido pela água que circula 
no recipiente. Do condensador, o gás liquefeito passa através do regulador (válvula de expansão) a uma outra 
 51
serpentina, contida num outro recipiente, onde na parte superior se colocam os vasos de água a solidificar. O 
gás liquefeito penetra na serpentina do recipiente devido à aspiração efetuada pelo êmbolo do compressor. 
As contínuas sucções diminuem a pressão na serpentina e o gás liquefeito vaporiza-se; por esse motivo este 
compartimento recebe o nome de evaporador. 
 A evaporação do gás se efetua com absorção do calor que é retirado do líquido em que está em 
contato com a serpentina. Esse líquido é constituído por misturas ditas incongeláveis, por se solidificarem a 
temperaturas baixas. A mistura incongelável, por sua vez, subtrai calor da água contida nos reservatórios e 
cuja temperatura vai gradativamente diminuindo até chegar a 0o C aonde inicia então a solidificação. O gás 
penetra no compressor através da válvula da esquerda e é novamente comprimido no evaporador pela válvula 
da direita, repetindo o ciclo. 
 Os gases que se empregam nas máquinas frigoríficas devem ser tais que necessitem depressões 
relativamente baixas, também em temperaturas ordinárias, para passarem do estado de vapor ao estado 
líquido. Como exemplos, podem ser citados o freon e a amônia, gases que se liquefazem à temperatura de 
20 oC sob pressões de 6 atmosferas e 8 atmosferas, respectivamente. Como se sabe, as geladeiras domésticas 
possuem o condensador constituído de uma serpentina que passa através de lâminas metálicas paralelas e 
equidistantes ou então através de arame formando uma tela metálica sem necessidade de circulação de água. 
Por que ? 
 
3. METODOLOGIA: 
MATERIAL UTILIZADO: 
Protótipos de máquina a vapor, de motores de 4 tempos, caldeira, balão de fundo chato, fonte de calor. 
PROCEDIMENTOS: 
a) Ligue a caldeira do protótipo da máquina de vapor e analise o funcionamento básico desse dispositivo, 
particularmente no que concerne às transformações de energia ocorridas. Sintetize suas observações e 
conclusões. 
b) Manuseie o protótipo do motor (4 tempos) e sintetize suas observações acerca do princípio básico de 
funcionamento dessa máquina, identificando com clareza os ciclos. 
c) Acompanhe a demonstração do professor relativa à ebulição da água à temperatura abaixo de 100oC. 
Discuta abaixo o observado e sua relação com o que ocorre numa etapa do ciclo de um refrigerador. Com 
base na demonstração feita em sala com o balão de fundo chato, analise o princípio básico de funcionamento 
do refrigerador. 
ATIVIDADES: 
1) Faça uma síntese sobre o princípio de funcionamento de cada uma das máquinas térmicas estudadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 52
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: CONDUTIVIDADE TÉRMICA 
1. OBJETIVO: 
 Estudar o processo de condução de calor ao longo de uma barra metálica e determinar o coeficiente 
de condutividade térmica do metal. 
2. INTRODUÇÃO: 
 As moléculas de um sólido vibram em torno de sua posição de equilíbrio, qualquer que seja a 
temperatura do corpo. Quando um fluxo de calor se propaga ao longo do corpo, as moléculas passam a 
oscilar com maior amplitude de vibração, até cederem a energia recebida às moléculas vizinhas, que, por sua 
vez, procederão da mesma forma. Assim, a energia (o calor) se propaga através do sólido sem arraste de 
matéria. 
 A Figura 1 ilustra um condutivômetro básico, constituído de um sólido cujas extremidades se 
encontram em contato com duas fontes a diferentes temperaturas T1 e T2, tal que T2 > T1. Sendo a barra 
metálica isolada termicamente do ambiente, em decorrência dessa diferença de temperatura haverá uma 
transferência de calor predominantemente longitudinal (da fonte quente para a fonte fria). 
 
Figura 1- Condutivômetro básico. 
 
De acordo com a Lei de Fourier apresentada a seguir, a taxa de transferência de calor (H = dQ / dt) 
ao longo de uma espessura infinitesimal (dx) do condutor é dada por 
dx
dT
KA
dt
dQ
 
onde A é a área da secção reta do condutor, dT/dx o gradiente de temperatura e K a condutividade térmica do 
material, importantíssima propriedade física. Como se nota na situação acima ilustrada, o gradiente de 
temperatura é negativo e o calor se transmite da região de temperatura mais alta para a mais baixa, ou seja, 
no sentido positivo. O sinal negativo na equação se justifica então pelo fato de o gradiente de temperatura 
ter sempre o sinal oposto do fluxo de calor. 
Ao analisar o comportamento de uma camada da barra condutora ao longo do tempo em que o calor 
flui entre as duas fontes, observa-se que sua temperatura vai aumentando até que finalmente se estabiliza, 
situação a partir da qual a barra realmente passará a se comportar como condutora, posto que não mais 
absorve parcela do calor e simplesmente o conduz. As distribuições de temperatura antes da estabilização 
configuram estados transientes e a distribuição após a estabilização das temperaturas configura o regime 
permanente ou estacionário, também chamado de steady-state. 
Voltando à equação anterior, pode-se concluir que, no steady-state, caso a área A seja uniforme, o 
fluxo de calor será, então, dado por 
L
T
KAH

 
em que T é a diferença de temperatura entre duas camadas diferenciadas de L. 
 
Reservatório da fonte 
quente (T2) 
Reservatório da fonte fria 
(T1) 
Barra metálica 
Furos para medir 
temperatura 
 53
Como a taxa de transferência de calor ao longo da barra permanecerá constante, a distribuição de 
temperatura ao longo da barra será linear, pois 
KA
HL
T  
Tomando-se a origem na extremidade esquerda do condutor (fonte quente), a temperatura T de uma 
dada camada dada pela abscissa x será, então 
x
KA
H
TT  1 
Conclui-se, portanto, que, a partir do estado estacionário, as temperaturas ao longo do condutor 
ficam estabilizadas e variam linearmente ao longo da direção longitudinal, de acordo com a última equação. 
Conhecendo-se essa distribuição de temperatura, a área de secção reta da barra, bem como o fluxo de calor 
através dela, é possível, então, determinar-se o coeficiente de condutividade térmica do material. Abaixo, 
apresenta-se uma tabela com os valores de K de alguns materiais. 
 
Material Condutividade térmica 
 (W/m.oC) 
Ar 0,03 
Lã 0,04 
Madeira 0,15 
Água 0,60 
Ferro 80,20 
Alumínio 220,00 
Cobre 401,00 
 
3. METODOLOGIA: 
MATERIAL UTILIZADO: 
Condutivômetro, termômetros, régua centrimetrada, cronômetro, água e gelo fundente. 
PROCEDIMENTOS: 
a) Coloque o condutivômetro sobre a mesa, tal que a extremidade esquerda esteja em contacto com água em 
ebulição e a extremidade direita com gelo fundente. 
b) Disponha os termômetros nos furos da barra da barra metálica, otimizando o isolamento da área lateral 
com o meio ambiente. 
c) Coloque água no reservatório da fonte quente e o gelo triturado no reservatório da fonte fria. Ligue o 
ebulidor no reservatório da fonte quente, esperando que a água comece a ferver. 
d) Meça as distâncias de cada furo à origem (extremidade esquerda da barra). 
e) Num instante considerado inicial, t = 0 min, anote os valores da temperatura em cada furo. Repita essas 
anotaçõea a cada 5 min. 
 
Tabela 1: Temperatura e posição das camadas ao longo da barra em diferentes instantes 
 
tempo (min) 
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 
Distância da 
camada à 
fonte quente 
x (cm) Temperatura (
0C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 54
 
f) Quando as temperaturas em cada furo estiverem praticamente estabilizadas, abra a mangueira sob o 
reservatório da fonte fria, coletando toda água líquida (proveniente da fusão do gelo), e descartando-a a 
seguir. 
g) Colete novamente a água 5 min e 10 min após o esvaziamento referido no item anterior, anotando as 
respectivas massas e o correspondente valor médio (mmédia). 
ATIVIDADES: 
1) Faça os gráficos da temperatura das camadas em função da sua posição ao longo da barra, para os 
instantes t=0min, t=15min, t=30min, t=45min e t=60min, identificando os estados transientes e o steady-
state. 
2) A partir da massa média de água coletada (decorrente da fusão do gelo), determine o fluxo de calor ao 
longo da barra no steady-state e, em seguida, a condutividade térmica K do metal do qual é constituído a 
barra condutora. 
3) Determine o erro relativo na determinação do K e discuta as principais causas desse erro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 55
1 
Normal 
2 
Normal 
Raio refratado 
Ar (meio 2) 
Acrílico (meio 1) 
r 
Raio refletido 
Raio incidente
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: FENÔMENOS ÓTICOS 
REFLEXÃO E REFRAÇÃO DA LUZ 
1. OBJETIVO: 
 Verificar os fenômenos de reflexão e refração da luz 
 Determinar experimentalmente o índice de refração de um meio 
2. INTRODUÇÃO: 
 Um raio de luz monocromática incidente na interface de dois meios transparentes dá origem a um 
raio refletido (retorna ao meio inicial) e a um raiorefratado (passa a se propagar no segundo meio, com 
alteração em sua velocidade). Como exemplo, podemos supor um raio incidente na face curva de um semi-
disco de acrílico, como ilustrado na Figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1- Refração e reflexão de um raio incidente na face curva de um semi-disco. 
 
