CARTEIRA OTIMA

Prévia do material em texto

���Centro Universitário Filadélfia - UNIFIL���MBA Executivo Gestão Financeira, Controladoria e Auditoria���Mercado de Capitais���Prof. MS. Paulo Henrique Maravieski Brambilla��
1. PRINCÍPIOS BÁSICOS 
Com a finalidade de se construir uma carteira de títulos que satisfaça ao investidor com relação à combinação do binômio retorno x risco, Markowitz, no início da década de 50, publicou um trabalho que representa um marco no assunto. 
Este trabalho de Markowitz, intitulado Portfólio Selection�, fundamentou-se em algumas premissas racionais e estabeleceu um modelo matemático para determinação das denominadas carteiras eficientes. 
As premissas que fundamentaram todo o processo de análise de carteiras desenvolvido por Markowitz são as seguintes: 
a análise é efetuada considerando sempre as expectativas geradas para um período adiante - 1 mês, 1 semestre, 1 ano ou qualquer outro período definido inicialmente; 
todos os investidores buscam maximizar a utilidade esperada para o período do investimento e apresentam utilidade marginal decrescente conforme aumenta a riqueza; 
todos os investidores elaboram suas projeções de rentabilidade para os ativos a partir da distribuição de probabilidades para as várias taxas de retorno que podem ser alcançadas no período do investimento; 
os investidores associam risco à variabilidade das taxas de retorno dos ativos em análise. Quanto mais variáveis (voláteis) essas taxas de retorno ao longo cio tempo maior o risco do investimento; 
os investidores baseiam suas decisões somente em termos do retorno esperado e do risco do investimento. A questão da liquidez se reflete e está embutida no risco do investimento, uma vez que a questão da liquidez é uma questão de preço (e, portanto de taxa de retorno). Um imóvel ilíquido com um preço de venda fixado em R$ 200.000,00 se tornará altamente líquido se esse preço de venda for baixado para R$ 100.000,00. Em conseqüência da premissa inicial desse item, a função utilidade do investidor depende exclusivamente do retorno esperado e de sua variabilidade quantificada pelo desvio-padrão da distribuição dos retornos esperados - 
; 
para qualquer nível de risco os investidores preferem maiores retornos a menores retornos. Simbolicamente, 
. Ou ainda, para qualquer nível de retorno esperado os investidores preferem menos riscos a mais riscos 
. 
A partir daí Markowitz desenvolveu sua teoria, cuja fundamentação é exposta a seguir� Analisando títulos individuais, a aplicação da metodologia de Markowitz exige que se construa a distribuição de probabilidades do retorno esperado de cada título para o período programado do investimento — um período adiante e a partir desta distribuição de probabilidade subjetiva é possível extrair os dois elementos indispensáveis para aplicação na teoria de seleção de carteiras, a saber: 
o retorno esperado do investimento no título; 
o risco desse investimento. 
A expressão desses dois elementos é a seguinte: 
Onde:
- retorno esperado do título
 - probabilidade associada a cada estimativa de retorno (% da renda para investimento)
- retorno observado (estimativas)
- risco do título, igual à variância da distribuição dos retornos esperados
Para um melhor entendimento damos a seguir um exemplo numérico. Suponhamos que após estudos e projeções efetuadas, cheguemos à seguinte distribuição de probabilidades atribuídas ao retorno de um determinado título:
	RETORNO ESPERADO %
	PROBABILIDADE ATRIBUÍDA
	-10
	0,20
	+15
	0,40
	+20
	0,30
	+30
	0,10
A seguir serão calculados o retorno esperado e o risco:
Ou seja, o retorno esperado desse título é de 13% e o risco de 151, medido pela variância (se fosse medido pelo desvio-padrão seria 12,29).
A teoria de carteiras de Markowitz objetiva determinar o conjunto de carteiras que vão compor a chamada fronteira eficiente. Para isso é preciso estudar como se comportam o retorno esperado e o risco de uma combinação de títulos. 
Vamos iniciar com uma carteira constituída somente por dois títulos e determinar a expressão do retorno esperado e do risco dessa carteira. Com relação ao retorno esperado da carteira a fórmula que permite o seu cálculo é simplesmente a média ponderada do retorno esperado de cada título; 
onde W1 e W2 representam o percentual dos recursos investidos em cada um dos títulos 1 e 2 que compõem a carteira. 
