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Aula 01 Matemática Financeira e Raciocínio Lógico p/ SEFAZ/PE Professor: Arthur Lima ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������ AULA 01: JUROS � SUMÁRIO PÁGINA 1. Teoria 01 2. Resolução de exercícios 27 3. Lista de exercícios resolvidos 81 4. Gabarito 105 � Olá! Hoje vamos tratar dos tópicos de matemática financeira que versam sobre juros, presentes no seu edital: Conceito de juros e regimes de capitalizações. Capitalização simples e Capitalização composta. Cálculo de montante, juros, principal, taxa e tempo; Convenções linear e exponencial aplicadas a períodos fracionários; Taxas equivalentes, nominais e efetivas. Equivalência de capitais. Taxas aparente e real de juros; taxa de inflação. Tenha uma boa aula! � 1. TEORIA Juros é o termo utilizado para designar o “preço do dinheiro no tempo”. Quando você pega certa quantia emprestada no banco, o banco te cobrará uma remuneração em cima do valor que ele te emprestou, pelo fato de deixar você ficar na posse desse dinheiro por um certo tempo. Esta remuneração é expressa pela taxa de juros. Existem duas formas principais, ou regimes, de cobrança de juros: juros simples e juros compostos. Você deve conhecer as duas, saber efetuar cálculos com cada uma delas, e distinguir situações onde se aplicam uma ou outra. 1.1 JUROS SIMPLES – INTRODUÇÃO 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������ Continuemos com o exemplo em que você contratou um empréstimo junto ao banco. Pode ser que fique combinado que será cobrada uma taxa de juros mensal apenas sobre o valor emprestado inicialmente. Não serão cobrados “juros sobre juros”, isto é, sobre o valor que vai sendo acrescido à dívida a cada mês. Neste caso, estamos diante da cobrança de juros simples. Para ilustrar, imagine que você pegou um montante de R$1000 emprestados com o banco a uma taxa de juros simples de 10% ao mês, para pagar após 5 meses. Quanto você deverá pagar ao banco ao final dos 5 meses? Como foi contratado um empréstimo a juros simples, ao final do primeiro mês você deve aplicar a taxa de juros (10%) sobre o capital inicial (R$1000). Como 10% de 1000 é igual a 100, podemos dizer que ao final do primeiro mês a dívida subiu para R$1100, onde R$1000 correspondem ao montante inicial e R$100 correspondem aos juros incorridos no período. Ao final do segundo mês, serão devidos mais 10% de 1000, ou seja, mais 100 reais. Ao final do terceiro, quarto e quinto meses serão devidos mais 100 reais por mês. Portanto, ao final de 5 meses você deverá devolver ao banco o capital inicial acrescido de 5 parcelas de 100 reais, totalizando R$1500. Deste valor, 500 reais referem-se aos juros (“preço” que você paga por ter ficado com 1000 reais do banco durante 5 meses) e 1000 reais referem-se ao Principal da dívida, que é outra forma muito comum de designar o capital inicialmente obtido. Podemos usar simplesmente a fórmula abaixo: = × + ×(1 )M C j t Nessa fórmula, C é o capital inicial (R$1000), j é a taxa de juros (10% ao mês), t é o período analisado (5 meses), e M é o montante (valor total) devido ao final dos “t” períodos. Observe que a taxa de juros e o período analisado devem referir-se à mesma unidade temporal (neste caso, ambos referem-se a meses). Se elas não estiverem na mesma unidade, o primeiro passo da resolução deve ser a uniformização destas unidades, como veremos mais adiante neste curso. A fórmula acima pode ser dividida em duas partes, tirando os parênteses: = + × ×M C C j t 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������ Nesta fórmula, ×C j é o valor dos juros pagos a cada período (R$100), que é sempre igual. Já × ×C j t é o total pago na forma de juros (neste caso, R$500). Portanto, o valor dos juros totais devidos é simplesmente: = × ×J C j t Veja ainda que o valor dos juros totais é igual à diferença entre o Montante e o Capital inicial: J = M – C Veja que as fórmulas apresentadas possuem 4 variáveis (C, M, j e t). A maioria dos exercícios envolvendo juros simples fornecerão 3 dessas variáveis e perguntarão a quarta. O exercício poderia ter dito que João pegou R$1000 emprestados à taxa de juros simples de 10% ao mês, e perguntar quanto tempo levaria para que o valor devido chegasse a R$1500. Assim, você teria C = 1000, j = 10% e M = 1500, faltando encontrar t: = × + × = × + × = + × = + × = × = (1 ) 1500 1000 (1 10% ) 1500 1 0,1 1000 1,5 1 0,1 0,5 0,1 5 M C j t t t t t t Como a taxa de juros refere-se a meses, então t = 5 meses. Exercite esta fórmula resolvendo o exercício abaixo. 1. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) Um aplicador realizou um investimento cujo valor de resgate é de R$ 80.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros simples é 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������ de 3,5% ao mês e que faltam 5 meses para o resgate, o valor da aplicação, em reais, foi de: a) 68.085,10 b) 66.000,00 c) 65.000,00 d) 64.555,12 e) 63.656,98 RESOLUÇÃO: Observe que, nessa questão, R$80.000,00 não é o valor que foi investido inicialmente (capital inicial), mas sim o valor obtido ao final dos 5 meses de investimento. Portanto, trata-se do montante final, isto é, M = 80.000 reais. Além disso, foi dito que a taxa de juros é j = 3,5% a.m., e o tempo de aplicação é t = 5 meses. Utilizando a fórmula de juros simples, podemos descobrir o valor que foi investido no início (C): = × + × = × + × = × + = × = = (1 ) 80000 (1 0,035 5) 80000 (1 0,175) 80000 (1,175) 80000 68085,10 1,175 M C j t C C C C Resposta: A Obs.: observe que um investimento financeiro é tratado com a mesma fórmula que utilizamos para cálculo do empréstimo ao longo da exposição teórica. Isto porque, na realidade, temos uma coisa só: sempre que existe um empréstimo ocorre, simultaneamente, um investimento. Quando você pega um valor emprestado junto ao banco, a instituição financeira está fazendo um investimento, que será remunerado pelos juros pagos por você. 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������ 1.2 JUROS COMPOSTOS – INTRODUÇÃO Em alguns casos, os juros não incidirão apenas sobre o capital inicial de um empréstimo. Eles incidirão sobre o valor devido, que aumenta a cada período (pois ao capital inicial vão sendo somados os juros devidos nos períodos anteriores). Por isso, os juros devidos em um mês serão diferentes dos juros devidos no mês seguinte. Vamos usar o mesmo exemplo: você contrata R$1000 de empréstimo junto ao banco, por um período de 5 meses e taxa de juros compostos de 10% ao mês. Qual é o valor devido ao final de 5 meses? Ao final do primeiromês, aplicaremos a taxa de 10% sobre todo o valor devido, que neste caso é o próprio capital inicial (1000 reais), resultado em juros de 100 reais. Ou seja, ao fim deste mês você estará devendo 1100 reais. Ao final do segundo mês, aplicaremos novamente a taxa de 10% sobre todo o valor devido, que não é mais 1000 reais, e sim 1100 reais. Logo, os juros relativos ao segundo mês somam R$110 reais (e não 100). A dívida total chegou a R$1210 (1100+110). Portanto, ao final do terceiro mês serão devidos mais R$121 em juros, que resulta da aplicação de 10% sobre R$1210. E assim sucessivamente. Veja que: - ao final do primeiro período, o valor total devido é o mesmo que no caso dos juros simples (R$1100). Essa propriedade é importantíssima: juros simples e juros compostos são equivalentes para um único período. - a partir do segundo período, o valor total devido é maior no caso de juros compostos (R$1210) do que no caso de juros simples (R$1200). Ou seja, os juros compostos são mais onerosos que os juros simples, a partir do segundo período! Uma informação adicional: para períodos de tempo fracionários (t entre 0 e 1), os juros simples são mais onerosos que os juros compostos! A fórmula para cálculo de juros compostos é: = × +(1 )tM C j As questões que versam a respeito de juros compostos costumam seguir a mesma linha: apresentam 3 das 4 variáveis e pedem para você calcular a restante. Como o tempo (“t”) está no expoente, será preciso trabalhar com potências e raízes, e em alguns casos com o logaritmo. 