Medidas de Assimetria e de Curtose

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Discplina: Análise Estatística
Aula 5: Medidas de Assimetria e de Curtose
Introdução
Na aula 4, fizemos as análises dos dados por meio de gráficos capazes de transmitir o
comportamento dos dados de uma análise estatística, utilizando o Excel 2007.
Nesta aula, veremos como encontrar as medidas de assimetria e de curtose,
complementando a informação contida nas medidas de posição. Com a ideia de
média, moda e mediana, bem como o de quartis e percentis, você verá o quanto na
curva de distribuição dos dados a média está deslocada em relação à mediana.
Também verá o grau de achatamento de uma distribuição em relação à curva normal.
A curva normal corresponde a uma distribuição teórica de probabilidade.
Veremos o significado e a forma de determinar os coeficientes de assimetria de
curtose, bem como a interpretação dos seus resultados.
Objetivos
Apresentar o significado das medidas de assimetria e de curtose, bem como
determinar seus coeficientes;
Compreender como interpretar os resultados de assimetria e de curtose.
Medidas de Assimetria
Nas aulas anteriores, vimos a natureza da assimetria, isto é, quando a curva
de frequência se afasta da posição de simetria, sendo simétrica quando a
média e a moda coincidem, ou seja, possuem o mesmo valor.
A curva de uma distribuição simétrica tem por
característica que o valor máximo encontra-se no ponto
central da distribuição. Desta forma, os pontos
equidistantes do centro possuem a mesma frequência.
Quando se faz um levantamento estatístico, dificilmente encontramos, na
prática, uma distribuição simétrica. O que ocorre, em levantamentos de dados
reais, são medidas mais ou menos assimétricas em relação à frequência
máxima.
A distribuição assimétrica à esquerda ou negativa ocorre quando o valor da
moda é maior do que a média. Logo, a distribuição assimétrica à direita
ou positiva ocorre quando a moda é menor do que a média.
Desta forma, a diferença entre a moda e a média poderá definir o tipo de
assimetria.
Calculando o valor da diferença
x = Mo
x - Mo = 0 → Assimetria nula ou distribuição simétrica.
x = Mo < 0 → Assimetria negativa ou à esquerda.
x - Mo > 0 → Assimetria positiva ou à direita.
Exemplos
Logo, usando a fórmula (x - Mo), tem-se:
Distribuição A
5 – 5 = 0 → Assimetria nula ou distribuição simétrica.
x = 5; 
Md = 5; 
Mo = 10; 
S = 5,0912;
Distribuição B
5,375 – 6,6 = – 1,225 → Assimetria negativa ou à esquerda.
x = 5,375; 
Md = 5,75; 
Mo = 6,6; 
S = 5,5088;
Distribuição C
4,75 – 4,5 = 0,25 → Assimetria positiva ou à direita.
x = 4,75; 
Md = 4,5; 
Mo = 3,5; 
S = 4,8389;
Coeficiente de Assimetria
A fórmula x = Mo não permite fazer comparações entre duas distribuições
com relação ao seu grau de assimetria. Desta forma, o coeficiente de
assimetria de Pearson é muito utilizado para verificar o grau de assimetria das
curvas de distribuição, definido como:
Se o resultado for:
0,15 <| As |< 1 → Assimetria moderada.
| As |> 1 → Assimetria forte.
Considerando o exemplo anterior, os coeficientes de Pearson para as
distribuições A, B e C são:
Distribuição A
Simetria.
Distribuição B
Assimetria negativa ou à esquerda (assimetria moderada).
Distribuição C
As =
3( −Md)x¯
s
A =
S
A
3(5−5)
5,0912
A = = = 0, 204S
B
3(5,375−5,75)
5,5088
−0,375
5,5088
Assimetria positiva ou à direita (assimetria moderada).
Medida de Curtose
Quando a distribuição apresenta uma curva de frequência com dados mais
concentrados em torno da média do que a curva normal, ela chama-se
leptocúrtica.
A curva normal, tomada por base para classificação do achatamento das
distribuições de frequências, recebe o nome de mesocúrtica.
A = = = 0, 155S
C
3(4,75−4,5)
4,8389
0,25
4,8389
Quando a distribuição apresenta uma curva de frequência com dados mais
dispersos em relação à média do que na curva normal, essa distribuição
chama-se platicúrtica.
Coeficiente de Curtose
A fórmula que determina a medida da curtose, isto é, o grau de achatamento
da curva, é:
Essa fórmula é denominada como coeficiente percentílico de curtose.
O coeficiente de curtose define o grau de achatamento da curva, da seguinte
forma:
C = 0,263 
Curva mesocúrtica.
C < 0,263 
Curva leptocúrtica.
C > 0,263 
Curva platicúrtica.
C =
Q3−Q1
2( − )P
90
P
10
A análise conjunta da assimetria e curtose da distribuição de frequências pode
fornecer informações importantes sobre os dados obtidos, que muitas vezes
não aparecem na simples observância dos valores obtidos.
A assimetria nos mostra o quanto a média se desloca para a direita ou para a
esquerda, mostrando, também, como algumas condições impostas sobre a
população podem influenciar o resultado e deslocamento da média.

Atenção
O grau de curtose indica se a distribuição está mais ou menos
concentrada, fazendo com que a curva esteja mais ou menos achatada
em relação à curva normal (curva mesocúrtica), padrão de referência
para a classificação do grau de curtose.
Atividade
Sejam as seguintes medidas, relativas às distribuições de frequências A,
B e C:
DISTRIBUIÇÕES
A 930 809 1020 780
B 82,4 65,8 88,6 57,0
C 46,5 29,7 51,2 20,9
Utilizando a fórmula denominada coeficiente percentílico de curtose,
determine os graus de curtose para determinar o tipo de curva em cada
uma das distribuições:
Distribuição A
 Curva Mesocúrtica
 Curva Platicúrtica
 Curva Leptocúrtica
Distribuição B
 Curva Mesocúrtica
 Curva Platicúrtica
 Curva Leptocúrtica
Distribuição C
 Curva Mesocúrtica
 Curva Platicúrtica
 Curva Leptocúrtica
Referências
BRUNI, Adriano Leal; PAIXÃO, Roberto Brazileiro. Excel aplicado à gestão
empresarial. 1.ed. São Paulo: Atlas, 2008. 
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. 19.ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 
KAZMIER, Leonard J. Estatística aplicada à Economia e Administração. 4.ed.
Porto Alegre: Artmed, 2007
Próximos Passos
Probabilidade e seus principais teoremas;
Significado e aplicação dos eventos complementares, eventos independentes e
eventos mutuamente exclusivos.