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SEFAZ PE XEST matfinraclogico arthur Aula 04 Séries de Pagamentos

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Aula 04
Matemática Financeira e Raciocínio Lógico p/ SEFAZ/PE
Professor: Arthur Lima
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AULA 04 – SÉRIES DE PAGAMENTOS 
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SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 01 
2. Resolução de exercícios 45 
3. Questões apresentadas na aula 148 
4. Gabarito 191 
�
Olá! 
 Hoje trabalharemos os seguintes tópicos do seu edital: 
 
Séries finitas e perpétuas de pagamentos: postecipadas, antecipadas e diferidas. 
Utilização de tabelas financeiras. Métodos de avaliação de fluxos de caixa: valor 
presente líquido e taxa interna de retorno. Inflação e atualização de valores 
monetários: índices de preços; atualização de valores através de indexadores; 
 
Tenha uma ótima aula! 
 
1. TEORIA 
1.1 Equivalência financeira. Valor atual (ou valor presente). 
Você deve se lembrar, da aula de juros compostos, que a fórmula abaixo leva 
um capital C a um montante M, daqui há “t” períodos, se aplicado à taxa de juros 
compostos j: 
(1 )tM C j= × + 
 
 Imagine que vamos aplicar certa quantia na data de hoje, isto é, no momento 
presente. Chamemos, portanto, o capital C de valor presente ou atual (VP). 
Analogamente, podemos chamar o montante M de valor futuro (VF), pois este é o 
valor que o dinheiro assumirá no futuro, isto é, daqui há “t” períodos. Portanto: 
(1 )tVF VP j= × + 
 
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 Vendo a fórmula acima, também podemos dizer que: 
(1 )t
VFVP j= + 
 
 Isto é, se conhecemos certo valor monetário numa data futura, podemos 
saber qual é o seu valor equivalente na data atual, presente. Ou seja, podemos 
calcular o valor atual daquela quantia. Exemplificando, vamos descobrir quando 
1000 reais daqui há 12 meses representam hoje, considerando a taxa de 1% ao 
mês. Veja que, neste caso, VF = 1000 reais, afinal este valor foi definido numa data 
futura, e não na data de hoje. Assim: 
12
(1 )
1000 887,44(1 0,01)
t
VFVP j
VP
=
+
= =
+
 
 
 Portanto, 1000 reais daqui a 12 meses equivalem a 887,44 reais na data de 
hoje, isto é, o valor atual daquela quantia é VP = 887,44. 
 Vejamos uma aplicação prática do exemplo acima. Você é dono de uma loja, 
e está vendendo um produto por R$1000,00, para pagamento daqui a 12 meses. 
Um cliente pretende adquirir o produto pagando à vista, porém um valor reduzido: 
apenas R$890,00. Você deve aceitar a proposta? Ora, se existe a possibilidade de 
você investir esse dinheiro em uma aplicação financeira com rendimento de 1% ao 
mês, é mais vantajoso aceitar R$890,00 à vista e investir o dinheiro do que esperar 
12 meses para receber R$1000,00. Afinal, 890 é maior do que o valor atual de 1000 
reais (que, como vimos acima, é de 887,44 nessas condições). Em resumo: daqui a 
12 meses você terá mais do que R$1000,00 em sua conta. 
 
 Como você deve ter percebido até aqui, não é correto comparar valores 
financeiros que se referem a momentos distintos. Sempre que surgir uma situação 
assim, você deve levar todos os valores para a mesma data, com o auxílio de uma 
taxa de juros ou de desconto fornecida pelo enunciado, e só então compará-los. 
Chamaremos esta data de “data focal”, ok? 
 Vejamos um exemplo. Imagine que José deve R$1000,00 para você, valor 
este que seria pago daqui a 12 meses. Como os negócios dele estão prosperando, 
83395105172
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ele se propõe a efetuar o pagamento de forma diferente: em duas parcelas, sendo 
a primeira de 300 reais daqui a 3 meses, e a segunda do valor restante, daqui a 8 
meses. Considerando uma taxa composta de 1% ao mês, qual deve ser o valor da 
segunda parcela? 
 Vamos representar na linha do tempo os dois esquemas de pagamento. 
Veja-os abaixo: 
 
 Para que o fluxo de pagamentos em azul possa substituir o fluxo de 
pagamentos em vermelho, é preciso que ambos possuam o mesmo valor presente. 
Assim, é preciso que levemos todos os valores para a mesma “data focal”. 
Poderíamos, por exemplo, trazer todos os valores para a data zero (0), dividindo-os 
por (1 + 1%)t, concorda? 
 Entretanto, é mais prático levar todos os valores para a mesma data de 
algum dos pagamentos, para diminuir as contas. Ex.: podemos levar as duas 
parcelas em azul para a mesma data da parcela em vermelho. 
 Levando R$300 para o mês 12, devemos “avançar” 9 meses. E levando a 
parcela P para o mês 12, devemos “avançar” 4 meses. Podemos fazer essa 
translação do dinheiro no tempo utilizando a fórmula VF = VP x (1 + j)t. Feito isso, 
podemos afirmar que o valor atual das parcelas em azul, no mês 12, deve ser igual 
ao valor atual da parcela em vermelho, naquela mesma data. Isto é, 
300 x (1 + 1%)9 + P x (1 + 1%)4 = 1000 
328,10 + P x 1,0406 = 1000 
P = 645,68 reais 
 
 Portanto, no novo esquema de pagamentos proposto por José bastaria que 
ele pagasse mais uma parcela de R$645,68 no mês 8. Apesar da soma das 
parcelas ser inferior a 1000 reais (300 + 645,68 = 945,68), podemos afirmar que 
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R$1000
R$300 P
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estes dois “esquemas” de pagamentos são equivalentes, à uma taxa composta de 
1% ao mês. 
 
 Pratique estes conceitos resolvendo o exercício a seguir: 
 
Atenção: utilize a tabela abaixo para resolver a próxima questão: 
 
1. ESAF – AFRFB – 2005) Ana quer vender um apartamento por R$ 400.000,00 a 
vista ou financiado pelo sistema de juros compostos a taxa de 5% ao semestre. 
Paulo está interessado em comprar esse apartamento e propõe a Ana pagar os 
R$400.000,00 em duas parcelas iguais, com vencimentos a contar a partir da 
compra. A primeira parcela com vencimento em 6 meses e a segunda com 
vencimento em 18 meses. Se Ana aceitar a proposta de Paulo, então, sem 
considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a: 
a) R$ 220.237,00 
b) R$ 230.237,00 
c) R$ 242.720,00 
d) R$ 275.412,00 
e) R$ 298.654,00 
RESOLUÇÃO: 
 Observando o caso sob a ótica do comprador (Paulo), vemos que ele assume 
uma dívida de R$400.000 no momento inicial (t = 0), e a liquida em 2 pagamentos 
iguais de valor “P” em t = 6 meses e t = 18 meses. Podemos representar isso com o 
esquema abaixo: 
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 Para que o pagamento em duas parcelas seja equivalente ao pagamento de 
400000 reais à vista, é preciso que a soma do valor atual das prestações seja igual 
ao valor atual inicial, de 400000. 
Como a taxa é j = 5% ao semestre, vemos que a primeira parcela foi paga em 
t = 1 semestre e a segunda em t = 3 semestres. Assim: 
1 3400000 (1 5%) (1 5%)
P P
= +
+ +
 
 
Veja que a tabela de fator de atualização de capital nos fornece o valor de 
1
(1 )ni+ , o que facilita as nossas contas. Assim, temos que: 
1
1 0,9523(1 5%) =+ �
31 0,8638(1 5%) =+ 
Com isso, temos: 
400000 0,9523 0,8638P P= × + × �
P = 220252,18reais 
 
 Assim obtivemos aproximadamente a resposta da alternativa A. 
Resposta: A 
 
 
 
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1.2 Séries finitas de pagamentos (rendas certas ou anuidades): 
postecipadas, antecipadas e diferidas 
Em um grande número de vezes vamos nos deparar com esquemas de 
pagamentos e/ou recebimentos que possuem uma série de prestações de igual 
valor. É o caso do próprio sistema de amortização francês, que estudamos na aula 
passada. 
Questão clássica em provas é aquela que apresenta uma série de 
pagamentos ou recebimentos composto por várias parcelas iguais distribuídas ao 
longo do tempo, e pergunta-se o valor atual daquela série. 
Exemplificando, imagine que alguém vai te pagar 4 parcelas mensais de 
2000 reais cada, sendo que a primeira parcela será paga daqui a 1 mês. 
Considerando uma taxa de juros compostos j = 1% ao mês, qual é o valor 
atual/presente desta série de pagamentos? 
Veja abaixo o esquema de pagamentos em questão. Em azul você pode 
visualizar os 4 pagamentos mensais de 2000 reais, começando em t = 1 mês. Já em 
vermelho encontra-se o valor atual, na data inicial t = 0, daquela série de 
pagamentos: 
 
 Sabemos que o valor atual VP é igual à soma dos valores atuais das 4 
parcelas mensais, que devem ser “trazidas” à data focal t = 0 através da sua divisão 
por (1 + j)t. Isto é: 
1 2 3 4
2000 2000 2000 2000
(1 0,01) (1 0,01) (1 0,01) (1 0,01)VP = + + ++ + + + 
 