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������ Sobre logaritmos, a propriedade mais importante a ser lembrada é que, sendo dois números A e B, então: log AB = B x log A (o logaritmo de A elevado ao expoente B é igual a multiplicação de B pelo logaritmo de A) Vale lembrar que quando escrevemos simplesmente “log”, estamos nos referindo ao logaritmo com base 10. Assim, também é importante recordar que: log10 = 1 (o logaritmo de 10, na base 10, é igual a 1) Estas propriedades são úteis quando nosso objetivo é encontrar o valor do prazo “t”, que se encontra no expoente da fórmula = × +(1 )tM C j . Imagine que vamos investir C = 2000 reais a uma taxa composta j = 2% ao mês, e pretendemos obter o triplo do valor inicial, ou seja, M = 6000 reais. Veja como obter o prazo deste investimento: M = C x (1 + j)t 6000 = 2000 x (1 + 0,02)t 6000 / 2000 = 1,02t 3 = 1,02t Aplicando o logaritmo aos dois lados dessa igualdade, temos: log 3 = log 1,02t O enunciado normalmente fornecerá o valor de alguns logaritmos. Digamos que seja informado que log 3 = 0,477, e que log 1,02 = 0,0086. Antes de utilizar esses valores, devemos lembrar que log AB = B x log A, ou seja, log 1,02t = t x log 1,02. Assim: log 3 = t x log 1,02 0,477 = t x 0,0086 t = 0,477 / 0,0086 t = 55,46 meses 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������ Portanto, é preciso investir os 2000 reais por mais de 55 meses para obter o valor pretendido. Para facilitar as contas, em alguns casos a sua prova pode fornecer tabelas com valores para +(1 )tj , normalmente usando as letras +(1 )ni , para diferentes valores de i e diferentes valores de n. O termo +(1 )ni é chamado de Fator de Acumulação de Capital (FAC). Basta você olhar na tabela qual o valor correto da expressão +(1 )ni para a taxa de juros “i” e tempo “n” que você tiver em seu exercício. Veja abaixo um exemplo desta tabela: Se, em uma questão de prova, a taxa de juros de um empréstimo for de 5% ao mês e o período do empréstimo for de 7 meses, teríamos uma fórmula de juros compostos assim: M = C x (1 + 5%)7 Calcular o fator (1 + 5%)7 manualmente seria impraticável em uma prova. Entretanto, veja que marquei na tabela fornecida o valor do fator de acumulação de capital para i = 5% e n = 7 períodos. Podemos dizer que (1 + 5%)7 = 1,4071. Portanto, uma pessoa que contratasse um empréstimo no valor inicial C teria que pagar, ao final de 7 meses e com taxa de 5% ao mês, o valor final M = 1,4071xC. Atenção: ao invés de fornecer a tabela, o exercício poderia ter simplesmente dito que, para taxa de 5% ao mês e 7 períodos, o valor do fator de acumulação de capital é 1,4071. Comece a praticar os conceitos relativos a juros compostos resolvendo a questão abaixo: 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������ 2. FGV – ICMS/RJ – 2011 – Adaptada) Um indivíduo tem uma dívida de R$ 500,00 cuja taxa de juros é de 10% ao mês, juros compostos. Após três meses, essa dívida é (A) R$ 675,00. (B) R$ 650,00. (C) R$ 645,50. (D) R$ 665,50. (E) R$ 680,50. RESOLUÇÃO: O enunciado informa que há uma dívida inicial C = 500, que é corrigida sob o regime de juros compostos, tendo taxa de juros j = 10% ao mês e período t = 3 meses. Aplicando a fórmula, temos o montante final: M = C x (1 + j)t M = 500 x (1 + 0,10)3 M = 500 x 1,1 x 1,1 x 1,1 M = 500 x 1,21 x 1,1 M = 665,50 Resposta: D Nos próximos tópicos veremos alguns assuntos mais específicos, ainda dentro do tema juros simples e compostos, que podem ser bastante explorados em sua prova. 1.3 TAXAS NOMINAIS, EFETIVAS, PROPORCIONAIS, EQUIVALENTES Para aplicar corretamente uma taxa de juros, é importante saber: - a unidade de tempo sobre a qual a taxa de juros é definida. Isto é, não adianta saber apenas que a taxa de juros é de “10%”. É preciso saber se essa taxa é mensal, bimestral, anual etc. - de quanto em quanto tempo os juros devem ser calculados e seu valor incorporado no total devido. Este é o período de capitalização. Por exemplo, se tivermos juros com capitalização semestral, isso quer dizer que a cada semestre os juros devem ser calculados, e o valor calculado deve ser acrescido à dívida. 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������ Em regra, a unidade de tempo sobre a qual a taxa de juros é definida é a mesma do período de capitalização. Ex.: 10% ao mês com capitalização mensal (isto é, calculados a cada mês), 12% ao ano com capitalização anual etc. Quando isso acontece, temos uma taxa de juros efetiva, isto é, uma taxa de juros que efetivamente corresponde à realidade da operação. Nestes casos normalmente omite-se a informação sobre o período de capitalização, dizendo-se apenas “10% ao mês” ou “12% ao ano”. Porém podemos ter uma taxa de juros de 10% ao ano com capitalização semestral. Neste caso, a unidade de tempo sobre a qual a taxa de juros é definida (ao ano) é diferente do período de capitalização (a cada semestre). Assim, essa é chamada taxa de juros de nominal, pois ela precisará ser “adaptada” para então ser utilizada nos cálculos. Quando temos uma taxa de juros nominal, é preciso obter a taxa efetiva para só então efetuar os cálculos devidos. Isto é muito simples, pois basta uma simples divisão, de modo a levar a taxa de juros para a mesma unidade de tempo da capitalização.Veja alguns exemplos: - Taxa nominal de 10% ao ano com capitalização semestral: como a taxa é anual, devemos dividi-la por 2 (pois 1 ano possui 2 semestres) para chegar à taxa efetiva de 5% ao semestre. - Taxa nominal de 6% ao semestre com capitalização mensal: basta dividir a taxa por 6 (afinal temos 6 meses em 1 semestre) para obter a taxa efetiva de 1% ao mês. Resumidamente, temos até aqui os seguintes conceitos: a) Taxa de juros efetiva: é aquela onde o período de capitalização é igual da unidade temporal da taxa (10% ao ano, com capitalização anual). b) Taxa de juros nominal: é aquela onde o período de capitalização é diferente da unidade temporal da taxa (10% ao ano, com capitalização bimestral). Vamos discorrer agora sobre dois outros conceitos importantíssimos na resolução dos exercícios, e que geralmente são cobrados juntos dos que acabamos de ver: as taxas de juros equivalentes e as taxas proporcionais. Dizemos que duas taxas de juros são equivalentes quando são capazes de levar o mesmo capital inicial C ao montante final M, após o mesmo intervalo de tempo. Por exemplo, sabemos que a taxa de 12% ao ano leva o 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� capital C ao montante final 1,12C após o período de 1 ano. Existe uma taxa de juros mensal que é capaz de levar o mesmo capital inicial C ao montante final 1,12C após transcorrido o mesmo período (1 ano, ou 12 meses). Esta é a taxa mensal que é equivalente à taxa anual de 12%, motivo pelo qual vamos chamá-la de jeq. Podemos obtê-la substituindo t = 12 meses e M = 1,12C na fórmula de juros compostos: = × + = × + = + + = = − = = 12 12 1 12 1 12 (1 ) 1,12 (1 ) 1,12 (1 ) 1 1,12 1,12 1 0,0095 0,95% t eq eq eq eq eq M C j C C j j j j Portanto, uma taxa de juros de 0,95% ao mês é equivalente a uma taxa de juros anual de 12% ao ano, pois ambas levam o mesmo capital inicial C ao mesmo montante final M após o mesmo período transcorrido. Tendo uma taxa de juros compostos “j”, é possível obter uma equivalente “jeq” através da fórmula: (1 ) (1 )eqt teqj j+ = + � Em nosso exemplo, teríamos teq = 12 meses, j = 12% ao ano, e t = 1 ano. Portanto: 12 1 1 12 1 12 (1 ) (1 12%) 1 (1,12) (1,12) 1 0,0095 0,95% eq eq eq j j j am + = + + = = − = = � � Obs.: fique tranquilo, pois em sua prova você nunca precisará calcular algo como 1 12(1,12) �à mão. Veja a seguir dois exercícios sobre o assunto: 3. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� A taxa efetiva anual de juros correspondente à taxa nominal de 12% ao ano, capitalizada mensalmente, monta a: (A) 12,68% (B) 12,75% (C) 12,78% (D) 12,96% (E) 13,03% RESOLUÇÃO: Essa questão é sobre juros simples ou compostos? Esta é uma dúvida que pode surgir em muitas questões, e você deve estar atento às dicas que eu vou passar ao longo da aula para facilitar essa identificação. Nesta questão, saiba que a palavra “capitalizada” já nos remete ao regime de juros compostos. Isto porque “capitalizar” juros significa “incluir os juros no capital”, que é exatamente o que acontece no regime de juros compostos. Uma vez identificado o regime de juros, veja que temos uma taxa anual com capitalização mensal. Basta dividi-la por 12 para obter a taxa efetiva, uma vez que temos 12 meses em 1 ano. Assim, 12% ao ano, capitalizada mensalmente, corresponde à taxa efetiva de 1% ao mês. Para obter o valor da taxa anual equivalente a esta, basta lembrarmos que, após o mesmo período (1 ano, ou 12 meses) as duas taxas devem levar o mesmo capital inicial C ao mesmo montante final M: (1 ) (1 ) eqtt eqM C j C j= × + = × + � 12 1(1 1%) (1 )eqC C j× + = × + � � 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� Observe que na fórmula da esquerda temos a taxa mensal (1%) e o tempo em meses (12), já na da direita temos a taxa anual equivalente (jeq) e o tempo em anos (1). Cortando a variável C, temos: 12 12 (1 1%) (1 ) (1,01) 1 eq eq j j + = + = − � � Para auxiliar as nossas contas, o exercício disse que (1,01)11 = 1,1157. Basta multiplicarmos este valor por 1,01 e teremos (1,01)12: 12(1,01) 1,01 1,1157 1,1268= × = Assim, 12(1,01) 1 1,1268 1 0,1268 12,68% . .eqj a a= − = − = = Resposta: A 4. FCC – Banco do Brasil – 2006) A taxa efetiva trimestral referente a uma aplicação foi igual a 12%. A correspondente taxa de juros nominal (i) ao ano, com capitalização mensal, poderá ser encontrada calculando: RESOLUÇÃO: Lembrando que 1 trimestre é equivalente a 3 meses, então a taxa mensal equivalente à taxa de 12% ao trimestre é dada por: 1 3(1 12%) (1 )eqj+ = + 1/3(1,12) 1eqj = − Para obtermos a taxa anual nominal que é correspondente a esta taxa efetiva mensal, basta multiplicá-la por 12. Assim, temos: 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� 1/3 min 12 [(1,12) 1]no alj = × − Resposta: C Dizemos ainda que duas taxas de juros são proporcionais quando guardam a mesma proporção em relação ao prazo. Por exemplo, 12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre, e também é proporcional a 1% ao mês. Para obter taxas proporcionais com segurança, basta efetuar uma regra de três simples. Vamos obter a taxa de juros bimestral que é proporcional à taxa de 12% ao ano: 12% ao ano ----------------------------------- 1 ano Taxa bimestral ---------------------------------- 2 meses Substituindo 1 ano por 12 meses, para deixar os valores da coluna da direita na mesma unidade temporal, temos: 12% ao ano ----------------------------------- 12 meses Taxa bimestral ---------------------------------- 2 meses Efetuando a multiplicação cruzada, temos: 12% x 2 = Taxa bimestral x 12 Taxa bimestral = 2% ao bimestre Quando trabalhamos com juros simples, taxas de juros proporcionais são também taxas de juros equivalentes. Essa informação é importantíssima, pois em muito simplifica o cálculo de taxas equivalentes quando estamos no regime de juros simples. Isto é, neste regime de juros, 1% ao mês, 6% ao semestre ou 12% ao ano são proporcionais, e levarão o mesmo capital inicial C ao mesmo montante M após o mesmo período de tempo. Sobre este tema, tente resolver a questão abaixo. 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� 5. ESAF – SEFAZ/SP – 2009) Um capital unitário aplicado a juros gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de aplicação deste capital? a) 4% b) 10% c) 60% d) 54% e) 48% RESOLUÇÃO: Aqui temosum capital inicial unitário (C = 1), um montante final M = 1,1 e o prazo de 2 meses e 15 dias, isto é, t = 2,5 meses. Podemos descobrir a taxa de juros simples através da fórmula: (1 ) 1,1 1 (1 2,5) 1,1 1 2,5 1,1 1 0,04 4% 2,5 M C j t j j j = × + × = × + × = + − = = = � A taxa de 4% ao mês, em juros simples, é proporcional à taxa de 48% ao ano (12 x 4%). Sabemos que, em juros simples, a taxa proporcional é também a taxa equivalente. Portanto, este é o nosso gabarito. Resposta: E 1.4 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS Se temos 100 reais aplicados em um investimento que rende juros de 10% ao mês, sabemos que estes 100 reais terão se transformado em 110 reais ao final do primeiro mês. Podemos dizer que ter 100 reais hoje ou 110 daqui a um mês tem o mesmo valor, ou seja, são situações equivalentes. É por isso que dizemos, neste caso, que o capital C1 = 100 reais na data de hoje (t = 0) é equivalente ao capital C2 = 110 reais daqui a 1 mês (t = 1). Se estivermos tratando de juros compostos, podemos dizer que os capitais C1 na data t1 e C2 na data t2 são equivalentes se respeitarem a seguinte igualdade: 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� 1 2 1 2 (1 ) (1 )t t C C j j=+ + Utilizando o exemplo acima, podemos verificar essa igualdade: = + + = = 0 1 100 110 (1 0,10) (1 0,10) 100 110 1 1,1 100 100 Se estivermos tratando de juros simples, podemos dizer que os capitais C1 na data t1 e C2 na data t2 são equivalentes se respeitarem a seguinte igualdade: 1 2 1 2(1 ) (1 ) C C j t j t=+ × + × 1.5 TAXA MÉDIA E PRAZO MÉDIO Imagine que você resolva aplicar o seu dinheiro disponível não em 1 investimento apenas, mas sim em vários investimentos diferentes, com taxas de juros simples distintas, porém todos com o mesmo prazo. Exemplificando, vamos imaginar que você tenha 1000 reais e resolva fazer os 3 investimentos abaixo: - 500 reais à taxa de 10% ao mês, por 3 meses; - 300 reais à taxa de 5% ao mês, por 3 meses; - 200 reais à taxa de 20% ao mês, por 3 meses. Seria possível aplicar todo o dinheiro (1000 reais) em um único investimento, pelos mesmos 3 meses, de modo a obter o mesmo valor a título de juros. A taxa de juros desse investimento único é chamada de taxa de juros média (jm). Os juros simples gerados por cada investimento podem ser calculados através da fórmula J C j t= × × . Nesse caso, teríamos: 1 2 3 500 0,10 3 150 300 0,05 3 45 200 0,20 3 120 J J J = × × = = × × = = × × = Portanto, o total de juros produzidos pelos 3 investimentos foi de J = 315 reais. A taxa de juros média jm que, aplicada ao capital total (1000 reais) geraria os mesmos 315 reais após t = 3 meses é: 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� 315 1000 3 0,105 10,50% m m m J C j t j j = × × = × × = = Esse cálculo pode ser resumido pela seguinte fórmula: 1 1 2 2 3 3 1 2 3 m C j t C j t C j tj C t C t C t × × + × × + × × = × + × + × Generalizando essa fórmula para casos onde houver não apenas 3, mas sim “n” investimentos diferentes, temos: 1 1 n i i i m n i i C j t j C t = = × × = × � � Veja como isso pode ser cobrado em um exercício: 6. DOM CINTRA – FISCAL ITABORAÍ – 2011) Uma empresa realizou cinco aplicações durante um mês e obteve uma taxa de rentabilidade para cada uma das aplicações, como mostra a tabela a seguir: A taxa média mensal obtida pela aplicação desses capitais foi igual a: A) 1,855% B) 1,915% C) 1,988% D) 2,155% E) 2,277% RESOLUÇÃO: 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� Em primeiro lugar, repare que não foi mencionado o regime de juros. Vamos assumir que se trata de juros simples, pois esta é uma questão de taxa média. Faríamos o mesmo se fosse uma questão sobre prazo médio, que veremos adiante. Veja que o total aplicado nos diversos investimentos é de 10000 reais. A taxa média é aquela que, aplicada a todo o capital, produz o mesmo total de juros que foi produzido pelas diversas aplicações. Assim, vamos calcular a quantidade de juros produzida por cada investimento, lembrando que, em t = 1 mês, os juros somam J = C x j x 1 : - Aplicação A: J = 1000 x 0,02 x 1 = 20 - Aplicação B: J = 1500 x 0,01 x 1 = 15 - Aplicação C: J = 2000 x 0,025 x 1 = 50 - Aplicação D: J = 2500 x 0,015 x 1 = 37,5 - Aplicação E: J = 3000 x 0,021 x 1 = 63 Portanto, o total