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Aula 09 Matemática Financeira e Raciocínio Lógico p/ SEFAZ/PE Professor: Arthur Lima . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ��� AULA 09: LÓGICA DE PROPOSIÇÕES (CONTINUAÇÃO) � SUMÁRIO PÁGINA 1. Teoria 01 2. Resolução de questões 31 3. Lista das questões apresentadas na aula 126 4. Gabarito 162 � Olá! Nesta aula vamos avançar e finalizar o estudo da lógica proposicional. Espero que você esteja conseguindo assimilar os conceitos e resolver os exercícios com razoável facilidade e, principalmente, rapidez. Tenha uma boa aula e, em caso de dúvidas, não hesite em me procurar. 1. TEORIA 1.1 ARGUMENTAÇÃO Veja o exemplo abaixo: a: Todo nordestino é loiro b: José é nordestino Conclusão: Logo, José é loiro. Temos premissas (a e b) e uma conclusão que deve derivar daquelas premissas. Isso é um argumento: um conjunto de premissas e conclusão a elas associada. Dizemos que um argumento é válido se, aceitando que as premissas são verdadeiras, a conclusão é NECESSARIAMENTE verdadeira. Veja que não nos interessa aqui questionar a realidade das premissas. Todos nós sabemos que dizer que “todo nordestino é loiro” é uma inverdade. Mas o que importa é que, se assumirmos que todos os nordestinos são loiros, e também assumirmos que José é 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ��� nordestino, logicamente a conclusão “José é loiro” é verdadeira, e por isso este argumento é VÁLIDO. Uma outra forma de fazer esta análise é pensar o seguinte: se este argumento fosse INVÁLIDO, seria possível tornar a conclusão falsa e, simultaneamente, todas as premissas verdadeiras. Vamos “forçar” a conclusão a ser falsa, assumindo que José NÃO é loiro. Feito isso, vamos tentar “forçar” ambas as premissas a serem verdadeiras. Começando pela primeira, devemos aceitar que “todo nordestino é loiro”. Mas veja que, se aceitarmos isso, a segunda premissa (“josé é nordestino”) seria automaticamente falsa, pois assumimos que José não é loiro, e por isso ele não pode ser nordestino. Repare que não conseguimos tornar a conclusão F e ambas as premissas V simultaneamente, ou seja, não conseguimos forçar o argumento a ser inválido, o que o torna um argumento VÁLIDO. Agora veja este argumento: a: Todo nordestino é loiro b: José é loiro Conclusão: Logo, José é nordestino. Vamos usar o segundo método que citei, tornando a conclusão falsa e em seguida tentando tornar as premissas verdadeiras. Para que a conclusão seja falsa, é preciso que José NÃO seja nordestino. Com isso em mãos, vamos tentar tornar as premissas V. Para a primeira premissa ser verdade, devemos assumir que todos os nordestinos realmente são loiros. E nada impede que a segunda premissa seja verdade, e José seja loiro. Ou seja, é possível que a conclusão seja F e as duas premissas sejam V, simultaneamente, o que torna este argumento INVÁLIDO. Analisando pelo primeiro método, bastaria você verificar que se todo nordestino é loiro, o fato de José ser loiro não implica que ele necessariamente seja nordesitno (é possível que outras pessoas sejam loiras também). Assim, a conclusão não decorre logicamente das premissas, o que faz deste um argumento INVÁLIDO. Em resumo, os dois métodos de análise da validade de argumentos são: 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ��� 1 – assumir que todas as premissas são V e verificar se a conclusão é obrigatoriamente V (neste caso, o argumento é válido; caso contrário, é inválido); 2 – assumir que a conclusão é F e tentar tornar todas as premissas V (se conseguirmos, o argumento é inválido; caso contrário, é válido) Vamos praticar um pouco nas questões abaixo. 1. IADES – CFA – 2010)Considere os argumentos a seguir. Argumento I: Se nevar então vai congelar. Não está nevando. Logo, não vai congelar. Argumento II: Se nevar então vai congelar. Não está congelando. Logo, não vai nevar. Assim, é correto concluir que: a) ambos são falácias b) ambos são tautologias c) o argumento I é uma falácia e o argumento II é uma tautologia d) o argumento I é uma tautologia e o argumento II é uma falácia RESOLUÇÃO: Vamos analisar cada argumento: Argumento I: P1 � Se nevar então vai congelar. P2 � Não está nevando. Conclusão � Logo, não vai congelar. Vamos imaginar que a conclusão é F. Portanto, vai congelar. Agora vamos tentar tornar as premissas Verdadeiras (forçando o argumento a ser inválido). Em P2 vemos que “não está nevando”. Assim, a primeira parte de P1(“nevar”) é F, de modo que P1 é V também. Foi possível ter a conclusão F quando ambas as premissas eram V. Ou seja, esse argumento é inválido (falácia). 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ��� Argumento II: P1 � Se nevar então vai congelar. P2 � Não está congelando. Conclusão � Logo, não vai nevar. Assumindo que a conclusão é F, vemos que vai nevar. Agora vamos tentar forçar as premissas a serem verdadeiras. Para P2 ser verdadeira, é preciso que não esteja congelando. Porém com isso a condicional de P1 fica V�F, pois “nevar” é V e “vai congelar” é F. Ou seja, NÃO foi possível tornar as duas premissas V quando a conclusão era F. Isso mostra que este argumento é válido (ou uma tautologia). Resposta: C 2. FCC – ICMS/SP – 2006) Considere os argumentos abaixo: Indicando-se os argumentos legítimos por L e os ilegítimos por I, obtêm-se, na ordem dada, a) L, L, I, L b) L, L, L, L c) L, I, L, I d) I, L, I, L e) I, I, I, I RESOLUÇÃO: Veja a análise de cada argumento, forçando as premissas a serem V e verificando se a conclusão é necessariamente V (tornando o argumento válido / legítimo) ou se ela pode ser F (tornando o argumento inválido / ilegítimo): I. Na primeira premissa (“a”), vemos que “a” precisa ser V. Na segunda (a�b), como “a” é V, então “b” precisa ser V para a premissa ser V. Logo, podemos concluir que “b” é V. Argumento válido/legítimo. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ��� II. Na primeira premissa vemos que “~a” é V, logo “a” é F. Na segunda, como “a” é F, “b” pode ser V ou F que a premissa continua verdadeira. Não podemos concluir que ~b é V ou F. Argumento inválido/ilegítimo. III. Na primeira premissa vemos que “~b” é V, logo “b” é F. Na segunda, como “b” é F, então “a” precisa ser F para que a premissa seja verdadeira. Portanto, podemos concluir que “~a” é V. Argumento válido/legítimo. IV. Na primeira premissa vemos que “b” é V. Na segunda, como “b” é V, “a” pode ser V ou F e a premissa continua verdadeira. Não podemos concluir o valor lógico de “a”. Argumento inválido/ilegítimo. Resposta: C Chamamos de silogismo o argumento formado por exatamente 2 premissas e 1 conclusão, como: P1: todo nordestino é loiro (premissa maior – mais geral); P2: José é nordestino (premissa menor – mais específica) Conclusão: Logo, José é loiro. Sofisma ou falácia é um raciocínio errado com aparência de verdadeiro. Consiste em chegar a uma conclusão inválida a partir de premissas válidas, ou mesmo a partir de premissas contraditórias entre si. Por exemplo: Premissa 1: A maioria dos políticos é corrupta. Premissa 2: João é político. Conclusão: Logo, João é corrupto. Veja que o erro aqui foi a generalização. Uma coisa é dizer que a maioria dos políticos é corrupta, outra é dizer que todos os políticos são corruptos. Não é possível concluir que João é corrupto, já que ele pode fazer parte da minoria, isto é, do grupo dos políticos que não são corruptos. Observe esta outra falácia: 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ��� Premissa 1: Se faz sol no domingo, então vou à praia. Premissa 2: Fui à praia no último domingo. Conclusão: Logo, fez sol no último domingo. A primeira premissa é do tipo condicional, sendo formada por uma condição (se faz sol...) e um resultado (então vou à praia). Com base nela, podemos assumir que se a condição ocorre (isto é, se efetivamente faz sol), o resultado obrigatoriamente tem de acontecer. Mas não podemos assumir o contrário, isto é, que caso o resultado ocorra (ir à praia), a condição ocorreu. Isto é, eu posso ter ido à praia mesmo que não tenha feito sol no último domingo. Quando tratamos sobre argumentos, os dois principais tipos de questões são: 1- as que apresentam um argumento e questionam a sua validade; 2- as que apresentam as premissas de um argumento e pedem as conclusões. Já tratamos acima sobre o primeiro tipo, e agora vamos nos debruçar sobre o segundo. Quando são apresentadas as premissas de um argumento e solicitadas as conclusões, você precisa lembrar que para obter as conclusões, é preciso assumir que TODAS as premissas são VERDADEIRAS. Além disso, você precisa identificar diante de qual caso você se encontra (cada um possui um método de resolução): - caso 1: alguma das premissas é uma proposição simples. - caso 2: todas as premissas são proposições compostas, mas as alternativas de resposta (conclusões) são proposições simples. - caso 3: todas as premissas e alternativas de resposta (conclusões) são proposições compostas. Vejamos como enfrentar cada uma dessas situações diretamente em cima de exercícios. A questão abaixo enquadra-se no “caso 1”, pois uma das premissas fornecidas é uma proposição simples. Neste caso, basta começar a análise a partir da proposição simples, assumindo-a como verdadeira, e então seguir analisando as demais premissas. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ��� 3. ESAF – PECFAZ – 2013) Considere verdadeiras as premissas a seguir: – se Ana é professora, então Paulo é médico; – ou Paulo não é médico, ou Marta é estudante; – Marta não é estudante. Sabendo-se que os três itens listados acima são as únicas premissas do argumento, pode-se concluir que: a) Ana é professora. b) Ana não é professora e Paulo é médico. c) Ana não é professora ou Paulo é médico. d) Marta não é estudante e Ana é Professora. e) Ana é professora ou Paulo é médico. RESOLUÇÃO: Note que temos 3 premissas, sendo que a última é uma proposição simples: P1: se Ana é professora, então Paulo é médico; P2: ou Paulo não é médico, ou Marta é estudante; P3: Marta não é estudante. Começamos a análise pela proposição simples P3. Como ela é verdadeira (devemos assumir que todas as premissas são V para chegar na conclusão), sabemos que Marta não é estudante. Em P2 temos uma disjunção exclusiva. Como ao analisar P3 vimos que “Marta é estudante” é Falso, então Paulo não é médico precisa ser V. Por fim em P1 vemos que “Paulo é médico” é F, de modo que “Ana é professora” precisa ser F também, de modo que Ana não é professora. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ��� Portanto, as conclusões estão sublinhadas acima. Analisando as opções de resposta: a) Ana é professora (F) � falso b) Ana não é professora (V) e Paulo é médico (F) � falso c) Ana não é professora (V) ou Paulo é médico (F) � verdadeiro d) Marta não é estudante (V) e Ana é Professora (F) � falso e) Ana é professora (F) ou Paulo é médico (F) � falso RESPOSTA: C A próxima questão se enquadra no caso 2, onde todas as premissas são proposições compostas, mas as alternativas de resposta (conclusões) contém proposições simples. Neste caso é preciso usar um artifício, “chutando” o valor lógico de alguma das proposições simples que integram as premissas. Entenda como fazer isso a partir da análise desta questão. 4. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2012) Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. Se Ana é violinista, então Beatriz é pianista. Se Ana é pianista, Denise é violinista. Se Ana é violinista, então Denise é pianista. Se Beatriz é violinista, então Denise é pianista. Sabendo-se que nenhuma delas toca mais de um instrumento, então Ana, Beatriz e Denise tocam, respectivamente: a) piano, piano, piano. b) violino, piano, piano. c) violino, piano, violino. d) violino, violino, piano. e) piano, piano, violino. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ��� RESOLUÇÃO: Temos as seguintes proposições compostas como premissas: P1: Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. P2: Se Ana é violinista, então Beatriz é pianista. P3: Se Ana é pianista, Denise é violinista. P4: Se Ana é violinista, então Denise é pianista. P5: Se Beatriz é violinista, então Denise é pianista. Veja que todas as premissas são proposições compostas. Veja ainda que todas as opções de resposta são proposições simples. Quando temos “piano, piano, piano”, por exemplo, você deve ler “Ana toca piano, Beatriz toca piano, Denise toca piano”. Repare que esta é uma enumeração de proposições simples, e não uma única proposição composta, pois não temos os conectivos (“e”, “ou” etc.). Neste caso o método de resolução consiste em “chutar” o valor lógico de alguma das proposições simples e, a partir daí, verificar o valor lógico das demais – sempre lembrando que todas as premissas devem ser verdadeiras. Chutando que Ana é pianista, em P1 vemos que Beatriz é violinista, caso contrário essa premissa não seria verdadeira. Veja que P2 fica verdadeira, pois “Ana é violinista” é F. Em P3 vemos que Denise é violinista, caso contrário essa premissa não seria verdadeira. Veja que P4 fica verdadeira, pois “Ana é violinista” é F. Porém P5 fica falsa, pois “Beatriz é violinista” é V e “Denise é pianista” é F. Veja que, com nosso chute inicial (Ana é pianista), não foi possível tornar todas as premissas verdadeiras simultaneamente. Onde está o erro? No nosso chute! Portanto, precisamos reiniciar a resolução, fazendo outra tentativa. Agora vamos assumir agora que Ana é violinista. Em P2 vemos que Beatriz é pianista, e em P4 vemos que Denise é pianista. Nessas condições, P1 e P3 já estão verdadeiras (pois “Ana é pianista” é F), e P5 também (pois “Beatriz é violinista” é F). 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� Conseguimos tornar todas as premissas verdadeiras, logo Ana, Beatriz e Denise tocam, respectivamente: - violino, piano e piano. RESPOSTA: B Vamos seguir adiante vendo o nosso “caso 3”. Neste tipo de questão são fornecidas premissas e solicitadas as conclusões do argumento, mas tanto as premissas como as opções de resposta (conclusões) são proposições compostas. Este é o caso mais complexo, e também o mais raro em provas. Aqui é necessário recorrer a uma solução um pouco diferente, sobre a qual trataremos agora, com base no exercício abaixo: 5. ESAF – ANEEL – 2004) Se não leio, não compreendo. Se jogo, não leio. Se não desisto, compreendo. Se é feriado, não desisto. Então, a) se jogo, não é feriado. b) se não jogo, é feriado. c) se é feriado, não leio. d) se não é feriado, leio. e) se é feriado, jogo. RESOLUÇÃO: Nesta questão todas as premissas são proposições compostas (condicionais). E todas as alternativas de resposta (conclusões) também são condicionais. Aqui é “perigoso” resolver utilizando o método de chutar o valor lógico de uma proposição simples (você pode até chegar ao resultado certo, por coincidência, em algumas questões). Para resolver, devemos lembrar do conceito de conclusão, que pode ser resumido assim: “Conclusão de um argumento é uma frase que nunca é F quando todas as premissas são V.” 