Apostila FIS120

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FIS 120 – Laboratório de Física 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS 
 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
 
 
 
 
 
 
 2
ÍNDICE 
 
 ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS --------------------------------------------------- 03 
 CONSTRUÇÃO E LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS ----------------------------------------- 09 
 LINEARIZAÇÃO DE CURVAS --------------------------------------------------------------------- 21 
 LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS ------------------------------------------------------------------- 23 
 EQUILÍBRIO --------------------------------------------------------------------------------------------- 25 
 QUEDA LIVRE ----------------------------------------------------------------------------------------- 28 
 SEGUNDA LEI DE NEWTON ----------------------------------------------------------------------- 31 
 ENERGIA MECÂNICA E MOMENTO LINEAR ----------------------------------------------- 34 
 OSCILAÇÕES ------------------------------------------------------------------------------------------- 38 
 LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON -------------------------------------------------------- 44 
 MÁQUINAS TÉRMICAS ------------------------------------------------------------------------------ 46 
 CONDUTIVIDADE TÉRMICA ---------------------------------------------------------------------- 52 
 FENÔMENOS ÓTICOS ------------------------------------------------------------------------------- 55 
 FORMAÇÃO DE IMAGENS ------------------------------------------------------------------------- 59 
 RESISTÊNCIA ELÉTRICA -------------------------------------------------------------------------- 62 
 CIRCUITOS SIMPLES I ------------------------------------------------------------------------------ 67 
 CIRCUITOS SIMPLES II ----------------------------------------------------------------------------- 70 
 FENÔMENOS ELETROSTÁTICOS E MAGNÉTICOS --------------------------------------- 78 
 INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA ----------------------------------------------------------------- 83 
 ANEXO: MODELO DE RELATÓRIO DE ATIVIDADE EXPERIMENTAL-------------- 86 
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
1. NOÇÕES SOBRE A TEORIA DE ERROS 
 O ato de medir é, em essência, um ato de comparar, e essa comparação envolve erros de diversas 
origens (dos instrumentos, do operador, do processo de medida etc.). Pretende-se aqui estudar esses erros e 
suas conseqüências, de modo a expressar os resultados de dados experimentais em termos que sejam 
compreensíveis a outras pessoas. 
 Quando se pretende medir o valor de uma grandeza, pode-se realizar apenas uma ou várias medidas 
repetidas, dependendo das condições experimentais particulares ou ainda da postura adotada frente ao 
experimento. Em cada caso, deve-se extrair do processo de medida um valor adotado como melhor na 
representação da grandeza e ainda um limite de erro dentro do qual deve estar compreendido o valor real. 
1.1 ERROS E DESVIOS 
 Algumas grandezas possuem seus valores reais conhecidos e outras não. Quando conhecemos o 
valor real de uma grandeza e experimentalmente encontramos um resultado diferente, dizemos que o valor 
obtido está afetado de um erro. 
ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma 
grandeza e o valor real ou correto da mesma. 
Matematicamente: erro = valor medido − valor real 
 
 Entretanto o valor real ou exato da maioria das grandezas físicas nem sempre é conhecido. Quando 
afirmamos que o valor da carga do elétron é 1,60217738 x 10
-19 
C, este é, na verdade, o valor mais provável 
desta grandeza, determinado através de experimentos com incerteza de 0,30 partes por milhão. Neste caso, 
ao efetuarmos uma medida desta grandeza e compararmos com este valor, falamos em desvios e não erros. 
 
DESVIO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza 
e um valor adotado que mais se aproxima do valor real. 
Na prática se trabalha na maioria das vezes com desvios e não erros. 
1.2 CLASSIFICAÇÃO DE ERROS 
 Por mais cuidadosa que seja uma medição e por mais preciso que seja o instrumento, não é possível 
realizar uma medida direta perfeita. Ou seja, sempre existe uma incerteza ao se comparar uma quantidade de 
uma dada grandeza física com sua unidade. 
 Segundo sua natureza, os erros são geralmente classificados em três categorias: grosseiros, 
sistemáticos e aleatórios ou acidentais. 
1.2.1 ERROS GROSSEIROS: 
 Ocorrem devido à falta de prática (imperícia) ou distração do operador. Como exemplos, podemos 
citar a escolha errada de escalas, erros de cálculo, etc. Devem ser evitados pela repetição cuidadosa das 
medições. 
1.2.2 ERROS SISTEMÁTICOS: 
 Os erros sistemáticos são causados por fontes identificáveis, e, em princípio, podem ser eliminados 
ou compensados. Estes fazem com que as medidas feitas estejam consistentemente acima ou abaixo do valor 
real, prejudicando a exatidão da medida. Erros sistemáticos podem ser devidos a vários fatores, tais como: 
 
• Ao instrumento que foi utilizado; 
Ex: intervalos de tempo feitos com um relógio que atrasa; 
 4
 
• Ao método de observação utilizado; 
Ex: medir o instante da ocorrência de um relâmpago pelo ruído do trovão associado; 
 
• A efeitos ambientais; 
Ex: a medida do comprimento de uma barra de metal, que pode depender da temperatura ambiente; 
 
• As simplificações do modelo teórico utilizado; 
Ex: não incluir o efeito da resistência do ar numa medida da aceleração da gravidade baseada na medida do 
tempo de queda de um objeto a partir de uma dada altura. 
1.2.3 ERROS ALEATÓRIOS OU ACIDENTAIS: 
 São devidos a causas diversas e incoerentes, bem como a causas temporais que variam durante 
observações sucessivas e que escapam a uma análise em função de sua imprevisibilidade. Podem ter várias 
origens, entre elas: 
• Os instrumentos de medida; 
• Pequenas variações das condições ambientais (pressão, temperatura, umidade, fontes de ruídos, etc.); 
• Fatores relacionados com o próprio observador sujeitos à flutuações, em particular a visão e a audição. 
 De um modo simples podemos dizer que uma medida exata é aquela para qual os erros sistemáticos 
são nulos ou desprezíveis. Por outro lado, uma medida precisa é aquela para qual os erros acidentais são 
pequenos. 
O erro é inerente ao próprio processo de medida, isto é, nunca será completamente 
eliminado. Poderá ser minimizado procurando-se eliminar o máximo possível as fontes 
de erros acima citadas. Portanto, ao realizar medidas, é necessário avaliar 
quantitativamente os erros cometidos. 
1.3 DESVIO MÉDIO − VALOR MÉDIO 
 Quando um mesmo operador efetua uma série de medidas de uma grandeza, utilizando um mesmo 
instrumento, as medidas obtidas terão valores que poderão não coincidir na maioria das vezes, isso devido 
aos erros experimentais inerentes a qualquer processo de medida. 
 Suponha que um experimentador realize 10 vezes a medida do comprimento L de uma barra. Essas 
medidas foram realizadas com uma régua cuja menor divisão era 1 cm (régua centimetrada), de modo que os 
milímetros foram avaliados (é costume fazer estimativas com aproximações até décimos da menor divisão 
da escala do instrumento). 
 Em qualquer das medidas efetuadas encontraram-se, como comprimento da barra, 5 cm completos 
mais uma fração avaliada da menor divisão, de modo que as flutuações, neste caso, residem nas diferentes 
avaliações da menor divisão. A tabela a seguir mostra os valores obtidos nas dez medidas realizadas. 
 
n Ln(cm) )(cm)L(LΔL nn 
1 5,7 0,0 
2 5,8 + 0,1 
3 5,5 - 0,2 
4 5,6 - 0,1 
5 5,5 - 0,2 
6 5,7 0,0 
7 5,8 + 0,1 
8 5,7 0,0 
9 5,9 + 0,2 
10 5,8 + 0,1 
N=10 57cmLn  1,0cmLn  
 Calculando-se a media aritmética das medidas efetuadas tem-se: 
5,7cmcm
10
57
cm
10
5,85,95,75,85,75,55,65,55,85,7
N
L
L n 

  
 5
que é o valor mais provável para o comprimento da barra. 
Ovalor médio é mais preciso e exato quanto 
maior for o número N de medidas. 
 Define-se o desvio de uma medida como sendo a diferença entre o valor medido (L
n 
) e o valor médio 
( L ). 
ΔL
n 
= (L
n 
−L ) 
 O desvio de cada medida, no caso do exemplo, está indicado na tabela. Desse conjunto deve-se 
extrair a incerteza que afeta o valor médio. Considera-se, para esse fim, a média aritmética dos valores 
absolutos dos desvios denominada desvio médio ( LΔ ): 
0,1cmcm
10
1,0
cm
10
0,10,20,00,10,00,20,10,20,10,0
N
ΔL
LΔ n 

  
 Esse desvio significa que o erro que se comete ao adotar o valor médio (L= 5,7 cm) é de 0,1 cm. Em 
outras palavras, o valor real deve estar entre 5,6 e 5,8 cm. Dessa maneira, o comprimento da barra pode ser 
expresso como: 
L=( LL  ) ou seja L= (5,7 ± 0,1) cm 
1.4 DESVIO AVALIADO OU INCERTEZA 
 Se o experimentador realiza apenas uma medida da grandeza, o valor medido evidentemente será o 
valor adotado, já que não se tem um conjunto de dados para ser analisado, como no caso anterior. Aqui, 
também, o valor adotado representa a grandeza dentro de certo grau de confiança. A incerteza de uma única 
medida, em geral, depende de vários fatores como: o instrumento utilizado, as condições em que a medida se 
realiza, o método utilizado na medida, a habilidade do experimentador, a própria avaliação do último 
algarismo (fração avaliada da menor divisão da escala do instrumento) etc... 
 
 
 
 
1.5 DESVIO RELATIVO PERCENTUAL E ERRO RELATIVO PERCENTUAL 
 O desvio relativo percentual ou o erro relativo percentual são obtidos, multiplicando-se o desvio 
relativo ou o erro relativo por 100%. 
 O desvio relativo/erro relativo nos dá, de uma certa forma, uma informação a mais acerca da 
qualidade do processo de medida e nos permite decidir, entre duas medidas, qual a melhor. Isto é, quanto 
menor o desvio relativo, maior a precisão da medida. 
 
a) No caso de uma única medida: 
 
 
 
 
 
b) No caso de uma série de medidas: 
 
 
 
 
É costume tomar a incerteza de uma medida como sendo a metade 
da menor divisão da escala do instrumento utilizado. 
E%= X100%
esperadovalor
esperadovalor -medidovalor 
 
E%= X100%
esperadovalor
esperadovalor -medidas das médiovalor 
 
 6
2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS (A.S.) 
 