Veja que o cálculo do valor presente dos recebimentos seria bem complicado 
de se efetuar sem uma calculadora, ainda que fosse dada a tabela de fator de 
acumulação de capital (1 )tj+ . 
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Quando temos uma série de pagamentos ou recebimentos iguais, como esta 
(4 recebimentos de 2000 reais), o valor atual destes pagamentos pode ser calculado 
com o auxílio da tabela de valor atual para uma série de pagamentos iguais (an¬j). 
Esta tabela é muitas vezes fornecida pelos exercícios. Veja abaixo um exemplo: 
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 Em nosso exemplo, temos n = 4 recebimentos e taxa de juros j = 1%. 
Procurando o fator 4 1%a ¬ na coluna 1% e linha 4 da tabela acima, encontramos 
4 1% 3,901966a ¬ = : 
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Portanto, podemos dizer simplesmente que: 
VP = an¬j x P 
(onde P é o valor da prestação periódica, no caso 2000 reais/mês) 
 
 Assim: 
VP = 4 1%a ¬ x P = 3,901966 x 2000 = 7803,93 reais 
 
 Isto é, o valor atual dos 4 pagamentos mensais de 2000 reais não é R$8000 
reais, como se poderia pensar, mas sim R$7803,93 (a uma taxa de 1% ao mês). 
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 Lembre-se ainda que o fator de valor atual n ja ¬ para uma série de 
pagamentos iguais é igual ao inverso do Fator de Recuperação de Capital (FRC) 
que utilizamos ao estudar a tabela price: 
1
n ja FRC¬
=
 
 É importante ter isso em mente, pois a sua prova pode fornecer apenas uma 
dessas duas tabelas (FRC ou n ja ¬ ). 
 
� Rendas postecipadas, antecipadas e diferidas 
Você reparou que, em nosso exemplo, a primeira prestação foi paga ao final 
do primeiro período, isto é, em t = 1? Em outros exercícios, pode ser que a primeira 
prestação seja paga já no início do primeiro período (t = 0), ou seja, à vista. No 
primeiro caso dizemos que as rendas são postecipadas, pois o primeiro pagamento 
é feito em um momento posterior; já neste último caso temos rendas antecipadas. 
Vejamos como trabalhar com elas fazendo a seguinte alteração em nosso exemplo: 
“Imagine que alguém vai te pagar 4 parcelas mensais de 2000 reais cada, 
sendo que a primeira parcela será paga à vista. Considerando uma taxa de juros 
compostos j = 1% ao mês, qual é o valor atual/presente desta série de 
pagamentos?” 
Neste caso, temos o seguinte esquema de pagamentos: 
 
 Como a primeira prestação encontra-se em t = 0, ela não precisa ser dividida 
por (1 + j)t, pois ela já representa o seu próprio valor presente. Até porque (1 + j)0=1, 
para qualquer valor de j. Assim, temos que: 
= + + +
+ + +1 2 3
2000 2000 20002000 (1 0,01) (1 0,01) (1 0,01)VP 
 
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Isto é, temos um pagamento à vista de 2000 reais e uma série postecipada 
de n = 3 pagamentos de P = 2000 reais ao mês, com j = 1%. Ou seja: 
¬
= + ×3 1%2000 2000VP a 
 
 Consultando na tabela de “fator de valor atual de uma série de pagamentos 
iguais”, temos que a3¬1% = 2,940985. Portanto, 
= + × =2000 2,940985 2000 7881,97VP
 
 
 Portanto, o valor atual destes 4 pagamentos é de R$7881,97, ligeiramente 
superior ao do caso anterior(rendas postecipadas). Isto é esperado, afinal no caso 
de rendas postecipadas há um pagamento de 2000 reais ao final do 4º mês, 
enquanto no caso de rendas antecipadas este pagamento é feito no instante inicial, 
de modo que, ao calcular o valor atual, ele não é “corroído” pela taxa de juros. 
 
 Imagine agora que você vai comprar uma motocicleta. Na loja, o vendedor te 
diz: você pode pagar em 4 parcelas mensais de 2000 reais, e só vai pagar a 
primeira parcela daqui a 3 meses! Considerando a taxa de juros de 1% ao mês, qual 
é o valor à vista desta motocicleta? 
Para resolvermos, visualize o esquema de pagamentos abaixo, onde VP 
representa o valor à vista: 
 
 
 Veja que a loja nos deu 3 meses de “carência”, isto é, 3 meses até o primeiro 
pagamento. Neste caso estamos diante de uma série diferida, pois o prazo de 
pagamento da primeira prestação é diferido para um momento posterior ao final do 
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primeiro período (que seria o “normal”, ou seja, a série postecipada). Para obtermos 
VP na data 0, devemos seguir os dois passos abaixo: 
 
1 – Imaginar que esta é uma série postecipada “normal”, ou seja, que começa 
na data t = 2 e tem o primeiro pagamento 1 período para frente (em t = 3). Assim, 
podemos calcular o valor presente dos 4 pagamentos de 2000 reais na data t = 2. 
Fazemos isso assim: 
1 2 3 4
2000 2000 2000 2000
(1 0,01) (1 0,01) (1 0,01) (1 0,01)VP = + + ++ + + + 
 
ou, se for fornecido a4¬1%, 
 
VP = 4 1%a ¬ x 2000 = 3,901966 x 2000 = 7803,93 reais 
 
 Veja que este é exatamente o cálculo feito no caso da série postecipada, 
estudado anteriormente. Até aqui, temos o seguinte: 
 
 
2 – Trazer o valor presente da série postecipada da data t = 2 para a data t = 0. 
 Agora basta trazermos o valor de 7803,93 reais, que está na data t = 2, para 
a data inicial: 
VP = 7803,93 / (1 + 1%)2 
VP = 7650,16 reais 
 
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 Pronto. Podemos dizer que os 4 pagamentos de R$2.000,00 cada, 
começando no 3º mês, correspondem a um pagamento à vista de R$7.650,16. Este 
é o valor da motocicleta. 
 
 Trabalhe essa questão: 
 
Atenção: utilize a tabela abaixo para resolver a próxima questão. 
 
2. ESAF – CVM – 2010) Pretende-se trocar uma série de oito pagamentos mensais 
iguais de R$ 1.000,00, vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês, por outra 
série equivalente de doze pagamentos iguais, vencendo o primeiro pagamento 
também ao fim de um mês. Calcule o valor mais próximo do pagamento da segunda 
série considerando a taxa de juros compostos de 2% ao mês. 
a) R$ 750,00 
b) R$ 693,00 
c) R$ 647,00 
d) R$ 783,00 
e) R$ 716,00 
RESOLUÇÃO: 
 Para que a série de 12 pagamentos seja equivalente à série de 8 
pagamentos, é preciso que ambas possuam o mesmo valor atual. 
 Na série original, temos n = 8 pagamentos iguais de P = 1000 reais, com taxa 
j = 2% ao mês. Da tabela de fator de valor atual para uma série de pagamentos 
iguais, podemos obter o fator 8 2% 7,325481a ¬ = . Portanto, o valor atual desta série 
de pagamentos é: 
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¬
= × = × =8 2% 7,325481 1000 7325,48VP a P reais 
 
 Se este valor vai ser pago em n = 12 prestações iguais, à taxa de juros j = 2% 
ao mês. O valor de cada prestação é dado por: 
¬
= × n jVP P a , ou seja, 
¬
=
n j
VPP
a
 
 Da tabela fornecida, podemos tirar que 12 2% 10,575341a ¬ = . Portanto, cada 
uma das 12 prestações é no valor de: 
= =
7325,48 692,69
10,575341
P 
Resposta: B 
 
1.3 Valor futuro 
 Voltemos ao nosso exemplo de 4 recebimentos mensais de R$2000,00 cada, 
postecipados, e taxa de juros de 1% ao mês. Ao invés de solicitar o valor atual deste 
fluxo, para uma quitação antecipada da dívida, pode ser que o devedor queira pagar 
toda a dívida no momento final. Para isto, é importante sabermos calcular o valor 
futuro (VF) deste fluxo de capitais. Observe que basta multiplicar cada termo por 
(1 + j)t, onde t é o intervalo entre a data original do pagamento e o final do período: 
 
 
 Portanto, 
1 2 32000 2000 (1 1%) 2000 (1 1%) 2000 (1 1%)VF = + × + + × + + × + �
 
 Repare que a última prestação não precisa ser multiplicada por (1+j)t, uma 
vez que ela já se encontra na data focal (t = 4). 
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Ao invés de efetuar o cálculo acima, você pode utilizar uma tabela de “fator 
de acumulação de capital de uma série de pagamentos iguais”, simbolizado por sn¬j. 
Este fator é tal que, sendo P o pagamento/recebimento periódico e VF o valor 
futuro: 
VF = sn¬j x P 
 
 Consultando uma tabela para n = 4 períodos e j = 1%, teríamos que s4¬1% = 
4,060401: 
 
Portanto, 
VF = 4,060401 x 2000 = 8120,80 reais 
 
 Isto significa que os 4 pagamentos mensais de 2000 reais equivalem a um 
único pagamento de 8120,80 reais ao final do 4º período. E se, ao invés disso, o 
devedor se propusesse efetuar um único pagamento ao final de 9 meses? Neste 
caso, a primeira parte da resolução seria idêntica ao que você já viu acima: levar 
todos os pagamentos mensais para a data inicial (calculando o valor atual, VP) ou 
todos os pagamentos para a data final (calculando o valor futuro, VF). Feito isso, 
bastaria levar este valor total até a data de pagamento, multiplicando-o pelo fator de 
acumulação de capital (1+j)t correspondente. Veremos isso em exercícios. 
 Para começar, tente resolver a questão abaixo: 
 
 
 
 
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Atenção: use as tabelas a seguir para resolver a próxima questão. 
 