 
 Esses três raios (incidente, refletido e refratado) situam-se em um mesmo plano. Como ilustrado na 
Figura 1, θ1, θr e θ2 são, respectivamente, os ângulos de incidência, reflexão e refração, todos tomados em 
relação à direção normal à superfície de interface entre os dois meios. Verifica-se experimentalmente que 
 
θ1 = θr (1ª Lei da reflexão) (1) 
n1 sen θ1 = n2 sen θ2 (Lei de Snell-Descartes) (2), 
 
onde n é o índice de refração de cada meio, definido como a razão entre a velocidade da luz no vácuo (c) e a 
velocidade da luz nesse meio (v) , ou seja 
 
v
c
n  (3) 
 
 Desse modo, quando a luz incide na interface de dois meios de índices de refração diferentes ela se 
refrata, alterando sua velocidade. Essa refração é acompanhada, na maioria das vezes pelo desvio da luz em 
relação à sua direção original, o que só não acontece quando o feixe incide perpendicularmente à superfície 
de separação, ou seja, ao longo da normal. Nesse caso específico, há refração (variação da velocidade da luz) 
mas não desvio na trajetória do raio incidente. Essa situação especial pode ser verificada na mesma Figura 1, 
quando o raio refletido, ao incidir na interface curva entre os meios 2 e 1, passa para esse segundo meio sem 
se desviar. Isso acontece pelo fato de essa nova incidência se dar ao longo do raio do semi-disco que, como 
se sabe, é perpendicular à superfície, configurando-se, portanto, uma incidência ao longo da normal. 
 56
 Uma importante aplicação da lei de Snell-Descartes é na determinação experimental do índice de 
refração de um meio, a partir do conhecimento do índice do outro meio e dos respectivos ângulos de 
incidência e refração. Por outro lado, caso se conheça os índices dos dois meios, pode-se, também, pela 
aplicação dessa lei, determinar-se experimentalmente o ângulo crítico do meio mais refringente (de maior 
índice de refração). Como pode-se concluir rapidamente, caso a incidência da luz ocorra de um meio mais 
refringente para um menos refringente, ou seja n1 > n2, o ângulo de refração será maior que o ângulo de 
incidência. Assim, haverá um ângulo θ1 para o qual haverá a última refração (θ2 = 90º). Esse ângulo θ1 
especial é chamado ângulo limite ou ângulo crítico (θc). Portanto, para ângulos de incidência superiores a 
esse ângulo (θ1 > θc) não haverá mais refração, configurando-se o fenômeno de reflexão interna total, quando 
os raios refratado e refletido se unem num único raio refletido. Logo, o ângulo crítico θc é definido como o 
ângulo de incidência para o qual o ângulo refratado é de 90º. Substituindo na lei de Snell temos: 
 







1
2
c
o
2c1 n
n
arcsen90sennsenn . (4) 
3. METODOLOGIA: 
PRIMEIRA PARTE: VERIFICAÇÃO DA LEI DA REFLEXÃO. 
MATERIAL UTILIZADO: 
Espelho plano, suporte circular (disco) graduado em graus e fonte de raio laser. 
PROCEDIMENTO: 
a) Disponha o espelho plano no suporte circular, de forma que sua superfície coincida com o diâmetro do 
disco. 
b) Incida um feixe de luz laser sobre o espelho, medindo os ângulos de incidência e reflexão. 
c) Variando o ângulo de incidência complete a tabela abaixo. 
 
θ1 (grau) 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 
θr (grau) 
ATIVIDADES: 
1) A partir da atividade realizadas na primeira parte preencha o quadro abaixo: 
Atividade Relato e explicação do fenômeno observado 
1 Medição do ângulo de reflexão 
em um espelho plano. 
 
 
 
 
SEGUNDA PARTE: DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DO ÍNDICE DE REFRAÇÃO 
DE UM MEIO. 
MATERIAL UTLIZADO: 
Semi-disco de vidro ou acrílico, suporte circular (disco) graduado em graus e fonte de raio laser. 
PROCEDIMENTO: 
a) Disponha o semi-disco sobre o suporte circular, de forma que superfície plana do primeiro coincida com o 
diâmetro do segundo. 
b) Incida um feixe de raio laser no centro da superfície plana do semi-disco tal que o ângulo de incidência 
seja diferente de zero. 
c) Meça o respectivo ângulo de refração. Por que, nesse caso, esse ângulo pode ser medido fora do semi-
disco de acrílico, após a segunda refração (do semi-disco para o ar) ? 
d) Repita essas medidas, para diferentes ângulos de incidência, completando a tabela abaixo. 
 
 57
θ1 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 
sen θ1 
θ2 
sen θ2 
n2 
ATIVIDADES: 
1) Faça uma ilustração da montagem. 
 
 
 
 
 
 
 
2) A partir da atividade realizadas na segunda parte preencha o quadro abaixo: 
Atividade Relato e explicação do fenômeno observado 
1 Incidência de um raio luminoso 
na interface ar- acrílico, do ar 
para o acrílico. 
 
 
 
 
3) Sabendo que o feixe de luz era proveniente do ar (nar= 1,00), qual foi o índice de refração obtido? Escreva 
o resultado final utilizando os conceitos de valor médio e desvio médio. 
 
 
4) Se o índice de refração do acrílico informado pelo fabricante é nesperado= , determine o erro relativo 
percentual obtido na realização da prática. 
TERCEIRA PARTE: VERIFICAÇÃO DA REFLEXÃO INTERNA TOTAL. 
MATERIAL UTILIZADO: 
Semi-disco de vidro ou acrílico, suporte circular (disco) graduado em graus e fonte de raio laser. 
PROCEDIMENTO: 
a) Incida o feixe laser na parte curva do semi-disco tal que seu prolongamento passe pelo centro de sua face 
plana. 
b) Varie o ângulo de incidência até observar o fenômeno da reflexão interna total. 
c) Repita essa medida, pelo menos quatro vezes e complete a tabela abaixo: 
 
c (grau) 
ATIVIDADES: 
1) Faça uma ilustração da montagem. 
 
 
 
 
2) A partir da atividade realizadas na terceira parte preencha o quadro abaixo: 
 58
Atividade Relato e explicação do fenômeno observado 
1 Incidência de um raio luminoso na 
interface acrílico-ar, do acrílico para 
o ar. 
 
 
 
 
3) Escreva o resultado final para o c utilizando os conceitos de valor médio e desvio médio. 
 
 
4) Utilizando o valor médio do índice de refração do acrílico obtido no item 3 das atividades da segunda 
parte e com o auxílio da equação 4, calcule o ângulo crítico esperado. c (esperaro)= 
 
5) Determine o erro relativo percentual obtido na realização da prática. 
 
QUARTA PARTE: RELAÇÃO ENTRE O DESVIO DO FEIXE EMERGENTE E A 
ESPESSURA DO MATERIAL . 
MATERIAL UTILIZADO: 
Lâminas de faces paralelas, suporte circular (disco) graduado em graus e fonte de raio laser. 
PROCEDIMENTO: 
a) Utilizando novamente o suporte graduado, incida o feixe laser na superfície de uma lâmina de faces 
paralelas de largura L, como ilustrado na Figura 2. O feixe emergente (da lâmina para o ar) é paralelo ao 
feixe incidente original ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Meça o deslocamento D indicado na Figura 2. 
c) Duplique a espessura da lâmina e verifique que o deslocamento lateral D do feixe emergente é diretamente 
proporcional à largura da lâmina (D α L). 
 
ATIVIDADES: 
1) A partir da atividade realizadas na terceira parte preencha o quadro abaixo: 
Atividade Relato e explicação do fenômeno observado 
1 Incidência de um raio luminoso na 
interface ar-vidro (lâmina de faces 
paralelas) 
 
 
 
 
2) A partir de sua observação nessa atividade, justifique porque, na 2ª parte, caso tenha sido utilizada água 
dentro do semi-disco de acrílico, pode se desprezar os efeitos da refração na parede de acrílico e considerar-
se apenas a refração do ar para a água. 
 
