AULA 5 Medidas de Assimetria e Curtose

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ESTATÍSTICA DESCRITIVA – MEDIDAS DE ASSIMETRIA 
E DE CURTOSE
Prof.: Dr. FRANCISCO DE OLIVEIRA MESQUITA
PAU DOS FERROS - RN
AGOSTO De 2016
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS
CURSO: BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
Divisão da Estatística descritiva
 Distribuição de frequências;
 Medidas de posição;
 Medidas de dispersão;
 Medidas de assimetria;
 Medidas de Curtose;
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+ diagrama de ramo e folha
Medidas de Assimetria e curtose
3
Medidas de assimetria
 As medidas de assimetria indicam o grau de
afastamento de uma distribuição de frequências da
unidade de simetria.
 Quanto ao grau de achatamento das distribuições de
frequências, estas podem ser classificadas como:
 Distribuição Simétrica;
 Distribuições Assimétricas positiva;
 Distribuições Assimétricas negativa;
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Distribuição Simétrica
 Uma distribuição simétrica é quando ocorre a
igualdade dos valores da média, mediana e a moda.
Eis um exemplo gráfico de distribuição de simetria.
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Assimétrica positiva (direita)
 É quando os valores da moda, da mediana e da
média divergem bastante para o lado direito da cauda,
sendo que quando mais longe for a cauda, a média fica
mais distante.
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Assimétrica negativa (esquerda)
 É quando os valores da moda, da mediana e da
média divergem bastante para o lado esquerdo da
cauda, sendo que quando mais longe for a cauda, a
média fica mais distante.
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Coeficiente de assimetria
 O Coeficiente de Assimetria de Pearson, Ap, baseia-se
na posição relativa das medidas de tendência central
de acordo com o tipo de assimetria dos dados (ver
Figura abaixo).
 Ele é definido como:
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Calculo o coeficiente de assimetria 
de Person (Ap)
Para calcular o Ap, temos duas fórmulas:
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Calculo o coeficiente de assimetria 
de Person (Ap)
Calcular o Ap:
Dados,
 Média=2,2
 Moda=2
 Desvio=1,03
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Ap = 2,2 – 2
1,03
Ap = 0,19
Assimetria positiva
Medidas de Curtose
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Medidas de curtose
 Denomina-se curtose o grau de achatamento da
distribuição.
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Distribuição mesocúrtica
 Uma distribuição nem chata, nem delgada, chama-se
de distribuição mesocúrtica.
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Distribuição leptocúrtica
 É quando um conjunto de dados apresenta uma
distribuição delgada, e com isso, chama-se de
distribuição leptocúrtica.
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Distribuição platicúrtica
 É quando um conjunto dedos apresenta uma
distribuição achatada, e com isso, tem-se uma
distribuição do tipo platicúrtica.
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Qual metodologia para encontrar 
a curtose?
Para medir o grau de curtose, utiliza-se o coeficiente K:
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Formulas
 Quartil 1:
 Q1 = Lic + [∑fi / 4 – Fi anterior] x h 
 Quartil 3: Lic + [3 x ∑fi / 4 – Fi anterior] x h 
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amplitude
fi
fi
Exemplo
 Frequências da altura dos alunos da disciplina de
estatística.
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Q3
Q1
20
21
Exemplo
 Frequências da altura dos alunos da disciplina de
estatística.
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P90
P10
23
24
Calcular Q1
Passos para determinar o Q1:
 ∑fi / 4 = 40 / 4 = 10 (10º posição ( está entre 5º e 13º = 13 
classe);
 Limite inferior da classe = 154
 Fi anterior=4
 Amplitude (h) = 4
 Frequência da classe = 9
20
Trabalhar os elementos dessa classe
Q1 = Lic + [∑fi / 4 – Fi anterior] x h
fi
Q1 = 154 + [10 – 4] x 4
9
Q1 = 156,66
Calcular Q3
21
 Passos para determinar o Q3:
 3 x ∑fi / 4 = 40 / 4 = 30 (30º posição ( está entre o 25 º e 
32º)=32 classe);
 Limite inferior da classe = 162
 Fi anterior=24
 Amplitude (h) = 4
 Frequência da classe = 8
Trabalhar os elementos dessa classe
Q3 = Lic + [3 x ∑fi / 4 – Fi anterior] x h
fi
Q3 = 162 + [30 – 24] x 4
8
Q3 = 165
Calcular P10 e P90
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Determinar os percentis P10 e P90:
 P10 = Lic + [10 x ∑fi / 100 – Fi anterior] x h 
fi
 P90: Lic + [90 x ∑fi / 100 – Fi anterior] x h 
fi
Calcular P10
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 Passos para determinar o P10:
 10 x ∑fi / 100 = 10 x 40 / 100 = 4 (4º posição (que está entre o 
1º e a 4º posição=4 classe);
 Limite inferior da classe = 150
 Fi anterior=0
 Amplitude (h) = 4
 Frequência da classe = 4
Trabalhar os elementos dessa classe
P10 = Lic + [10 x ∑fi / 100 – Fi anterior] x h
fi
P10 = 150 + [4 – 0] x 4
4
P10 = 154
Calcular P90
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 Passos para determinar o P10:
 90 x ∑fi / 100 = 90 x 40 / 100 = 36 (36º posição (36 a0 40=40 
classe);
 Limite inferior da classe = 166
 Fi anterior=32
 Amplitude (h) = 4
 Frequência da classe = 5
Trabalhar os elementos dessa classe
P90 = Lic + [90 x ∑fi / 100 – Fi anterior] x h
fi
P90 = 166 + [36 – 32] x 4
5
P90 = 169,5
Estudo das Medidas de Curtose
Classificação do coeficiente - K
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Calcular a curtose
 Mediante os quatro valores encontrados, Q1=156,66; 
Q3=165; P10=154; P90=171,33, temos:
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C = 0,269
Classificação=platicúrtica
Referências básica
 BUSSAB, W.O. & MORETTIN, P.A. Estatística básica. 8. Ed. São Paulo: Atual,
2013.
 DEVORE, J. L. Probabilidade e Estatística para engenharia e ciências. São
Paulo: Cengage Learning, 2011.
 LEVINE, D. N.; STEPHAN, D. F.; KREHBIEL, T. C. & BERENSON, M. L.
Estatística Teoria e Aplicações Usando o Microsoft Excel em Português.
6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
 MONTGOMERY, D.C. e RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e
Probabilidade para Engenheiros. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
 TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. 11.ed. LTC, 2013.
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Referências complementar
 AKANIME, C. T. & YAMAMOTO, R. K. Estudo Dirigido de Estatística Descritiva. 2.
ed. São Paulo: Érica, 2009.
 AZEVEDO, P. R. M. Introdução à Estatística. Rio Grande do Norte: EDUFRN, 2005.
 CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 1991.
 DANTAS, C. A. B. Probabilidade: um curso introdutório. 2. ed. 1. reimpressão - São
Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2004.
 FONSECA, J. S. & MARTINS, G. A. Curso de Estatística. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2011.
 MAGALHÃES, M. N.. & LIMA, A. C. P. Noções de Probabilidade e Estatística. 4ed.
São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo. 2002
 SPIGEL, M.R. Estatística (Coleção Schaum). 3. Ed. São Paulo: Grupo Pearson. 1994.
 MENDES, F. C. T. Probabilidade para Engenharias. Rio de Janeiro: LTC, 2010.
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