 A medida de uma grandeza física é sempre aproximada, por mais capaz que seja o operador e por 
mais preciso que seja o aparelho utilizado. Esta limitação reflete-se no número de algarismos que usamos 
para representar as medidas. Ou seja, só utilizamos os algarismos que temos certeza de estarem corretos, 
admitindo-se apenas o uso de um algarismo duvidoso. Claramente o número de algarismos significativos está 
diretamente ligado à precisão da medida, de forma que quanto mais precisa a medida, maior o número de 
algarismos significativos. Assim, por exemplo, se afirmamos que o resultado de uma medida é 3,24 cm 
estamos dizendo que os algarismos 3 e 2 são corretos e que o algarismo 4 é duvidoso, não tendo sentido 
físico escrever qualquer algarismo após o 4. 
 Portanto, denominam-se algarismos significativos de uma medida os algarismos exatos acrescidos 
de um único algarismo duvidoso. 
 
 
 
 
 
Algumas observações devem ser feitas: 
 
i- Não é algarismo significativo o zero à esquerda do primeiro algarismo significativo diferente de zero. 
Assim, tanto L=32,5 cm como L=0,325 m representam a mesma medida e tem três algarismos 
significativos. Outros exemplos são: 
5 = 0,5x10 = 0,05x10
2 
= 0,005x10
3 
(1 A.S. ) 
26 = 2,6x10 = 0,26x10
2 
= 0,026x10
3 
(2 A.S. ) 
0,00034606 = 0,34606x10
-3 
= 3,4606x10
-4 
(5 A.S.) 
 
ii- O zero à direita de algarismo significativo também é algarismo significativo. Portanto, L=32,5 cm e 
L=32,50 cm são diferentes, ou seja, a primeira medida tem 3 A.S. enquanto que a segunda é mais precisa 
e tem 4 A.S. 
 
iii- É significativo o zero situado entre algarismos significativos. Por exemplo: 
L = 3,25 m tem 3 A.S. enquanto que L=3,025 m tem 4 A.S. 
 
iv- Quando tratamos apenas com matemática, podemos dizer, por exemplo, que 5 = 5,0 = 5,00 = 5,000. 
Contudo, ao lidarmos com resultados de medidas devemos sempre lembrar que 5 cm ≠ 5,0 cm ≠ 5,00 cm 
≠5,000cm, já que estas medidas tem 1 A.S., 2 A.S., 3 A.S. e 4 A.S., respectivamente. Em outras 
palavras, a precisão de cada uma delas é diferente. 
 
v- Arredondamento: Quando for necessário fazer arredondamento de algum número, utilizaremos a 
seguinte regra: quando o último algarismo significativo for menor ou igual a 5 este é abandonado; 
quando o último algarismo significativo for maior que 5, somamos 1 unidade ao algarismo significativo 
anterior. Por exemplo: 
 
8,234 cm é arredondado para 8,23 cm 
8,235 cm é arredondado para 8,23 cm 
8,238 cm é arredondado para 8,24 cm 
 
 Em seguida serão fornecidos alguns exemplos de como escrever corretamente o resultado de uma 
medida realizada em laboratório com os números corretos de algarismos significativos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Algarismos significativos = Algarismos exatos + um único algarismo duvidoso 
 7
Exemplo 1: 
 
Foram efetuadas 8 medidas do diâmetro (D) de um cabo, como mostra a tabela abaixo. 
 
 
n Dn(mm) (mm)10ΔD 2n
 
1 12,20 -1,25 
2 12,30 +8,75 
3 12,10 -11,25 
4 12,20 -1,25 
5 12,20 -1,25 
6 12,10 -11,25 
7 12,40 +18,75 
8 12,20 -1,25 
N=10 97,70mmDn  )mm1000,55(D 2n  x 
 
 Com esse conjunto de medidas, obtém-se o valor médio e o desvio médio. 
 
Valor médio: 
12,2125mmmm
8
97,7
N
D
D n   
Desvio médio: 
0,07mm0,06875cmmm
8
55,00x10
N
ΔD
DΔ
2
n 

 
 O valor da grandeza é D = (12,2125 ± 0,06875) mm. No entanto, observa-se que a incerteza no 
valor médio, isto é, o desvio médio, afeta a segunda casa decimal desse valor. Assim, os outros algarismos 
posteriores perdem o significado e não são significativos, já que entre os algarismos significativos é 
admitida a presença de um único algarismo duvidoso. No entanto, esses algarismos presentes tanto no valor 
médio quanto no desvio médio devem ser considerados para efeito de cálculo, devendo ser desprezados na 
apresentação final. Escreve-se o resultado final da seguinte maneira: 
D = (12,21 ± 0,07) mm 
 
 Normalmente, ao serem feitas aproximações, como no caso acima, é costume, quando o primeiro 
algarismo desprezado for maior ou igual a cinco, acrescentar uma unidade ao último algarismo mantido. 
 
 
Exemplo 2: 
 
 Suponha-se que um processo de medidas e cálculos tenha originado para a resistividade por uma 
unidade de área de material o valor médio de 32,765 Ω/m com um desvio médio de 0,0241 Ω/m. 
 Tem-se então: 
m
m
m
m
/)02,077,32(/)0241,0765,32( 

 
 Deve-se notar que o valor médio pode apresentar um número de algarismos significativos maior que 
as medidas individuais. Esse resultado, aparentemente sem sentido, é explicável já que está se tratando 
estatisticamente um conjunto de dados, e as medidas individuais deixam de ter importância, prevalecendo o 
conjunto como um todo, ou seja, o valor médio. 
 
 
 8
Exemplo 3: 
O resultado de uma experiência forneceu o valor médio e o desvio médio iguais a: 
1) m = (13,4258 ± 0,0342) g → m = (13,43 ± 0,03) g = (1,343 ± 0,003) x 10 g 
2) m = (7836,6 ± 12,8) g → m = (784 ± 1) x 10 g = (7,84 ± 0,01) x 10
3 
g 
 Ao se trabalhar com algarismos significativos, não se deve esquecer de que os zeros à esquerda não 
são significativos, mas os da direita o são. Portanto, são significativos todos os números isentos de dúvida, a 
partir do primeiro não nulo, e também o primeiro algarismo duvidoso e mais nenhum. 
2.1 OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS − REGRAS ADOTADAS 
a) Na adição e subtração: faz-se a operação normalmente e no final reduz-se o resultado, usando critério de 
arredondamento, para o número de casas decimais da grandeza menos precisa. 
 
 Exemplos: 
Adição - (12.441 + 57,91 + 1,987 + 0,0031 + 119,20) = 12.620,1001 = 12.620 
Subtração - (12.441,2 − 7.856,32) = 4.584,88 = 4.584,9b) Na multiplicação e divisão: o resultado deverá ter igual número de algarismos (ou um algarismo a mais) 
que a grandeza com menor quantidade de algarismos significativos que participa da operação. 
 
Exemplos: 
 Multiplicação - (12,46 x 39,83) = 496.2818 = 496,28 
 Divisão - (803,407 / 13,1) = 61,328 = 61,33 
 
c) Na potenciação e radiciação: o resultado deverá ter o mesmo número de algarismos significativos da 
base (potenciação) ou do radicando (radiciação). 
 
Exemplos: 
 Potenciação - (1,52 x 10
3
)
2 
= 2,31 x 10
6
 
 Radiciação - (0,75 x 10
4
)
1/2 
= 0,87 x 10
2 
2.2 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS EM MEDIDAS COM ERRO: 
 Suponhamos que uma pessoa ao fazer uma série de medidas do comprimento de uma barra L, tenha 
obtido os seguintes resultados: 
 
 - comprimento médio, L = 82,7390 cm 
 - erro estimado, ΔL = 0,538 cm 
 
 Como o erro da medida está na casa dos décimos de cm, não faz sentido fornecer os algarismos 
correspondentes aos centésimos, milésimos de cm e assim por diante. Ou seja, o erro estimado de uma 
medida deve conter apenas o seu algarismo mais significativo. Os algarismos menos significativos de erro 
são utilizados apenas para efetuar arredondamento ou simplesmente são desprezados. Neste caso ΔL deve ser 
expresso apenas por ΔL = 0,5 cm. 
 Os algarismos 8 e 2 do valor médio são exatos, porém o algarismo 7 já é duvidoso porque o erro 
estimado afeta a casa que lhe corresponde. Deste modo, os algarismos 3 e 9 são desprovidos de significado 
físico e não é correto escrevê-los: estes algarismos são utilizados para efetuar arredondamento ou 
simplesmente são desprezados. O modo correto de escrever o resultado final desta medida será então: 
L = (82,7 ± 0,5) cm 
Nos casos em que o erro da medida não é estimado devemos também escrever os algarismos 
significativos da grandeza mensurada com critério. 
 
 
 9
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
CONSTRUÇÃO E LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS 
1. INTRODUÇÃO 
 Frequentemente, em experiências de física, medimos os valores de uma dada grandeza em função da 
variação nos valores de outra grandeza. Como resultado, temos uma coleção de medidas relacionando ambas 
as grandezas, o que gera uma tabela de dados. Entretanto, suponha que também desejamos conhecer o 
comportamento de outros valores, os quais não aparecem na tabela de dados. Nesse caso um procedimento 
científico consiste em apresentar os dados da tabela na forma de um gráfico (método gráfico). Um gráfico 
tem a grande vantagem de tornar visível como a variação de uma grandeza afeta a outra. Assim sendo, um 
gráfico, frequentemente, nos permite determinar a dependência funcional entre as variáveis envolvidas e 
assim poder estimar por interpolação ou extrapolação outros valores que não tenham sido dados pela tabela. 
Para tal fim, ligamos os pontos experimentais por uma curva suave e através da análise gráfica (análise do 
gráfico) obtemos a relação matemática entre as variáveis. Trata-se de uma poderosa ferramenta de análise de 
dados experimentais, a qual tem levado à formulação de novas leis físicas. Além disso, o método gráfico é 
extremamente útil na comparação de dados teóricos e experimentais, pois qualquer discrepância entre a 
teoria e o experimento é facilmente observada. 
2. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 
 Etapas na construção de um gráfico: 
a) Em geral, em um gráfico, a grandeza representada em cada eixo recebe o nome de variável. O primeiro 
passo, a seguir, é identificar as variáveis (grandezas) cujos valores serão lançados em cada eixo do 
gráfico. Assim os eixos devem ser identificados com a grandeza e sua unidade (indicada por vírgula 
ou parênteses). O eixo horizontal é chamado de abscissa e nele lança-se os valores numéricos da 
variável independente. No eixo vertical, ou ordenada, lança-se os valores numéricos da variável 
dependente. 
b) A seguir devemos escolher escalas apropriadas para cada eixo, de acordo com o número de algarismos 
significativos dos dados. Como a escolha da escala para cada eixo vai depender dos algarismos 
significativos dos valores numéricos da variável correspondente, as escalas adotadas para cada eixo, em 
geral, serão diferentes. No entanto, uma boa escolha das escalas deve permitir que todos os pontos 
experimentais fiquem contidos na região do papel delimitada pelos dois eixos de forma que o gráfico não 
fique comprimido em um canto. As escalas devem ser marcadas nos eixos a intervalos iguais e com o 
número correto de algarismos significativos. Não se deve marcar nada entre os intervalos, nem mesmo 
os valores dos pontos experimentais, pois são os intervalos que irão nos auxiliar na visualização da 
ordem de grandeza de ditos valores, como ilustrado na Figura 2.1. 
c) Lançar os valores numéricos dos pares de valores contidos na tabela de dados. Cada par de valores da 
tabela gera um ponto no gráfico (ponto experimental), é costume indicá-los por uma pequena cruz ou um 
pequeno círculo. Para tal fim devemos determinar o ponto de interseção entre as retas paralelas aos eixos 
traçadas a partir dos valores numéricos nos eixos correspondentes. 
d) A última etapa compreende a análise gráfica da seqüência dos pontos experimentais, a parte mais 
importante do trabalho experimental. 
 