Feixe 
emergente
Normal Normal
L 
Feixe 
incidente 
D 
Figura 2- Incidência do laser em uma 
lâmina de faces paralelas, evidenciando 
os feixes incidente e emergente. 
 59
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: FORMAÇÃO DE IMAGENS 
1. OBJETIVO: 
 Determinar experimentalmente a distância focal de espelhos e lentes. 
2. INTRODUÇÃO: 
 A aplicação da lei de Snell-Descartes,rever prática Fenômenos óticos, no caso da incidência da luz 
em uma lente, combinada com a utilização de conceitos simples de geometria, pode também nos fornecer 
importantes informações sobre o processo de formação de imagens. Assim procedendo, pode-se demonstrar 
que, no caso de os raios luminosos incidentes serem paraxiais ou centrais, isto é, limitados a uma pequena 
faixa da lente tal que sejam pequenos os ângulos envolvidos: 
 
 
 io
oi
f
iof 

111
, (1) Equação dos pontos conjugados 
 
onde o, i e f representam, respectivamente, as distâncias do objeto, da imagem e do foco, todas essas tomadas 
em relação à lente. A Figura 1 ilustra, respectivamente, uma situação de formação de imagem real (captada 
num anteparo) por um espelho côncavo e uma lente convergente. Traçando-se os raios seguindo as leis da 
reflexão e refração é possível descrever a formação de imagens reais e virtuais por espelhos (planos, 
côncavos e convexos) e lentes (divergentes e convergentes) empregados em instrumentos ópticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1- Formação de imagem real (captada num anteparo) por um espelho côncavo (a) e por uma lente convergente 
(b). Imagem extraída do livro Physics For Scientists And Engineers 6Th Ed. 
 
 Observa-se que uma lente convergente forma imagens reais e virtuais (nesse caso, quando o objeto 
for colocado entre a lente e o foco). Já as lentes divergentes só formam imagens virtuais (não captadas em 
um anteparo). A equação (1), equação dos pontos conjugados, pode ser aplicada também para espelhos 
esféricos, lembrando que, desta feita, as imagens são formadas pelo fenômeno da reflexão da luz (aplicando-
se, portanto, não a lei de Snell, mas as leis da reflexão). 
(a) 
(b) 
 60
 A distância focal de um sistema ótico (lente ou espelho) está ligada à sua capacidade de 
convergência (C), que definimos como C = 1/ f. Assim, um sistema que tem uma pequena distância focal é 
um sistema que converge significativamente os raios quando se incide sobre ele raios paralelos, ao passo que 
uma grande distância focal está associada uma pequena convergência (os raios paralelos convergirão para 
um ponto afastado do sistema). Caso o sistema seja convergente (espelho côncavo ou lente convergente), os 
raios refletidos ou refratados, respectivamente, passam por um ponto comum, o foco real, sendo por isso a 
distância focal f considerada positiva. Já no caso de um sistema ótico divergente (espelho convexo ou lente 
divergente), os raios refletidos ou refratados, respectivamente, não se encontram em um ponto comum e sim 
os seus prolongamentos, motivo pelo qual o foco é virtual e a distância focal considerada negativa. 
 A distância focal de um sistema ótico, muito importante para vários fins práticos, pode, então, ser 
obtida a partir do conhecimento prévio das distâncias o e i. Isso é mais fácil no caso de o sistema ser 
convergente (lente convergente ou espelho côncavo), pois as imagens são reais (formadas num anteparo). 
Por outro lado, no caso do sistema divergente (espelho convexo ou lente divergente), que só formam 
imagens virtuais, a determinação experimental da respectiva distância focal não pode ser obtida diretamente 
pela equação dos pontos conjugados, já que a respectiva distância i não pode ser medida, pois a imagem não 
é captada em anteparo. Nesse caso, é recomendável a utilização de uma outra metodologia, que passa por 
uma prévia associação dessa lente ou espelho com uma lente convergente. 
 Outro método muito útil para a determinação da distância focal de uma lente convergente é o método 
de Bessel, que sintetizamos a seguir. Fixando-se a distância D entre o objeto e o anteparo, observa-se que 
existem duas posições da lente, distanciadas de d, para as quais são obtidas imagens nítidas. Pode-se 
demonstrar facilmente que a distância focal da lente pode ser obtida a partir dessas duas distâncias D e d, de 
acordo com a equação: 
 
D
dD
f
4
22 
 . (2) Equação de Bessel 
3. METODOLOGIA: 
PRIMEIRA PARTE: ESPELHO CÔNCAVO. 
MATERIAL UTILIZADO: 
Banco ótico com anteparo, espelho côncavo (f=10 cm), trena e régua milimetradas, objeto luminoso (vela ou 
lâmpada incandescente). 
PROCEDIMENTO: 
a) Monte o banco ótico, com o espelho côncavo, anteparo e objeto (vela ou lâmpada incandescente), de 
forma a obter imagens reais. 
b) Para diferentes distâncias do objeto ao espelho (superiores à distância focal), meça as respectivas 
distâncias da imagem, utilizando uma trena milimetrada, completando a tabela abaixo. 
c) Variando o ângulo de incidência complete a tabela abaixo. 
 
o (cm) 12,00 13,00 14,00 16,50 40,00 
i (cm) 
f (cm) 
ATIVIDADES: 
1) Faça uma ilustração da montagem. 
 
 
2) Calcule a distância focal do espelho obtida na prática. Escreva o resultado final utilizando os conceitos de 
valor médio e desvio médio. 
 
 
3) Sabendo que fesperado= 10,00 cm, determine o erro relativo percentual obtido na realização da prática. 
4) Através do gráfico de 1/i versus 1/o, determine a distância focal do espelho. Utilize o papel milimetrado. 
 61
SEGUNDA PARTE: LENTE CONVERGENTE. 
MATERIAL UTILIZADO: 
Banco ótico com anteparo, lente convergente (f=20 cm), trena e régua milimetradas, objeto luminoso (vela 
ou lâmpada incandescente). 
PROCEDIMENTO: 
a) Obtenha, com a lente convergente, a imagem de um objeto muito distante (o >>> f) e anote o i obtido. A 
que corresponde a distância i obtida ? i= ( ) cm 
b) Monte, em seguida, o banco ótico, distanciando o objeto luminoso do anteparo de uma distância 
previamente estabelecida (D = 1,20 m, por exemplo). 
c) Mantendo fixa essa distância D, movimente a lente entre o objeto e o anteparo até obter, nesse último, 
duas imagens nítidas. Marque as posições dessas imagens e meça a distância d entre elas. d= ( ) cm 
 
ATIVIDADES: 
1) Faça uma ilustração da montagem. 
 
 
 
 
 
2) A partir da equação de Bessel, equação (2), determine a distância focal da lente e compare esse resultado 
com o valor esperado e com o valor obtido a partir da captação da imagem de um objeto no infinito. 
 
3) Sabendo que fesperado= 20,00 cm, determine o erro relativo percentual obtido na realização da prática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 62
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: RESISTÊNCIA ELÉTRICA 
1. OBJETIVO: 
 Medir resistência elétrica e verificar experimentalmente sua dependência com as dimensões de um 
fio. 
2. INTRODUÇÃO: 
 Se aplicarmos uma mesma diferença de potencial V às extremidades de dois materiais diferentes, 
eles podem ser percorridos por diferentes correntes elétricas I. Diz-se, então, que cada material (resistor) 
apresenta uma diferente oposição à passagem da corrente elétrica, ou seja, tem uma específica resistência 
elétrica, grandeza representada por R e cuja unidade usual é o  (ohm). 
 Uma grandeza relacionada com a resistência R é a resistividade , que não é uma propriedade do 
resistor e sim uma propriedade específica da substância da qual ele é feito. Assim, cada substância apresenta 
um valor específico para a resistividade, valor este que, por sua vez, varia com a temperatura, sendo o valor 
da resistividade , a uma certa temperatura comparado com o valor desta resistividade à temperatura de 
referência, que representamos por o. Isso pode ser sintetizado pela equação: 
 
 T  10 , (1) 
 
onde α é o coeficiente de temperatura da resistividade. 
 A resistência elétrica de um resistor depende, não só da resistividade da substância, mas também de 
suas dimensões. Consideremos um resistor de resistividade , comprimento L e área de seção reta A. Pode-se 
demonstrar que 
A
L
R  . (2) 
 
 Assim, caso variemos as dimensões do resistor, não alterando a substância de que é feito, tampouco a 
temperatura na qual o experimento tiver sendo realizado, a resistência elétrica do resistor será diretamente 
proporcional ao seu comprimento e inversamente proporcional à áreade sua seção reta, sendo a constante de 
proporcionalidade a própria resistividade da substância. 
 Muitas vezes necessitamos utilizar resistores cujas resistências elétricas são diferentes daquelas que 
dispomos no laboratório. A solução desse problema pode estar na simples associação dos resistores 
disponíveis, obtendo-se, a partir desse procedimento, um outro resistor, chamado de resistor equivalente, 
cuja resistência elétrica é a desejada. 
 Essa associação pode ser em série (quando os resistores são percorridos pela mesma corrente elétrica 
i e submetidos a diferenças de potencial V não necessariamente iguais), ou em paralelo (quando os resistores 
são submetidos à mesma diferença de potencial V e são percorridos por correntes elétricas i não 
necessariamente iguais), como ilustrado na Figura 1. 
 Pode-se demonstrar que as resistências equivalentes Rsérie e Rparalelo podem ser obtidas, 
respectivamente, pelas equações: 
............321  RRRRsérie , (3) 
...........
1111
321



















RRRRparalelo
, (4) 
 
onde R1, R2 e R3 são as resistências elétricas dos resistores associados. 
 Das equações acima, pode-se depreender facilmente que, no caso de associações de n resistores 
iguais, cada um com resistência elétrica R, as respectivas resistências equivalentes serão: 
nRRsérie  e n
R
Rparalelo  . (5) 
 
 63
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1- Associação de resistores: (a) em série e (b) em paralelo. 
 