 
3. ESAF – AFRFB – 2003) Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de 
dezoito meses do seguinte fluxo de aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos 
meses 1 a 6, cada aplicação é de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicação é 
de R$ 4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada aplicação é de R$ 6.000,00. Considere 
juros compostos e que a taxa de remuneração das aplicações é de 3% ao mês. 
a) R$ 94.608,00 
b) R$ 88.149,00 
c) R$ 82.265,00 
d) R$ 72.000,00 
e) R$ 58.249,00 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que o fluxo do enunciado é composto por 3 fluxos em separado: 
- 6 aplicações de P1 = 2000 reais, de t = 1 a t = 6; 
- 6 aplicações de P2 = 4000 reais, de t = 7 a t = 12; 
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- 6 aplicações de P3 = 6000 reais, de t = 13 a t = 18. 
 Considerando apenas o primeiro fluxo, podemos obter o seu valor total ao 
final doseu prazo (t = 6) utilizando a tabela de “fator de acumulação de capital de 
uma série de pagamentos”, Sn¬j. Veja que, para n = 6 períodos e j = 3%, temos 
S6¬3% = 6,468410. Assim, o seu valor futuro (VF) ao final das 6 aplicações é: 
VF1 = S6¬3% x P1 = 6,468410 x 2000 = 12936,82 reais 
 
 Entretanto, repare que este valor está na data t = 6, e não em t = 18. Ainda 
teremos que “transportar” este VF para a data t = 18. Antes disso, vamos calcular os 
valores futuros do segundo e terceiro fluxos, que possuem o mesmo fator de 
acumulação S6¬3% = 6,468410 (afinal n = 6 aplicações e j = 3%): 
VF2 = S6¬3% x P2 = 6,468410 x 4000 = 25873,64 reais 
VF3 = S6¬3% x P3 = 6,468410 x 6000 = 38810,46 reais 
 
 Até aqui, temos o seguinte esquema: 
 
 Como é solicitado o montante ao final de 18 meses, precisamos “transportar” 
os valores de t = 6 e t = 12 para a data focal t = 18, como as setas pontilhadas 
indicam. Da tabela de “fator de acumulação de capital” fornecida, temos que: 
(1 + 3 %)12 = 1,425760 
(1 + 3 %)6 = 1,194052 
 
 Assim, 
1212936,82 (1 3%) 18444,80× + = �
625873,64 (1 3%) 30894, 47× + = �
 
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 O valor VF3 já se encontra na data focal t = 18, portanto basta somá-lo aos 
dois valores acima: 
VF = 18444,80 + 30894,47 + 38810,46 = 88149,73 reais 
Resposta: B 
 
1.4 Séries infinitas de pagamentos (rendas perpétuas ou 
perpetuidades) 
Quando estudamos as rendas certas ou anuidades, avaliamos casos onde 
tínhamos n prestações iguais de valor igual a P. E se o número de prestações for 
infinito? É possível determinar um valor atual para esta série de pagamentos? 
Imagine que eu tenha me proposto a pagar R$10,00 mensais para você, 
perpetuamente (ou, no mínimo, vitaliciamente). Em um dado momento, fico de “saco 
cheio” de te pagar todo mês aquele valor, e combino contigo de pagar de uma só 
vez um valor maior, que substitua toda a minha dívida contigo. Qual seria este 
valor? A fórmula que relaciona uma renda mensal perpétua R = 10 reais, e uma taxa 
de juros j = 1% ao mês, e o valor atual VP destes pagamentos é: 
R = VP x j 
 Portanto, 
10 = VP x 1% 
VP = 10 / 0,01 = 1000 reais 
 
 Isto é, o valor que eu devo te pagar à vista para substituir aquela renda 
perpétua é de R$1000,00, considerando a taxa de juros j = 1% ao mês. De fato, 
repare que se você receber estes R$1000 e colocá-lo numa aplicação financeira 
que rende juros de 1% ao mês, a cada mês os juros produzidos serão de J = 1% x 
1000 = 10 reais. Isto é, mensalmente você poderá sacar 10 reais, ao invés de eu ter 
que transferir esta quantia para você. 
 Observe ainda a seguinte variação: digamos que você tenha em suas mãos 
um título de crédito com essas mesmas características, isto é, remuneração mensal 
(perpétua) de R$10,00. Por quanto você venderia este título a outra pessoa? Aqui, a 
resposta é a seguinte: o “preço justo” de venda é o valor atual/presente do título, 
pois, em tese, esta é a melhor forma de valorá-lo. Assim, o preço justo deste título 
seria de R$1.000,00, a uma taxa de 1% ao mês, como vimos acima. Qualquer valor 
83395105172
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acima ou abaixo deste representaria um ganho para o vendedor ou comprador do 
título. 
 
 Vejamos uma questão sobre este tema: 
 
4. FGV – ICMS/RJ – 2011) Um indivíduo possui um título cujo valor presente é de 
R$100.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 10,25% ao ano, juros 
compostos, o fluxo de pagamentos semestral perpétuo equivalente ao valor 
presente do título é 
(A) R$ 4.878,00. 
(B) R$ 5.000,00. 
(C) R$ 6.287,00. 
(D) R$ 10.250,00. 
(E) R$ 10.000,00 
RESOLUÇÃO: 
 Temos VP = 100.000 reais e j = 10,25% ao ano. Se houvesse sido pedido o 
fluxo de pagamentos anual, ou renda anual R, teríamos: 
R = VP x j 
R = 100.000 x 10,25% = 10250,00 reais 
 
 Veja que a alternativa D apresenta essa resposta, para pegar os candidados 
mais desatentos. Entretanto, temos um detalhe: apesar de a taxa de juros ser anual, 
definiu-se que as rendas são semestrais. A taxa de juros semestral que é 
equivalente a 10,25% ao ano é dada por: 
(1 + j)2 = (1 + 10,25%)1 
(1 + j)2 = 1,1025 
(1 + j) = 1,05 
j = 5% ao semestre 
 
 Portanto, a renda semestral é: 
R = VP x j = 100.000 x 5% = 5000 reais 
Resposta: B 
 
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1.5 Operação Balão 
Imagine que, ao tentar comprar um carro de 30 mil reais, o vendedor te 
ofereça a seguinte proposta: 
 
- “você pode pagar 12 prestações mensais, com taxa de juros de 1% ao mês, e 
intermediárias de R$2.000,00 na 6ª e na 12ª parcelas” 
 
Chamamos de “balão” essas prestações intermediárias que muitas vezes são 
oferecidas em esquemas de pagamentos. Elas também são conhecidas como 
“prestações reforço”. 
Você também já deve ter ouvido falar das “chaves” que são pagas ao adquirir 
um apartamento na planta, que é uma prestação mais alta que é paga no momento 
em que o imóvel é entregue ao comprador. Essas parcelas mais altas e 
concentradas em alguns períodos servem, basicamente, para reduzir o valor das 
parcelas periódicas, e deixar o financiamento mais atrativo para o cliente. 
Voltando ao exemplo do carro, vamos descobrir o valor de cada uma das 12 
prestações? Em primeiro lugar, sabemos que o valor presente do carro é de 30.000 
reais, o número de períodos é n = 12, e a taxa de juros é j = 1% ao mês. Ao invés 
de colocarmos esses valores diretamente na fórmula da tabela price, como faríamos 
em um financiamento normal, o primeiro passo nosso deve ser descobrir o valor 
atual das prestações “balão”. Os valores atuais das intermediárias de R$2.000,00 
reais pagas no sexto e no décimo segundo meses são, respectivamente: 
 
Balão1 = 2000 / (1 + 1%)6 
Balão2 = 2000 / (1 + 1%)12 
 
Vamos considerar que foi fornecida uma tabela de fator de valor atual 
(1 + i)n, onde é dito que: 
(1 + 1%)6 = 1,0615 
(1 + 1%)12 = 1,1268 
 
Deste modo, temos que: 
Balão1 = 2000 / 1,0615 = 1884,09 reais 
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Balão2 = 2000 / 1,1268 = 1774,89 reais 
 
Para calcular o valor das prestações do financiamento propriamente dito 
(tabela price ou SAC), devemos excluir do valor inicial da dívida (30000) o valor 
presente dos “balões”. Assim, a parte da dívida que será financiada regularmente é: 
VP = 30000 - 1884,09 - 1774,89 = 26341,02 reais 
 
Com isso em mãos, podemos calcular a prestação no sistema price, por 
exemplo, assim: 
P = VP x j x (1 + j)n / ((1 + j)n – 1) 
P = 26341,02 x 0,01 x (1 + 0,01)12 / (1,0112 - 1) = 2340,36 reais 
 