 
 
 
 
 10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1- Modo de se indicar os intervalos e os pontos experimentais em um gráfico. 
2.1 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS EM UMA ESCALA LINEAR (PAPEL 
MILIMETRADO) 
 Uma escala linear é construída de tal modo que a distância entre marcas sucessivas das escalas, ao 
longo de cada eixo, é constante. O papel milimetrado é um exemplo de escala linear. 
2.1.1 ESCALA 
 Ao construir um gráfico numa escala linear, devemos escolher escalas apropriadas para cada eixo, 
isto é, devemos escolher um determinado comprimento, sobre o eixo, para representar um dado valor da 
grandeza. Assim, por exemplo, numa folha de papel quadriculado ou milimetrado, como ilustrado na Figura 
2.2, que são exemplos de escalas lineares, cada unidade de comprimento passará a corresponder a um dado 
valor da grandeza. O parâmetro de correspondência chama-se de fator de escala e. As dimensões típicas de 
um papel milimetrado são 180 mm x 280mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2- Exemplo de um papel com escala linear (papel milimetrado). 
 
 Segue abaixo um procedimento padrão para se determinar o fator de escala: 
 
 Seja x a grandeza cujos valores numéricos serão lançados num dos eixos do gráfico, vamos supor, 
por exemplo, no eixo de 180 mm do papel milimetrado. Primeiro identificamos, na tabela de dados, o menor 
 11
valor de x, denotando-o x
0
, o qual é tomado como o referencial no eixo (em alguns casos é conveniente 
considerar x
0 
igual a zero). Neste caso, o fator de escala pode ser obtido pela seguinte regra de três: 
 
180 mm corresponde a ( xmax- x
0
 ) 
1 mm corresponde a ( xmax - x
0
 )/180 mm 
 
 
Note: Como mencionado anteriormente, em muito casos é mais conveniente considerar x
0 
igual a zero 
 
Exemplo : 
 
Construa uma escala linear em um segmento de reta de 150 mm, para representar os tempos x listados na 
tabela abaixo. Considere intervalos de 10 segundos. x (s) 
 
x (s) 2 4 8 14 22 30 
 
a) Cálculo do fator de escala: 
 
1. Partindo do zero: xmax= 30 s e façamos x0 = 0 (escolha arbitrária). 
150 mm corresponde a 30 unidades de segundos 
1 mm corresponde a 30 unidades de segundos /150 mm 
 
 
e = 30 unidades de segundos /150 mm = 0,2 unidades de segundos/mm 
 
Esse fator de escala nos informa que cada 10 mm do papel milimetrado corresponderá a 2 s. 
 
2. Não partindo do zero: xmax= 30 s e x0 = 2 s (escolha arbitrária). 
150 mm corresponde a 28 unidades de segundos 
1 mm corresponde a 28 unidades de segundos /150 mm 
 
 
e = 28 unidades de segundos /150 mm = 0,1867 unidades de segundos/mm 
 
b) Neste exemplo teremos, portanto, a seguinte escala linear: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.3- Exemplo de uma escala linear. 
 Algumas informaçõesúteis que devem ser seguidas ao se escolher a melhor escala de um gráfico: 
a) Procurar sempre utilizar uma escala limpa e fácil de ser lida, ou seja, escolha uma escala que não sejam 
necessários muitos cálculos para se encontrar a localização dos pontos no gráfico. Uma boa escala é aquela 
que além de ocupar bem o papel, permite encontrar facilmente a localização dos pontos no gráfico. Logo, 
para facilitar, tanto para quem faz o gráfico, quanto para quem vai lê-lo, utilize uma escala que seja bem 
clara para todo mundo. Mesmo que isso signifique não usar todo o papel milimetrado. 
b) A escala utilizada em um eixo é totalmente independente da escala usada no outro. 
c) Sempre escreva no eixo, a escala que está sendo utilizada. 
150 mm 
 12
3. ANÁLISE GRÁFICA 
 A análise gráfica consiste em descobrir a dependência funcional entre as variáveis plotadas nos 
eixos; isto é, achar a fórmula matemática que descreva a sua inter-relação. A análise gráfica permite, em 
muitos casos, descobrir a lei que rege um fenômeno físico. O conhecimento dessas leis é muito importante 
para a elaboração de modelos teóricos que expliquem o fenômeno estudado. A seguir, considerando a 
dependência funcional mais simples entre duas variáveis que é a relação linear, este será o primeiro caso a 
ser discutido. 
3.1 RELAÇÃO LINEAR 
 Uma relação linear entre as variáveis x e y obedece à seguinte equação: 
y = a x + b, 
onde a e b são constantes. O gráfico resultante é uma reta. A interseção da reta com o eixo y fornece o valor 
do coeficiente linear da reta, b, pois quando x = 0, y = b. Já o coeficiente angular, a, exprime a taxa de 
variação da variável dependente em relação à variável independente, a=Δy/Δx. O coeficiente angular não 
deve ser confundido com a tangente do ângulo formado pela reta com o eixo horizontal. Observe que se 
você mudar as escalas, muda o ângulo também, entretanto o coeficiente angular não muda. No exemplo 
ilustrado na Figura 2.4 a escala no eixo Y foi mudada do caso (a) para (b). Compare o valor do coeficiente 
angular com a tangente dos ângulos em cada situação. São iguais? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 - Gráficos da posição x em função do tempo transcorrido, num movimento com velocidade constante. 
Ambas as figuras têm o mesmo coeficiente angular, a=Δy/Δx, que neste caso corresponde ao valor da velocidade do 
móvel. Entretanto, note que as tangentes são diferentes. 
 
 No gráfico, a seqüência dos pontos experimentais irá sugerir uma reta. Por se tratar de dados 
experimentais podemos esperar uma pequena dispersão em torno de uma reta representativa (reta média). 
Estas dispersões refletem o grau de incerteza associado a cada ponto e é costume indicá-las através de barras 
de incertezas. Portanto, neste caso, o objetivo da análise gráfica é determinar a equação da reta média 
(relação analítica ente as grandezas y=ax+b). Os parâmetros a e b devem ser calculados através da melhor 
reta visual ou do método de mínimos quadrados (método da regressão linear). 
 
3.2 MELHOR RETA VISUAL 
 Uma maneira direta de analisar os dados em um gráfico linear é traçar manualmente uma reta que 
visualmente melhor se ajuste aos pontos do gráfico, obter o ponto que a reta intercepta o eixo vertical, b, e 
calcular a inclinação desta reta utilizando a expressão a=Δy/Δx, onde os valores de Δx e Δy são sempre 
calculados utilizando pontos da reta traçada, e nunca pontos da tabela de dados. É importante observar 
que não é necessário que qualquer um dos pontos experimentais esteja sobre a reta traçada. 
(a) (b) 
 13
 
Exemplo: Análise gráfica através da melhor reta visual 
A tabela abaixo mostra resultados experimentais (fictícios) obtidos em uma aula de laboratório, da 
posição de um determinado objeto(x) em função do tempo (t). 
 
t (s) x (m) 
1,6 4,4 
5,8 17,5 
9,9 33,7 
16,1 42,0 
20,1 53,3 
 
Com esses dados foi possível obter o seguinte gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.5 - Gráficos da posição x em função do tempo transcorrido, num movimento com velocidade constante. 
 
Análise gráfica: 
 
1) Para obter a inclinação da reta, deve-se usar pontos da reta e não os pontos experimentais. (Para essa reta 
a= 2,6 m/s). 
2) O ponto que a reta intercepta o eixo posição quando o tempo é igual a zero, nos fornece o valor de b. 
(Para essa reta b= 2,7 m). 
3) Sempre coloque unidades em a e b. 
4) A relação analítica obtida ente x e t, será portanto: x=(2,6 m/s)t+2,7 m 
5) A inclinação da reta sempre nos traz um resultado físico. Neste caso, a inclinação representa a velocidade 
do que foi medido. Portanto, a = velocidade = 2,6 m/s. 
6) O coeficiente b nem sempre possui um significado físico, pois em alguns casos ele pode estar relacionado 
a erros experimentais. Nesse exemplo, b possui um significado físico. O gráfico nos diz que no tempo zero 
segundos, o objeto em estudo se encontrava a 2,7 m da origem. 
 