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� O que nos resta é analisar as alternativas uma a uma, aplicando o conceito de Conclusão visto acima. Repare que todas as alternativas são condicionais p�q, que só são falsas quando p é V e q é F. Portanto, o que vamos fazer é: - tentar "forçar" a ocorrência de p Verdadeira e q Falsa em cada alternativa (com isto, estamos forçando a conclusão a ser F) - a seguir, vamos verificar se é possível completar todas as premissas, tornando-as Verdadeiras. - Se for possível tornar todas as premissas V quando a conclusão é F, podemos descartar a alternativa, pois não se trata de uma conclusão válida. Vamos lá? a) Se jogo, não é feriado Devemos forçar esta conclusão a ser F, dizendo que “jogo” é V e “não é feriado” é F (e, portanto, “é feriado” é V). Com isso, podemos ver na premissa “Se jogo, não leio” que “não leio” precisa ser V também, pois “jogo” é V. Da mesma forma, na premissa “Se não leio, não compreendo” vemos que “não compreendo” precisa ser V. E com isso “compreendo” é F. Portanto, na premissa “Se não desisto, compreendo”, a proposição “não desisto” também deve ser F. Por fim, em “Se é feriado, não desisto”, já definimos que “é feriado” é V, e que “não desisto” é F. Isto torna esta premissa Falsa! Isto nos mostra que é impossível tornar todas as premissas V quando a conclusão é F. Isto é, quando as premissas forem V, necessariamente a conclusão será V. Assim, podemos dizer que esta é, de fato, uma conclusão válida para o argumento. Este é o gabarito. Vejamos as demais alternativas, em nome da didática. b) Se não jogo, é feriado 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� Devemos assumir que "não jogo" é V e “é feriado” é F, para que esta conclusão tenha valor Falso (“jogo” é F e “não é feriado” é V). Em “Se jogo, não leio”, como “jogo” é F, “não leio” pode ser V ou F e ainda assim esta premissa é Verdadeira. Da mesma forma, em “Se é feriado, não desisto”, sendo “é feriado” F, então “não desisto” pode ser V ou F e ainda assim esta premissa é Verdadeira. Em “Se não leio, não compreendo”, basta que “não leio” seja F e a frase já pode ser dada como Verdadeira, independente do valor de “não compreendo”. Da mesma forma, em “Se não desisto, compreendo”, basta que “não desisto” seja F e a frase já é Verdadeira. Veja que é possível tornar todas as premissas V, e, ao mesmo tempo, a conclusão F. Portanto, esta não é uma conclusão válida, devendo ser descartada. c) Se é feriado, não leio Assumindo que “é feriado” é V e que “não leio” é F (“leio” é V), para que a conclusão seja falsa, vejamos se é possível tornar todas as premissas Verdadeiras. Em “Se é feriado, não desisto”, vemos que “não desisto” precisa ser V (pois “é feriado” é V). Em “Se jogo, não leio”, vemos que “jogo” precisa ser F (pois “não leio” é F). Em “Se não desisto, compreendo”, como “não desisto” é V, então “compreendo” precisa ser V. Em “Se não leio, não compreendo”, vemos que esta premissa já é V pois “não leio” é F. Portanto, é possível ter todas as premissas V e a conclusão F, simultaneamente. Demonstramos que esta conclusão é inválida. d)Se não é feriado, leio Rapidamente: “não é feriado” é V e “leio” é F (“não leio” é V). Em “Se é feriado, não desisto” já temos uma premissa V, pois “é feriado” é F. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� Em “Se não leio, não compreendo”, vemos que “não compreendo” precisa ser V (“compreendo” é F). Em “Se não desisto, compreendo”, vemos que “não desisto” deve ser F. Em “Se jogo, não leio”, como “não leio” é V, a frase já é Verdadeira. Conseguimos tornar todas as premissas V e a conclusão F, sendo esta conclusão inválida. e) Se é feriado, jogo “É feriado” é V; “jogo” é F (“não jogo” é V). “Se jogo, não leio” já é V, pois “jogo” é F. “Não leio” pode ser V ou F. “Se é feriado, não desisto” � “não desisto” precisa ser V. “Se não desisto, compreendo” � “compreendo” precisa ser V. “Se não leio, não compreendo” � “não leio” deve ser F, pois “não compreendo” é F. Novamente foi possível ter todas as premissas V e a conclusão F. Conclusão inválida. Resposta: A Certifique-se que você entendeu este método de resolução, baseado no conceito de “Conclusão”, resolvendo a questão a seguir ANTES de ler os meus comentários! 6. FCC – TCE-PR – 2011) Considere que as seguintes premissas são verdadeiras: I. Se um homem é prudente, então ele é competente. II. Se um homem não é prudente, então ele é ignorante. III. Se um homem é ignorante, então ele não tem esperanças. IV. Se um homem é competente, então ele não é violento. Para que se obtenha um argumento válido, é correto concluir que se um homem: 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� (A) não é violento, então ele é prudente. (B) não é competente, então ele é violento. (C) é violento, então ele não tem esperanças. (D) não é prudente, então ele é violento. (E) não é violento, então ele não é competente. RESOLUÇÃO: Estamos novamente diante de um caso onde temos várias proposições compostas como premissas, e várias conclusões também formadas por proposições compostas. Assim, devemos testar cada alternativa de resposta, verificando se temos ou não uma conclusão válida. Temos, resumidamente, o seguinte conjunto de premissas: I. prudente � competente II. não prudente � ignorante III. ignorante � não esperança IV. competente � não violento Uma condicional só é falsa quando a condição (p) é V e o resultado (q) é F. Ao analisar cada alternativa, vamos assumir que p é V e que q é F, e verificar se há a possibilidade de tornar todas as premissas Verdadeiras. Se isso ocorrer, estamos diante de uma conclusão inválida, certo? a) não violento � prudente Assumindo que “não violento” é V e “prudente” é F (“não prudente” é V), temos: I. prudente � competente: já é V, pois “prudente” é F. IV. competente � não violento: já é V, pois “não violento” é V. II. não prudente � ignorante: “ignorante” deve ser V, pois “não prudente” é V. III. ignorante � não esperança: “não esperança” deve ser V, pois “ignorante” é V. Foi possível tornar as 4 premissas V, enquanto a conclusão era F. Assim, a conclusão é inválida. b) não competente � violento “Não competente” é V e “violento” é F. Assim: I. prudente � competente: “prudente” deve ser F, pois “competente” é F. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� II. não prudente � ignorante: “ignorante” deve ser V, pois “não prudente” é V. III. ignorante � não esperança: “não esperança” deve ser V, pois “ignorante” é V. IV. competente � não violento: já é V, pois “competente” é F. Foi possível tornar as 4 premissas V, enquanto a conclusão era F. Assim, a conclusão é inválida. c) violento � não esperança Sendo “violento” V e “não esperança” F: III. ignorante � não esperança: “ignorante” deve ser F, pois “não esperança” é F. IV. competente � não violento: “competente” deve ser F, pois “não violento” é F. I. prudente � competente: “prudente” deve ser F, pois “competente” é F. II. não prudente � ignorante: já definimos que “não prudente” é V, e “ignorante” é F. Isto deixa esta premissa Falsa. Não conseguimos tornar todas as premissas V quando a conclusão era F. Portanto, essa conclusão é sempre V quando as premissas são V, o que torna esta conclusão válida. d) não prudente � violento “Não prudente” é V e “violento” é F. Logo: I. prudente � competente: já é V, pois “prudente” é F. II. não prudente � ignorante: “ignorante” é V, pois “não prudente” é V. III. ignorante � não esperança: “não esperança” é V, pois “ignorante” é V. IV. competente � não violento: já é V, pois “não violento” é V. Foi possível tornar as 4 premissas V, enquanto a conclusão era F. Assim, a conclusão é inválida. e) não violento � não competente “Não violento” é V e “não competente” é F. Assim: I. prudente � competente: já é V, pois “competente” é V. IV. competente � não violento: “não violento” é V, pois “competente” é V. II. não prudente � ignorante: se, por exemplo, “não prudente” for F, esta sentença já é V (veja que a sentença I não impede que “não prudente” seja F). 