 Para se medir diretamente a resistência de um resistor, utilizamos normalmente um multímetro 
digital (aparelho que mede corrente elétrica, diferença de potencial e resistência elétrica, ilustrado na Figura 
2), selecionando-se devidamente a função desejada (medida de resistência), que pode ser facilmente 
identificada pelo símbolo da respectiva unidade (). Isso pode ser feito girando-se o botão central para a 
parte identificada com esse símbolo e escolhendo-se uma escala adequada (valor que deve ser próximo e 
superior à medida esperada). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se, no entanto, os resistores cujas resistências elétricas devem ser medidas apresentam um código de 
cores, pode-se efetuar a medida diretamente, sem o uso do Ohmímetro. Basta decifrar esse código, como 
detalhado na Figura 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O procedimento para a leitura é o seguinte: 
R1 
R2 
R3 
 
i 
i 
i 
 
i 
R1 
i1 
i 
R2 
i2 
R3 
i3 
(a) (b) 
Figura 2- Multímetro 
 
Figura 3- Resistor com código de cores. Imagem extraída do 
site: http://www.electronica-pt.com/index.php/content/view/27/37/ 
 
 
Prata 
Ouro 
 64
 
1. Identificação das cores dos dois primeiros anéis (iniciando-se do mais próximo da extremidade) e os seus 
respectivos algarismos (X e Y, por exemplo) 
2. Identificação da cor do terceiro anel e o seu respectivo algarismo (Z, por exemplo), que representa o fator 
multiplicador, expresso em potências de dez 
3. Identificação da cor do último anel, associado à faixa de tolerância da medida (W%). 
 
A leitura correta será, então: XY.10Z (W% de tolerância) 
 
Exemplo: Caso as cores dos anéis de um resistor sejam, nesta ordem, VERDE/AZUL/VERMELHA/OURO, 
a medida da respectiva resistência será 56.102, com tolerância de 5%. Como 5% de 5600  = 280 , isso 
indica que o valor real da resistência está entre 5880  (5600  + 280 ) e 5320  (5600  280). 
 
Representação final com o número correto de algarismos significativos: R= (56 ± 3)x102 . 
 
3. METODOLOGIA: 
PRIMEIRA PARTE: MEDIDA DA RESISTÊNCIA. 
MATERIAL UTILIZADO: 
Resistores variados em códigos de cores, multímetro e fios de ligação. 
 PROCEDIMENTO: 
Passos para a realização das medidas: 
 
a) De posse de três resistores diferentes, meça as respectivas resistências elétricas, por intermédio de suas 
cores e, em seguida, utilizando o multímetro. 
 
CORES CÓDIGO DE CORES MULTÍMETRO 
R1: R1= ________________ R1= ________________ 
R2: R2= ________________ R2= ________________ 
R3: R3= ________________ R3= ________________ 
 
Foram próximos os resultados obtidos pelos dois métodos ? 
SEGUNDA PARTE: ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES. 
MATERIAL UTILIZADO: 
Resistores variados em códigos de cores, multímetro e fios de ligação. 
PROCEDIMENTO: 
Passos para a realização das medidas: 
 
a) Associe três resistores iguais em série, prevendo a resistência equivalente da associação, por intermédio de 
suas cores. Meça a resistência equivalente utilizando o multímetro e compare os resultados. 
 
ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE 
CÓDIGO DE CORES MULTÍMETRO 
Requivalente= ________________ Requivalente=________________ 
 
Foram próximos os resultados obtidos pelos dois métodos ? 
b) Repita o procedimento anterior, dispondo os resistores em paralelo e, em seguida, em associação mista 
(dois resistores em paralelo e em série com o terceiro). 
 65
 
ASSOCIAÇÃO EM PARALELO 
CÓDIGO DE CORES MULTÍMETRO 
Requivalente=________________ Requivalente= ________________ 
ASSOCIAÇÃO MISTA 
CÓDIGO DE CORES MULTÍMETRO 
Requivalente=________________ Requivalente=________________ 
TERCEIRA PARTE: DEPENDÊNCIA DA RESISTÊNCIA COM O COMPRIMENTO DO 
FIO. 
MATERIAL UTILIZADO: 
Multímetro, painel de madeira com fio de nicrômio, fios de ligação. 
PROCEDIMENTO: 
Passos para a realização das medidas: 
 
a) Faça a montagem como ilustrado na Figura 4, onde tem-se o painel de madeira com um fio de nicrômio, 
fios de ligação e um multímetro. Faça a conexão dos fios de ligação como indicado na figura. O nicrômio 
possui uma resistência pequena. Utilize a menor escala do Ohmímetro conforme ilustrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4- Painel de madeira com fio de nicrômio. 
 
b) Utilizando uma trena milimetrada, meça a distância entre os dois primeiros contatos sucessivos do fio de 
nicrômio e a respectiva resistência elétrica. (L= __________________) 
 
c) Repita o procedimento anterior para diferentes comprimentos do fio (alterando a posição do fio de ligação 
móvel), completando a tabela abaixo: 
 
L (m) 
R () 
 
ATIVIDADES: 
1) Construa, em uma folha de papel milimetrado, o gráfico de R versus L. 
2) Através da melhor reta visual e da regressão linear, determine o relacionamento analítico entre R e L. 
3) A partir do gráfico determine a resistividade elétrica do nicrômio à temperatura ambiente. 
OBS: o diâmetro do fio que está sendo utilizado é 0,3 mm. (A=_____________) 
Vm
10A
COM 
FIXO
MÓVEL
 66
4) Sabendo-se que a resistividade elétrica desse material à temperatura ambiente é 117.10-8 .m, determine o 
erro relativo percentual da medida obtida experimentalmente. 
5) A relação analítica encontrada entre R e L é consistente com o fato de que aumentar L é acrescentar 
resistores em série? 
QUARTA PARTE: DEPENDÊNCIA DA RESISTÊNCIA COM ÁREA DE SEÇÃO RETA 
DO FIO. 
MATERIAL UTILIZADO: 
Multímetro, fios de nicrômio, fios de ligação. 
PROCEDIMENTO: 
Passos para a realização das medidas: 
 
a) Mantendo-se agora fixo o comprimento do fio (L=______________), varie a área da seção reta, medindo, 
em cada caso, a respectiva resistência elétrica. 
b) Complete a tabela a seguir: 
 
A (m2) 
1/A (m-2) 
R () 
ATIVIDADES: 
1) Construa, em uma folha de papel milimetrado, o gráfico de R versus 1/A. 
2) Através da melhor reta visual e da regressão linear, determine o relacionamento analítico entre R e 1/A. 
3) A partir do gráfico, determine a resistividade elétrica do nicrômio à temperatura ambiente. 
4) Sabendo-se que a resistividade elétrica desse material à temperatura ambiente é 117.10-8 .m, determine o 
erro relativo percentual da medida obtida experimentalmente. 
5) A relação analítica encontrada entre R e (1/A) é consistente com o fato de que aumentar A é acrescentar 
resistores em paralelo ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 67
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSADEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: CIRCUITO SIMPLES I 
1. OBJETIVOS: 
 Relacionar corrente elétrica e tensão num circuito simples e diferenciar resistores ohmicos e não-
ohmicos. 
2. INTRODUÇÃO: 
 Ao aplicarmos uma diferença de potencial V às extremidades de um resistor num circuito fechado, 
esse será percorrido por uma corrente elétrica i, sendo a seguinte a relação entre essas grandezas 
RiV  , (1) 
onde R é a resistência elétrica. Se V e i são dadas em Volt e (V) e Ampère (A), respectivamente, R será dada 
em Ohm (). 
 Para alguns resistores, verifica-se que, ao aumentar a diferença de potencial à qual estão submetidos, 
a corrente aumenta na mesma proporção, mantendo-se, assim, a resistência elétrica constante. Esses 
resistores, para os quais a resistência elétrica independe da diferença de potencial aplicada, são chamados 
ôhmicos e diz-se que obedecem à Lei de Ohm. 
 Muitos outros resistores, no entanto, não obedecem à Lei de Ohm, pois suas resistências elétricas 
variam quando se varia a diferença de potencial. Como exemplos desses resistores não-ohmicos (ou não-
lineares) podem ser citados os seguintes: 
 ♦ NTC (Negative Temperature Coefficient), resistores com coeficiente negativo de temperatura, ou 
seja, com o aumento da temperatura a resistência elétrica diminui, com consequente aumento da corrente 
elétrica. Esse tipo de resistor é utilizado, por exemplo, como limitador de corrente de filamento nos 
ebulidores, em alarmes contra incêndios e em circuitos de ar-condicionados e refrigeradores. 
 ♦ PTC (Positive Temperature Coefficient), resistores com coeficiente positivo de temperatura, ou 
seja, com o aumento da temperatura a resistência elétrica aumenta, com consequente diminuição da corrente 
elétrica. É utilizado em circuitos (de amplificadores transistorizados, por exemplo), onde a corrente tende a 
aumentar com a temperatura. Esse aumento de corrente causa um novo aumento da temperatura e assim por 
diante, até a destruição do transistor. Essa destruição pode ser evitada pelo uso de resistor PTC pois, com o 
aumento da temperatura, a resistência do PTC aumenta, diminuindo a corrente de base. 
 ♦ LDR (Light Dependent Resistors), resistores cuja resistência varia com a luminosidade incidente 
sobre eles, utilizados em alarmes contra incêndios, em análises de alimentos, em circuitos de acendimento 
automático de lâmpadas e, na indústria, em contagem automática de peças, latas e frascos, por exemplo. 
 Neste caso, um feixe luminoso incide no LDR e reduz sua resistência. Ao ser o feixe interrompido 
pela passagem da peça, cresce a resistência do LDR e esta variação resulta num pulso elétrico que é utilizado 
para ativar um contador eletrônico ou eletro-mecânico. Em alarmes contra ladrões o mesmo princípio é 
utilizado, mas usa-se luz infra-vermelha (invisível, mas que afeta o LDR). 
 Ressalte-se que, apesar da equação V = R i ser citada equivocadamente em muitos textos como a Lei 
de Ohm, e, por conseguinte, ser suposta aplicada apenas a resistores ôhmicos, ela se aplica a todos os 
resistores, mesmos que sejam não ôhmicos. 
 As Figuras de 1 a 3 ilustram a variação da corrente elétrica com a diferença de potencial para 
resistores ohmicos e não-ohmicos, observando-se que, no primeiro caso, a curva obtida é uma reta cuja 
inclinação é a resistência elétrica do resistor (constante, neste caso). 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 68
Bateria 
R
V A
S1 S2 
S3 S4 
METODOLOGIA: 
PRIMEIRA PARTE: RESISTORES ESPECIAIS. 
MATERIAL UTILIZADO: 
Resistores especiais (NTC, PTC e LDR), fios de ligação, becker com água quente, fonte de luz. 
PROCEDIMENTO: 
Passos para a realização das medidas: 
 