3.3 MÉTODO DA REGRAÇÃO LINEAR 
 Aplicaremos o método de regressão linear para obter a expressão analítica de uma relação linear 
entre as variáveis x e y. Sendo assim, procuramos uma equação da forma: 
y = a x + b. (1) 
que é a equação da reta média. O método consiste em minimizar os desvios (dispersões) em torno da reta 
média. Portanto, devemos minimizar a seguinte quantidade: 
t (s) 
x 
(m
) 
b 
x 
t 
a=x/t 
t (s) 
 14
  
2n
1i
ii baxyS 

 , (2) 
onde n é o número de medidas (número de pares de valores na tabela de dados). Minimizar S corresponde a 
fazer ∂S/∂a = 0 e ∂S/∂b = 0, o que gera as duas equações: 
 
iiii yxxaxb   2 e (3) 
  ii yxanb . (4) 
 
 Resolvendo simultaneamente (3) e (4), obtemos o valor dos coeficientes da reta (1): 
 
  
  




22
ii
iiii
xx
yxyxn
a e (5) 
     
  




22
2
ii
iiiii
xxn
xyxxy
b . (6) 
 Uma outra constante, denominada de coeficiente de correlação linear (r), mede o grau do 
relacionamento linear entre as duas variáveis y e x cuja relação analitica é dada por (1). O valor de r pode ser 
obtido por meio da equação: 
 
  
       
 



2
i
2
i
2
i
2
i
iiii
yynxxn
yx)y(xn
r . (7) 
 r = 1  Significa uma correlação perfeita positiva entre as duas variáveis, neste caso, y e x. 
Isto significa que se uma variável aumenta, a outra sempre aumenta. (y e x são diretamente 
proporcionais). 
 r = − 1  Significa uma correlação negativa perfeita entre as duas variáveis. Isto é, se uma 
aumenta, a outra sempre diminui. (y e x são inversamente proporcionais). 
 r = 0  Significa que as duas variáveis não dependem linearmente uma da outra. No entanto, 
pode existir uma dependência não linear. 
Exemplo: Método da regressão linear. 
 A partir da seguinte tabela de dados, obter y como uma função linear de x usando o método de 
regressão linear. 
xi 1,0 1,6 2,0 3,0 3,4 4,0 5,0 5,5 6,0 7,0 38,5x i  
yi 1,4 1,6 2,0 2,3 2,6 3,1 3,4 3,8 4,1 4,6 28,9yi 
 Procuramos uma equação da forma y = a x + b. Para isso calcularemos as quantidades indicadas na 
tabela abaixo. 
xi yi 1,40 2,56 4,00 6,90 8,84 12,4 17,0 20,9 24,6 32,2 8,301yx i i 
xi
2 1,00 2,56 4,00 9,00 11,6 16,0 25,0 30,3 36,0 49,0 5,841x 2i  
 A seguir determinamos o valor dos coeficientes angular e linear da reta através das equações (5) e 
(6), com n = 10: 
 15
     
    
0,54
38,5184,510
28,938,5130,810
a
2



 e 
     
    
20,8
38,5184,510
38,5130,8184,528,9
2 

b . 
Obs: Neste caso a e b não possuem unidades pelo fato de x e y também não possuírem. 
 Logo, a relação procurada é: y = 0,54x + 0,82 , e o gráfico correspondente é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como pode ser observado no gráfico da Figura 2.6 a reta média, reta da regressão linear, não passa 
necessariamente sobre os pontos no gráfico. Para traçar esta reta, basta substituir alguns valores de x (pelo 
menos 3) na relação analíticaobtida, encontrar os correspondentes valores de y, marcar esses pontos no 
gráfico e traçar a reta correspondente. O coeficiente de correlação linear obtido foi muito próximo de +1 o 
que implica em uma correlação linear positiva muito boa entre as duas variáveis y e x. Isto significa que se x 
aumenta, y também aumenta. Ou seja, y e x são diretamente proporcionais 
4. LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS 
 Em geral, a relação entre duas grandezas físicas não é linear, e é fundamental descobrir de que tipo é 
e quais são os parâmetros que a caracterizam. Sabe-se que na relação linear é muito simples o processo de se 
determinar e associar os parâmetros envolvidos (neste caso o coeficiente linear e angular) a grandezas 
físicas. Portanto, quando se observa que o gráfico obtido não é uma reta, pode-se linearizá-lo através de uma 
mudança de variáveis, transformando em retas mesmo curvas aparentemente complexas. Este processo de 
transformar um gráfico curvo em uma reta denomina-se linearização. Para isso, um certo grau de 
familiaridade com as representações gráficas das principais funções matemáticas é recomendável, pois deve-
se ter uma noção sobre que tipo de função matemática poderia gerar uma curva igual a indicada pela 
sequência de pontos experimentais no gráfico. Existem duas funções matemáticas especiais que aparecem 
com bastante frequência em alguns fenômenos físicos, as chamadas funções logarítmicas. Para essas funções 
foi desenvolvido um tipo de papel que, em vez da escala linear milimetrada, tem-se uma escala logarítmica. 
Nesse tipo de papel, essas funções resultam diretamente em um gráfico linearizado, o que facilita a 
determinação das constantes desconhecidas. Vamos discutir aqui como linearizar um gráfico utilizando papel 
milimetrado e papel com escala logarítmica. Para isso vamos estudar dois tipos de funções que serão bastante 
vistas em nossos experimentos: função tipo potência (y = kx
n
) e função do tipo exponencial (y = k.e
nx 
), onde 
k e n são constantes. 
4.1 LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS EM PAPEL MILIMETRADO 
Seja um gráfico que sugere uma curva do tipo y =kxn. Suponha que fazendo uma medida de duas 
grandezas, observamos que a relação entre as duas é dada pela equação: 
y=3x2 (8). 
Figura 2.6 - Gráficos de y em função de 
x, com a respectiva reta da regressão 
linear. 
 
 16
Se em um papel milimetrado fizermos o gráfico não de y versus x nós não teremos uma reta, como 
ilustrado na Figura 2.7 (a). Para linearizarmos o gráfico, temos que ter uma função do tipo y = a x + b que 
é a equação de uma reta. Logo, basta fazermos um gráfico com uma nova função: 
y’ = a x’ + b (9), 
onde x’= x2. Esse novo gráfico de y versus x2, como ilustrado na Figura 2.7 (b), estará linearizado e neste 
gráfico os valores dos coeficientes linear e angular da reta podem ser calculados pelo método da regressão 
linear ou pela melhor reta visual (como se trata de uma função exata, em ambos os métodos obteremos a=3 e 
b=0, como era de se esperar). Note que no caso do uso do método da regressão linear deve-se usar o novo x’= 
x2, ou seja, os coeficientes a e b, devem ser obtidos com as variáveis y e x’. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.7 - Representação gráfica de (a) uma relação tipo potência y=3x
2
 e (b) exemplo de mudança de variável para a 
linearização do gráfico. Em (b), os coeficientes a e b podem ser obtidos pela melhor reta visual ou regressão linear. 
4.2 LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS EM PAPEL COM ESCALA LOGARÍTMICA 
 Novamente, seja um gráfico que sugere uma curva do tipo: 
y =kxn . (10) 
Nesse caso, aplicando logaritmo à relação acima, teremos: 
log (y) = log (k) + n log (x). (11) 
Fazendo: log (y) = y' , log (k) = b, a=n e log (x) = x' , obteremos: 
y' = a x'+b, (12) 
que é a equação de uma reta. Ou seja, podemos transformar uma relação tipo potência (equação 10) em uma 
relação linear (equação 12) aplicando o logaritmo. Além do mais, se em um papel milimetrado fizermos o 
gráfico não de y versus x, mas o gráfico de log (y) versus log (x) nós teremos uma reta. Essa linearização 
seria trabalhosa de ser feita utilizando um papel milimetrado, pois necessitaríamos de uma nova tabela com 
log (y) e log (x), e a partir dessa nova tabela é que teríamos que construir o gráfico linearizado. Para facilitar 
o nosso trabalho existem papéis que já possuem escala logarítmica na base 10, os papeis mono-log e di-log. 
No papel di-log (log-log) ambos os eixos do papel possuem uma escala logarítmica de base 10, dividida em 
décadas (cada década multiplica por 10 os valores da década anterior). A Figura 2.8 ilustra um modelo de 
papel di-log. Em geral o papel di-log tem duas décadas em um dos eixos e três décadas no outro eixo. Note 
que o papel di-log não começa do ponto (0,0), pois como o papel possui escala logarítmica, ele começa do 
ponto (1,1) , uma vez que log 1= 0. Numa escala logarítmica as distâncias entre marcas sucessivas não é 
constante (como numa escala linear) aqui elas são proporcionais às diferenças entre os logaritmos das 
variáveis. Isto é, a escala logarítmica é feita de tal maneira que a distância entre 1 e 2 é proporcional a (log 2 
- log 1); a distância entre 2 e 3 é proporcional a (log 3 - log 2); e assim por diante (como tarefa observe as 
escalas numa folha impressa de papel mono-log ou log-log). Sendo assim fica evidente que tanto no gráfico 
mono-log como no log-log o aspecto do gráfico será diferente de quando você usa escalas lineares. Nessa 
escala, ao colocarmos diretamente os valores de x e y no papel, estamos fazendo com que as distâncias entre 
(a) y=3x
2
 
(a) y=ax' +b, onde x'= x
2
 
 17
sucessivos valores de x e y sejam proporcionais a log (x ) e log (y), porque as escalas foram construídas 
assim. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.8 - Modelo de papel di-log (log-log). 
 
 Após a linearização utilizando o papel di-log ou o papel mono-log, os valores dos coeficientes linear 
e angular da reta devem ser calculados utilizando a melhor reta visual ou o método de regressão linear, nesse 
caso considerando-se as novas variáveis log(y) e log(x), como ilustrado na Figura 2.9. (Lembre-se, os 
coeficientes só podem ser calculados em gráficos já linearizados). 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.9 - Exemplos de mudança de variáveis na linearização de (a) uma relação tipo potência: y=kx
n
, e (b) tipo 
exponencial: y = kenx. 
 Como indicado na Figra 2.9 (a) o coeficiente angular da reta exprime a taxa de variação de log(y) em 
relação a log(x), e o coeficiente linear b = log(k) corresponde à interseção da reta com o eixo que passa pela 
origem de log(x) (pois quando log(x) = 0, log(y) = log(k)). Finalmente, achado log(k) segue que k = 10
b
. 
Exemplo: 
 Em uma experiência sobre o movimento de um projétil, no plano (x,y), o gráfico em escala linear 
dos dados correspondentes gerou a curva indicada na Figura 2.10. 
b= log k b= log k
log (y) log (y)
log (x) x
Δlog(x)
Δlog(y)
a  
x
Δlog(y)
a

 
 18
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.10 - Movimento de um projétil, no plano (x,y), 
 Observando o gráfico acima, podemos inferir que a relação matemática entre as variáveis, altura 
percorrida (y) e deslocamento na horizontal (x), é do tipo potência: y = kx
n
. Portanto, para podermos 
determinar os parâmetros k e n é preciso linearizar o gráfico acima. Neste caso, a expressão linearizada é 
log (y) = log (k) + a log (x), que corresponde a uma relação linear entre as novas variáveis log(x) e log(y). 
Para determinar a reta média calcularemos os coeficientes linear, b = log(k), e o coeficiente angular, a=n, 
pelo método de regressão linear, a partir dos dados listados na tabela a seguir. 
Logo, obtemos: 
     