Exemplificando, se um investidor aplica R$ 20.000,00 em um título com uma expectativa de retorno de 10% e R$ 80.000,00 em outro título com uma expectativa de retorno de 20%, o retomo esperado da carteira será; 
Com relação ao risco da carteira, o cálculo é um pouco mais complicado uma vez que é necessário considerar como se comporta o retorno de um título em relação ao retorno do outro. Quando o retorno do primeiro acompanha no mesmo sentido e na mesma proporção o retorno do outro, não há qualquer vantagem de redução do risco na combinação dos dois títulos em uma carteira. Quando os retornos dos dois títulos se movimentam no mesmo sentido, porém não na mesma proporção já se pode notar uma redução do risco da carteira que combina os dois títulos. Quando não há qualquer relação entre os retornos dos dois títulos, o risco da carteira será simplesmente a média ponderada dos riscos de cada um dos títulos. E, finalmente, quando os retornos dos dois títulos estão correlacionados de forma inversa, ou seja, quando o preço de um título sobe enquanto o preço do outro cai, há uma forte redução no risco da carteira. É como se um dos títulos puxasse o retorno da carteira em um sentido e o outro puxasse o retorno da carteira no sentido contrário. 
Para explicar melhor esse assunto, as duas figuras seguintes são bastante esclarecedoras;
FIGURA 1: Títulos com retornos correlacionados de forma POSITIVA
FIGURA 2: Títulos com retornos correlacionados de forma NEGATIVA
No primeiro caso é fácil imaginar que o retorno das carteiras compostas com diferentes combinações dos títulos 1 e 2 acompanharão com maior ou menor aproximação o retomo de cada título que a compõe. Em outras palavras, o desvio-padrão dos retornos das carteiras será pouco ou nada reduzido se comparado à média ponderada dos retornos de cada título que a compõe. 
No segundo caso tudo se passa como se um título puxasse o retorno da carteira em um sentido e simultaneamente o outro título puxasse o retorno da carteira em sentido contrário. Nessa situação é fácil deduzir que as oscilações do retorno da carteira terão menor amplitude do que as oscilações do retorno de cada título. Estará havendo então uma contribuição positiva no sentido da redução do risco. 
Concluindo, para o cálculo do risco da carteira é necessário estimar um indicador que relacione os retornos dos títulos que irão compor a carteira, dois a dois. Este indicador, que estabelece uma relação dos retornos dos títulos aos pares, pode ser: 
o coeficiente de correlação; 
ou 
a covariância. 
Antes de prosseguir é necessário explicar o que seja o coeficiente de correlação e a covariância. O coeficiente de correlação é uma medida estatística que indica o grau de dependência linear entre duas variáveis, no caso o retorno dos títulos. Se duas variáveis são independentes, então o coeficiente de correlação é zero. Se for positivo, indica que valores positivos de uma variável estão associados a valores positivos de outra - caso da Figura 1 em que os retornos positivos de um título estão associados a valores positivos do retorno do outro. Ao contrário, o coeficiente de correlação será negativo quando valores positivos de uma variável estão associados a valores negativos da outra é o caso da Figura 2 que apresenta retornos positivos de um título associados a retornos negativos do outro. 
O campo de variação do coeficiente de correlação é de +1 (correlação perfeita no mesmo sentido) até - 1 (correlação perfeita no sentido inverso). Uma redução no risco de uma carteirade dois títulos é tanto maior quanto menor do que +1 for o coeficiente de correlação entre os retornos dos dois títulos, o que é apresentado nas figuras adiante. 
Na figura a seguir, no espaço retorno esperado x risco (média x desvio-padrão) os pontos 1 e 2 representam dois títulos com suas expectativas de retorno esperado e de risco.
FIGURA 3: Coeficiente de Correlação e a redução do risco
As linhas que unem esses dois títulos, uma reta quando  = +1, uma curva quando  = 0 e duas retas quando  = -1, representam carteiras construídas com diferentes proporções dos títulos 1 e 2. Exemplificando, quando o retorno esperado dos dois títulos está perfeitamente correlacionado de forma direta ( = +1), carteiras constituídas com diferentes combinações de títulos 1 e 2 se situam sobre a reta que une os dois pontos. Nas figuras desenhadas pode-se constatar a possibilidade da crescente redução do risco da carteira quando se combinam numa carteira títulos com correlação de retornos cada vez menores do que +1. Se na prática existir no mercado dois títulos com  = -1 é possível combinar esses dois títulos em determinada proporção de tal forma que a carteira assim constituída tenha risco zero. 
Expomos a seguir o cálculo do retorno esperado e do risco de uma carteira composta de somente dois ativos cujas correlações de retornos variam de +1 a -1. 