de juros produzido pelos investimentos é de 185,5. Para que 10000 reais produzam 185,5 reais de juros em 1 mês, precisam ser aplicados à taxa de: J = C x j 185,5 = 10000 x j j = 0,01855 = 1,855% ao mês (letra A) Resposta: A Obs.: Se preferir, você pode usar diretamente a fórmula: 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 2 3 4 5( )m C j t C j t C j t C j t C j tj C C C C C t × × + × × + × × + × × + × × = + + + + × 1000 0,02 1 1500 0,01 1 2000 0,025 1 2500 0,015 1 3000 0,021 1 (1000 1500 2000 2500 3000) 1mj × × + × × + × × + × × + × × = + + + + × 1,855%mj = 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� Agora imagine que você tem os mesmos 1000 reais e pretenda colocá-los em 3 investimentos distintos, todos com a mesma taxa de juros simples de 10% ao mês, porém cada um com um prazo diferente: - 500 reais à taxa de 10% ao mês, por 3 meses; - 300 reais à taxa de 10% ao mês, por 2 meses; - 200 reais à taxa de 10% ao mês, por 5 meses. Seria possível investir todo o dinheiro (1000 reais) em uma única aplicação, com a taxa de juros de 10% ao mês, por um tempo tm , de modo a obter o mesmo valor a título de juros. Esse prazo é denominado de prazo médio. Para obtê-lo, novamente vamos calcular os juros de cada aplicação com a fórmula J C j t= × × : 1 2 3 500 0,10 3 150 300 0,10 2 60 200 0,10 5 100 J J J = × × = = × × = = × × = Assim, o total de juros produzidos pelos três investimentos foi de J = 310 reais. Podemos obter o prazo médio tm que todo o capital (1000 reais) precisaria ficar investido, à taxa j = 10% ao mês: 310 1000 0,10 3,1 meses m m m J C j t t t = × × = × × = Esse cálculo pode ser resumido pela seguinte fórmula: 1 1 2 2 3 3 1 2 3 m C j t C j t C j tt C j C j C j × × + × × + × × = × + × + × Generalizando essa fórmula para casos onde houver “n” investimentos diferentes, temos: 1 1 n i i i m n i i C j t t C j = = × × = × � � 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� Vejamos uma questão sobre o assunto:7. ESAF – AFRF – 2002) Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação destes capitais. a) quatro meses b) quatro meses e cinco dias c) três meses e vinte e dois dias d) dois meses e vinte dias e) oito meses RESOLUÇÃO: Vamos calcular o valor dos juros ganhos em cada investimento, utilizando a fórmula J C j t= × × : 1 2 3 4 2000 0,04 2 160 3000 0,04 3 360 1500 0,04 4 240 3500 0,04 6 840 J J J J = × × = = × × = = × × = = × × = Assim, os juros totais somaram 1600 reais. O prazo médio “tm” é aquele após o qual, aplicando todo o capital (10000) à taxa de 4% dada no enunciado, leva aos mesmos juros totais. Isto é, 1600 10000 0,04 mt= × × 4mt = meses Resposta: A Obs.: se preferir usar a fórmula: 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4( )m C j t C j t C j t C j tt C C C C j × × + × × + × × + × × = + + + × 2000 0,04 2 3000 0,04 3 1500 0,04 4 3500 0,04 6 (2000 3000 1500 3500) 0,04mt × × + × × + × × + × × = + + + × 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� 4mt = 1.6 CONVENÇÃO LINEAR E EXPONENCIAL Em alguns cálculos de juros compostos, podemos ter um prazo de aplicação não-inteiro, isto é, com uma parte fracionária. Exemplificando, imagine que pretendemos aplicar 1000 reais à taxa de juros compostos j = 3% ao mês, pelo período de 5,2 meses. Veja que o tempo de aplicação possui uma parte inteira (5 meses) e uma parte fracionária (0,2 meses). Nesses casos, existem duas formas básicas de se calcular o montante final: a convenção linear e a convenção exponencial. Vejamos cada uma delas: - convenção exponencial: neste caso, basta utilizar diretamente a fórmula de juros compostos, isto é: 5,2 (1 ) 1000 (1 0,03) tM C j M = × + = × + Observe que elevar 1,03 à potência 5,2 não é trivial. Você não conseguirá efetuar essa conta na prova sem o auxílio de uma calculadora ou uma tabela. Por esses e outros motivos, geralmente as provas de concurso solicitam o cálculo através da convenção linear, que vemos a seguir. - convenção linear: neste caso, o cálculo é dividido em 2 etapas: 1. Calcular, com a fórmula de juros compostos, o montante produzido após a parte inteira do prazo de aplicação. 2. Considerando o montante calculado no passo 1 como sendo o capital inicial C, calcular, com a fórmula de juros simples, o montante final gerado pela parte fracionária do prazo. Em nosso exemplo, devemos usar a fórmula de juros compostos para obter o montante após t = 5 meses (parte inteira): 5 (1 ) 1000 (1 0,03) 1159,27 tM C j M = × + = × + = 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� Aplicar a fórmula de juros simples pelo prazo fracionário (t = 0,2 meses), utilizando o montante acima como sendo o capital inicial: (1 ) 1159,27 (1 0,03 0,2) 1166,22 M C j t M = × + × = × + × = Obs.: Se a questão for de juros compostos e não mencionar a convenção linear, usar a convenção exponencial. O que falamos aqui não se aplica às questões de juros simples, onde basta aplicar a fórmula = × + ×(1 )M C j t considerando t = 5,2 (isto é, a parte inteira e a fracionária). Tente resolver este exercício a seguir: Atenção: Use a tabela abaixo para resolver as questões da prova DOM CINTRA – FISCAL ITABORAÍ – 2011. 8. DOM CINTRA – FISCAL ITABORAÍ – 2011) Um investidor aplicou R$1.000,00 a juros compostos durante três períodos e meio, a uma taxa de 18% ao período. Considerando-se a convenção linear para cálculo do montante, o montante representa, em relação ao capital inicial, uma variação percentual de: A) 90% B) 89% C) 85% D) 83% E) 79% RESOLUÇÃO: 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� Nesta questão foi explicitado que o regime de juros é composto, mas ainda que isso não fosse dito deveríamos usar juros compostos. Isto porque se trata de uma questão sobre convenção linear/exponencial, e não faz sentido falar neste assunto ao tratar de juros simples (pois, como vimos, em juros simples nós sempre aplicamos a fórmula normal, mesmo que o prazo seja não-inteiro). Aqui temos um número não-inteiro de períodos: 3,5 períodos. A convenção linear nos diz para aplicar juros compostos durante o número inteiro de períodos (3) e, sobre o montante obtido, aplicar juros simples pelo tempo restante (0,5 período). Ao fim dos 3 períodos, temos: M = 1000 x (1 + 0,18)3 M = 1000 x (1,18)3 M = 1000 x 1,643032 = 1643,032 Para a parte fracionária (0,5 período), vamos utilizar a fórmula de juros simples, tendo como capital inicial o montante calculado acima: Mfinal = 1643,032 x (1 + 0,18 x 0,5) = 1790,90 Portanto, o montante (1790,90) é aproximadamente 1,79 vezes o capital inicial (1000). Isto é, o montante é 79% maior. Resposta: E Obs.: veja que calculamos (1 + 0,18)3 através da tabela de fator de acumulação de capital fornecida, usando i = 18% e n = 3. 1.7 JUROS EXATOS, COMERCIAIS E BANCÁRIOS Em alguns exercícios temos que trabalhar com prazos expressos em dias. Neste caso, precisamos saber como converter uma taxa de juros expressa em outra unidade temporal (ex.: 10% ao ano) para uma taxa diária. Temos três formas básicas de fazer isso: 1- considerando que o mês tem a quantidade exata de dias (de 28 a 31 dias, conforme o caso) e o ano tem 365 dias (ou 366, se bissexto). Neste caso, estamos 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� trabalhando com juros exatos. Ex.: a taxa diária que é proporcional a 10% ao ano, em juros exatos, é igual a 10% 0,02739% 365 = ao dia. 2- considerando que o mês tem 30 dias, e o ano tem 360 dias. Neste caso, estamos trabalhando com juros comerciais (ou ordinários). Ex.: a taxa diária que é proporcional a 10% ao ano é igual a 10% 0,0277% 360 = ao dia. 3- considerar a taxa de juros com base no ano comercial (360 dias) e o prazo de aplicação com base no tempo exato (número de dias): trata-se dos juros bancários. Vejamos como isso pode ser cobrado: 9. FCC – SEFAZ/PB – 2006) Certas operações podem ocorrer por um período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial. Então, se um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é (A) R$ 37,50 (B) R$ 30,00 (C) R$ 22,50 (D) R$ 15,00 (E)) R$ 7,50 RESOLUÇÃO: Ao trabalhar com juros comerciais, consideramos que cada mês possui 30 dias. Assim, 5 dias correspondem a 5/30 mês, isto é, 1/6 mês. Deste modo, os juros da aplicação seriam: J = C x j x t = 15000 x 9,3%x (1/6) = 232,5 reais 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� Já ao trabalhar com juros exatos, devemos considerar o número de dias de cada mês, que neste caso é igual a 31. Deste modo, os 5 dias correspondem a 5/31 mês. Os juros da aplicação seriam: J = C x j x t = 15000 x 9,3% x (5/31) = 225 reais A diferença entre as duas formas de cálculo é de 232,5 – 225 = 7,5 reais. Resposta: E 1.8 INFLAÇÃO, TAXAS REAIS E TAXAS APARENTES Quando aplicamos certa quantia em um investimento, ela renderá juros ao longo do tempo. Isto é, o nosso capital irá crescer. Entretanto, uma parte deste crescimento é “corroída” pela inflação. Isto é, apesar do nosso investimento ter certo rendimento nominal, ou aparente, é preciso tirar deste valor o que foi corroído pela inflação, restando o rendimento real. A fórmula abaixo relaciona o rendimento nominal, ou aparente (ou taxa de juros nominal/aparente) jn com a taxa de juros real jreal, de acordo com a taxa de inflação “i”: (1 ) (1 )(1 ) n real j j i + = + + � Exemplificando, se a inflação é de 5% ao ano, e o nosso rendimento foi remunerado à taxa de juros jn = 8% ao ano, então o rendimento real do investimento foi de: (1 8%) (1 )(1 5%) 1,08 (1 ) 1,05 1,028 1 0,028 2,8% real real real real j j j j + = + + = + = + = = Portanto, a taxa de juros real do investimento foi de apenas 2,8%, pois boa parte do rendimento nominal serviu apenas para repor a inflação do período. Veja a questão abaixo: 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� 10. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Um investidor aplicou o capital de R$ 24.000,00, resgatando todo o montante após um ano. Sabe-se que a taxa real de juros desta aplicação e a taxa de inflação do período correspondente foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado pelo investidor foi de (A) R$ 27.060,00 (B) R$ 27.000,00 (C) R$ 26.460,00 (D) R$ 26.400,00 (E) R$ 25.800,00 RESOLUÇÃO: Veja que a taxa real de juros foi jreal = 10% e a taxa de inflação foi i = 2,5%. Utilizando a fórmula que vimos, podemos obter a taxa de juros aparente jn: (1 ) (1 )(1 ) n real j j i + = + + � (1 ) (1 10%)(1 2,5%) nj+ = + + � 1 1,025 1,10 1,1275nj+ = × = � 0,1275 12,75%nj = = Portanto, o capital de 24000 reais rendeu 12,75% no período, chegando ao montante de: M = 24000 x (1 + 12,75%) = 27060 reais Resposta: A 1.9 RECAPITULAÇÃO Antes de partirmos para os exercícios, veja na tabela abaixo um resumo dos tópicos da aula de hoje. Com ela em mente você deve ser capaz de resolver a grande maioria dos exercícios sobre juros simples ou compostos. 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� TABELA 01. Juros simples e juros compostos Fórmulas e definições Juros simples: = × + ×(1 )M C j t Juros compostos: = × +(1 )tM C j Fator de Acumulação de Capital: (1 )tFAC j= + (em tabelas, geralmente usa-se +(1 )ni ) Taxa de juros nominal: período de capitalização é diferente da unidade temporal da taxa (ex.: 10% ao ano com capitalização semestral) Taxa de juros efetiva: período de capitalização igual à unidade temporal da taxa (ex.: 10% ao ano com capitalização anual, ou simplesmente 10% ao ano) Taxas de juros equivalentes: levam o mesmo capital inicial C ao mesmo montante final M após o mesmo período de tempo. - para juros compostos, temos: (1 ) (1 )eqt teqj j+ = + � Ex.: 0,95% ao mês e 12% ao ano - para juros simples: calcular a taxa proporcional. Taxas de juros proporcionais: guardam a mesma proporção em relação aos prazos. Ex.: 12% ao ano, 6% ao semestre e 1% ao mês. ** em juros simples, as taxas proporcionais são também equivalentes. Taxa média (juros simples): = = × × = × � � 1 1 n i i i m n i i C j t j C t Prazo médio (juros simples): = = × × = × � � 1 1 n i i i m n i i C j t t C j Capitais equivalentes: representam, na mesma data, o mesmo valor. - juros simples:� 1 2 1 2(1 ) (1 ) C C j t j t=+ × + × - juros compostos: 1 2 1 2 (1 ) (1 )t t C C j j=+ + Juros exatos: mês com 28-31 dias, ano com 365-366 dias Juros comerciais (ordinários): mês com 30 dias, ano com 360 dias Juros bancários: prazo exato da aplicação (em dias), ano com 360 dias Taxa de juros real: a partir da taxa de juros nominal (ou aparente) jn de um investimento, devemos descontar o efeito da inflação do período, i, para obter a taxa de juros real: (1 ) (1 )(1 ) n real j j i + = + + 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� 2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 11. FCC – Sergipe Gás S/A – 2013) Um investidor aplicou R$ 15.000,00, sob o regime de capitalização simples, durante 15 meses. Terminado este prazo, resgatou todo o montante e aplicou todo este respectivo valor, durante 2 meses, sob o regime de capitalização composta, a uma taxa de juros nominal de 12% ao ano, com capitalização mensal. Se o valor dos juros desta segunda aplicação foi igual a R$ 337,68, a taxa de juros simples anual referente a primeira aplicação foi, em %, de (A) 7,5. (B) 8,4. (C) 10,8. (D) 9,6. (E) 9,0. RESOLUÇÃO: Na segunda aplicação temos t = 2 meses, taxa efetiva j = 1%a.m. (uma vez que a taxa nominal é de 12%aa, com capitalização mensal), e juros totais J = 337,68 reais. Assim, para esta segunda aplicação: M = C + J M = C + 337,68 e M = C x (1 + j)t C + 337,68 = C x (1 + 0,01)2 C + 337,68 = 1,0201C 337,68 = 0,0201C C = 16800 reais Note que o capital inicial da segunda aplicação (16800 reais) é o montante final da primeira aplicação. Assim, para a primeira aplicação temos M = 16800 reais, C = 15000 reais, t = 15 meses, juros simples. A taxa de juros pode ser obtida assim: M = C x (1 + j x t) 16800 = 15000 x (1 + j x 15) 1,12 = 1 + 15j j = 0,008 = 0,8%am 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� No regime de juros simples, taxas proporcionais são também taxas equivalentes. Assim, a taxa anual equivalente a 0,8%am é 12 x 0,8% = 9,6%aa. Resposta: D 12. FCC – Banco do Brasil – 2011) Um capital foi aplicado a juros simples, à taxa anual de 36%. Para que seja possível resgatar-se o quádruplo da quantia aplicada, esse capital deverá ficar aplicado por um período mínimo de: (A) 7 anos, 6 meses e 8 dias. (B) 8 anos e 4 meses. (C) 8 anos, 10 meses e 3 dias. (D) 11 anos e 8 meses. (E) 11 anos, 1 mês e 10 dias. RESOLUÇÃO: Aqui temos um capital C que, aplicado à taxa de juros simples j = 36% ao ano, porum período “t” desconhecido, atinge o montante M = 4C (quádruplo do valor aplicado). Utilizando a fórmula de juros simples, podemos calcular o valor de t: (1 ) 4 (1 0,36 ) 4 1 0,36 3 / 0,36 300 / 36 25 / 3 M C j t C C t t t = × + × = × + × = + = = = Portanto, o tempo da aplicação deve ser de, no mínimo, 25/3 anos. Veja que: 25 24 1 18 3 3 3 3 = + = + Isto é, 8 anos e mais 1/3 de ano.� Como 1 ano tem 12 meses, 1/3 de ano tem 4 meses. Assim, o capital precisa ficar aplicado por 8 anos e 4 meses. Resposta: B 13. FCC – COPERGÁS – 2011) Um capital aplicado a juros simples, a uma taxa de 7,5% ao ano, apresentou no final do período um montante de valor igual ao capital 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� inicial acrescido de 25% de seu valor. O tempo em que este capital ficou aplicado foi de (A) 40 meses. (B) 32 meses. (C) 30 meses. (D) 24 meses. (E) 20 meses. RESOLUÇÃO: Aqui temos um capital inicial C que, aplicado à taxa de juros simples j = 7,5% ao ano, por um período t desconhecido, chegou a um montante M que é 25% maior que C, isto é, M = 1,25C. Colocando essas informações na fórmula de juros simples, temos: M = C x (1 + j x t) 1,25C = C x (1 + 0,075 x t) 1,25 = 1 + 0,075 x t t = 0,25 / 0,075 = 250 / 75 = 10 / 3 10 / 3 anos equivalem a 40 meses, de modo que o gabarito é a letra A. Resposta: A Obs.: a conversão de 10/3 anos para meses pode ser feita utilizando a regra de três abaixo: 1 ano ----------------------------------- 12 meses 10 / 3 anos ----------------------------------- X X = (10/3) x 12 = 40 meses 14. FCC – COPERGÁS – 2011) Uma pessoa aplicou um capital no valor de R$ 15.000,00 a juros simples, por 6 meses, a uma taxa de 12% ao ano. O montante obtido nessa aplicação ela aplicou a juros compostos, durante 2 meses, à taxa de 1% ao mês. A soma dos juros correspondentes das duas aplicações é igual a (A) R$ 1.600,00. (B) R$ 1.538,23. (C) R$ 1.339,18. (D) R$ 1.219,59. (E) R$ 1.200,00. 