    
21,9615
0,9910,228310
1,8540,9910,438910
a
2



 
 
     
    
0,009
0,9910,228310
0,9910,43890,22831,854-
b
2



 
 
Finalmente, achado b = log(k) = 0,009 teremos k = 10
0,009 
= 1,02. Portanto, a relação analítica 
procurada, a qual descreve o movimento deum projétil, é dada por: y = 1,02 x
2 
(m). Observe que se trata de 
uma trajetória parabólica. 
y=kxn 
 19
 Agora, seja um gráfico que sugere uma curva do tipo: 
y =kenx . (13) 
Nesse caso, aplicando logaritmo à relação acima, teremos: 
log (y) = (n loge) x+ log (k) (14) 
Fazendo: log (y) = y' , log (k) = b, a= n loge (é uma constante), obteremos: 
y' = a x+b, (15) 
que é a equação de uma reta. Em consequência, como indicado na Figura 2.9 (b), o gráfico log (y) versus x 
gerará uma reta. Novamente, fazer essa linearização utilizando o papel milimetrado seria um tanto 
trabalhoso, pois seria preciso calcular uma nova tabela para, a partir dela, construir o gráfico que fornece 
uma reta. Para evitar este trabalho existe o papel mono-log que consiste em um papel com uma das escalas 
sendo linear e a outra logarítmica. A Figura 2.11 ilustra um modelo de papel mono-log. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.11 - Modelo de papel mono-log. 
Assim como no papel di-log não é preciso calcular os logaritmos dos valores tabelados obtidos no 
experimento, como seria feito se fosse utilizado o papel milimetrado para linearizar o gráfico. Neste caso é 
necessária somente a indicação dos pontos tabelados diretamente no gráfico e o gráfico assim obtido no 
papel mono-log, será equivalente ao gráfico log (y) versus x obtido no papel milimetrado. 
 20
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO: 
1) Durante uma aula de FIS 120 o objetivo dos estudantes era descobrir a dependência entre duas grandezas 
X e Y. Durante o experimento verificou-se que um aumento na grandeza X implicava em um aumento na 
grandeza Y. A tabela abaixo mostra os valores medidos para X e Y: 
Y (cm) 78,2 54,9 42,7 28,7 21,4 17,2 11,7 
X (cm) 1,6 5,2 12,0 45,0 120,0 250,0 900,0 
a) Faça o gráfico de Y versus X no papel di-log (log-log) em anexo. 
b) Partindo do pressuposto de que Y = kXn e utilizando o método da regressão linear, encontre os valores 
de k e n e escreva o relacionamento analítico entre Y e X. (A calculadora pode ser usada no cálculo da 
regressão linear). 
c) Após a linearização do gráfico os estudantes calcularam o coeficiente de correlação linear e obtiveram um 
valor muito próximo de -1. O que significa este resultado? 
 
2) Em um laboratório de pesquisa avançada na área de novos materiais, e utilizando-se os equipamentos 
adequados, os cientistas verificaram como o comprimento (L) de uma barra cilíndrica, feita de uma super 
liga metálica recentemente descoberta, variava de uma forma inesperada em função da temperatura (T). Foi 
obtida a seguinte tabela após as medidas. 
L(cm) 50,50 79,20 147,10 248,00 495,50 
T (0C) 2,0 23,0 42,0 60,0 90,0 
 
Após vários teses e estudos foi obtida a seguinte relação teórica entre o comprimento L da barra e a 
temperatura T. 
L= µRT2+ L0, 
onde µ é um coeficiente característico da liga metálica e R é o raio da barra. 
 
a) Utilizando o papel milimetrado e o conhecimento da relação teórica entre L e T construa um gráfico já 
linearizado. Esboce a melhor reta visual que se ajuste, segundo a sua avaliação, aos pontos experimentais. 
b) Utilizando o esboço da curva de ajuste (melhor reta visual), encontre o relacionamento analítico entre as 
grandezas L e T. 
c) Quais são os significados físicos da inclinação da reta e da interseção desta com o eixo vertical? 
d) Calcule o valor de µ sabendo que R=5,00 cm . (Lembre-se, jamais use pontos experimentais para esse 
cálculo). 
 
 
 
 
 
 
 
 21
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: LINEARIZAÇÃO DE CURVAS 
1. OBJETIVO: 
 Coleta de dados para serem utilizados como material para: 
 Construção de gráficos em papéis milimetrado e di-log (log-log). 
 Linearização de curvas. 
2. PRIMEIRA PARTE: 
2.1 PROCEDIMENTOS: 
a) Disponha verticalmente uma mola, estabelecendo, com segurança, a posição de equilíbrio de sua 
extremidade inferior sobre uma régua centimetrada. Suspenda, na extremidade livre da mola, um peso 
conhecido e meça o respectivo deslocamento vertical em relação à posição de equilíbrio. 
b) Repita o procedimento anterior para diferentes pesos, completando a tabela a seguir: 
 
F (gf) 10 20 30 40 50 60 70 
x (cm) 
2.2 ATIVIDADES: 
1) Construa, em um papel milimetrado, o gráfico F versus x correspondente, sendo F a ordenada e x a 
abscissa. 
2) Esboce a curva que, a seu juízo, melhor caracteriza o relacionamento entre essa grandezas físicas (Melhor 
reta visual). O relacionamento analítico entre as grandezas é linear? 
3) Utilizando a melhor reta visual feita em 2, determine o relacionamento analítico entre F e x. Para isso, 
encontre o valor das constantes a e b, lembrando que como a relação entre F e x é linear, F= ax+b. Qual 
o significado físico das constantes a e b? 
4) Faça a análise de regressão linear e determine o relacionamento analítico entre F e x. As grandezas F e x 
são diretamente proporcionais? (Faça essa análise através do cálculo do coeficiente de correlação linear r). 
3. SEGUNDA PARTE: 
3.1 PROCEDIMENTOS: 
a) Disponha, sobre um disco graduado em graus, dois espelhos planos formando um ângulo . 
b) Coloque à frente dos dois espelhos um objeto qualquer e conte o corresponde número de objetos N vistos 
nessa situação (N=Número de imagens mais 1, correspondente ao objeto real). 
c) Complete a tabela a seguir, repetindo o procedimento para os diferentes ângulos apresentados. 
 
 (grau) 45,0 60,0 72,0 90,0 120,0 180,0 
N(unidades) 
 
3.2 ATIVIDADES: 
1) Construa, em um papel milimetrado, o gráfico N versus . A relação entre essas grandezas é linear? 
 
2) Utilizando um papel milimetrado, linearize a curva. Através da melhor reta visual e da regressão linear, 
determine o relacionamento analítico entre N e . (Para isso, encontre os valores de a e b, sendo que a 
 22
relação analítica entre as grandezas é dada por N=a(1/)+b). Qual o significado físico de a e b? Calcule o 
coeficiente de correlação linear (r) entre N e 1/ e discuta o significado do resultado obtido? 
3) Linearize a curva, utilizando um papel di-log. Através da melhor reta visual e da regressão linear, 
determine o relacionamento analítico entre N e . (Para isso, encontre os valores de k e n, sendo que a 
relação analítica entre as grandezas é dada por N=kn). Calcule o coeficiente de correlação linear (r) entre 
log N e log  e discuta o significado do resultado obtido? 
 
OBSERVAÇÒES: 
1) As análises pela melhor reta visual e regressão linear SÓ PODEM ser feitas em gráficos já 
linearizados. 
2) Pode-se usar diretamente as funcionalidades da calculadora científica no cálculo de a, b e r pelo 
método da regressão linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS 
1. OBJETIVO: 
 Verificar experimentalmente a trajetória de um projétil em um plano e obter a velocidade inicial do 
projétil no caso de um lançamento horizontal. 
2. INTRODUÇÃO: 
Nesta prática, se fará um estudo do movimento parabólico. É pertinente lembrar que o movimento de 
uma partícula em queda livre não é necessariamente vertical. Considera-se queda livre todo movimento 
sujeito apenas à força gravitacional (peso), como é o caso do movimento parabólico de um “projétil”. A 
trajetória desse movimento deve ser analisada nas duas direções: 
 
• vertical (y). A componente vertical do vetor velocidade (v
y
) é variável, pois nesta direção atua a aceleração 
da gravidade (g), sempre para baixo, oriunda da força gravitacional. 
• horizontal (x): A componente horizontal do vetor velocidade (v
x
) é constante pois nenhuma força 
(desprezando qualquer tipo de resistência) atua sobre o corpo nessa direção. 
 
 Assim, as equações para cada componente, adotando o eixo vertical (y) positivo orientado para 
baixo, são: 
2
00 2
1
tatvrr

 . (1) 
Como na horizontal ax=0 e na vertical ay=g, teremos: 
1) Horizontal:tvxx x00  (2) 
2) Vertical: 200 2
1
gttvyy y  (3) 
No caso de um lançamento horizontal, como o que será realizado na prática, v0y=0. 
3. METODOLOGIA: 
 MATERIAL UTILIZADO: 
Calha, esfera, régua centimetrada, folha de papel carbono coberta com papel branco, fita adesiva, corda com 
peso na ponta (prumo), nível, papel milimetrado. 
 PROCEDIMENTOS: 
A Figura 1 ilustra o aparato que será utilizado para a realização do experimento. A esfera será 
abandonada do topo de uma calha (ponto A). No ponto B, tomado com a origem do sistema de referência 
(y0=0 e x0=0), a esfera abandonará a calha e atingirá o piso no ponto C. 
 Vamos fazer uma tabela com medidas diferentes de y e de x, mantendo para cada conjunto de 
medidas a mesma configuração inicial. Para isso, selecione um valor para a altura y e a seguir solte a esfera 
sempre de uma altura h fixa. Com isso conseguiremos para cada lançamento a mesma velocidade inicial no 
final da calha (ponto B). O ponto em que a esfera se choca com o piso (ponto C) refere-se ao alcance x 
correspondente a esta altura y. 
 24
Passos para a realização das medidas: 
 
a) Nivele a base horizontal da calha para 
garantir um lançamento horizontal (voy=0). 
 
b) Com o auxílio do prumo marque no piso o 
ponto x0=0. Esse ponto deve ser sempre o 
mesmo em todas as medidas. 
 
c) Marque o ponto inicial de lançamento na 
calha (Ponto A). 
 
d) Faça um lançamento teste para um 
determinado y e onde a esfera tocar o piso 
coloque a folha de papel carbono coberta com 
papel branco. A esfera deixará uma marca no 
papel branco e através desta marca o valor de 
x poderá ser obtido. 
 
 
e) Varie y 8 vezes e para cada valor de y faça 3 lançamentos. Meça com uma régua centimetrada o valor 
médio de x para cada y e complete a tabela a seguir. (Obtenha o valor médio de x visualmente) 
 
y (cm) 
x (cm) 
x2 (cm2) 
ATIVIDADES: 
1) Faça um gráfico de y versus x no papel milimetrado. Que tipo de relação existe entre x e y? 
2) Linearize o gráfico fazendo um gráfico de y versus x2
 
em um outro papel milimetrado. 
3) Encontre o relacionamento analítico entre as grandezas y e x. 
4) Quais são os significados físicos da inclinação da reta e da interseção desta com o eixo vertical? 
(DICA: Do movimento horizontal temos t = x/v
0X
. Substituindo este tempo na equação (3) você pode obter 
uma equação para y em função de x2. Esta será a equação para a trajetória do projétil, deduzida a partir das 
equações dadas.) 
5) Adotando-se o valor de g = 9,78 m/s
2
, determine a velocidade com que a esfera abandonou o extremo 
inferior da calha (vox). (Não utilizar pontos da tabela. Obter por análise gráfica). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto A 
h 
y
x 
Ponto B 
Ponto C 
g

 
Figura 1- Esquema do aparato experimental. 
 