Caso em que a correlação entre os retornos é igual a +1, ou seja, as taxas de retorno dos dois ativos, ao longo do tempo, estão totalmente relacionadas de forma direta: 
FIGURA 4: Coeficiente de Correlação POSITIVO
Caso em que a correlação entre os retornos é igual a -.1, ou seja, as taxas de retorno dos dois ativos, ao longo do tempo, estão totalmente relacionadas de forma inversa: 
FIGURA 5: Coeficiente de Correlação NEGATIVO
O caso em que a correlação entre os retornos é igual a 0, ou seja, as taxas de retorno dos dois ativos, ao longo do tempo, não têm qualquer relação:
O risco medido por 
 o que equivale à raiz quadrada das operações que estão entre colchetes.
A combinação entre o Retorno e o Risco será:
FIGURA 6: Combinação entre Risco e Retorno dos Ativos A e B
A covariância, da mesma forma que o coeficiente de correlação, também é uma medida estatística de dependência linear entre duas variáveis aleatórias, no caso o retorno dos títulos que irão compor a carteira. E da mesma forma que o coeficiente de correlação, quando duas variáveis não estão relacionadas linear- mente a covariância entre elas é zero. Todavia, a covariância entre duas variáveis poderá ser zero e as variáveis podem estar relacionadas, desde que tal relação não seja linear. 
Covariância e coeficiente de correlação se relacionam através da seguinte fórmula: 
AB - é o coeficiente de correlação entre as variáveis (títulos) A e B;
A,B - é a covariância entre as variáveis (títulos) A e B;
A — é o desvio-padrão da variável (título) A; 
B — é o desvio-padrão da variável (título) B.
2. SOLUÇÃO GERAL PARA A OBTENÇÃO DA CARTEIRA ÓTIMA 
Um dos dilemas dos aplicadores (investidores) é determinar o valor ou um percentual da sua renda disponível para investir que deverá ser aplicado em cada um dos ativos que compõem o seu portfólio de investimentos.
Para auxiliar o processo de tomada de decisão do investidos, a técnica utilizada para a composição da carteira ótima dos títulos com risco é a determinação da fronteira eficiente. 
A determinação do retorno esperado (média) e do risco (desvio-padrão) de cada ativo que compõe a carteira e através do comportamento individual de cada ativo determinará o comportamento do portfólio. Entretanto, existe uma infinidade de carteiras que podem ser compostas, com todos os ativos possíveis, alterando-se a participação relativa dos títulos em cada carteira isto é, o valor em dinheiro aplicado em cada ativo ou o percentual de participação de cada título nesta carteira. Portanto, o processo de se encontrar a fronteira eficiente é bastante demorado, demandando uma infinidade de cálculos, o que era feito por Markowitz utilizando programação quadrática. 
A carteira ótima de cada investidor será obtida no ponto em que sua curva de indiferença ao risco tangencia a fronteira eficiente, devendo-se considerar que os investidores podem ser avessos, indiferentes ou afeitos ao risco, segundo a inclinação da família de suas curvas de indiferença, conforme pode ser visto no gráfico a seguir:
FIGURA 7: Fronteira Eficiente e Curvas de Indiferenças
�
O gráfico a seguir mostra a linha de mercado de capitais (capital market line - CML), que é formada a partir do ponto representativo do retorno do título livre de risco (um título do governo, por exemplo), tangenciando a fronteira eficiente, no ponto representativo da carteira de mercado. A CML indica que, entre a taxa livre de risco e a carteira de mercado, o investidor está abrindo mão de parte de sua carteira de mercado para adquirir títulos livres de risco, caracterizando-se por ser um investidor conservador, pois está abrindo mão de rentabilidade em troca de um menor risco. acima da carteira de mercado, está vendendo a descoberto títulos com taxa livre de risco, para obter mais retorno, sendo, assim, um investidor agressivo.
FIGURA 8: Fronteira Eficiente e Linha do Mercado de Capitais (CML)
�
A fronteira eficiente dos títulos corresponde a Curva que tangencia a reta de Ativos Livres de Risco (Rf), isto é, de Rf até o ponto M, comporá a carteira ótima. 
Agora se conhece a fronteira eficiente, porém, somente com esta informação não é possível determinar a Carteira Ótima.
A carteira ótima será a tangente da CML que maximiza o Retorno e que minimiza o Risco do investidor, conforme segue:
, onde:
– retorno esperado de qualquer carteira P sobre a reta
RF – retorno do ativo livre de risco
– risco da carteira P
Essa expressão de 
 nada mais é do que a rentabilidade que excede àquela do título de renda fixas sem risco (RF), por unidade de risco. Então será esta medida que será maximizada para se chegar ao ponto M do gráfico anterior, obtendo-se a carteira ótima.