Portanto, a cada mês será pago uma prestação de R$2.340,36. Além disso, 
nos meses 6 e 12 serão pagos mais 2000 reais, totalizando R$4.340,36. 
Observe que, se não houvessem as prestações intermediárias, o cliente 
deveria pagar 12 prestações mensais de R$2.665,46. Ou seja, os “balões” 
permitiram reduzir o valor mensal das prestações, tornando o financiamentomais 
atrativo para o cliente. 
Para finalizar este tópico, veja abaixo um anúncio da venda de automóveis 
com prestação balão: 
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Utilizando este anúncio, vamos imaginar a aquisição de um automóvel de 
R$50.000,00 com uma entrada de R$30.000,00 e saldo parcelado em 12 prestações 
iguais, com um balão de 30% do valor financiado ao final das prestações. Vamos 
assumir que a taxa de juros praticada é de j = 2% ao mês, e é dito que 1,0212 = 
1,268. 
Veja que, neste exemplo, o saldo devedor é de 50000 - 30000 = 20000 reais. 
Assim, o balão a ser pago é de 30% x 20000 = 6000 reais, ao final do 12º mês. 
Trazendo este balão para a data inicial, temos: 
Valor presente do “balão” = 6000 / (1 + 2%)12 
Valor presente do “balão” = 6000 / 1,268 = 4731,86 reais 
 
Retirando este valor do financiamento pela tabela price, ficamos com um 
financiamento de: 
VP = 20000 - 4731,86 = 15268,14 reais 
 
A prestação, pela tabela price, será de: 
P = 15268,14 x 0,02 x 1,0212 / (1,0212 - 1) = 1443,74 reais 
 
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Assim, o cliente deve pagar 12 prestações de R$1.443,74, sendo que na última 
prestação ele deve incluir mais R$6.000,00 relativos ao balão. Se não houvesse o 
balão, o cliente deveria pagar simplesmente 12 prestações de R$1891,19. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.6 Métodos de avaliação de fluxos de caixa: valor presente líquido 
e taxa interna de retorno. 
 
1.6.1 Fluxo de caixa 
 Uma aplicação útil dos cálculos de valor atual e de anuidades é a análise de 
fluxos de caixa. Um fluxo de caixa é formado por todas as saídas (pagamentos, 
desembolsos) e todas as entradas de capital (recebimentos) ao longo de um 
período, associados a certo projeto ou negócio. 
Imagine que você é um empreendedor, e planejou abrir um negócio. Fazendo 
seus cálculos, percebeu que precisaria gastar, na data de hoje, R$7000,00 para 
abrir o negócio e colocá-lo para funcionar. A partir daí, sua estimativa é de que nos 
próximos 4 anos você lucre R$2.000,00 ao final de cada ano com o seu negócio. O 
gráfico abaixo representa o desembolso de 7000 reais e os ganhos de 2000 reais 
distribuídos ao longo do tempo: 
 
 
Esse esquema onde temos desembolsos e ganhos distribuídos ao longo do 
tempo é o chamado de Fluxo de Caixa de um projeto. Ele nos permite, entre outras 
coisas, fazer uma análise importante: vale a pena investir nesse negócio? 
 A uma primeira vista, talvez você respondesse: “sim, afinal serão investidos 
7000 reais e, ao longo dos 4 anos, ganharei 8000 reais, resultando num saldo 
positivo de 1000 reais”. Muito cuidado nessa hora. Você deve se lembrar que o 
valor do dinheiro se altera no tempo. Isto é, 2000 reais de hoje não valem a mesma 
coisa de 2000 reais no final do 4º ano. Exemplificando, considere a taxa de juros de 
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10% ao ano. Se temos o valor futuro VF = 2000 reais daqui a 4 anos, o valor 
presente correspondente é: 
4
(1 )
2000 1366,02(1 0,1)
t
VFVP j
VP
=
+
= =
+
 
 
 Isto é, os 2000 reais ganhos ao final do 4º ano correspondem ao valor atual 
de apenas 1366,02. De fato, se você aplicar hoje 1366,02 num investimento que 
pague juros compostos de 10% ao ano, verá que, ao final de 4 anos, terá o 
montante de 2000 reais. Vejamos quanto valem, na data de hoje, os 2000 reais 
ganhos ao final do 3º ano: 
3
(1 )
2000 1502,62(1 0,1)
t
VFVP j
VP
=
+
= =
+
 
 
 Podemos fazer essa mesma conta para os 2000 ganhos ao final do 2º e do 1º 
anos: 
2
1
2000 1652,89(1 0,1)
2000 1818,18(1 0,1)
VP
VP
= =
+
= =
+
 
 
 Somando o valor presente de cada recebimento futuro, temos que o Valor 
Atual dos recebimentos futuros é VP = 6339,71. Apesar de, a uma primeira vista, o 
nosso negócio ter um ganho de 8000 reais, devemos considerar que, para uma taxa 
de juros de 10% ao ano, o valor atual dos recebimentos é de apenas 6339,71. 
 Comparando este valor com o total investido (7000 reais), vemos que o 
negócio não compensa. Vale mais a pena você pegar os 7000 reais que dispõe, 
aplicar num investimento bancário que renda 10% ao ano, e ficar em casa 
descansando! 
Isto se a taxa de juros for mesmo 10% ao ano. Se ela fosse de apenas 1% ao 
ano, o valor presente dos recebimentos futuros seria de: 
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1 2 3 4
2000 2000 2000 2000
(1 0,01) (1 0,01) (1 0,01) (1 0,01)
1980,19 1960,59 1941,18 1921,96
7803,92
VP
VP
VP
= + + +
+ + + +
= + + +
=
 
 
 Assim, valeria a pena investir no negócio, afinal o valor presente dos 
recebimentos futuros (7803,92) é superior ao valor investido (7000). 
 Antes de trabalharmos uma questão sobre fluxo de caixa, é importante 
conhecermos o conceito de valor presente líquido, taxa interna de retorno e taxa 
mínima de atratividade. 
 
1.6.2 Valor presente líquido (VPL) e taxa interna de retorno (TIR) 
 Quando analisamos um determinado projeto, a diferença entre o valor dos 
recebimentos (entradas) e o valor investido (desembolsos), todos trazidos a valor 
presente pela taxa “j”, é chamada de Valor Presente Líquido (VPL) do negócio, 
também conhecido pela sigla em inglês NPV (Net Present Value): 
VPL = Valor atual das entradas – Valor atual dos desembolsos 
 
 Em nosso exemplo anterior, vimos que o valor atual dos desembolsos era de 
R$7.000,00, enquanto o valor atual dos recebimentos era de R$7.803,92, 
considerando para isso a taxa j = 1% ao ano. Portanto, o VPL deste projeto é: 
VPL = 7803,92 – 7000 = 803,92 reais 
 
 O VPL pode ser interpretado como o acréscimo de riqueza obtido ao 
desenvolver um determinado projeto. Se o VPL for maior que zero, o valor atual das 
entradas é maior que o dos desembolsos, portanto podemos dizer que vale a pena 
investir no negócio. Caso contrário, não vale a pena. Lembrando da primeira 
simulação, onde encontramos VP = 6339,71, teríamos VPL = 6339,71 – 7000 = -
660,29. Portanto, considerando a taxa de 10% ao ano, não vale a pena investir no 
negócio, apesar de valer a pena para a taxa de 1%. 
 
Veja que, dependendo da taxa de juros, a decisão quanto a investir ou não 
no negócio pode variar. Na vida real, o investidor normalmente utiliza como taxa de 
juros aquele percentual que ele ganharia se investisse seu dinheiro em uma 
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aplicação financeira. Essa taxa é normalmente chamada de taxa mínima de 
atratividade (TMA), pois é aquela taxa mínima para que o investidor prefira investir 
no negócio (“se sinta atraído”) ao invés da aplicação financeira. Mas você não 
precisa se preocupar com isso, pois nos exercícios de fluxo de caixa a taxa de juros 
será dada pelo enunciado. 
 
Mais um detalhe: imagine ainda que, além da opção de investir no negócio 
acima, com VPL = 803,92 (taxa de 1% ao ano), você também vislumbre a 
oportunidade de investir em outro negócio. Entretanto, você só tem recursos para 
investir em um dos dois negócios. Analisando o fluxo de caixa previsto para o 
segundo investimento, você verifica que VPL = 950 reais (também com a taxa de 
1%). Em qual negócio vale mais a pena investir? Obviamente, no segundo. Isto é, 
comparando duas possibilidades de investimento, aquela com maior VPL é a mais 
interessante. 
 