a) Com o ohmímetro, meça a resistência elétrica, à temperatura ambiente, de cada um dos resistores 
especiais (PTC, NTC e LDR). 
b) Mergulhe os resistores PTC e NTC na água quente e meça novamente as respectivas resistências elétricas. 
Discuta o resultado observado. 
c) Incida luz sobre o LDR e meça novamente a resistência elétrica deste resistor, agora nessa nova situação. 
Discuta o resultado observado. 
SEGUNDA PARTE: RESISTOR ÔHMICO. 
MATERIAL UTILIZADO: 
Painel de circuito de base de acrílico, bateria ( = 9V), quatro resistores iguais (resistência em código de 
cores) e um quinto resistor diferente, dois multímetros, painel de circuito de base de madeira, chaves e fios 
de ligação. 
PROCEDIMENTO: 
Passos para a realização das medidas: 
 
a) Monte o circuito no painel de circuito de base de acrílico, 
como ilustrado na figura ao lado, dispondo convenientemente 
dois multímetros, um para medir a diferença de potencial (em 
paralelo) e outro para medir a corrente elétrica (em série), 
ambas as medidas relativas ao resistor R. 
 
b) Feche as chaves S1, S2 e S3 e mantenha aberta a chave S4. 
Meça V e i e obtenha, a partir destas medidas, a resistência 
elétrica do resistor. O valor obtido é próximo do valor esperado 
pela aplicação do código de cores? 
c) Substitua a chave S1 por um resistor idêntico ao anterior e repita as 
medidas de V e i. A resistência elétrica do resistor R variou ou permaneceu constante ? 
d) Repita o procedimento anterior, substituindo, passo a passo, cada uma das demais chaves por outro 
resistor, também idêntico ao primeiro. 
e) Para a quinta medida, substitua o resistor colocado no lugar da chave S3 pelo quinto resistor, que possui a 
resistência diferente das demais. Sistematize na tabela abaixo os dados obtidos. 
 
V (V) 
i (mA) 
 
ATIVIDADES: 
1) Plote os dados num gráfico V versus i. Qual a relação analítica observada entre essas grandezas? 
2) Obtenha o valor de R através do gráfico. 
3) Calcule o erro relativo percentual obtido no experimento. Tome como valor de referência para R o 
fornecido pelo código de cores. 
4) O resistor analisado é ôhmico? Justifique sua resposta. 
 
 69
R
S1 
S2 
A
S3 
S4 
V
~ 
PARTE: RESISTOR NÃO - ÔHMICO. 
MATERIAL UTILIZADO: 
Dois multímetros, painel de circuito de base de madeira, lâmpadas incandescentes iguais (40W/127V), 
chaves e fios de ligação. 
PROCEDIMENTO: 
Passos para a realização das medidas: 
 
a) Analise o circuito ao lado, montado em um painel de madeira. Agora, a 
resistência de referência R e todos os resistores utilizados serão lâmpadas 
incandescentes de 40W/127V. 
 
b) Feche as chaves S1, S2, S3 e S4. Meça V e i e obtenha, a partir destas medidas, a 
resistência elétrica do resistor (lâmpada). 
 
c) Substitua a chave S1 por uma lâmpada idêntica à utilizada anteriormente e repita 
as medidas de V e i. A resistência elétrica do resistor R variou ou permaneceu 
constante ? 
 
d) Repita o procedimento anterior, substituindo, passo a passo, cada uma das demais 
chaves por outro resistor, também idêntico ao primeiro. Sistematize na tabela abaixo 
os dados obtidos. 
 
V (V) 
i (A) 
ATIVIDADES: 
1) Plote os dados num gráfico V versus i. 
2) O resistor analisado é ôhmico? Justifique sua resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 70
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: CIRCUITO SIMPLES II 
1. OBJETIVOS: 
 Discutir dissipação de potência em circuitos simples. 
2. INTRODUÇÃO: 
 Quando uma corrente elétrica percorre um resistor, há contínua transformação da energia elétrica em 
energia térmica, devido particularmente às colisões entre os elétrons e os íons presentes no condutor. Assim, 
embora os elétrons estejam continuamente recebendo energia do campo elétrico estabelecido pela fonte 
externa, esta energia é imediatamente transformada em energia térmica do condutor, mantendo os elétrons 
uma velocidade de migração constante. À taxa de dissipação da energia elétrica em energia térmica com o 
tempo chamamos de potência dissipada no resistor, P, que pode ser calculada por uma das seguintes 
relações: 
R
V
RiViP
2
2  
 
 A unidade usual de P é o Watt (símbolo W), que retrata a dissipação, em 1 s, da energia de 1 J. 
 Como exemplo, podemos citar o caso de uma lâmpada incandescente de especificaçãonominal 
40W/127 V, utilizada em circuitos domésticos. Essa especificação indica que, se ligada convenientemente (a 
uma diferença de potencial de 127 V), a lâmpada dissipará uma potência de 40W, ou seja, em cada 1s 
dissipará 40 J de energia elétrica em energia térmica. 
 Pela simples análise da equação P = V2/R, pode-se concluir que, se a lâmpada for ligada a uma 
diferença de potencial abaixo da nominal (a metade da diferença de potencial nominal, por exemplo), não se 
comportará como uma lâmpada de 40W, pois dissipará uma potência quatro vezes menor, ou seja, 10W, 
apresentando, portanto, um brilho muito menor. A potência realmente dissipada pela lâmpada nessa nova 
situação é, na verdade, um pouco diferente de 10W, pois a resistência elétrica do filamento da lâmpada 
(suposta constante no cálculo acima), na prática varia levemente quando ela é submetida à nova diferença de 
potencial. 
 Por outro lado, é claro que, caso a mesma lâmpada seja submetida à diferença de potencial acima da 
nominal (150V, por exemplo) dissipará uma potência acima de 40W, muito provavelmente “queimando-se”, 
já essa potência especificada estabelece um limite que deve ser respeitado ao se dimensionar o circuito. 
3. METODOLOGIA: 
MATERIAL UTILIZADO: 
Painel de circuito de base de madeira, lâmpadas incandescentes (uma de 25W/127V, três de 40W/127V, 
uma de 100W/127V e uma de 100W/220V), chaves e fios de ligação. 
PROCEDIMENTO: 
 Passos para a realização das medidas: 
 
a) A partir das características nominais, calcule a resistência de cada lâmpada usando P = V
2
/R. 
 
R25W/127V=________________________ R40W/127V=________________________ 
 
R100W/127V=________________________ R100W/220V=________________________ 
 
b) Analise o circuito ilustrado na Figura 1, onde L1, L2 e L3 são lâmpadas incandescentes e S1, S2, S3 e S4 são 
chaves. 
 71
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Em cada uma das situações a seguir, fique atento às informações básicas para as posições das chaves 
(ligadas ou desligadas) e as especificações das lâmpadas. Monte o circuito como indicado. 
 
No campo Previsão registre antes de ligar o circuito: 
 1) Que tipo de circuito teremos? 
 2) Quais lâmpadas vão acender? 
 3) As lâmpadas acenderão com a potência nominal? Explique. 
 4) Das lâmpadas que acenderem, qual terá maior brilho? Explique. 
 
No campo Observação, anote suas principais observações após o circuito ter sido ligado. 
 