Tomando um universo de três títulos com risco, com os seguintes valores esperados para o período de investimento:
	TÍTULO
	
	
	A
	18
	191,5
	B
	13
	129,1
	C
	26
	81,6
MATRIZ DE COVARIÂNCIAS
	
	A
	B
	C
	A
	1
	216,67
	-33,33
	B
	216,67
	1
	16,67
	C
	-33,33
	16,67
	1
O retorno certo do título de renda fixa sem risco (RF) para o mesmo período do investimento é de 3%. Admitindo-se que o valor disponível para investimento seja R$ 100.000,00, calcular o investimento a ser realizado em cada título para se compor a carteira ótima de títulos com risco, isto é, definir o peso de cada ativo no portfólio.
SOLUÇÃO
A carteira ótima, neste caso, é aquela sobre a fronteira eficiente das ações em análise (A, B e C), no ponto de tangente à reta com origem em RF. Em teoria, tem-se um sistema de equações simultâneas, onde para cada ativo será gerado uma equação com a seguinte característica: 
Aplicando a equação acima para os ativos A, B e C, o sistema de equações a ser resolvido será:
Substituindo os valores, tem-se:
Para resolver este sistema de três equações e três incógnitas é aconselhável utilizar o processo de substituição. Dessa forma será extraído o valor de ZA da primeira equação e substituir na segunda e terceira equação.
A primeira equação após a realização dos cálculos e substituições é 
Tomando a segunda equação e substituindo o resultado da primeira obtém-se
Substituindo a primeira e a segunda equação na terceira equação o resultado será:
O resultado numérico encontrado em ZC é substituído no resultado anterior de ZB
Trocando o valor numérico de WB e WC em WA será:
Toma-se a seguinte equação 
:
Os percentuais dos recursos a serem investidos em cada título serão:
Então osvalores a serem investido em cada título, considerando-se o valor de R$ 100.000,00 são:
	TÍTULOS
	PERCENTUAIS A SEREM INVESTIDOS
	VALORES A SEREM INVESTIDOS
	A
	0,7761
	77.605,32
	B
	0,1330
	13.303,77
	C
	0,0909
	9.090,91
Desta forma, o investido obterá, com esse portfólio, o maior retorno e o menor risco possível, isto é, uma carteira ótima (otimizada).
�
REFERÊNCIAS
ELTON, Edwin J.; GRUBER, Martin J. Moderna Teoria de Carteiras e Análise de Investimentos. São Paulo: Atlas, 2004.
FORTUNA, Eduardo; Mercado Financeiro: Produtos e Serviços. 13 ed. Rio de Janeiro: Qualitymark, 1999.
ROSS, Stephen A.; WESTERFIELD, Randolph W. e JAFFE, Jeffrey F. Administração Financeira: Corporate Finance; São Paulo: Atlas, 1995.
SECURATO, Jose Roberto. Mercado Financeiro e Análise de Investimento. São Paulo: Atlas, 1982.
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� Portfolio Selection — trabalho publicado por Harry Markowitz na revista .lournal olFinance — março de 1952. 
� A Teoria de Markowit foi desenvolvida para inveatidorca avessos ao risco e com funções utilidades quadráticas no espaço média/variância. 
Gestão Financeira e Orçamentária IV – Prof. MS. Paulo Henrique Maravieski Brambilla
_1286770059.unknown
_1286773771.unknown
_1286793243.unknown
_1286793304.unknown
_1286793369.unknown
_1286793707.unknown
_1286795185.unknown
_1286793714.unknown
_1286793564.unknown
_1286793655.unknown
_1286793466.unknown
_1286793313.unknown
_1286793273.unknown
_1286793290.unknown
_1286793296.unknown
_1286793254.unknown
_1286777946.unknown
_1286793170.unknown
_1286793230.unknown
_1286793138.unknown
_1286774015.unknown
_1286777921.unknown
_1286773824.unknown
_1286770063.unknown
_1286770065.unknown
_1286772867.unknown
_1286773530.unknown
_1286771773.unknown
_1286770064.unknown
_1286770061.unknown
_1286770062.unknown
_1286770060.unknown
_1286770050.unknown
_1286770054.unknown
_1286770056.unknown
_1286770058.unknown
_1286770055.unknown
_1286770052.unknown
_1286770053.unknown
_1286770051.unknown
_1286770046.unknown
_1286770048.unknown
_1286770049.unknown
_1286770047.unknown
_1286770043.unknown
_1286770044.unknown
_1286770042.unknown