 Como vimos no exemplo anterior, dependendo da taxa de juros considerada 
o VPL tem valor positivo ou negativo. Existe, portanto, uma taxa de juros que torna o 
VPL igual a zero. Esta taxa é chamada de taxa interna de retorno (TIR). Ela é a taxa 
de juros real do investimento, também conhecida pela sigla em inglês IRR (Internal 
Return Rate). A título de exemplo, veja o que aconteceria no exemplo acima se 
tivéssemos considerado a taxa de juros de 5,564% ao ano: 
1 2 3 4
2000 2000 2000 2000
(1 0,0564) (1 0,0564) (1 0,0564) (1 0,0564)
1894,58 1794,72 1700,13 1610,52
7000
VP
VP
VP
= + + +
+ + + +
= + + +
=
 
 
 Ou seja, o valor presente dos recebimentos futuros seria 7000 reais. 
Portanto, o valor presente líquido do investimento seria: 
 
VPL = 7000 – 7000 = 0 
 
 Isso nos mostra que a taxa interna de retorno do investimento é de 5,564% 
ao ano. O que a TIR nos diz? Simples: se temos a possibilidade de colocar o 
dinheiro em uma aplicação financeira que pague mais do que a TIR, isto é, que 
83395105172
�����������	�
�
��������������
���������������������
���������������
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������
���������������� �!���∀ �#∃�
�
�
���������������� ��������������������������������	
���
�����������������������������������������������������������������
tenha um rendimento superior a 5,564% ao ano, é melhor deixar o dinheiro na 
aplicação financeira. Caso contrário, vale a pena investir no negócio. Isto é, às 
vezes, mesmo quando o VPL é positivo (valor atual das entradas é maior que o das 
saídas), pode ser que a rentabilidade do negócio seja inferior à que seria obtida na 
aplicação financeira, sendo mais interessante deixar o dinheiro investido no banco. 
 Verifique se você entendeu os assuntos acima resolvendo essas questões: 
 
1. FCC – Banco do Brasil – 2006) Uma empresa deverá escolher um entre dois 
projetos X e Y, mutuamente excludentes, que apresentam os seguintes fluxos de 
caixa: 
 
A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano (capitalização anual) e verifica-se que 
os valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são iguais. Então, o 
desembolso D referente ao projeto X é igual a 
(A)) R$ 30 000,00 
(B) R$ 40 000,00 
(C) R$ 45 000,00 
(D) R$ 50 000,00 
(E) R$ 60 000,00 
RESOLUÇÃO: 
 Para o projeto Y, temos o fluxo de caixa abaixo: 
 
83395105172
�����������	�
�
��������������
���������������������
���������������
���������
������
���������������� �!���∀ �#∃�
�
�
���������������� ��������������������������������	
���
�����������������������������������������������������������������
 Calculando o valor presente líquido deste investimento, utilizando a taxa de 
atratividade j = 8%, temos: 
 
1 2
Valor atual das entradas - Valor atual dos desembolsos
16200 17496VPL = 40000(1 8%) (1 8%)
15000 15000 40000
10000
VPL
VPL
VPL
=
+ −
+ +
= + −
= −
 
 
 O segundo projeto tem o mesmo valor atual líquido, isto é, tem VPL = -10000. 
Além disso, o seu fluxo de caixa pode ser visto no esquema abaixo: 
 
Portanto, para o segundo investimento: 
1 2
Valor atual das entradas - Valor atual dos desembolsos
10800 11664
-10000= (1 8%) (1 8%)
10000 10000 10000
30000
VPL
D
D
D
=
+ −
+ +
− = + −
=
 
Resposta: A 
 
2. DOM CINTRA – ISS/BH – 2012) Uma empresa realizou a projeção dos fluxos de 
caixa de um determinado projeto, conforme a tabela abaixo: 
 
Sabendo-se que a Taxa Interna de Retorno para esse projeto é de 3%, o valor do 2º 
fluxo será referente a: 
83395105172
�����������	�
�
��������������
���������������������
���������������
���������
������
���������������� �!���∀ �#∃�
�
�
���������������� ��������������������������������	
���
�����������������������������������������������������������������
A) R$ 21.218,00 
B) R$ 22.732,00 
C) R$ 23.426,00 
D) R$ 24.980,00 
E) R$ 25.619,00 
RESOLUÇÃO: 
 Se a TIR é j = 3% ao período, sabemos que o VPL será igual a zero se 
utilizarmos essa taxa. 
VPL = Valor atual das entradas – Valor atual das saídas 
 
 Chamando de X o valor do 2º fluxo na tabela dada, temos: 
Valor atual das saídas = 60000 
Valor atual das entradas = (10300 / 1,031 + X / 1,032 + 32781 / 1,033) 
 
 Considerando VPL = 0, temos: 
VPL = Valor atual das entradas – Valor atual das saídas 
0 = (10300 / 1,031 + X / 1,032 + 32781 / 1,033) – 60000 
X = 21218 reais 
Resposta: A 
 
1.6.3 Avaliação de investimentos com o VPL 
 Como já vimos ao tratar sobre o VPL, se estivermos comparando dois 
negócios diferentes, vale a pena escolher aquele que apresente o maior VPL. Da 
mesma forma, se estamos olhando um projeto isoladamente, caso o VPL deste 
projeto seja negativo, não vale a pena investir nele. Isto porque o VPL mede a 
diferença, em valor presente, entre todos os recebimentos e pagamentos 
associados ao projeto. Assim, se o VPL é negativo, então o valor presente dos 
pagamentos é superior ao dos recebimentos, de modo que o projeto trará uma 
redução de riqueza / valor de mercado para a empresa. Por outro lado, um VPL 
positivo indica que o projeto trará um aumento da riqueza / valor de mercado da 
empresa. 
 Assim, o VPL pode ser utilizado na decisão do investidor das seguintes 
formas: 
83395105172
�����������	�
�
��������������
���������������������
���������������
���������
������
���������������� �!���∀ �#∃�
�
�
���������������� ��������������������������������	
���
�����������������������������������������������������������������
- entre dois projetos distintos, aquele com maior VPL é o mais interessante; 
- olhando um projeto isoladamente, se o seu VPL for positivo o negócio é viável, isto 
é, gera um acréscimo de riqueza. 
 
 É preciso tomar cuidado ao utilizar o método do VPL para comparar projetos 
com durações diferentes. Imagine que temos que escolher entre os dois projetos a 
seguir: 
 
 
 
 
 
 O primeiro projeto tem duração de 2 anos, e o segundo tem duração de 3 
anos. Fazendo um cálculo simples do VPL de cada projeto, à taxa de 5% ao ano, 
temos: 
VPL1 = 550 / 1,051 + 550 / 1,052 – 1000 = 22,67 reais 
VPL2 = 560 / 1,051 + 560 / 1,052 + 560 / 1,053 – 1500 = 25,01 reais 
 Assim, a uma primeira vista o projeto 2 é mais atrativo, pois tem VPL maior. 
Mas veja que, em um período de 6 anos, podemos executar 3 vezes o projeto 1 
(pois ele dura apenas 2 anos), e podemos executar apenas 2 vezes o projeto 2 (que 
dura 3 anos). 
 Por isso, é mais adequado compararmos a realização sucessiva dos projetos 
por um mesmo período. Trata-se do MÉTODO DO MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM. 
83395105172
�����������	�
�
��������������
���������������������
���������������
���������
������
���������������� �!���∀ �#∃�
�
�
���������������� ��������������������������������	
���
�����������������������������������������������������������������Como o mínimo múltiplo comum entre 2 e 3 anos é igual a 6 anos, devemos 
comparar os dois projetos num horizonte de 6 anos. 
 Veja na tabela abaixo a realização sucessiva do primeiro projeto, ao longo de 
6 anos. São 3 ciclos de projeto: 
�� ��������� ��������� ���������� ������
�� ������ �� �� ������
�� 
�� �� �� ����
�� 
�� ������ �� �����
�� �� 
�� �� ����
	� �� 
�� ������ �����
� �� �� 
�� ����
�� �� �� 
�� ����
 
 O VPL será dado por: 
6 5 4 3 2 1
550 550 450 550 450 550 1000(1 5%) (1 5%) (1 5%) (1 5%) (1 5%) (1 5%)VPL = + − + − + −+ + + + + + �
61,89VPL reais= 
 
 Veja na tabela abaixo a realização sucessiva do segundo projeto, ao longo de 
6 anos. São 2 ciclos de projeto: 
�� ��������� ��������� ������
�� ��
��� �� ������
�� 
��� �� ����
�� 
��� �� ����
�� 
��� ��
��� �����
	� �� 
��� ����
� �� 
��� ����
�� �� 
��� ����
 
 O VPL será dado por: 
6 5 4 3 2 1
560 560 560 940 560 560 1500(1 5%) (1 5%) (1 5%) (1 5%) (1 5%) (1 5%)VPL = + + − + + −+ + + + + + �
46,63VPL reais= 
 
 Portanto, ao longo do mesmo período (6 anos), o primeiro projeto gera um 
acréscimo de riqueza (VPL) de 61,89 reais, e o segundo projeto gera um acréscimo 
de riqueza (VPL) de 46,63 reais. 
83395105172
�����������	�
�
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���������������������
���������������
���������
������
���������������� �!���∀ �#∃�
�
�
���������������� ��������������������������������	
���
�����������������������������������������������������������������
 Podemos dizer que o primeiro projeto é o mais atrativo, pelo método do 
mínimo múltiplo comum. 
 