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� RESOLUÇÃO: Na primeira parte do enunciado, temos o capital inicial C = 15000 aplicado à taxa de juros simples j = 12% ao ano pelo período de 6 meses (t = 0,5 ano). O montante obtido é de: M = C x (1 + j x t) = 15000 x (1 + 0,12 x 0,5) = 15900 Aplicando este montante à taxa de juros compostos j = 1% ao mês, pelo período t = 2 meses, temos: M = C x (1 + j)t = 15900 x (1 + 0,01)2 = 16219,59 Portanto, o total de juros obtido é de 1219,59 (16219,59 – 15000). Letra D. Resposta: D 15. FCC – TCE/PR – 2011) Um capital no valor de R$ 18.000,00 é aplicado durante 8 meses a juros simples, com uma taxa de 18% ao ano. No final do período, o montante é resgatado e aplicado a juros compostos, durante um ano, a uma taxa de 5% ao semestre. A soma dos juros das duas aplicações é igual a (A) R$ 4.012,30. (B) R$ 4.026,40. (C) R$ 4.176,00. (D) R$ 4.226,40. (E) R$ 5.417,10. RESOLUÇÃO: Aplicando o capital C = 18000 à taxa de juros simples j = 18% ao ano, pelo período de 8 meses (isto é, t = 8/12 ano), temos: M = 18000 x (1 + 0,18 x 8/12) = 18000 x (1 + 0,18 x 2/3) M = 18000 x 1,12 = 20160 Aqui, já vemos que a aplicação rendeu juros de 2160 reais (20160 – 18000) nos primeiros 8 meses. O valor final (20160) foi aplicado à taxa de juros compostos de 5% ao semestre, durante 1 ano (t = 2 semestres). Assim, o montante final será: 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� M = 20160 x (1 + 5%)2 = 20160 x 1,1025 M = 22226,4 Portanto, a segunda aplicação rendeu juros de 2066,40 (22226,4 – 20160). Somando os dois ganhos, temos um total de juros de: 2160 + 2066,40 = 4226,40 reais (letra D) Resposta: D 16. FCC – Banco do Brasil – 2006) Um televisor é vendido em uma loja onde o comprador pode escolher uma das seguintes opções: I. R$ 5 000,00, à vista sem desconto. II. R$ 1 000,00 de entrada e um pagamento no valor de R$ 4 500,00 em 1 (um) mês após a data da compra. A taxa de juros mensal cobrada pela loja no pagamento da segunda opção, que vence em 1 (um) mês após a data da compra, é de (A) 30% (B) 25% (C) 20% (D) 15% (E) 12,5% RESOLUÇÃO: Dando uma entrada de 1000 reais, sobraria uma dívida inicial C = 4000 reais (considerando o preço à vista de 5000 reais). Veja que esta dívida se transforma em M = 4500 reais após t = 1 mês. Assim, a taxa de juros cobrada pela loja é de: M = C x (1 + j)t 4500 = 4000 x (1 + j) j = 0,125 = 12,5% ao mês Resposta: E Obs.: aqui você também poderia ter usado a fórmula de juros simples, afinal temos t = 1 período. 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� 17. FCC – Banco de Brasil – 2011) Um capital de R$ 10 500,00 foi aplicado a juros simples. Sabendo que a taxa de juros contratada foi de 42% ao ano, então, não tendo sido feito qualquer depósito ou retirada, o montante de R$ 11 725,00 estará disponível a partir de quanto tempo da data de aplicação? (A) 4 meses. (B) 3 meses e 20 dias. (C) 3 meses e 10 dias. (D) 3 meses. (E) 2 meses e 20 dias. RESOLUÇÃO: Temos um capital inicialmente aplicado de C = 10500 reais, taxa de juros simples j = 42% ao ano e montante final M = 11725 reais. O prazo t pode ser obtido assim: M = C x (1 + j x t) 11725 = 10500 x (1 + 0,42 x t) t = 0,2777 ano Podemos multiplicar este prazo por 12 para obtê-lo em meses: t = 12 x 0,2777 meses t = 3,333 meses t = 3 meses + 1/3 de mês t = 3 meses e 10 dias Resposta: C 18. FGV – ICMS/RJ – 2011) Um indivíduo deixa de pagar um título no valor de R$2.000,00, atrasando o pagamento em três meses. A taxa de juros, juros simples, é de 35% ao ano. Ao pagar o título, seu valor é (A) R$ 2.250,00. (B) R$ 2.325,00. (C) R$ 2.175,00. (D) R$ 2.155,00. (E) R$ 4.100,00. RESOLUÇÃO: 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� Temos uma dívida inicial C = 2000, taxa j = 35% ao ano e período t = 3 meses. Veja que a taxa e o período estão em unidades temporais distintas. Podemos resolver a questão considerando que t = 3/12 ano = 1/4 ano = 0,25 ano. Portanto, utilizando a fórmula de juros simples, temos: M = C x (1 + j x t) M = 2000 x (1 + 35% x 0,25) M = 2000 x (1,0875) = 2175 Assim, devido ao atraso de 3 meses deverá ser pago o valor de 2175 reais, em substituição aos 2000 reais do início. Resposta: C 19. FGV – ICMS/RJ - 2011) O número de anos para que um capital quadruplique de valor, a uma taxa de 5% ao mês, juros simples, é de (A) 7,50. (B) 3,80. (C) 4,50. (D) 5,00. (E) 6,00. RESOLUÇÃO: Imagine que temos um capital inicialC. Para ele quadruplicar, é preciso que o montante final seja igual a 4C, ou seja, M = 4C. Sabemos ainda que a taxa de juros simples é j = 5% ao mês, portanto podemos usar a fórmula para obter o número de períodos necessários: M = C x (1 + j x t) 4C = C x (1 + 0,05t) 4 = 1 x (1 + 0,05t) = 1 + 0,05t 0,05t = 4 – 1 t = 3 / 0,05 = 60 meses 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� Como 1 ano tem 12 meses, então 60 meses correspondem a 5 anos. Este é o período necessário para o capital quadruplicar, se aplicado a juros simples a uma taxa de 5% ao mês. Resposta: D 20. FCC - ISS/SP - 2012) Em 05 de janeiro de certo ano, uma pessoa tomou R$10.000,00 emprestados por 10 meses, a juros simples, com taxa de 6% ao mês. Após certo tempo, encontrou um outro credor que cobrava taxa de 4% ao mês. Tomou, então, R$13.000,00 emprestados do segundo credor pelo resto do prazo e, no mesmo dia, liquidou a dívida com o primeiro. Em 05 de novembro desse ano, ao liquidar a segunda dívida, havia pago um total de R$5.560,00 de juros aos dois credores. O prazo do segundo empréstimo foi a) 4 meses b) meses e meio c) 5 meses d) 5 meses e meio e) 6 meses RESOLUÇÃO: Veja que temos 10 meses entre o início do primeiro empréstimo (5 de janeiro) e a liquidação do último (5 de novembro). Digamos que o segundo empréstimo foi tomado “t” meses após o início do primeiro, ou seja, o primeiro empréstimo durou “t” meses e o segundo durou “10 – t” meses. Após “t” meses, os juros devidos relativos ao primeiro empréstimo foram de: 10000 0,06 600 J C j t J t t = × × = × × = Uma vez que este primeiro empréstimo foi liquidado, nos “10 – t” meses finais apenas o segundo empréstimo, de 13000 reais, rendeu juros. Os juros devidos relativos a este segundo empréstimo foram de: 13000 0,04 (10 ) 520 (10 ) J C j t J t t = × × = × × − = × − 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� Portanto, o total de juros devidos nessa operação foi de: 600t + 520x(10-t) = 5200 + 80t Como foi pago um total de R$5560,00 em juros, podemos dizer que: 5560 = 5200 + 80t t = 4,5 meses O segundo empréstimo teve prazo “10 – t” meses, isto é: 10 – t = 10 – 4,5 = 5,5 meses Temos o resultado da letra D. Resposta: D 21. FCC - ISS/SP - 2012) Em uma loja, um computador, cujo preço é R$2.200,00, pode ser vendido nas seguintes condições: - à vista, com abatimento de 10% no preço ou - em duas parcelas, sendo a primeira delas dada como entrada, correspondendo a 25% do preço. A segunda, que corresponde ao restante financiado a juros compostos à taxa de 4% ao mês, deve ser paga ao completar 2 meses da data da compra. Se R e S são, respectivamente, os totais pagos no primeiro e no segundo casos, é verdade que: a) S = R + R$354,64 b) S + R = R$4.312,00 c) R = S - R$179,52 d) S - R = R$ 99,52 e) S = 2R RESOLUÇÃO: No primeiro caso, basta tirarmos 10% do preço inicial. Assim, 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� R = 2200 – 10%x2200 = 2200 – 220 = 1980 reais No segundo caso, a entrada é de 25% de 2200, isto é, 25%x2200 = 550 reais. O saldo devedor é de 2200 – 550 = 1650. Este valor será corrigido, por 2 meses, a juros compostos de 2% ao mês, totalizando: 2(1 ) 1650 (1 0,04) 1784,64tM C j= × + = × + = Deste modo, os pagamentos referentes à segunda opção totalizam: S = 550 + 1784,64 = 2334,64 Analisando as alternativas de resposta, temos que a letra A (S = R + 354,64) está correta. Resposta: A 22. FGV – ICMS/RJ – 2010) Uma quantia foi aplicada durante um ano à taxa de 10% ao ano e a seguir, o valor resultante foi reaplicado, por mais um ano, a juros de 20% ao ano. Ambas as taxas são juros compostos. Para que a mesma quantia, aplicada durante igual período, resultasse no mesmo montante, deveria ser aplicada à taxa anual efetiva única de: (A) 14,89%. (B) 15,25%. (C) 16,33%. (D) 18,45%. (E) 20,00%. RESOLUÇÃO: Imagine que o capital inicial é C. Se ele for aplicado por t = 1 ano a uma taxa j = 10% ao ano, no regime de juros compostos, o montante ao final deste período será: M = C x (1 + j)t M = C x (1 + 0,10)1 = 1,1C 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� Por sua vez, se aplicarmos o valor de 1,1C (valor resultante) por t = 1 ano e j = 20% ao ano, o montante final será: M = (1,1C) x (1 + 0,20)1 = 1,1C x 1,2 = 1,32C O exercício pede a taxa de juros que, se aplicada ao capital inicial C, fornecerá o montante final M = 1,32C ao final de t = 2 anos. Para isto, basta usarmos a fórmula: M = C x (1 + j)t 1,32C = C x (1 + j)2 1,32 = (1 + j)2 Como resolver esta equação acima para obter o valor de j? Particularmente, considero mais interessante testar as alternativas, uma vez que você não terá uma calculadora em mãos. Testando a primeira, se j = 14,89%, temos: (1 + 14,89%)2 = 1,1489x1,1489 = 1,3199 � aproximadamente 1,32 Esta deve ser a resposta, mas por cautela vamos testar mais a alternativa seguinte, com j = 15,25%: 1,1525 x 1,1525 = 1,3282 Veja que a alternativa A aproxima-se mais de 1,32, portanto este é o gabarito. As demais alternativas resultariam em valores ainda maiores. Resposta: A 23. FCC – ISS/SP – 2007) Uma pessoa necessita efetuar dois pagamentos, um de R$ 2.000,00 daqui a 6 meses e outro de R$ 2.382,88 daqui a 8 meses. Para tanto, vai aplicar hoje a juros simples o capital C à taxa de 3% ao mês, de forma que: − daqui a 6 meses possa retirar todo o montante, efetuar o pagamento de R$ 2.000,00 e, nessa data, aplicar o restante a juros simples, à mesma taxa, pelo resto do prazo; 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� − daqui a 8 meses possa retirar todo o montante da segunda aplicação e efetuar o segundo pagamento, ficando com saldo nulo e sem sobras. Nessas condições, o valor de C é igual a (A) R$ 3.654,00 (B) R$ 3.648,00 (C) R$ 3.640,00 (D) R$ 3.620,00 (E) R$ 3.600,00 RESOLUÇÃO: Se aplicarmos o capital inicial C à taxa simples de j = 3% ao mês por t = 6 meses, teremos ao final deste período teremos: M = C x (1 + j x t) = C x (1 + 0,03 x 6) = 1,18C Após pagar 2000 reais, sobram 1,18C – 2000. Este será o capital inicial da segunda aplicação, que tem a mesma taxa j = 3% ao mês e período t = 2 meses (período entre o 6º e 8º meses). O montante deverá ser igual a 2382,88 reais, que é o valor do segundo título, pois o enunciado diz que após este segundo pagamento não sobra nada (nem falta). Logo, 2382,88 = (1,18C – 2000) x (1 + 0,03 x 2) 2382,88 = (1,18C – 2000) x 1,06 1,18C – 2000 = 2382,88 / 1,06 = 22481,18C = 2248 + 2000 = 4248 C = 4248 / 1,18 = 3600 Portanto, o valor aplicado inicialmente foi C = R$3600. Resposta: E 24. FCC – Banco do Brasil – 2011) Saulo aplicou R$ 45000,00 em um fundo de investimento que rende 20% ao ano. Seu objetivo é usar o montante dessa aplicação para comprar uma casa que, na data da aplicação, custava R$ 135000,00 e se valoriza à taxa anual de 8%. Nessas condições, a partir da data da aplicação, quantos anos serão decorridos até que Saulo consiga comprar tal casa? 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� Dado: (Use a aproximação: log 3 = 0,48) (A) 15. (B) 12. (C) 10. (D) 9. (E) 6. RESOLUÇÃO: Veja que o capital de Saulo cresce devido ao investimento, e o preço da casa cresce devido à valorização. No caso do capital, seu valor inicial é C = 45000, a taxa de juros é j = 20% ao ano, regime de juros compostos (veja que o enunciado nos mandou usar log3, o que é inviável no regime simples). Após um tempo “t”, o montante é: M = 45000 x (1 + 0,20)t A casa tinha valor inicial C = 135000 reais e valorizava à taxa j = 8% ao ano. Após um tempo “t”, o seu valor é: M = 135000 x (1 + 0,08)t Para que estes dois montantes se igualem, é preciso que: 45000 x (1 + 0,20)t = 135000 x (1 + 0,08)t 1,2t = 3 x 1,08t (1,2 / 1,08)t = 3 Agora devemos lançar mão dos conhecimentos de logaritmo: log(120 / 108)t = log3 t x log(10 / 9) = 0,48 t x [log10 – log9] = 0,48 t x [ 1 – log32] = 0,48 t x [1 – 2 x log3] = 0,48 t x [1 – 2 x 0,48] = 0,48 t = 12 anos Resposta: B 25. FCC – MPE-RS – 2008) Considere que em uma mesma data: 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� I. Antônio aplicou R$ 20.000,00 a uma taxa de juros simples de 18% ao ano, durante 15 meses. II. Paulo aplicou um determinado capital a uma taxa de juros compostos de 8% ao semestre, durante um ano. O valor do montante da aplicação realizada por Antônio superou em R$ 7.004,00 o valor do montante correspondente ao de Paulo. Então, o valor do capital que Paulo aplicou no início foi de (A) R$ 12.500,00 (B) R$ 17.500,00 (C) R$ 16.500,00 (D) R$ 15.000,00 (E) R$ 16.200,00 RESOLUÇÃO: Como a taxa de juros simples de 18% ao ano é equivalente a 1,5% ao mês, o montante de Antônio foi: M = 20000 x (1 + 1,5% x 15) = 24500 reais O montante de Paulo foi 7004 reais a menos, isto é, 17496 reais. A sua taxa de juros compostos foi j = 8% ao semestre, por t = 2 semestres (1 ano). Assim, seu capital inicial foi: M = C x (1 + j)t 17496 = C x (1,08)2 17496 = C x 1,1664 C = 15000 reais Resposta: D 26. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2011) Comparando o regime de juros simples (JS) com o regime de juros compostos (JC), tem-se que: a) Para o primeiro período, o valor final no regime de JC é o dobro do regime de JS 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� b) No regime de JS, o capital cresce a uma taxa linear c) Os juros ganhos a cada período no regime de JC são constantes ao longo do período d) Os juros ganhos a cada período no regime de JS são decrescentes ao longo do período e) No regime de JC, o valor final é sempre o dobro do valor final no regime de JS. RESOLUÇÃO: Para entender essa questão, retorne à comparação que fizemos entre um mesmo empréstimo a juros simples e juros compostos. Ali vimos que, ao final do primeiro período, o valor seria igual no regime de JC e de JS. Por isso, a primeira alternativa é falsa. De fato, no regime de JS, o capital começa em C (montante inicial) e, a cada período, aumenta na quantia fixa de ×C j . Portanto, a dívida cresce numa taxa constante, isso é, linear. Já no regime de JC, o valor devido a título de juros é maior a cada período, pois os juros de um período entram no cálculo dos juros do período seguinte. Neste caso, a dívida cresce numa taxa exponencial (e, portanto, mais rapidamente). Portanto, a alternativa B está correta. Pelo explicado no parágrafo acima, vemos que a alternativa C está errada. Afinal, os juros de um período são maiores que os juros do período anterior, no regime de JC. Da mesma forma, a alternativa D está errada, pois vimos que no regime de JS ganha-se o mesmo valor de juros a cada período. A letra E não tem embasamento algum. Dependendo do valor da taxa de juros, o valor final pode ser igual (se j = 0%) ou diferente entre os regimes de JC e JS, e não necessariamente o dobro. Resposta: B. 27. FCC – SEFAZ/PB – 2006) A taxa de juros nominal de 36% ao ano, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva de: 1/12) [(1,36) 1] ao mêsa − b) 9% ao trimestre 2c) [(1,03) 1] ao bimestre− 1/12d) 12.