 
SITUAÇÃO 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Previsão: 
L1 40 W/ 127 V 
L2 40 W/ 127 V 
L3 40 W/ 127 V 
S1 Ligada 
S2 Ligada 
S3 Ligada 
S4 Desligada 
Observação: 
 
X 
X 
X
~ 
L1 
L2 
L3 
S1 
S2 
S3 S4 
X 
X 
X
~ 
L1 
L2 
L3 
S1 
S2 
S3 S4 
Figura 1- Esquema do 
circuito. 
 72
 
SITUAÇÃO 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Previsão: 
L1 40 W/ 127 V 
L2 25 W/ 127 V 
L3 40 W/ 127 V 
S1 Ligada 
S2 Ligada 
S3 Ligada 
S4 Desligada 
Observação: 
 
 
SITUAÇÃO 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Previsão: 
L1 40 W/ 127 V 
L2 25 W/ 127 V 
L3 40 W/ 127 V 
S1 Ligada 
S2 Ligada 
S3 Ligada 
S4 Ligada 
Observação: 
 
X 
X 
X
~ 
L1 
L2 
L3 
S1 
S2 
S3 S4 
X 
X 
X
~ 
L1 
L2 
L3 
S1 
S2 
S3 S4 
 73
 
SITUAÇÃO 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Previsão: 
L1 40 W/ 127 V 
L2 25 W/ 127 V 
L3 40 W/ 127 V 
S1 Ligada 
S2 Desligada 
S3 Ligada 
S4 Ligada 
Observação: 
 
 
SITUAÇÃO 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Previsão: 
L1 40 W/ 127 V 
L2 25 W/ 127 V 
L3 40 W/ 127 V 
S1 Ligada 
S2 Desligada 
S3 Desligada 
S4 Ligada 
Observação: 
 
X 
X 
X
~ 
L1 
L2 
L3 
S1 
S2 
S3 S4 
X 
X 
X
~ 
L1 
L2 
L3 
S1 
S2 
S3 S4 
 74
 
SITUAÇÃO 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Previsão: 
L1 40 W/ 127 V 
L2 25 W/ 127 V 
L3 40 W/ 127 V 
S1 Desligada 
S2 Ligada 
S3 Desligada 
S4 Ligada 
Observação: 
 
 
SITUAÇÃO 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Previsão: 
L1 40 W/ 127 V 
L2 25 W/ 127 V 
L3 100 W/ 127 V 
S1 Desligada 
S2 Ligada 
S3 Desligada 
S4 Ligada 
Observação: 
 
X 
X 
X
~ 
L1 
L2 
L3 
S1 
S2 
S3 S4 
X 
X 
X
~ 
L1 
L2 
L3 
S1 
S2 
S3 S4 
 75
 
SITUAÇÃO 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Previsão: 
L1 40 W/ 127 V 
L2 25 W/ 127 V 
L3 100 W/ 127 V 
S1 Ligada 
S2 Desligada 
S3 Desligada 
S4 Ligada 
Observação: 
 
 
 
SITUAÇÃO 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Previsão: 
L1 40 W/ 127 V 
L2 25 W/ 127 V 
L3 40 W/ 127 V 
S1 Ligada 
S2 Ligada 
S3 Desligada 
S4 Ligada 
Observação: 
 
X 
X 
X
~ 
L1 
L2 
L3 
S1 
S2 
S3 S4 
X 
X 
X
~ 
L1 
L2 
L3 
S1 
S2 
S3 S4 
 76
 
SITUAÇÃO 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Previsão: 
L1 100 W/ 220 V 
L2 100 W/ 127 V 
L3 40 W/ 127 V 
S1 Ligada 
S2 Ligada 
S3 Ligada 
S4 Desligada 
Observação: 
 
 
SITUAÇÃO 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Previsão: 
L1 100 W/ 220 V 
L2 25 W/ 127 V 
L3 40 W/ 127 V 
S1 Ligada 
S2 Ligada 
S3 Ligada 
S4 Desligada 
Observação: 
 
X 
X 
X
~ 
L1 
L2 
L3 
S1 
S2 
S3 S4 
X 
X 
X
~ 
L1 
L2 
L3 
S1 
S2 
S3 S4 
 77
 
SITUAÇÃO 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Previsão: 
L1 100 W/ 220 V 
L2 25 W/ 127 V 
L3 40 W/ 127 V 
S1 Ligada 
S2 Ligada 
S3 Desligada 
S4 Ligada 
Observação: 
 
 
 
SITUAÇÃO 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Previsão: 
L1 100 W/ 220 V 
L2 25 W/ 127 V 
L3 100 W/ 127 V 
S1 Ligada 
S2 Desligada 
S3 Desligada 
S4 Ligada 
Observação: 
 
 
 
 
 
 
X 
X 
X
~ 
L1 
L2 
L3 
S1 
S2 
S3 S4 
X 
X 
X
~ 
L1 
L2 
L3 
S1 
S2 
S3 S4 
 78
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: FENÔMENOS ELETROSTÁTICOS E MAGNÉTICOS 
1. OBJETIVO: 
 Observar experimentalmente e discutir alguns fenômenos eletrostáticos e magnéticos. 
 
2. INTRODUÇÃO: 
2.1. FUNDAMENTOS DE ELETROSTÁTICA 
 Em geral, a matéria e os objetos com os quais lidamos acham-se em estado de neutralidade elétrica, 
ou seja, suas cargas positivas e negativas se compensam. No entanto, podemos separar algumas cargas 
positivas das negativas, por intermédio de processos químicos como no caso das pilhas e baterias ou por 
meio de atrito entre diferentes materiais. 
 Os raios que acontecem durante as tempestades são movimentos de cargas elétricas entre nuvens, ou 
entre estas e a superfície terrestre. Essas grandes quantidades de cargas (da ordem de 100 a 200 Coulombs) 
são separadas devido ao atrito das gotículas de água com o ar. Outro exemplo é o caso dos veículos que, ao 
se deslocarem, também trocam cargas com o ar. É por isso que os caminhões que transportam combustíveis 
costumam arrastar uma corrente, para garantir descarga constante para o solo (já que os pneus são isolantes), 
evitando-se a ocorrência de indesejáveis faíscas elétricas. 
 Pelas próprias condições de uso, vários objetos isolantes ficam eletrizados por atrito, como discos de 
vinil, pentes, blusas e agasalhos sintéticos, e sacos de lixo novos. Quando o objeto está bem eletrizado e o ar 
está seco, podemos observar os pelos do braço se eriçarem, ou mesmo a emissão de pequenas faíscas, 
acompanhadas de estalidos quando tiramos um agasalho sintético no inverno. 
 Quando atritamos fortemente um pedaço de plástico (canudinho ou tubo de PVC) com um pedaço de 
feltro ou papel, este cede elétrons para o plástico, de forma que o plástico fica negativo (com excesso de 
elétrons) com carga absoluta idêntica (em módulo) à carga positiva adquirida pelo feltro ou papel. Se ao 
invés de plástico e papel atritarmos um bastão de vidro com um pedaço de seda, o bastão fica positivo e a 
seda negativa, pois o vidro cede elétrons para a seda. Os quatro materiais citados são isolantes (plástico, 
papel, vidro e seda), portanto as cargas tendem a ficar localizadas no local onde ocorreu o atrito. Caso, no 
entanto, o atrito seja bastante significativo e o clima esteja seco, atingindo-se alguns milhares de Volts, tais 
materiais deixam de ser isolantes e o excesso de cargas distribui-se em toda a superfície do objeto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 1- Polarização e indução eletrostáticas 
 
 Se ao invés de atritar, simplesmente aproximarmos um corpocarregado de um material isolante 
(também chamado dielétrico), embora este continue eletricamente neutro, ocorrerá uma polarização das 
moléculas, resultante do deslocamento da nuvem eletrônica em relação aos núcleos positivos, ficando cada 
extremidade do corpo com uma carga de um sinal, como ilustra a Figura 1, configurando o que chamamos de 
polarização eletrostática. Por outro lado, caso o material já possua moléculas naturalmente polares 
(constituindo-se cada uma delas um pequeno dipolo elétrico, como a água, por exemplo), a aproximação de 
um corpo carregado produzirá inicialmente uma orientação desses dipolos. 
+ 
+ 
+ 
+ + 
- 
+ 
- 
+ 
- 
+
-
+ 
- 
+ 
- 
+ 
- 
+ 
- 
+ 
+ 
+ 
+ 
- - 
- 
- 
+
+
+ +
Dipolos 
elétricos 
Cargas 
elétricas 
Esfera Dielétrica 
Polarização 
Esfera Condutora 
Indução 
 79
 Já os metais, por possuírem elétrons livres, são bons condutores de eletricidade. Assim, ao 
aproximarmos um corpo carregado de um pedaço de metal, embora como um todo o metal continue neutro, 
haverá uma separação de cargas devido ao movimento dos elétrons, num processo chamado de indução 
eletrostática (também ilustrado na figura acima). Se, por outro lado, transferirmos carga para o corpo 
metálico, esse excesso de carga (seja positivo ou negativo) tende a se distribuir em todo a superfície do 
corpo. 
 Um corpo carregado interage com uma carga q colocada em suas proximidades. Dizemos, então, que 
o corpo criou, nessa região, um campo elétrico cuja intensidade E, num determinado ponto, é proporcional à 
intensidade da carga Q do corpo e inversamente proporcional ao quadrado da distância r do corpo ao ponto, 
ou seja, 
2r
Q
kE  . (1) 
Por sua vez, a intensidade da força de interação elétrica F entre o corpo e a outra carga q é dada por: 
2r
kQq
qEF  . (2) 
 