1.6.4 Avaliação de investimentos com a TIR 
 A TIR nos diz qual é a taxa de rentabilidade do projeto. Assim, é interessante 
saber como comparar a TIR com o custo de oportunidade, o custo de capital e a 
taxa mínima de atratividade. Vejamos como: 
 
���� TIR x custo de oportunidade: 
 Imagine que alguém te peça um dinheiro emprestado. Qual taxa você vai 
cobrar? Bom, o seu dinheiro está aplicado na poupança, rendendo juros de 6% ao 
ano. Se você tirar o dinheiro da poupança para emprestá-lo, o seu objetivo é ganhar 
mais do que isto, concorda? Se for para ganhar menos, é melhor deixar o dinheiro 
onde está. E se for para ganhar o mesmo, talvez ainda assim seja melhor deixar o 
dinheiro na poupança, uma vez que este investimento é mais seguro (afinal, 
emprestando o dinheiro a alguém você sempre corre o risco de não ser pago). 
Assim, para você a taxa de 6% é chamada de “custo de oportunidade”. Isto porque, 
ao retirar o dinheiro da poupança e colocar em outro negócio, você está “deixando 
de ganhar” 6% ao ano. Desta forma, é preciso que este outro negócio tenha um 
rendimento, que é medido pela taxa interna de retorno (TIR), superior ao custo de 
oportunidade. 
 Como você observa, chamamos de “custo de oportunidade” a taxa de 
rendimento de um investimento seguro que você poderia efetuar. Um critério para a 
decisão de fazer ou não um investimento é comparar TIR e Custo de Oportunidade. 
Neste caso, se: 
- TIR > Custo de Oportunidade � vale a pena investir no negócio 
- TIR < Custo de Oportunidade � não vale a pena investir no negócio (é melhor 
deixar o dinheiro onde ele está) 
 
 Observe que o cálculo do custo de oportunidade para uma empresa, ou 
mesmo para um investidor, pode ser bem mais complexo. Isto porque podem existir 
várias opções de negócio, cada uma com níveis de rentabilidade diferentes e níveis 
83395105172
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���
�����������������������������������������������������������������
de risco diferentes. Em regra, utiliza-se como base para o custo de oportunidade o 
rendimento de um investimento seguro – no caso, o investimento em títulos do 
governo (taxa SELIC). 
 
���� TIR x custo de capital: 
 No tópico anterior estávamos preocupados em retirar um dinheiro da nossa 
poupança e emprestá-lo a alguém. E se não tivermos este dinheiro na poupança e, 
mesmo assim, alguém estiver nos solicitando um empréstimo? Pode ser que 
façamos o seguinte: contratamos um empréstimo junto ao banco, obtendo o dinheiro 
necessário, e o emprestamos ao nosso “cliente”. Quando o cliente nos pagar, 
pagaremos o banco. Repare que isto só vale a pena se a taxa de juros da nossa 
captação de recursos (empréstimo junto ao banco) for MENOR do que a taxa de 
juros do nosso negócio (empréstimo para o nosso “cliente”). 
 Casos como este, onde estamos trabalhando com recursos de terceiros (do 
banco), chamamos de custo de capital o valor da taxa de juros que pagamos para 
ter acesso aos recursos necessários para efetivar nosso negócio. Isso é bem 
comum na vida real, pois em muitos casos as empresas precisam pegar 
empréstimos para financiar seus novos negócios. 
 Este custo de capital deve ser inferior ao rendimento proporcionado pelo 
negócio, que é dado pela TIR. Desta forma, temos um outro critério de decisão: 
- se TIR > Custo de capital � compensa investir no negócio 
- se TIR < Custo de capital � não compensa investir no negócio 
 
 O cálculo do custo de capital também é bem complexo em se tratando de 
uma grande empresa. Normalmente ele é obtido através da média ponderada dos 
inúmeros empréstimos de curto, médio e longo prazo que a empresa contrata, além 
de levar em conta valores que normalmente ela paga, como dividendos e 
debêntures ao emitir ações e outros títulos. Mas fique tranquilo: as suas questões 
serão bem mais simples e diretas, como veremos. 
 
���� TIR x taxa mínima de atratividade: 
 Pode ser que, em determinado projeto, a TIR seja superior ao custo de 
capital (ou custo de oportunidade) de determinado projeto e, ainda assim, o 
investidor não se interesse pela empreitada. Isto porque pode ser que a TIR seja 
83395105172
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��������������
���������������������
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�����������������������������������������������������������������
inferior à taxa mínima de atratividade, que é aquela taxa abaixo da qual o investidor 
não se interessa pelo negócio, por razões de riscos, condições de mercado etc. 
 Assim, sabendo-se qual é a taxa mínima de atratividade para um 
determinado investidor ou empresa, temos que: 
- se TIR > Taxa mínima de atratividade � vale a pena investir no negócio. 
- se TIR < Taxa mínima de atratividade � não vale a pena. 
 
1.6.5 Fluxo de caixa do acionista e fluxo de caixa do projeto. TIR do 
acionista e TIR do projeto. 
 Agora que já conhecemos bem os conceitos básicos de fluxo de caixa e taxa 
interna de retorno, vamos trabalhar um exemplo que nos permite entender a 
diferença entre a ótica do PROJETO e a ótica do ACIONISTA (investidor). 
 Suponha que você é convidado a participar de um projeto no qual é preciso 
ser feito um investimento inicial de 2000 reais. No final do primeiro ano espera-se 
um retorno líquido de 1050 reais, e no final do segundo ano 1102,50 reais. Estamos 
diante do seguinte fluxo de caixa: 
 
 
 
 Este é o fluxo de caixa do PROJETO (e, a princípio, também é o fluxo de 
caixa do acionista). Sendo j a taxa de juros considerada, o VPL é dado por: 
1 2
1050 1102,50 2000(1 ) (1 )VPL j j= + −+ + 
 
 A taxa interna de retorno deste PROJETO é igual a 5%, pois: 
83395105172
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��������������
���������������������
���������������
���������
������
���������������� �!���∀ �#∃�
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�
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���
�����������������������������������������������������������������
1 2
1050 1102,50 2000 0(1 5%) (1 5%)+ − =+ + 
 
 A princípio esta também é a taxainterna de retorno para o 
acionista/investidor. 
 Agora suponha que o investidor preferiu não desembolsar os 2000 reais no 
início, pois isso o obrigaria a entregar todo o dinheiro que ele possuía. Ao invés 
disso, o investidor desembolsou apenas 1000 reais de seus recursos próprios, e os 
1000 reais restantes ele obteve contratando um empréstimo bancário a ser 
amortizado em 2 parcelas iguais de 515 reais (taxa implícita de 2%am). Assim, na 
prática o ACIONISTA: 
- investiu 1000 reais próprios no momento inicial; 
- recebeu 1050 no final do primeiro mês, pagando 515 para o banco, ou seja, 
ficando com 535 reais; 
- recebeu 1102,50 no final do segundo mês, pagando 515 para o banco, e ficando 
com 587,50 reais. 
 
 Na ótica do ACIONISTA, temos o seguinte fluxo de caixa: 
 
 
 O VPL, na ótica do acionista, é: 
1 2
535 587,50 1000(1 ) (1 )VPL j j= + −+ + 
 
 A TIR na ótica do acionista é aproximadamente 7,9%am, pois: 
83395105172
�����������	�
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�
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���
�����������������������������������������������������������������
1 2
535 587,50 1000(1 7,9%) (1 7,9%)VPL = + −+ + 
 
 Repare que a TIR do acionista foi MAIOR do que a TIR do projeto. Isto 
porque, além de se beneficiar com os resultados do projeto, o acionista também se 
beneficiou do fato de ter aplicado uma porção menor de seu capital (apenas 1000, 
ao invés de 2000). Assim, mesmo tendo que pagar juros ao banco que emprestou a 
outra metade do investimento, o retorno sobre o capital empregado foi maior. Isto 
faz sentido porque a taxa de juros cobrada pelo banco (2%am) era menor do que a 
TIR do projeto (5%). O procedimento efetuado pelo acionista é conhecido como 
alavancagem. Isto é, ele pegou dinheiro emprestado no banco por uma taxa (2%) 
para aplicá-lo num projeto que renderia uma taxa maior (5%). 
 
1.7 Inflação e atualização de valores monetários: índices de preços; 
atualização de valores através de indexadores; 
 Chamamos de números-índices a razão entre o valor de certa variável em um 
momento e o valor desta mesma variável em outro momento. Desta forma, em regra 
um número índice é calculado assim: 
 
valor da variável na data t 100
valor da variável na data base
×
 
 
 Os números índices mais cobrados em provas de concurso são os índices de 
preços de Laspeyres e de Paasche. Vamos conhecê-los utilizando, para isso, o 
exemplo abaixo. 
Produtos 2010 2011 
Preço Quantidade Preço Quantidade 
Arroz 2,00 100 1,80 150 
Feijão 1,50 150 1,75 75 
Farinha 2,50 50 2,60 80 
 
 Faça uma breve análise da tabela acima. Veja que ela apresenta os preços e 
as quantidades de 3 produtos (arroz, feijão e farinha) em dois anos (2010 e 2011). O 
83395105172
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���������������� �!���∀ �#∃�
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�
���������������� ��������������������������������	
���
�����������������������������������������������������������������
preço do arroz diminuiu, mas o preço dos demais produtos aumentou. Por outro 
lado, a quantidade de arroz e farinha aumentaram, enquanto a de feijão diminuiu. 
Queremos saber se, como um todo, houve um aumento ou diminuição (e de quanto) 
do custo destes produtos. Assim, fica a seguinte dúvida: que quantidades devemos 
considerar? As de 2010, as de 2011, a média entre elas, ou mesmo outra opção? 
 O índice de Laspeyres considera como base as quantidades de cada produto 
na data inicial (neste caso, as quantidades em 2010). Assim, a cesta de produtos 
em 2010 custava: 
 
Custo em 2010 = 2,00 x 100 + 1,50 x 150 + 2,50 x 50 = 550 
 
 Veja que o que fizemos foi multiplicar o preço unitário de cada produto pela 
sua respectiva quantidade, e a seguir somar os custos. Para calcular o custo da 
cesta em 2011, devemos considerar os novos preços (de 2011), porém as mesmas 
quantidades adquiridas em 2010. Assim, temos: 
 
Custo em 2011 = 1,80 x 100 + 1,75 x 150 + 2,60 x 50 = 572,5 
 
 Portanto, houve um aumento do custo da cesta de produtos. O índice de 
Laspeyres é a relação entre os custos em cada ano: 
 