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� III. ignorante � não esperança: se “ignorante” for F, esta sentença já é V (a sentença II não impede que “ignorante” seja F). Foi possível tornar as 4 premissas V, enquanto a conclusão era F. Assim, a conclusão é inválida. Resposta: C Antes de avançarmos, trabalhe mais uma questão sobre a VALIDADE de argumentos lógicos: 7. FUNDATEC – IRGA – 2013) Considere os seguintes argumentos, assinalando V, se válidos, ou NV, se não válidos. ( ) Se o cão é um mamífero, então laranjas não são minerais. Ora, laranjas são minerais, logo, o cão não é um mamífero. ( ) Quando chove, João não vai à escola. Hoje não choveu, portanto, hoje João foi à escola. ( ) Quando estou de férias, viajo. Não estou viajando agora, portanto, não estou de férias. A ordem correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo, é: a) V – V – V b) V – V – NV c) V – NV – V d) NV – V – V e) NV – NV – NV RESOLUÇÃO: Vejamos cada argumento: 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� P1: Se o cão é um mamífero, então laranjas não são minerais. P2: Ora, laranjas são minerais Conclusão: Logo, o cão não é um mamífero. Para verificar a validade deste argumento, podemos assumir que as premissas são verdadeiras e, com isso, observar se a conclusão necessariamente será verdadeira. P2 é uma proposição simples, que nos diz que “laranjas são minerais”. Portanto, em P1 vemos que “laranjas não são minerais” é F, de modo que “cão é um mamífero” precisa ser F para que esta premissa seja verdadeira. Com isso, vemos que o cão não é um mamífero, de modo que a conclusão é necessariamente verdadeira (isto é, ela decorre das premissas). Portanto, este argumento é VÁLIDO. P1: Quando chove, João não vai à escola. P2: Hoje não choveu Conclusão: Portanto, hoje João foi à escola. Em P2 vemos que “hoje não choveu”. Em P1, sabemos que “chove” é F, de modo que P1 é uma condicional verdadeira, independente do valor lógico de “João não vai à escola”. Isto é, esta segunda parte pode ser V ou F, de modo que a conclusão (João foi à escola) pode ser V ou F. Em outras palavras, a conclusão não decorre necessariamente das premissas, de modo que o argumento é INVÁLIDO. P1: Quando estou de férias, viajo. P2: Não estou viajando agora Conclusão: Portanto, não estou de férias. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� Em P2 vemos que “não estou viajando”. Voltando em P1, vemos que “viajo” é F, de modo que “estou de férias” precisa ser F. Assim, é verdadeiro que não estou de férias, isto é, esta conclusão decorre das premissas, tornando o argumento VÁLIDO. Ficamos com V – NV – V. RESPOSTA: C 1.2 DIAGRAMAS LÓGICOS Para falarmos sobre diagramas lógicos, precisamos começar revisando alguns tópicos introdutórios sobre Teoria dos Conjuntos. Um conjunto é um agrupamento de indivíduos ou elementos que possuem uma característica em comum. Em uma escola, podemos criar, por exemplo, o conjunto dos alunos que só tem notas acima de 9. Ou o conjunto dos alunos que possuem pai e mãe vivos. E o conjunto dos que moram com os avós. Note que um mesmo aluno pode participar dos três conjuntos, isto é, ele pode tirar apenas notas acima de 9, possuir o pai e a mãe vivos, e morar com os avós. Da mesma forma, alguns alunos podem fazer parte de apenas 2 desses conjuntos, outros podem pertencer a apenas 1 deles, e, por fim, podem haver alunos que não integram nenhum dos conjuntos. Um aluno que tire algumas notas abaixo de 9, tenha apenas a mãe e não more com os avós não faria parte de nenhum desses conjuntos. Costumamos representar um conjunto assim: No interior deste círculo encontram-se todos os elementos que compõem o conjunto A. Já na parte exterior do círculo estão os elementos que não fazem parte 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� de A. Portanto, no gráfico acima podemos dizer que o elemento “a” pertence ao conjunto A. Quando temos 2 conjuntos (chamemos de A e B), devemos representá-los, em regra, da seguinte maneira: Observe que o elemento “a” está numa região que faz parte apenas do conjunto A. Portanto, trata-se de um elemento do conjunto A que não é elemento do conjunto B. Já o elemento “b” faz parte apenas do conjunto B. O elemento “c” é comum aos conjuntos A e B. Isto é, ele faz parte da intersecção entre os conjuntos A e B. Já o elemento “d” não faz parte de nenhum dos dois conjuntos, fazendo parte do complemento dos conjuntos A e B (complemento é a diferença entre um conjunto e o conjunto Universo, isto é, todo o universo de elementos possíveis). Apesar de representarmos os conjuntos A e B entrelaçados, como vimos acima, não temos certeza de que existe algum elemento na intersecção entre eles. Só saberemos isso ao longo dos exercícios. Em alguns casos vamos descobrir que não há nenhum elemento nessa intersecção, isto é, os conjuntos A e B são disjuntos. Assim, serão representados da seguinte maneira: 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� Os diagramas lógicos são ferramentas muito importantes para a resolução de algumas questões de lógica proposicional. Trata-se da aplicação de alguns fundamentos de Teoria do Conjuntos que vimos acima. Podemos utilizar diagramas lógicos (conjuntos) na resolução de questões que envolvam proposições categóricas. As proposições que recebem esse nome são as seguintes: - Todo A é B - Nenhum A é B - Algum A é B - Algum A não é B � Vejamos como interpretá-las, extraindo a informação que nos auxiliará a resolver os exercícios. � � - Todo A é B: você pode interpretar essa proposição como “todos os elementos do conjunto A são também elementos do conjunto B”, isto é, o conjunto A está contido no conjunto B. Graficamente, temos o seguinte: � Note que, de fato, A B⊂ . � - Nenhum A é B: nenhum elemento de A é também elemento de B, isto é, os dois conjuntos são totalmente distintos (disjuntos), não possuindo intersecção. Veja isso a seguir: � � � � 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� � � � - Algum A é B: esta afirmação nos permite concluir que algum (ou alguns) elemento de A é também elemento de B, ou seja, existe uma intersecção entre os 2 conjuntos: - Algum A não é B: esta afirmação permite concluir que existem elementos de A que não são elementos de B, ou seja, que não estão na intersecção entre os dois conjuntos. Exemplificando, podem existir os elementos “a” ou “b” no diagrama abaixo: � � � � � � � � � 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� � � Em exercícios de Diagramas Lógicos, o mais importante é conseguir reconhecer, no enunciado, quais são os conjuntos de interesse. Uma questão que diga, por exemplo, que “todos os gatos são pretos” e que “algum cão não é preto”, possui 3 conjuntos que nos interessam: Gatos, Cães e Animais Pretos. Para começar a resolver a questão, você deve desenhar (ou imaginar) os 3 conjuntos: ���� ���� � �� �������� � � � � Note que, propositalmente, desenhei uma intersecção entre os conjuntos. Ainda não sabemos se, de fato, existem elementos nessas intersecções. A primeira afirmação (“todos os gatos são pretos”) deixa claro que todos os elementos do conjunto dos Gatos são também elementos do conjunto dos Animais Pretos, ou seja, Gatos ⊂ �Animais Pretos. Corrigindo essa informação no desenho, temos: � � � � � � 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� ���� ���� � �� �������� Já a segunda afirmação (“algum cão não é preto”) nos indica que existem elementos no conjunto dos cães que não fazem parte do conjunto dos animais pretos, isto é, existem elementos na região “1” marcada no gráfico abaixo. Coloquei números nas outras regiões do gráfico para interpretarmos o que cada uma delas significa: ���� ���� � �� �������� � � � � � � � - região 2: é a intersecção entre Cães e Animais Pretos. Ali estariam os cães que são pretos (se houverem, pois nada foi afirmado a esse respeito). - região 3: é a intersecção entre cães, gatos e animais pretos. Ali estariam os cães que são gatos e que são pretos (por mais absurdo que isso possa parecer). - região 4: ali estariam os gatos que são pretos, mas não são cães - região 5: ali estariam os animais pretos que não são gatos e nem são cães - região 6: ali estariam os animais que não são pretos e não são cães nem gatos (ou seja, todo o restante). Vejamos duas questões para fixarmos o uso de diagramas lógicos: 8. FUNDATEC – CREA/PR – 2010) Dadas as premissas: “Todos os abacaxis são bananas.” e “Algumas laranjas não são bananas.” A conclusão que torna o argumento válido é: A) “Existem laranjas que não são abacaxis.” 