[(1,36) 1] ao ano− e) ( 1,36 -1) ao semestre 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� RESOLUÇÃO: Como a taxa é anual, mas tem capitalização mensal, devemos dividi-la por 12 para obter a taxa efetiva. Neste caso, a taxa efetiva é 3% ao mês (36% dividido por 12). Isto já elimina a alternativa A. Para avaliar as demais alternativas, devemos calcular taxas equivalentes a 3% ao mês em um bimestre, um trimestre, um semestre e um ano. Começando pelo bimestre, temos que: (1 + 3%)2 = (1 + jeq)1 jeq = (1 + 3%)2 – 1 ao bimestre Temos este resultado na alternativa B, que é o gabarito. Por fins didáticos, vejamos quais seriam as taxas trimestral, semestral e anual equivalentes a 3% ao mês: jeq = (1 + 3%)3 – 1 ao trimestre jeq = (1 + 3%)6 – 1 ao semestre jeq = (1 + 3%)12 – 1 ao ano Resposta: C 28. FCC – Banco do Brasil – 2006) A taxa de inflação em um determinado país no ano de 2005 foi de 10%. Um investimento realizado neste mesmo período, neste país, que apresentou uma taxa real de juros negativa igual a –5%, foi efetuado a uma taxa de juros nominal igual a (A) 4% (B) 4,5% (C) 5% (D) 5,5% (E) 6% RESOLUÇÃO: Temos inflação de i = 10% e taxa de juros real jreal = -5%. Assim: 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� (1 ) (1 )(1 ) n real j j i + = + + � (1 ) (1 5%)(1 10%) nj+ = − + � (1 ) 0,95 1,1 nj+ = � (1 ) 1,1 0,95nj+ = × � 0,045 4,5%nj = = Resposta: B 29. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2011) Foram oferecidas a um investidor as seguintes opções: investir seu capital no ativo A e obter um rendimento de 10% ao mês durante três meses, ou investir o mesmo capital no ativo B e obter um rendimento de 33,1% ao trimestre durante o mesmo período. Considerando que os ativos possuem o mesmo risco e o regime de juros compostos, pode-se afirmar que: a) A taxa de juros efetiva é maior do que a taxa de juros nominal na opção A b) O investidor não possui informações para escolher qual o melhor investimentoc) Na opção B, o valor final do investimento é o dobro da opção A d) As taxas de juros são equivalentes e) Na opção B, o valor final do investimento é o triplo da opção A RESOLUÇÃO: Para comparar as duas possibilidades de investimento, devemos analisá-las ao longo de um mesmo período, porém vimos que as taxas de juros são definidas em relação a períodos diferentes: 10% ao mês e 33,1% ao trimestre. Para facilitar, vamos analisar o ganho do investidor ao longo de 1 trimestre. � Ativo A: aplicando o montante C à taxa de juros j = 10% ao mês durante o período de 1 trimestre, isto é, t = 3 meses, temos: = × + = × + = × = × 3 3 (1 ) (1 0,1) 1,1 1,331 tM C j M C M C M C 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� � Ativo B: aplicando o montante C à taxa de juros j = 33,1% ao trimestre durante o período t = 1 trimestre, temos: = × + = × + = × 1 (1 ) (1 0,331) 1,331 tM C j M C M C Veja que, em ambos os casos, ao final de um período (três meses) o capital acumulado será de = ×1,331M C . Portanto, as taxas de juros de ambos os investimentos são equivalentes, apenas estão definidas em relação a períodos distintos. Resposta: D. 30. FCC – TRT/1ª – 2013) Juliano possui R$ 29.000,00 aplicados em um regime de juros compostos e deseja comprar um carro cujo preço à vista é R$30.000,00. Se nos próximos meses essa aplicação render 1% ao mês e o preço do carro se mantiver, o número mínimo de meses necessário para que Juliano tenha em sua aplicação uma quantia suficiente para comprar o carro é (A) 7. (B) 4. (C) 5. (D) 6. (E) 3. RESOLUÇÃO: Podemos fazer o cálculo por etapas, utilizando a taxa de 1% ao mês: Mês 1: 29000 x (1 + 1%) = 29290 reais Mês 2: 29290 x (1 + 1%) = 29582,9 reais Mês 3: 29582,9 x (1 + 1%) = 29878,72 reais Mês 4: 29878,72 x (1 + 1%) = 30177,51 reais Repare que só no final do 4º mês foi possível obter um montante superior a 30.000 reais, permitindo adquirir o carro. Resposta: B 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� 31. ESAF – AFRFB – 2009) No sistema de juros compostos um capital PV aplicado durante um ano à taxa de 10 % ao ano com capitalização semestral resulta no valor final FV. Por outro lado, o mesmo capital PV, aplicado durante um trimestre à taxa de it% ao trimestre resultará no mesmo valor final FV, se a taxa de aplicação trimestral for igual a: a) 26,25 % b) 40 % c) 13,12 % d) 10,25 % e) 20 % RESOLUÇÃO: Novamente a palavra “capitalização” nos remete ao regime de juros compostos. Uma taxa de 10% ao ano com capitalização semestral é uma taxa nominal. Para obter a taxa efetiva, basta dividi-la por 2, pois temos 2 semestres em um ano. Assim, temos a taxa efetiva de 5% ao semestre. Aplicando o capital PV durante 1 ano à taxa de 5% ao semestre, temos, ao final do período: 2 2 (1 ) (1 0,05) (1,05) 1,1025 tM C j FV PV PV FV PV = × + = × + = × = × � � Note que a aplicação rendeu 10,25% de juros. Para obter o mesmo rendimento deixando o PV aplicado por t = 1 trimestre, a taxa de juros ao trimestre (it) deve ser de 10,25%, como pode ser visto abaixo: 1(1 ) 1,1025 (1 ) 1,1025 (1 ) 0,1025 10,25% FV PV it PV PV it it it = × + × = × + = + = = � Resposta: D 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� 32. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) A taxa anual equivalente à taxa composta trimestral de 5% é (A) 19,58% (B) 19,65% (C) 19,95% (D) 20,00% (E) 21,55% RESOLUÇÃO: Aplicando o capital C ao longo de 1 ano (t = 4 trimestres) à taxa de 5% ao trimestre, temos o seguinte montante: 4(1 ) (1 0,05) 1,2155 tM C j C M C = × + = × + = × � A taxa anual equivalente (jeq), que leva o mesmo capital C ao montante final Cx1,2155, após o mesmo período (t = 1 ano), é: 1 1 1 (1 ) 1,2155 (1 ) 1,2155 (1 ) 0,2155 21,55% eq eq eq eq M C j C C j j j = × + × = × + = + = = � Note que aqui nós obtemos a taxa equivalente sem recorrer a fórmulas como aquela )(1 (1 )eqteq tj j+ = + , mas apenas utilizando o conceito de taxas equivalentes. Considero esta a melhor forma de resolver (uma fórmula a menos para decorar!). Resposta: E 33. FCC – DNOCS – 2010) Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por: 18) [(1,02) 1]a − 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� 18) [18 1,36 1]b − 12) [18 1,24 1]c − ) [3 1,24 1]d − 3) [6 1,24 1]e − RESOLUÇÃO: Observe que a taxa de juros é definida na unidade temporal ano, enquanto a capitalização é mensal. Portanto, estamos diante de uma taxa de juros nominal. Para obter a taxa de juros efetiva, basta dividir 24% ao ano por 12, afinal temos 12 meses em 1 ano. Assim, a taxa efetiva é j = 2% ao mês. Além disso, sabemos que o prazo é t = 18 meses, e o capital inicial é C = 25000. O valor final é dado pela fórmula: 18 (1 ) 25000 (1,02) tM C j M = × + = × O exercício pediu o valor dos juros apenas. O montante final é igual à soma do capital inicial e dos juros: M = C + J. Portanto, temos: 18 18 18 18 25000 (1,02) 25000 25000 (1,02) 25000 (1,02) 25000 25000 [(1,02) 1] M J J J = × + = × = × − = × − Assim, o valor dos juros é igual a 25000 multiplicado pela expressão que vemos na letra A. Resposta: A 34. FCC – Banco do Brasil – 2006) Um investidor realiza depósitos no início de cada mês, durante 8 meses, em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Os valores dos 4 primeiros depósitos foram de R$ 1 000,00 cada um e dos 4 últimos R$ 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � ��������������� !�������������������������������� ��� ������������������������������������������������������������������� 1 250,00 cada um. No momento em que ele efetua o oitavo depósito, verifica que o montante que possui no banco é M, em reais. Utilizando os dados da tabela acima, tem-se, então, que (A) 10 300 < M (B) 10 100 < M ≤ 10 300 (C) 9 900 < M ≤ 10 100 (D) 9 700 < M ≤ 9 900 (E))9 500 < M ≤ 9 700 RESOLUÇÃO: A taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal corresponde à taxa efetiva de 2% ao mês. No momento em que o investidor vai efetuar o oitavo depósito, o 1º depósito já estava aplicado a 7 meses, o 2º a 6 meses, o 3º a 5 meses, e assim por diante. Podemos calcular o valor final de cada depósito separadamente, conforme a tabela abaixo: Capital