2010,2011
2011 572,5 1,04
2010 550
CustoL
Custo
= = =
 
 
 Repare que o índice de Laspeyres apresentou um valor superior a 1, o que 
indica que houve um aumento geral dos preços. 
 Na metodologia de Paasche, as quantidades na data final é que são 
relevantes. Assim, devemos refazer os cálculos dos custos de 2010 e de 2011 de 
acordo com as quantidades de cada produto neste último ano, mas considerando os 
preços de cada produto em cada ano, ou seja: 
 
Custo em 2010 = 2,00 x 150 + 1,50 x 75 + 2,50 x 80 = 612,5 
Custo em 2011 = 1,80 x 150 + 1,75 x 75 + 2,60 x 80 = 609,25 
83395105172
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�
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�����������������������������������������������������������������
 
 Assim, o índice de Paasche é: 
 
2010,2011
2011 609,25 0,99
2010 612,5
CustoP
Custo
= = =
 
 
 Veja que o índice de Paasche indica uma ligeira redução nos preços (pois é 
inferior a 1), ao contrário do de Laspeyres! Resumindo, seguem abaixo as fórmulas 
para o cálculo destes dois índices. Repare nas diferenças sutis: 
 
1 0
0, 1
0 0
data data
p q
L
p q
×
=
×
�
�
 
 
1 1
0, 1
0 1
data data
p q
P
p q
×
=
×
�
�
 
 
 Nestas fórmulas, p1 representa o preço de cada produto na data final, p0 o 
preço de cada produto na data inicial (ou data-base), q1 é a quantidade de cada 
produto na data final e q0 a quantidade na data inicial. 
 
 Comece a praticar os números-índices resolvendo a questão abaixo: 
 
4. CESGRANRIO – IBGE – 2010) A tabela abaixo apresenta as quantidades e os 
preços unitários de 4 produtos vendidos, em uma mercearia, durante o 1o trimestre 
de 2009. 
83395105172
�����������	�
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��������������
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���������������� �!���∀ �#∃�
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�
���������������� ��������������������������������	
���
�����������������������������������������������������������������
 
Para o conjunto dos 4 produtos apresentados, o índice de preços de Laspeyres 
referente ao mês de março, tendo como base o mês de janeiro, vale, 
aproximadamente, 
(A) 79 
(B) 81 
(C) 108 
(D) 123 
(E) 127 
RESOLUÇÃO: 
 Por se tratar do índice de Laspeyres, devemos trabalhar com as quantidades 
da data inicial, isto é, Janeiro. Assim, temos: 
,
março janeiro
janeiro março
janeiro janeiro
p q
L
p q
×
=
×
�
�
 
,
2,50 5 4,00 4 2,75 3 2,00 2 1,23
2,50 5 3,00 4 2,00 3 1,25 2janeiro março
L × + × + × + ×= =
× + × + × + ×
 
 Portanto, temos um índice de 1,23, ou seja, o índice de Março é igual a 123% 
o índice de janeiro. Nestas questões de números índices usualmente omite-se o 
símbolo de porcentagem, pois se considera que os preços na data base valem 100, 
de modo que os preços na data final valem 123. 
Resposta: D 
 
Até aqui conhecemos os índices de preços, assim chamados justamente 
porque medem a variação de preços entre dois períodos. Além deles, é importante 
você conhecer os índices de quantidades de Laspeyres e Paasche: 
83395105172
�����������	�
�
��������������
���������������������
���������������
���������
������
���������������� �!���∀ �#∃�
�
�
���������������� ��������������������������������	
���
�����������������������������������������������������������������
0 1
0 1
0 0
p q
Laspeyres
p q−
×
=
×
�
�
�
1 1
0 1
1 0
p q
Paasche
p q−
×
=
×
�
�
 
�
 Por fim,podemos definir um índice de valor da seguinte maneira: 
1 1
0, 1
0 0
data data
p q
V
p q
×
=
×
�
�
 
 
 Este índice mede a variação do valor total de cestas de produtos na data 
inicial e na data final. O valor total de cada cesta é dado pela multiplicação dos 
preços pelas quantidades nas mesmas datas. 
 Veja que o índice de valor pode ser obtido de duas formas: multiplicando o 
índice de preços de Laspeyres pelo índice de quantidades de Paasche, ou 
multiplicando o índice de preços de Paasche pelo índice de quantidades de 
Laspeyres: 
1 0 1 1 1 1
0 0 1 0 0 0
( ) ( ) p q p q p qL preço P quantidade
p q p q p q
× × ×
× = × =
× × ×
� � �
� � �
 
1 1 0 1 1 1
0 1 0 0 0 0
( ) ( ) p q p q p qP preço L quantidade
p q p q p q
× × ×
× = × =
× × ×
� � �
� � �
 
 
 Além destes índices, vale a pena você conhecer os “relativos de preço”, 
“relativos de quantidade” e “relativos de valor”. Trata-se simplesmente da razão 
entre uma grandeza (ex.: preço unitário do arroz) em uma data base e uma data 
final. Assim, usando ainda o mesmo exemplo da tabela acima, temos: 
 
Relativo de preço do arroz (entre 2010 e 2011): 
 
2010,2011
preço unitário em 2011 1,80 0,90
preço unitário em 2010 2,00
p = = = 
(o que indica redução de 10% no preço do arroz) 
 
83395105172
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Relativo de quantidade do arroz (entre 2010 e 2011): 
 
2010,2011
quantidade do produto em 2011 150 1,50
quantidade do produto em 2010 100
q = = = 
(o que indica aumento de 50% na quantidade de arroz) 
 
 
Relativo de valor do arroz (entre 2010 e 2011): 
 
2011 2011
2010,2011
2010 2010
preço 1,80 150 1,35
preço 2,00 100
quantidade
v
quantidade
× ×
= = =
× ×
 
(o que indica aumento de 35% no valor do arroz) 
 
 Generalizando, temos as seguintes fórmulas: 
 
0, 1
preço unitário na data1
preço unitário na data0data data
p =
 
 
0, 1
quantidade do produto na data1
quantidade do produto na data0data data
q = 
 
1 1
0, 1
0 0
preço
preço
data data
data data
data data
quantidade
v
quantidade
×
=
×
 
 
 Veja essa questão: 
 
5. ESAF – AFRFB – 2003) Dadas as três séries de índices de preços 
abaixo,assinale a opção correta. 
83395105172
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a) As três séries mostram a mesma evolução de preços. 
b) A série S2 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S3. 
c) A série S3 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S2. 
d) A série S1 mostra evolução de preços distinta das séries S2 e S3. 
e) As três séries não podem ser comparadas pois têm períodos-base distintos. 
RESOLUÇÃO: 
 A melhor forma de se comparar estas séries de preços é transformando os 
preços em relativos de preços. Para isto, vamos dividir os preços de cada coluna 
por um preço base, que é o preço do ano inicial (1999). Assim, temos: 
 
 
 
 
 
 Portanto, as séries de preços S1 e S3 possuem a mesma evolução, que é 
distinta da série S2. 
Resposta: B 
 
 Para finalizar esse tópico, saiba que alguns números-índices podem possuir 
a propriedade circular. Dizemos que um índice possui a propriedade circular se o 
produto de diversos índices entre si, com data base móvel, é igual ao índice entre a 
data inicial e a data final. Isto é: 
 
0, 1 1, 2 2, 3 ( 1), ( ) 0, ( )...data data data data data data data n data n data data nI I I I I−× × × × =
 
 
 Exemplificando, imagine que o preço do arroz em fevereiro subiu 8% em 
relação a janeiro, depois subiu 5% em março em relação a fevereiro, e subiu 10% 
Ano S1 S2 S3 
1999 1,0 1,0 1,0 
2000 1,5 1,3 1,5 
2001 2,0 1,7 2,0 
2002 3,0 2,3 3,0 
83395105172
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em abril em relação a março. Desta forma, se este índice possui a propriedade 
circular, podemos dizer que a alta do preço entre janeiro e abril é dada por: 
 
, , , ,
1,08 1,05 1,10 1,247
janeiro fevereiro fevereiro março março abril janeiro abrilp p p p× × =
× × =
 
 
 Ou seja, entre janeiro e abril o arroz subiu 24,7%. Exercite esse conceito com 
a questão a seguir: 
 
6. ESAF – AFRFB – 2001) Um índice de preços com a propriedade circular, 
calculado anualmente, apresenta a seqüência de acréscimos 1δ = 3 %, 2δ = 2% e 
3δ = 2%, medidos relativamente ao ano anterior, a partir do ano to . Assinale a 
opção que corresponde ao aumento de preço do período to + 2 em relação ao 
período to – 1. 
a) 9,00 % 
b) 6,08 % 
c) 7,00 % 
d) 7,16 % 
e) 6,11 % 
RESOLUÇÃO: 
 Se o índice possui propriedade circular, podemos simplesmente multiplicar os 
índices de preços consecutivos para chegar na variação de preço daquele período. 
Assim, 
1,03 x 1,02 x 1,02 = 1,0716 � aumento de 7,16% 
Resposta: D 
 
1.7.1 Atualização de valores através de indexadores 
 Imagine que eu alugue um apartamento para você por R$1.000,00 por mês. 
Como o nosso contrato é longo (36 meses), é preciso que esse preço seja 
reajustado periodicamente. Afinal ao longo do tempo há inflação, ou seja, a moeda 
perde valor (1000 reais daqui a 1 ano permitem comprar menos coisas do que 1000 
reais hoje, concorda?). 
83395105172
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 Ocorre que hoje nós não conseguimos prever de antemão qual será a 
inflação ao longo desse período. Por isso, ao invés de definir uma taxa fixa de 
reajuste (por exemplo, 5% a cada ano), nós decidimos o seguinte: ao final de cada 
ano o aluguel será reajustado pelo mesmo percentual de variação do Índice Geral 
de Preços conhecido como IGP-M naquele ano. Na prática o que estamos fazendo 
é vinculando o aumento do aluguel ao aumento de preços geral do mercado, que é 
obtido por este índice. Isto é, estamos indexando o valor do aluguel. Portanto, se ao 
final do primeiro ano o IGP-M acusar um aumento médio de 6% nos preços do 
mercado, devemos subir o aluguel em 6%, chegando a 1060 reais. E assim por 
diante. 
 