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� B) “Nenhum abacaxi é banana.” C) “Existe laranja que é banana.” D) “Todas as laranjas são bananas.” E) “Nem todos os abacaxis são bananas.” RESOLUÇÃO: Sendo os conjuntos dos abacaxis, das bananas e das laranjas, temos: - Todos os abacaxis são bananas (todos os elementos do conjunto “abacaxis” são também elementos do conjunto “bananas”): - Algumas laranjas não são bananas (alguns elementos do conjunto “laranjas” não fazem parte do conjunto “bananas”): 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� Veja que marquei com um “x” a região onde sabemos que existem laranjas (pois foi dito que algumas laranjas não são bananas). Analisando as alternativas de conclusão: A) “Existem laranjas que não são abacaxis.” CORRETO. As laranjas da região “x” certamente não são abacaxis. B) “Nenhum abacaxi é banana.” ERRADO. Sabemos que TODOS os abacaxis são bananas. C) “Existe laranja que é banana.” ERRADO. Sabemos que existe laranja que NÃO é banana, mas não temos elementos para afirmar que alguma laranja faz parte do conjunto das bananas. D) “Todas as laranjas são bananas.” ERRADO. Sabemos que algumas laranjas NÃO são bananas. E) “Nem todos os abacaxis são bananas.” ERRADO. Sabemos que todos os abacaxis são bananas. RESPOSTA: A 9. ESAF – MINISTÉRIO DA FAZENDA – 2012) Em uma cidade as seguintes premissas são verdadeiras: Nenhum professor é rico. Alguns políticos são ricos. Então, pode-se afirmar que: a) Nenhum professor é político. b) Alguns professores são políticos. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� c) Alguns políticos são professores. d) Alguns políticos não são professores. e) Nenhum político é professor. RESOLUÇÃO: Vamos utilizar os conjuntos dos “professores”, dos “políticos” e dos “ricos”. Temos, a princípio, Como nenhum professor é rico, esses dois conjuntos não tem intersecção (região em comum). E como alguns políticos são ricos, esses dois conjuntos tem intersecção. Corrigindo nosso diagrama, ficamos com a figura abaixo: 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� Analisando as opções de resposta: a) Nenhum professor é político. � ERRADO. Pode haver elementos na intersecção entre esses dois conjuntos. b) Alguns professores são políticos. � ERRADO. Embora possa haver elementos nessa intersecção, não podemos garantir que eles de fato existem. Pode ser que nenhum professor seja político. c) Alguns políticos são professores. � ERRADO, pelos mesmos motivos do item anterior. d) Alguns políticos não são professores. � CORRETO. Os políticos que também fazem parte do conjunto dos ricos certamente NÃO são professores. e) Nenhum político é professor. � ERRADO, pelos mesmos motivos da alternativa A. RESPOSTA: D 1.3 ÁLGEBRA DE PROPOSIÇÕES Quando trabalhamos com proposições compostas, podemos identificar algumas propriedades que facilitam a sua manipulação. Vejamos: Propriedade idempotente Veja as proposições a seguir: Estudo e estudo Estudo ou estudo 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� Essas proposições compostas (conjunção e disjunção, respectivamente), são verdadeiras se e somente se a proposição simples “estudo” for verdadeira, concorda? É simplesmente isso que a PROPRIEDADE IDEMPOTENTE da lógica de proposições nos diz. Isto é, “p e p” é verdadeira se e somente se “p” é verdadeira “p ou p” é verdadeira se e somente se “p” é verdadeira Propriedade comutativa Veja as proposições abaixo: Chove e vou à praia Vou à praia e chove Repare que ambas as proposições tem o mesmo significado lógico. Ambas são conjunções que, para serem verdadeiras, precisam que ambas as proposições simples sejam verdadeiras, isto é: - chove - vou à praia Agora veja as proposições: Chove ou vou à praia Vou à praia ou chove Novamente, do ponto de vista da lógica proposicional, essas duas proposições são equivalentes entre si. Ambas são disjunções que, para serem verdadeiras, exigem que seja verdade PELO MENOS UMA das duas proposições simples que as constituem: - chove - vou à praia Em resumo, a PROPRIEDADE COMUTATIVA na lógica de proposições nos diz que: 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� “p e q” é verdadeiro se e somente se “q e p” for verdadeiro “p ou q” é verdadeiro se e somente se “q ou p” for verdadeiro Em outras palavras: a ordem dessas proposições simples não altera o valor lógico da proposição composta. Propriedade associativa Veja agora as proposições abaixo: Estudo e passeio, e jogo bola Estudo, e passeio e jogo bola Usando as proposições simples p = estudo, q = passeio e r = jogo bola, essas proposições poderiam ser representadas assim: (p e q) e r p e (q e r) Note que essas proposições são logicamente equivalentes entre si. Elas só serão verdadeiras se tanto p quanto q quanto r forem verdadeiras. Agora veja as proposições: (Estudo ou passeio) ou jogo bola Estudo ou (passeio ou jogo bola) Novamente usando as proposições simples p = estudo, q = passeio e r = jogo bola, essas proposições poderiam ser representadas assim: (p ou q) ou r p ou (q ou r) Note que essas proposições são logicamente equivalentes entre si. Elas só serão falsas se tanto p quanto q quanto r forem todas falsas. Assim, a PROPRIEDADE ASSOCIATIVA da lógica de proposições nos diz que: 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� “(p e q) e r” é verdadeira se e somente se “p e (q e r)” for verdadeira “(p ou q) ou r” é verdadeira se e somente se “p ou (q ou r)” for verdadeira Em outras palavras, não importa a forma como associamos as proposições simples em nossa análise, pois a proposição composta permanece com o mesmo valor lógico. Propriedade distributiva Vamos agora trabalhar com as proposições: Chove e (estudo ou passeio) A PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA da lógica de proposições nos diz que essa proposição é logicamente equivalente a: (Chove e estudo) ou (Chove e passeio) Veja que isso nos lembra a propriedade distributiva da multiplicação, que nos diz que: 5x(2 + 4) = 5x2 + 5x4 Já se tivermos a proposição: Chove ou (estudo e passeio) A PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA da lógica de proposições nos diz que essa proposição é logicamente equivalente a: (Chove ou estudo) e (Chove ou passeio) Portanto, podemos resumir a propriedade distributiva assim: “p e (q ou r)” é equivalente a “(p e q) ou (p e r)” “p ou (q e r)” é equivalente a “(p ou q) e (p ou r)” Vamos à nossa bateria de exercícios? 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� 2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 10. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2012) Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em Pasárgada ou não compro uma bicicleta. Ora, não vou morar em Pasárgada. Assim, a) não viajo e caso. b) viajo e caso. c) não vou morar em Pasárgada e não viajo. d) compro uma bicicleta e não viajo. e) compro uma bicicleta e viajo. RESOLUÇÃO: Temos no enunciado as premissas abaixo, sendo que a última é uma proposição simples: P1: Caso ou compro uma bicicleta. P2: Viajo ou não caso. P3: Vou morar em Pasárgada ou não compro uma bicicleta. P4: Ora, não vou morar em Pasárgada. Começando a análise pela proposição simples, vemos que não vou morar em Pasárgada. Voltando em P3, vemos que “vou morar em Pasárgada” é F, de modo que é preciso ser verdade que não compro uma bicicleta. Em P1 vemos que “compro uma bicicleta” é F, de modo que é preciso ser verdade que caso. Em P2 vemos que “não caso” é F, de modo que é preciso ser verdade que viajo. Assim, podemos concluir que: 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� - não vou morar em Pasárgada, não compro uma bicicleta, caso e viajo. Na alternativa B temos as duas últimas conclusões. RESPOSTA: B 11. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2012) Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Carlos. Se Natália é prima de Carlos, então Marta não é mãe de Rodrigo. Se Marta não é mãe de Rodrigo, então Leila é tia de Maria. Ora, Leila não é tia de Maria. Logo a) Marta não é mãe de Rodrigo e Paulo é irmão de Ana. b) Marta é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos. c) Marta não é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos. d) Marta é mãe de Rodrigo e Paulo não é irmão de Ana. e) Natália não é prima de Carlos e Marta não é mãe de Rodrigo. RESOLUÇÃO: Temos as seguintes premissas no enunciado, sendo que a última é uma proposição simples: P1: Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Carlos. P2: Se Natália é prima de Carlos, então Marta não é mãe de Rodrigo. P3: Se Marta não é mãe de Rodrigo, então Leila é tia de Maria. P4: Ora, Leila não é tia de Maria. A proposição simples (P4) nos permite concluir que Leila não é tia de Maria. Em P3, vemos que “Leila é tia de Maria” é F, de modo que “Marta não é mãe de 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� Rodrigo” também precisa ser F. Portanto, Marta é mãe de Rodrigo. Em P2, vemos que “Marta não é mãe de Rodrigo” é F, de modo que “Natália é prima de Carlos” precisa ser F, ou seja, Natália não é prima de Carlos. Em P1, vemos que “Natália é prima de Carlos” é F, de modo que “Paulo é irmão de Ana” precisa ser F, de modo que Paulo não é irmão de Ana. Com as conclusões sublinhadas, podemos marcar a alternativa D: d) Marta é mãe de Rodrigo e Paulo não é irmão de Ana. RESPOSTA: D 12. FCC – TRT/22ª – 2010) Considere um argumento composto pelas seguintes premissas: - se a inflação não é controlada, então não há projetos de desenvolvimento - se a inflação é controlada, então o povo vive melhor - o povo não vive melhor Considerando que todas as três premissas são verdadeiras, então, uma conclusão que tornaria o argumento válido é: a) a inflação é controlada b) não há projetos de desenvolvimento c) a inflação é controlada ou há projetos de desenvolvimento d) o povo vive melhor e a inflação não é controlada e) se a inflação não é controlada e não há projetos de desenvolvimento, então o povo vive melhor. RESOLUÇÃO: Temos as seguintes premissas no enunciado, sendo que a última é uma proposição simples: P1: se a inflação não é controlada, então não há projetos de desenvolvimento P2: se a inflação é controlada, então o povo vive melhor P3: o povo não vive melhor 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� Veja que as 2 primeiras premissas são proposições compostas, enquanto a 3ª é uma proposição simples. Para obtermos a conclusão, devemos considerar que todas as premissas são verdadeiras. Nestes casos, é melhor partirmos da proposição simples (3ª premissa), cuja análise é sempre mais fácil: - o povo não vive melhor � para esta premissa ser V, é preciso que de fato o povo não viva melhor. Visto isso, podemos analisar a 2ª premissa, que também trata do mesmo assunto: - se a inflação é controlada, então o povo vive melhor � já vimos que “o povo não vive melhor” precisa ser V, de modo que “o povo vive melhor” é F. Assim, para que esta 2ª premissa seja Verdadeira, é preciso que “a inflação é controlada” seja F também, pois F�F é uma condicional com valor lógico V (veja a tabela-verdade da condicional). Agora podemos avaliar a 1ª premissa: - se a inflação não é controlada, então não há projetos de desenvolvimento � vimos que “a inflação é controlada” é F, portanto “a inflação não é controlada” é V. Desta forma, “não há projetos de desenvolvimento” precisa ser V também, para que esta 1ª premissa seja Verdadeira. Assim, vimos que: - o povo não vive melhor (mas isso por si só não é uma conclusão, e sim uma premissa, pois está no enunciado!) - a inflação não é controlada - não há projetos de desenvolvimento. Analisando as possibilidades de resposta, vemos que a letra B reproduz esta última frase. Resposta: B. 13. ESAF – MINISTÉRIO DA FAZENDA – 2012) Se Marta é estudante, então Pedro não é professor. Se Pedro não é professor, então Murilo trabalha. Se Murilo trabalha, então hoje não é domingo. Ora, hoje é domingo. Logo, 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� a) Marta não é estudante e Murilo trabalha. b) Marta não é estudante e Murilo não trabalha. c) Marta é estudante ou Murilo trabalha. d) Marta é estudante e Pedro é professor. e) Murilo trabalha e Pedro é professor. RESOLUÇÃO: Temos as seguintes premissas no enunciado, sendo que a última é uma proposição simples: P1: Se Marta é estudante, então Pedro não é professor. P2: Se Pedro não é professor, então Murilo trabalha. P3: Se Murilo trabalha, então hoje não é domingo. P4: Ora, hoje é domingo. Neste caso começamos a análise pela proposição simples, que nos mostra que hoje é domingo. Em P3, como “hoje não é domingo” é F, então “Murilo trabalha” deve ser F, ou seja, Murilo não trabalha. Em P2 sabemos que “Murilo trabalha” é F, de modo que “Pedro não é professor” deve ser F também, o que implica que Pedro é professor. Em P1 vemos que “Pedro não é professor” é F, de modo que “Marta é estudante” deve ser F também, de modo que Marta não é estudante. Assim, podemos concluir que: - hoje é domingo, Murilo não trabalha, Pedro é professor, e Marta não é estudante. A alternativa B é condizente com essas conclusões: 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� b) Marta não é estudante e Murilo não trabalha. RESPOSTA: B 14. FCC – TCE/SP – 2009) Certo dia, cinco Agentes de um mesmo setor do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo − Amarilis, Benivaldo, Corifeu, Divino e Esmeralda − foram convocados para uma reunião em que se discutiria a implantação de um novo serviço de telefonia. Após a realização dessa reunião, alguns funcionários do setor fizeram os seguintes comentários: – “Se Divino participou da reunião, então Esmeralda também participou”; – “Se Divino não participou da reunião, então Corifeu participou”; – “Se Benivaldo ou Corifeu participaram, então Amarilis não participou”; – “Esmeralda não participou da reunião”. Considerando que as afirmações contidas nos quatro comentários eram verdadeiras, pode-se concluir com certeza que, além de Esmeralda, não participaram de tal reunião a) Amarilis e Benivaldo. b) Amarilis e Divino. c) Benivaldo e Corifeu. d) Benivaldo e Divino. e) Corifeu e Divino. RESOLUÇÃO: Repare que o exercício nos repassou 4 afirmações verdadeiras (premissas). Destas, 1 é uma proposição simples (“Esmeralda não participou da reunião”), enquanto as outras são condicionais, isto é, proposições compostas do tipo “se..., então ...”. Para resolver, partimos da proposição simples, pois ela já nos dá uma informação por si só: Esmeralda faltou à reunião. A seguir, vamos analisar a primeira frase, pois ela envolve Esmeralda (e já sabemos que ela faltou): - Se Divino participou da reunião, então Esmeralda também participou. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� Como sabemos que “Esmeralda também participou” é F, então “Divino participou” deve ser F também para essa condicional ser Verdadeira. Portanto, “Divino não participou” é V. Sabendo que Divino também não participou, podemos analisar a 2ª frase: - Se Divino não participou da reunião, então Corifeu participou. Como sabemos que “Divino não participou” é V, então “Corifeu participou” precisa ser V também. Partindo para a última frase: - Se Benivaldo ou Corifeu participaram, então Amarilis não participou. Como “Corifeu participou” é V, então “Benivaldo ou Corifeu participaram” é obrigatoriamente V. Dessa forma, “Amarílis não participou” precisa ser V também para que a condicional acima seja verdadeira. Assim, temos certeza que Esmeralda, Amarilis e Divino não participaram. Resposta: B. 15. FCC – BACEN – 2006) Um argumento é composto pelas seguintes premissas: – Se as metas de inflação não são reais, então a crise econômica não demorará a ser superada. – Se as metas de inflação são reais, então os superávits primários não serão fantasiosos. – Os superávits serão fantasiosos. Para que o argumento seja válido, a conclusão deve ser: a) A crise econômica não demorará a ser superada. b) As metas de inflação são irreais ou os superávits são fantasiosos. c) As metas de inflação são irreais e os superávits são fantasiosos. d) Os superávits econômicos serão fantasiosos. e) As metas de inflação não são irreais e a crise econômica não demorará a ser superada. RESOLUÇÃO: 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� Novamente temos 2 condicionais (p�q) e uma proposição simples (“Os superávits serão fantasiosos”) funcionando como premissas de um argumento. Devemos assumir que todas as premissas são verdadeiras para obter a conclusão. Tendo em mente a informação dada pela proposição simples, vamos analisar as condicionais: – Se as metas de inflação são reais, então os superávits primários não serão fantasiosos. Sabemos que “os superávits primários não serão fantasiosos” é F, pois a proposição simples nos disse que “os superávits serão fantasiosos”). Assim, “as metas de inflação são reais” precisa ser F para que a condicional p�q continue verdadeira. Portanto, descobrimos que as metas de inflação não são reais. – Se as metas de inflação não são reais, então a crise econômica não demorará a ser superada. Sabemos que a condição (“se as metas de inflação não são reais”) é V, pois foi isso que descobrimos logo acima. Assim, o resultado (“a crise econômica não demorará a ser superada”) precisa ser V. Assim, de fato a crise econômica não demorará a ser superada. Com isso, podemos concluir que: - as metas de inflação não são reais - a crise econômica não demorará a ser superada � letra A, que é o gabarito. Atenção: não podemos concluir que “os superávits primários serão fantasiosos”, pois isso é uma premissa do argumento, dada pelo enunciado. Por esse motivo as letras B, C e D são erradas! Resposta: A 16. FCC – TRT/8ª – 2010) Se Ana diz a verdade, Beto também fala a verdade, caso contrário Beto pode dizer a verdade ou mentir. Se Cléo mentir, David dirá a verdade, caso contrário ele mentirá. Beto e Cléo dizem ambos a verdade, ou ambos mentem. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� Ana, Beto, Cléo e David responderam, nessa ordem, se há ou não um cachorro em uma sala. Se há um cachorro nessa sala, uma possibilidade de resposta de Ana, Beto, Cleo e David, nessa ordem, é: (adote S: há cachorro na sala N: não há cachorro na sala) a) N, N, S, N b) N, S, N, N c) S, N, S, N d) S, S, S, N e) N, N, S, S RESOLUÇÃO: Veja que o exercício nos dá as seguintes premissas: - Se Ana diz a verdade, Beto também fala a verdade - Se Ana mente, Beto pode dizer a verdade ou mentir - Se Cléo mentir, David dirá a verdade - Se Cléo falar a verdade, David mentirá - Beto e Cléo ambos dizem a verdade, ou Beto e Cléo mentem - Há um cachorro na sala Devemos assumir que todas as premissas são verdadeiras (pois só assim chegamos à conclusão). Veja que temos 5 proposições compostas e 1 proposição simples, a última. A proposição simples é verdadeira se seu conteúdo for verdadeiro, portanto, sabemos que há um cachorro na sala. Uma forma de resolver essa questão é assumir que a primeira parte da primeira proposição (“Ana diz a verdade”) é Verdadeira, e analisar o restante. Caso não encontremos nenhuma falha na lógica, então a premissa que assumimos está correta. Caso contrário, devemos voltar e assumir que “Ana diz a verdade” é Falso, e novamente analisar o restante. Veja: Assumindo que “Ana diz a verdade” é Verdadeiro, temos que a segunda parte desta expressão (“Beto também fala a verdade”) também é Verdadeira. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� Veja a penúltima proposição (“Beto e Cléo ambos dizem a verdade, ou Beto e Cléo mentem”). A vírgula antes do “ou” faz com que este seja um caso de “ou exclusivo”, e não uma simples Disjunção. Sabemos que, nas proposições do tipo p q⊕ , só um dos lados da afirmação pode ser verdadeiro: Ou Beto e Cléo ambos dizem a verdade, ou Beto e Cléo mentem. Como sabemos que Beto diz a verdade, fica claro que este deve ser o lado verdadeiro da proposição. Assim, Cléo também diz a verdade. Por fim, veja a quarta expressão (“Se Cléo falar a verdade, David mentirá”). Esta é mais uma expressão do tipo p�q, e já sabemos que p é V (Cléo diz a verdade). Portanto, a consequência q também precisa ser V para que p�q seja V. Isto é, David mentirá (isso torna q Verdadeira). Com isso, assumimos que Ana diz a verdade (S), e concluímos que Beto diz a verdade (S), Cléo diz a verdade (S) e David mente (N). Veja que, a partir da hipótese que assumimos, foi possível tornar todas as proposições compostas verdadeiras. Se não tivesse sido possível, trocaríamos a hipótese para “Ana mente”, e analisaríamos novamente as demais alternativas. Resposta: D. 17. FCC – TRT/8ª – 2010) Se Alceu tira férias, então Brenda fica trabalhando. Se Brenda fica trabalhando, então Clóvis chega mais tarde ao trabalho. Se Clóvis chega mais tarde ao trabalho, então Dalva falta ao trabalho. Sabendo-se que Dalva não faltou ao trabalho, é correto concluir que: a) Alceu não tira férias e Clóvis chega mais tarde ao trabalho b) Brenda não fica trabalhando e Clóvis chega mais tarde ao trabalho c) Clóvis não chega mais tarde ao trabalho e Alceu não tira férias d) Brenda fica trabalhando e Clóvis chega mais tarde ao trabalho e) Alceu tira férias e Brenda fica trabalhando. RESOLUÇÃO: Temos no enunciado uma série de proposições compostas do tipo “se p, então q”, isto é, p�q. Além disso, temos uma proposição simples “p: Dalva não faltou ao trabalho”. Para obter a conclusão, devemos assumir que todas as premissas são verdadeiras. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� Como sabemos que Dalva não faltou ao trabalho, podemos analisar a proposição “Se Clóvis chega mais tarde ao trabalho, então Dalva falta ao trabalho”. Veja que a segunda parte desta proposição é Falsa (q é F). Para que a proposição inteira seja Verdadeira, é preciso que p também seja F, isto é, “Clóvis chega mais tarde ao trabalho” é uma premissa Falsa. Logicamente, Clóvis não chega mais tarde ao trabalho. Sabendo esta última informação, podemos verificar que, na expressão “Se Brenda fica trabalhando, então Clóvis chega mais tarde ao trabalho”, a segunda parte é Falsa (q é F), portanto a primeira precisa ser Falsa também para que p�q seja Verdadeira. Assim, Brenda não fica trabalhando. Por fim, vemos que na expressão “Se Alceu tira férias, então Brenda fica trabalhando” a segunda parte é Falsa, o que obriga a primeira a ser Falsa também. Isto é, Alceu não tira férias. Analisando as alternativas de resposta, vemos que a letra C está correta. Resposta: C. 18. FCC – BACEN – 2006) Aldo, Benê e Caio receberam uma proposta para executar um projeto. A seguir são registradas as declarações dadas pelos três, após a conclusão do projeto: - Aldo: Não é verdade que Benê e Caio executaram o projeto. - Benê: Se Aldo não executou o projeto, então Caio o executou. - Caio: Eu não executei o projeto, mas Aldo ou Benê o executaram. Se somente a afirmação de Benê é falsa, então o projeto foi executado APENAS por: a) Aldo b) Benê c) Caio d) Aldo e Benê e) Aldo e Caio RESOLUÇÃO: 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� Sabemos que as afirmações de Aldo e Caio são verdadeiras. Vejamos atentamente o que foi dito por Caio: - Caio: Eu não executei o projeto, mas Aldo ou Benê o executaram. Ora, já sabemos que Caio não participou da execução do projeto. Ele ainda afirma que Aldo ou Benê participaram. Ao dizer “Aldo ou Benê”, ele quer dizer que o projeto pode ter executado apenas por Aldo, apenas por Benê, ou então por ambos. Vejamos agora o que foi dito por Benê: - Benê: Se Aldo não executou o projeto, então Caio o executou. Sabemos que essa afirmação é FALSA. Já vimos que só há uma forma de uma afirmação condicional ser falsa: se a condição (“se Aldo não executou o projeto”) for Verdadeira, porém o resultado (“então Caio o executou”) for falso. Assim, sabemos que Aldo não executou o projeto. E também sabemos que é falso que Caio o executou, ou seja, é verdade que Caio não o executou. Isto só confirma o que já havíamos entendido ao analisar a primeira parte da fala de Caio. Voltando na segunda parte da frase de Caio, ele disse que “Aldo ou Benê” executaram o projeto. Como acabamos de descobrir que Aldo não executou, obrigatoriamente Benê executou (se não, a frase de Caio não seria verdadeira). Portanto, sabemos que apenas Benê executou o projeto (letra B). Apenas para confirmar, vejamos a frase de Aldo: - Aldo: Não é verdade que Benê e Caio executaram o projeto. De fato, não é verdade que ambos Benê e Caio executaram o projeto, pois apenas Benê o executou. Ou seja, confirmamos que a frase de Aldo é verdadeira, como disse o enunciado. Resposta: B. 19. ESAF – SEFAZ/SP – 2009 Adaptada) Se Maria vai ao cinema, Pedro ou Paulo vão ao cinema. Se Paulo vai ao cinema, Teresa e Joana vão ao cinema. Se Pedro vai ao cinema, Teresa e Ana vão ao cinema. Se Teresa não foi ao cinema, pode-se afirmar que: a) Ana não foi ao cinema. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� b) Paulo foi ao cinema. c) Pedro foi ao cinema. d) Maria não foi ao cinema. e) Joana não foi ao cinema. RESOLUÇÃO: Temos o seguinte argumento: Se Maria vai ao cinema, Pedro ou Paulo vão ao cinema. Se Paulo vai ao cinema, Teresa e Joana vão ao cinema. Se Pedro vai ao cinema, Teresa e Ana vão ao cinema. Teresa não foi ao cinema. Sempre que houver uma proposição simples, devemos partir dela. Com essa informação em mãos (Teresa não foi ao cinema), vejamos as demais: Se Paulo vai ao cinema, Teresa e Joana vão ao cinema. Sabemos que a segunda parte dessa condicional é falsa, pois Teresa não foi ao cinema (e a conjunção “Teresa e Joana vão ao cinema” só é verdadeira se ambas forem ao cinema). Portanto, a primeira parte também é falsa, sendo seu oposto verdadeiro: Paulo não vai ao cinema. Se Pedro vai ao cinema, Teresa e Ana vão ao cinema. Fazendo um raciocínio análogo ao anterior, como “Teresa e Ana vão ao cinema” é falso, “Pedro vai ao cinema” também é. Portanto, Pedro não vai ao cinema. Se Maria vai ao cinema, Pedro ou Paulo vão ao cinema. Como nem Pedro nem Paulo vão ao cinema, a segunda parte dessa condicional é falsa. Portanto, Maria também não vai ao cinema. Resposta: D 20. ESAF – MINISTÉRIO DA FAZENDA – 2013) Se Eva vai à praia, ela bebe caipirinha. Se Eva não vai ao cinema, ela não bebe caipirinha. Se Eva bebe caipirinha, ela não vai ao cinema. Se Eva não vai à praia, ela vai ao cinema. Segue- se, portanto, que Eva: a) vai à praia, vai ao cinema, não bebe caipirinha. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� b) não vai à praia, vai ao cinema, não bebe caipirinha. c) vai à praia, não vai ao cinema, bebe caipirinha. d) não vai à praia, não vai ao cinema, não bebe caipirinha. e) não vai à praia, não vai ao cinema, bebe caipirinha. RESOLUÇÃO: Todas as premissas do enunciado são proposições compostas: P1: Se Eva vai à praia, ela bebe caipirinha. P2: Se Eva não vai ao cinema, ela não bebe caipirinha. P3: Se Eva bebe caipirinha, ela não vai ao cinema. P4: Se Eva não vai à praia, ela vai ao cinema. As alternativas de resposta são proposições simples, portanto devemos usar o método do “chute”. Assumindo que Eva vai à praia é verdadeiro, na premissa P1 vemos que ela bebe caipirinha. Na premissa P2, como “ela não bebe caipirinha” é F, é preciso que “Eva não vai ao cinema” também seja F, portanto Eva vai ao cinema. Entretanto com isto P3 fica falsa, pois a primeira parte seria V e a segunda seria F. Não foi possível tornar todas as premissas verdadeiras. Logo, devemos mudar nosso chute. Assumindo que Eva não vai à praia, na premissa P4 vemos que ela vai ao cinema. Em P3 vemos que “ela não vai ao cinema” é F, portanto “Eva bebe caipirinha” deve ser F também, ou seja, Eva não bebe caipirinha. Com isso P2 já está verdadeira, pois “ela não bebe caipirinha” é V. E P1 também já é verdadeira, pois “Eva vai à praia” é F. Assim, foi possível tornar as 4 premissas verdadeiras, o que permite concluir que: 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� - Eva não vai à praia, vai ao cinema, e não bebe caipirinha. RESPOSTA: B 21. ESAF – MPOG – 2010) Há três suspeitos para um crime e pelo menos um deles é culpado. Se o primeiro é culpado, então o segundo é inocente. Se o terceiro é inocente, então o segundo é culpado. Se o terceiro é inocente, então ele não é o único a sê-lo. Se o segundo é culpado, então ele não é o único a sê-lo. Assim, uma situação possível é: a) Os três são culpados. b) Apenas o primeiro e o segundo são culpados. c) Apenas o primeiro e o terceiro são culpados. d) Apenas o segundo é culpado. e) Apenas o primeiro é culpado. RESOLUÇÃO: Temos as seguintes premissas, todas elas proposições compostas: P1: Se o primeiro é culpado, então o segundo é inocente. P2: Se o terceiro é inocente, então o segundo é culpado. P3: Se o terceiro é inocente, então ele não é o único a sê-lo. P4: Se o segundo é culpado, então ele não é o único a sê-lo. Assim, vamos “chutar” que o primeiro é culpado. Assim, pela premissa P1, vemos que o segundo é inocente. Em P2, temos que “o segundo é culpado” é F, de modo que “o terceiro é inocente” tem que ser F também. Portanto, o terceiro é 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ����������� � � ������������� ����������������� ������������������������ ������ ������������� �� �!���∀ �#∃� � � ������������� �� �������������������������������� ��� ����������������������������������������� ���� culpado. Com isso, P3 já é uma premissa verdadeira, pois a sua primeira parte (“o terceiro é inocente) é F. De maneira similar, P4 já é verdadeira pois sua primeira parte (“o segundo é culpado”) é F. Como vemos, é possível que o primeiro e o terceiro sejam culpados, tornando as 4 premissas verdadeiras, como temos na alternativa C. RESPOSTA: C 22. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2012) Se Anamara é médica, então Angélica é médica. Se Anamara é arquiteta, então Angélica ou Andrea são médicas. Se Andrea é arquiteta, então Angélica é arquiteta. Se Andrea é médica, então Anamara é médica. Considerando que as afirmações são verdadeiras, segue-se, portanto, que: a) Anamara, Angélica e Andrea são arquitetas. b) Anamara é médica,
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