2.1. FUNDAMENTOS DE MAGNETISMO 
 Desde os tempos remotos é conhecida a pedra-ímã (óxido de fero denominado magnetita), que 
possui a característica de atrair pedaços de ferro. Outro ímã natural é a própria Terra, cuja ação sobre a 
agulha das bússolas é também há muito observada. 
 Um ímã, seja natural ou não, é caracterizado como um dipolo magnético (pólos sul e norte), e cria 
em sua vizinhança um campo magnético, assim como uma carga elétrica cria ao seu redor um campo 
elétrico. Esse vetor campo magnético é também representado por linhas (de indução magnética, nesse caso), 
cujas características podem ser verificadas facilmente pela disposição de limalhas de ferro nas proximidades 
do ímã. Essas linhas se dirigem do pólo norte para o pólo sul (fora do ímã) e do pólo sul para o pólo norte 
(dentro do ímã). 
 A Figura 2 ilustra essa orientação das linhas de indução magnética para o caso do campo magnético 
terrestre que, em primeira aproximação, pode ser representado como uma barra intensamente imantada, 
localizada no interior da Terra. Observe que o pólo norte geográfico, localizado na região ártica canadense) é 
o polo sul magnético, já que as linhas convergem para ele. Por outro lado, o pólo sul geográfico, localizado 
na Antártica, é o polo norte magnético. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 2 - A Terra e seus pólos geográficos e magnéticos . Imagem extraída da referência: Sears and Zemansky´s. 
University Physics. 12th edition. 
 
 80
 Sabe-se que certos materiais são sensíveis à presença de ímãs, sendo atraídos ou repelidos. Esse 
fenômeno de magnetização pode ser explicado simplificadamente da seguinte forma: os elétrons do material, 
além do momento angular orbital, possuem um momento angular próprio, denominado spin. A esses 
momentos angulares se associam dipolos magnéticos orbitais e de spin, respectivamente. Na maioria dos 
átomos (e íons) esses efeitos magnéticos se cancelam, de modo que, como um todo, não apresentam 
características magnéticas. Entretanto, alguns átomos (e íons) possuem um momento magnético resultante, 
configurando o que chamamos dipolo magnético. Esses dipolos, em média, só se alinharão numa dada 
direção se um campo magnético externo estiver presente. Substâncias que se comportam desse modo são 
ditas paramagnéticas. Cessado o efeito do campo magnético externo, cessará o alinhamento dos dipolos. 
 Já nos materiais chamados ferromagnéticos, como ferro, cobalto e níquel, os momentos magnéticos 
de spin de átomos vizinhos tendem a se alinhar entre si, em virtude da interação especial chamada de 
acoplamento de troca. Por causa dessa interação cooperativa entre átomos vizinhos, formam-se nos materiais 
ferromagnéticos pequenas regiões chamadas domínios (Figura 3), em cada uma das quais os dipolos 
magnéticos se alinham paralelamente, mesmo na ausência de um campo magnético externo. As direções de 
magnetização nos domínios não são necessariamente paralelas entre si, de forma que é nula a magnetização 
resultante de todo o material. Na presença de um campo magnético externo, ocorre a imantação, que consiste 
na orientação dos diferentes domínios, segundo a direção do campo magnético exterior. Essa situação, no 
entanto, pode persistir por algum tempo, mesmo na ausência de um campo magnético externo, após o que os 
domínios sofrem nova desorientação, que podem ser precipitada por choques mecânicos ou térmicos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 3 - Domínios magnéticos. Imagem extraída da referência: Sears and Zemansky´s. University Physics. 12th 
edition. 
 
 Outra maneira de se obter um campo magnético numa determinada região, sem necessariamente 
dispor nela um ímã, é fazer percorrer uma corrente elétrica num fio. Em 1820, Oersted, colocando uma 
agulha magnetizada próxima de um fio percorrido por uma corrente elétrica, observou que a agulha foi 
desviada de sua direção habitual norte-sul, indicando que a corrente elétrica gera um campo magnético cujo 
efeito sobre a agulha da bússola é semelhante ao verificado quando se aproxima um ímã à bússola. A Figura 
4 ilustra as linhas de indução geradas pela corrente no fio. Esse fenômeno tem um grande número de 
aplicações práticas, como no caso dos eletroímãs. Pode-se verificar neste caso de um fio retilíneo que a 
intensidade do campo gerado B, num determinado ponto externo ao fio, é diretamente proporcional à 
corrente i no fio e inversamente proporcional à distância r do fio ao ponto, ou seja: 
r
ki
B  . (3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 4 - Campo magnético gerado por corrente elétrica num fio. 
Imagem extraída do site: efisica.if.usp.br/eletricidade/basico/campo_corrente/exper_oersted. 
 81
3. METODOLOGIA: 
PRIMEIRA PARTE: FENÔMENOS ELETROSTÁTICOS 
MATERIAL UTILIZADO: 
Bastão de PVC, papel-toalha, pêndulo com esfera de isopor, canudinhos de plástico, gerador de Van de 
Graaff com acessórios. 
PROCEDIMENTO: 
a) Atrite o bastão de PVC com o papel toalha e, segurando-o na outra extremidade, aproxime-o de 
pedacinhos de papel sobre a mesa e da esfera de isopor do pêndulo. 
b) Aproxime agora o bastão, após eletrizá-lo novamente, de um filete de água. 
c) Atrite um canudinho com o papel toalha e tente colocá-lo em pé na parede do laboratório. 
a) Acompanhe as explicações do professor sobre o funcionamento básico do gerador de Van de Graaff e as 
demonstrações por ele realizadas. 
b) Discuta cada um dos fenômenos observados e anote as conclusões tiradas de cada um dos fenômenos 
observados. 
ATIVIDADES: 
1) A partir das atividades realizadas na primeira parte preencha o quadro abaixo: 
Atividades Relato e explicação do fenômeno observado 
1 Atrito do bastão de PVC com papel toalha e sua aproximação de 
pedacinhos de papel e da esfera de isopor do pêndulo 
eletrostático. 
 
2 Atrito do bastão de PVC com papel toalha e sua aproximação de 
um filete de água. 
 
3 Atrito do canudinho com papel toalha e sua "fixação" a uma 
parede. 
 
4 Ligação e carregamento do gerador de Van de Graaff. 
5 Aproximação de uma vela acesa ao gerador de Van de Graaff. 
6 Aproximação de fiapos de algodão ao gerador de Van de 
Graaff. 
 
7 Aproximação do eletroscópio de folhas ao geradorde Van de 
Graaff. 
 
8 Fixação de tiras de alumínio no gerador de Van de Graaff e 
ligação desse aparelho. 
 
9 Conexão do torniquete ("suástica") ao gerador de Van de Graaff 
e ligação desse aparelho. 
 
10 Aproximação de uma lâmpada fluorescente desligada ao 
gerador de Van de Graaff. 
 
 
 
 82
SEGUNDA PARTE: FENÔMENOS MAGNÉTICOS 
MATERIAL UTILIZADO: 
Ímã em barra, ímã em ferradura, limalhas de ferro, pregos, fio de nicrômio, bússola, vela, fonte regulada de 
tensão (DC), suporte com fio de cobre. 
PROCEDIMENTO: 
a) Acompanhe as demonstrações realizadas pelo professor na configuração das linhas de campo magnético 
com o retroprojetor. 
b) Anote todas as conclusões tiradas de cada um dos fenômenos observados. 
c) Aproxime dois ímãs um do outro. Aproxime agora um dos ímãs da bússola. 
d) Discuta cada um dos fenômenos observados. 
e) Encoste a extremidade de um prego a um dos pólos do ímã, disposto verticalmente. Encoste um segundo 
prego à extremidade do primeiro. 
f) Retire o ímã lentamente e observe o que ocorre com os dois pregos em seguida. 
g) Junte a extremidade do fio de nicrômio a um pólo do ímã, como ilustrado na figura abaixo. Retire o fio e 
aproxime-o da bússola, identificando as polaridades norte e sul do fio e da bússola, tendo o ímã como 
referência polar. Golpeie, com um lápis, por exemplo, a extremidade imantada do fio e verifique, com a 
bússola, o seu estado de imantação. Discuta o observado. 
h) Amarre, por uma extremidade, o fio de nicrômio a uma linha e aproxime-a do ímã, cuidando para que não 
se toquem. Aqueça o fio com a chama da vela. Qual o efeito da temperatura sobre a imantação do nicrômio ? 
i) Acompanhe as demonstrações realizadas pelo professor da geração de um campo magnético por uma 
corrente elétrica num fio. 
ATIVIDADES: 
1) A partir das atividades realizadas na segunda parte preencha o quadro abaixo: 
Atividades Relato e explicação do fenômeno observado 
1 Espalhamento de limalhas de ferro nas proximidades de 
um ímã no retroprojetor. 
 