 25
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: EQUILÍBRIO 
1. OBJETIVO: 
 Verificar experimentalmente o equilíbrio de uma partícula e o equilíbrio de um corpo rígido. 
2. INTRODUÇÃO: 
Sabe-se, pela Primeira Lei de Newton, que, se é nula a resultante de forças externas (Σ Fext) 
que atuam sobre um corpo, este permanecerá em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, configurando 
o que definimos como equilíbrio de translação. Essa Primeira Lei pode ser vista como um caso particular 
da Segunda Lei de Newton (Σ Fext = ma, onde m e a são, respectivamente, a massa e a aceleração 
translacional do corpo), pois, se Σ Fext = 0, a aceleração será nula (o corpo estará em repouso ou em 
movimento retilíneo uniforme). 
Deve-se observar que, se o corpo está sujeito a forças com componentes em três direções (eixos Ox, 
Oy e Oz), para que esteja em equilíbrio de translação deverão ser nulas simultaneamente as resultantes 
dessas componentes em cada um dos eixos, ou seja: 
Σ Fx = 0 
 Σ Fy = 0 (1ª. condição de equilíbrio) 
Σ Fz = 0 
 
Por outro lado, se o corpo é rígido e, por conseguinte, tem também possibilidade de girar em torno de um 
eixo qualquer, ele poderá estar em equilíbrio de translação, mas não em equilíbrio de rotação. Para que essas 
duas condições sejam satisfeitas, deverá ser também nula a somatória dos torques externos em relação a 
qualquer ponto O, ou seja, 
 
 Σ τext = 0 (2ª. condição de equilíbrio) 
 
Ressalte-se que o torque τO de uma força F em relação a um ponto O é definido como o produto 
vetorial da distância da força ao ponto por essa força, ou seja, τO = r x F. Assim, o vetor torque é 
perpendicular ao plano que contém os vetores r e F, sendo sua direção e seu sentido dados pela regra da mão 
direita. Quanto ao módulo do torque, pode-se, simplificadamente, calculá-lo pelo produto do módulo da 
força por seu braço, que é a distância perpendicular da linha de ação da força ao ponto. Deve-se observar, 
assim, que, caso a força externa esteja aplicada no ponto O ou tiver sua linha de ação passando por esse 
ponto, será nulo o respectivo torque em relação a esse ponto. 
3. METODOLOGIA: 
PRIMEIRA PARTE: EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA 
MATERIAL UTILIZADO: 
Quadro magnético, papel milimetrado, régua, pinos, roldanas, barbante, balança, um bloco de massa 
conhecida (mc) e dois blocos de massas desconhecidas (me e md). 
PROCEDIMENTO: 
 Passos para a realização das medidas: 
 
a) Faça, no quadro magnético, a montagem ilustrada na Figura 1, configurando uma situação de equilíbrio. 
b) Com o auxilio do papel milimetrado, obtenha os valores de cos(α), sen(α), tg(α), cos(β), sen(β) e tg(β). 
 
 
 
 
 26
M 
Centro de 
gravidade da 
barra 
Pino 
O 
θ
Papel 
milimetrado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1- Equilíbrio de partícula. 
 
ATIVIDADES: 
1) Aplicando 1ª condição de equilíbrio determine, de forma indireta, as massas desconhecidas me e md. 
(Dica: Utilize o valor conhecido de mc e os resultados das medidas feitas em b. 
2) Calcule o erro relativo percentual na determinação das massas desconhecidas. (Utilize a balança para 
obter o valor esperado das mesmas). 
3) Como, a partir dos valores experimentais obtidos para me e md, você poderia obter o valor das tensões das 
cordas da esquerda (Te) e da direita (Td)? 
SEGUNDA PARTE: EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO. 
MATERIAL UTILIZADO: 
Quadro magnético, papel milimetrado, pinos, roldana, barbante, balança, um bloco de diferentes massas, 
mola e uma barra homogênea de madeira 
PROCEDIMENTO: 
Passos para a realização das 
medidas: 
 
a) Faça, também no quadro 
magnético, a nova montagem 
ilustrada na Figura 2, 
configurando uma situação de 
equilíbrio para a barra (corpo 
rígido). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Faça um diagrama das forças que atuam sobre a barra. 
me 
mc 
md 
Papel 
milimetrado 
α β 
Figura 2- Equilíbrio de corpo rígido. 
 27
 
c) Com o auxilio do papel milimetrado, obtenha os valores do ângulo (θ) que a barra faz com a horizontal. 
 
d) Com o auxílio de uma régua ou de uma trena, obtenha os valores dos braços de alavanca dos componentes 
horizontal e vertical da força que o pino (articulação) exerce sobre a barra. Obtenha esses valores em relação 
ao ponto O indicado na Figura 2. 
 
e) Utilizando a balança obtenha os valores da massa da barra e da massa M. 
 
f) Retire o pino da articulação e, fazendo passar a extremidade de uma mola pelo furo no qual o pino se 
encontrava articulado, encontre uma posição para a mola que restabeleça a configuração de equilíbrio 
anterior. 
ATIVIDADES: 
1) Aplicando a 1ª condição de equilíbrio, determine os componentes horizontal e vertical da força resultante 
exercida pela articulação sobre a barra. A partir desses valores obtidos, escreva o vetor força resultante, 
calcule seu módulo e o ângulo φ que esse vetor força resultante faz com o eixo horizontal. 
2) Aplicando a 2ª condição de equilíbrio (calcule Σ τext em ao ponto O indicado na Figura 2), determine os 
componentes horizontal e vertical da força resultante exercidapela articulação sobre a barra. A partir desses 
valores obtidos, escreva o vetor força resultante, calcule seu módulo e o ângulo φ que esse vetor força 
resultante faz com o eixo horizontal. 
3) O vetor força exercida pela articulação sobre a barra está ao longo da barra? Justifique sua resposta. 
4) Os resultados encontrados anteriormente (módulo e direção da força da exercida pela articulação) estão de 
acordo com aqueles verificados utilizando-se a mola? Justifique sua resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 28
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: QUEDA LIVRE 
1. OBJETIVO: 
 Medir a aceleração da gravidade local a partir do estudo do movimento de uma esfera em queda 
livre. 
2. INTRODUÇÃO: 
 Ao longo do dia é muito comum observarmos o movimento de queda de objetos. Seja uma caneta 
que cai da mesa, um pingo de chuva que cai na terra ou mesmo uma folha seca que cai da árvore no inverno. 
Dessa forma, o estudo desse tipo de movimento se torna algo importante para o entendimento de processos 
tais como os exemplificados. Normalmente, num movimento de queda como esses, a força de atrito também 
influencia no movimento, entretanto, num tratamento mais simplificado, desconsiderando os efeitos desta 
força, pode-se dizer que a força peso é a responsável pela queda do objeto até o chão. Portanto, este objeto 
deve ter um movimento acelerado com aceleração igual à aceleração da gravidade, onde seu deslocamento 
vertical y , ao longo da queda, considerando o eixo y positivo de cima para baixo, será: 
2
00 2
1
attvyy  (1) 
onde 0y é a posição inicial do objeto, que pode ser considerado zero dependendo da referência escolhida, 
0v é a velocidade inicial de queda do objeto, que também pode ser considerada nula se o objeto parte do 
repouso, e a é o módulo da aceleração do objeto, que em queda livre é a própria aceleração da gravidade 
local g . Como a posição depende do tempo de queda, este é incluído como a variável t . Com essas 
considerações, temos que uma versão mais simplificada da equação acima é dada por: 
2
2
1
gty  (2) 
 Nota-se desta equação que o deslocamento de um objeto em queda livre ao longo da posição 
representada pela coordenada y aumenta com o quadrado do tempo de queda e que a constante de 
proporcionalidade está intimamente ligada à aceleração da gravidade no local da queda do objeto. 
3. METODOLOGIA: 
MATERIAL UTILIZADO: 
Dispositivo para medição de tempo, suportes, esferas e trena. 
 PROCEDIMENTOS: 
 Nesta prática deseja-se coletar dados de tempo de queda t referente à respectiva altura y da qual a 
esfera foi abandonada. 
 Passos para a realização das medidas: 
a) Disponha o equipamento como mostrado na Figura 1. Use uma esfera de 13 mm de diâmetro como o 
objeto em queda. 
b) Ajuste a altura da qual a esfera cai até a base, em 1,80m. Meça tal altura e anote o valor na Tabela 1. 
Pressione o botão RESET no medidor de tempo e libere o parafuso do disparador tal que a esfera seja 
liberada. Anote o valor de tempo medido, 1t , na Tabela 1. Repita a medida, anotando o correspondente valor 
2t . Calcule o valor médio do tempo, medt , e anote na tabela. 
 
 29
 
c) Repita o procedimento anterior para as diferentes alturas apresentadas na tabela. 
 
Esfera 
 
y (m) 
 
t1 (s) 
 
t2 (s) 
 
 
tmed (s) 
 
 
tmed
2 (s2) 
 
1,80 
1,60 
1,40 
1.20 
1,00 
0,80 
0,60 
Esfera de 
13 mm 
0,40 
 
Tabela 1: Dados coletados e calculados relativos à queda da esfera de 13mm de diâmetro. 
 
d) Repita os passos anteriores utilizando agora a esfera de 16 mm. 
 