 Vários índices produzidos por entidades de renome, públicas (como o IBGE) 
ou privadas (como a FGV), são utilizados para indexar preços. O IGP-M é o índice 
mais utilizado nos contratos de aluguel. Já o INCC (índice nacional da construção 
civil) é muito utilizado para corrigir o preço de imóveis que compramos na planta, 
durante o período de construção. Por sua vez, o IPCA (índice de preços ao 
consumidor amplo) é muito usado para corrigir a rentabilidade de títulos públicos. E 
a DI (depósito interbancário) é utilizada para remunerar investimentos como os 
conhecidos “CDBs”. 
 A maneira de trabalhar com um indexador é muito simples. Pode ser 
fornecido o valor da variação do índice (ex.: esse aumento de 6% do IGP-M que 
citei acima). Ou então pode ser fornecido o valor do índice no início e no final do 
período (ex.: no momento da contratação do aluguel o IGP-M valia “100 pontos”, e 
após um ano ele estava valendo “106 pontos”). Imagine a seguinte situação: 
 
- valor inicial do aluguel:R$1.000,00 por mês 
- indexador: IPCA 
- valor do índice no início do contrato: 80 pontos 
- valor do índice após 1 ano: 105 pontos 
- valor do índice após 2 anos: 160 pontos 
- Perguntas: qual o valor do aluguel após 1 ano? E após 2? 
 
 Para fazer esses cálculos, basta você fazer: 
83395105172
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índice finalValor final = valor inicial × 
índice inicial
 
 
 Ou seja, 
Valor após 1 ano = 1000 x 105 / 80 = 1312,50 reais 
Valor após 2 anos = 1000 x 160 / 80 = 2000 reais 
 
 A correção monetária é um processo similar ao de indexação, muitas vezes 
utilizando os mesmos índices. Na correção monetária o propósito é meramente 
repor a inflação do período, evitando a perda de valor da moeda. Por isso, para 
efetuar correções monetárias, utilizamos índices de medição da inflação, como é o 
caso do IPCA (índice de preços ao consumidor - amplo), o IGP-M (índice geral de 
preços) etc. O objetivo é meramente atualizar o valor. Veja o seguinte exemplo: 
 
- uma empresa perdeu uma ação na Justiça Trabalhista, movida por um ex-
funcionário da mesma. Como consequência, a empresa deverá pagar R$10.000,00 
ao ex-funcionário, valor este relativo a uma indenização que deveria ter sido paga 
quando da demissão do funcionário, 3 anos atrás. A dívida será paga somente 
agora, e deverá ser corrigida pelo IPCA do período. Uma tabela do IPCA revela os 
seguintes índices de variação nos últimos 3 anos: 5%, 7% e 4%. Qual é o valor 
corrigido a ser pago? 
 
 Temos uma dívida inicial de 10000 reais. Para computar o aumento de 5% do 
primeiro ano, devemos multiplicá-la por (1 + 5%). Para computar o de 7% do 
segundo ano, devemos multiplicar o resultado por (1 + 7%). E para incluir o aumento 
de 4% do terceiro ano, devemos multiplicar o resultado por (1 + 4%). Logo, 
 
Dívida corrigida = 10000 x (1 + 5%) x (1 + 7%) x (1 + 4%) 
Dívida corrigida = 10000 x 1,05 x 1,07 x 1,04 
Dívida corrigida = 11684,40 reais 
 
 
 
83395105172
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
 Vejamos agora uma bateria de exercícios sobre todos os tópicos que 
trabalhamos na aula de hoje. 
 
ATENÇÃO: utilize as tabelas abaixo sempre que precisar para resolver as questões 
desta bateria, exceto nas questões que especificarem outras tabelas. 
 
 
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5. ESAF – CVM – 2010) Calcule o valor mais próximo do valor atual, no início do 
primeiro ano, da série abaixo de pagamentos relativos ao fim de cada ano, à taxa de 
juros compostos de 12% ao ano: 
 
a) 12.500 
b) 15.802 
c) 16.275 
d) 17.029 
e) 14.186 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que a nossa série de pagamentos é formada por 3 séries distintas: 
- uma de 3 pagamentos iguais de 4000 reais, começando na data zero e tendo seu 
primeiro pagamento no 1º ano; 
- uma de 3 pagamentos iguais de 3000 reais, começando no 3º ano e tendo primeiro 
pagamento no 4º ano; 
- uma de 4 pagamentos iguais de 1000 reais, começando no 6º ano e tendo o 
primeiro pagamento no final do 7º ano. 
 
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Na tabela do fator de valor atual de uma série de pagamentos iguais, 
podemos encontrar o fator para n = 3 pagamentos e j = 12% ao ano: 
 
 Assim, 3 12% 2,401831a ¬ = . Isto significa que o valor atual de uma série de 3 
pagamentos de 4000 reais com taxa de 12% ao ano tem o valor atual: 
3 12%1 4000
1 4000 2,401831 9607,32
VP a
VP
¬
= ×
= × =
 
 
 Da mesma forma, uma série de 3 pagamentos de 3000 reais com taxa de 
12% ao ano tem o valor atual: 
3 12%2 3000
2 3000 2,401831 7205,49
VP a
VP
¬
= ×
= × =
 
 
 Veja ainda que o fator para n = 4 pagamentos e taxa j = 12% é 
4 12% 3,037349a ¬ = . Assim, uma série de 4 pagamentos de 1000 reais com taxa de 
12% ao ano tem o valor atual: 
4 12%3 1000
3 1000 3,037349 3037,34
VP a
VP
¬
= ×
= × =
 
 
 Repare, porém, que o valor atual de cada uma destas 3 séries refere-se a 
respectiva data inicial (t = 0, t = 3 e t = 6): 
83395105172
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 A primeira série de pagamentos começa na data zero, tendo o primeiro 
pagamento no 1º ano (postecipado). Portanto, VP1 já é o valor dela na data zero. 
 A segunda série de pagamentos começou no 3º ano (primeiro pagamento no 
4º ano). Portanto, o valor VP2 não é o valor dessa série na data zero, mas sim na 
data 3. Para trazer este valor para a data zero, precisamos dividir por (1 + 12%)3. 
Analogamente, precisamos dividir o valor VP3 por (1 + 12%)6 para trazê-lo para a 
data zero, pois o valor encontrado refere-se ao início daquela série de pagamentos, 
que é a data 6. 
 Assim, devemos efetuar a seguinte soma: 
3 6
3 6
2 31
1,12 1,12
7205,49 3037,349607,32
1,12 1,12
7205,49 3037,349607,32
1,404928 1,973822
9607,32 5128,72 1538,81
16274,85
VP VPVP VP
VP
VP
VP
VP
= + +
= + +
= + +
= + +
=
 
 
 Resumindo o que fizemos aqui, bastaria você efetuar o cálculo abaixo: 
3 12% 4 12%
3 12% 3 6
3000 10004000 (1 12%) (1 12%)
a aVP a ¬ ¬
¬
× ×
= × + +
+ +
 
Resposta: C 
 
6. ESAF – AFRFB – 2005) Uma casa pode ser financiada em dois pagamentos. 
Uma entrada de R$ 150.000,00 e uma parcela de R$ 200.000,00 seis meses após a 
entrada. Um comprador propõe mudar o esquema de pagamentos para seis 
parcelas iguais, sendo a primeira parcela paga no ato da compra e as demais 
vencíveis a cada trimestre. Sabendo-se que a taxa contratada é de 6 % ao trimestre, 
então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a: 
a) R$ 66.131,00 
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b) R$ 64.708,00 
c) R$ 62.927,00 
d) R$ 70.240,00 
e) R$ 70.140,00 
RESOLUÇÃO: 
 O primeiro esquema de pagamentos descrito no enunciado pode ser 
esquematizado assim: 
 
 Considerando a taxa j = 6% ao trimestre, o valor atual destes pagamentos é: 
VP = 150000 + 200000 / (1 + 6%)2 = 327999,28 reais 
 
 Esta também deve ser o valor atual do segundo esquema de pagamentos, o 
qual pode ser representado assim: 
 
 O valor atual desta série é dado por: 
VP = P + a5¬6% x P 
 
 O fator de valor atual para uma série de pagamentos iguais, a5¬6%, pode ser 
obtido na tabela fornecida: 
0 2 t (trimestres)
150000
200000
0 t (trimestres)
P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
P
83395105172
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