2 Aproximação de um ímã a outro. 
3 Aproximação de um ímã a uma bússola. 
4 Contato da extremidade de um prego à um dos pólos de 
um ímã disposto verticalmente e, em seguida, disposição 
de outro prego na fila. 
 
5 Contato da extremidade de um fio de nicrômio a um dos 
pólos de um ímã e, em seguida, aproximação do fio a 
uma bússola. 
 
6 Contato da extremidade de um fio de nicrômio a um dos 
pólos de um ímã e, em seguida, aproximação do fio a 
uma bússola após golpe mecânico do fio. 
 
7 Disposição de um pedaço de fio de nicrômio na 
extremidade de um pêndulo simples, aproximação de 
um pólo do ímã à extremidade livre do fio e 
aquecimento deste com a vela. 
 
8 Estabelecimento de uma corrente elétrica (DC) num fio 
retilíneo, nas proximidades de uma bússola. 
 
 
 
 83
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 
1. OBJETIVOS: 
 Verificar experimentalmente a Lei de Faraday-Lenz 
2. INTRODUÇÃO: 
 A área de uma espira é normalmente representada por um vetor perpendicular ao plano da espira, 
saindo deste plano, e cujo módulo corresponde ao valor da respectiva área A. 
 Caso essa espira se situe numa região onde há um campo magnético externo, pode ser atravessada 
por um fluxo magnético  definido como: 
 cosBA , (1) 
onde  é o ângulo entre os vetores campo magnético e área. 
 Assim, se o campo magnético é perpendicular à espira (paralelo ao vetor área), o fluxo magnético 
através da espira terá módulo máximo, sendo  = BA (vetores B e A paralelos e de mesmo sentido) ou 
 = BA (vetores B e A paralelos e de sentidos contrários). 
 Por outro lado, o fluxo magnético através da espira será nulo se os vetores campo magnético e área 
tiverem direções perpendiculares. 
 Michael Faraday, em 1831, observou que a variação do fluxo magnético através da área delimitada 
por uma espira induzia nesta uma força eletromotriz dada por: 
 
tind 


 (Lei de Faraday-Lenz). (2) 
 Em decorrência disso, a espira, suposta de resistência elétrica R, passa a ser percorrida por uma 
corrente induzida iind = ind /R = (/t )/R. 
 O sinal negativo na Lei de Faraday-Lenz indica que a corrente na espira deve ter um sentido tal que 
produza um campo magnético secundário capaz de COMPENSAR (contrariar) a variação do fluxo gerada 
pelo campo magnético principal. Este fato foi observado e justificado por Heinrich Friedrich Lenz, em 1834. 
 Assim, um campo magnético não gera corrente numa espira, tampouco o fluxo magnético. No 
entanto, caso haja variação do fluxo magnético através da espira, surgirá nesta uma corrente elétrica 
induzida decorrente da força eletromotriz induzida. 
 A Figura 1 ilustra duas formas de se obter a corrente induzida em virtude da variação do fluxo numa 
espira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1- Variação do fluxo magnético através de uma espira. Imagem extraída da referência: Sears and Zemansky´s. 
University Physics. 12th edition. 
 
 Deve ser observado na Figura 1(a) que, quando o ímã se aproxima da espira, o fluxo magnético 
através da espira aumenta pois a intensidade do campo magnético principal aumenta. Em decorrência disso, 
aparecerá na espira uma corrente induzida cujo sentido será tal que gerará um campo magnético secundário 
de direção e sentido tais que contrariará a variação do fluxo magnético através da espira. Assim, como o 
(a) 
(b) 
 84
campo magnético secundário será orientado de sul para norte da esquerda para a direita, haverá uma força 
magnética repulsiva entre a espira e o ímã. Raciocínio similar pode ser feito para o caso de o ímã estar se 
afastando da espira. 
 Já a Figura 1(b) representa uma outra possibilidade de variação do fluxo magnético: o giro de um 
condutor semi-circular na presença do campo magnético principal. Com isso, estará continuamente variando 
o ângulo  entre esse campo e o vetor área e, por conseguinte, haverá contínua variação do fluxo e geração 
de corrente induzida na semi-espira. 
 Em suma, haverá força eletromotriz induzida e corrente induzida na espira sempre que houver 
variação do fluxo magnético através dela, o que pode acontecer em três situações: 
♦ variação da intensidade do campo magnético principal (aproximação ou afastamento do ímã) 
♦ variação da área da espira (mudança da forma geométrica da espira) 
♦ variação do ângulo entre os vetores campo magnético principal e área (giro da espira na presença 
do campo magnético principal) 
 
3. METODOLOGIA: 
MATERIAL UTILIZADO: 
Bobinas, microamperímetro com zero central, núcleo de ferro, ímãs cilíndrico e em forma de U, núcleo de 
ferro, pedaço de ímã de auto-falante, bússola, vibrador terapêutico, fios de ligação, espira, LED, tubo oco de 
alumínio, anel de alumínio, hastes e suportes. 
PROCEDIMENTO: 
Faça as montagens sugeridas a seguir, caracterizando, em cada caso: 
♦ os vetores área da espira e campo magnético principal e o fluxo magnético através da espira 
♦ a causa da variação do fluxo magnético 
♦ o sentido da corrente induzida 
Em seguida, explique o fenômeno observado em termos da Lei de Faraday-Lenz. 
 
PRIMEIRA PARTE: 
a) Aproxime (e, em seguida, afaste) um ímã de uma espira em série com o microamperímetro de zero 
central, tal que o campo magnético principal seja paralelo à área da espira. 
 
Relato e explicação do fenômeno observado 
 
 
SEGUNDA PARTE: 
a) Prenda um pedaço de ímã na extremidade oscilatória do vibrador terapêutico. 
b) Monte uma espira circular de cobre com um LED em série. 
c) Utilizando hastes e suportes, disponha o vibrador de uma de forma que o campo magnético principal seja 
paralelo à área da espira. 
d) Após apagar as luzes do laboratório, ligue o vibrador à rede elétrica (127V AC). 
 
Relato e explicação do fenômeno observado 
 
 
 
 85
TERCEIRA PARTE: 
a) Disponha verticalmente o tubo oco de alumínio. 
b) Abandone em seu interior, na extremidade superior, um ímã cilíndrico. 
 
Relato e explicação do fenômenoobservado 
 
 
QUARTA PARTE: 
a) Ligue a bobina à rede elétrica com um anel de alumínio disposto ao longo de seu eixo. 
 
Relato e explicação do fenômeno observado 
 
 
 
 
 86
ANEXO: 
 
MODELO DE RELATÓRIO DE ATIVIDADE EXPERIMENTAL 
 
1- TÍTULO: 
 Sintético e esclarecedor do assunto principal da atividade. 
2- OBJETIVO GERAL: 
 Sintético e que sinalize a meta que se pretendeu atingir ao fim da atividade. 
3- FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: 
 Deve de forma clara e concisa, apresentar os aspectos teóricos (o fenômeno que será estudado) e as 
fórmulas imprescindíveis relativas ao assunto em estudo (somente as relações matemáticas 
relevantes para a prática executada). 
4- METODOLOGIA: 
Material: 
 Relação completa do material a ser utilizado, incluindo a precisão dos medidores, quando for o caso. 
Procedimento: 
 Apresentação dos passos essenciais ocorridos para a execução da prática. Quando for utilizar figuras 
para a explicação de um experimento, estas devem apresentar legendas próprias. Por exemplo: 
Figura 1- Representação esquemática do sistema utilizado nas medidas. 
5- RESULTADOS E DISCUSSÃO: 
 Apresentação das tabelas dos dados coletados e dos respectivos gráficos e cálculos (nesse caso basta 
se referir às equações utilizadas e apresentadas na Fundamentação Teórica). 
 Crítica objetiva dos resultados obtidos e análise dos possíveis erros experimentais, bem como da 
validade da metodologia utilizada, com possíveis sugestões para seu aperfeiçoamento, quando for o 
caso. 
 
6- BIBLIOGRAFIA: 
 Citar toda a bibliografia consultada. (Não somente as indicadas no programa. Citar inclusive as 
páginas de internet pesquisadas, se esse for o caso.) 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
 Não confundir relatório com o roteiro de prática proposto pelo professor! No relatório, o aluno deve 
relatar os passos executados e os resultados obtidos, não cabendo, portanto, o tempo do verbo no 
infinitivo ou no imperativo, usuais quando se trata de roteiro. 
 Os resultados finais devem ser representados, quando for o caso, com suas respectivas incertezas e 
unidades, preferencialmente no Sistema Internacional *. Exemplo: L= (18,08 ±0,02) x 10-2m. 
 Os gráficos devem conter o título geral e os títulos de cada eixo com as respectivas unidades. 
Quando houver mais de uma curva no mesmo gráfico, deve-se adicionar uma legenda*. 
 Não é necessário apresentar passos intermediários nos cálculos que forem realizados com os dados 
obtidos. É suficiente que se apresente as equações utilizadas e os valores das variáveis envolvidas*. 
 
*Física Experimental básica na universidade. A. A. G. Campos, E. S. Alves e N. L. Speziali. 2a edição 
revisada. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2008. 
	 (1)