Esfera 
 
y (m) 
 
t1 (s) 
 
t2 (s) 
 
 
tmed (s) 
 
 
tmed
2 (s2) 
 
1,80 
1,60 
1,40 
1.20 
1,00 
0,80 
0,60 
Esfera de 
16 mm 
0,40 
 
Tabela 2: Dados coletados e calculados relativos à queda da esfera de 16mm de diâmetro. 
 
ATIVIDADES: 
1) Para cada esfera, faça um gráfico de y versus tmed no papel milimetrado. Que tipo de relação prevê entre y 
e t? 
2) Linearize o gráfico relacionando, para cada esfera, y com 2medt em um outro papel milimetrado. Fazendo 
a análise pela melhor reta visual e pela regressão linear, encontre, em cada caso, o relacionamento analítico 
entre as grandezas y e 2medt . 
base 
Medidor de tempo 
Esfera no 
disparador 
 y 
Figura 1- Esquema de montagem do 
equipamento para medida do tempo de 
queda da esfera. 
 
 30
3) A partir dos gráficos linearizados, responda: 
 Qual o significado físico da interseção de cada reta com o eixo vertical ? E do respectivo 
coeficiente angular ? 
 A aceleração é constante para cada esfera? Como se conclui isso a partir dos gráficos? 
4) A partir de sua resposta anterior e dos dados obtidos, determine a aceleração da gravidade local. A 
aceleração obtida foi a mesma para cada esfera? 
5) Adotando g = (9,78 ± 0,01) m/s2como sendo o valor esperado para a aceleração da gravidade local, qual o 
erro relativo percentual obtido? 
6) Descreva o experimento e discuta sobre seus resultados. Sob que condições os resultados obtidos são 
válidos? Como os erros experimentais afetam as conclusões? Como se poderia melhorar o experimento? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: SEGUNDA LEI DE NEWTON 
1. OBJETIVO: 
 Determinar a relação existente entre a força aplicada em um corpo e a aceleração que este adquire. 
2. INTRODUÇÃO: 
 A todo momento observamos fenômenos dinâmicos ao nosso redor, como uma folha que cai no 
chão, uma pequena formiga carregando algo ou mesmo uma avalanche numa montanha coberta de neve. O 
fato de cada um destes eventos ocorrerem e gerarem diferentes efeitos sempre despertou o interesse por 
explicar estes fenômenos e entendê-los, pois desta forma, torna-se possível fazer previsões sobre cada um 
desses fenômenos. Diante deste mundo repleto de curiosidades, Isaac Newton desenvolveu uma relação para 
o estudo do movimento de objetos. A segunda lei formulada por este estudioso trata da relação existente 
entre a força aplicada sobre um corpo e a respectiva aceleração por este adquirida. Newton formulou que a 
soma de todas as forças externas aplicadas a um dado corpo é igual ao produto da massa do corpo pela sua 
aceleração, ou seja: 
amF

. (1) 
esta equação gerou grandes avanços no entendimento de diversos sistemas, pois permite calcular a força 
necessária para imprimir uma dada aceleração de módulo a , num corpo de massa m , bem como permite 
calcular a força aplicada em dado corpo de massa m , quando este tem uma dada aceleração de módulo a . 
Permitindo, assim, dimensionar diferentes sistemas antes de executá-los. 
3. METODOLOGIA: 
MATERIAL UTILIZADO: 
Detector de movimento do tipo “Photogate”, trilho de ar com um planador, polia, massas, linha, suportes. 
PROCEDIMENTO: 
Passos para a realização das medidas: 
 
a) Monte o trilho de ar de modo que este fique nivelado tal que o planador fique parado no trilho quando não 
estiver atuando forças externas. O planador não deve deslizar preferencialmente para nenhum lado. A 
distância D entre os Photogates deve se manter fixa. A Figura1 mostra o esquema da montagem. 
 
 
 
Figura1- Esquema da montagem do planador no trilho de ar. 
 
b) Meça o comprimento do planador (L), a massa do planador (mp) e a massa do suporte (ms) e anote o 
valor na tabela de dados . 
c) Monte o planador no trilho e amarre a linha tal que esta passe pela polia e prenda o suporte para as massas 
na outra extremidade. 
Photogate Photogate 
 Planador 
linha 
Polia 
Mesa 
L
Suporte 
D 
 32
d) Adicione uma massa de 100 gramas ao planador tal que esta estejam distribuídas igualmente entre um 
lado e o outro do planador (50 gramas de cada lado). Anote o valor da massa total m (massa do planador 
(mp) + massas adicionadas) na tabela de dados. 
e)Coloque uma massa de 10 gramas no suporte situado à extremidade da corda e anote o valor da massa 
total na tabela de dados como am (massa do suporte (ms) + massas adicionadas). 
f) Selecione o modo “Gate” do sensor (Photogate Timer). 
g) Escolha um ponto de partida 0x para o planador fazendo uma marca no trilho. O planador deve partir 
sempre deste mesmo ponto 0x em todos os experimentos. 
h) Pressione o botão "RESET". 
i) Tendo adicionado as massas e posicionado o planador, mantenha este firme no ponto de partida e solte-o. 
Colete os valores de tempo 1t , tempo que o planador gasta para passar pelo primeiro “Photogate” , e o tempo 
tgate. O tempo tgate pode ser obtido apertando o "READ" no controlador dos “Photogates”. Necessitaremos do 
tempo 2t , tempo que o planador gasta para passar pelo segundo “Photogate”. Este tempo é obtido da 
seguinte forma: 2t = tgate- 1t . Estas medidas devem ser repetidas três vezes. Tome o valor médio dos tempos 
obtidos de cada sensor. 
j) Tome cuidado de verificar se a linha permanece na roldana e não deixe que o planador volte no trilho após 
passar pelo segundo “Photogate”.Se isso ocorrer, refaça a medida. 
k) Selecione o modo “PULSE” do sensor (Photogate Timer). 
l) Pressione o botão "RESET". 
m) Liberando o planador do ponto 0x , meça o tempo 3t que este gasta para ir de um sensor ao outro. Repita 
esta medida três vezes e anote o valor médio. 
n) Varie a massa am mudando as massas do planador para a extremidade da corda (desta forma, a massa 
total amm será constante). Anote os valores das massas na tabela. Repita o procedimento completo de (f) a 
(m) para pelo menos cinco diferentes combinações de massas. 
 
ATIVIDADES: 
1) Na Figura 2 são ilustrados os diagramas das forças que atuam no planador e na massa suspensa na corda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura2- Esquema da diagramas das forças que atuam no planador e na massa suspensa na corda. 
 
Considere que a polia na Figura 1 tem massa desprezível e que a linha rola sem deslizar sobre a mesma. 
Partindo da equação (1) e dos diagramas ilustrado na Figura 2, mostre que: 
ammgm )( aa  , (2) 
 
 
2) Sabendo os valores médios dos tempos e o comprimento do planador, determine as o módulo das 
respectivas velocidades médias 1v ( 1v =L/ 1t ) e 2v ( 1v =L/ 2t ) do planador ao passar por cada sensor. Use a 
equação 312 /)( tvva  para determinar a o módulo da aceleração média do planador ao passar por entre 
os dois sensores. Determine, também, o módulo da força peso do suporte + massas adicionadas 
( gmP aa . onde 
2/78,9 smg  .) 
suporte + massas 
(ma) 
2T

 
)(a aPgm

 
Planador 
(m) 
1

 
gm

 
1T

 
1a

 
2a

 
 33
3) Em uma folha de papel milimetrado faça o gráfico de aF versus a. 
4) Através da melhor reta visual e da regressão linear, determine o relacionamento analítico entre aP e a. 
Qual o significado físico de a e b? Calcule o coeficiente de correlação linear (r) e discuta o significado do 
resultado obtido? 
 5) Tomando o valor de )( amm obtido na balança como sendo o valor esperado para esta grandeza, calcule 
o erro relativo percentual da prática. 
 
 
Tabela: valores de massa, tempo e valores calculados. 
 
Comprimento do planador: L =____________ metros. 
Massa do planador: mp=____________ gramas. 
Massa do suporte: ms=____________ gramas. 
m (gramas) ma (gramas) t1(s) tgate(s) t2(s) t3(s) v1 (m/s) v2 (m/s) a (m/s
2) Pa (N) 
 
 
 
 
t1m = tgatem = t2m = t3m = 
 
 
 
 
 
t1m = tgatem = t2m = t3m = 
 
 
 
 
 
t1m = tgatem = t2m = t3m = 
 
 
 
 
 
t1m = tgatem = t2m = t3m = 
 
 
 
 
 
t1m = tgatem = t2m = t3m = 
 
 
 
 
 
t1m = tgatem = t2m = t3m = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: ENERGIA MECÂNICA E MOMENTO LINEAR 
1. OBJETIVO: 
 Discutir as condições de conservação da energia mecânica e do momento linear de uma partícula. 
 Analisar experimentalmente o movimento de uma esfera, sob o ponto de vista de sua energia 
mecânica e seu momento linear. 
2. INTRODUÇÃO: 
 A palavra energia é derivada de energeia ("em ação" em grego) e sinteticamente relaciona-se à 
propriedade de um sistema que lhe permite realizar trabalho. Embora não se tenha uma definição completa 
sobre energia, seus diferentes tipos ou formas podem ser calculados e são bem caracterizados. 
 Um dos tipos importantes de energia e cujo entendimento nos permite analisar muitos fenômenos da 
natureza é a energia mecânica, definida como a soma da energia cinética com as modalidades de energia 
potencial. Em determinadas situações a energia mecânica total do sistema se conserva: nesse caso se a 
energia cinética aumenta, a energia potencial diminui da mesma quantidade, e vice-versa. Quando se fala em 
energia cinética deve-se levar em conta não só a energia cinética translacional (1) como também a energia 
cinética rotacional (2), modalidade que o sistema também possui quando gira em torno de um eixo. 
2
2mv
Ect  (1) 
2
2I
Ecr  (2) 
 Quando as forças externas que atuam sobre um sistema são chamadas de conservativas, os trabalhos 
por elas realizados não acarretam aumento tampouco diminuição da energia mecânica do sistema, mas tão 
somente a conversão de energia cinética em energia potencial, e vice-versa. A energia mecânica total do 
sistema é, portanto, conservada, nesse caso. Como exemplos típicos de forças conservativas temos a força 
gravitacional (peso), a força elástica e a força elétrica, cada uma delas associada a uma modalidade de 
energia potencial, respectivamente energia potencial gravitacional Ug, energia potencial elástica Uelast e 
energia potencial elétrica Uelet, tal que: 
mghU g  (3) 
2
2kx
U elast  (4) 
qVU elet  (5) 
 Por outro lado, existem forças que, ao realizarem trabalho sobre o sistema dissipam sua energia 
mecânica em calor. Essas forças são chamadas de forças dissipativas, sendo os exemplos característicos a 
resistência do ar e a força de atrito entre um bloco e uma superfície. 
 Existem também situações em que a força que atua sobre um sistema não é nem conservativa nem 
dissipativa. Neste caso, caso o trabalho realizado sobre essa força seja nula, a energia mecânica total do 
sistema pode aumentar ou diminuir, não sendo nesse último caso considerada dissipação. 
 Resumindo: 
 
 
 
 
 Uma outra grandeza física também muito importante é o momento linear ou quantidade de 
movimento p

, que, no caso de uma partícula, é definido como: 
vmp

 . (6) 
A energia mecânica de uma partícula só é conservada quando são conservativas 
as forças que realizam trabalho sobre ela. 
 35
Caso tenhamos não uma partícula isolada, mas um sistema de n partículas, a quantidade de movimento total 
será dada pela soma vetorial das quantidades de movimento das partículas individuais. 
 Observe que, diferentemente do caso da energia (grandeza escalar), a quantidade de movimento é 
uma grandeza vetorial, podendo ser demonstrado que, caso seja nula a resultante das forças externas que 
atuam sobre a partícula ou sistema de partículas, o correspondente momento linear total se conserva ( em 
módulo, direção e sentido). Esse princípio de conservação, que pode ser enunciado como apresentado 
abaixo, é muito importante em variadas situação da natureza (colisões de partículas macroscópicas e 
microscópicas e desintegração de nuclídeos, por exemplo). 
 
 
 Vamos, a seguir, em um exemplo típico, discutir o que ocorre com a energia mecânica e o momento 
linear de um sistema constituído por duas esferas de massas e raios iguais, designados, respectivamente, por 
m e R. 
 Considere que se abandone a primeira esfera de uma altura h (Ponto A) de uma rampa curva, ao final 
da qual se encontra uma outra esfera idêntica inicialmente em repouso (Ponto B). Após rolar sem deslizar, a 
primeira esfera colide com a outra esfera noPonto B. Após a colisão, as esferas abandonam a rampa, com 
velocidades horizontais, passando a descrever trajetórias parabólicas até chocarem no chão, atingindo 
alcances horizontais x1 e x2, como ilustrado na Figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para melhor análise, vamos dividir o fenômeno em três etapas: antes da colisão (1a etapa) , a colisão 
propriamente dita (2a etapa), e após a colisão (3a etapa). 
1a Etapa: 
 Como a primeira esfera rola sem deslizar durante a descida da rampa, e desprezando-se a resistência 
do ar, conclui-se que a única força que realiza trabalho sobre ela é o seu peso. Como essa força é 
conservativa, a energia mecânica do sistema constituída pelas das esferas se conserva nessa etapa, ocorrendo 
tão somente a transformação da energia potencial gravitacional da primeira esfera em energia cinética (de 
translação do centro de massa e de rotação em torno do eixo que passa por esse ponto). 
 Aplicando-se o princípio de conservação da energia mecânica, e lembrando que o momento de 
inércia da esfera é 2mR2/5, em relação ao eixo que passa por seu centro de massa, pode-se escrever que, 
imediatamente antes da colisão, a velocidade vcm do centro de massa da primeira esfera será: 
7
10gh
vcm  . (7) 
Note que, nessa etapa, a quantidade de movimento do sistema não se conserva, pois a primeira esfera está 
sujeita a força resultante não-nula. 
Se é nula a resultante das forças externas que atuam sobre um sistema em um processo, 
sua quantidade de movimento total se conserva (em módulo, direção e sentido). 
h 
H 
x2
x1
Ponto A 
Ponto B 
Figura 1- Esquema do aparato 
experimental. 
 
 36
2a Etapa: 
 Pode ser demonstrado que, pelo fato de serem diferentes os alcances horizontais após a colisão, a 
colisão é inelástica, com perda de energia mecânica do sistema na colisão ( em forma de calor, som, etc.). 
 Por outro lado, a quantidade de movimento total das duas esferas se conserva, pois durante a colisão 
é nula a resultante das forças externas (peso, normal e a força que uma esfera exerce sobre a outra) sobre as 
duas esferas. Assim, e considerando-se v'1 e v
'
2 os módulos das velocidades (horizontais) das esferas projétil e 
alvo, imediatamente após a colisão, respectivamente, pode-se escrever: 
'
2
'
17
10
mvmv
gh
m  . (8) 
3a Etapa: 
 Após a colisão, a energia mecânica do sistema volta a se conservar pois a resistência do ar é 
desprezível e novamente a única força que realiza trabalho é o peso de cada esfera. 
 Como a componente horizontal da velocidade de cada esfera se manterá constante, as esferas passa a 
descrever movimentos parabólicos após a colisão. Assim, são seguintes as relações entre v'1 e v
'
2 e os 
respectivos alcances x1 e x2, onde tq é o tempo de queda: 
qt
x
v 1'1  (9) 
qt
x
v 2'2  (10) 
 Observe que tq é o mesmo para as duas esferas, já que ambas percorrem a mesma distância vertical. 
Substituindo essas equações na relação decorrente da aplicação da conservação do momento linear, e 
observando que tq é constante, pois H é fixa e o mesmo para as duas esferas, obtém-se: 
'
2
'
2
2
1
7
10
mvv
x
x
m
gh
m 





 (11) 












 1
7
10
2
12
x
x
t
xgh
q
 (12) 
 A relação entre o tempo de queda tq e a altura H pode, por outro lado, ser obtida da equação horária 
do movimento vertical (queda livre). 
2
2
qgtH  , (13) 
onde g é o módulo da aceleração da gravidade local. 
 Substituindo essa relação na equação anterior, obtém-se: 
 22120
7
xx
H
h 




 (14) 
donde se conclui que a altura h é proporcional ao quadrado da sma dos alcances horizontais das esferas, ou 
seja: 
 221 xxkh  (15) 
onde k=(7/20H). 
 
3. METODOLOGIA: 
MATERIAL UTILIZADO: 
Plataforma de lançamento de projéteis,duas esferas de massas e raios aproximadamente iguais, trena 
milimetrada com nível, linha de prumo, formulário contínuo com papel carbono. 
 
 37
PROCEDIMENTOS: 
 Passos para a realização das medidas: 
a) Faça uma montagem similar à ilustrada da Figura 1, fixando a altura H em torno de 1, 50 m. 
b) Nivele a plataforma e, com a linha de prumo, registre no piso a referência a partir da qual serão medidos 
os alcances horizontais ilustrados na Figura 1. 
c) Disponha no piso folha(s) de formulário contínuo com carbono para registrar as alcances horizontais das 
duas esferas após a colisão. 
d) Coloque uma esfera em repouso ao fim da parte plana da plataforma. 
e) Abandone a outra esfera na outra extremidade da plataforma, a uma altura h  0, 45 m em relação ao nível 
inferior, e, após a colisão das esferas, meça os alcances horizontais x1 e x2. Obtenha uma média dessas 
medidas, a partir de três repetições. 
f) Repita o procedimento anterior para diferentes alturas (h  0, 05 m), completando a tabela abaixo: 
 
 
h (m) x1 (m) x2 (m) (x1 + x2) (m) (x1 + x2)
2 (m2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1: Dados coletados e calculados. 
ATIVIDADES: 
1) Construa o gráfico h versus (x1 + x2). 
2) Linearize o gráfico e obtenha os respectivos parâmetros angular e linear, bem como o coeficiente de 
correlação linear r. Lembre-se que, neste caso y = h e x = (x1 + x2)
2. 
3) Discuta o relacionamento analítico entre h e (x1 + x2). 
4) Baseado(a) nos resultados experimentais, responda: a energia mecânica e o momento linear se conservam 
durante o fenômeno observado? Por que? 
5) Faça comentários sobre a metodologia utilizada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
PRÁTICA: OSCILAÇÕES 
1. OBJETIVO: 
 Observar experimentalmente e discutir alguns fenômenos oscilatórios 
2. INTRODUÇÃO: 
 Na natureza há um grande número de processos que se repetem em intervalos de tempo iguais. São 
os chamados fenômenos periódicos, entre os quais podem ser citados o movimento de um pêndulo, a 
oscilação de um massa suspensa em uma mola e a vibração de uma corda. Embora se diferenciem, a natureza 
destas oscilações é bastante análoga as formulações matemáticas utilizadas para descrevê-la. Uma grandeza 
física fundamental para a análise de todos esses fenômenos é o período T, definido como o tempo 
correspondente a uma oscilação completa. Já ao número de oscilações efetuadas por unidade de tempo 
denominamos frequência f, sendo a relação entre essas grandezas 
T
f
1
 . (1) 
 Se o período é expresso em segundos (s), a frequência deverá ser expressa em s-1 ou hz (hertz). Pode-
se demonstrar que, na ausência de atritos, o período de uma massa m que oscila verticalmente na 
extremidade de uma mola de constante elástica k é dado por: 
k
m
T 2 . (2) 
 Por outro lado, no caso de uma massa m oscilando na extremidade de um fio de comprimento L 
numa região onde a aceleração gravitacional é g, o período de oscilação, também na ausência de efeitos 
dissipativos, será: 
 


































 ......
24
3
2
1
22
1
12 4
2
2
2
2
2
mm sensen
g
L
T

 , (3) 
 
onde θm é o deslocamento angular máximo da massa (amplitude de oscilação). Pode-se então concluir que, 
no caso da oscilação de um pêndulo com amplitude inferior a 15º, os termos senoidais são muito pequenos, 
sendo o período dependente praticamente apenas do comprimento L e da aceleração gravitacional g, isto é: 
g
L
T 2 . (4) 
 
 Cada um desses osciladores, conjunto bloco-mola e pêndulo simples (este no caso de pequenas 
amplitudes) apresentam, portanto, uma única frequência natural, podendo ressonar (entrar em ressonância) 
com um agente externo que atue sobre o sistema com uma frequência igual ou muito próxima da respectiva 
frequência natural. Como pode ser demonstrado, esse fenômeno (ressonância) é caracterizado pela 
otimização de transferência de energia (do agente externo para o sistema oscilante), ocasionando uma 
significativa elevação na amplitude de oscilação. 
 Diferentemente dos dois sistemas acima